Alcubierre PDF

VII Escuela
“ La Hechicera ”
Relatividad, Campos y
Astrofı́sica
Nuria Calvet
Miguel Alcubierre
Tomás Ortı́n
Universidad de Los Andes

Facultad de Ciencias
Mérida, Venezuela
Noviembre, 2001
Editores:
Héctor Rago — Nelson Pantoja
Diagramación:
Mayerlin Uzcátegui
Portada:
Héctor Acosta
Impresión:
Meritec
Todos los derechos reservados.

Prohibida su reproducción total y/o parcial
por cualquier medio, salvo para fines académicos,
sin previa autorización de los editores.
c
2001
HECHO EL DEPOSITO DE LEY

Depósito legal lf07420015302451
ISBN 980-6465-04-0
Escuela ”La Hechicera”, Relatividad, Campos y Astrofı́sica

Prefacio
La Escuela La Hechicera (http://www.ciens.ula.ve/˜escuela/), en relatividad, campos y astrofı́sica, ha real-

izado su séptima edición. Son siete noviembres ininterrumpidos en los que cerca de ochenta estudiantes
avanzados, de pre y postgrado, profesores, veteranos investigadores invitados, de las disciplinas como la
fı́sica teórica, la relatividad, la teorı́a cuántica de campos y la astrofı́sica; confluyen en un mismo espacio y
un mismo tiempo discutiendo, compartiendo certezas y dudas, aprendiendo y ense ñando las diversas caras
de su pasión común. Son ya 22 profesores invitados y cerca de 2000 páginas escritas para los libros de la
Escuela.
En el presente volumen el lector encontrará las clases impartidas por los expositores invitados a dictar los
cursos en esta VII Escuela La Hechicera, durante los dı́as 4 al 9 de noviembre de 2001 en su sede permanente,
la Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes, en La Hechicera, Mérida, Venezuela.
Los autores y sus capı́tulos

El tema que sirve de hilo conductor en esta VII edición es el de los agujeros negros. Los capı́tulos del libro
reflejan tres perspectivas del papel relevante que estos asombrosos objetos tienen en el mundo de la fı́sica y
la astrofı́sica: el primer capı́tulo es responsabilidad la astrofı́sica venezolana Nuria Calvet, actualmente en
el Harvard-Smithonian Center for Astrophysics, en Boston, USA. El curso de la profesora Calvet se titula
”Origen y Evolución Estelar”.
El segundo es autorı́a del relativista Miguel Alcubierre, actualmente en el Instituto Albert Einstein en Pots-
dam, Alemania. Su curso se llama ”Introducción a la teorı́a de los agujeros negros”
Finalmente, el tercer y último capı́tulo del libro es obra del campista Tomás Ortı́n, de la Universidad
Autónoma de Madrid, España. El tı́tulo del curso es ”Agujeros negros clásicos y cuánticos en Teorı́a de
Cuerdas”
Agradecimientos
Como siempre, la puesta en marcha y la realización de una idea como la de la Escuela La Hechicera, requiere
de la participación y del apoyo definitivo de diferentes instituciones y dependencias, y por supuesto, del
esfuerzo de muchas personas. El Comité Organizador de esta VII Escuela, formado por Alejandra Melfo,
Nelson Pantoja, Adel Khoudeir, y Héctor Rago, quieren y deben agradecer a las siguientes instancias, cuyo
aporte fue relevante para la realización de la Escuela:
• Consejo de Investigaciones Cientı́ficas y Tecnológicas de Venezuela, (CONICIT), a través del progra-

ma de los Postgrados Integrados.
• Centro Internacional de Fı́sica Teórica (ICTP), de Trieste, Italia.
i
ii VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica
• Fundacite-Mérida.
• Fundación Polar
• Consejo de Desarrollo Cientı́fico Humanı́stico y Tecnológico de la Universidad de Los Andes
• (CDCHT-ULA)
• Centro de Estudios de Postgrado (CEP) de la Universidad de Los Andes
• Postgrado en Fı́sica Fundamental, de la Universidad de Los Andes
Finalmente, a los participantes, estudiantes y profesores, esencia misma de la Escuela y sin los cuales la
idea misma pierde sentido. Queda una vez más ratificada la sospecha de que más allá de las dificultades y
obstáculos inevitables, el esfuerzo sigue valiendo la pena.
El Comité Organizador
Índice General
I Origen y Evolución Estelar.

Nuria Calvet 1
1 Propiedades de las estrellas 3

1.1 Las ecuaciones de la Estructura Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Suposiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Conservación de masa y Equilibrio hidrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Fuentes de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Conservación de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5 Modos de transporte de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Formación Estelar. Estrellas Jóvenes 15

2.1 El medio interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Formación estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Discos protoplanetarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Evolución cuasi-estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 El camino radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 El camino de Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Comparación con las observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 La Secuencia Principal 25
3.1 La tasa de generación de energı́a nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 La tasa de generación de energı́a nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 La Secuencia Principal de Edad Cero (SPEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Material degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Evolución a partir de la secuencia principal. Estrellas de baja masa 37

4.1 Quema de helio: Reacción triple α (3 − α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Quemado en conchas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Evolución a partir de la SPEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Evolución de la estrella de M = 1M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.1 Flas (”Flash”) de He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Rama Gigante Asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.3 Centro de Nebulosas Planetarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.4 Enanas blancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii
iv VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica
5 Evolución a partir de la secuencia principal. Estrellas masivas 49

5.1 Evolución a partir de la SPEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Evolución del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Fotodesintegración de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Holocausto catastrófico y neutronización de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Ejección de la envolvente. Explosión de Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Nota final 59
Reconocimientos 61
II Introducción a la teorı́a de los agujeros negros.

Miguel Alcubierre 63
Resumen 65
6 La relatividad general 67
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Base coordenada y derivadas covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.5 Las ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.6 Identidades de Bianchi y leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 La solución de Schwarzschild 77
7.1 El campo gravitacional de un objeto esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 El radio de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Coordenadas de Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 La extensión de Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5 Dinámica de la geometrı́a de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8 Colapso gravitacional 87
8.1 El teorema de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Colapso de Oppenheimer-Snyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3 La estrella de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9 Propiedades generales de los agujeros negros 93

9.1 Infinito conforme y diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2 Definición de agujero negro y horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.3 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.4 Censura cósmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.5 Masa, momento angular y carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.6 La ergósfera de un agujero negro en rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
v
10 Perturbaciones de agujeros negros 101

10.1 Perturbaciones de la métrica: La ecuaciones de Regge-Wheeler y Zerilli . . . . . . . . . . . 101
10.2 Modos quasi-normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.3 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11 Simulaciones numéricas de agujeros negros 107

11.1 El formalismo 3+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1.1 Foliación en hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1.2 Curvatura intrı́nseca y curvatura extrı́nseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.1.3 Las ecuaciones de Einstein en forma 3+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2 El problema de los valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.3 Datos iniciales para agujeros negros múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.4 Colisiones de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
III Agujeros negros clásicos y cuánticos en Teorı́a de Cuerdas.

Tomás Ortı́n 119
Resumen 121
Introducción 123
12 Termodinámica y acción euclidiana 125

12.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2 El agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.2.1 Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.2.2 Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.3 El agujero negro de Reissner y Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3.1 El sistema de Einstein y Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3.2 La solución eléctrica de Reissner y Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3.3 Las fuentes del agujero negro ERN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.3.4 La termodinámica de RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.3.5 Dualidad eléctrico-magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13 Agujeros negros en Supergravedad 159

13.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.2 Supersimetrı́a y Supergravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.2.1 El superálgebra de Poincaré N = 1, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
13.2.2 Supersimetrı́a extendida y cargas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13.2.3 Supersimetrı́a residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
13.3 Agujeros negros en Supergravedad N = 2, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
13.3.1 SUEGRA N = 2, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
13.3.2 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.4 Agujeros negros en Supergravedad N = 4, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.4.1 SUEGRA N = 4, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.4.2 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
vi VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica
13.4.3 SUEGRA N = 8, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

13.4.4 Soluciones: agujeros negros compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14 Teorı́as efectivas de cuerdas: acciones 175

14.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.2 Acciones básicas y dualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14.2.1 SUGRA N = 1, d = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14.2.2 Reducción a d = 10: la teorı́a tipo IIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
14.2.3 La teorı́a tipo IIB. Dualidad S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
14.2.4 Dualidad T entre las teorı́as tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14.3 Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
15 Teorı́as efectivas de cuerdas: Soluciones 197

