Ley de Stokes

LEY DE STOKES
OBJETIVO GENERAL
El presente documento habla sobre la Ley de Stokes y su importancia la cual está
ilustrada en el hecho de que ha jugado un papel crítico en la investigación de al
menos 3 Premios Nobel.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer cuál es la Ley de Stokes y sobre que trata
Conocer como se representa la Ley de Stokes
Conocer la importancia y aplicaciones de la ley de Stokes
Conocer el flujo de Stokes
INTRODUCCIÓN
El concepto de arrastre tiene importantes consecuencias en la vida diaria, y el

comportamiento de arrastre de los diversos cuerpos naturales y fabricados por los
humanos se caracteriza por sus coeficientes de arrastres medidos en condiciones
de operaciones normales. Aunque el arrastre es provocado por dos efectos
diferentes (fricción y presión), usualmente es difícil determinarlos por separado.
Además, en la mayoría de los casos, se esta interesado en el arrastre total. La
determinación de los coeficientes de arrastre ha sido el tema de numerosos
estudios (especialmente experimentales) y en la literatura existe una gran cantidad
de datos de coeficientes de arrastre para casi cualquier geometría de interés
práctico.
En general, el coeficiente de arrastre depende de arrastre depende del número de
Reynolds por abajo aproximadamente 104. A números de Reynolds mayores, los
coeficientes de arrastre para la mayoría de las geometrías en esencia permanecen
constantes. Esto se debe a que el flujo a números de Reynolds altos se vuelve
totalmente turbulento. Sin embargo, este no es el caso para cuerpos redondeados
como los cilindros circulares y las esferas. Los coeficientes de arrastre reportados
usualmente sólo se aplican a flujos de números de Reynolds altos.
El coeficiente de arrastre exhibe diferente comportamiento en las regiones bajas

(flujos de Stokes), moderada (laminar) y alta (turbulenta) del número de Reynolds.
Los efectos inerciales son despreciables en flujos con número de Reynolds bajo
(Re<1), llamados flujos de Stokes, y el fluido se enreda suavemente alrededor del
cuerpo. En este caso, el coeficiente de arrastre es inversamente proporcional al
número de Reynolds, y para una esfera se determina en:
24
Esfera: C D = ℜ ( ℜ≤1)
Entonces la fuerza de arrastre que actúa sobre un objeto esférico a números de

Reynolds bajos se convierte en:
ρ V 2 24 ρ V 2 24 π D2 ρ V 2
F D =C D A =ℜ A = =3 πμVD
2 2 ρVD / μ 4 2
que se conoce como Ley de Stokes, en honor del matemático y físico británico
G.G Stokes (1819-1903). Esta relación muestra que, a números de Reynolds muy
bajos, la fuerza de arrastre que actúa sobre un objeto esférico es proporcional al
diámetro, la velocidad y la viscosidad del fluido.
CONTENIDO
Ley de Stokes
Cuando un fluido ideal de viscosidad nula circula alrededor de una esfera, o

cuando una esfera se mueve a través de un fluido en reposo, las líneas de
corriente forman una figura perfectamente simétrica alrededor de ella, tal como se
muestra en la figura 1 (a). La presión en cualquier punto de la semiesfera que se
enfrenta a la corriente es exactamente la misma que en el punto correspondiente
de la cara opuesta, y la fuerza resultante sobre la esfera es nula. Sin embargo, si
el fluido tiene viscosidad, habrá un arrastro viscoso sobre la esfera. (Naturalmente,
también un cuerpo de forma cualquiera experimenta arrastre viscoso, pero solo en
el caso de la esfera resulta fácil calcular este arrastre).
No intentaremos deducir directamente la expresión de la fuerza debida a la

viscosidad a partir de las leyes de circulación de un fluido viscosos. Las únicas
magnitudes de las que puede depender la fuerza son la viscosidad ŋ del fluido, el
radio r de la esfera y la velocidad v de esta respecto al fluido. Un estudio detenido
permite deducir que la fuerza F viene dado por:
Donde:
F=6 πηrv r = el radio de la esfera
v = su velocidad
n = su viscosidad
Esta ecuación fue deducida por primera vez por Sir George Stokes en 1845 y se
denomina Ley de Stokes.
Se recordará que una esfera que cae en el interior de un fluido viscoso alcanza
una velocidad límite, vT, para la cual la fuerza retardadora de la viscosidad más el
empuje hidrostático es igual al peso de la esfera. Sea ρ la densidad de la esfera y
ρ’ la del fluido. El peso de la esfera será entonces ( 4/3)π r 3 ρg, y el empuje
( 4/3)π r 3 ρ' g . Cuando se alcanza la velocidad limite, la fuerza total es nula, y
4 3 ' 4
π r ρ g+ 6 πηr vT = π r 3 ρg ,
3 3
O bien
2 r2 g '
vT = ( ρ−ρ )
9 η
Midiendo la velocidad límite de una esfera de radio y densidad conocidos, puede

hallarse, a partir de la ecuación anterior, la viscosidad del fluido en el cual cae.
Inversamente, si se conoce la viscosidad, puede determinarse el radio de la esfera
midiendo la velocidad límite. Este método fue utilizado por Millikan para hallar el
radio de gotitas de aceite muy pequeñas cargadas eléctricamente (empleadas
para medir la carga eléctrica de un solo electrón) por observación de su caída libre
en el aire.
Incluso para cuerpos no esféricos se cumple una relación de la misma forma que
dV π R 4 P1−P2
la ecuación Q= = , con un coeficiente númerico distinto. Los
dt 8 η L
biologos llaman a la velocidad límite velocidad de sedimentación, y los
experimentos de sedimentación pueden dar información útil referente a partículas
muy pequeñas. A menudo resulta útil incrementar la velocidad límite haciendo
girar la muetra en una centrífuga, con lo que aumenta grandemente la aceleración
gravitatoria eficaz.
En resumen, esta ley se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos

esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de
bajos números de Reynolds.
Un cuerpo que cumple la ley de Stokes se ve sometido a dos fuerzas: la
gravitatoria y la de arrastre. En el momento que ambas se igualan su aceleración
se vuelve nula y su velocidad constante. Para los objetos muy pequeños domina la
fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para una esfera.
Aplicaciones
La ley de Stokes es el principio usado en los viscosímetros de esfera en caída
libre, en los cuales el fluido está estacionario en un tubo vertical de vidrio y una
esfera, de tamaño y densidad conocidas, desciende a través del líquido. Si la bola
ha sido seleccionada correctamente alcanzará la velocidad terminal, la cual puede
ser medida por el tiempo que pasa entre dos marcas de un tubo. A veces se usan
sensores electrónicos para fluidos opacos. Conociendo las densidades de la
esfera, el líquido y la velocidad de caída se puede calcular la viscosidad a partir de
la fórmula de la ley de Stokes. Para mejorar la precisión del experimento se
utilizan varias bolas. La técnica es usada en la industria para verificar la viscosidad
de los productos, por ejemplo, la glicerina o el sirope.
La ley de Stokes también es importante para la compresión del movimiento de

microorganismos en un fluido, así como los procesos de sedimentación debido a
la gravedad de pequeñas partículas y organismos en medios acuáticos. También
es usado para determinar el porcentaje de granulometría muy fina de un suelo
mediante el ensayo de sedimentación.
En la atmósfera, la misma teoría puede ser usada para explicar porque las gotas
de agua (o los cristales de hielo) pueden permanecer suspendidos en el aire
(como nubes) hasta que consiguen un tamaño crítico para empezar a caer como
lluvia (o granizo o nieve). Usos similares de la ecuación pueden ser usados para
estudiar el principio de asentamiento de partículas finas en agua u otros fluidos.
Flujo de Stokes alrededor de una esfera
Flujo estacionario de Stokes
En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración

convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-
Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo
incompresible y estacionario:
∇ p=η ∇ 2 u=−η ∇ × w
∇ × u=0
donde:
p es la presion del fluido (Pa)

u es la velocidad del flujo (m/s)
w es la vorticidad (s-1), definida como w=∇ × u
Flujo alrededor de una esfera
Para el caso de una esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el

sistema de coordenadas cilíndrico ( r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la
esfera y está alineado con la dirección del flujo, mientras que r es el radio medido
perpendicular al eje z. El origen es el centro es de la esfera. Debido a que el flujo
es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut φ.
En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito

por la función del flujo de Stokes ψ, la cual está en función de r y z:
1 ∂ψ 1 ∂ψ
v= , w=
r ∂z r ∂z
con v y w como componentes del flujo de velocidad en la dirección r y z,

respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es
cero, en el caso simétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitado por
una superficie de valor constante ψ, es igual a 2π ψ y es constante.
La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flujo en la superficie de la

esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente, tiene el
mismo valor en cualquier punto de la esfera:
3 ηV
σ= e
2R z
con e z el vector unitario en la dirección z. Para otras formas que no sean la

esférica, σ no es constante a lo largo de la superficie del cuerpo. Integrando la
fuerza viscosa por unidad de área σ sobre la esfera resulta la fuerza de fricción F d
de acuerdo con la ley de Stokes.
PROBLEMAS
1. Se observa que una partícula de polvo 0.1 mm de diámetro, cuya
densidad es de 2.1 g/cm3, esta suspendida en el aire a 1 atm y 25

°C en un punto fijo. Estime la velocidad ascendente del
movimiento del aire en dicha posición. Suponga que se aplica la
ley de Stokes.
2. Utilice el teorema de Stokes para evaluar
∬ s rot F ×dS × F ( x . y . z )=( x + tan−1 yz ) i+ y 2 zj+ zk , S es parte del
hemisferio x=√ 9− y 2−z 2 dentro del cilindro y 2 + z 2=4 que esta
orientado en la dirección del eje x positivo.

IMÁGENES
VIDEOS
https://www.youtube.com/watch?v=t9w1sT1XrVg&t=28s
https://www.youtube.com/watch?v=8VNuv8WGPyY&t=160s
REFERNCIAS
https://www.youtube.com/watch?v=Z9EJ0sCDgOE
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stokes
Sears, F., Zemansky, M., Young, H. 1981. Física, Madrid, España,

Aguilar
Cengel, Y., Cimbala, J. 2006. Mecánica de fluido, McGraw-Hill

Interamericana
Bird, B., Stewart, W., Lightfoot, E. Fenómenos de transporte,

Limusa Wiley

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LEY DE STOKES

El concepto de arrastre tiene importantes consecuencias en la vida diaria, y el

El coeficiente de arrastre exhibe diferente comportamiento en las regiones bajas

Entonces la fuerza de arrastre que actúa sobre un objeto esférico a números de

Cuando un fluido ideal de viscosidad nula circula alrededor de una esfera, o

No intentaremos deducir directamente la expresión de la fuerza debida a la

( 4/3)π r 3 ρ' g . Cuando se alcanza la velocidad limite, la fuerza total es nula, y

Midiendo la velocidad límite de una esfera de radio y densidad conocidos, puede

En resumen, esta ley se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos

La ley de Stokes también es importante para la compresión del movimiento de

Flujo de Stokes alrededor de una esfera

Flujo estacionario de Stokes

En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración

p es la presion del fluido (Pa)

Flujo alrededor de una esfera

Para el caso de una esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el

En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito

con v y w como componentes del flujo de velocidad en la dirección r y z,

La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flujo en la superficie de la

con e z el vector unitario en la dirección z. Para otras formas que no sean la

1. Se observa que una partícula de polvo 0.1 mm de diámetro, cuya

densidad es de 2.1 g/cm3, esta suspendida en el aire a 1 atm y 25

orientado en la dirección del eje x positivo.

Sears, F., Zemansky, M., Young, H. 1981. Física, Madrid, España,

Cengel, Y., Cimbala, J. 2006. Mecánica de fluido, McGraw-Hill

Bird, B., Stewart, W., Lightfoot, E. Fenómenos de transporte,

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