140 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS

y Finalmente notamos que un límite infinito al infinito puede definirse como sigue. En la
figura 19 se muestra una ilustración geométrica.
y=M
M

9 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces

0 N x lím f x

xl

FIGURA 19 significa que para todo número positivo M existe un correspondiente número positivo
lím ƒ=` N tal que
x `

si x  N, entonces f (x)  M

Definiciones similares se aplican cuando el símbolo @ se reemplaza por @. (Véase el

ejercicio 74.)

2.6 Ejercicios

1. Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de e) lím t x f ) Las ecuaciones de las asíntotas
x l2
los siguientes límites
a) lím f x 5 b) lím f x 3 y
xl
xl

2. a) ¿Puede la gráfica de y m f (x) intersecar una asíntota

vertical? ¿Puede intersecar una asíntota horizontal? 1
Ilustre trazando gráficas.
1 x
b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica
de y m f (x)? Trace gráficas que muestren las posibilidades.

3. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca lo siguiente:

a) lím f x b) lím f x
x l
xl

5-10 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga
c) lím f x d) lím f x
x l1 x l3 todas las condiciones dadas
e) Las ecuaciones de las asíntotas
5. lím f x
, lím f x 5, lím f x 5
xl0 xl
x l

y 6. lím f x
, lím f x
, lím f x
,

xl2 xl 2 xl 2

lím f x 0, lím f x 0, f 0 0
xl
x l

1
7. lím f x
, lím f x
, lím f x 0,
x l2 x l
xl

1 x
lím f x
, lím f x

x l0 x l0

8. lím f x 3, lím f x
, lím f x
, f es impar

xl
x l2 x l2

9. f 0 3, lím f x 4, lím f x 2,
x l0 x l0

4. Para la función J cuya gráfica está dada, establezca lo lím f x
, lím f x
, lím f x
,
xl
xl4 xl4
siguiente. lím f x 3
x l

a) lím t x b) lím t x
x l
xl

10. lím f x
, lím f x 2, f 0 0, f es par
xl3 x l

c) lím t x d) lím t x
xl0 x l2

 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com

 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 141

 11. Conjeture el valor del límite  39. a) Estime el valor de

x2 lím (sx 2 x 1 x)
lím xl

x l
2x
dibujando la gráfica de la función
evaluando la función f (x) m x 2Y2x para x m 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. Después, utilice una gráfica de f para f x sx 2 x 1 x.
respaldar su conjetura.
b) Utilice una tabla de valores de f (x) para conjeturar el valor
 12. a) Utilice la gráfica de del límite.
x c) Pruebe que su conjetura es correcta.
2
f x 1
x  40. a) Utilice la gráfica de

para estimar el valor de lím x l @ f (x) con una aproximación f x s3x 2 8x 6 s3x 2 3x 1
de dos cifras decimales.
b) Utilice una tabla de valores de f (x) para estimar el límite para estimar el valor de lím x l @ f (x) con una aproximación
con una aproximación de cuatro cifras decimales. de una cifra decimal.
b) Utilice una tabla de valores de f (x) para estimar el límite
13-14 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las con una aproximación de cuatro cifras decimales.
propiedades adecuadas de los límites. c) Halle el valor exacto del límite.
3x 2 x 4 12x 3 5x 2 41-46 Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si
13. lím 14. lím
xl
2x 2 5x 8 xl
1 4x 2 3x 3 tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la
curva y estimando las asíntotas.

15-38 Encuentre el límite o demuestre que no existe. 2x 1 x2 1

41. y 42. y 2
3x 2 1 x 2 x 2 2x 3x 2
15. lím 16. lím
xl
2x 1 xl
x3 x 1
2x 2 x 1 1 x4
43. y 44. y
x 2 4x 3 6x 2 2 x2 x 2 x2 x4
17. lím 2 18. lím 3
xl
x 1 x l
2x 4x 5
x3 x 2e x
st t2 t t st 45. y 2
46. y x
19. lím 20. lím x 6x 5 e 5
t l
2t t2 tl
2t 3 2 3t 5

2x 2 1 2
x2
21. lím 22. lím  47. Estime la asíntota horizontal de la función
xl
x 1 2 x2 x xl
sx 4 1
3x 3 500x 2
s9x 6 x s9x 6 x f x 3
23. lím 24. lím x 500x 2 100x 2 000
xl
x3 1 xl
x3 1
mediante la gráfica de f para 10 v x v 10. Después obtenga
25. lím (s9x 2 x 3x) 26. lím ( x sx 2 2x )
x l
xl
la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la
discrepancia?
27. lím (sx 2 ax sx 2 bx ) 28. lím sx 2 1
x l
x l
 48. a) Grafique la función

x4 3x 2 x s2x 2 1
29. lím 30. lím e x
2 cos 3x f x
xl
x3 x 2 xl
3x 5

1 x6 ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa?