15.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.2 Objetos extensos: acciones, masas y cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.2.1 Los objetos extensos de las teorı́as de cuerdas tipo II: acciones efectivas y masas . . 199
15.2.2 Relaciones de dualidad y masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
15.2.3 Los objetos extensos de SUGRA N = 1, d = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.3 Soluciones genéricas y fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.3.1 El modelo a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
15.3.2 Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.4 Soluciones en d = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.4.1 La membrana M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.4.2 La 5-brana M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.5 Soluciones en d = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
15.5.1 La cuerda fundamental F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.5.2 La 5-brana solitónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
15.5.3 Las Dp-branas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.6 Relaciones de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
15.6.1 Relación entre soluciones de 11− y 10− dimensiononales. Compactificaci ón . . . . 216
15.6.2 Dualidad T entre soluciones 10− dimensiononales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15.7 Supersimetrı́as residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.7.1 Supersimetrı́as residuales de la M2-brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.7.2 Supersimetrı́as residuales de la M5-brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
15.7.3 Supersimetrı́as residuales de las Dp-branas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.7.4 Supersimetrı́as residuales de la F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.7.5 Supersimetrı́as residuales de la S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
16 Agujeros negros en Supercuerdas 223

16.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.2 Agujeros de una sola p-brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.3 Reglas de intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.3.1 Soluciones: superposiciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
16.3.2 Intersecciones con ondas gravitacionales y transformaciones de Lorentz singulares . 229
16.3.3 Agujeros negros a partir de intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
vii
16.4 El agujero extremo W k D1 k D5 en d = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

16.5 Microestados y entropı́a de W k D1 k D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.6 Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
A Convenios y fórmulas 237

A.1 Convenios de geometrı́a diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
A.2 Matrices gamma y espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
A.2.1 d = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
A.2.2 d = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
A.2.3 d = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.2.4 d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.3 Geometrı́a extrı́nseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A.4 n-Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Parte II
Introducción a la teorı́a de los agujeros negros
Miguel Alcubierre
Albert Einstein Institute.

Max Planck Institute for Gravitational Physics.
Am Mühlenberg 1, D-14476 Golm, GERMANY
miguel@aei-potsdam.mpg.de
63
Resumen
En estas notas se presenta una introducción general a la teorı́a de los agujeros negros. Los agujeros negros
son una de las predicciones mas importantes de la relatividad general, y representan regiones donde la cur-
vatura del espacio-tiempo es tan intensa que ni siquiera la luz puede escapar. El campo gravitacional en el
interior de un agujero negro es tan intenso que nuestros conceptos de espacio y tiempo se ven radicalmente
alterados. En su interior, los agujeros negros esconden una “singularidad”, es decir, un sitio en el cual el
campo gravitacional es infinito y donde las leyes de la fı́sica ya no son aplicables.
Precisamente debido al hecho de que la luz no puede escapar de ellos, los agujeros negros son difı́ciles de
observar directamente. Sin embargo, existe evidencia de la existencia de agujeros negros tanto en sistemas
estelares, como en el núcleo de muchas galaxias. La detección directa de los agujeros negros deberá esperar
a que entre en funcionamiento la nueva generación de detectores de ondas gravitacionales que se encuentran
actualmente en estado avanzado de construcción.
Estas notas están separadas en distintas secciones. En la sección 6 se presenta una revisión de los conceptos
fundamentales de la relatividad general. La sección 7 presenta la solución de Schwarzschild que representa
el campo gravitacional exterior de un objeto estático y con simetrı́a esférica. Cuando el objeto se considera
concentrado en un punto, la solución de Schwarzschild representa a un agujero negro. En la secci ón 8
se introduce el concepto de colapso gravitacional y se muestra como un agujero negro es la consecuencia
inevitable de dicho proceso. En la sección 9 se discuten las propiedades generales de los agujeros negros,
y se presentan los conceptos de infinito conforme, singularidad y horizontes. La secci ón 10 trata sobre
la teorı́a de perturbaciones de un agujero negro. En esta secci ón se muestra como los agujeros negros
poseen frecuencias de oscilación caracterı́sticas que permiten, en principio, identificar a un agujero negro
de forma directa a partir de la señal de ondas gravitacionales que éste emite. Finalmente, en la sección
11 se introduce la relatividad numérica como herramienta para estudiar procesos astrofı́sicos violentos que
involucran agujeros negros.
65
66 Miguel Alcubierre
Noviembre, 2001
Capı́tulo
La relatividad general
6.1 Introducción
La teorı́a moderna de la gravitación es la “teorı́a de la relatividad general” postulada por Albert Einstein
a fines de 1915 [6, 7]. De acuerdo a esta teorı́a, la gravitación no es una fuerza como se le consideraba
en la fı́sica newtoniana, sino que es mas bien una manifestaci ón de la “curvatura” del espacio-tiempo. Un
objeto masivo produce una distorsión en la geometrı́a del espacio-tiempo, y a su vez esta distorsión controla
o altera el movimiento del los objetos. Utilizando el lenguaje de John A. Wheeler, la materia le dice al
espacio-tiempo como curvarse, y el espacio-tiempo le dice a la materia como moverse [29].
Ya al postular la teorı́a especial de la relatividad en 1905, Einstein sabı́a bien que la teorı́a de la gravitación
de Newton deberı́a ser modificada. La principal razón para esto era el que la teorı́a de Newton implicaba
que la fuerza de gravedad se propagaba entre distintos objetos a velocidad infinita, lo que contradecı́a un
principio fundamental de la relatividad especial: ninguna interacci ón fı́sica puede viajar mas rápido que la
velocidad de la luz. Es importante notar que al mismo Newton nunca le pareci ó convincente la existencia de
esta “acción a distancia”, pero consideró que era una hipótesis necesaria hasta que se encontrara una mejor
explicación de la naturaleza de la gravedad. En la década de 1905 a 1915, Einstein se dedicó a buscar esa
explicación mas adecuada.
Las ideas principales que guiaron a Einstein en su camino hacia la relatividad general fueron el llamado
“principio de equivalencia”, que dice que todos los objetos caen exactamente de la misma forma en un
campo gravitacional, y el “principio de Mach”, llamado ası́ en honor a Ernst Mach quién lo postuló a fines
del siglo XIX, y que dice que la inercia local de un objeto debe ser producida por la distribuci ón total de
la materia en el Universo. El principio de equivalencia llev ó a Einstein a concluir que la manera natural de
describir a la gravedad era identificándola con la geometrı́a del espacio-tiempo, y el principio de Mach lo
llevó a concluir que dicha geometrı́a deberı́a ser alterada por la distribución de materia y energı́a.
En las siguientes secciones veremos como se expresan estas dos ideas en lenguaje matem ático. Antes de
seguir adelante, mencionaré primero la convención de unidades que seguiré en estas notas. Utilizaré siempre
las llamadas “unidades geométricas”, en las que la velocidad de la luz c y la constante de la gravitaci ón
universal de Newton G son ambas iguales a 1. Cuando se trabaja en este sistema de unidades, la distancia, el
tiempo, la masa y la energı́a tienen siempre las mismas unidades (de distancia). Las unidades convencionales
del sistema internacional siempre pueden recuperarse a ñadiendo los factores de c y G que sean necesarios
en cada caso (por ejemplo, haciendo las substituciones t → ct y M → GM/c 2 ).
Existen muchos libros introductorios a la relatividad general. La presentaci ón en este capı́tulo está basada
principalmente en las referencias [13, 28, 20].
67
6.2 Métrica
Como hemos mencionado anteriormente, el principio de equivalencia llev ó a Einstein a pensar que la grav-
itación podı́a identificarse con la geometrı́a del espacio-tiempo. Matemáticamente esto quiere decir que la
teorı́a de la gravedad deberı́a ser lo que se conoce como una “teorı́a métrica”, en la cual la gravedad se
manifiesta única y exclusivamente a través de una distorsión en la geometrı́a del espacio-tiempo.
Consideremos un espacio-tiempo de cuatro dimensiones (tres dimensiones de espacio y una de tiempo). Sean
xα las coordenadas de un evento en este espacio-tiempo, donde el ı́ndice α toma los valores {0, 1, 2, 3}:
cuatro números que indican en que momento del tiempo, y en que lugar en el espacio ocurre ese evento (en
estas notas siempre tomaremos la componente 0 como aquella que se refiere al tiempo, y las componentes
{1, 2, 3} como las que se refieren al espacio).
Entre dos eventos infinitesimalmente cercanos con coordenadas x α y
xα + dxα es posible definir una “distancia invariante” ds2 de la siguiente forma
4
X
ds2 = gαβ dxα dxβ ≡ gαβ dxα dxβ , (6.1)
α,β=1
donde gαβ se conoce como “el tensor métrico”, o simplemente “la métrica”, y donde la última igualdad define
la “convención de suma de Einstein”: ı́ndices que aparecen repetidos se suman. La distancia invariante es,
como su nombre lo indica, una cantidad absoluta que no depende del sistema de coordenadas que se utilice
para describir al espacio tiempo. En cada punto del espacio-tiempo, el tensor métrico es una matriz simétrica
de 4×4 elementos, con eigenvalores cuyos signos son (−, +, +, +), es decir, un eigenvalor negativo asociado
al tiempo, y tres eigenvalores positivos asociados al espacio. En la relatividad especial, el tensor m étrico se
reduce a la llamada “métrica de Minkowski”
ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ≡ ηαβ dxα dxβ , (6.2)
que corresponde a un espacio plano. Las transformaciones de Lorents garantizan que el intervalo ds 2 tiene
el mismo valor para cualquier observador. En la relatividad general, por otro lado, el tensor m étrico varia de
un punto a otro. Nótese que debido a la presencia de un eigenvalor negativo, la “distancia invariante” no es
positiva definida. De hecho, a partir de la métrica, uno puede distinguir entre eventos relacionados entre si
de 3 formas distintas:
ds2 > 0 intervalo espacialoide , (6.3)

