EJERCICIOS DE ECONOMETRIA STOCK- WATSON

CAPITULO 2
1.1 DATOS DE SECCIÓN CRUZADA, SERIES TEMPORALES Y PANEL
 Los datos de sección cruzada consisten en múltiples individuos observados
para un único periodo de tiempo.
 Los datos de series temporales consisten en un único individuo observado
durante múltiple periodo de tiempo.
 Los datos de panel (asimismo conocidos como datos longitudinales)
consisten en múltiples individuos, en los que cada individuo es observado
durante dos o más periodos de tiempo.
2.1 ESPERANZA Y MEDIA
Suponga que la variable aleatoria Y puede tomar k posibles valores y 1 , y 2 , … .. y k ,
donde y 1 expresa el primer valor, y 2 expresa el segundo valor, y así
sucesivamente, la probabilidad de que Y tome el valor y 1 es p1, la probabilidad de
que Y tome y 2 es p2, etc. La esperanza o valor esperado deY , expresado mediante
E(Y ), es: k
E ( Y )= y 1 p 1+ y 2 p2 +…+ y k pk =∑ y i pi
i−1

k
Donde la notación ∑ yi pi significa << la suma de y i p i con i tomando valores de 1
i−1
a k ≫.
La esperanza de Y se denomina asimismo media de Y o valor esperado de Y y se
expresa mediante u y .
2.2 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

La varianza de la variable aleatoria discreta Y , expresada mediante σ Y 2, es.

σ Y 2=var ( Y )=E ¿

La desviación típica de Y es σ Y , la raíz cuadrada de la varianza. Las unidades de la

desviación típica son las mismas que las unidades de Y .
2.3 MEDIAS, VARIANZAS Y COVARIANZAS DE LA SUMA DE VARIABLES
ALEATORIAS
Sean X , Y y V variables aleatorias, sean u y y σ Y 2la media y la varianza de X , sea
σ XY la covarianza entre X e Y (lo mismo igualmente para las otras variables), y
sean a , b y c constantes. Las ecuaciones (2.29) a (2.35) se derivan delas
definiciones de la media, varianza y covarianza.
E ( a+ bX+ cY )=a+bu x + cu y … … … … ( 2.29 )

var ( a+bY )=b2 σ Y 2 … … … … … … … . ( 2.30 )

var ( aX+ bX )=a2 σ x 2 +2 abσ XY +b 2 σ Y 2 … .. ( 2.31 )

E ( Y 2 )=σ Y 2+u Y 2 … … … … … .. ( 2.32 )

cov ( a+ cV ,Y ) =bσ XY + cσ VY … … .. ( 2.33 )

E ( XY )=σ XY +u X u Y … … … .. ( 2.34 )

|corr ( X ,Y )|≤ 1 y |σ XY |≤ √σ X 2 σ Y 2 ( desigualdad de la correlación )…(2.35)

2.4 CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON VARIABLES ALEATORIAS

NORMALES
Supongamos queY está normalmente distribuida con media u y varianza σ 2; en
otras palabras, Y está distribuida como N ( u , σ 2 ). Por tanto, Y se estandariza
restándole su media y dividiendo por su desviación típica, es decir, calculando
Z=(Y −u)/σ.
C 1−u C −u
Sean C 1 y C 2dos números con C 1<¿C ¿ y sea d 1= y d 2= 2 .
2
σ σ
Entonces.
Pr ( Y ≤ C2 ) =Pr ( Z ≤ d 2 )=∅(d 2), (2.38)

Pr ( Y ≥ C1 ) =Pr ( Z ≥ d 2 )=1−∅ (d 1 ), (2.39)

Pr ( C 1 ≤ Y ≤C 2 )=Pr ( d 1 ≤ Z ≤ d 2 )=∅(d 2)−∅( d 1). (2.40)

