Introducción

Los temas planteados en el presente trabajo, son materia de estudio de las matemáticas
financieras las cuales son fundamentales para tomar la mejor decisión, cuando se invierte
dinero en proyectos o en inversiones, por eso es conveniente que el lector defina y explique
los conceptos básicos sobre proyectos y las diferentes inversiones que se pueden llevar a
cabo en la vida cotidiana y empresarial. También, es importante, que se conozca la
importancia del concepto del valor del dinero a través del tiempo, como elemento
fundamental de las matemáticas financieras, así como del principio de equivalencia y el
principio de visión económica, que se aplican en el diagrama económico, para efecto de
trasladar los flujos de caja al presente o al futuro.

En el presente trabajo, veremos conceptos básicos de interés simple y compuesto, además

del valor actual, Asimismo se plantearán casos prácticos y ejemplos para su mejor
entendimiento.

INTERES

Cuando una persona utiliza un bien que no es de su propiedad; generalmente deba pagar un
dinero por el uso de ese bien; por ejemplo, se paga un alquiler al habitar un apartamento o
vivienda que no es de nuestra propiedad. De la misma manera cuando se pide prestado
dinero se paga una renta por la utilización de eses dinero, En este caso la renta recibe el
nombre de interés o intereses.

En otras palabras se podría definir el interés, como la renta o los réditos que hay que pagar
por el uso del dinero prestado. También se puede decir que el interés es el rendimiento que
se tiene al invertir en forma productiva el dinero, el interés tiene como símbolo I. En
concreto, el interés se puede mirar desde dos puntos de vista.

 Como costo de capital: cuando se refiere al interés que se paga por el uso del dinero
prestado.
 Como rentabilidad o tasa de retorno: cuando se refiere al interés obtenido en una
inversión.
Usualmente el interés se mide por el incremento entre la suma original invertida o tomada
en préstamo (C) y el monto o valor final acumulado o pagado.

De lo anterior se desprende que si hacemos un préstamo o una inversión de un capital de C,

después de un tiempo n se tendría una cantidad acumulada de F, entonces se puede
representar el interés pagado u obtenido, mediante la expresión siguiente:

I = F – C (1.1)

Pero también: I= Pin (1.2)

Ejemplo 1.1

Se depositan en una institución financiera la suma de S/ 1.200.000 al cabo de 8 meses se

tiene un acumulado de S/ 200.000, calcular el valor de los intereses.

I = F - C = 1.400.000 - 1.200.000 = S/ 200.000

La variación del dinero en S/ 200.000 en los 8 meses, se llama valor del dinero en el tiempo
y su medida, son los intereses producidos.

Analizando la anterior fórmula, se establece que el interés es una función directa de tres
variables: El capital inicial (C), la tasa de interés (i) y el tiempo (n). Entre mayor sea alguno
de los tres, mayor serán los intereses.

1.10 TASA DE INTERES

La tasa de interés mide el valor de los intereses en porcentaje para un período de tiempo
determinado. Es el valor que se fija en la unidad de tiempo a cada cien unidades monetarias
(S/100) que se invierten o se toman en calidad de préstamo, por ejemplo, se dice.: 25%
anual, 15% semestral, 9 % trimestral, 3% mensual.

Cuando se fija el 25% anual, significa que por cada cien pesos que se inviertan o se prestan
se generaran de intereses S/ 25 cada año, si tasa de interés es 15% semestral, entones por
cada cien pesos se recibirán o se pagaran S/ 15 cada seis meses, si la tasa es 9% trimestral
se recibirán o se pagaran S/ 9 de manera trimestral, y si la tasa es del 3% mensual, se
recibirán o se pagaran S/ 3 cada mes.

La tasa de interés puede depender de la oferta monetaria, las necesidades, la inflación, las
políticas del gobierno, etc. Es un indicador muy importante en la economía de un país,
porque le coloca valor al dinero en el tiempo.

Matemáticamente la tasa de interés, se puede expresar como la relación que se da entre lo

que se recibe de interés (I) y la cantidad invertida o prestada, de la ecuación (1.1), se
obtiene:

I
i= (1.3)
C

La tasa de interés siempre se presenta en forma porcentual, así: 3% mensual, 15%

semestral, 25% anual, pero cuando se usa en cualquier ecuación matemática se hace
necesario convertirla en número decimal, por ejemplo: 0,03, 0,15 y 0,25

La unidad de tiempo generalmente usada para expresar las tasas de interés es el año. Sin
embargo, las tasas de interés se expresan también en unidades de tiempo menores de un
año. Si a la tasa de interés, no se le especifica la unidad de tiempo, se supone que se trata de
una tasa anual.

Ejemplo 1.2

Una entidad le presta a una persona la suma de S/ 2,000,000 y al cabo de un mes paga S/
2,050,000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés pagada.

