Proyecto IPM458 1 19

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
PROYECTO
COMPUTACIÓN CIENTÍFICA IPM458
MAGÍSTER EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA MECÁNICA
(1er. semestre 2019)
Antecedentes
Fecha de publicación: martes 02 de julio
Fecha de entrega: viernes 12 de julio, hasta las 17:00 hrs.
Lugar de entrega: buzón de secretaría del Departamento de Ingeniería Mecánica.
DISCRETIZACIÓN MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS PARA APROXIMAR

NUMÉRICAMENTE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
LPARABÓLICAS EN 2D
Se puede modelar la distribución de temperatura sobre una placa calentada en un instante de

tiempo, por medio de la siguiente ecuación de conducción de calor para 2 dimensiones espaciales:
𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇
= 𝛼 ( 2 + 2) [1]
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Donde:
𝑘
𝛼: difusividad térmica del material, 𝛼 = 𝜌∙𝐶𝑝
Siendo k=100[W/m°C], ρ=8862[kg/m3] y Cp=421[J/kg°C]
T : temperatura en el instante de tiempo t
𝑡 : tiempo [𝑠]
𝑥, 𝑦 : coordenadas espaciales
Notar que si en la ecuación [1] el término

𝜕𝑇
=0 [2]
𝜕𝑡
se obtiene la ecuación que permite modelar la distribución de temperatura sobre una placa, pero
en estado estacionario. Recordar que en sesiones del laboratorio se desarrollaron programas en
fortran para resolver este tipo de fenómeno pero para un caso 1D.
Uno de los métodos numéricos utilizados para poder resolver la ecuación [1] ó [2], corresponde al
método de elementos finitos. Como ejemplo de aplicación de este método, los autores Beckers y
Beckers (Pierre Beckers, Benoit Beckers, “A 66 line heat transfer finite element code to highlight
the dual approach”. Computers and Mathematics with applications. Vol 70, 2401-2413, 2015)
han propuesto en su artículo, un código en Matlab para resolver un problema de transferencia de
calor en estado estacionario, mediante análisis dual. El artículo se puede descargar de la página del
curso en el apartado de Material de Referencia o Complementario.
La figura N°1 muestra una placa cuadrada, de espesor unitario, sobre la cual se desarrolla un
intercambio de calor por conducción. Sobre las paredes se prescriben condiciones de temperatura
constante (T=0), flujos de calor normal (qn=10 [kW]) y asilamiento térmico (qn=0). Recordar que
el flujo de calor en las direcciones x e y, en el instante de tiempo l, se pueden obtener a partir de la

ley Fourier por aproximaciones en diferencias finitas como:
𝑙 𝑙 𝑙 𝑙
𝑇𝑖+1,𝑗 −𝑇𝑖−1,𝑗 𝑇𝑖,𝑗+1 −𝑇𝑖,𝑗−1
𝑞𝑥 = −𝑘 ; 𝑞𝑦 = −𝑘
2∆𝑥 2∆𝑦
Siendo el flujo de calor normal:
𝑞𝑛 = √𝑞𝑥2 + 𝑞𝑦2
En el presente proyecto se pide:
1) Desarrollar un programa en fortran, amigable para el usuario, que permita resolver el

problema de la figura N°1, utilizando aproximaciones en diferencias finitas con un esquema
explícito y un esquema implícito. Considere para esto que en el instante de tiempo t=0,
toda la placa se encuentra con temperatura T=0 y se aplican súbitamente las condiciones
de contorno indicadas en la figura. Se deberá encontrar la distribución de temperaturas y el
flujo de calor considerando 3 discretizaciones espaciales, Δx=Δy=10 [cm], Δx=Δy=5[cm]
y Δx=Δy=2[cm]. Desarrollar para ello las ecuaciones en diferencias finitas apropiadas para
los nodos interiores y de contorno.
2) Desarrollar un programa en fortran, amigable para el usuario, que permita resolver el
problema anterior, pero esta vez utilizando un esquema de Crank-Nicolson.
3) Comente los resultados que se obtienen entre los esquemas desarrollados en la pregunta 1
y 2, utilizando para ello tablas, gráficos, figuras y/o videos, correspondientes a la
distribución de la temperatura y el flujo de calor en la placa para diferentes estados de
tiempo. Estimar el tiempo en el cual se alcanza el régimen estacionario.
4) Compare los resultados que se obtienen en las preguntas 1 y 2, con los que se obtienen al
resolver el problema de la figura N°1 con el método de elementos finitos utilizando el
programa Ansys. Utilizar elementos CST (Constant Stress Triangle) para las 3
discretizaciones.
Figura N°1
Instrucciones:
a) El proyecto se debe desarrollar de manera individual. Se pueden utilizar
apuntes de clases, libros recomendados en la bibliografía del curso como
también cualquier otro texto. Cualquier cita utilizada debe ser referenciada
apropiadamente.
b) Se espera que los programas sean de desarrollo propio y/o modificaciones
de los existentes en la página del curso o los realizados durante las sesiones
de laboratorio. La utilización de cualquier programa descargado desde la
web o de otra fuente no está permitida, a menos que se utilice como
comprobación de los resultados del código propio.
c) Para la evaluación del proyecto se considerará la presentación, redacción,
metodología utilizada, resultados, análisis y conclusiones, anexos, como
también la correcta compilación, implementación y ejecución de los
programas
d) Para comprobar la correcta implementación de los programas, se deberá
subir un archivo comprimido *.rar ó *.zip en la plataforma Moodle, dentro
del plazo de entrega, que contenga el (los) programa(s) *.f90 y los archivos
de datos utilizados en el proyecto.

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