Cdi - U2 - A1 - Edam
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¿Qué es el límite?
En la Evidencia de Aprendizaje de la Unidad 1, se presentó la siguiente función que tenía un
comportamiento peculiar:
5𝑥 − 2
𝑓(𝑥) =
𝑥+9
Cuando la función toma valores grandes se observa que se va acercando al valor 5 como se
observa en la siguiente tabla:
x f(x)
10 2.5263158
100 4.5688073
1000 4.9534192
10000 4.9953042
100000 4.9995300
1000000 4.9999530
10000000 4.9999953
Es decir, si vamos aumentando le valor de x, podemos acercarnos tanto a 5 como se quiera,
pero sin tocarlo. En este caso, x se está acercando al infinito y mientras más grande sea, la
diferencia de f(x) y el valor 5 se va reduciendo más. Por ejemplo, si queremos que la diferencia
de f(x) y 5 sea menor a 0.000001, basta con ir aumentando el valor de x hasta el valor
100000000.
En este caso podemos decir que el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es 5.
¿Qué entendemos por límite en el caso de funciones?
Uno de los principales textos que se utilizan para enseñar Cálculo en la Facultad de Ciencias
de la UNAM es el del autor Michael Spivak (2012), en él aparece la definición de límite:
“Definición
La función f tiende hacia el límite l en a significa que: para todo > 0 existe algún > 0 tal
que, para todo x, si 0 < |x — a| < , entonces | f(x) — l | < “.
Spivak hace hincapié en que dicha definición es una de las más importantes del cálculo y hace
la recomendación de memorizarla como un poema.
Con base en lo anterior, para demostrar que una función g(x) tiene su límite en el valor h,
bastará con verificar que existe ese .
En el mismo libro (Spivak, 2012), las propiedades del límite se establecen como teoremas que
se desprenden de la definición antes descrita. A continuación, se mencionan dichos teoremas:
“Una función no puede tender hacia dos límites diferentes en a. En otras palabras, si f tiende a l
en a, y si f tiende a m en a, entonces l = m.” (Si existe el límite, éste es único)
1. lim (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑙 + 𝑚
→
2. lim (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑙 ∙ 𝑚
→
Además, si 𝑚 ≠ 0 , entonces
3. lim ( )(𝑥) = “
→
Continuidad y discontinuidad
La continuidad está asociada a la definición de límite. Para que pueda decir que una función f
sea continua en a, se debe cumplir que: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) (Spivak, 2012)
→
Conclusiones
Como bien lo menciona Spivak, el concepto de límite es uno de los más importantes del
Cálculo y ed él se desprenden conceptos como la continuidad.
Referencias
Spivak, M. (2012). Calculos. Barcelona, España: Reverté.