I =F−P=2,050,000−2,000,000

I 50,000
i= = =0.025m=25 % m
P 2,000,000

1.11 EQUIVALENCIA.

El concepto de equivalencia juega un papel importante en las matemáticas financieras, ya

que en la totalidad de los problemas financieros, lo que se busca es la equivalencia
financiera o equilibrio los ingresos y egresos, cuando éstos se dan en períodos diferentes de
tiempo. El problema fundamental, se traduce en la realización de comparaciones
significativas y valederas entre varias alternativas de inversión, con recursos económicos
diferentes distribuidos en distintos períodos, y es necesario reducirlas a una misma
ubicación en el tiempo, lo cual sólo se puede realizar correctamente con el buen uso del
concepto de equivalencia, proveniente del valor del dinero en el tiempo.

El proceso de reducción a una misma ubicación en el tiempo, se denomina transformación

del dinero en el tiempo. Además, la conjugación del valor de dinero en el tiempo y la tasa
de interés permite desarrollar el concepto de equivalencia, el cual, significa que diferentes
sumas de dinero en tiempos diferentes pueden tener igual valor económico, es decir, el
mismo valor adquisitivo.

Ejemplo 1.3

Si la tasa de interés es del 15%, S/ 1,000 hoy es equivalente a S/ 1,150 dentro de un año, o a
S/ 869.56 un año antes (1000/1.15).

El concepto de equivalencia, también se puede definir, como el proceso mediante el cual

los dineros ubicados en diferentes periodos se trasladan a una fecha o periodo común para
poder compararlos.

2.2 DEFINICION DEL INTERES SIMPLE

2.1 Elementos del Interés Simple

C: Capital o Principal o Valor Presente o Valor Actual.

n: Plazo pactado para la inversión en días, meses, trimestres etc.
i: Tasa de Interés expresada en % y está referida a un periodo de tiempo que puede
ser diario, mensual, trimestral etc.
I: Interés o ganancia producida por un capital durante un periodo de tiempo.
 S: Monto o Valor Futuro o Valor Nominal. Se obtiene al sumar los intereses al
capital.

DEFINICION

Es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o
invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la
misma, es decir, no hay capitalización de los intereses.

La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder
adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente
a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o
inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende
de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la
inversión, el interés simple varía en forma proporcional al capital (P) y al tiempo (n). El
interés simple, se puede calcular con la siguiente relación:

I = P*i*n (2.1)

En concreto, de la expresión se deduce que el interés depende de tres elementos básicos: El

capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n).

En la ecuación (2.1) se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:

a) La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin
el símbolo de porcentaje.
b) La tasa de interés y el tiempo se deben expresar en las mismas unidades de tiempo.
Si la unidad de tiempo de la tasa de interés no coincide con la unidad de tiempo del
plazo, entonces la tasa de interés, o el plazo, tiene que ser convertido para que su
unidad de tiempo coincida con la del otro. Por ejemplo, si en un problema
específico el tiempo se expresa en trimestres, la tasa de interés deberá usarse en
forma trimestral. Recuerde que si en la tasa de interés no se específica la unidad de
tiempo, entonces se trata de una tasa de interés anual.
https://www.uv.mx/personal/cbustamante/files/2011/06/MATEMATICAS_FINANCIERA
S.pdf

http://files.uladech.edu.pe/docente/32787592/Matematica%20Financiera%20I%20-
%20RD/Sesion%2008/Material%20N%C2%BA%20%2008.pdf

http://repositorio.ulima.edu.pe/bitstream/handle/ulima/5910/Matematica%20financiera.pdf?
sequence=1&isAllowed=y

http://www.utntyh.com/wp-content/uploads/2011/09/Apunte-Unidad-2-Interes-Simmple-y-
Compuesto.pdf

https://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1406/interes-simple.pdf

https://www.euston96.com/interes-compuesto/#:~:text=Algunas%2C%20aunque%20pocas
%20desventajas%20son,dinero%20las%20deudas%20pueden%20aumentar.

https://despiertatudinero.com/el-interes-compuesto-la-octava-maravilla-del-mundo/

Ejemplo 2.1

Si se depositan en una cuenta de ahorros S/ 5,000,000 y la corporación paga el 3%

mensual. ¿Cuál es el pago mensual por interés?

C = S/ 5.000.000

n = 1 mes

i = 3% / mes

I = C * i * n; I = 5.000.000 * 1 * 0.03 = $ 150.000/ mes

I =C∗i∗n; I =5,000,000∗1∗0.03=150,000 mes

El depositante recibirá cada mes S/ 150,000 por interés.

