01 Trigonometria I Ok

GUÍA DE CLASES PREUNIVERSITARIO
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.
1. Convención
Ángulos Positivos Ángulos Negativos
Si el rayo gira en sentido antihorario. Si el rayo gira en sentido horario.
2. Ángulo Nulo
Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.
3. Ángulo de una Vuelta

Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por
primera vez.
PREPA MILESIOS Trigonometría 9

4. Magnitud de un Ángulo
Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas
vueltas, en cualquiera de los sentidos.
Así por ejemplo de la figura 1, el ángulo trigonométrico mide “3 vueltas”, en la figura 2 el ángulo
trigonométrico mide ”–2 vueltas”.
Fig Nº 1 Fig Nº 2
1. Señale la relación correcta entre  y .

4. Hallar “x”
a)  +  = 90º 
a) 90 º 
2
b)  -  = 90º 
 b) 90 º 
2
c)  +  = -90º

c) 180 º 
d)  +  = 0  2
 -x
e)  -  = 90º d) 180 º 
2
e) x 

270 º 
2
2. Del gráfico determine x.
a) 10º
5. Del gráfico hallar “x”
b) 15º
10º - x
c) 25º a) 15º
d) 30º b) 35º
x + 50º c) 55º
e) 35º
d) 30º
e) 60º 30º- x x + 10º
3. Calcular “x”

a) -50
b) -100
a) 10º
c) -200
b) 30º
d) -180
(x + 40)º (20 – x)º c) 40º 50º - 2x
e) -90
d) 50º
e) 60º 10º + x 20º+x
7. De acuerdo al gráfico señale lo correcto: b)  -  = 180º

a)  +  = 180º 
10 Trigonometría PREPA MILESIOS

c)  -  = 180º
d)  +  = -180º
e)  +  = 90º
8. Calcular el valor “x” del siguiente gráfico:
 a) 2 b) 4 c) 6
d) 12 e) 18
x
13. Hallar la relación entre ,  y 
a) 2 +  b)  c) -2 - 
d)  +  e)  - 
a)  -  -  = 90º
b)  +  -  = 90º
9. A que es igual  +  +  a partir del gráfico
adjunto: c)  -  +  = 90º

 
 d)  -  - = 90º
2

  
e) -- = 90º
2 2

14. Señale la relación correcta respecto a los

a) -450º b) -360º c) -720º
d) 360º e) 0º ángulos trigonométricos mostrados.
10. De la figura expresar x en términos de  y

.
a)  -  - 360º
 
b)  +  - 360º 
c) - +  + 360º  x
d) - -  + 360º a)  -  = -90º b)  +  = 90º

e)  -  - 720º c)  +  = -90º d)  -  = 90º
e)  +  = 180º
11. De acuerdo al gráfico indicar una relación
entre  y . 15. Señale lo correcto:
a)  -  = 180º
a)  -  +  = 90º
b) 2 +  = 270º
b)  -  +  = 270º
c) 2 -  = 90º 
c)  -  -  = 270º 

d)  + 2 = 90º
d)  -  +  = 270º
e)  - 2 = 90º 
e)  +  +  = 270º 
12. Del gráfico hallar “x”; si OC es bisectriz.
A
16. Calcular el valor de x: b) 24º

(5x-3)º C
c) 22º
a)O25º (9-6x)º
5x
3x
PREPA MILESIOSB Trigonometría 11
-7x
d) 21º b) 15º
e) 20º c) 25º
d) 35º
e) 45º
17. Hallar “x”
a) 10º
b) 30º
c) -30º a) 18º
d) 15º b) 22º
e) -10º c) 26º 15º - x
30º-6x 3x+30º
d) 30º
20º + 3x 5º + x
e) 34º
18. Hallar “x”
a) 90º -  -  21. Hallar “x”

b) 90º -  +  210
 a) 155º º
c) 180º +  - 
x  b) 150º
d) 180º +  +  x
c) 160º
300º
e) 180º -  + 
d) 170º
e) 175º
19. Del gráfico determine “x”
a) 10º
-x 40
x
º Muy
bien!!

1. Hallar “x”:
a)  -  - 90º b)  -  - 180º
c) 180º -  +  d)  -  - 180º
e)  +  - 180º
7x – 35º 25º + x

a) -10º b) -20º c) -30º
d) -40º e) -50º
2. Del siguiente gráfico hallar “x”

x 

(9 – 2x)º (x + 3)º
a)  +  b)  -  c)  - 
a) 31º b) 51º c) 62º 
d) 60º e) 61º d) - -  e)
2
3. Hallar el valor de “x”
7. Del gráfico hallar x en función de a, b y c
50º - 4x 2x – 10º
b
x
a) 10º b) 20º c) 30º c

d) 40º e) 50º a
4. Del gráfico hallar la relación entre  y . a) 90º - a – b + c b) 90º + a + b - c

c) 90º - a + b - c d) 90º + a – b + c
60º e) 90º - a – b - c
 
8. De acuerdo al gráfico señale lo correcto
respecto a los ángulos trigonométricos
a)  +  = -120º b)  -  = 120º
c)  -  = 120º d)  +  = 120º mostrados.
e)  +  = 60º

5. Del gráfico mostrado hallar x en función de  y
.



x
a)  -  = 360º b)  +  = 360º
c) 2 +  = 630º d) 2 -  = 630º
e) 2 -  = 540º

SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULAR
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES I
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada (metros, pulgadas,
etc.), para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.
1. Sistema Sexagesimal (Inglés)

Su unidad angular es el “grado sexagesimal” (1º); el cual es equivalente a la 360 ava parte del ángulo
de una vuelta.
1v
1º   . 1v = 360º .
360
Equivalencias :
1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”
2. Sistema Centesimal (Francés)

Su unidad angular es el “grado centesimal” (1 g); el cual es equivalente a la 400 ava parte del ángulo de
una vuelta.
1v
1g   . 1v = 400g .
400
Equivalencias :
1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s
3. Sistema Radial o Circular (Internacional)

Su unidad es el “radián”; el cual es un ángulo central que subtiende un arco de longitud equivalente al
radio de la circunferencia respectiva
. m  ángulo A0B = 1 rad .
1v
1rad   . 1v = 2 rad .  6,2832 rad
2
OBSERVACIONES:
COMO:  = 3.141592653........ ENTONCES:
22
  3,1416   10  3  2 .
7
FACTOR DE CONVERSIÓN

Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.
Magnitudes Angulares equivalente:
∢ 1 vuelta : 1 v . 360º = 400g = 2rad .