ds2 < 0 intervalo temporaloide , (6.4)
2
ds = 0 intervalo nulo . (6.5)
Los intervalos espacialoides corresponden a eventos separados de tal forma que un objeto tendrı́a que mo-
verse mas rápido que la luz para llegar de uno a otro (están separados en el “espacio”), los temporaloides a
eventos donde un objeto tiene que moverse mas lento que la luz para llegar de uno a otro (est án separados en
el “tiempo”), y los nulos a eventos que pueden alcanzarse viajando a la velocidad de la luz (la frontera entre
separación espacial y temporal). Todo objeto material se mueve siguiendo trayectorias de tipo temporaloide,
y la luz se mueve siguiendo trayectorias nulas. Las trayectorias nulas definen lo que se conoce como el “cono
de luz” (véase figura 6.1). El cono de luz indica los eventos que pueden tener influencia fı́sica entre si, y por
lo tanto define la causalidad.
Noviembre, 2001
La relatividad general 69
Figura 6.1: El cono de luz de un evento define las relaciones causales con otros eventos, y divide al espacio-tiempo en tres
regiones: el pasado causal (aquellos eventos que pueden afectar al evento considerado), el futuro causal (aquellos eventos que
pueden ser afectados por el evento considerado) y el “resto” (aquellos eventos con los que no hay contacto causal).
En relatividad especial, los objetos se mueven en lı́neas rectas en ausencia de fuerzas externas, la linea
recta corresponde a la trayectoria mas corta de acuerdo a la métrica de Minkowski. La idea de Einstein fue
precisamente pensar que en la presencia de un campo gravitacional, los objetos aun se mueven siguiendo la
distancia mas corta pero ahora en una métrica distinta. A esa distancia mas corta se le llama “geodésica”.
De esta forma, la gravedad no se ve como una fuerza externa, sino como una distorsi ón en la métrica. Dada
esta distorsión, los objetos se mueven siguiendo el camino mas corto posible.
Para un objeto material, se acostumbra parametrizar su trayectoria utilizando el llamado “tiempo propio”
dτ 2 := −ds2 , que corresponde al tiempo medido por el objeto mismo (el tiempo que mide un reloj atado al
objeto). Nótese que este tiempo no tiene por que ser igual a dt, pues t es solo una coordenada. La ecuaci ón
para una geodésica esta dada en general por
d2 xα β
α dx dx
γ
+ Γ βγ = 0, (6.6)
dτ 2 dτ dτ
donde las cantidades Γαβγ se conocen como “sı́mbolos de Christoffel” y están dados en términos de la métrica
como
g αµ ∂gβµ ∂gγµ ∂gβγ

α
Γβγ := + − . (6.7)
2 ∂xγ ∂xβ ∂xµ
En la ecuación anterior introdujimos los coeficientes g αβ que se definen como los coeficientes de la matriz
inversa a gαβ : g αµ gβµ = δβα .
Dado un campo gravitacional, es decir, dada la métrica del espacio-tiempo, la ecuación de las geodésicas
(6.6) nos da la trayectoria de los objetos: el espacio-tiempo le dice a los objetos como moverse.
VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica

6.3 Curvatura
Como hemos visto, la métrica del espacio-tiempo nos permite obtener la trayectoria de los objetos. Sin em-
bargo, el tensor métrico no es la forma mas conveniente de describir la presencia de un campo gravitacional.
Para ver esto, basta notar que incluso en un espacio plano, uno puede cambiar la forma del tensor m étrico
mediante una simple transformación de coordenadas. Por ejemplo, la métrica de un espacio plano de tres
dimensiones en coordenadas cartesianas {x, y, z} es
dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , (6.8)
mientras que la métrica del mismo espacio plano en coordenadas esféricas {r, θ, φ} resulta ser
dl2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 , (6.9)
lo puede verse fácilmente de la transformación de coordenadas
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ . (6.10)
que implica
dx = dr sin θ cos φ − r sin θ sin φ dφ + r cos θ cos φ dθ , (6.11)

dy = dr sin θ sin φ + r sin θ cos φ dφ + r cos θ sin φ dθ , (6.12)
dz = dr cos θ − r sin θ dθ . (6.13)
A partir de la métrica (6.9) es posible calcular los sı́mbolos de Christoffel para las coordenadas esféricas (no
son todos iguales a cero!), y ver que la ecuación de una linea recta (geodésica) escrita en estas coordenadas
ya no es trivial. Llevando a cabo transformaciones de coordenadas aun mas elaboradas es posible terminar
con una métrica mucho mas compleja. Debemos encontrar entonces una forma de distinguir con certeza
entre un espacio plano y uno que no lo es.
La manera de hacer esto es a través del llamado “tensor de curvatura de Riemann”. Este tensor mide el
cambio de un vector al transportarlo alrededor de un circuito manteniéndolo siempre paralelo a si mismo
(“transporte paralelo”). En un espacio plano, el vector no cambia al hacer esto, en un espacio curvo, si lo
hace. Esto puede verse claramente si uno piensa en mover un vector en la superficie terrestre. Si comenzamos
en un punto el ecuador (punto A) con un vector apuntando al este, nos movemos hasta el polo norte (punto
B) siguiendo un meridiano, bajamos siguiendo otro meridiano que haga un ángulo recto hacia el este con
el primero hasta llegar de nuevo al ecuador (punto C), y luego seguimos el ecuador hasta volver al punto
original, nos encontraremos con que el vector ahora apunta al sur (véase figura 6.2).
En estas notas no vamos a derivar al tensor de Riemann de primeros principios, nos limitaremos solo a
escribirlo:
Rσ µνρ := ∂ν Γσµρ − ∂µ Γσνρ + Γαµρ Γσαν − Γανρ Γσαµ , (6.14)

donde ∂µ es una abreviación de ∂/∂xµ , y donde Γαµν son los sı́mbolos de Christoffel definidos anteriormente.
Nótese que el tensor de Riemann tiene 4 ı́ndices, es decir 4 × 4 × 4 × 4 = 256 componentes. Sin embargo,
tiene muchas simetrı́as, por lo que solamente tiene 20 componentes independientes. Es posible demostrar
que el tensor de Riemann es igual a cero si y solo si el espacio es plano.
A partir del tensor de Riemann podemos definir el llamado “tensor de Ricci” como:
X
Rµν := Rλ µλν . (6.15)
λ
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Figura 6.2: Transporte paralelo en la superficie terrestre.

Nótese que el hecho de que el tensor de Ricci sea cero no significa que el espacio sea plano.
Es importante hacer notar que en algunas ocasiones hemos escrito tensores con los ı́ndices arriba y en otras
con los ı́ndices abajo. Esto no es un error tipográfico, los tensores con ı́ndices arriba o abajo no son iguales,
pero si están relacionados entre si. La regla es la siguiente: los ı́ndices de objetos geométricos se suben y
bajan contrayendo con el tensor métrico gµν o su inversa g µν . Por ejemplo:
vµ = gµν v ν ,
v µ = g µν vν ,
T µν = g µα g νβ Tαβ ,
Rσµνρ = gσλ Rλ µνρ
6.4 Base coordenada y derivadas covariantes

Cuando se considera el cambio de un campo vectorial (objetos con un ı́ndice) o tensorial (objetos con mas
de un ı́ndice) al moverse en el espacio-tiempo, debemos tomar en cuenta que al movernos de un punto a
otro no solo las componentes de dichos objetos pueden cambiar, sino que tambi én la base en las que dichas
componentes se miden cambia de un punto a otro. En efecto, cuando consideramos las componentes de
un objeto geométrico (vector o tensor), dichas componentes siempre están dadas con respecto a una base
especı́fica.
En un espacio plano tridimensional en coordenadas cartesianas, la base es en general la llamada “base
canónica”: ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). En un espacio curvo, o un espacio plano en coor-
denadas no triviales, es necesario elegir una base antes de poder hablar de las componentes de un objeto
geométrico. Una base común (aunque desde luego no la única) es la llamada “base coordenada”, en la que
se toman como elementos de la base a aquellos vectores que tienen una componente igual a 1 a lo largo de
la dirección de una coordenada dada, y componentes iguales a 0 en las otras direcciones.
Por ejemplo, en un espacio plano en coordenadas esféricas {r, θ, φ} la base coordenada es:
~er = (1, 0, 0) , ~eθ = (0, 1, 0) , ~eφ = (0, 0, 1) . (6.16)
Escritos en coordenadas cartesianas, estos vectores resultan ser:
~er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) , (6.17)