2 características del Interés Simple

a) Los intereses no se capitalizan

b) Los intereses son directamente proporcionales al plazo, al capital invertido y a la
tasa de interés.
c) La tasa de interés simple se puede dividir o multiplicar por algún factor numérico
para cambiarle el periodo de tiempo, con la finalidad que la tasa de interés y el
plazo estén siempre expresados en la misma unidad de tiempo.

Por ejemplo, si deseamos convertir una tasa de interés simple anual del 12% a una
tasa simple mensual la dividiremos entre 12, que es el número de meses que tiene
un año.

i(anual )
i ( mensual )= =1%
12

Y si queremos convertir una tasa de interés simple mensual del 1% a una tasa
simple trimestral la multiplicaremos por 3, que es el número de meses que tiene un
trimestre.
i ( trimestral )=i ( mensual )∗3=3 %

Clases de intereses Simple

El interés se llama ordinario cuando se usa para su cálculo 360 días al año, mientras
que será exacto si se emplean 365 o 366 días. En realidad, se puede afirmar que
existen cuatro clases de interés simple, dependiendo si para el cálculo se usen 30
días al mes, o los días que señale el calendario. Con el siguiente ejemplo, se da
claridad a lo expuesto con anterioridad.

Ejemplo 2.2
Una persona recibe un préstamo por la suma de $ 200.000 para el mes de marzo, se
cobra una tasa de interés de 20% anual simple. Calcular el interés (I), para cada una
de las clases de interés simple.

Solución:
a) Interés ordinario con tiempo exacto. En este caso se supone un año de 360 días y
se toman los días que realmente tiene el mes según el calendario. Este interés, se
conoce con el nombre de interés bancario; es un interés más costoso y el que
más se utiliza.
31
I = pin=200,000 x 0.20 x =3,444.44
360
b) Interés ordinario con tiempo aproximado. En este caso se supone un año de 360
días y 30 días al mes. Se conoce con el nombre de interés comercial, se usa con
frecuencia por facilitarse los cálculos manuales por la posibilidad de hacer
simplificaciones
30
I = pin=200,000 x 0.20 x =3,333.33
360

c) Interés exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 días al año
y mes según calendario. Este interés, se conoce comúnmente con el nombre de
interés racional, exacto o real, mientras que las otras clases de interés producen
un error debido a las aproximaciones; el interés racional arroja un resultado
exacto, lo cual es importante, cuando se hacen cálculos sobre capitales grandes,
porque las diferencias serán significativas cuando se usa otra clase de interés
diferente al racional. Lo importante, es realizar cálculos de intereses que no
perjudiquen al prestamista o al prestatario.
31
I = pin=200,000 x 0.20 x =3,397.26
365
 d) Interés exacto con tiempo aproximado. Para el cálculo de este interés se usa 365
o 366 días al año y 30 días al mes. No se le conoce nombre, existe teóricamente,
no tiene utilización y es el más barato de todos.
30
I = pin=200,000 x 0.20 x =3,287.70
365

ventajas del interés simple

Sus ventajas más relevantes son las siguientes:

Los intereses que se llegan a producir por el capital no se acumulan, lo que permite que no
se produzcan más intereses en el siguiente período.

Cuando se hace una inversión de dinero por un determinado tiempo, reintegra no solo el
capital, sino también los intereses.

Los intereses que proporciona el capital, pueden acumularse para que se permita una
ganancia de mayores intereses en el siguiente período

Desventajas del interés simple

Se puede señalar tres desventajas básicas del interés simple:

a) Su aplicación en el mundo de las finanzas es limitado
b) No tiene o no considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el
valor final no es representativo del valor inicial.
c) No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por
consiguiente, pierden poder adquisitivo
2.5 TABLA DE DIAS

Para realizar los cálculos de manera correcta, es necesario conocer el manejo de la

tabla de días, para determinar en forma exacta los días que transcurren entre una
fecha y otra, lo cual, es importante para el interés bancario y el racional La
construcción de la tabla consiste en asignarle a cada día del año un número en forma
consecutiva; esta asignación va desde el número 1, que corresponde al primero de
enero, hasta el número 365, que corresponde al 31 de diciembre. Cuando el año es
bisiesto, hay que adicionar un día, a partir del primero de marzo, por lo cual, el 31
de diciembre sería el día 366. Para facilitar la identificación de las fechas, se seguirá
el siguiente formato: los primeros dos dígitos indicaran los días, y variaran entre 01
y 31, los dos dígitos siguientes indicaran el mes, y variaran entre 01 y 12, y los
últimos cuatros dígitos indicaran el año. Por ejemplo, el 14 de abril de 2020, se
podrá expresar de la siguiente manera: 14-04-2020. La tabla de días se muestra a
continuación:

DI EN FE MA AB MA JU JU AG SE OC NO
A E B R R Y N L O T T V DIC
1 1 32 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
2 2 33 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
3 3 34 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
4 4 35 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
5 5 36 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
6 6 37 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
7 7 38 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
8 8 39 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
9 9 40 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
10 10 41 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
11 11 42 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
12 12 43 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
13 13 44 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
14 14 45 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
15 15 46 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
 16 16 47 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
17 17 48 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
18 18 49 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
19 19 50 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
20 20 51 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
21 21 52 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
22 22 53 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
23 23 54 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
24 24 55 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
25 25 56 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
26 26 57 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
27 27 58 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
28 28 59 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
29 29 60 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
30 30   90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
31 31   91   152   213 244   305   366

Cálculo de la tasa de interés simple

Partiendo que: S = C(1+ in), multiplicando a ambos lados por el inverso de C y

S
restando uno a ambos lado de la ecuación se obtiene: −1=¿, si luego se
C
multiplica los dos términos de la ecuación por el inverso de n, resulta:

S
i=
( C
−1)

Ejemplo 2.9

Una persona le prestó a un amigo la suma de S/ 2,000,000 y paga después de 8

meses la suma de S/ 2,400,000 ¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron?
Solución
 C = 2,000,000
S = 2,400,000 2,400,000
i=¿ i=
( 2,000,000
−1 )
=0.025 m=2.5 %
8
I = 400,000
n = 8 meses

CALCULO VALOR ACRUAL O CALPITAL

Ejemplo 2.12

Usted invirtió una cierta cantidad de dinero en un Banco que al cabo de 6 meses le
permitió acumular la suma de S/. 2,862.28. La tasa pactada fue un 15% anual de
interés simple. ¿Cuánto invirtió usted?
S
C=
1+ ¿

C = ¿?
S = 2,862.28 2,862.28
C= =2,662.59
0.15
i = 15% anual (0.15)
n = 6 meses
( )
1+ 6 x
12

Cálculo de interés simple

2.6 MONTO O VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE

A la suma del capital inicial, más el interés simple ganado se le llama monto o valor
futuro simple, y se simboliza mediante la letra S. Por consiguiente

S=C+ I Al reemplazar la ecuacion tenemos S=C+ Pin=C(1+¿)

Las ecuaciones formulas anteriores indican que si un capital se presta o invierte

durante un tiempo n, a una tasa de simple i% por unidad de tiempo, entonces el
capital C se transforma en una cantidad S al final del tiempo n. Debido a esto, se
dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. El uso de la ecuación
ultima, requiere que la tasa de interés (i) y el número de períodos (n) se expresen en
la misma unidad de tiempo, es decir; que al plantearse el problema.

Ejemplo 2.6
Hallar el monto de una inversión de S/ 200.000, en 5 años, al 25% EA. Solución
solución.

i = 25% S = ¿?

5 años

200,000

S=C ( 1+ ¿ )=¿ 200,000 ( 1+0.25∗5 )=450,000

2.7 VALOR PRESENTE O ACTUAL A INTERES SIMPLE

Se sabe que:S=C ( 1+ ¿ ), y multiplicando a ambos lados por el inverso de (1 + in), se

tiene que
S
C=
(1+¿)
Ejemplo 2.7
Dentro de dos años y medio se desean acumular la suma de $ 3.500.000 a una tasa
del 2.8% mensual, ¿Cuál es el valor inicial de la inversión? Solución:

i = 2.8% S = 3,500,000
m
n = 30
meses
C = ¿?

3,500,00
C= =1,902,173.91
(1+0.025 x 30)

De acuerdo al cálculo anterior, el valor presente, simbolizado por C, de un monto o

valor futuro S que vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que, invertida
hoy a una tasa de interés dada producirá el monto S. Encontrar el valor presente
equivale a responder la pregunta: ¿Qué capital, invertido hoy a una tasa dada, por un
período determinado, producirá un monto dado? En caso de una obligación el
contexto, es exactamente el mismo, la pregunta sería: ¿Qué capital, prestado hoy a
una tasa dada, por un período determinado, producirá un monto futuro a pagar?

Ejemplo 2.8
Hallar el valor presente de $ 800.000 en 4 años y medio, al 3% mensual.

i = 3% m S = 800,000

n = 54 meses

C = ¿?
 800,00
C= =305,343.51
(1+0.03 x 54)

Cálculo del tiempo

Partiendo que: S =C(1+ in), multiplicando a ambos lados por el inverso de C y

S
restando uno a ambos lado de la ecuación se obtiene: −1=¿ , si luego se
C
multiplica los dos términos de la ecuación por el inverso de i, resulta:

S
n=
( C
−1 )

Ejemplo 2.11

¿En cuánto tiempo se acumularían S/ 8,000,000 si se depositan hoy S/ 2,500,000 en

un fondo que paga al 3% simple mensual?

