Actividad 1-4-2020

Análisis por Elementos Finitos
VICTORIA GARCIA GENGA Actividad 1-4-2020
Lea el documento “Introdución al MEF v01” preparado por la cátedra.
Utilice estas preguntas o consignas para fijar los conceptos principales.
1. Explique conceptualmente que es el MEF.

Es una técnica para resolver problemas de medios continuos debidamente descriptos por
ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno. Se trata de una metodología en la que las
variables características del problema se modelan por medio de un conjunto de funciones continúas
definidas en partes a lo largo del dominio de cálculo.
2. Que idea fundamental usa el MEF de la metodología de Rayleight-Ritz.

De los métodos variacionales directos de Rayleight-Ritz se basa en aproximar la/las variables
propias del problema por medio de funciones simples para las que se calculan un conjunto de
coeficientes que surgen de imponer la minimización de un funcional que representa la energía
potencial total del sistema.
3. Cuál es el aporte del MRP al MEF en los términos que presenta el documento.
El método de los residuos ponderados introduce un efecto de relajación de la condición fuerte
asociada a la ecuación diferencial del problema. Esto se hace obteniendo una forma integral
equivalente del problema original, la que a su vez está afectada por funciones de ponderación
seleccionadas con diferentes criterios (cada criterio deriva de una variante MRP).
4. Explique la diferencia entre la “forma fuerte” y “forma débil” del problema.

La forma fuerte del problema es uno de los pasos de la forma débil. La forma débil permite resolver
problemas de valores de contorno escritos. Se obtiene por medio de los siguientes pasos:
Forma fuerte del problema: Es la ecuación diferencial del problema y sus condiciones de
contorno asociadas (las cuales requieren una correcta definición). Se obtiene de analizar un
problema físico a partir de la aplicación de los principios de conservación asociados a los
fenómenos involucrados en el problema.
Forma integral equivalente del problema: Se obtiene aplicando el Método de los Residuos
Ponderados. Es una metodología variacional directa que permite obtener una forma
aproximada del problema inicial. Las variables primarias se aproximan con una función de
aproximación seleccionada con algún criterio (generalmente funciones polinómicas).
También presenta funciones de ponderación que deben ser seleccionadas de acuerdo a
diferentes criterios, lo cual define diversos submétodos (generalmente se usan las funciones
de aproximación).
Integración por partes: Permite uniformizar el orden de derivación que aparece en la
expresión integral equivalente del problema. Como generalmente se utilizan las mismas
funciones para la aproximación y la ponderación, el orden de derivación en el que aparecen
en la forma integral equivalente debe ser el mismo. Por eso, se lleva a cabo la integración
por partes de los términos con derivadas de mayor orden.
5. Explique cual es la función de la integración por partes.

Permite uniformizar el orden de derivación que aparece en la expresión integral equivalente del
problema. Como generalmente se utilizan las mismas funciones para la aproximación y la
ponderación, el orden de derivación en el que aparecen en la forma integral equivalente debe ser el
mismo. Por eso, se lleva a cabo la integración por partes de los términos con derivadas de mayor
orden.
6. Indique cuales serian concisiones de contorno de Dirichlet y cuales de Neumann para el caso
térmico. Ídem para un caso de un solido elástico lineal.
En las condiciones de Dirichlet se imponen los valores conocidos de la variable primaria del
problema. En el caso térmico para x=0 T(0;t) y para x=L, T(L,t).
En las condiciones de Neumann se imponen los valores conocidos de sus derivadas. Para el caso
térmico se utilizan:
7. Explique en que consiste la discretizacion.
La discretizacion es la división del dominio en elementos (subdominios), de manera tal que no haya
huecos ni solapamientos de las partes.
8. Presente las componentes del sistema lineal resultante.

[K] * {U}= {F}
Donde:
[K]: Matriz de rigidez K que ensambla las matrices de rigidez elementales.
{U}: Vector de incógnitas que refleja los valores de la variable primaria del problema sobre los
grados de libertad del mismo.
{F}: Vector de fuerzas que contiene el ensamblaje de las fuerzas externas sobre los
correspondientes grados de libertad del problema.
9. Que entiende por “relación de aspecto” de un elemento finito. Cual relación debe buscar para
que la solución sea optima?
La relación de aspecto es la relación entre la base y la altura de un elemento que forma la malla.
Para que la solución sea optima se debe buscar una relación cercana a la unidad.
10. Cite algunos tipos de elementos finitos en 1D, 2D y 3D.

