Hallar La Solución General de Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
17_
y −x+1
y'=
y−x−6

Solución :
ⅆ y y−x+ 1
y'= =
ⅆ x y−x −6

u= y−x
u' = y ' −1 ⇒ y ' =u ' +1
Remplazando:
u+1 u+1
u' +1= ⇒ u' = −1
u−6 u−6

u+1−1∗(u−6) u+1−1∗(u−6)
u' = ⇒ u'=
u−6 u−6

7
u' = ⇒ ( u−6 ) u' =7
u−6
ⅆu
( u−6 ) =7
ⅆx
( u−6 ) ⅆ u=7 ⅆ x ⇒ ∫ ( u−6 ) ⅆ u=∫ 7 ⅆ x

u2 2
−6 u=7 x +C ⇒ u −12u=14 x +C u2−12 u−14 x=C
2
C=( y−x)2−12 ( y−x )−14 xC=( y−x)2−12 y +12 x−14 x
Por lo tanto :
C=( y−x)2−12 y−2 x
18_
x + y +2
y'=
x+ y−4

Solución :
ⅆ y x+ y+ 2
y'= =
ⅆ x x + y−4

u= y+ x
u' = y ' +1 ⇒ y ' =u' −1
Remplazando:
u+2 u+2
u' −1= ⇒u ' = +1
u−4 u−4

u+2+1∗(u−4) ' 2 u−2
u' = u= ⇒ ( u−4 ) u' =2(1 u−1)
u−4 u−4
(u−4 ) ⅆ u
=2
(1 u−1) ⅆ x
(u−4 ) (u−4 )
∗ⅆ u=2 ⅆ x ⇒ ∫ ∗ⅆ u=∫ 2 ⅆ x
(1 u−1) (1 u−1)

−3∗ln (−u+1 ) +u=2 x +C ⇒−3∗ln (−u+1 ) +u=2 x +C C=−3∗ln (−u+ 1 )+u -2 x
C=−3∗ln (−( y + x)+1 ) + y + x -2 x

C=−3∗ln (−( y + x ) +1 ) + y−x
La solución general es:
y=+ 3∗ln∨(−( y + x ) +1 )∨− y+ x+C

19_
( x 2 +2 xy ) y ' =(−3 x 2− y 2 −2 xy )
Tenemos la ecuación:

+3 x 2+ 2 xy + ( x 2 +2 xy ) y ' + y 2=0

Sustituimos
y
u(x )=
x
y porque
y (x )=xu

entonces
y ' =x u ' +u

sustituimos
+3 x 2+ 2 xxu+ ( x2 +2 xxu ) (x u' +u)+( xu)2=0

+3 x 2+ 2 x 2 u+ ( x 2+2 x 2 u ) ( x u' + u ) + x 2∗u2=0

+3 x 2+ 2 x 2 u+ x2∗x u' +2 x2 u∗x u' + x 2∗u+ 2 x 2 u∗u+ x 2∗u 2=0
+3 x 2+ 2 x 2 u+ x2∗x u' +2 x2 u∗x u' + x2∗u+2 x2 u2 + x 2∗u2=0

+3 x 2+ 3 x 2 u+ x 3 u' +2 x3 u∗u' +3 x 2 u 2=0
+2 x 3 u∗u' + x3 u' +4 x 2 u2 +4 x 2 u=0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
f 1( x )=1
g 1(u)=1
−1
f 2( x )=
x
3u 2+ 3u+ 3
g 2(u)=
2u+ 1
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
3u 2+3 u+ 3
2u+ 1
obtendremos
(2 u+1) u' −1
=
3(u2 +u+1) x

Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
ⅆ x (2 u+1)u' −1∗ⅆ x
=
3 (u2+ u+1) x

o
ⅆu
ⅆ x (2 u+1)
ⅆ x −1∗ⅆ x
=
2
3(u + u+1) x
(2 u+1) ⅆ u −1∗ⅆ x
=
3(u2 +u+1) x

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.

(2 u+1)ⅆ u
∫ 3(u 2+u+1) =−∫ 1∗ⅆx x

Tomemos estas integrales

❑
ln |u2 +u+1| ❑
=c −ln |x|
3

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnita u.

La solución:

c1
u1=u=
−
√ x3
2
−3
−
1
2
c1
u1=u=
+
√ x3
2
−3
−
1
2

hacemos cambio inverso
y (x)=x u(x)
c1
y 1= y =x∗ (√ −
x3
2
−3
−
1
2
)

c1

y 2= y =x∗ (√
+
x3
2
−3
−
1
2
)

3
−1∗x √ x∗( c1−3 x )
y (x)= −
2 2x

3
−1∗x √ x∗(c 1−3 x )
y (x)= +
2 2x

20_

( x 2 +2 xy ) y ' =(−2 y 2−3 xy )

+3 x∗y + ( x 2 +2 xy ) y ' +2 y 2=0

Sustituimos
y
u(x )=
x
y porque
y (x )=xu

entonces
y ' =x u ' +u

sustituimos
+3 x ( xu)+ ( x 2+2 xxu ) ( x u' +u)+ 2( xu)2=0

+3 x 2 u+2 x 2 u+ ( x2 +2 x 2 u ) ( x u ' +u ) +2 x 2∗u 2=0

+3 x 2 u+ x 2∗x u' +2 x 2 u∗x u' + x 2∗u+ 2 x 2 u∗u+2 x 2∗u2=0
+3 x 2 u+ x 2∗x u' +2 x 2 u∗x u' + x 2∗u+2 x 2 u2+ 2 x 2∗u 2=0

+2

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
f 1( x )=1
g 1(u)=1
−1
f 2( x )=
x
4 ( u+1 )∗u
g 2(u)=
2u+1
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
4 ( u+1 )∗u
2 u+1
obtendremos
(2 u+1)u' −1
=
4 ( u+1 )∗u x

Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
ⅆ x (2 u+1)u' −1∗ⅆ x
=
4 ( u+1 )∗u x

o
ⅆu
ⅆ x (2 u+1)
ⅆ x −1∗ⅆ x
=
4 ( u+1 )∗u x

(2u+1)ⅆ u −1∗ⅆ x
¿=
4 ( u+1 )∗u ¿ x

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.

(2 u+1) ⅆ u
∫ 4 ( u+1 )∗u =−∫ 1∗ⅆx x

Tomemos estas integrales

❑
ln |u2 +u| ❑
=c−ln |x|
4

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnita u.

La solución:

−1 1
u1=u= −
2 2
c1
u1=u=
+
√ x4
2
+1
−
1
2

hacemos cambio inverso
y (x)=x u(x)
c1
y 1= y =x∗ (√
−
x4
2
+1
−
1
2
)

c1

y 2= y =x∗ (√
+
x4
2
+1
−
1
2
)

4
−1∗x √ x∗( c1 + x )
y (x)= −
2 2x

4
−1∗x √ x∗(c 1+ x )
y (x)= +
2 2x

Hallar La Solución General de Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Hallar La Solución General de Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Hallar La Solución General de Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales

C=( y−x)2−12 ( y−x )−14 xC=( y−x)2−12 y +12 x−14 x

+3 x 2+ 2 x 2 u+ x2∗x u' +2 x2 u∗x u' + x2∗u+2 x2 u2 + x 2∗u2=0

+2 x 3 u∗u' + x3 u' +4 x 2 u2 +4 x 2 u=0

+3 x 2 u+ x 2∗x u' +2 x 2 u∗x u' + x 2∗u+2 x 2 u2+ 2 x 2∗u 2=0

También podría gustarte