S = 8,000,000
C = 2,500,000 8,000,000
i = 3% mensual n=
( 2,500,000 )
−1
=73.3 meses
0.03
 n=¿

CASO PRACTICO INTERES SIMPLE

Andrea y Juan quieren comprar un comedor que tiene un costo de S/25,000. En este
momento pueden apartarlo con un adelanto de S/5,000 y pagan el resto con un
documento por pagar a 6 meses aplicando una tasa de interés simple anual de 12%.

Solución

Primero se deben de identificar los datos que el problema te está planteando y

posteriormente se procede a identificar qué es lo que te está pidiendo resolver.

Datos:

Valor inicial S/25,000, pero el problema te está diciendo que van a dar un adelanto
de S/ 5,000 así que el valor inicial de la deuda será de S/ 20,000

entonces C = S/20,000.
El tiempo va ser seis meses, entonces n = 6.
La tasa de interés simple anual es de 12%.

Si recuerdan en la nota al final de las fórmulas se les hizo la observación de que n e

i tiene que ir en la misma unidad de medición. Si el interés esta mensual y el tiempo
anual se tiene que hacer la conversión como es en el caso de este problema.
Nosotros ocupamos que la tasa de interés este mensual ¿Cómo lo podemos hacer?
Dividendo la tasa entre el número de meses que tiene un año 12% / 12 nos da como
resultado 1% mensual y para efectos de este ejercicio requerimos de 6 meses de
intereses que nos cobrará la empresa que nos brinde el crédito por el bien a adquirir.

Se analizan las diversas fórmulas que se explicaron anteriormente y se procede a

elegir la que satisfaga la pregunta. En este caso lo que se busca es el Valor Final del
documento.

C = P (1 + (i*n))

I =C x ( ¿i )

Ya identificada la fórmula, se procede a sustituir los valores con los datos que
anotamos en la primera etapa:
S=20,000 ( 1+ (1 % x 6 ) ) =21,200
De este mismo problema se puede derivar la siguiente pregunta:

¿A cuánto asciende el monto del interés pagado?

Si analizan se pueden percatar que el ejercicio anterior ya estaban incluidos los

intereses a pagar, ahora la pregunta es ¿Cuánto pagaron Andrea y Juan de intereses?
Ahora la incógnita es I, el monto de los intereses volvemos al formulario se puede
ver que la formula I = S – C, será la más útil:

Sustituyendo los valores nos da como resultado:

I = S/21,200 – S/20,000 = S/1,200

Lo cual nos indica que pagaron S/1,200 de intereses por la adquisición del comedor.
Haciendo una breve recapitulación del problema ¿Cuánto fue realmente lo que les
costará tener el comedor? Tenemos que considerar que la pareja ya había dado un
enganche de S/5,000, que le financiaron S/20,000 y el costo de ese financiamiento
(interés) fue de S/1,200, entonces lo que realmente vinieron pagando fue una suma
de los tres elementos S/26,200.

INTERES COMPUESTO

Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada periodo, debido a que los
intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y
sobre este monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalización de los
intereses. En otras palabras se podría definir como la operación financiera en la cual
el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos. La
suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor
futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le
denomina interés compuesto y para su cálculo se puede usar sin ningún problema la
igualdad (2.1) del capítulo anterior.
El interés compuesto es más flexible y real, ya que valora periodo a periodo el
dinero realmente comprometido en la operación financiera y por tal motivo es el
tipo de interés más utilizado en las actividades económicas.
Lo anterior, hace necesario una correcta elaboración del diagrama de tiempo y lo
importante que es ubicar en forma correcta y exacta el dinero en el tiempo.
Por último, es conveniente afirmar que el interés compuesto se utiliza en la
Ingeniería Económica, Matemática Financieras, Evaluación de Proyectos y en
general por todo el sistema financiero colombiano.

Ejemplo 3.1
Una persona invierte hoy la suma de S/ 100,000,000 en un CDT que paga el 7%
cuatrimestral, se solicita mostrar la operación de capitalización durante dos años
 Periodo Capital Inicial (C) Interés Monto (S)
0 100,000,000 100,000,000
1 100,000,000 7,000,000 107,000,000
2 107,000,000 7,490,000 114,490,000
3 114,490,000 8,014,300 122,504,300
4 122,504,300 8,575,301 131,079,601
5 131,079,601 9,175,572 140,255,173
6 140,255,173 9,817,862 150,073,035

En la tabla anterior, se aprecia que los intereses cuatrimestrales se calculan sobre el

monto acumulado en cada periodo y los intereses se suman al nuevo capital para
formar un nuevo capital para el periodo siguiente, es decir, se presenta
capitalización de intereses, con el objeto de conservar el poder adquisitivo del
dinero a través del tiempo.

