E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL

E CUACIONES D IFERENCIALES O RDINARIAS

H OJA DE E JERCICIOS N O . 8
E CUACIONES D IFERENCIALES L INEALES DE O RDEN S UPERIOR :
E CUACIONES D IFERENCIALES H OMOGÉNEAS

Semestre 2020-A Departamento de Formación Básica

C OMPONENTE P RÁCTICO
I NDEPENDENCIA L INEAL Y T EOREMA DE R EDUCCIÓN DE O RDEN
1. 2. Encuentre la solución al problema de valor inicial:
(
y00 ( x ) − 3y0 ( x ) − 4y( x ) = 0
y(0) = 1, y0 (0) = 2,

si la solución general de la ecuación diferencial está dada por: y( x ) = c1 e4x + c2 e− x , c1 , c2 ∈ R, para

todo x ∈ R.

2. Determine si el conjunto de funciones que se presentan a continuación es linealmente independiente en

el intervalo ] − ∞, ∞[, adicionalmente esboce dichas funciones.

19. f 1 ( x ) = x, f 2 ( x ) = x − 1, f 3 ( x ) = x + 3. 21. f 1 ( x ) = 1 + x, f 2 ( x ) = x, f 3 ( x ) = x2 .

3. Compruebe que las funciones dadas a continuación forman un conjunto fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial respectiva en el intervalo ] − ∞, ∞[ y de serlo, forme su solución general.

23. y00 ( x ) − y0 ( x ) − 12y( x ) = 0, 25. y00 ( x ) − 2y0 ( x ) + 5y( x ) = 0,

y1 ( x ) = e−3x , y2 ( x ) = e4x . y1 ( x ) = e x cos(2x ), y2 ( x ) = e x sen(2x ).

4. En los siguientes problemas, la función indicada y1 ( x ) es una solución de la ecuación diferencial dada.
Use el teorema de reducción de orden, para encontrar una segunda solución y2 ( x ).

1. y00 ( x ) − 4y0 ( x ) + 4y( x ), y1 ( x ) = e2x , x ∈ R.

12. 4x2 y00 ( x ) + y( x ) = 0, y1 ( x ) = x1/2 ln( x ), x ∈]1, ∞[.
13. x2 y00 ( x ) − xy0 ( x ) + 2y( x ) = 0, y1 ( x ) = x sen(ln( x )), x ∈]0, 1[.

E CUACIONES H OMOGÉNEAS CON C OEFICIENTES C ONSTANTES

5. Determine la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

3. y00 ( x ) − y0 ( x ) − 6y( x ) = 0. 5. y00 ( x ) − 8y0 ( x ) + 16y( x ) = 0.

12. 2y00 ( x ) + 2y0 ( x ) + y( x ) = 0. 18. y000 ( x ) + 3y00 ( x ) − 4y0 ( x ) − 12y( x ) = 0.
25. y(4) ( x ) + 24y(2) ( x ) + 9y( x ) = 0.

6. 31. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

(
y00 (t) − 4y0 (t) − 5y(t) = 0
y(1) = 0, y0 (1) = 2.

7. 49. Las raíces de un polinomio característico de tercer grado son m1 = 4 y m2 = m3 = −5. ¿Cuál es la
ecuación diferencial homogénea correspondiente?

8. 50. Dos raíces de un polinomio característico de tercer grado son m1 = −1/2 y m2 = 3 + i. ¿Cual es la
ecuación diferencial homogénea correspondiente?

Cátedra EDO 2020-A Página 1 de 7

 E CUACIONES H OMOGÉNEAS CON C OEFICIENTES VARIABLES

9. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

5. x2 y”( x ) + xy0 ( x ) + 4y( x ) = 0, x > 0. 10. 4x2 y”( x ) + 4xy0 ( x ) − y( x ) = 0, x > 0.

31. x2 y”( x ) + 9xy0 ( x ) − 20y( x ) = 0, x > 0.