La función de distribución normal acumulada ∅ esta tabulada en la tabla 1 del

apéndice.
2.5 MUESTRO ALEATORIO SIMPLE Y VARIABLES ALEATORIAS I.I.D.
En un muestreo aleatorio simple, se seleccionan aleatoriamente n objetos de una
población y cada objeto tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. El valor
de la variable aleatoria Y para el objeto i−ésimo seleccionado aleatoriamente se
expresa mediante Y i. Como cada objeto tiene la misma probabilidad de ser
seleccionado y la distribución de Y i es la misma para todo i, las variables
aleatorias Y 1 ,Y 2 , … .Y n, son independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.); es
decir, la distribución de Y i es la misma para todo i=1 , … . n e Y i está
independientemente distribuida de Y 2 ,.. . Y n, etc.

2.6. CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD, CONSISTENCIA Y LEY

DEL GRAN NÚMERO.

La media muestral Ῡ converge en probabilidad a ur (o de forma equivalente, Ῡ es

consistente) si la probabilidad de que Ῡ se encuentra en el rango μ y −c a μ y + c
se hace arbitrariamente cercana a 1 cuando n aumenta para cualquier constante
c >0. La convergencia en probabilidad de Ῡ a u y se expresa mediante Ῡ →p u y .

La ley de los grandes números establece que si Y i ,i=1, … , n son independientes

e idénticamente distribuidas con E ( Y i ) =u y y si los valores atípicos elevados
resultan improbables (técnicamente, si var (Y )=σ 2 < ∞ ), entonces Ῡ p u y .
i y →

2.7 EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Supongamos que de Y 1 ,.. . Y n son i.i.d. con de E ( Y i ) =uY y var ( Y i )=σ Y 2%,
2 2
donde 0< σ Y 2< ∞. A medida que n → ∞, la distribución ( Ý −uY )/σ Ý (donde σ Ý =σ Y /n ¿
se aproxima arbitrariamente bien a la distribución normal estándar.

2)GRÁFICOS
Figura 2.1: probabilidad y distribución del número de
fallos ..informáticos.
Probabilidad
0.8

La altura de cada una de las barras es la

0.7
probabilidad de que el ordenador se averíe el
número de veces indicado. La altura de la primera
0.6 barra es 0,8, por tanto, la probabilidad de 0
averías en el ordenador es del 80 %. La altura de
la segunda barra es 0,1, por lo que la probabilidad
0.5
de 1 avería en el ordenador es del 10 %, y lo
mismo para el resto de barras
0.4

0.3
0.2

0.1

0.0 0 1 2 3 4
Número de choques

Figura 2.2 funciones de distribución acumulada y de densidad de

probabilidad del tiempo de desplazamiento.

Probabilidad
Pr (Tiempo de desplazamiento ≤20) =0.78
1.2
v
0.0
1.0
v0.0
v
0.8
v
0.0
0.6 Pr (Tiempo de desplazamiento ≤15)
v0.0
0.4 =0.20
v
v
0.2
0.0
a) vvFunción de distribución acumulada del tiempo de desplazamiento
0.0
0.0
v 10 15 20 25 30 35
Tiempo de desplazamiento(minutos)
 0.15
Pr(tiempo de desplazamiento≥15)=0.20

0.12 Pr(15<menor tiempo de desplazamiento≤20)=0.58

Densidad de probabilidad

0.09

0.06 Pr(tiempo de desplazamiento>20)=0.22

0.58
0.03 0.22
0.20

0.00 25 30
10 15 20 35
tiempo de desplazamiento(minutos)

b) Función de densidad de probabilidad del tiempo de desplazamiento

La Figura 2.2a muestra la distribución de probabilidad acumulada (o c.d.f.) del tiempo de

desplazamiento. La probabilidad de que un tiempo de desplazamiento sea menos de 15 minutos
es 0,20 (o 20%), y la probabilidad de que sea menos de 20 minutos es 0.78 (78%). La figura 2.2b
muestra la función de densidad de probabilidad (o p.d.f.) del tiempo de desplazamiento. Las
probabilidades vienen dadas por las áreas bajo la p.d.f. La probabilidad de que el tiempo de
desplazamiento se encuentre entre 15 y 20 minutos es de 0,58 (58%) y está dada por el área bajo
la curva entre 15 y 20 minutos.

