EJEMPLO DE DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO

Un bachiller para su tesis desea saber los efectos que representan las variables
más influyentes en la flotación de cobre mediante un diseño factorial.

VARIABLES DE LA RECUPERACION DE COBRE NIVEL BAJO

Z1 = tiempo de molienda (min) 5
Z2 = pH 8.5
Z3 = dosificación de colector (lb/ton) 0.1
Z4 = espumante (lb/ton) 0.2

Datos obtenidos experimentalmente u observados

N° DE EXPERIMENTOS 1 2 3
Y (respuesta) 87.5 90.2 87.4

SOLUCIÓN

La siguiente tabla, muestra los indicadores de nivel para el diseño 2^3

N° de Natural
experimentos Z1 Z2 Z3 Z4
1 5 8.5 0.1 0.2
2 8 8.5 0.1 0.4
3 5 10.5 0.1 0.4
4 8 10.5 0.1 0.2
5 5 8.5 0.2 0.4
6 8 8.5 0.2 0.2
7 5 10.5 0.2 0.2
8 8 10.5 0.2 0.4
9 6.5 9.5 0.15 0.3
10 6.5 9.5 0.15 0.3
11 6.5 9.5 0.15 0.3
Se establece la matriz de variables independientes de lo valores experimentales u observados

N X0 X1 X2 X3
1 1 -1 -1 -1
2 1 1 -1 -1
3 1 -1 1 -1
4 1 1 1 -1
5 1 -1 -1 1
6 1 1 -1 1
7 1 -1 1 1
8 1 1 1 1
EFECTOS 175.025 2.975 1.275 -3.525

Replica en el centro del diseño

N Z1 Z2 Z3 Z4
9 6.5 9.5 0.15 0.3
10 6.5 9.5 0.15 0.3
11 6.5 9.5 0.15 0.3

Promedio de las replicas 88.4666666667

Desviación estardar 0.306
Desviación estardar asociado a cada coeficiente 0.108

Análisis de significancia
El valor tabulado de la distribución t-student para un nivel de significancia de 95% (p=0.05) y para 2 gr
el valor es 4.3. Así podemos concluir que la interacción triple (X1X2X3) NO es significativo para este p

Medida X0 X1 X2 X3
Efectos 175.025 2.975 1.275 -3.525
Coef. (E/2) 87.513 1.488 0.638 -1.763
t-student - 13.772 5.902 16.318
Significancia - SI SI SI
 Entonces, el modelo matemático codificado será:

𝑌_𝑀𝐶=87.513+1.488𝑋_1+0.638𝑋_2−1.763𝑋_3
Con los datos del problema, realizamos una tabla para decodificarlo

- Z1 Z2 Z3 Z4
Ẑj 6.5 9.5 0.15 0.3
ΔZj 1.5 1 0.05 0.1

𝑋_1=(𝑍_1−6.5)/1. 𝑋_2=(𝑍_2−9.5)/1 𝑋_3=(𝑍_3−0.15)/0.05

5

Por lo tanto, reemplazando en el modelo matemático codificado y despejando las variables

se obtiene el modelo matemático decodificado

𝑌_𝑀𝐷𝐶=80.293+0.992𝑍_1+0.638𝑍_2−35.26𝑍_3
Se procede a reemplazar los valores en cada modelo matemático

Modelo matemático codificado

N° X0 X1 X2 X3
Valores 87.513 1.488 0.638 -1.763
1 1 -1 -1 -1
2 1 1 -1 -1
3 1 -1 1 -1
4 1 1 1 -1
5 1 -1 -1 1
6 1 1 -1 1
7 1 -1 1 1
8 1 1 1 1
Modelo matemático decodificado

N° X0 X1 X2 X3
Valores 80.293 0.992 0.638 -35.26
1 1 5 8.5 0.1
2 1 8 8.5 0.1
3 1 5 10.5 0.1
4 1 8 10.5 0.1
5 1 5 8.5 0.2
6 1 8 8.5 0.2
7 1 5 10.5 0.2
8 1 8 10.5 0.2