10. 38. Encuentre la solución del siguiente problema de valor inicial:

x2 y”( x ) − 4xy0 ( x ) + 6y( x ) = 0, y(−2) = 8, y0 (−2) = 0, x ∈] − ∞, 0[.

E JERCICIOS DE P RUEBAS Y E XÁMENES

11. (Examen Final, 2019-B) La solución de una ecuación diferencial ordinaria está dada por:

y( x ) = C1 sen( x ) + C2 cos( x ) + C3 sen(2x ) + C4 cos(2x ) + C5 x sen(2x ) + C6 x cos(2x ) (1)

donde C1 , ..., C6 ∈ R. Determine si las siguientes proposiciones son ciertas y justifique su respuesta:

• La ecuación diferencial ordinaria es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes de
orden 5.
• El polinomio característico (o ecuación auxiliar) asociada a la ecuación diferencial homogénea tiene
al menos una raíz real.
• La ecuación (m2 + 1)(m2 + 4)2 = 0 es el polinomio característico (o ecuación auxiliar) asociada a la
ecuación diferencial respectiva.
• Escriba la ecuación diferencial que tiene como solución la ecuación (1).

12. (Prueba 2, 2019-A) Considere la siguiente ecuación diferencial:

t2 x 00 (t) − 3tx 0 (t) + 13x (t) = 0, t>0

El cambio de variable t = es transforma dicha ecuación en una ecuación con coeficientes constantes.

a) Muestre que dicho cambio de variable implica que:

i) tx 0 (t) = ẋ (s) ii) t2 x 00 (t) = ẍ (s) − ẋ (s)

dx (s)
donde el punto denota la derivada con respecto a la variable s, es decir: ẋ (s) = . Hint: Utilice
ds
0 00
la regla de la cadena en x (t) y x (t) para relacionar estas derivadas con las derivadas con respecto
a s. Además recuerde que si x = x (t) y si t = t(s):
   
d dx (t) d dx (t) ds
=
dt dt ds dt dt
b) Realice la sustitución dada por los literales i) y ii) y resuelva la ecuación diferencial. (No olvide
mostrar que las soluciones a partir de las cuales forma su soluciónón son L.I.)
c) Encuentre una solución particular para las condiciones: x (s = 0) = 0 y x 0 (s = 0) = 3.
IMPORTANTE: Describa el procedimiento de forma clara y concisa, utilizando el menor número
de palabras posible.

13. (Examen Final, 2019-B) El cambio de variable x = ez , transforma a la ecuación diferencial:

d3 y ( x ) 2
2 d y( x ) dy( x )
x3 + 3x − 2x + 2y( x ) = 0, x>0 (2)
dx3 dx2 dx
en:
( D3 − 3D + 2)y(z) = 0,
dk
donde D k = . Determine la solución de la ecuación diferencial (2).
dzk

Cátedra EDO 2020-A Página 2 de 7

 D EBER
I NDEPENDENCIA L INEAL Y T EOREMA DE R EDUCCIÓN DE O RDEN

14. 1. Encuentre la solución al problema de valor inicial:

(
y00 ( x ) − y( x ) = 0
y(0) = 0, y0 (0) = 1,

si la solución general de la ecuación diferencial está dada por: y ( x ) = c1 e x + c2 e − x , c1 , c2 ∈ R, para

todo x ∈ R.

15. 4. Encuentre la solución al problema de valor inicial:

(
y (3) ( x ) + y 0 ( x ) = 0
y(π ) = 0, y0 (π ) = 2, y”(π ) = −1

si la solución general de la ecuación diferencial está dada por: y( x ) = c1 + c2 cos ( x ) + c3 sen ( x ),

c1 , c2 , c3 ∈ R, para todo x ∈ R.

16. Determine si el conjunto de funciones que se presentan a continuación es linealmente independiente en

el intervalo ] − ∞, ∞[, adicionalmente esboce dichas funciones.

