Proyecto integrador

ESTUDIANTES
CORREOS
1. Introducción
Una primera idea de función es la de una
En el presente proyecto integrador, se fórmula que relaciona algebraicamente
pretende desarrollar un análisis propio varias magnitudes. La representación
que se ha unificado por medio de las gráfica mediante diagramas cartesianos
discusiones aportadas por los integrantes permite la visualización de las funciones.
del grupo, en consecuencia, con los once De este modo, el concepto de función se
(11) problemas y cuestiones que se han generaliza a cualquier relación numérica
propuesto en el aula. que responda a una gráfica sobre unos
ejes coordenados. A continuación, se
El desarrollo de éste trabajo llevado a muestra un ejemplo de la representación
cabo con los basamentos teóricos que en de una función.
éste mismo documento se exponen; cabe
destacar además que el desarrollo del
presente trabajo permitió acotar aportes
significativos que se muestran en la
conclusión de éste informe, así como, los
anexos específicos en cada caso de
estudio (que haya sido necesario incluir).
1. Marco teórico.
En ésta sección, se establecen los
basamentos teóricos necesarios e
inherentes para llevar a cabo el desarrollo
y cumplimiento cabal del presente trabajo
integrador.
2. Desarrollo
1.1. Función
En ésta sección se presentará el
En matemáticas, una función f es desarrollo inherente a los problemas que
una relación entre un conjunto dado X presentan en el trabajo integrador.
(el dominio) y otro conjunto de
elementos Y (el codominio) de forma Problema 1.
que a cada elemento x del dominio le
corresponde un único elemento del A partir de la ecuación de la superficie
codominio f(x). De manera genérica, llamada paraboloide hiperbólico
una función se denota por: z 2=x 2− y 2
f :x→y determinar el nombre y la ecuación de las
Cabe destacar, que en muchos textos trazas (curvas) que se generan al cortar la
(o muchos autores), llaman al mencionada superficie con los planos
codominio (o definen) como el rango.
x=k, y=k, y z=k, donde k es una constate z 2+ x2 =k 2
cualquiera.
Dónde perfectamente puede verse
- Verifique las ecuaciones de las que se trata de una circunferencia, de
trazas al menos para -5≤k≤4 / k radio k y que se proyecta de manera
ϵ R aplicable en cada plano de perpendicular al eje y.
corte.
- Para cada una de las trazas
determine: Dominio, rango, b. Cuando y=k
cortes, simetría, signo, asíntotas.
- Con la ayuda de software grafique
y compruebe los resultados c. Cuando z=k
anteriores.
b) Repita el análisis sobre el hiperboloide
de una hoja
Problema 2.
Un médico dispone de 1 hora diaria para
consulta. El tiempo que podría, por
término medio, dedicar a cada enfermo,
tanto para c<0 como para c>0. Por depende del número de ellos que se
ejemplo, use a=2, b= √ 5 y c=-1. acudan:
c) Repita el análisis sobre un elipsoide 1 enfermo 60 minutos
2 enfermos 30 minutos
3 enfermos 20 minutos
Por ejemplo, use a=1, b=3 y c=2. ..... ....... ......... ......
Solución problema 1: Así hasta un máximo de 30 enfermos. Si
llamamos x al número de enfermos e y al
Para el caso de éste problema se decidió
de minutos dedicados a cada enfermo
tomar como base, la ecuación aportada
escribe la expresión funcional que existe
por el problema que sería:
entre ellas ¿Cómo es la variable
z 2=x 2− y 2 independiente, continua o discreta?
Dibuja la gráfica
Ahora bien, al comparar para
diversos casos en donde cada una de la ¿Tiene sentido unir los puntos de la
variable toma valores de k definidos para gráfica con una línea?
todo k ϵ R.
Solución problema 2:
a. Cuando x=k
La correspondencia se establece entre el
2
z =k −x 2 2
conjunto de enfermos que puede atender
(de 1 a 30) y el tiempo dedicado a cada t=1 segundo
uno (de 60 a 1 minuto) siguiendo la tabla:
1
t= segundo
X Y 3
(enfermo) (tiempo)
Problema 4.
1 60
2 30 Se va a construir una caja abierta (sin
3 20 tapa) de volumen máximo con una pieza
cuadrada de material de 24 centímetros de
Problema 3. lado, recortando cuadrados iguales en las
esquinas y doblando los lados hacia arriba
Un viajero quiere alcanzar un tren en (ver la figura).
marcha. Las funciones que relacionan el
espacio y el tiempo son, en cada caso:
Viajero:

Sv = 4t ST =1+3t2
A partir de esta información representa
las gráficas correspondientes. ¿Llega a
producirse el alcance? ¿En qué momento? a) Expresar el volumen V como función
Ayúdese de un Software para sustentar su de x, que es la longitud de las esquinas
respuesta. cuadradas. ¿Cuál es el dominio de la
Solución problema 3: función?