Modelo para la recuperación de co

94

92

90
% Reuperación de cobre

88

86

84

82

80

78
0 1 2 3 4 5

Experimentos
L FRACCIONADO
las variables

NIVEL ALTO
8
10.5
0.2
0.4

4 5 6 7 8 9 10
92 84 85.8 85.2 88 88.4 88.8

Codificado
Y
X1 X2 X3 X4
-1 -1 -1 -1 87.5
1 -1 -1 1 90.2
-1 1 -1 1 87.4
1 1 -1 -1 92
-1 -1 1 1 84
1 -1 1 -1 85.8
-1 1 1 -1 85.2
1 1 1 1 88
0 0 0 0 88.4
0 0 0 0 88.8
0 0 0 0 88.2
perimentales u observados

X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y

-1 1 1 1 87.5
1 -1 -1 1 90.2
1 -1 1 -1 87.4
-1 1 -1 -1 92
1 1 -1 -1 84
-1 -1 1 -1 85.8
-1 -1 -1 1 85.2
1 1 1 1 88
-0.225 0.725 -0.675 0.425 -

X1 X2 X3 X4 Y
0 0 0 0 88.4
0 0 0 0 88.8
0 0 0 0 88.2

ancia de 95% (p=0.05) y para 2 grados de libertad (f=2)

X3) NO es significativo para este proceso investigado.

X4 X1X2 X1X3 X1X4

-0.225 0.725 -0.675 0.425
-0.112 0.362 -0.337 0.212
1.042 3.356 3.125 1.967
NO NO NO NO
espejando las variables

X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y

0 0 0 0 Respuesta
-1 1 1 1 87.15
1 -1 -1 1 90.126
1 -1 1 -1 88.426
-1 1 -1 -1 91.402
1 1 -1 -1 83.624
-1 -1 1 -1 86.6
-1 -1 -1 1 84.9
1 1 1 1 87.876
 X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y
0 0 0 0 Respuesta
4.25 42.5 42.5 21.25 87.15
6.8 68 68 54.40 90.126
5.25 52.5 52.5 26.25 88.426
8.4 84 84 67.20 91.402
8.5 42.5 42.5 42.50 83.624
13.6 68 68 108.80 86.6
10.5 52.5 52.5 52.50 84.9
16.8 84 84 134.40 87.876

recuperación de cobre por flotación

Experimental
Codificado
Decodificado

4 5 6 7 8 9

Experimentos
11
88.2
Experimental
Codificado
Decodificado
EJEMPLO DE DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO
Un bachiller para su tesis desea saber los efectos que representan las variables
más influyentes en la flotación de cobre mediante un diseño factorial.

VARIABLES DE LA RECUPERACION DE COBRE NIVEL BAJO

Z1 = tiempo de molienda (min) 0.5
Z2 = pH 40
Z3 = dosificación de colector (lb/ton) 4
Z4 = espumante (lb/ton) 0.43

Datos obtenidos experimentalmente u observados

N° DE EXPERIMENTOS 1 2 3
Y (respuesta de Ag) 79 84.03 87.73
Y (respuesta de Au) 99.31 84.03 17.56

SOLUCIÓN

La siguiente tabla, muestra los indicadores de nivel para el diseño 2^3

N° de Natural
experimentos Z1 Z2 Z3 Z4
1 1.5 160 36 0.43
2 1.5 160 4 0.75
3 1.5 40 36 0.43
4 0.5 160 4 0.43
5 1.5 40 4 0.75
6 0.5 40 36 0.75
7 0.5 160 36 0.75
8 0.5 40 4 0.43
9
10
 11

Se establece la matriz de variables independientes de lo valores experimentales u observados

N X0 X1 X2 X3
1 1 1 1 1
2 1 1 1 -1
3 1 1 -1 1
4 1 -1 1 -1
5 1 1 -1 -1
6 1 -1 -1 1
7 1 -1 1 1
8 1 -1 -1 -1
693.92 -7.66 21.68 25.34
EFECTOS 173.480 -1.915 5.420 6.335

Replica en el centro del diseño

N Z1 Z2 Z3 Z4
9 1 100 20 0.59
10 1 100 20 0.59
11 1 100 20 0.59

Promedio de las replicas 0

Desviación estardar 0.000
Desviación estardar asociado a cada coeficiente 0.000

Análisis de significancia
El valor tabulado de la distribución t-student para un nivel de significancia de 95% (p=0.05) y para 2 gr
el valor es 4.3. Así podemos concluir que la interacción triple (X1X2X3) NO es significativo para este p