Para el cálculo del interés se uso la fórmula: I = Pin, mientras que para el monto se
utilizó: S = C + I; ecuaciones que fueron definidas con anterioridad

2.2 Características del Interés Compuesto

a. Los intereses se integran o adicionan sucesivamente al capital invertido inmediato
anterior de cada período de capitalización.
b. Los intereses ganan intereses en todos los períodos que siguen al de su
capitalización.
c. El capital impuesto cambia automáticamente al finalizar cada período de
capitalización al adicionarse los intereses correspondientes.

2.3 Elementos del Interés Compuesto

  S: Monto. Se denomina también Valor Futuro o Valor Nominal. Se obtiene al
sumar los intereses al capital.
 C: Capital inicial del aporte del dinero colocado. Se llama también Valor
Presente o Valor Actual.
 n: Plazo de la operación o más propiamente número de capitalizaciones.
 i: Tasa de Interés efectiva o Tasa de Interés Compuesto por periodo de
capitalización, expresada en % y está referida a un periodo de tiempo que
puede ser diario, mensual, trimestral etc.

Téngase presente que los elementos i y n deben estar uniformados en su

denominación y sujetos al régimen que indique la tasa i; vale decir, si ésta es
anual, n tiene que ser años etc.

2.6 Fórmulas del Interés Compuesto

Para determinar el interés (I), lo definiremos como la diferencia del monto (S) con el
capital (C).
I =S−C

Para determinar el monto, lo definiremos como la suma del capital (C) más los intereses (I)
generados en un periodo de tiempo determinado.
S=C−I
De igual modo el monto lo podemos expresar de la siguiente manera:
n
S=C ( 1+ i )

Seguidamente, para determinar el capital o valor presente (C), lo podemos hallar de la

siguiente manera:
−n
C=S ( 1+ i )
Para determinar la tasa de interés (i), a partir de una tasa nominal “j” y periodos de
capitalización “m” con relación a “j”, lo podemos hallar de la siguiente manera:
j
i=
m
Donde “i” es la tasa efectiva o tasa de interés compuesto por unidad de tiempo, que se
emplea en las fórmulas de la matemática financiera. Se expresa en decimal, para efectos
de los cálculos financieros. También se puede calcular así:
1 /n
S
i= ( )
C
−1

Para el cálculo del plazo (n) partimos de la siguiente fórmula:

n
S=C ( 1+ i )
S S
De donde:
C ( )
=( 1+i )n ,luego log
C
=n(1+i)y finalmente.

❑
S
( )
n=´ (
log
C
log ( 1+ I ) )
3.3 SUBDIVISION DEL INTERES COMPUESTO.

El interés compuesto se puede subdividir de la siguiente manera:

a) Interés compuesto discreto: Se aplica con intervalos de tiempos finitos.
b) Interés compuesto continuo: Se aplica en una forma continua, o sea que los intervalos
de tiempo son infinitesimales.

Sin importar el hecho de que el interés sea discreto o continuo y para dar una definición
precisa del interés compuesto, es conveniente indicar los siguientes aspectos.

TASA DE INTERES: Es el valor del interés que se expresa como un porcentaje. Ej. 5%. 10%,
20%.
PERIODO DE APLICACIÓN: Es la forma como se aplicará el interés. Ej. 2% mensual, 20%
anual compuesto trimestralmente, 18% anual compuesto continuamente.
BASE DE APLICACIÓN: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplicará el interés para cada
periodo. Ej. 20% anual compuesto trimestralmente sobre el saldo mínimo trimestral.
FORMA DE APLICACIÓN: Es el momento en el cual se causa el interés. Ej. 2% mensual por
adelantado, 18% anual por trimestre vencido.

VENTAJAS DEL INTERES COMPUESTO

1) Crecimiento exponencial de tu dinero
El interés compuesto te permite aprovechar el paso del tiempo para ganar más dinero
sin necesidad de hacer nada más que conservar tus inversiones. Mira esto:

Como puedes ver en el gráfico superior, cada año que pasa la diferencia entre los
beneficios que te dan el interés simple y el compuesto es mayor. Esto se debe a que el
interés compuesto te permite aplicar la misma rentabilidad, en este caso el 5%, sobre una
cantidad de dinero cada vez mayor.

El tiempo es el mejor amigo de las buenas inversiones, y es precisamente cuando las

conservas durante largos periodos de tiempo cuando el poder del interés compuesto
muestra todo su potencial. Por esto siempre te digo que es una buena idea invertir a largo
plazo, para aprovechar todo su potencial.