∢ Llano : 1/2 v . 180º = 200g = 1rad .
Para grados centesimales
y sexagesimales : . 9º = 10g .
∢ Recto : 1/4 v 90º = 100g = /2 rad
NÓTESE QUE:
“PARA CONVERTIR UN ÁNGULO DE UN SISTEMA A
OTRO, MULTIPLICAREMOS POR EL FACTOR DE
CONVERSIÓN”
1. Expresar el complemento de 30º en el d) 13/3 e) 15/2

Sistema Circular.
  5. Determine a + b + c.
a) rad b) rad
3 6 Si:
 aºb’c” = 3º25’42” + 4º45’38”
rad
c)
4
a) 25 b) 39 c) 52
 
d) rad e) rad d) 63 e) 120
5 8
6. La diferencia de dos ángulos

2. Expresar el suplemento de 100g al Sistema suplementarios es rad determine el
Radial. 3
mayor de ellos.
 
a) rad b) rad
3 6 a) 90º b) 100º c) 120º
 d) 160º e) 130º
c) rad
8
  7. Calcular:
d) rad e) rad
2 4 
25º 50 g  rad
E 3

3. Determine: abc 64º 40 g  rad
6
Si: 140  abc º
g
a) 1 b) 2 c) 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
d) 4 e) 5
8. Reducir:
Mº  A º  Rº  T º  Iº  Nº
4. Calcular el valor de x:
Mg  A g  R g  T g  Ig  Ng
3
(4 x  10 )º  rad
20 a) 10/9 b) 9/10 c) 1/10
d) 1/9 e) Faltan datos
a) 17/4 b) 9/2 c) 11/2

9. Exprese en el sistema centesimal:
º
 x º (3 x )' 
 
 x' 
a) 7 b) 8 c) 9
d) 6 e) 10
a) 60g b) 70g c) 50g
d) 40g e) 80g
15. Se crea un nuevo sistema de medición
angular “FROEBEL” tal que su unidad (1 F)

10. Si: rad  xº y' z" resulta ser la 480ava parte del ángulo de
64 una vuelta. Señale el equivalente de 1º12’
Calcular el complemento de (x + y - z)º en este nuevo sistema.
a) 80º b) 81º c) 85º a) 0,4F b) 0,6 F c) 0,8 F

d) 82º e) 54º
d) 1,2 F e) 1,6 F
11. La suma de las medidas de dos ángulos es
º
16. Determine “x” si: (x + 7)º = (x + 9)g
(a  1)(b  4 ) y su diferencia es
g
(a  7)(b  5 ) . ¿Cuál es la medida a) 9 b) 10 c) 11
circular del mayor?. d) 13 e) 27
  17. Si: aºb’c” = 5º48’23” + 6º25’40”

rad rad
a) 10 b) 5 c) Calcular: abc4
3
rad
5 a) 1 b) 2 c) 3
3 2 d) 4 e) 5
rad rad
d) 10 e) 5
18. Simplificar:
12. Calcular: “n”
a º b'  bº a'
1' 1' 1' 1' 1' rad E
    ........   ( a  b)'
2 6 12 20 n (n  1) 11340
a) 60 b) 61 c) 120
a) 19 b) 20 c) 21 d) 121 e) 180
d) 29 e) 30

n
19. Si: rad  a º b'
13. En la igualdad:  {(k!)º }  m g
; donde 24
k 1 Calcular: b - a
“m” es el menor entero posible. Calcular: m
-n
a) 21 b) 22 c) 23
a) 2 b) 3 c) 5 d) 25 e) 30
d) 6 e) 7 20. Simplificar:
y 50 g  25º
14. Del gráfico calcular: E  x E

8 rad  5º
36
Siendo ABCDE un pentágono regular.
C
a) 3 b) 5 c) 7
d) 8 e) 9
B D
y g
xº
A E

1. Expresar el suplemento de 60º en el 

Sistema Radial. 4. Convertir rad al Sistema
10
Centesimal.
Resolviendo
Resolviendo
 
a) rad b) rad c)
3 6
a) 10g b) 20g c) 30g
 d) 40g e) 50g
rad
4
2 5 5. Convertir
7
rad al Sistema
d) rad e) rad
3 4 20
Sexagesimal.
2. Expresar el complemento de 20 g al Resolviendo

sistema Sexagesimal.
Resolviendo
a) 60º b) 62º c) 63º

d) 64º e) 65º
a) 70º b) 72º c) 82º
d) 56º e) 74º 90 g  9º
K
6. Si:  Además
36º  rad
30
33 
3. Convertir rad al Sistema
25   
Centesimal.   rad  abº
k 1
Resolviendo Calcular: b - a
Resolviendo
a) 260g b) 264g c) 266g

d) 270g e) 300g a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5

7. Si:  = (x + 12)º además: 9. Del gráfico calcular: 10x – 9y

Hallar  en radianes:
xº
yg
(2 - x)º (2 + x)g 2
rad
3
Resolviendo
5 2 
a) rad b) rad c) rad
18 9 5
2 3
d) rad e) rad
5 5
Resolviendo
a) 240 b) 2 400 c) 24 000

d) 180 e) 1 800
10. Se tiene un sistema de medida angular

denominado “x” en donde 3 grados “x”
8. Calcular “x” si se cumple:
equivalen a 5º determinar a cuántos
º g
 (x  3) º   ( 4 x  18)º  radianes equivalen 27 grados “x”.
    
 5g   15 g 
Resolviendo Resolviendo
a) 40 b) 41 c) 42   
a) rad b) c) rad
d) 43 e) 45 3 6 4
 2
d) rad e) rad
7 5

CONVERSIÓN DE SISTEMAS
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES II
CONVERSIÓN DE SISTEMAS
Fórmula General De Conversión
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.
De la fig. Sº = Cg = Rrad (*)

Además: 180º = 200 = rad
g
(**)
Dividiendo (*) entre (**) tenemos:
S C R
.   .  “Fórmula o Relación de Conversión”
180 200 
Fórmulas particulares :
S C S R C R
.  . .  . .  .
9 10 180  200 
Además:
S = 180k S = 9k
C = 200k  C= 10k
R = K 20 R=

1. Determine un ángulo en radianes si se  

cumple: d) rad e) rad
6 5
S C  7. Hallar la medida en radianes de un ángulo
  1   1  15
9   10  tal que:
C 1 S 1
  ak   ak 
a)  rad b) rad c) rad 10  18 
3 5 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
  d) 0,4 e) 0,5
d) rad e) rad
6 10
2. Hallar la medida de un ángulo en radianes 8. Señale la medida circular de un ángulo si

si se cumple: el doble de su número de grados
C + S = (C2 – S2) centesimales es mayor que su número de
grados sexagesimales en 33.
  3 3
a) rad b) rad a) rad b)
10 20 20 10
 
c) rad c)
30 5
   2
d) rad e) rad d) e)
40 50 3 11
9. Señale la medida radial de un ángulo

3. Siendo S, C y R lo conocido, calcular: sabiendo que el producto de los números
que representan su medida en los tres
C S C  2S C  6S 
E   sistemas conocidos es igual a .
C S C S C S 6
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6  
a) rad b) rad
3 5
4. Simplificar: 
c) rad
2 S  3 C  10 R 6
E
190 R  
d) rad e) rad
a) 1 b) 2 c) 3 60 30
d) 7 e) 5
10. Hallar la medida circular de un ángulo si el
5. Simplificar: doble de su número de grados
centesimales es mayor que su número de
C   2S  40 R
E grados sexagesimales en 11.
(C  S)
a) 10 b) 20 c) 30  
d) 40 e) 50 a) rad b)
10 20
6. Hallar el complemento en radianes para el 
c)
ángulo que verifica lo siguiente: 40
C S  
R  2R d) e)
20 18 80 160
  0 ,5
10   5 
11. Siendo S y C los números que expresan la
Siendo S, C y R lo conocido. medida de un mismo ángulo en los
  sistemas sexagesimales y centesimal que
a) rad b) rad cumple:
2 3
20 < 3C – 2S < 80
 Hallar la medida del mayor ángulo tal que
c) rad
4 S y C son números enteros.

3 2
  d) rad e) rad
a) rad b) rad 10 5
6 4

c) rad
9
12. Obtener la medida circular de un ángulo 40 g  27 º

para el cual sus medidas se relacionan E
del modo siguiente:
π
rad
  2    2   2   125  3 9
     5  
 36 S   40 C  R  8 SCR a) 2,25 b) 2,15 c) 3,15
d) 3,35 e) 3,75
3 3
a) rad b)
10 5
7 17. Si: S y C representa lo convencional para
c) un mismo ángulo y se cumple que:
10 S = 2x + 3  C = 3x - 6
7 9 Calcular dicho ángulo.
d) e)
5 10
π π
a) rad b) rad c)
20 10
13. Hallar la medida de un ángulo expresado 3π
en radianes, si su número grados rad
sexagesimales, centesimales y radianes 20
(S, C y R) satisfacen la ecuación: π π
d) rad e) rad
5 50
R R
 
 S S S..........  radicales  4
   0 ,9
 C C C ..........  radicales  18. Si los números que representan la medida
 
de un ángulo en los sistemas
a) 1 b) 2 c) 4 sexagesimales y centesimales son pares
d) 1/2 e) 1/4 consecutivos el valor del complemento
del ángulo expresado en radianes es:
14. Señalar la medida circular de un ángulo
que verifica: π π
a) rad b) rad c)
S C 
3 3 20 5
  20 R3  S2  C 2  R2 3π
9 10 rad
20
Siendo S, C y R lo conocido: 7π 2π
d) rad e) rad
40 5
1 1
a) rad b) rad c)
2 20
1 19. Determine la medida de un ángulo tal que
rad la diferencia de cuadrados del número de
9
grados centesimales y sexagesimales es
1 1 al número de radianes como 380 es a 1.
d) rad e) rad
6 7
2 2
15. Expresar el ángulo en centesimal si se rad rad
cumple: a) 10 b) 20 c)
2
S S S  .......... .  C 
rad
30
a) (1, 2)g b) (1, 9)g c)(1, 8)g 2 2
d) 1,7g e)2g rad rad
16. Hallar: d) 40 e) 50

20. Siendo S y C los números de grados  
sexagesimales y centesimal de un mismo a) b) c)
60 180
ángulo tal que:
S = 2n  C = 4n - 1

Determine el número de radianes de dicho 140
ángulo.  
d) e)
120 160

1. Siendo S, C y R lo convencional. 31 

2 S  0 ,5 C  40 R a)  rad b)  rad c)
Simplificar: E  40 8
5R

Resolviendo rad
4
 
d)  rad e) rad
5 6
4. Siendo S, C y R lo conocido para un
mismo ángulo.
C  S  20 R
Reducir:
C  S  20 R
a) 100 b) 200 c) 250 Resolviendo
d) 150 e) 50
2. Determine un ángulo en radianes si se

cumple:
C  S  10 R C  S 80 R
 
C  S  10 R C  S 
Resolviendo a) 1 b) 5 c) 10
d) 20 e) 30
5. Expresar en radianes si S, C y R
representan lo convencional para un
S. C
mismo ángulo. 10 R
  
a) rad b) rad R 
4 3
Resolviendo

c) rad
16
 
d) rad e) rad
8 2
3. Determine un ángulo en radianes si se

S C  20 a) 20 b) 40 c) 60
cumple: 
C 5 d) 80 e) 100
Resolviendo 6. Siendo R el número de radianes de un
ángulo que satisface la igualdad. Hallar:
5 1
“S”. R 1  
2 R 1
Resolviendo

a) 75º b) 225 º / c) 45º

d) 135 º / e) 45 º /

7. Siendo S, C y R lo convencional para un  

rad rad
determinado ángulo para el cual se tiene 20 40
d) e)
que:
9. Se mide un ángulo en los 3 sistemas
1 1 conocidos si se cumple:

1 1 1 1 1 
R R   
30 50
S S S C R2 1800R
C C
Hallar la medida radial.
Hallar dicho ángulo en radianes.
Resolviendo
Resolviendo
 
  rad
rad rad a) 10 b) 11
a) 9 b) 10
10

rad c) 
c) 20
 100
 
rad rad d) 100 e) 
d) 30 e) 40
10. Señale la medida circular de un ángulo

8. Señale la medida circular de un ángulo
que cumple: S + C + 19R = 20 + ; siendo
que cumple:
S, C, R lo conocido para dicho ángulo:
3S – 2C + 20R = 10,1416
Siendo S, C y R lo conocido para dicho Resolviendo
ángulo.
Resolviendo
 
rad rad
a) 20 b) 19 c)
 
rad rad
a) 4 b) 5 c) 
rad
38

rad  
10 rad rad
d) 76 e) 40

SECTOR CIRCULAR
SECTOR CIRCULAR
ARCO
Una posición cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia.
: Arco AB
A : Origen del Arco AB
B : Extremo del Arco AB
0 : Centro de la circunferencia
R : Radio de la circunferencia.
1. Amplitud
Dada por la medida del ángulo central que subtiende el arco
2. Longitud de Arco
En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes determina una longitud de arco “L”
que se calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”.
L : Longitud del arco AB

R : Radio de la circunferencia
 : Número de radianes del ángulo central
(0    2)
. L=R .  .
OBSERVACIÓN
LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA SE CALCULA
MULTIPLICANDO 2 POR EL RADIO “R” DE LA
CIRCUNFERENCIA.
. LC = 2R.

1. Calcular la longitud de arco, C

L1
correspondiente a un ángulo central de
60º en una circunferencia de 48 m de L2
diámetro.
a) 6 m b) 7 c) 8
d) 5 e) 10
A O B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. En un sector circular la medida del arco y
el radio están representados por dos
números enteros consecutivos. Si el 6. Del gráfico, calcular : E = -1 - 
perímetro del sector es 20 m. ¿Cuál es la
medida del ángulo central?
a) 4/3 rad b) 3/4 c) 2/3 A

d) 3/2 e) 6/7
C
3. Dos ángulos agudos en el centro de un O 

círculo son complementarios y las
longitudes de los arcos que subtienden a) 1 b) 2 Dc) 5
suman 4 m luego la longitud del radio del d) 5 /2 e) 1/2 B
círculo es :
7. En el gráfico, calcular “L” , si : L1 + L2 = 8
a) 4 m b) 6 c) 8
d) 2 e) 10
4. En el triángulo rectángulo, calcular la

suma de las longitudes de los dos arcos
dibujados tomando centro en A y C
respectivamente.
B O L1 L L2
a) 8 b) 4 c) 2
d)  e) /2
E
8. Siendo A, B y C los centros de los arcos
mostrados. Determine el perímetro de la
45º región sombreada, si ABC: equilátero de
A C
D lado igual a 15 cm.(considerar  = 22/7)
16
B
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 12
5. Del gráfico mostrado el arco BC se dibuja 9cm

tomando centro en A.
L1
Calcular : E =
L2
a) 15 cm A b) 20 C
c) 25
d) 30 e) 21

L2
9. De acuerdo al gráfico, calcular : 12. Calcular el perímetro de la región
L1 sombreada siendo O1 y O2 centros.
O1 O2
3 1
 rad L1 L2
11 5
a) 4 3 - d) 2 3 +
a)  b) 2 3 3
c) 2 + 1 11 7
b) 4 3 - e) 2 3 +
d) ( + 1) e) 2(  1) 12 3
13 
10. Del gráfico, calcular “” c) 4 3 -
6
13. Calcular la longitud de la trayectoria que
describe el centro de la rueda al recorrer
la superficie AC si : O 1 A // O 2 C
24
O2
  T=3 120g
5
O
A 7 8
a) 15º b) 12º B
24c) 18º C
d) 30º e) 36º
a) 2 O1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
11. Calcular el perímetro de la figura
sombreada siendo O1 y O2 centros.
14. Del gráfico mostrado se sabe que “O” es
centro y OA = OB = OD = 7 cm. Hallar la
longitud del arco BD.
a) 3 cm
B C
b) 5 x g
c) 7
d) 9 xº
2 A D
O
7 e) 11
a) 2 (3 O
+ 3 30º
+ )
1 3 O2
7 15. En la figura mostrada se tiene un péndulo
b) 2 (3 - 3 + ) en movimiento. Hallar aproximadamente la
6 longitud del péndulo si su extremo recorre
7 10 m.
c) 2 (3 - 3 -
)
6
7 a) 14 m 37º
d) 3 - 3 - 10 m
3 b) 16
7 c) 20
e) 3 (3 - 3 - )  rad L1 L2
18
37º
d) 24
e) 28

cuyo arco es el triple del original. ¿Cuánto

16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo mide el radio del sector circular original?
central es º, si triplicamos el radio de
este sector y aumentamos su ángulo a) 2, 5 cm b) 10 c) 5
central en 20º se obtendrá un nuevo d) 15 e) 25
sector cuya longitud de arco es el
quíntuplo de la longitud inicial. Halle la L2  L1
medida del ángulo central del nuevo 19. Calcule: E  en los sectores
sector. L2  L1
circulares ilustrados.
a) /7 rad b) /10 rad c) 2/9 rad
d) 5/18 rad e) 3/10 rad
O 1 2
17. En un sector circular el ángulo central
mide 40g y su arco correspondiente L1, si
aumentamos el ángulo central en 9º y
duplicamos el radio el nuevo arco seria L 2.
L1 20. En los sectores circulares mostrados
Calcular : calcule “x”.
L2 x
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6

d) 0,3 e) 0,5 1 ra d 6u 8u
O
18. En un sector circular si aumentamos el

radio en 10 cm, sin alterar el ángulo x
central, se genera un nuevo sector circular

1. Calcular la longitud de arco

correspondiente a un ángulo central de
75º en un circunferencia de 24 m de radio.
Resolviendo
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 16

mide 70g y el radio 1 m. ¿Cuánto mide el
arco?
a) 5 m b) 10 c) 15
d) 20 e) 25 Resolviendo
2. En un sector circular la longitud del arco

es 4 cm y el ángulo central mide 50g.
¿Cuánto mide su radio?
Resolviendo
a) 35 cm b) 5 c) 15
d) 14 e) 7/20
5. En el grafico, calcular “x”
x
a) 14 cm b) 15 c) 16
d) 12 e) 8
30º 3 9
3. En el gráfico, calcular : “L” Resolviendo
80
10g 2 L a) 36 b) 12 c) 18
d) 24 e) 6
6. En un sector circular el radio y arco están

80 representados por dos números enteros
consecutivos. Si el perímetro del sector es 13
Resolviendo

cm. ¿Cuánto mide el ángulo central de dicho Resolviendo

sector?
Resolviendo
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 1,5 rad b) 1,2 c) 1,25
d) 1,6 e) 1,3
9. En la figura se muestra un camino que
consta de dos arcos con sus datos
7. Si en el grafico OC = 2 CB . claramente indicados. Determine la
L1 longitud de dicho camino.
Calcular : E =
L2 A
O1
L1 C
40º 18
40g C
O 18 6
30º B
B
L2 6 60º
A
D Resolviendo O2
Resolviendo
a) 2 b) 4 c) 6
a) 1,6 b) 1,8 c) 2,4
d) 2,5 e) 3,6 d) 8 e) 10
10. Del gráfico calcule la longitud que recorre el

8. Si en el gráfico OC = 3 CB . Calcular : punto “P” hasta que choque con el lado AC
L1 del triángulo equilátero ABC.
E=
L2
L1
A P
B A
C 15u
L2
36º C B
O D
6u

SECTOR CIRCULAR
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente.
∢ A0B: Sector Circular A0B

0º <   360º
1. Área del Sector Circular
El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la

medida de su ángulo central en radianes, es decir:
R2 . 
.S .
2
Donde:
S : Área del Sector circular A0B
Otras Fórmulas :
L. R L2
.S . .S .
2 2
Casos Particulares:
1. El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de área “S” (fig.1); produce un
incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar
(fig.1).
Fig. Nº 1 Fig. Nº 2
2. Área de un trapecio circular

 Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores
circulares concéntricos.
 El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al
trapecio circular, multiplicada por su espaciamiento, es decir :
 B b
. AT    . h.
 2 
Donde:
AT = Área del trapecio circular
Bb
También .   .
h
1. En un sector circular el arco mide 2 cm y d) 144% S e) 145% S

el ángulo central mide 20º. ¿Cuál es su 5. Del gráfico, calcular el área de la región
área? sombreada, si : AC = 4 2
12 9
a) cm2 b) a) 
  C
18 b) 2
c)
 c) 3
6 24
d) e) d) 4
 
e) 6
45º
2. El ángulo central de un sector circular de 6. Calcular el área deAla región sombreada B
radio R es igual a 24º y se desea
disminuir en 18º de tal manera que el
área no varia, aumentamos el radio una A
longitud “x”. Determine “x”.
C
2
a) R b) 2R c) R/2
d) 3R e) 3R/2
O 30º
3. Se tiene un sector circular de área “S” si

se aumenta el arco en 20% y disminuye a)  b) 26 D c) 3
el radio 20%, entonces el área del nuevo d) 4 e) 5 B
sector es : S1
7. De acuerdo al gráfico, calcular : E =
S2
a) 94% S b) 95% S c) 96%S
d) 64% S e) 65% S Si: OA = 4 CB
B
4. Se tiene un sector circular de área “S”, si C
se disminuye el arco en 20% y aumenta S2
el radio en 40%, entonces el área del S1
nuevo sector es : 36º
1 A
a) 4/3 D O
b) 1/3 c) 2/9
a) 111% S b) 112% S c) 113% S d) 4/9 e) 2/3
8. Determine el área de la región

sombreada:

A
a
C
 rad
O a 5a a) /10 b) /20 c) /3
d) /4 e) /5
a) 2a2 b) a2 D c) 3a2
d) 3a2/2 e) 3a2/4 13. Calcular “x”
B
9. Del gráfico mostrado, calcular “S 4” si S1 =

9 m2 S2 = 12 m2 , S3 = 6 m2 x
1
1
A S 5S
a
C
1
S2 1
S1 a) 1 b) 3/2 c) 2
O E d) 5/2 e) 4 x
S3 F
S4
a) 8 m 2
b) 16 D c) 18 14. Calcular : S1 – S2 (O : centro)
d) 36 e) 24 B
10. En el gráfico mostrado, señale el área del
sector circular AOB
S1 S2
A
2
x +1 R2 30ºb) 2
R2
a) 3 c)
2 R O3 R
O x rad 8+x R 2
2
a) 25 R 2 R 2
xb)2+1
40 c) 45 d) e)
d) 50 e) 75 3 6
B
11. A partir del gráfico, calcular el valor de :
2 15. Calcular el área de la región
E= sombreada siendo “O” centro y
1
2
AC = 14 m , AOB = rad
7
a) /2 m2 A
b) 
 rad C
c) 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 O
d) 1/2 e) 1/3 B
e) 8
12. Si las áreas de las regiones sombreadas
son iguales. Calcular “”

16. Del grafico mostrado AOB es un cuarto d) 85/ e) 58/3

de circunferencia. DAC y EBC son 19. De la figura, hallar el área del sector
sectores circulares. Hallar el área mínima circular sombreado.
de la parte sombreada si OA = OB =
2
a) /2 8
b) /4
c) /8
d) /16 7 11
A
e) /32
a) 36 b) 40 c) 42
C 8
17. Si en un sector circular el ángulo central d) 49 e) 56
mide x rad y el radio (x + 1) cm,Dademás
el área de dicho sector es numéricamente
igual a la medida circular del ángulo B
central. ¿Cuánto mide el arco? O E 20. Calcular “x” :
a) 2 cm b) 2-1 c) 2 +
1
d) 2 + 2 e) 2 - 2
18. En la figura mostrada, hallar el área del O x

trapecio circular ABCD, si : AB = 10 y CD S 6 3S
=7
a) 8 b) 9 c) 12
A d) 15 e) 18
D
60g
64
a) u2 b) 68/C c) 51/2

B

1. En un sector circular el ángulo central 4. El área de un sector circular es 3 cm2. Si

mide 45º y el radio 8 m. ¿Cuál es el área? duplicamos el radio y triplicamos el arco,
se genera un nuevo sector circular cuya
Resolviendo
área es :
Resolviendo
a)  m2 b) 4 c) 8
d) 6 e) 2
a) 9 cm2 b) 6 c) 12
d) 18 e) 24
mide 30g y el radio 10 cm. ¿Cuál es su
área? 5. En un sector circular, el área es 20 m 2, si
triplicamos el radio y reducimos el ángulo
Resolviendo central a la mitad, se genera un nuevo
sector circular cuya área es :
Resolviendo
a) 30 cm2 b) 15 c) 15/2

d) 24 e) 5/2
a) 40 cm2 b) 80 c) 160
3. En un sector circular el arco mide 2 cm y d) 45 e) 90
su radio 13 cm. ¿Cuál es su área?
6. A partir del gráfico mostrado, calcular el
Resolviendo
área de la región sombreada.
A
C
2 3
O 20º
a) 11 cm2 b) 12 c) 13
d) 10 e) 14 a) 10 b)65/3 D c) 10/3
d) 30 e) 5 B

S1
7. De acuerdo al gráfico, calcular : E = , 9. Del gráfico, calcular el área sombreada
S2
si : OC = 3 CB
A 4
S1
 5c S 7c
36º
O B
45º S C
2
4
Resolviendo D
Resolviendo
a) 15/8 b) 2 c) 21/8
d) 64/45 e) 15/16 a) 24 cm2 b) 28 c) 20
d) 12 e) 36
8. Del gráfico, calcular “S” :

10. Si en el gráfico AOB es un sector circular
al igual que COD, calcular “” cuando “x”
toma su máximo valor entero.
p A
C
O m S n A
3
C
D
Resolviendo p
B O rad 2 x
Resolviendo
D
3
B
n m
a) (m + n)p b)  p
 2 
mn a) 1 b) 2 c) 3
c)  p d) (n - m)p
 2  d) 4 e) 6
e) np + m

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”
Teorema
“Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO AGUDO

Dado el triángulo ABC, recto en “C”, según la fig. 1, se establecen las siguientes definiciones:
sen = =
cos = =
tan = =
cot = =
sec = =
csc = =
41 42
1. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. a) 162 b) 152 c) 172

d) 182 e) 192
Reducir: E = senA secC + senC secA
a) 1 b) 2 c) 3 8. En un triángulo rectángulo, la cotangente de
d) 4 e) 5 uno de sus ángulos agudos es 0,75 calcular
la hipotenusa, si el área de dicho triángulo es
24 unidades cuadradas.
2. Si: sec x  7 Calcular:
E  tan x  42senx
2
a) 54 b) 10 c) 15
a) 10 b) 12 c) 14 d) 20 e) 25
d) 18 e) 20
9. Del gráfico hallar: tanα . tanθ
3. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se B
a) 2
7
cumple tan A  b) 1/2
3 
c) 1/4 M
Determinar: E  7 tan B  6 sec A d) 4
a) 3 b) 5 c) 7 e) 2 
A C
d) 9 e) 11
10. Si ABCD es un cuadrado. Calcular: tanθ.
4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se 1

Si: tan  
cumple 2tanA = cscC. 8
Calcular: senA a) 8/15 B C

b) 15/4
3 c) 1/8
a) b) 1/2 c) 1/4
4 d) 8
3 2 3 
d) e) e) 15/8 A D
2 3
11. Del gráfico, calcular: cos2θ

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se
verifica que 8senAsenC = 1.
a) 1/2
Calcular: E = tanA + tanC
b) 1/3  
a) 4 b) 6 c) 8 c) 3/2
d) 2 e) 10
d) 2/3
e) 1/4 6 3
6. En un triángulo ABC recto en C se tiene que a
+ c = 2.
csc B  cot B
Calcular: E 
b
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 1/4 e) 4
7. En un triángulo ABC (AB = AC) se sabe que

24
tan B  si el lado desigual mide 42 cm
7
calcular el perímetro de dicho triángulo.

12. Del gráfico calcular tanθ. Si ABCD es un 5

cuadrado. 16. Si: sec 
2
a) 1
B C Determinar: E  5sen  cot 
b) 2
c) 3  a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
d) 2
e) 5 3
A D 17. Si: sen 
3
Determinar:
13. Del gráfico. Calcular:
F 2 tan  3 csc 
cot     
E a) 1 b) 2 c) 3
tan    
d) 2 e) 3
a) 1
b) 1/4 3
18. Si se tiene que  es agudo y cos  
  4
c) 4 
Calcular:
d) 1/2
4
e) 2 F  csc 2   cot 
7
a) 1 b) 2 c) 3
14. Del gráfico hallar: d) 4 e) 5
sec x  sec y  sec z

M  19. En un triángulo rectángulo ABC recto en A
sec x  sec y  sec z reducir:
( a  c)(1  cos B)
AQ AR E
Si: AP   bsenB
2 3
a) a b) b c) c
d) 0 e) 1
a) 11/5 B
b) 1/3 R 20. Del gráfico calcular tg.
c) 1/11 Q
a) 1
d) 2/11 P y z b) 2
e) 11/2 A x
c) 3
15. La hipotenusa de un triángulo rectángulo
2
mide 20 m si la tangente de uno de sus d)
ángulos agudos es 0,75 determinar su 2
perímetro.
3 
a) 12 m b) 24 m c) 48 m e)
d) 36 m e) 28 m 3

1. En un triángulo rectángulo ABC recto en C 1

4. Si: cot   ( es agudo)
Reducir: 4
E = atanB + csenA – btanA Calcular: M  17  sen  cos  
a) b b) a c) c
d) a + b e) 2a a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. 2

5. Si: sen  ( es agudo)
b b c 3
Reducir: E  senA  senC  tan A
a c a Calcular: cot
5
a) 5 b) 2 5 c)
a) a + b + c b) 2a c) b 2
d) 2c e) 3
5 2 5
d) e)
8 5 3
3. Si: tan   (θ es agudo)
15 6. Resolver:
1 x  3tg 53º
Calcular: E  sen  2 cos   2tg37 º  sen30º
2 sec 2 45º  x
a) 1 b) 2 c) 3 a) 0 b) 3 c) 1
d) 4 e) 5 d) 2 e) -1

7. Resolver: 10. Del gráfico calcular cot 2 

x  3ctg 37 º
 csc2 45º  x
2tg37 º  cos 60 º
Resolviendo x + y x - y

6xy
Resolviendo
a) 0 b) 3 c) 1
d) 2 e) -1
8. Calcular el valor de “x”. Si:

1
tg (2x  1)º  sen 2 60 º 
4
a) 1 b) 3 c) 5
Resolviendo d) 7 e) 9
11. Si AOB es un cuarto de circunferencia

5
Además tan   .
12
Calcular: cot 
A
a) 11º b) 22º c) 33º
d) 44º e) 65º C

9. Del gráfico calcular tan 

O B
Resolviendo
2x+1
45º 
3 x -1 x+4
Resolviendo
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4

d) 4/5 e) 5/6

12. Del gráfico calcular: ctgθ . ctg 14.Del gráfico determine tan 
 
5

 4

Resolviendo
Resolviendo
a) 1 b) 2 c) ½
d) 3 e) 1/3 a) 5/6 b) 6/7 c) 7/6
d) 5/7 e) 5/8
13.Del gráfico calcular tan 
15.Del gráfico calcular: tg . tg
 Siendo: DH = 2 y CD = 3
10 (“O” centro de la semicircunferencia)
C
2
a) 4/9

7 b) 7/16 
c) 5/9 D
Resolviendo
d) 4/25
e) 9/25
A B
H O
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Con
perseverancia
todo se logra

Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
proporción existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
Triángulo Notable de 45º y 45º
Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos, se puede saber la
uellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la
ellos triángulos rectángulos
proposicióndonde conociendo
existente entre las
susmedidas
lados. de sus ángulos agudos, se puede saber la
ción existente entre sus lados.
ón existente entre sus lados.
or ejemplo:
r ejemplo:
Triángulo Notable 45º y 45º 2
45º
a 2 a
2
45º
a
Triángulo Notable 30º y 60º

a 3
30º
2a a 3
a 3
60º
TRIÁNGULOS APROXIMADOS
TRIÁ N GU LOS A PROX IMA DOS
ÁNNGU
GULOS
LOSAPROX
APROXIMA
IMADOS
DOS
53º 74º 82º

5 2a
5a 3a 25a 5 2a 7a 5 2a a
37º 16º 8º
4a 24a 7a
CA
CA CIÓN
CIÓN
TABLA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES :
A PLICA
2 CIÓN
Calcular: E = sen2 30º + tg37º
lcular: E = sen 30º + tg37º
2
 12 3 1 3
Reemplazando valores: E   1   23  1 3  E1
emplazando
1. valores: E     30º
Calcular: E =2 sen 4 4  E  1
4 + tg37º
R.T.
2
 4 30º 4 4 60º 45º 37º 53º 16º 74º
2
2 1 3 1 3
Reemplazando
2 45º  cos 60 º valores: E  
sen      E1
Evaluar: E sen 45º  cos 60ºSen 2 4 4 4
aluar: E  csc 30º
csc 30 º

2
2 Cos
 2 2
  1 2 1
  2   1 2 sen
Tan 22 45
1
     2º  cos1 60 º
4
2. Evaluar:
Reemplazando: 2 E  4 2
2 1
emplazando:    2  º2
2 csc 302
2
2 Ctan
2
Sec 2
   1 2 1
 2  2 
Csc  4 2 1
Reemplazando:  
2 2 2

1. Calcular: E  6 tan 30 sec 45  3 sec 53

a) 3 b) 2 3 c) 3 3
a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 3 e) 6 3
d) 9 e) 11
2. Calcular: E = sec 37º + cot 53º - 2sen30º 7. Del gráfico hallar: tan θ
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 53º
3. Resolver:
5xsen53º - 2sec60º = xtan45º + sec245º 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/4 a) 2/3 b) 3/2 c) 6/5
d) 5/6 e) 5/3
4. Indicar el valor de “x” en:

8. Si: ABCD es cuadrado calcular: E = cotα +
tan(2x - 5º) = sen230º + sen260º
tan
a) 15º b) 20º c) 25º B C

d) 30º e) 35º

tgx2
 
tgxtgx A
tgx  sec 60 º D
5. Si: . Calcular del
gráfico tanθ
a) 2 b) 3/2 c) 1
d) 2/3 e) 1/4

9. El triángulo ABC es equilátero hallar:
E = cot x . cot y
x B
4
2 2
a) 2 b) c)
2 3 4
y
2 2
d) e) 2
4 5 x
A C
6. Determine cot θ en: a) 1/4 b) 3/8 c) 12

d) 9 e) 17/3
15 0 º
6 3 6
10. Del gráfico calcular: tan x (O es centro)

x
AC BC CD
 
3 2 2 5
37º
P
O
B z
a) 2 b) 3 c) 1/2 C
45º
d) 1/3 e) 1
x
A D
11. Del gráfico calcular: tan θ
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9/2 e) 7/4
 15. Del gráfico hallar: F  5 sen  cot 
45º
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5  30º
a) 1 b) 2 c) 3
12. Del gráfico calcular tanθ. Si: ABCD es un d) 4 e) 5
cuadrado.
16. Determinar “x” en:
B C 5 xsen37º  sen30º  2 cot 53º  x

a) 2-1 b) 3-1 c) 4-1
d) 5-1 e) 6-1
37º
A D
17. Resolver:
a) 1/2 b) 1 c) 1/3
d) ¼ e) 2 x  3 tan 53º
 2 tan 37º  sen30º
sec 2 45º  x
13. Del gráfico calcular tan

a) 0 b) 3 c) 1
d) 2 e) -1
x  3 cot 37º
18. Resolver:  csc 2 45º  x
2 tan 37º  cos 60º

a) 0 b) 3 c) 1
d) 2 e) -1
37º
a) 1/4 b) 2/5 c) 1/5 19. Calcular el valor de “x”. Si:

d) 2/7 e) 3/7 1
tan 2 x  1  sen 2 60º 
4
a) 11º b) 22º c) 33º
d) 44º e) 65º
14. Del gráfico calcular: tanz . cotx

1. Calcular:
E = 4sen30º – 5sen37º + 3 tag60º
Resolviendo
a) 24 b) 21 c) 36
d) 25 e) 12
5. Resolver:
a) 1 b) 2 c) 3 5xsen37º - csc30º = 2tan45º - x
d) 5/2 e) 3/2
Resolviendo
2. Calcular:
sec 60º  tan 45º  2 cos 60º
E
sec 37º  tan 37º
Resolviendo
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 1/3 e) 2/3
6. Del gráfico hallar “ cot  ”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/3
5 2
3. Calcular: 45º 
E= (sec60º + tan45º) sec53º + 6 tan60º.
Sec45º 20
a) 2 b) 3 c) 1
Resolviendo d) ½ e) 1/3
Resolviendo
a) 7 b) 9 c) 10
d) 11 e) 13
4. Calcular:
7. Del gráfico hallar “cotα”
E = (tan260º + sec60º) (4tan37º + sec245)
Resolviendo

15
37º 
21
Resolviendo a) 1/11 b) 2/11 c) 3/11
d) 4/11 e) 5/11
10. Calcular “senθ” siendo “O” centro
37º
a) 1 b) 2 c) ½ O
d) 1/3 e) 3
Resolviendo
8. Del gráfico hallar “tanθ”
53º 45º 
a) 1/2 b) 3/8 c) 4/15
Resolviendo d) 11/18 e) 7/25
11.Del gráfico hallar sen
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3 x 
d) 0,4 3x
37
a) 4/5 b) 4/7 c) 4/11 e) 0,5
º 5x -
d) 4/9 e) 4/23
2
12.Del gráfico hallar tg
9. Del gráfico obtener “tanθ”
a) 0,3
b) 0,4 
53º
37º
c) 0,8 45º
d) 1,6
 e) 1,8
13.Si: BC  3AB  a 3
Resolviendo Calcule: E  3sen  2sen

3 6 15.Del gráfico calcular ctg. Si: DC  7AD

a) a
4 B
a) 3 B
b) 6a
30º b) 2 3
c) 2 6 a 45º M
c) 3 3
6
d) a d) 4 3 
4  
A C e) 6 3 60º
6 2 1
e) a A D C
6
14.Del gráfico calcular tg

(“O” centro de la circunferencia)
a) 3
3
b)
2 C
3
c) O
3
3
d) 
4
3 A T B
e)
5

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
Siempre y cuando:
 =
c
a
2. Razones Trigonométricas Complementarias


Siempre y cuando:
b  +  = 90º
(Complementarios)
1. Indicar lo incorrecto: 4. Hallar : “x”

a) sen20º = cos70º
Si: cos(3x – 12º) sec(x + 36º) = 1
b) tan10º cot10º = 1
c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) a) 12º b) 24º c) 36º
d) 48º e) 8º
d) tan(x + y) cot(x + y) = 1
e) tan20º = cot20º
5. Determine : “x” en:
2. Señale el valor de “x” Sen(3x + 25º) csc(x + 35) = 1

Si: sen2x csc40º = 1
a) 5º b) 8º c) 10º
a) 10º b) 5º c) 15º d) 15º e) 20º
d) 20º e) 40º
3. Sabiendo que tan5x cot(x + 40º) = 1 6. Calcular :

Calcular: cos3x E = (7tan10º - 2ctan80º) (ctan10º +
1 2 tan80º)
a) 1 b) c)
2 2
a) 5 b) 14 c) 10
2 d) 12 e) 8
d) 3 /2 e)
3

7. Calcular :
13. Si: sen(x + 2y) = cos(2x + y)
sen10 º 2tg20 º 3 sec 40 º Calcular:
E  
cos 80º ctg70 º csc 50 º
( tg3 x  tg3 y )2  ( tg3 x  tg3 y )2
a) 1 b) 2 c) 0 tg( x  y )
d) -1 e) -2
8. Si: sec7x = csc4x 4 3 2 3 3

a) b) c)
Calcular : 3 3 3
2senx tg3 x d) 2 3 e) 4 3
E 
cos 10 x ctg8 x
a) 0 b) 1 c) 2 14. Si:  y  verifican la igualdad:

d) -1 e) -2
Sen4 sec6 = 1
9. Si: “x” e “y” son complementarios Calcular:
además:
( tgx )ctg
2y
3 3
sen(3  2)  tg(5  )
Calcular: cos(   4)  ctg(5   )
x
E  2sen    sec 2y a) 0 b) 1/2 c) 1
2 d) 2 e) 3
a) 1 b) 3 c) 3/2
d) 5/2 e) 4 15. Siendo “” y “” complementarios que
verifican la igualdad.
Sen( +  sen()) = cos( -  cos())
10. Calcular: cos(x + y)
Si: sen(x – 5º) csc(25º - x) = 1 Calcular:
Sen(y + 10º) = cos(y + 20º) 1 1
E 
 
2 1
a) 2 b) c)
2 2 a) 1 b) 2 c) 3
3 3 d) 4 e) 5
d) e)
5 2
16. Calcular:
E = (4sen2º + 3cos88º) csc2º
11. Simplificar:
a) 14 b) 13 c) 11
tg10 º  tg20 º  tg30º ........  tg80 º d) 9 e) 7
E
ctg10º ctg20 º ctg30 º ........  ctg80 º
17. Simplificar:
1 1 2sen10º 3tg30º 5 sec 20º
E  
a) 1 b) c) cos 80º ctg60º csc 70º
2 3
3 2
d) e) a) 4 b) 6 c) 8
2 2
d) 10 e) 12
12. Sabiendo que: tan3x tan(x + 42º) = 1
Calcular: 18. Si: sen3x = cos14x
Calcular:
E = sec25x – 4tan(3x + 1º) 2 sec x
E = tg 5 x tg12 x +
csc 16 x
a) 1 b) -1 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 e) 0 d) 4 e) 5

19. Si: “x” e “y” son complementarios 20. Si: sec(4x – 10º) = csc(40º - x)
además: Calcular:
senxcosy = sen45º 3x
Determine: E  tg 2 3 x  csc
2
E = sec2x + tg2y
a) 3 b) 4 c) 5
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
d) 5 e) 0
1. Indicar lo incorrecto: Calcular: cos3x

1 2
a) sen15º = cos75º a) 1 b) c)
2 2
b) sec28º = csc62º
c) tan20º ctan20º = 1 3 4
d) e)
d) sen42º csc42º = 1 5 5
e) cos8º = cos82º
4. Señale el valor de “x”
Si: cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1
2. Señale el valor de “x”
Si: sen3x csc54º = 1 Resolviendo
Resolviendo
a) 10º b) 20º c) 30º

d) 40º e) 50º
a) 10º b) 12º c) 14º
d) 16º e) 18º
5. Si: sen(3x – 10º) csc(x + 10º) = 1

3. Sabiendo que: tan3x ctan(x + 40º) = 1 Calcular:

E = sec6x tan8x tanx

Calcular:
Resolviendo xy xy
sen( )  cos( )
4 2
cos(x  y  85º )  sen(x  y  120º )
Resolviendo
a) 1 b) 2 c) 3
3 2 3
d) e)
2 3
a) 1/2 b) 2 c) -1
6. Determine el valor de “x” en : d) 0 e) 1
tg(x – 10º) = tg1º tg2º tg3º ……. Tg89º 9. Si: sec(m – 10º) = csc(n + 10º)
Resolviendo
Calcular :
mn mn
E  tg( )  csc( )
2 3
Resolviendo
a) 30º b) 45º c) 55º

d) 65º e) 75º
7. Si: sen2x sec(x + 12º) = 1

a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
Calcular:
10. Calcular:
3x
E  sen(2x  1º )  sen(  2º )  3
2 sen(  x) tg(  x)
E 5  8
Resolviendo 3 
cos(  x) ctg(  x)
10 8
Resolviendo
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3

d) 1,4 e) 1,5
a) 2 b) 3 c) 1
8. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º) d) 0 e) ½
11. Si : tg (2y – 3º) sen (93º - 2y) = cos (4x +
y). Calcular : E =
sec 4 x  csc 3( y  1º )
sen 6x

Resolviendo d) 2 e) 1
14. Si : sen (3x + 10º) = cos (6x – 10º).

9x
Calcular : E = tg  sec (3x  7 º )
2
Resolviendo
a) 2 b) 2 3
c) 6
d) 1 e) 0
12. Si : sen 2x + tg 2y = cos 2y + ctg 2x.

Calcular : a) 1/2 b) 1 c) 1/12
E = tg (x + y) tg 2x – ctg 2y ctg (x + y) d) 9/4 e) 3/2
Si además “x” e “y” son ángulos agudos.
Resolviendo 15. Calcular : E =
tg x tg 2x tg 3x   tg 8x
siendo :
sen 3x  cos 6x
tg (3x – 10º) = cos (100º - 3x) csc 7x
Resolviendo
a) 1 b) 3 c) 4
d) 2 3 e) 0
13. Si : sen (2)csc ( + 30º) = 1

tg ( + 20º) = ctg ( - 20º) a) 1 b) 2 c) 1/2
Calcular : d) 3 /2 e) 3 /3
E = sen (q - 10º ) secq + tg (q - 5º ) tg (a + 5º )
Resolviendo
a) 5 b) 4 c) 3












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GUÍA DE CLASES PREUNIVERSITARIO

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

Ángulos Positivos Ángulos Negativos

Si el rayo gira en sentido antihorario. Si el rayo gira en sentido horario.

3. Ángulo de una Vuelta

PREPA MILESIOS Trigonometría 9

1. Señale la relación correcta entre  y .

6. Del gráfico hallar “x”

7. De acuerdo al gráfico señale lo correcto: b)  -  = 180º

10 Trigonometría PREPA MILESIOS

8. Calcular el valor “x” del siguiente gráfico:

14. Señale la relación correcta respecto a los

10. De la figura expresar x en términos de  y

d) - -  + 360º a)  -  = -90º b)  +  = 90º

16. Calcular el valor de x: b) 24º

a) 90º -  -  21. Hallar “x”

12 Trigonometría PREPA MILESIOS

6. Del gráfico hallar “x”

2. Del siguiente gráfico hallar “x”

a) 10º b) 20º c) 30º c

4. Del gráfico hallar la relación entre  y . a) 90º - a – b + c b) 90º + a + b - c

PREPA MILESIOS Trigonometría 13

SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULAR

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES I

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

1. Sistema Sexagesimal (Inglés)

1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”

2. Sistema Centesimal (Francés)

1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s

3. Sistema Radial o Circular (Internacional)

. m  ángulo A0B = 1 rad .

14 Trigonometría PREPA MILESIOS

Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.

Magnitudes Angulares equivalente:

∢ 1 vuelta : 1 v . 360º = 400g = 2rad .

1. Expresar el complemento de 30º en el d) 13/3 e) 15/2

PREPA MILESIOS Trigonometría 15

a) 80º b) 81º c) 85º a) 0,4F b) 0,6 F c) 0,8 F

  17. Si: aºb’c” = 5º48’23” + 6º25’40”

16 Trigonometría PREPA MILESIOS

1. Expresar el suplemento de 60º en el 

2. Expresar el complemento de 20 g al Resolviendo

a) 60º b) 62º c) 63º

a) 260g b) 264g c) 266g

PREPA MILESIOS Trigonometría 17

7. Si:  = (x + 12)º además: 9. Del gráfico calcular: 10x – 9y

a) 240 b) 2 400 c) 24 000

10. Se tiene un sistema de medida angular

18 Trigonometría PREPA MILESIOS

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES II

De la fig. Sº = Cg = Rrad (*)

Dividiendo (*) entre (**) tenemos:

PREPA MILESIOS Trigonometría 19

1. Determine un ángulo en radianes si se  

2. Hallar la medida de un ángulo en radianes 8. Señale la medida circular de un ángulo si

9. Señale la medida radial de un ángulo

20 Trigonometría PREPA MILESIOS

12. Obtener la medida circular de un ángulo 40 g  27 º