1D: Líneas
2D: triángulos, cuadriláteros
3D: Tetraedros, hexaedros.
11. Explique como puede tener certeza que su solución MEF es convergente.
Para conocer si la solución es convergente se debe refinar la malla y obtener una mejor
aproximación a la solución exacta.
12. Explique los dos tipos de refinamiento que habitualmente se utilizan al trabajar con MEF
Refinamiento p: Se utilizan funciones de aproximación con polinomios de alto orden. Esto no implica
un aumento de la cantidad de elementos de la discretizacion, sino que la cantidad de grados de
libertad del problema se ve incrementada por la inclusión de un mayor número de nodos en cada
elemento.
Refinamiento h: Se basa en incrementar la cantidad de elementos en los que se divide el dominio
utilizando elementos lineales que solo requieren nodos en los vértices de cada elemento. Por lo
tanto, la cantidad de grados de libertad se asocia a la existencia de una mayor cantidad de
elementos en la malla.
13. Enumere y explique brevemente las condiciones necesarias para alcanzar la convergencia de
la solución del MEF.
Además de contar con la propiedad del método de convergencia deben considerarse las siguientes
condiciones:
Condición de continuidad: La aproximación de la/las variables del problema deben ser
continua en el interior de cada elemento. Dicha condición queda satisfecha al utilizar
polinomios.
Condición de derivabilidad: La aproximación polinómica elegida debe ser derivable al menos
hasta el orden de las derivadas que aparecen en las integrales del problema. En caso
contrario, la solución nunca se podría reproducir con la aproximación utilizada en el MEF.
Condición de integrabilidad: Por sus características de continuidad, las funciones de
aproximación deben ser integrables. Para ello la derivada de orden m de una función es
integrable si son continuas sus m-1 primeras derivadas.
Criterio de la parcela: Se utiliza para conocer las condiciones de convergencia de un
elemento. Se selecciona un conjunto o parcela de elementos y se aplica en los nodos del
contorno de la parcela valores de la/las variables del problema prescritos correspondientes
a una solución conocida. El elemento satisface el criterio de la parcela si la solución
obtenida para la/las variables del problema y sus gradientes en el interior de la parcela
coincide con el que se deduciría analíticamente de un campo conocido de tal
variable/variables.
Condición de gradiente constante: A medida que se refina la malla, las condiciones dentro
de cada elemento se aproximan cada vez más a las de gradiente constante. En
consecuencia, todo elemento debe ser capaz de reproducir la condición de gradiente
constante, lo cual queda implícito con el cumplimiento del criterio de la parcela.
Condición de estabilidad: La matriz de rigidez debe tener el rango correcto (número de
valores no nulos de la matriz). De lo contrario se generan mecanismos internos que
producen inconvenientes.
Condición de invarianza: Dicha condición implica que la solución obtenida a través de un
determinado elemento no debe variar al cambiar la orientación del mismo. La invarianza se
garantiza si las funciones de forma o de aproximación utilizadas en el elemento forman un
polinomio completo.

Actividad 1-4-2020

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Actividad 1-4-2020

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Actividad 1-4-2020

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Análisis por Elementos Finitos

VICTORIA GARCIA GENGA Actividad 1-4-2020

Lea el documento “Introdución al MEF v01” preparado por la cátedra.

Utilice estas preguntas o consignas para fijar los conceptos principales.

1. Explique conceptualmente que es el MEF.

2. Que idea fundamental usa el MEF de la metodología de Rayleight-Ritz.

4. Explique la diferencia entre la “forma fuerte” y “forma débil” del problema.

5. Explique cual es la función de la integración por partes.

8. Presente las componentes del sistema lineal resultante.

10. Cite algunos tipos de elementos finitos en 1D, 2D y 3D.

También podría gustarte