~eθ = (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, −r sin φ) , (6.18)
~eφ = (−r sin θ sin φ, r sin θ cos φ, 0) . (6.19)
Nótese que estos vectores no son todos unitarios, sus magnitudes son:
|~er |2 = (sin θ cos φ)2 + (sin θ sin φ)2 + (cos θ)2 = 1 (6.20)
2 2 2 2 2
|~eθ | = (r cos θ cos φ) + (r cos θ sin φ) + (r sin φ) = r , (6.21)
2 + 2 2 2
|~eφ | = (r sin θ sin φ) (r sin θ cos φ) = r sin θ , (6.22)
donde para calcular dichas magnitudes simplemente hemos sumado los

cuadrados de las componentes cartesianas.
Noviembre, 2001
Las magnitud de un vector puede calcularse directamente a partir de las componentes esf éricas utilizando el
tensor métrico. Para cualquier vector ~v con componentes v α en la base coordenada, su magnitud se define
en términos del tensor métrico como:
|~v |2 = gαβ v α v β . (6.23)
En general, el producto escalar de dos vectores ~v y ~u se define como
~v · ~u = gαβ v α uβ . (6.24)
Debido a que los vectores de la base coordenada tienen por definici ón componentes 1 para la coordenada
correspondiente y 0 para las demás, la definición anterior implica:
~eα · ~eβ = gαβ . (6.25)
No es difı́cil ver que si utilizamos esta expresión y la métrica del espacio plano en coordenadas esféricas
(ecuación (6.9)) obtenemos las mismas magnitudes para los vectores de la base coordenada esf érica que
escribimos arriba.
Es importante notar que en las expresiones anteriores, v α se refiere a la componente del vector ~v respecto a
la coordenada xα , mientras que ~eα se refiere al vector de la base coordenada que apunta en la direcci ón xα .
Esto implica que en general:
~v = v α ~eα , (6.26)
ecuación que expresa al vector ~v como una combinación lineal de los elementos de la base con coeficientes
vα.
La base coordenada, aunque no única, si es la mas comúnmente utilizada, y las expresiones para el tensor de
curvatura de Riemman que se presentaron en la secci ón anterior son precisamente utilizando esta base.
Consideremos ahora el cambio de un vector a lo largo de una coordenada:
∂~v ∂ β ∂v β ∂~eβ
α
= α
v ~eβ = α
~eβ + v β . (6.27)
∂x ∂x ∂x ∂xα
Esta ecuación muestra como la derivada de un vector es mas que la derivada de sus componentes. Debemos
también tomar en cuenta el cambio en los vectores de la base.
La derivada ∂~eβ /∂xα es a su vez un vector, por lo que puede expresarse como combinaci ón lineal de los
vectores de la base. Introducimos los sı́mbolos Γµαβ para denotar los coeficientes de dicha combinación
lineal:
∂~eβ
α
= Γµαβ ~eµ . (6.28)
∂x
Los coeficientes Γµαβ son precisamente los sı́mbolos de Christoffel que introdujimos anteriormente. Utilizan-
do estos coeficientes tendremos:
∂~v ∂v β
α
= α
~eβ + v β Γµαβ ~eµ . (6.29)
∂x ∂x
Cambiando el nombre de los ı́ndices sumados (lo que siempre puede hacerse), podemos reescribir esto como:
β
∂~v ∂v µ β
= + v Γ αµ ~ eβ . (6.30)
∂xα ∂xα
Esta ecuación nos da directamente las componentes del vector ∂~v /∂x α . Definimos ahora la “derivada co-
variante” del vector ~v como:
∂v α
v α ;β ≡ ∇β v α := + v µ Γαβµ . (6.31)
∂xβ

La derivada covariante nos dice como cambian las componentes de un vector al movernos en un espacio
general, e incluye el cambio de los elementos de la base. N ótese que la derivada covariante se reduce a la
derivada parcial cuando los sı́mbolos de Christoffel son cero, lo que ocurre en espacio plano en coordenadas
cartesianas, pero no en coordenadas esféricas. Sin embargo, siempre es posible encontrar una transformaci ón
de coordenadas para la cual los sı́mbolos de Christoffel son iguales a cero en un punto dado (pero no en otros
puntos excepto si el espacio es plano).
La derivada covariante de un vector con los ı́ndices abajo vα resultan ser:
∂vα
vα;β = − Γµαβ vµ . (6.32)
∂xβ
El mismo concepto de derivada covariante puede extenderse a tensores de muchas componentes, la regla es
añadir un término con sı́mbolos de Christoffel por cada ı́ndice libre, con el signo adecuado dependiendo de
si el ı́ndice esta arriba o abajo. Por ejemplo:
T µν ;α = ∂α T µν + Γµαβ T βν + Γναβ T µβ ,
Tµν;α = ∂α Tµν − Γβαµ Tβν − Γβαν Tµβ ,
T µ ν;α = ∂α T µ ν + Γµαβ T β ν − Γβαν T µ β .
Utilizando esta regla es posible mostrar que la derivada covariante del tensor métrico es cero:
gµν;α = 0 , g µν ;α = 0 , (6.33)
lo que implica que la operación de subir y bajar ı́ndices conmuta con las derivadas covariantes:
v µ ;α = (g µν vν );α = g µν (vν;α ) . (6.34)
6.5 Las ecuaciones de Einstein

El elemento que aun nos falta en la teorı́a de la gravitación de Einstein es aquel que nos dice como se
relaciona la geometrı́a del espacio-tiempo con la distribución de materia y energı́a. Este elemento final esta
contenido en las “ecuaciones de campo de Einstein”, o simplemente “ecuaciones de Einstein”. En su forma
mas compacta, estas ecuaciones tienen la forma
Gµν = 8πTµν , (6.35)
donde Gµν es el llamado “tensor de Einstein” que esta relacionado con el tensor de curvatura de Ricci, y T µν
es el llamado “tensor de energı́a-momento” de la materia. Es decir, el lado izquierdo representa la geometrı́a
del espacio-tiempo, y el lado derecho la distribución de materia y energı́a. El factor de 8π es simplemente
una normalización necesaria para obtener el lı́mite newtoniano correcto.
Las ecuaciones de Einstein que acabamos de escribir no podrı́an parecer mas simples. Esta simplicidad,
sin embargo, es solo aparente pues cada término es en realidad un sı́mbolo que representa objetos muy
complejos. Escritas de su manera mas extensa, en un sistema de coordenadas arbitrario, las ecuaciones de
Einstein son 10 ecuaciones diferenciales parciales acopladas en 4 coordenadas, y tienen miles de t érminos.
Consideremos ahora cada término en las ecuaciones de Einstein por separado. El tensor de Einstein se define
en términos del tensor de Ricci como
1
Gµν := Rµν − gµν R , (6.36)
2
Noviembre, 2001
con R := g µν Rµν la traza del tensor de Ricci, también llamada el “escalar de curvatura”.
La segunda parte de las ecuaciones de Einstein, el tensor de energı́a-momento, describe la densidad de
energı́a, la densidad de momento, y el flujo de momento de un campo de materia (i, j = 1, 2, 3):
T 00 = densidad de energı́a , (6.37)

0i
T = densidad de momento , (6.38)
ij
T = flujo de momento i a través de lasuperficie j . (6.39)
Por ejemplo, para un fluido perfecto sin presión (“polvo”) en espacio plano tenemos:
T 00 = ρ/(1 − v 2 ) , (6.40)
0i i 2
T = ρ v /(1 − v ) , (6.41)
ij i j 2
T = ρ v v /(1 − v ) , (6.42)
donde ρ es la densidad de energı́a en el marco de referencia de un elemento de fluido, v i es el campo de

velocidad del fluido y v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .
Antes de terminar con nuestra discusión de las ecuaciones de Einstein, hace falta un último comentario. En
el caso del espacio vacı́o, el tensor de energı́a-momento es cero, y las ecuaciones de Einstein se reducen a
Gµν = 0 , (6.43)
o de forma equivalente
Rµν = 0 . (6.44)
Nótese que, como ya habı́amos mencionado, el hecho de que el tensor de Ricci sea cero no significa que el
espacio sea plano. Esto es como debe ser, pues sabemos que el campo gravitacional de un objeto se extiende
mas allá del objeto mismo, por lo que la curvatura del espacio en una regi ón del vacı́o cercana a un objeto
masivo no puede ser cero. Las ecuaciones de Einstein en el vacı́o tienen otra aplicación importante, describen
la forma en la que el campo gravitacional se propaga en el vacı́o, y de manera análoga a las ecuaciones de
Maxwell, predicen la existencia de las ondas gravitacionales: perturbaciones del campo gravitacional que
viajan a la velocidad de la luz. La predicción de la existencia de las ondas gravitacionales nos dice que en la
teorı́a de Einstein, las interacciones gravitacionales no se propagan a velocidad infinita, sino que lo hacen a
la velocidad de la luz.
6.6 Identidades de Bianchi y leyes de conservación

