TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

De 45° y 45° De 30° y 60°

En todo triángulo, el segmento que tiene por extremos los

45° a 60°
puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y su 2a
a a
longitud es la mitad de la longitud de dicho tercer lado.
45° 30°
B a a
En el ABC:
M: Punto medio de AB De 15° y 75°
N: Punto medio de BC
M N B
Luego: MN // AC
MN: Base media a
a BH : altura
AC a
A C MN  BH =
2 75° 15°
A C
4a

Propiedad: B

1. En un triángulo isósceles ABC (AC = BC), se unen los 120°

a a
puntos medios P y Q AB de y BC
respectivamente. Si AC = 20 m, hallar BQ. 30° 30°
A C
b
2. En la figura hallar la relación entre EP y AQ , si
En el triángulo ABC, se cumple: b=a 3
ABCD es un rectángulo.

B C

E
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APROXIMADOS
P
A D

De 37° y 53° De 14° y 76°

Q 53° 76°
a
5a
3a a
3. En un triángulo ABC se traza AM (M punto 37° 14°
medio de BC) y BD (D en AC ). BD corta a 4a 4a

AM en P que resulta ser el punto medio de

este último. Si PD = 7 cm, hallar PB.
53 127
De y De 8° y 82°
2 2

a 127°/2 5a 82°
a a
53°/2 8°
2a 7a
 37 143 EJES COORDENADOS
De y De 16° y 74°
2 2 xx' : es el eje de las abscisas o eje de las x.
yy' : es el eje de las ordenadas o eje de las y.
“o” : es el origen de coordenadas.
a 143°/2 25a 74°
a 7a
SEMIEJES
37°/2 16°
3a 24a ox : es el semieje (+) de las abscisas.
ox': es el semieje (-) de las abscisas.
oy : es el semieje (+) de las ordenadas.
oy' : es el semieje (-) de las ordenadas.

CUADRANTES
xoy : es el I cuadrante. x'oy: es el III cuadrante.
1. Se tienen tres segmentos de recta AB , AC y
yox': es el II cuadrante. y'ox: es el IV cuadrante.
AD de modo que mBAC=30°, mCAD=45°, DC
 AC , CB  AB , AC=2. Hallar la distancia de D ABSCISA Y ORDENADA DE UN PUNTO:
Un punto “P” cualquiera del sistema cartesiano está
a AB .
determinado por dos números, que miden en magnitud y
signo su distancia a cada uno de los ejes.
2. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la
y
hipotenusa divide a ésta en dos segmentos tales que
uno es el triple del otro. Hallar la medida del menor a
B P
ángulo del triángulo rectángulo.
b b
3. En un cuadrilátero cóncavo APCO, mP=90°,
mA=30°,O es cóncavo y PC=PA=AO. Hallar la x' o x
a A
mC.

y'

DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS

COORDENADAS:
Todo punto del Sistema Cartesiano estará siempre
determinado por sus coordenadas (abscisa y ordenada).
SISTEMA CARTESIANO:
Es la reunión de dos rectas dirigidas perpendiculares, una
Ejemplo 1:
horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto (“O”)
Determinar o trazar los siguientes puntos: A(3,4); B(-5,3);
sobre un plano.
y C(6,0) y
Por convención, éste sistema posee las siguientes
Resolución:
características o propiedades. A(3,4)
Y 4
B(–5,3) 3
(+)
II Cuadrante I Cuadrante C(6,0)
(- , +) (+ , +)
x' o x
–5 3
(-) (+)
o X

III Cuadrante IV Cuadrante y'

(- , -) (+ , -)
Ejemplo 2:
(-) y
Determinar o trazar los siguientes puntos: D(-4,–3) ; B(5,-4)
y F(-7,0)
Y' F(–7,0) 5
Resolución:
x' o x
–7 –4
D(–4,–3) –3
–4 E(5,–4)
-2-

y'
 3. Calcular la distancia entre los puntos medios de los
segmentos AB y CD si: A(2; –6), B(4; 0), C(1; 1),
D(5; 3).

4. Indicar el área del triángulo isósceles cuyos vértices

son: A(–2; –2), B(1; 5), C(b; –2) además: AB = BC.

EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si el punto “A” es (x1;y1) y el punto “B” es (x 2;y2); las
coordenadas (x;y) del punto medio “M” del segmento lineal
AB puede encontrarse usando éstas formulas:

i) x x ii) 1. El perímetro de un triángulo equilátero es 24, se unen

x 1 2 y  y2
2 y 1 los puntos medios de los lados de dicho triángulo.
2 Calcular la longitud del segmento que une los puntos
y
medios de dos lados de este último triángulo.
d B(x2;y2)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
d x  x 2 y1  y 2
M 1 ;
2 2 2. En un triángulo ABC se unen los puntos medios
A(x1;y1) M y N de AB y BC respectivamente. Si MN = 10,
o x calcular AC + MN.
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
La distancia d entre dos puntos P1(x1;y1) y P2(x2;y2); puede 3. M y N son los puntos medios de los lados AB y
encontrarse usando la fórmula: BC de un triángulo ABC. Si MN + AC = 12, hallar
AC.
d  x2  x1 2   y 2  y1 2 A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

4. En la figura, hallar PQ.

Y B P C
P2(x2;y2) A) 6
Y2 B) 8
12 Q
d y2 – y1 C) 10
y2 P1(x1;y1) D) 15
y1 Q
A D
16 E) 20
y1 x2 – x1
o x1 x2 X 5. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8. Se traza CP
x1
perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo B.
x2
Siendo M punto medio de AC , hallar PM.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

6. En un ABC, AB = 12 y AC = 20. Se traza BE ,

1. Dado los puntos A(–4; 13); B(–4; –2) y C(4; –2) perpendicular a la bisectriz del A. (E, sobre dicha
forman un triángulo al unir los puntos. Calcular su bisectriz). Hallar la distancia de E, al punto medio M,
perímetro.
de BC .
A) 3 B) 8 C) 4 D) 5 E) 6
2. Tres personas deben encontrarse en un punto P; las
posiciones iniciales de los mismos son (0; 5), (12; 0), y
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, mC=37,
el origen; los dos primeros llegan a P simplemente si
hallar BC si AB=6.
caminan paralelamente a los ejes x e y
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
respectivamente; indicar el espacio que debe recorrer
el tercero para llegar a P.

-3-
8. El ángulo A de un triángulo ABC mide 30 y el ángulo 17. En un rectángulo ABCD sobre BC se toma el punto
C mide 45, calcular BC si AB=2. E de modo que mEAD=53° y mAED=90°. Si
A) 2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3 AD=10, calcular ECBE
A) 14/5 B) 7/5 C) 12/5 D) 9/5 E) 6/5
9. En un triángulo ABC, mA=37, mC=30, si AB=m y
BC=n, hallar m/n. 18. El ángulo N de un triángulo MNP mide 120°,si MN=n,
A) 5/6 B) 3/5 C) 6/5 D) 5/3 E) 2/5 NP=4n y MP= 7 , hallar “n”
A) 1/7 B) 7 /7 C) 1/3 D) 3
10. En un triángulo PQR, mP=30, mR=53, si PQ=n2
/3 E) 7/3
y QR=3n, hallar n.
A) 19/10 B) 10/19 C) 10/9 D) 9/10 E) 5/9
19. El perímetro de un triángulo equilátero ABC es 36. Se

11. En el interior de un cuadrado ABCD se construye el une A con el punto medio M de BC y se traza

triángulo rectángulo AED de hipotenusa AD .Si MD perpendicular a AB , hallar AD.

mEAD=60° y ED=12, calcular el perímetro del A) 3 B) 2 3 C) 4 D) 3 E) 6 3
cuadrado.
A) 8 3 B) 16 3 C) 16 D) 32 20. En un triángulo rectángulo ABC, el ángulo B mide 90

E) 32 y C mide 30. La mediatriz de BC corta en E a

3
AC y a la bisectriz del ángulo ABE en P. Si AC=2
12. En un triángulo ABC , mB = 60°, AB = 8 m y BC =
3 , hallar BP.
15 m. Calcula la longitud de AC . A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8
A) 13 2 m C) 15 m E) 12 m
B) 15 2 m D) 13 m HP
21. En el triángulo mostrado, calcular .
HC
B
13. En un triángulo rectángulo ABC, mC=30, la A) 3 /4
hipotenusa AC mide 2 3 ,la altura BH y la 30° B) 1/4

bisectriz AF se cortan en E. Calcular el perímetro H C) 3 /2

D) 1/2
del triángulo BEF.
E) 3 /3
A) 2 3 B) 2 C) 3 D) 3 3 E) 6 A P C

14. En el gráfico, PQ = 20, AP = 5 y QB = 7. Hallar AD  AE

Q 22. En la figura, AB = 1. Calcular
AB. AC  BC
A) 6 /3
E
A
B) 2 6 /3
B 30°
A D C) 6 /2
45°
P 60° D) 3 6 /2
E) 6
A) 12 B) 10 C) 16 D) 14 E) 18 B C

15. El ángulo B de un triángulo ABD recto en D, mide

23. En un triángulo rectángulo ABC, las bisectrices
37.Sobre BD se toma un punto C tal que interiores de los ángulos agudos A y C se intersecan
mCAD=37, hallar BC si AC=30. en el punto P. Hallar AC si AP=2 y PC=6 2 .
A) 15 B) 17 C) 14 D) 12 E) 16
A) 8 2 B) 12 C) 10 2 D) 10 E) 12 2

16. En un triángulo ABC se traza la altura BM , hallar

24. ¿Cuántos de los siguientes puntos: A(3; 2), B(6; –2),
BCBM si mA=60, AB=MC=4
C(–1; 3), D(–2; 6), E(–7; 3), F(–2; –1), G(–1; 9)
A) 2( 7  3 ) C) 2 3 E) 2 2 pertenecen al segundo cuadrante?
B) 3  2 D) 7  3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

-4-
25. De los siguientes puntos: A(–2; 6), B(0; 3), C(5; 0), E(4; –3); indicar la verdad o falsedad de cada
D(–1; –4), E(0; 0), F(5; 2), G(0; –6) enunciado:
¿Cuántos no pertenecen a ningún cuadrante?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) Todos I. El ABC es isósceles de área 15 u2.
II. El DEC es rectángulo de área 8 u2.
26. Calcular el perímetro del polígono ABCDE si: A(1; –2), III. El DAC es isósceles de área 17 u2.
B(1; 1), C(6; 13), D(10; 10), E(10; –2) IV. El BED es rectángulo de área 32 u2.
A) 42 u B) 41 u C) 40 u D) 43 u E) 44 u A) V V V V C) V V F F E) F F F F
B) V F V F D) F V V F
27. Dado el plano cartesiano:
33. Estoy en el punto (–5; –2), avanzo a la derecha 8
A(3; 2)
unidades (paralelo a x); luego avanzo 4 unidades
D(–6; –1) hacia arriba (paralelo a y); después avanzo a la
B(4; –1)
C(–2; 1) E(1; 1)
derecha 7 unidades (paralelo a x) y finalmente 4
unidades hacia arriba. ¿En qué punto me encuentro
H(–5; –3) F(–1; –4) ahora?
G(–4; 3) A) (4; 8) C) (6; 9) E) (7; 4)
J(–3; 9)
B) (10; 6) D) (6; 10)

34. Del problema anterior, indicar la distancia del punto

Indicar los puntos que no pertenecen al cuadrante en actual al punto inicial.
el que están ubicados. A) 23 B) 40 C) 23 D) 12 E) 17
A) B; D; J; F; G C) D; J; G; H E) Todos
B) B; E; C D) Ninguno 35. Hallar la distancia del punto medio del segmento
AB , donde: A = (9; 8) y B = (3; 12) al punto (1; –2)
28. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo
A) 13 u C) 11 u E) 170 u
isósceles de base AC (AB = BC) se ubican los
B) 12 u D) 160 u
puntos medios P, Q y R respectivamente. Entonces el
triángulo PQR es:
A) Acutángulo C) Obtusángulo E) Isósceles 36. La distancia entre los puntos (2,1) y (5,4) es k 6 .

B) Rectángulo D) Equilátero Hallar k.

A) 2 B) 3 2 C) 3 D) 2 3 E) 6
29. Se da el segmento AB donde A(7; 1) y B(5; 3);
indicar la suma de distancias del punto medio de dicho 37. Se dan los puntos A; B; C; D cuyas coordenadas son
segmento a los ejes coordenados. respectivamente (0; 0), (2; –4), (3; 8), (11; 4). Calcular
A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 12 la distancia del centro del segmento AB al punto
medio del segmento CD .
30. Dados los puntos A(1; 1), B(1; 4), C(5; 4), indicar la
A) 10 u B) 12 u C) 15 u D) 20 u E) 24 u
verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
I. D( AB ) + D( BC ) = D( AC )
38. En un triángulo ABC sobre BC y AC se toman
II. D( AC ) = 3D( AB ) – D( BC )
los puntos D y E respectivamente, de manera que BD
III. D2( AC ) = D2( AB ) + D2( BC ) = DC y mBAC = mDEA. Hallar DE, si AB = 18.
IV. D( AC ) + D( AB ) = 2D( BC ) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
A) V V V F C) F V V F E) F V V V
B) F F V V D) F F V F 39. Dado el DEC, DE = DC; sobre DC se toma el
punto A y en la prolongación de CE , se ubica B.
31. Calcule el área de un cuadrado cuyo centro es el
origen y dos de sus vértices son: (2; 0) y (0; –2) DE  AB : {N} Si N, biseca AB ; DN = 10 y AD
A) 8 u2 C) 16 u2 E) 25 u2 = 7, hallar AC.
B) 9 u 2
D) 4 u 2 A) 8 B) 9 C) 7,5 D) 6 E) 8,5

32. Se dan los puntos pertenecientes a un plano 40. El perímetro de un triángulo ABC es 20 cm. Por el
cartesiano: A(–1; 2), B(4; 5), C(4; –1), D(–4; –3), vértice B se trazan las perpendiculares BM y BN a

-5-
las bisectrices exteriores de los ángulos A y C.
Calcular MN.
A) 5 cm C) 15 cm E) 25 cm
B) 10 cm D) 20 cm

-6-