15. f 1 ( x ) = x, f 2 ( x ) = x2 , f 3 ( x ) = 4x − 3x2 . 16. f 1 ( x ) = 0, f 2 ( x ) = x, f3 (x) = ex .

17. f 1 ( x ) = 5, f 2 ( x ) = cos2 ( x ), f 3 ( x ) = sen2 ( x ). 18. f 1 ( x ) = cos (2x ), f 2 ( x ) = 1, f 3 ( x ) = cos2 ( x ).

17. Compruebe que las funciones dadas a continuación forman un conjunto fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial respectiva en el intervalo I y de serlo, forme su solución general.

26. 4y00 ( x ) − 4y0 ( x ) + y( x ) = 0, 27. x2 y00 ( x ) − 6xy0 ( x ) + 12y( x ) = 0,

y1 ( x ) = e x/2 , y2 ( x ) = xe x/2 , I =] − ∞, ∞[. y1 ( x ) = x3 , y2 ( x ) = x4 , I =]0, ∞[.

28. x2 y00 ( x ) + xy0 ( x ) + y( x ) = 0, 30. y(4) ( x ) + y(2) ( x ) = 0,

y1 ( x ) = cos (ln ( x )), y2 ( x ) = sen (ln ( x )), y1 ( x ) = 1, y2 ( x ) = x, y3 ( x ) = cos ( x ),
I =]0, ∞[. y4 ( x ) = sen ( x ), I =] − ∞, ∞[.

18. En los siguientes problemas, la función indicada y1 ( x ) es una solución de la ecuación diferencial dada.
Use el teorema de reducción de orden, para encontrar una segunda solución y2 ( x ).

6. y”( x ) − 25y( x ) = 0, y1 ( x ) = e5x , x ∈ R.

9. x2 y00 ( x ) − 7xy0 ( x ) + 16y( x ) = 0, y1 ( x ) = x 4 , x ∈]0, ∞[.
15. (1 − 2x − x2 )y”( x ) + 2(1 + x )y0 ( x ) − 2y( x ) = 0, y1 ( x ) = x + 1, x ∈]1, +∞[.

E CUACIONES H OMOGÉNEAS CON C OEFICIENTES C ONSTANTES

19. Determine la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

4. y00 ( x ) − 3y0 ( x ) + 2y( x ) = 0. 7. 12y00 ( x ) − 5y0 ( x ) − 2y( x ) = 0.

6. y00 ( x ) − 10y0 ( x ) + 25y( x ) = 0. 11. y”( x ) − 4y0 ( x ) + 5y( x ) = 0.

13. 3y00 ( x ) + 2y0 ( x ) + y( x ) = 0. 14. 2y00 ( x ) − 3y0 ( x ) + 4y( x ) = 0.

15. y(3) ( x ) − 4y(2) ( x ) − 5y0 ( x ) = 0. 17. y(3) ( x ) − 5y(2) ( x ) + 3y0 ( x ) + 9y( x ) = 0.

23. y(4) ( x ) + y(3) ( x ) + y(2) ( x ) = 0.

Cátedra EDO 2020-A Página 3 de 7

20. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:

33. 34.
( (
y00 ( x ) + y0 ( x ) + 2y( x ) = 0 y00 ( x ) − 2y0 ( x ) + y( x ) = 0
y(0) = 0, y0 (0) = 0. y(0) = 5, y0 (0) = 10.

21. Resuelva el siguiente problema de valores de frontera:

37. 38.
( (
y00 ( x ) − 10y0 ( x ) + 25y( x ) =0 y00 ( x ) + 4y0 ( x ) = 0
y(0) = 1, y0 (1) = 0. y(0) = 0, y0 (π ) = 0.

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22. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

6. x2 y”( x ) + 5xy0 ( x ) + 3y( x ) = 0, x > 0. 7. x2 y”( x ) − 3xy0 ( x ) − 2y( x ) = 0, x > 0.