A partir de la definición del tensor de curvatura de Riemann es posible demostrar que este tensor tiene la
siguiente propiedad:
Rαβµν;λ + Rαβλµ;ν + Rαβνλ;µ = 0 . (6.45)
A la ecuación anterior se le conoce como las “identidades de Bianchi”. Estas identidades resultan muy
importantes en la relatividad general. Una de las consecuencias mas importantes de las identidades de
Bianchi es el hecho de que la divergencia covariante del tensor de Einstein es igual a cero:
Gµν ;ν = 0 . (6.46)
El tensor de Einstein es la única combinación que puede obtenerse a partir del tensor de Ricci que tiene
esta propiedad, y es precisamente por esto que las ecuaciones de Einstein involucran a este tensor y no al

tensor de Ricci directamente. Si utilizamos ahora las ecuaciones de Einstein vemos que la propiedad anterior
implica inmediatamente:
T µν ;ν = 0 . (6.47)
Esta última ecuación (o ecuaciones) es de fundamental importancia, pues representa las leyes locales de
conservación de la energı́a y el momento, y garantiza que la perdida de energı́a y momento en una región
esta compensada por el flujo de energı́a y momento fuera de dicha región. En el caso de un fluido, por
ejemplo, la componente µ = 0 de estas ecuaciones se transforma en la llamada “ecuaci ón de continuidad”.
Podemos ver, entonces, como las ecuaciones de Einstein contienen a las ecuaciones de conservaci ón.
Noviembre, 2001
Capı́tulo
7
La solución de Schwarzschild
7.1 El campo gravitacional de un objeto esférico

Consideremos soluciones a las ecuaciones de Einstein que describan al campo gravitacional exterior a un ob-
jeto estático y esféricamente simétrico. Para ello, comenzamos con la métrica de Minkowski correspondiente
a un espacio plano escrita en coordenadas esféricas:
ds2 = −dt2 + dr2 + r2 dΩ2 , (7.1)
donde dΩ2 es el elemento de ángulo sólido:
dΩ2 = dθ 2 + sin2 θ dφ2 . (7.2)
La forma mas sencilla de generalizar esta métrica para incluir la presencia de la curvatura causada por un
campo gravitacional estático, manteniendo la simetrı́a esférica, es simplemente permitir que las componentes
diagonales de la métrica que aparecen en (7.1) se vuelvan funciones de la coordenada radial r:
ds2 = −f (r)dt2 + h(r)dr 2 + R(r)2 dΩ2 , (7.3)
La métrica anterior puede simplificarse aun mas eligiendo una nueva coordenada radial r 0 definida como
r0 := R(r). (7.4)
Con esta nueva coordenada, y escribiendo r en vez de r 0 por simplicidad, obtenemos:
ds2 = −f (r)dt2 + h(r)dr 2 + r2 dΩ2 . (7.5)
Esta es la métrica mas general correspondiente a un campo gravitacional estático y con simetrı́a esférica y
posee dos funciones aun por determinar: f (r) y h(r). Las coordenadas (r, θ, φ) se conocen como “coor-
denadas de Schwarzschild”. En particular, la coordenada radial se llama el “radio de area” debido a que en
estas coordenadas el area de una esfera es siempre 4πr 2 . Nótese que la distancia D al centro del sistema de
coordenadas r = 0 no tiene por que ser igual a r:
Z rp
D= h(r 0 )dr0 . (7.6)
0
La ecuación (7.5) nos permite una enorme simplificación en las ecuaciones de Einstein: en vez de tener que
buscar las 10 componentes independientes de una métrica general, debemos buscar solo 2 funciones de r. El
siguiente paso es substituir la métrica (7.5) en las ecuaciones de Einstein para ası́ determinar las funciones f
y h. Como estamos considerando el campo exterior a un objeto esférico, debemos utilizar las ecuaciones de
Einstein en el vacı́o:
Rµν = 0 . (7.7)
77
Sustituyendo ahora la métrica (7.5) en las ecuaciones de Einstein (7.7) encontramos:

1 −1/2 d −1/2 df 1 df
0 = Rtt = (f h) (f h) + , (7.8)
2 dr dr rf h dr

1 −1/2 d −1/2 df 1 dh
0 = Rrr = − (f h) (f h) + 2 , (7.9)
2 dr dr rh dr

1 df 1 dh 1 1
0 = Rθθ = Rφφ = − + + 1 − . (7.10)
2rf h dr 2rh2 dr r2 h
Todas las demás componentes del tensor de Ricci son idénticamente cero. Sumando las primeras dos ecua-
ciones encontramos inmediatamente:
d ln f d ln h
+ = 0, (7.11)
dr dr
lo que implica
K
f= , (7.12)
h
con K una constante. Nótese que sin perdida de generalidad podemos tomar K = 1, ya que un valor distinto
equivale únicamente a un re-escalamiento de la coordenada temporal. Substituyendo este último resultado
en la ecuación para Rθθ se obtiene:
df 1−f
− + = 0, (7.13)
dr r
es decir
d
(rf ) = 1, (7.14)
dr
cuya solución es
f = 1 + C/r, (7.15)
donde C es otra contante. La métrica que buscamos es entonces:
C −1 2

2 C 2
ds = − 1 + dt + 1 + dr + r2 dΩ2 . (7.16)
r r
Esta métrica se conoce como la solución de Schwarzschild, en honor a Karl Schwarzschild quien la descubri ó
en 1916 [22], pocos meses después de que Einstein formulara la teorı́a de la relatividad general. Nos falta aun
por determinar el valor de la constante C. Esto puede hacerse comparando las geod ésicas de la métrica de
Schwarzschild para r muy grande con las trayectorias de una partı́cula en la gravitación Newtoniana. En estas
notas no vamos a realizar ese cálculo, pero el resultado es que el movimiento de una partı́cula es el mismo en
ambos casos siempre y cuando se tome C = −2M (o C = −2GM/c 2 en unidades convencionales) donde
M es la masa del objeto central. La métrica de Schwarzschild toma la forma final:
2M −1 2

2 2M 2
ds = − 1 − dt + 1 − dr + r2 dΩ2 . (7.17)
r r
Entre las propiedades de la métrica anterior podemos notar el hecho de que es asintóticamente plana, es
decir, para r → ∞ la métrica se acerca a la métrica de Minkowski (7.1). Esto era de esperarse pues el
campo gravitacional de un objeto disminuye a medida que uno se aleja de él. Mas interesante aun es que las
componentes de la métrica son singulares tanto en r = 0 como en r = 2M . Mas adelante veremos que la
singularidad en r = 0 es real (el campo gravitacional es infinito), mientras que la singularidad en r = 2M
es ficticia, ocasionada por un problema en el sistema de coordenadas que hemos utilizado hasta ahora. A la
Noviembre, 2001
La solución de Schwarzschild 79
distancia rs := 2M se le conoce como el “radio de Schwarzschild”, y en unidades convencionales esta dado

por:
2GM M
rs = ≈ 3 km. (7.18)
c2 M
Para objetos astronómicos “ordinarios” (planetas, estrellas, etc.), el radio de Schwarzschild es mucho menor
que el radio del objeto, por lo que la solución de Schwarzschild, al ser una solución de vacı́o, ya no es válida
ahı́ y no tenemos por que preocuparnos por la singularidad en la métrica.
7.2 El radio de Schwarzschild

En la sección anterior derivamos la métrica de Schwarzschild, y encontramos que las componentes de dicha
métrica son singulares en r = 0 y en el radio de Schwarzschild r s = 2M . En el radio de Schwarzschild, la
componente gtt de la métrica se hace cero, mientras que la componente grr se vuelve infinita.
La manera de determinar si la geometrı́a del espacio-tiempo es realmente singular en el radio de Schwarzschild
es investigar que le ocurre a un objeto que atraviesa esa regi ón. Consideremos entonces un objeto que cae
libremente siguiendo una trayectoria radial. Las ecuaciones para una geodésica radial en la métrica de
Schwarzschild tienen la solución:
τ 2 r 3/2
= − + const. , (7.19)
2M 3 2M
t 2 r 3/2 r 1/2
= − −2
2M 3 2M 2M

(r/2M )1/2 + 1
+ ln + const. , (7.20)

(r/2M )1/2 − 1
donde τ es el tiempo propio del objeto. La primera ecuaci ón relaciona la posición del objeto r con su tiempo
propio τ , mientras que la segunda relaciona la posición con el tiempo coordenado t (el tiempo medido en
infinito). Si la posición del objeto es r = 2M , la primera ecuación nos dice que el tiempo propio es finito,
pero la segunda nos dice que el tiempo coordenado es infinito: el objeto tarda un tiempo finito en llegar a
r = 2M medido por el mismo, pero un tiempo infinito medido desde lejos. N ótese que el tiempo propio es
lo importante: no importa que midan los que estén lejos, desde el punto de vista del objeto mismo, llegara
hasta r = 2M en un tiempo finito.
Para saber que le ocurre al objeto al cruzar r = 2M , se debe calcular el tensor de Riemann, que mide las
“fuerzas de marea” (la intensidad del campo gravitacional). Si las fuerzas de marea son infinitas, el campo
gravitacional es singular, si son finitas, el campo es regular. Las únicas componentes del tensor de Riemann
que no son cero para la métrica de Schwarzschild son:
Rtrtr = −2M/r 3 , (7.21)

3
Rtθtθ = Rtφtφ = M/r , (7.22)
3
Rθφθφ = 2M/r , (7.23)
3
Rrθrθ = Rrφrφ = −M/r . (7.24)
Ninguna de estas componentes es singular en r = 2M , pero todas lo son en r = 0. Esto significa que el
campo gravitacional es singular en r = 0, pero perfectamente regular en r = 2M . Aun mas, en r = 2M ,
las componentes del tensor de Riemann son de orden 1/M 2 , ası́ que para objetos muy masivos, las fuerzas
de marea en el radio de Schwarzschild son muy peque ñas.