De hecho, siguiendo con el ejemplo del 5% sobre los 10.000€ iniciales, fíjate en la
diferencia que hay en el crecimiento de los beneficios de un año para otro:

2) Mayor protección contra la inflación

Otra ventaja del interés compuesto frente al simple es que mientras este último te deja a
merced de la inflación, el compuesto te ayuda a protegerte de ella. Piensa que es más que
probable que durante largos periodos de tiempo la inflación erosione el poder adquisitivo
de tu dinero.
Si lo inviertes a interés simple, como cada año cobras la misma cantidad fija, la inflación
puede disminuir tus beneficios reales, ya que esa misma cantidad de beneficios tiene un
menor poder adquisitivo. El interés compuesto, en cambio, te permite cubrirte, ya sea
totalmente o al menos en parte, del efecto corrosivo que la inflación tiene sobre tu dinero.

3) Más dinero trabajando para ti

Al poder reinvertir tus beneficios, el interés compuesto te permite ir aumentando la

cantidad de dinero que trabaja para ti sin tener que añadir más que los beneficios
generados con la inversión inicial.

Obviamente, si además de reinvertir los beneficios aportas más dinero fresco, incluso
manteniendo la misma rentabilidad conseguirás que tus beneficios aumenten incluso
mucho más rápido.

Sin embargo, si no puedes aportar más capital, mientras no tengas motivos para vender
tus inversiones puedes aprovechar el poder del interés compuesto para tener cada vez
más dinero trabajando para ti.

Desventajas
Algunas, aunque pocas desventajas son las siguientes:

 Los beneficios del interés compuestos no pueden verse antes de un año.

 Las ganancias dependen del producto o servicio.
 Al igual que el dinero las deudas pueden aumentar.

3.4 COMPARACION ENTRE EL INTERES SIMPLE Y COMPUESTO

 La comparación entre el interés simple e interés compuesto, se hará a partir del siguiente
ejemplo.

Ejemplo 3.2
Suponga que se una persona invierte S/ 1,000 a un interés del 2.5% mensual durante 12 meses, al
final de los cuales espera obtener el capital principal y los intereses obtenidos. Suponer que no
existen retiros intermedios. Calcular la suma final recuperada.

Capital Inicial o
Presente Intereses Monto final o Futuro
Periodo
Compuest Compuest Compuest
Simple o Simple o Simple o
1 1,000.00 1,000.00 25.00 25.00 1,025.00 1,025.00
2 1,000.00 1,025.00 25.00 25.63 1,025.00 1,050.63
3 1,000.00 1,050.63 25.00 26.27 1,025.00 1,076.89
4 1,000.00 1,076.89 25.00 26.92 1,025.00 1,103.81
5 1,000.00 1,103.81 25.00 27.60 1,025.00 1,131.41
6 1,000.00 1,131.41 25.00 28.29 1,025.00 1,159.69
7 1,000.00 1,159.69 25.00 28.99 1,025.00 1,188.69
8 1,000.00 1,188.69 25.00 29.72 1,025.00 1,218.40
9 1,000.00 1,218.40 25.00 30.46 1,025.00 1,248.86
10 1,000.00 1,248.86 25.00 31.22 1,025.00 1,280.08
11 1,000.00 1,280.08 25.00 32.00 1,025.00 1,312.09
12 1,000.00 1,312.09 25.00 32.80 1,025.00 1,344.89

En la tabla se observa que el monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica
es una línea recta. Sus incrementos son constantes y el interés es igual en cada periodo de
tiempo. El monto a interés compuesto, en cambio, crece en forma geométrica y su gráfica
corresponde a la de una función exponencial. Sus incrementos son variables. Cada periodo
presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de una línea
curva que asciende a velocidad cada vez mayor.
En el diagrama anterior se puede observar que los flujos ubicados en el periodo 3, 5 y n-2,
son valores futuros con respecto al periodo 1 o 2, pero serán presente con respecto a los
periodos n-1 o n

3.5 PERIODO
El tiempo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina periodo y se
simboliza por n, mientras que el número de periodos que hay en un año se representa por
m y representa el número de veces que el interés se capitaliza durante un año y se le
denomina frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización.
A continuación se presenta una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más
utilizadas o comunes.

Capitalización de Frecuencia de
intereses conversión
Diaria 365
Semanal 52
Quincenal o Bimensual 24
Mensual 12
Bimestral 6
Trimestral 4
Cuatrimestral 3
Semestral 2
Anual 1

3.6 VALOR FUTURO EQUIVALENTE A UN PRESENTE DADO.

El valor futuro, se puede encontrar a partir de un valor presente dado, para lo cual, se
debe especificar la tasa de interés y el número de períodos, y a partir de la siguiente
demostración, se determina la fórmula que permite calcular el valor futuro.