31. lím x 4 x5 32. lím Utilice la gráfica para estimar el valor de los límites
xl
xl
x4 1

e 3x e 3x s2x 2 1 s2x 2 1
33. lím arctan e x 34. lím lím y lím
xl
xl
e 3x e 3x x l
3x 5 xl
3x 5

b) Calcule algunos valores de f (x) y proporcione estimaciones

1 ex sen 2 x
35. lím 36. lím numéricas de los límites del inciso a).
xl
1 2e x xl
x2 1
c) Calcule los valores exactos de los límites en el inciso a).
2x 1
¿Obtiene el mismo valor o valores diferentes de esos dos
37. lím e cos x 38. lím tan ln x
xl
xl0 límites? [En relación con su respuesta al inciso a), tendrá
que verificar su cálculo para el segundo límite.]
 142 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS

49. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las 61. Determine lím x l
f x si, para toda x  1,
condiciones siguientes:

lím f x 0, lím f x
, f 2 0, 10e x 21 5sx

xl
x l0 f x
2e x sx 1
lím f x
, lím f x

x l3 x l3
62. a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea
50. Proponga una fórmula para una función que tiene asíntotas salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al
verticales x m 1 y x m 3 y asíntota horizontal y m 1. depósito con una proporción de 25 LYmin. Demuestre
51. Una función f es un cociente de funciones cuadráticas y tiene que la concentración de sal t minutos después (en gramos
una asíntota vertical x m 4 y una intersección de x en x m 1. por litro) es
Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en x m 1 y
30t
lím x l 1 f (x) m 2. Evalúe Ct
200 t
a) f 0 b) lím f x
xl

b) ¿Qué sucede con la concentración cuando x l @?
52-56 Determine los límites cuando x l @ y cuando x l @. 63. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis,
Utilice esta información junto con las intersecciones para esbozar la velocidad v(t) de una gota de lluvia que cae, en el
la gráfica como en el ejemplo 12. instante t, es
52. y 2x 3 x4 53. y x4 x6 vt v* 1 e tt v *

3 2
54. y x x 2 x 1
donde J es la aceleración debida a la gravedad y v* es la
2 4
55. y 3 x 1 x 1 x velocidad final de la gota de lluvia.
56. y x2 x2 1 2
x 2 a) Encuentre lím t l
v t .
 b) Trace la grafica de v(t) si v* m 1 mYs y J m 9.8 mYs2.
¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota
sen x
57. a) Utilice el teorema de la compresión para evaluar lím . de agua alcance 99% de su velocidad final?
xl
x
 b) Grafique f (x) m (sen x)Yx. ¿Cuántas veces cruza la gráfica la  64. a) Mediante el trazo de y m e y y m 0.1 en una pantalla
xY10

asíntota? común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que

exY10  0.1.
 58. Por el comportamiento al final de una función entenderemos b) ¿Puede resolver el inciso a) sin un dispositivo de
una descripción de lo que sucede con sus valores cuando
graficación?
x l
y a medida que x l

a) Describa y compare el comportamiento al final de las  65. Mediante una gráfica determine un número N tal que
funciones
3x 2 1
Px 3x 5 5x 3 2x Qx 3x 5 si x N, entonces 1.5 0.05
2x 2 x 1
graficando las dos funciones en los rectángulos de vista
F2, 2G por F2, 2G y F10, 10G por F10 000, 10 000G.  66. En el caso del límite
b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento
al final si su cociente tiende a 1 cuando x l @. Demuestre s4x 2 1
lím 2
que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. x l
x 1
59. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre
ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores
Px de N que correspondan a  m 0.5 y  m 0.1.
lím
xl
Q x
 67. Ilustre la definición 8 para el límite
si el grado de P es a) menor que el grado de Q y b) mayor que
el grado de Q. s4x 2 1
lím 2
60. Haga un esbozo aproximado de la gráfica de la curva y m xn
xl
x 1
(n un entero) para los cinco casos siguientes:
determinando valores de N que correspondan a  m 0.5
i) n m 0 ii) n  0, n impar
y  m 0.1.
iii) n  0, n par iv) n  0, n impar
v) n  0, n par  68. Ilustre la definición 9 para el límite
Después utilice estos esbozos para encontrar los límites
siguientes: 2x 1
lím

a) lím x n b) lím x n
xl
sx 1
x l0 x l0

c) lím x n d) lím x n calculando valores de N que correspondan a M m 100.

x l
xl

 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 143

69. a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 72. Demuestre, mediante la definición 9, que lím x 3
.
xl

1Yx 2  0.0001?
x
b) Al hacer r m 2 en el teorema 5, tenemos la proposición 73. Utilice la definición 9 para demostrar que lím e
.
xl

1 74. Formule una definición precisa de

lím 0
xl
x2 lím f x

xl

Demuéstrela directamente aplicando la definición 7.
Después utilice su definición para demostrar que
70. a) ¿Qué tan grande debemos tomar a x de
manera que 1 sx 0.0001? lím 1 x3

xl

1
b) Tomando r 2 en el teorema 5, tenemos la proposición
75. Demuestre que
1
lím 0 lím f x lím f 1 t
x l
sx xl
t l0

Demuéstrela directamente aplicando la definición 7. y lím f x lím f 1 t

xl
t l0
1
71. Demuestre, mediante la definición 8, que lím 0. si estos límites existen.
xl
x

2.7 Derivadas y razones de cambio

El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la

velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite, como vimos en la sec-
ción 2.1. Este tipo especial de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería
puede ser interpretada como una razón de cambio.

Tangentes
Si una curva C tiene la ecuación y m f (x) y quiere usted hallar la recta tangente a C en el
y punto P(a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q(x, f (x)), donde x o a, y calcule
Q{ x, ƒ } la pendiente de la recta secante PQ:
ƒ-f(a)
P { a, f(a)} f x f a
mPQ
x a
x-a
Después, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende
un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P con pendien-
0 a x x te m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante
PQ cuando Q tiene a P. (Véase la figura 1.)

y t
Q
1 Definición La recta tangente a la curva y m f (x) en el punto P(a, f (a)) es la recta
Q
que pasa por P con pendiente
P Q
f x f a
m lím
xla x a
siempre que este límite exista.

0 x

En nuestro primer ejemplo, se confirma la suposición que hicimos en el ejemplo 1

FIGURA 1 de la sección 2.1.