7.3 Coordenadas de Eddington-Finkelstein

Como hemos visto, la geometrı́a del espacio-tiempo es regular en el radio de Schwarzschild r s = 2M . Sin
embargo, las componentes de la métrica (7.17) son singulares ahı́. La única explicación posible de este
comportamiento es que hay un problema con las coordenadas de Schwarzschild ahı́. Deberı́a ser posible
entonces encontrar un nuevo sistema de coordenadas donde este problema no este presente.
Es importante señalar que el hecho de que las componentes de la métrica son singulares en r = 2M no es el
único problema con las coordenadas de Schwarzschild. Otro problema es que para r < 2M , las coordenadas
r y t invierten papeles: r se vuelve una coordenada de tiempo, y t una coordenada de espacio (g tt es positiva
y grr negativa para r < 2M ). La consecuencia mas importante de esto es que una vez que un objeto cruza
el radio de Schwarzschild, el avance del tiempo es equivalente a la disminuci ón de r, es decir, el objeto se
mueve hacia valores menores de r simplemente porque el tiempo fluye hacia el futuro. No existe ninguna
fuerza en la naturaleza que pueda detener el paso del tiempo, y por el mismo motivo no existe ninguna fuerza
capaz de evitar que el objeto llegue a la singularidad fı́sica en r = 0, donde encontrará fuerzas gravitacionales
infinitas que lo despedazaran. El radio de Schwarzschild es entonces la distancia de “no retorno”: Mas lejos,
siempre es posible alejarse de nuevo, mas cerca, la caı́da a r = 0 es inevitable.
Existen varias maneras de construir sistemas de coordenadas que no sean singulares en r = 2M . Uno
de los primeros son las llamadas “coordenadas de Eddington-Finkelstein”, descubiertas por Eddington en
1924 [5], y redescubiertas por Finkelstein en 1958 [9]. Estas coordenadas pueden derivarse considerando el
movimiento radial de fotones. Las geodésicas nulas que indican el movimiento de dichos fotones se pueden
obtener como:
ds2 = 0 = −(1 − 2M/r)dt2 + (1 − 2M/r)−1 dr2 , (7.25)
lo que implica
dt = ±(1 − 2M/r)−1 dr. (7.26)
La ecuación anterior puede integrarse fácilmente para obtener:
t = ±r ∗ + constante, (7.27)
donde
r∗ := r + 2M ln |r/2M − 1|. (7.28)
El signo + corresponde a geodésicas que se mueven hacia afuera (“salientes”), y el signo − a geodésicas
que s mueven hacia adentro (“entrantes”). La función r ∗ se conoce como el “radio de tortuga” debido a que
en términos de esta coordenada el radio de Schwarzschild se encuentra en r ∗ = −∞.
Definamos ahora una coordenada Ṽ dada por
Ṽ := t + r ∗ , (7.29)
y hagamos una transformación de las coordenadas de {t, r} a las nuevas coordenadas { Ṽ , r}. Nótese que
esta transformación de coordenadas es singular en r = 2M , pero esto es precisamente lo que se requiere si
queremos eliminar la singularidad que las coordenadas originales tienen en ese sitio. En t érminos de estas
nuevas coordenadas la métrica de Schwarzschild se transforma en:
ds2 = −(1 − 2M/r)dṼ 2 + 2 dṼ dr + r 2 dΩ2 . (7.30)
Noviembre, 2001
Esta es la métrica de Schwarzschild en las llamadas coordenadas de Eddington - Finkelstein. Las trayectorias
de geodésicas nulas en estas coordenadas son:
dṼ /dr = 0 (entrantes), (7.31)

dṼ /dr = 2/(1 − 2M/r) (salientes). (7.32)
La coordenada Ṽ es una coordenada nula, lo que puede verse del hecho de que las geodésicas nulas entrantes
tienen Ṽ constante. Una última transformación de coordenadas de {Ṽ , r} a {t̃, r} con
t̃ := Ṽ − r = t + 2M ln |r/2M − 1|, (7.33)
lleva la métrica a la forma:

2 2M 2 4M 2M
ds = − 1 − dt̃ + dt̃dr + 1 + dr2 + r2 dΩ2 . (7.34)
r r r
Las geodésicas nulas ahora corresponden a:
dr/dt̃ = −1 (entrantes), (7.35)

dr/dt̃ = (1 − 2M/r)/(1 + 2M/r) (salientes). (7.36)
En este sistema de coordenadas, las geodésicas entrantes se mueven a velocidad constante dr/d t̃ = −1,
como en el espacio de Minkowski, y cruzan el radio de Schwarzschild sin ning ún problema. Las geodésicas
“salientes”, en cambio, se mueven con velocidad menor que 1 para r > 2M , no se mueven para r = 2M
(r = 2M es de hecho la trayectoria de una geodésica “saliente”), y se mueven con velocidad negativa (es
decir, entran en vez de salir) para r < 2M . Como todas las geodésicas nulas entran para r < 2M , debemos
concluir que esta región no puede tener ninguna influencia causal sobre el exterior (pues nada puede viajar
mas rápido que la luz, y la luz no puede salir), es decir, esta causalmente desconectada del exterior. Estas
propiedades de la métrica se muestran en la figura 7.1.
7.4 La extensión de Kruskal-Szekeres

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se comportan mucho mejor que las coordenadas de Schwarzschild,
pero aun no son perfectas. Su mayor problema es que la simetrı́a temporal se ha roto: las geodésicas nulas
entrantes y salientes no se comportan de la misma forma. De hecho, es posible construir coordenadas de
tipo Eddington-Finkelstein utilizando Ũ = t − r ∗ en lugar de Ṽ = t + r ∗ en las cuales r = 2M es una
barrera para las geodésicas entrantes y no para las salientes. Ası́ podemos distinguir entre coordenadas de
Eddington-Finkelstein “entrantes” y “salientes”.
Para construir un sistema de coordenadas totalmente regular comenzamos por transformar la m étrica (7.30)
de las coordenadas {r, Ṽ } a las coordenadas {Ũ , Ṽ }. Un poco de algebra nos lleva a
ds2 = − (1 − 2M/r) dŨ dṼ + r2 dΩ2 (7.37)
Esta métrica sigue siendo irregular en r = 2M , pero el problema ahora es menor. Hemos visto que las
superficies Ṽ = constante son regulares. Lo mismo ocurre con las superficies Ũ = constante. El problema
no son las superficies, sino la manera de parametrizarlas. Un cambio de coordenadas de la forma ũ = F ( Ũ )

Figura 7.1: Espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas de Eddington-Finkelstein. N ótese como los fotones entrantes viajan
a velocidad constante, mientras que los salientes en realidad entran para r < 2M .
Noviembre, 2001
y ṽ = G(Ṽ ) deja las superficies iguales. Para encontrar la forma de que F y G deben tener para eliminar el
problema en r = 2M notemos que
h i
exp (Ṽ − Ũ )/4M = exp (r ∗ /2M ) = (r/2M − 1) exp(r/2M ) . (7.38)
Esto sugiere la transformación
ũ = −eŨ /4M = −(r/2M − 1)1/2 e(r−t)/4M , (7.39)

Ṽ /4M 1/2 (r+t)/4M
ṽ = +e = +(r/2M − 1) e , (7.40)
lo que nos lleva a la métrica
ds2 = −(32M 3 /r) e−r/2M dũdṽ + r 2 dΩ2 . (7.41)
En esta métrica r todavı́a mide el area, pero ahora es una función de ũ y ṽ. Las coordenadas ũ y ṽ son
coordenadas nulas entrantes y salientes. Uno puede construir coordenadas espacialoides y temporaloides u
y v de la siguiente manera
u := (ṽ − ũ)/2 = (r/2M − 1)1/2 er/4M cosh(t/4M ) , (7.42)