Figura 2.6: cálculo de la probabilidad de que Y ≤2 si Y es N (1,4)

Distribución N(1,4) Distribución N(0,1)

0.20 0.4

0.15 0.3

Pr(Z ≤ 0.5)
Pr(Y ≤ 2)
0.2
0.10 0.6915

0.1
0.05

0.0
0.0 0.5 z
0.00 (b) N(0,1)
(a) N(1,4) 1,0 2,0 y

Para el cálculo de Pr (Y ≤2), Y se estandariza, posteriormente se utilizan las tablas de la

distribución normal estándar. Y se estandariza restándole su media ( μ=1) y dividiendo por su
3)REVISIÓN DE CONCEPTOS
2.4 Una clase de econometría tiene 80 estudiantes, y el peso medio de los
estudiantes es de 145 libras. Se selecciona una muestra aleatoria de cuatro
estudiantes de la clase, y se calcula su peso medio. ¿El peso medio de los
estudiantes de la muestra será igual a 145 libras? ¿Por qué o por qué no?
Utilice este ejemplo para explicar por qué la media muestra Ý , es una
variable aleatoria.
El peso promedio de cuatro estudiantes seleccionados al azar es poco probable
que sea exactamente 145 libras. Diferentes grupos de cuatro estudiantes tendrán
diferentes pesos promedio de la muestra, a veces más de 145 libras. Y a veces
menos. Debido a que los cuatro estudiantes fueron seleccionados al azar, su peso
medio maestral también es aleatorio.

2.5 Supóngase que de Y 1 ,.. . Y n, son variables aleatorias i.i.d. con

distribución N (1,4). Dibuje la densidad de probabilidad de Ý para n=2.
Repítalo para n=10 y n=100. Describa en palabras las diferencias entre las
densidades. ¿Cuál es la relación entre su respuesta y la ley de los grandes
números?
 Gráfica de distribución
Normal, Media=1, Desv.Est.=4

0.10

0.08
Densidad

0.06

0.04 0.5987

0.02

0.00
1 2
X

Densidad de la Probabilidad. N (1 , 4) Para n=2.

Gráfica de distribución
Normal, Media=1, Desv.Est.=4

0.10
0.9878

0.08
Densidad

0.06

0.04

0.02

0.00
1 10
X

Densidad de la Probabilidad. N (1 , 4) Para n=100

 Gráfica de distribución
Normal, Media=1, Desv.Est.=4

0.10

0.08
Densidad

0.06

0.04

0.02

1
0.00
1 100
X

Densidad de la Probabilidad. N (1 , 4) Para n=100

Todas las distribuciones tendrán una forma normal y estarán centradas en 1, la
media de Y . Sin embargo, tendrán diferenciales diferentes porque tienen
diferentes variaciones. La varianza de Y es 4 /n, por lo que la varianza se reduce a
medida que n se hace más grande. En sus parcelas, la propagación de la
densidad normal cuando n=2 debe ser más ancha que cuando n=10 que debe ser
más ancha que cuando n=100. A medida que n se vuelve muy grande, la varianza
se acerca a cero, y la densidad normal colapsa alrededor de la media de Y . Es
decir, la distribución de Ý se vuelve altamente concentrada alrededor de uY a
medida que n crece mucho (la probabilidad de Ý que está cerca de uY tiende a 1),
que es justo lo que dice la ley de los grandes números.

4)EJERCICIOS
2.2 Utilice la distribución de probabilidad proporcionada en la Tabla 2.2 para
calcular:
a ¿ E ( Y ) y E( X )

b ¿ σ Y 2 y σ Y2

c ¿ σ XY y corr( X ,Y )

a) E ( Y ) y E( X )
Resolviendo:
u y =E (Y )=0∗Pr ( Y =0 ) +1∗Pr ⁡(Y =1)
  lluvia( X =0) no lluvia( X =1) TOTAL
viaje largo (Y =0) 0.15 0.07 0.22
viaje corto(Y =1) 0.15 0.63 0.78
TOTAL 0.3 0.7 1

u y =0∗0.22+ 1∗0.78=0.78
u x =E ( X )=0∗Pr ( X=0 ) +1∗Pr ⁡( X=1)
u x =0∗0.30+1∗0.70=0.70

b ¿ σ Y 2 y σ Y2

resolviendo:
σ 2X =E [ (X −ux )2 ]
σ 2X =¿
σ 2X =¿
σ Y2 = E [ (Y −uY )2 ]
σ Y2 =¿
σ Y2 =¿

c ¿ σ XY y corr( X ,Y )

Resolviendo:
σ xy =corr ( X , y )=E [ ( X−u X )+ ⁡(Y =uY ) ]

σ xy = ( 0−0.70 ) (0−0.78) Pr ⁡(X =0 , Y =0)+ ( 0−0.70 ) (1−0.78) Pr ⁡( X =0 , Y =1)

+ ( 1−0.70 ) (0−0.78) Pr ⁡( X =1 ,Y =0)+ ( 1−0.70 )( 1−0.78 ) Pr ( X=1 , Y =1 )
σ xy = (−0.70 )∗(−0.78 )∗0.15+ (−0.70 )∗0.22∗0.15+0.30∗(−0.78 )∗0.07

+0.30∗0.22∗0.63
σ xy =0.084

σ xy 0.084
corr ( X , y )= = =0.4425
σ x σ y √ 0.21∗0.1716

2.3 Utilizando las variables aleatorias X e Y de la Tabla 2.2, considérense dos

nuevas variables aleatorias W =4 +8 X y V =11−2Y . Calcule:
a. E ( W ) y E (V )
b. JW2 y JV 2
c. σ WV y corr (w , v )
a. E ( W ) y E (V )
E ( V )=E ( 11−2 Y )=11−2 E ( Y ) =11−2 × 0.78=9.44
E ( W ) =E ( 4+ 8 X )=4+8 E ( X )=4 +8 ×0.70=9.6

b. J W 2 y J V 2

J 2w =var ( 4 +8 X ) =62 . J 2x =64 × 0.21=13.44

J 2v =var ( 11−2Y ) =(−2)2 . J 2y =4 × 0.1716=0.6864

c. σ WV y corr (w , v )

J wv =cov ( 4 +8 X , 11−2 Y )=8× (−2 ) cov ( X ,Y ) =−16 ×0.084=−1.344

J wv −1.344
corr ( W , V )= = =−0.442497679
J w . J v √ 13.44 × 0.6864
2.9. X e Y son variables aleatorias discretas con la siguiente distribución
conjunta:
VALOR DE
        Y    
    2 4 6 8 10
  1 0.04 0.09 0.03 0.12 0.01
valor de X 5 0.10 0.06 0.15 0.03 0.02
  8 0.13 0.11 0.04 0.06 0.01

Es decir, Pr ( X=3 , Y =2 ) =0,04 , etc

a. Calcule la distribución de probabilidad, media, y varianza de Y .

b. Calcule la distribución de probabilidad, media, y varianza de Y
dado X =6.
c. Calcule la covarianza y la correlación entre X e Y .

SOLUCION.

  Distribución
de la
VALOR DE Y
probabilidad
de X
2 4 6 8 10
3 0.04 0.09 0.03 0.12 0.01 0.29
VALOR DE X 6 0.10 0.06 0.15 0.03 0.02 0.36
9 0.13 0.11 0.04 0.06 0.01 0.35
Distribución de la 0.27 0.26 0.22 0.21 0.04 1.00
probabilidad de Y
a) La distribución de probabilidad se da en la tabla anterior.
Solución:
E ( Y )=2 ( 0.27 )+ 4 ( 0.26 )+6 ( 0.22 )+ 8 ( 0.21 )+10 ( 0.04 )=4.98