PERIOD CAPITAL
O INICIAL INTERES CAPITAL FINAL
1 C Ci S1 =CP + Ci = C(1+i)
2 C(1+i) C(1+i)i S2 = C(1+i) + C(1+i)i = C(1+i)(1+i) = C(1+i)²
3 C(1+i)² C(1+i)² S3 = C(1+i)² + C(1+i)² i = C(1+i)² (1+i) = C(1+i)ᶾ
4 C(1+i)ᵌ C(1+i)ᶟ i S4 = C(1+i)ᶟ + C(1+i)ᶟ i = C(1+i)ᶟ (1+i) = C(1+i)⁴
. . . .
n C(1+i)n-1 C(1+i)n-1 Sn = C(1+i)n-1 + C(1+i)n-1 i = C(1+i)n-1 (1+i) = C(1+i)n

Se concluye entonces que: F = P(1+i)ᴺ ; donde:

S = Monto o valor futuro.
C = Valor presente o valor actual.
i = tasa de interés por periodo de capitalización.
n = Número de periodos ó número de periodos de capitalización.

La anterior fórmula se puede expresar mnemotécnicamente de la siguiente manera: S = C

(S/C, i, n); que se lee así: hallar S dado C, una tasa i y n periodos. La forma nemotécnica se
emplea cuando se usan las tablas financieras que normalmente se encuentran al final de
los libros de ingeniería económica o de matemáticas financieras.
El término (S/C, i, n) se conoce con el nombre de factor y es un valor que se encuentra en
las tablas financieras. El factor corresponde al elemento (1+i)ᴺ de la fórmula, que se
conoce con el nombre de factor de acumulación en pago único.
En las matemáticas financieras toda fórmula tiene asociada un diagrama económico, para
la expresada anteriormente seria:

S = ¿?
i % Periodo (Conocido)

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n = periodos

C = conocido

Ejemplo 3.4
¿Cuánto dinero se tiene dentro de seis meses en una cuenta de ahorros que reconoce el
2% mensual si hoy se invierte en una corporación S/400,000?
Solución:

i = 2% mensual S = ¿?
0 1 2 3 4 5
6 meses

C = S/ 400,000

S = C(1+i)ᴺ ; por consiguiente: C = 400,000(1+0.02)⁶ = S/ 450.465,

El valor de Va se toma negativo ya que se trata de una inversión, para encontrar la
respuesta se debe estar ubicado en la celda B4, siempre se debe hacer un clic sobre la
opción aceptar de la venta de argumentos de función de VF. Introduzca los otros valores
en las celdas tal como se señala en la hoja de Excel.

Ejemplo 3.5
El 2 de enero se consignó $150.000 en una cuenta de ahorros y deseo saber cuánto puedo
retirar al finalizar el año, si me reconocen una tasa de interés mensual igual a 3%?
Solución:

S = ¿?
i = 3% mensual
0 1 2 3 4 5
12 meses

C = S/ 150,000

S = C(1+i)ᴺ ; por lo tanto: C = 150,000(1+0.03)¹² = S/ 213,864,

3.7 CALCULO DEL VALOR PRESENTE EQUIVALENTE DE UN FUTURO DADO.

Sabemos que S = C(1+i)n ; por lo tanto, C = S(1+i)-n (3.2)

El valor presente se puede definir, como el capital que prestado o invertido ahora, a una
tasa de interés dada, alcanzará un monto específico después de un cierto número de
periodos de capitalización.
La anterior fórmula se puede expresar mnemotécnicamente de la siguiente manera: C =
S(C/S, i, n) ; que se lee así : hallar C dado S, una tasa i y n periodos. La forma
mnemotécnica se emplea cuando se usan las tablas financieras que normalmente se
encuentran al final de los libros de ingeniería económica o de las matemáticas financieras.
El término (C/S, i, n) se conoce como el nombre de factor y es un valor que se encuentra
en las tablas financieras. El factor corresponde al elemento (1+i)-n de la fórmula, se
conoce con el nombre de factor de descuento o factor de valor presente para pago único.

El diagrama económico para la fórmula expresada anteriormente seria:

Sd = ¿?
i % Periodo (Conocido)

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n (periodos)

Cd = ¿?

Ejemplo 3.7
Dentro de dos años y medio deseo cambiar mi actual maquinaria empacadora por una de
mayor capacidad. En esa fecha, estimo que puedo venderla por $ 300.000 y la de mayor
capacidad estará costando $1.200.000 ¿Cuánto capital debo consignar en una entidad
financiera que paga el 3% mensual, si deseo adquirir la nueva maquinaria?
Solución:
Como la actual maquinaria la vendería por $ 300.000 dentro de dos años y medio y la
nueva tendría un costo de $ 1.200.000, realmente debo tener consignado en la entidad
financiera en esa fecha $ 900.000

S = 900,000
i = 3% mensual
30 meses

Cd = ¿?

Se tiene que: C=S ¿

3.8 CALCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS.