Liceo Domingo Herrera Rivera Objetivo:

Matemática Analizar las técnicas de conteo utilizadas en probabilidad.

Tercero Medio A – E – G – H Aplicar las técnicas de conteo en experimentos con
Pamela Tobar resultados finitos.
Mauricio Gómez Caracterizar situaciones de probabilidad utilizando
permutaciones, variaciones y combinaciones.

Nombre y apellido Curso

TÉCNICAS DE CONTEO

Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso 𝑨 puede ocurrir de 𝒂 maneras

diferentes y otro suceso 𝑩, puede ocurrir de 𝒃 maneras diferentes, entonces el suceso
compuesto “𝑨 y 𝑩” puede ocurrir de 𝒂 ∙ 𝒃 maneras diferentes. Este principio se puede
aplicar también a más de dos sucesos.

Principio Aditivo: Si un determinado suceso 𝑨 puede ocurrir de 𝒂 maneras diferentes y

otro suceso 𝑩, puede ocurrir de 𝒃 maneras diferentes, entonces el suceso compuesto “𝑨
o 𝑩” puede ocurrir de 𝒂 + 𝒃 maneras diferentes. Este principio se puede aplicar
también a más de dos sucesos.

EJEMPLOS

1. Si Pedro dispone de 5 lápices de pasta, 4 de tinta y 3 de grafito, entonces, ¿de cuántas

maneras diferentes puede elegir un lápiz para hacer una tarea?

Solución:
Utilizamos el principio aditivo ya que podemos utilizar lápiz de pasta o lápiz de tinta o
lápiz grafito, luego

Lápiz de pasta o Lápiz de tinta o Lápiz grafito total

5 + 4 + 3 = 12

Se puede elegir de 12 maneras diferentes.

2. Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

Solución:
Utilizamos el principio multiplicativo ya que los resultados de lanzar un dado y una
moneda son: 6 y 2, luego

Lanzar un dado Y Lanzar una moneda total

6 ∙ 2 = 12

Se pueden obtener 12 resultados diferentes.

3. En un local de comida rápida, Patricio puede escoger un combo que contiene una de
5 hamburguesas distintas y una bebida entre 4 sabores distintos ó bien un jugo entre 2
sabores distintos y todo esto acompañado de papas fritas. ¿Cuántos combos distintos
puede armar Patricio?

Solución:
Hamburguesas y Bebida o Jugo Y Papas fritas Combos

5 ∙ 4+2 ∙ 1 = 5∙ 4+2 ∙1
= 5∙6∙1
= 30

Se pueden armar 30 combos distintos.

 ANÁLISIS COMBINATORIO

4. Una montaña tiene 4 caminos para llegar a la cima. ¿De cuántas maneras se puede
subir y bajar de la montaña?

Solución:
La montaña tiene 4 caminos para subir, por ende para bajar también son 4 caminos

Subir a la montaña y Bajar de la montaña Total

4 ∙ 4 = 16

Hay 16 maneras para subir y bajar de la montaña.

5. Con los mismos datos del problema 4, ¿de cuántas maneras se puede subir y bajar de
la montaña, pero considerando que por donde subes no puedes bajar?

Solución:
Tenemos 4 caminos para subir, pero al elegir un camino me quedan sólo 3 para poder
bajar, entonces:

Subir a la montaña y Bajar de la montaña Total

4 ∙ 3 = 12

Hay 12 maneras para subir y bajar de la montaña sin bajar por el mismo camino que
subió.

6. María tiene 5 jeans y 2 pantalones de tela. ¿De cuántas maneras puede elegir un
pantalón para vestirse?

Solución:
Sólo puede elegir un pantalón, puede ser jeans o puede ser de tela, es decir:

Jeans o tela total

5 + 2 = 7

Puede elegir un pantalón de 7 maneras.

7. ¿Cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, si los dígitos no pueden repetirse?

Solución:
Para formar un número de tres cifras necesito una centena, una decena y una unidad.
Para elegir la centena tengo 7 opciones, ahora sólo me quedan 6 opciones para elegir la
decena y sólo 5 opciones para elegir la unidad, esto es porque no se pueden repetir los
dígitos.

Centena y decena y unidad total

7 ∙ 6 ∙ 5 = 210

Se pueden formar 210 números de 3 cifras sin repetir los dígitos.

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 ANÁLISIS COMBINATORIO

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿De cuántas formas se puede cruzar un río una vez, si se cuenta con 2 botes y 3
barcos?
2. ¿De cuántas formas se puede vestir una persona que cuenta con 6 pantalones y 3
camisas?
3. ¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar dos dados?
4. ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa
(tradicional y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana)?
Sólo se puede pedir una masa y un sabor?
5. Un repuesto de automóvil se vende en 4 tiendas de Santiago y en 9 tiendas de
Lima. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?
6. Los números de celulares de chile son de 9 dígitos. El primer dígito siempre es un
9. ¿Cuántos números de celular se pueden formar?

SOLUCIONES

1. 5 2. 18 3. 36 4. 8 5. 13 6. 108

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 ANÁLISIS COMBINATORIO

FACTORIALES

Sea 𝒏un número natural, se llama factorial de 𝒏o 𝒏factorial, alproductode los

𝒏primeros números naturales y se denota por 𝒏!

Se defirne lo siguiente:

 1! = 1
 𝑛! = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 !

Se deduce de lo anterior que:

𝒏! = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ∙ … ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏

Observación: 0! = 1

EJEMPLOS

1. Calcular el valor de los siguientes factoriales:

A 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

B 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 2580
2! ∙ 3!
Para resolver este ejercicio, se debe resolver cada factorial por separado
2! = 2 ∙ 1 = 2
C 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Luego:
2! ∙ 3! = 2 ∙ 6 = 12

2! + 1! + 3!
Para resolver esta adición, se calcula cada factorial por separado
2! = 2 ∙ 1 = 2
1! = 1
D
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Luego:
2! + 1! + 3! = 2 + 1 + 6 = 9

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. ¿Cuál de los siguientes números 8, 9, 10, 14, 18, es divisor de 6!?

2. Calcular el valor de:
a. 8! =
b. 4! =
c. 5! =
d. 7! =
3. Calcular el valor de
a. 4! + 1! − 3! =
2!+5!
b. =
3!
0!+6!−4!
c. =
1!+1!

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 ANÁLISIS COMBINATORIO

SOLUCIONES

1. El 6! es divisible por 8, 9, 10 𝑦 18
2. a. 40320 b. 24 c. 120 d. 5040
61 697
3. a. 19 b. c.
3 2

PERMUTACIONES

Se denomina permutación a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden

realizar con todos los elementos de un conjunto.

Permutación simple o lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con los
elementos de un conjunto, sin repetirlos.

𝑃 𝑛 = 𝑛!

Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de 𝑛 elementos, de los

cuales, 𝑘1 son iguales, 𝑘2 son iguales, … ,𝑘𝑟 son iguales, está dada por:

𝑛!
𝑃𝑟𝑒𝑝 =
𝑘1 ! ∙ 𝑘2 ! ∙ … ∙ 𝑘𝑟 !

Permutaciones circulares: El número de maneras diferentes en que se pueden ordenar

𝑛 elementos diferentes a lo largo de una circunferencia está dado por:

𝑃𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙 = 𝑛 − 1 !

EJEMPLOS

1. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 autos en fila en un estacionamiento?

Solución:
Debemos ubicar los 5 autos, por lo tanto estamos usando los 5 elementos, esto
corresponde a una permutación lineal.
El primer vehículo tiene 5 lugares para elegir el estacionamiento.
El segundo vehículo tiene 4 lugares para elegir el estacionamiento.
El tercer vehículo tiene 3 lugares para elegir el estacionamiento.
El cuarto vehículo tiene 2 lugares para elegir el estacionamiento.
Y el quinto sólo tiene 1 lugar para elegir el estacionamiento.
Luego
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Como es una permutación lineal podemos calcularlo usando factorial.
5! = 120
Se pueden ubicar de 120 maneras.

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 ANÁLISIS COMBINATORIO

2. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden hacer con todas las letras de la
palabra ELEMENTO?

Solución:
Al usar todos los elementos (letras) corresponde a permutación y por haber letras
repetidas corresponde a una permutación con repetición.

ELEMENTO hay 8 letras (el total corresponde a 𝑛)

La letra E se repite 3 veces (las letras repetidas corresponden a 𝑘)

8! 40320
Por lo tanto sería al calcular obtenemos = 720
3! 6
Se pueden formar 720 palabras con o sin sentido.

3. ¿De cuántas maneras distintas se puede sentar una familia de 7 integrantes

alrededor de una mesa circular?

Solución:
Utilizamos todos los elementos (integrantes de la familia) para ordenarlos, por lo
tanto corresponde a una permutación, pero al ser en una mesa redonda es una
permutación circular.
En total son 7 integrantes que corresponden a 𝑛
𝑃𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙 = 7 − 1 ! = 6! = 720
Se pueden sentar de 720 maneras diferentes.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Pregunta sacada de un facsímil aplicado.

¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con la palabra
ANTOFAGASTA? (Si el resultado es un número muy grande, se puede dejar
expresado en factoriales)
2. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una mesa redonda?
3. Con las cifras 2,2,2,3,3,9,9,9,9 ¿cuántos números de 9 cifras se pueden formar?
4. En el palo de señales de un barco se pueden izar 2 banderas rojas, 3 azules y 5
verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 10
banderas?

SOLUCIONES

1 11! 2 24 3 9! 4 10!
4! 2! 3! 2! 4! 2! 3! 5!

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 ANÁLISIS COMBINATORIO

GUÍA DE EJERCICIOS

Resolver los siguientes ejercicios de acuerdo al método correspondiente

1. Daniel compra un candado que es con clave numérica (4 dígitos). ¿De cuántas
maneras puede elegir su clave?
2. En un restaurante ofrecen 7 tipos de tortas, 2 sabores de mousse y 5 sabores de
helado. ¿De cuántas maneras se puede elegir el postre?
3. Con los siguientes dígitos 6,7,8,8,9, ¿cuántos números de 5 cifras se pueden
formar?
4. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 3 buses y 3 trenes. De la
ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 3 barcos, 5 trenes o 2 aviones. ¿De
cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B?
5. ¿Cuál es el valor de 5! − 2!?
6. Noelia tiene 5 barbies. ¿De cuántas maneras puede sentar a sus barbies en una
mesa redonda?
7. Javier cuenta con 2 bicicletas, un par de patines, una patineta y un scooter. ¿De
cuántas maneras puede elegir un medio de transporte?
8. Se lanzan dos monedas y un dado, ¿cuántos resultados posibles podemos
obtener?
9. Javiera tiene 4 poleras, 3 pantalones, 4 pares de calcetas y 2 pares de zapatos.
¿De cuántas maneras puede vestirse?
10. Según el siguiente dibujo, ¿de cuántas maneras se puede llegar de A a D?

SOLUCIONES
1. 10000 2. 14 3. 60 4. 60 5. 118
6. 24 7. 5 8. 24 9. 96 10. 14

En la siguiente guía trabajaremos variación y combinación.

LA ENTREGA DEL DESARROLLO DE EJERCICIOS DEBE SER EL 19 DE JUNIO

En clases online haremos retroalimentación de los contenidos tratados en esta

guía.

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