1/2 r/4M
v := (ṽ + ũ)/2 = (r/2M − 1) e sinh(t/4M ) , (7.43)
con lo que obtenemos la forma final de la métrica
ds2 = −(32M 3 /r) e−r/2M −dv 2 + du2 + r2 dΩ2 , (7.44)

con r dado en términos de u y v como
(r/2M − 1) er/2M = u2 − v 2 . (7.45)
Las coordenadas u y v que acabamos de definir se conocen como “coordenadas de Kruskal-Szekeres” en

honor a Kruskal y Szekeres quienes las descubrieron de manera independiente en 1960 [12, 26]. N ótese que
la singularidad en r = 2M ha desaparecido por completo, pero la singularidad en r = 0 continua presente.
En las coordenadas de Krusal-Szekeres, las trayectorias nulas corresponden a lı́neas con dv = ±du, es decir,
lı́neas a 45 grados. Esto significa que en un diagrama (u, v), los conos de luz se comportan como en un
espacio-tiempo plano. Esto hace que estas coordenadas sean muy útiles para visualizar la geometrı́a de la
solución de Schwarzschild. En la figura 7.2 se muestra el diagrama de la métrica (7.44). Nótese que solo
las coordenadas (u, v) se muestran en el diagrama, las coordenadas (θ, φ) están suprimidas, por lo que cada
punto del diagrama corresponde en realidad a una esfera.
Hay muchas conclusiones importantes que pueden obtenerse del diagrama de Kruskal. Como mencionamos
ya, cualquier linea a 45 grados es una trayectoria nula. De la ecuaci ón (7.45) podemos ver también que
las lı́neas con r constante corresponden a hipérbolas en el diagrama. Para r > 2M dichas hipérbolas son
verticales, para r < 2M son horizontales, y para r = 2M las hipérbolas degeneran en lı́neas rectas que
cruzan el origen a 45 grados. Esto implica que para r > 2M una trayectoria con r constante es temporal,
es decir, un objeto fı́sico puede seguirla, para r < 2M las trayectorias con r constante son espaciales por lo
que un objeto fı́sico no puede seguirlas (el objeto no se puede quedar quieto), y la linea r = 2M es de hecho
nula. La hipérbola r = 0 marca donde termina el espacio-tiempo, pues ahı́ hay una singularidad real. Nótese
también que aun cuando r = 0 es solo un punto en un espacio plano, aquı́ corresponde a dos ramas de una

Figura 7.2: Espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas de Kruskal-Szekeres.
Noviembre, 2001
hipérbola. Las lı́neas con coordenada de tiempo t de Schwarzschild

constante son ortogonales a las hipérbolas y corresponden a lı́neas rectas que cruzan el origen. La linea
t = ∞ corresponde a la linea a 45 grados y coincide con la linea r = 2M . Esto explica el problema con las
coordenadas de Schwarzschild: en r = 2M las coordenadas de Schwarzschild “compactan” toda la linea a
un solo punto.
Hay otras propiedades aun mas sorprendentes del espacio-tiempo de
Schwarzschild que pueden verse en el diagrama. Las lı́neas r = 2M dividen al espacio en 4 regiones que en
la figura se marcan I, II, II y IV. La región I tiene r > 2M y corresponde al exterior, mientras que la regi ón
II tiene R < 2M y es el interior. Un objeto que atraviese de la regi ón I a la región II no puede volver a salir
y debe llegar inevitablemente a la singularidad en r = 0. El objeto tampoco puede enviar se ñales al exterior,
por lo que a esta región se le conoce como un “agujero negro”. A la linea que divide al exterior del interior,
r = 2M , se le llama el “horizonte” del agujero negro.
Pero aun nos quedan por interpretar las regiones III y IV. La regi ón IV es equivalente a la II pero invertida
en el tiempo: la singularidad esta en el pasado, y nada puede penetrarla desde el exterior. Esto se conoce
como un “agujero blanco”. Finalmente, la región III es totalmente equivalente a la región I. Es otra región
exterior. Para entender como están conectadas las regiones exteriores I y III consideremos la superficie t = 0
(la linea horizontal que pasa por el origen). Si nos acercamos desde la derecha en la regi ón I, venimos desde
fuera del horizonte y r se va haciendo cada vez mas peque ño, es decir, el area de las esferas disminuye. Al
llegar al origen, r toma un valor mı́nimo (r = 2M ) y vuelve a crecer mientras entramos en la regi ón exterior
III. La geometrı́a que resulta se puede observar en la figura 7.3 y se conoce como un “puente de Einstein-
Figura 7.3: Túnel de Einstein-Rosen o “agujero de gusano”. Esta es la geometrı́a de la solución de Schwarzschild: Dos regiones
exteriores conectadas a través de un túnel estrecho.
Rosen” o un “agujero de gusano”: dos regiones asint óticamente planas conectadas por un túnel estrecho. Es
importante aclarar un par de cosas sobre el puente de Einstein-Rosen. Primero, resulta imposible que alg ún

objeto lo atraviese (ni siquiera la luz) debido a que los objetos deben moverse dentro de los conos de luz,
por lo que de la región I deben pasar inevitablemente a la II y nunca pueden llegar a la regi ón III. Segundo,
si un agujero negro se forma por el colapso gravitacional de una estrella, el puente nunca existe pues las
regiones III y IV estarı́an en el interior de la estrella, donde la solución ya no es válida (por ser una solución
de vacı́o). Aun ası́, la existencia del puente de Einstein-Rosen tiene importantes aplicaciones prácticas en las
simulaciones numéricas de agujeros negros que discutiremos mas adelante.
Finalmente, es importante hacer énfasis en otro hecho que resulta evidente del diagrama de Kruskal, las
singularidades en r = 0 no son un “lugar”, sino que son un “tiempo” (son superficies espacialoides). En el
agujero blanco, la singularidad esta en el pasado, y en el agujero negro esta en el futuro.
7.5 Dinámica de la geometrı́a de Schwarzschild

Al inicio de este capı́tulo encontramos la solución de Schwarzschild
comenzando con dos condiciones: simetrı́a esférica y estaticidad. Una vez teniendo la solución en las co-
ordenadas originales de Schwarzschild encontramos, después de una serie de cambios de coordenadas, la
llamada “extensión máxima de la geometrı́a de Schwarzschild” que se puede ver mas claramente en las co-
ordenadas de Kruskal-Szekeres. En estas coordenadas puede verse claramente un hecho sorprendente: la
solución de Schwarzschild no es estática en todos sitios como habı́amos supuesto. La propiedad de estati-
cidad solo es válida en las regiones I y III del diagrama de Kruskal, es decir, las regiones exteriores. Solo
ahı́ es posible que un observador fı́sico vea una geometrı́a independiente del tiempo. En las regiones II y
IV la geometrı́a no es estática, el espacio se expande de una singularidad inicial en IV y se colapsa a una
singularidad final en II.
¿Como podemos entender el conflicto entre nuestra condici ón original, independencia en el tiempo, y el
resultado final de una geometrı́a no estática en las regiones II y IV? La respuesta a esto tiene que ver con
el problema de nuestras coordenadas originales. Lo que encontramos fue una soluci ón a las ecuaciones de
Einstein independiente de la coordenada t de Schwarzschild. Pero hemos visto que esa coordenada en de tipo
temporaloide en el exterior, pero de tipo espacialoide en el interior. Esto significa que en el interior lo que
tenemos no es una solución estática, sino una solución homogénea, es decir independiente de la posición.
La evolución dinámica de la geometrı́a de Schwarzschild puede entenderse mejor considerando una secuen-
cia de superficies con v constante (superficies de tipo espacial) en el diagrama de Kruskal. Comencemos
con la superficie con v=0. Como hemos visto, la geometrı́a de esta superficie corresponde a un agujero de
gusano con un “cuello” en r = 2M que une a las dos regiones exteriores I y III. Al avanzar en el tiempo
(movernos hacia valores de v mayores a zero), la geometrı́a aun tiene la estructura de un agujero de gusano,
pero ahora penetra en la región II, y el area del cuello es menor (se alcanzan valores menores de r). Al llegar
a la singularidad, el cuello se cierra por completo (se llega a r=0), y los dos lados del agujero de gusano
se separan. En la región con v negativa la situación se invierte. Podemos entonces pensar en la solución
completa imaginándonos un agujero de gusano que aparece entre dos universos separados, se expande hasta
alcanzar un area máxima, y luego se vuelve a cerrar. El proceso ocurre tan rápido, que ni siquiera un rayo de
luz puede atravesar el agujero de gusano antes de que éste se cierre de nuevo. Cualquier objeto que intente
atravesar el agujero de gusano será destruido inevitablemente en la singularidad que se forma al cerrarse el
agujero.
Noviembre, 2001
Capı́tulo
8
Colapso gravitacional
8.1 El teorema de Birkhoff