8. x2 y”( x ) + 3xy0 ( x ) − 4y( x ) = 0, x > 0. 9. 25x2 y”( x ) + 25xy0 ( x ) + y( x ) = 0, x > 0.

16. x3 y000 ( x ) + xy0 ( x ) − y( x ) = 0, x > 0. 32. x2 y”( x ) + 9xy0 ( x ) + 25y( x ) = 0, x > 0.

23. 37. Encuentre la solución del siguiente problema:

4x2 y”( x ) + y( x ) = 0, y(−1) = 2, y0 (−1) = 4, x ∈] − ∞, 0[.

NOTA: Los ejercicios 1-3 y 13-16 son versiones adaptadas de [1], los ejercicios 4 y 17 de [2], los ejercicios
5-8 y 18-20 de [3] y los ejercicios 9-10, 21 y 22 de [4].

R EFERENCIAS
[1] EJERCICIOS 4.1, Zill, D., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, novena edición (2009), Pg. 128.

[2] EJERCICIOS 4.2, Zill, D., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, novena edición (2009), Pg. 132.

[3] EJERCICIOS 4.3, Zill, D., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, novena edición (2009), Pg. 138.

[4] EJERCICIOS 4.7, Zill, D., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, novena edición (2009), Pg. 168.

material elaborado por:

JUAN ORTIZ
PABLO ESPINOSA
ESTEBAN GUEVARA
EDWIN BONE
TELMO PERUGACHI
JAIRO ROJAS
durante marzo y abril del 2020.

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EJEMPLOS

6. 31. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

(
y00 (t) − 4y0 (t) − 5y(t) = 0
y(1) = 0, y0 (1) = 2.

RESOLUCIÓN:

Como la ecuación diferencial es lineal, homogénea y con coeficientes constantes, podemos suponer
una solución de la forma:
y(t) = emt , para todo t ∈ R, (3)

en donde m ∈ R es una constante que queremos determinar. Para esto, derivamos y(t):

y0 (t) = memt , y00 (t) = m2 emt ,

y reemplazamos estas derivadas en la ecuación diferencial:

m2 emt − 4memt − 5emt = 0,

emt (m2 − 4m − 5) = 0,

de donde como emt 6= 0 para todo t ∈ R y para todo m ∈ R entonces:

m2 − 4m − 5 = 0,

cuyas raíces son:

(m − 5)(m + 1) = 0
m1 = 5 y m2 = −1.

Reemplazando estos valores para m en (3) tenemos las soluciones:

y1 (t) = e5t , y y2 ( t ) = e − t ,

para todo t ∈ R. La solución general de la ecuación diferencial se forma como la combinación lineal
de dos soluciones linealmente independientes. Para verificar si y1 (t) y y2 (t) son L.I., determinamos su
Wroskiano:    
y (t) y (t)  e5t
 1 2 e−t 
W {y1 ( x ), y2 ( x )} =  0 =  = −6e4t ,
 
y1 (t) y20 (t) 5e5t −e−t 

Como W {y1 ( x ), y2 ( x )} 6= 0, entonces y1 (t) y y2 (t) son L.I. y por tanto la solución general está dada por:

y(t) = c1 e5t + c2 e−t , c1 , c2 ∈ R, para todo t ∈ R.

Ahora procedemos a encontrar los valores de las constantes c1 y c2 usando los condiciones de valor
inicial: y(1) = 0, y y0 (1) = 2. Para esto evaluamos la solución que encontramos en el punto (1, 0) y
tenemos:
c1 e5(1) + c2 e−(1) = 0,
c1 e5 + c2 e−1 = 0.