Para este problema, se muestra la gráfica b) Utilizar una herramienta de graficación

correspondiente en el anexo xxxx y se para representar la función volumen y
puede ver que si existe alcance justo a los aproximar las dimensiones de la caja que
0.333 segundos haber comenzado el producen el volumen máximo.
recorrido y a los 1 segundos, luego de eso c) Utilizar la función tabla de la
no vuelven a encontrarse en el recorrido, herramienta de graficación para verificar
y eso se demuestra de manera analítica su respuesta del apartado b). (Se muestran
como sigue: los dos primeros renglones de la tabla
siguiente.)

4 t=1+ 3 t 2
Resolviendo para t:

3 t 2−4 t +1=0
Solución problema 4:
Aplicando la ecuación cuadrática, se
tienen como solución:
Para expresar el volumen de la caja es de
multiplicar: base por altura por espesor;
lo que resultaría:
V ( x )=x ( 24−2 x )( 24−2 x )

V (x )=x (24−2 x )2

V ( x )=x ( 576−2 ( 24 x )( 2 x )+ 4 x 2 )
Solución problema 5:
V ( x )=x ( 576−96 x +4 x2 )
a. Es razonable pensar y más aún
V ( x )=4 x 3−96 x2 +576 x
entender que la altura del nivel de
De esto se puede extraer la gráfica que se agua en el recipiente es función
aprecia en el anexo xxxxx. Del mismo del tiempo; ya que, el volumen del
modo, en el anexo siguiente (ver anexo líquido dentro del mismo va a
xxx) se puede ver la tabla en donde se depender directamente del tiempo
encuentra el volumen y el valor del ancho que se vierta agua dentro del
o al valor del ancho x que permite aportar mismo, mientras más tiempo se
el volumen máximo. Siendo x=4 y un vierta agua, mayor será el
volumen de V=1024 centímetros cúbicos. volumen. También es importante
mencionar que esto se considera
de esa manera si es que el flujo de
Problema 5 agua es constante, si el flujo es
variable, entonces la relación
El agua fluye a una vasija de 30 cambiaría un poco, y de esa
centímetros de altura a velocidad manera la expresión (o función)
constante, llenándola en 5 segundos. que define a éste fenómeno
Utilizar esta información y la forma de la también tendría variaciones en
vasija que se muestra en la figura para relación con la función real.
responder a las siguientes preguntas, si d b. El domino es básicamente los
es la profundidad del agua en centímetros valores de t admisibles dentro del
y t es el tiempo en segundos (ver la intervalo de “d” (altura) se puede
figura). a) Explicar por qué d es una establecer muy rápidamente que el
función de t. b) Determinar el dominio y rango (o codominio) está entre
el recorrido o rango de dicha función. c) (0,30); ya que, se debe a la
Trazar una posible gráfica de la función. capacidad del recipiente que le
d) Usar la gráfica del inciso c) para contenga. El dominio es evidente
calcular d(4) ¿Qué representa esto? ver que es de 5 segundos ya que,
en ese tiempo la vasija alcanza la
altura d máxima para poder cubrir
el volumen demandado por la
vasija.
 c. El trazado de la posible gráfica que depende de la temperatura real T y la
que cumple con los velocidad del viento v. Así W es una
requerimientos de este fenómeno función de T y v, y que se puede escribir
se muestra en el anexo xxx. Cabe W = f (T,v). La tabla 1 contiene valores
mencionar que para armar la registrados de W obtenidos por el
gráfica se comenzó por la relación Servicio Nacional del Clima de los
que el problema establece que los Estados Unidos y el Servicio
30cm se cubren en 5 segundos. Es Meteorológico de Canadá.
decir, que se pudiese obtener una
relación unitaria al decir que los
30cm en relación con los 5
segundos sería 6cm cada 1
segundo que transcurre
obteniendo de esta manera la
siguiente regla de
correspondencia:
Tiempo Distan
A partir de esta tabla, se ha deducido que
(t, cia (d,
segund cm) una función aproximada que define W
os) para T es constante es:
0 0
1 6
2 12
3 18
4 24 a) Compruebe que la función anterior es
5 30 una aproximación de W si T es constante.
b) Analice: Dominio, rango, cortes,
En dónde es evidente ver que la simetría, asíntotas para la función
relación es lo que se conoce como anterior.
relación lineal. c) Si el viento alcanza los 100km/h y la
d) a los 4 segundos se puede ver que la temperatura ambiente bordea los -40°C,
altura alcanzada se estima es de algunos ¿cuál es el valor de W?
24 cm aproximadamente. d) Encuentre otra aproximación para W
pero ahora asumiendo que la velocidad es
la constante y la temperatura es variable.
Problema 6
e) Repita los puntos b y c para la nueva
En las regiones con clima invernal severo, función.
el índice de enfriamiento del viento se
utiliza a menudo para describir la Solución problema 6:
aparente gravedad del resfriado. Este Tomando en cuenta el tipo de expresión
índice W es una temperatura subjetiva que acá se presenta se puede ver que se
trata con una función de dos variables,
que no es el caso en este estudio (o a éste
nivel), pero es importante mencionarle ya
que se presenta como ejercicio. Sin
embargo, cabe destacar que para resolver
este tipo de funciones como una variable
se deja una de estas como constante y la
otra varía (convirtiéndose en una función
con una variable como se conoce
usualmente).
a. Tomando a T constante, es decir,
con uno de los valores que se
presentan en la tabla, se tomará a
T=5°C. Ésto se convierte en:

2
W =3−
√ 5
( v−5 )

De ser así, se está en presencia de una

función radical; ahora bien, para
diversos valores tomas de v se
obtendrán diversos valores de W En el anexo xxx, puede verse una
respectivos a una misma T constante. aproximación de éstos datos relacionales.
Los resultados obtenidos se muestran Que, con ello se observa que los datos
en la siguiente tabla obtenida en el reales se aproximan de manera casi
software de Geogebra: perfecta al modelo que predice el
comportamiento del fenómeno.
b. El dominio de la función se puede
observar en la gráfica y se aprecia
que es:
Df :¿
El rango se puede definir
gráficamente como:
R f :¿
Los cortes se pueden ver de
manera gráfica como 27,5 en x.
Esto se demuestra muy fácil
analíticamente como:
2
√
3− ( v−5 ) =0
5
2
√
3= ( v−5 )
5
 2 minutos el 22 de diciembre. Utilizar estos
( 3 )2= ( v−5 )
5 datos para elaborar un modelo
9∗5 correspondiente a la cantidad de luz solar
=v−5
2 d (en minutos) para cada día del año en
45 un lugar ubicado a 20 grados de latitud
v= + 5=27,5 en x
2 norte. ¿Cómo podría verificarse la
exactitud del modelo?
En consecuencia, puede verse que la
función no tiene simetría ya que solo Solución problema 7:
decrece (es inyectiva).
Se comenzará por establecer los datos
c. El valor de W es: como indicadores de un problema; en sí,
se
2
W =−2−
√ 5
( 100−5 )+ (−40 )
Problema 7
W =−48.16 Describir la diferencia que existe entre
una discontinuidad removible y una no
d. Si se toma constante la velocidad,
removible. En la explicación, incluir
v, se puede ver que la función se
ejemplos de las siguientes descripciones:
vuelve lineal, en este caso y para
a) Una función con una discontinuidad no
analizar dicho fenómeno se
evitable en x = 4. b) Una función con una
tomará v=5km/h quedando la
discontinuidad evitable en x = - 4. c) Una
siguiente expresión:
función que cuenta con las dos
W =−2+T
características descritas en los incisos a) y
Donde la gráfica que representa b).
dicha función está en el anexo xx
Como la función es lineal, se
bfbhgh
puede decir que tanto el dominio como el
rango pertenece a los reales, es una
función sin simetría y además no tiene
asíntotas.
Finalmente, el valor de W es el
mismo para ambos casos, ya que la
expresión es en teoría la misma.
Problema 7
En la Tierra, el número de horas de luz
solar en un día cualquiera depende de la
latitud y la época del año. Éste es el
número de minutos de luz solar diarios en
una latitud de 20 grados norte durante los
días más largos y más cortos del año
fueron: 801 minutos el 21 de junio y 655
Anexo 1. Gráfica de la función cúbica de la caja del problema 5.