Medida X0 X1 X2 X3
Efectos 173.480 -1.915 5.420 6.335
Coef. (E/2) 86.740 -0.958 2.710 3.168
 t-student - #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!
Significancia - #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

Entonces, el modelo matemático codificado será:

𝑌_𝑀𝐶=87.513+1.488𝑋_1+0.638𝑋_2−1.763𝑋_3

Con los datos del problema, realizamos una tabla para decodificarlo

- Z1 Z2 Z3 Z4
Ẑj 1 100 20 0.59
ΔZj 0.5 60 16 0.16

𝑋_1=(𝑍_1−6.5)/1. 𝑋_2=(𝑍_2−9.5)/1 𝑋_3=(𝑍_3−0.15)/0.05

5

Por lo tanto, reemplazando en el modelo matemático codificado y despejando las variables

se obtiene el modelo matemático decodificado

𝑌_𝑀𝐷𝐶=80.293+0.992𝑍_1+0.638𝑍_2−35.26𝑍_3

Se procede a reemplazar los valores en cada modelo matemático

Modelo matemático codificado

N° X0 X1 X2 X3
Valores 87.513 1.488 0.638 -1.763
1 1 -1 -1 -1
2 1 1 -1 -1
3 1 -1 1 -1
4 1 1 1 -1
5 1 -1 -1 1
6 1 1 -1 1
7 1 -1 1 1
 8 1 1 1 1

Modelo matemático decodificado

N° X0 X1 X2 X3
Valores 80.293 0.992 0.638 -35.26
1 1 5 8.5 0.1
2 1 8 8.5 0.1
3 1 5 10.5 0.1
4 1 8 10.5 0.1
5 1 5 8.5 0.2
6 1 8 8.5 0.2
7 1 5 10.5 0.2
8 1 8 10.5 0.2

Modelo para la recuperación de co

94

92

90
% Reuperación de cobre

88

86

84

82

80

78
0 1 2 3 4 5

Experimentos
80

78
0 1 2 3 4 5

Experimentos
L FRACCIONADO
las variables

NIVEL ALTO
1.5
160
36
0.75

4 5 6 7 8 9 10
83.53 97.1 75.99 86.96 99.58
95.41 13.19 84.71 93.88 62.35

Codificado
Y de Ag Y de Au
X1 X2 X3 X4
1 1 1 -1 79 99.31
1 1 -1 1 84.03 84.03
1 -1 1 -1 87.73 17.56
-1 1 -1 -1 83.53 95.41
1 -1 -1 1 97.1 13.19
-1 -1 1 1 75.99 84.71
-1 1 1 1 86.96 93.88
-1 -1 -1 -1 99.58 62.35
perimentales u observados

X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y

-1 1 1 -1 79
1 1 -1 1 84.03
-1 -1 1 -1 87.73
-1 -1 1 1 83.53
1 -1 -1 1 97.1
1 1 -1 -1 75.99
1 -1 -1 -1 86.96
-1 1 1 1 99.58
42.96 24.5 -9.32 5.22
10.740 6.125 -2.330 1.305 -

X1 X2 X3 X4 Y
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

ancia de 95% (p=0.05) y para 2 grados de libertad (f=2)

X3) NO es significativo para este proceso investigado.

X4 X1X2 X1X3 X1X4

10.740 6.125 -2.330 1.305
5.370 3.063 -1.165 0.652
 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!
#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

espejando las variables

X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y

0 0 0 0 Respuesta
-1 1 1 1 87.15
1 -1 -1 1 90.126
1 -1 1 -1 88.426
-1 1 -1 -1 91.402
1 1 -1 -1 83.624
-1 -1 1 -1 86.6
-1 -1 -1 1 84.9
 1 1 1 1 87.876

X4 X1X2 X1X3 X1X4 Y

0 0 0 0 Respuesta
4.25 42.5 42.5 21.25 87.15
6.8 68 68 54.40 90.126
5.25 52.5 52.5 26.25 88.426
8.4 84 84 67.20 91.402
8.5 42.5 42.5 42.50 83.624
13.6 68 68 108.80 86.6
10.5 52.5 52.5 52.50 84.9
16.8 84 84 134.40 87.876

recuperación de cobre por flotación

Experimental
Codificado
Decodificado

4 5 6 7 8 9

Experimentos
4 5 6 7 8 9

Experimentos
11
Experimental
Codificado
Decodificado