E ( Y )=22 ( 0.27 ) + 42 ( 0.26 ) +6 2 ( 0.22 ) +82 ( 0.21 ) +102 ( 0.04 )=30.6

2
var ( Y ) =E ( Y 2 )−[ E ( Y ) ] =30.6−24.8=5.8

σ Y = √ 5.8=2.4
 b) La probabilidad condicional de Y|X = 6 se da en la siguiente tabla.
Solución:

Valor de Y
2 4 6 8 10
0.10/0.36 0.06/0.36 0.15/0.36 0.03/0.36 0.02/0.36

0.1
E ( Y |X =6 ) =2× ( 0.36 )+ 4 × ( 0.06
0.36 )
+6 × (
0.15
0.36 )
+¿

0.03 0.02
8 ×( ) +10 × (
0.36 )
=4.944
0.36
0.1 0.06 0.15
E ( Y |X =6 ) =2 × ( ) + 4 ×( ) +6 × (
0.36 )
2 2 2 2
+¿
0.36 0.36
0.03 0.02
8 ×( ) +10 ×(
0.36 )
2 2
=29.667
0.36

2
var ( Y ) =E ( Y 2 )−[ E ( Y ) ] =29.667−24.443=5.24

c) Calcule la covarianza y la correlación entre X e Y.

Solución:

E ( XY )= (3 × 2× 0.04 ) + ( 3 × 4 × 0.09 )+ … ( 9 ×10 ×0.01 )=29.4

cov ( X , Y )=E ( XY ) −E ( X ) E ( Y ) =29.4−6.18 ×4.98=−1.3764
cov ( X , Y ) −1.3764
corr ( X , Y ) = = =−0.1949
σ X σY 2.93× 2.41

2.14 En una población μ =50 y J =21. Utilice el teorema central del límite
Y
2
Y

para resolver las siguientes cuestiones:

a. En una muestra aleatoria de tamaño n=50, hallar Pr ( Ý ≤51).

b. En una muestra aleatoria de tamaño n=150, hallar Pr ( Ý >49).
 c. En una muestra aleatoria de tamaño n=45, hallar Pr (50.5 ≤ Ý ≤51).

a) En una muestra aleatoria de tamaño n=50, hallar Pr ( Ý ≤51).

J 2Ῡ 21
2
n=50 y J = = =0.42
Ῡ
n 50
Resolviendo:

Y −50 51−50 Y −50

Pr ( Ý ≤ 51 )=Pr
[√ ≤
0.42 √ 0.42
=Pr
] [
√ 0.42 ]
≤1.5429 ≈ ∅ ( 1.543 )=0.9382

b) En una muestra aleatoria de tamaño n=150, hallar Pr ( Ý >49).

J 2Ῡ 21
n=150 y J 2Ῡ = = =0.14
n 150
Resolviendo:

Pr ( Ý > 49 )=1−Pr ⁡¿)

Ῡ −50 49−50
Pr ( Ý > 49 )=1−Pr
[ ≤
√0.14 √0.14 ]
Ῡ −50 −1
Pr ( Ý > 49 )=1−Pr
[ ≥
√0.14 0.3741 ]
Ῡ −50
Pr ( Ý > 49 )=1−Pr
[
√0.14
≥−2.6731
]
Pr ( Ý > 49 )=∅ ( 2.6731 )=0.9962

c) En una muestra aleatoria de tamaño n=45, hallar Pr (50.5 ≤ Ý ≤51).

2 J 2Ῡ 21
n=150 y J Ῡ = = =0.467
n 45
50.5−50 Ῡ −50 51−50
Pr ( 50.5 ≤ Ῡ ≤51 ) =Pr
[ ≤ ≤
√0.467 √ 0.467 √ 0.467 ]
≈ ∅ ( 1.458 )−∅ ( 0.793 )=0.9265−0.7642

Pr ( 50.5 ≤ Ῡ ≤51 ) =0.1623