Cátedra EDO 2020-A Página 5 de 7

 Por otro lado, encontramos ahora la primera derivada de la solución

y0 (t) = 5c1 e5t − c2 e−t ,

y la evaluamos en el punto (1,2), de donde tenemos:

5c1 e5(1) − c2 e−(1) = 2,

5c1 e5 − c2 e−1 = 2.
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:
e −5 −e
c1 = , . y c2 =
3 3
Finalmente, reemplazamos los valores de las constantes encontrados, en la solución. La solución al pro-
blema de valor inicial viene dada por:
e−5 5t e −t
y(t) = e − e , para todo t ∈ R.
3 3

10. 38. Encuentre la solución del siguiente problema de valor inicial:

x2 y”( x ) − 4xy0 ( x ) + 6y( x ) = 0, y(−2) = 8, y0 (−2) = 0, x ∈] − ∞, 0[.

RESOLUCIÓN:

Debido a que es una ecuación de Cauchy-Euler podemos tomar el siguiente cambio de variable:

x = et ,

Bajo este cambio de variable, nuestras derivadas con respecto a x se transformarán en derivadas con
respecto a t y expresaremos estas derivadas como:
dy
= ẏ(t).
dt
Para encontrar la relación entre ambas derivadas utilizamos la regla de cadena de la siguiente manera:
dy dy dt 1
y0 ( x ) = = = ẏ(t) t = ẏ(t)e−t
dx dt dx e
por tanto:
xy0 ( x ) = ẏ(t)e−t x = ẏ(t)e−t et

y:
xy0 ( x ) = ẏ(t). (4)

Por otro lado,

d2 y
 
00 d dy d  dy  dt d
1
y (x) = 2 = = = ẏ(t)e−t t ,
dx dx dx dt dx dx dt e
= (ÿ(t)e−t − ẏ(t)e−t )e−t = (ÿ(t) − ẏ(t)) e−2t ,
por tanto:
x2 y00 ( x ) = e2t (ÿ(t) − ẏ(t)) e−2t ,

y:
x2 y00 ( x ) = ÿ(t) − ẏ(t). (5)

Cátedra EDO 2020-A Página 6 de 7

 Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en nuestra ecuación diferencial, esta se transforma en una
EDO homogénea con coeficientes constantes:

ÿ(t) − ẏ(t) − 4ẏ(t) + 6y(t) = 0,

ÿ(t) − 5ẏ(t) + 6y(t) = 0,

Suponemos que la solución tiene la forma :

y(t) = emt ,

la cual derivando y reemplazando en la ecuación diferencial tenemos:

m2 emt − memt − 4memt + 6emt = 0,

emt (m2 − 5m + 6) = 0,

por tanto:
m2 − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0,

m = 2, y m = 3.

Entonces tenemos las soluciones:

y1 (t) = e2t , y2 (t) = e3t ,

y como W {y1 ( x ), y2 ( x )} 6= 0, entonces y1 (t) y y2 (t) son L.I. y por tanto la solución general está dada
por:
y(t) = c1 e2t + c2 e3t , c1 , c2 ∈ R.

Se ha encontrado la solución de la ecuación diferencial en términos de t, ahora se regresa a la variable x

recordando que t = ln ( x ):

y ( x ) = c1 x 2 + c2 x 3 , con c1 , c2 ∈ R, para todo x ∈] − ∞, 0[.

Ahora se procede a encontrar los valores de las constantes implementando las condiciones iniciales en
y ( x ):
c1 (−2)2 + c2 e(−2)3 = 8
4c1 − 8c2 = 8

y en y0 ( x ) = 2c1 x + 3c2 x2 .
2c1 (−2) + 3c2 (−2)2 = 0
−4c1 + 12c2 = 0.
Resolvemos el sistema de ecuaciones:

c1 = 6, y c2 = 2.

Finalmente, la solución de la ecuación diferencial viene dada por:

y( x ) = 6x2 + 2x3 , para todo x ∈] − ∞, 0[.

material elaborado por:

JUAN ORTIZ
PABLO ESPINOSA
ESTEBAN GUEVARA
EDWIN BONE
TELMO PERUGACHI
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durante marzo y abril del 2020.

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