Como hemos visto, la solución de Schwarzschild puede obtenerse a partir de las ecuaciones de Einstein en
el vacı́o partiendo de dos condiciones: simetrı́a esférica y estaticidad. Hacia 1923, Birkhoff [3] demostró
un teorema sorprendente: La geometrı́a de Schwarzschild es la única solución a las ecuaciones de Einstein
en el vacı́o con simetrı́a esférica, es decir, la condición de estaticidad no es necesaria y es una consecuencia
de la simetrı́a esférica. Esto significa, en particular, que el campo gravitacional exterior de cualquier dis-
tribución esférica de materia o energı́a esta dado por la solución de Schwarzschild y es por lo tanto estático,
independientemente de si la materia esta oscilando, expendiéndose o contrayéndose.
Otra manera de describir el teorema de Birkhoff es la siguiente: de la misma forma que en la electrodin ámica
no hay ondas electromagnéticas monopolares (esféricas), el teorema de Birkhoff implica que en la relatividad
general tampoco hay radiación gravitacional monopolar.
El teorema de Birkhoff es muy fácil de demostrar. Como vimos en la sección 7.1, la métrica mas general en
simetrı́a esférica toma la forma:
ds2 = −e2Φ dt2 + e2Λ dr2 + r2 dΩ2 , (8.1)
donde hemos reescrito la ecuación (7.5) tomando f = e−2Φ y h = e2Λ , y donde ahora permitiremos que en
principio Φ y Λ sean funciones de r y t.
Las componentes no triviales del tensor de Einstein correspondiente a esta métrica resultan ser
1 2Φ
e ∂r r 1 − e−2Λ , (8.2)

G00 = 2
r
2
G0r = ∂t Λ , (8.3)
r
1 2
Grr = − 2 e2Λ 1 − e−2Λ + ∂r Φ , (8.4)
r r
2 −2Λ 2 2 1 1
Gθθ = r e ∂r Φ + (∂r Φ) + ∂r Φ − ∂r Λ ∂r Φ − ∂r Λ
r r
h i
−e−2Φ ∂t2 Λ + (∂t Λ)2 − ∂t Λ ∂t Φ , (8.5)
Gφφ = sin2 θ Gθθ . (8.6)
Como estamos en le vacı́o, cada componente debe ser igual a cero. Al tomar G 0r = 0 vemos inmediatamente
que Λ es solo función de r. La ecuación G00 = 0 ahora implica que Λ tiene la misma forma que en la métrica
de Schwarzschild:
1
Λ = − ln |1 − 2M/r| . (8.7)
2
87
Las ecuaciones para Grr , Gθθ y Gφφ ahora resulta ser equivalentes, y su solución es (a partir de Grr = 0):
1
Φ= ln |1 − 2M/r| + f (t) , (8.8)
2
con f (t) una función arbitraria.
La métrica toma entonces la forma:
ds2 = −e2f (t) (1 − 2M/r) dt2 + (1 − 2M/r)−1 dr2 + r2 dΩ2 . (8.9)
Ahora, introducimos una nueva coordenada t0 definida por:

Z
t := ef (t) dt ⇒ dt0 = ef (t) dt ,
0
(8.10)
lo que transforma a la métrica en su forma final:
ds2 = − (1 − 2M/r) dt02 + (1 − 2M/r)−1 dr2 + r2 dΩ2 , (8.11)
que no es otra cosa sino la métrica de Schwarzschild con t0 en lugar de t.

El teorema de Birkhoff garantiza que si una estrella esférica se colapsa mas allá de su radio de Schwarzschild
r = 2M , entonces, sin importar de que material este hecha la estrella, ésta debe colapsarse hasta que su
superficie llegue a la singularidad en r = 0. Esto es debido a que la materia no puede viajar mas r ápido que
la luz, y en la métrica de Schwarzschild cualquier trayectoria a velocidad menor que la de la luz que parte de
algún sitio con r < 2M debe necesariamente alcanzar la singularidad. También, ninguna señal emitida por
la estrella una vez que se colapsa dentro del radio de Schwarzschild puede salir al exterior. Esto significa que
un observador en el exterior no puede ver a la estrella una vez que esta alcanza el radio de Schwarzschild, y
nunca podrá ver la singularidad resultante.
8.2 Colapso de Oppenheimer-Snyder

La primera solución dinámica del colapso gravitacional de un objeto esférico fue encontrada por Oppen-
heimer y Snyder en 1939 [17]. Como tal, esta solución es el primer ejemplo de como es posible formar un
agujero negro a partir de una situación inicial donde este aun no existe. Oppenheimer y Snyder consideraron
el colapso gravitacional de una esfera de “polvo”, es decir un fluido perfecto con presi ón igual a cero, y
asumieron que la densidad dentro de la esfera era uniforme.
Debido a que no hay presión, las partı́culas en la superficie de la bola de polvo deben seguir geodésicas en
la geometrı́a exterior de Schwarzschild. Si la bola de polvo esta inicialmente en reposo, con una radio R 0 y
masa total M , las ecuaciones para las geodésicas radiales implican que el tiempo propio transcurrido hasta
que la superficie llega a la singularidad es
q
τ = π R03 /8M . (8.12)
Este es entonces el tiempo total que un observador que esta en la superficie mide hasta llegar a la singularidad.
Para entender la geometrı́a en el interior, partimos del hecho de que el polvo tiene densidad uniforme. La
solución debe ser entonces homogénea e isotrópica en todo el interior, es decir, debe ser localmente idéntica
a una solución cosmológica de Friedmann. De hecho, solo la solución cerrada de Friedmann es aplicable
pues es la única que posee un momento de simetrı́a temporal que corresponde a la bola de polvo inicialmente
Noviembre, 2001
Colapso gravitacional 89
en reposo. La métrica de la solución de Friedmann en las llamadas “coordenadas hiperesféricas co-móviles”

tiene la forma:
ds2 = −dτ 2 + a2 (τ ) dχ2 + sin2 χ dΩ2 , (8.13)

donde a(τ ) se define paramétricamente como:
1 1
a= am (1 + cos η) , τ= am (η + sin η) , (8.14)
2 2
con am el valor máximo de a, correspondiente a τ = η = 0.
La métrica (8.13) y la métrica de Schwarzschild deben unirse en la superficie de la estrella que corresponde
a R = R0 y χ = χ0 . Es posible hacer esta unión de manera suave si se relacionan los diferentes parámetros
de la siguiente forma:
sin χ0 = (2M/R0 )1/2 , (8.15)

1/2
am = R03 /2M . (8.16)
8.3 La estrella de Schwarzschild

En la sección anterior consideramos el caso de una distribución esféricamente simétrica de polvo. Como por
definición el polvo tiene presión cero, no es sorprendente que hayamos encontrado un colapso gravitacional
que forma un agujero negro. Ahora consideraremos el caso de materia con presi ón. En este caso el estudio
dinámico del colapso es mucho mas difı́cil y requiere de hecho de una solución numérica. Debido a esto, aquı́
nos limitaremos a buscar las condiciones necesarias para tener una soluci ón estática. Como veremos, existe
una masa máxima mas allá de la cual es imposible encontrar una solución estática y el colapso gravitacional
es inevitable.
Consideraremos entonces de nuevo el caso de un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico, pero
ahora no en el vacı́o. Como vimos anteriormente, la métrica mas general en ese caso toma la forma dada en
la ecuación (8.1):
ds2 = −e2Φ dt2 + e2Λ dr2 + r2 dΩ2 . (8.17)
Como estamos de nuevo buscando soluciones estáticas, tomaremos Φ y Λ como funciones de r únicamente.
Partiendo de las ecuaciones (8.2)-(8.6), vemos que el tensor de Einstein se reduce en este caso a
1 2Φ
e ∂r r 1 − e−2Λ , (8.18)

G00 = 2
r
1 2
Grr = − 2 e2Λ 1 − e−2Λ + ∂r Φ , (8.19)
r r
2 −2Λ 2 2 1 1
Gθθ = r e ∂r Φ+(∂r Φ) + ∂r Φ−∂r Λ∂r Φ− ∂r Λ , (8.20)
r r
Gφφ = sin2 θ Gθθ . (8.21)
Con esto tenemos el lado izquierdo de las ecuaciones de Einstein, pero aun necesitamos el tensor de energı́a
momento de la materia. Por simplicidad, consideraremos el caso de un fluido perfecto, para el cual el tensor
de energı́a momento Tµν tiene la forma general:
Tµν = (p + ρ) uµ uν + pgµν , (8.22)

con p la presión y ρ la densidad de energı́a medidas en el marco de referencia en el que el fluido esta en
reposo, y uµ la cuatro-velocidad del fluido. Como estamos considerando un fluido en reposo, obtenemos
simplemente
u0 = −e−Φ , ui = 0 . (8.23)
El tensor Tµν resulta ser entonces:
T00 = ρ e2Φ , (8.24)

2Λ
Trr = p e , (8.25)
2
Tθθ = r p , (8.26)
2
Tφφ = sin θ Tθθ . (8.27)
El siguiente paso es escribir las ecuaciones de Einstein. En primer lugar, utilizamos las leyes de conservaci ón
(que como hemos visto son consecuencia de las ecuaciones de Einstein):
T µν ;µ = 0 . (8.28)
Aunque en principio estas son 4 ecuaciones, solo una de ellas es no trivial en este caso y resulta ser:
dΦ dp
(p + ρ) =− . (8.29)
dr dr
De la componente (0, 0) de las ecuaciones de Einstein obtenemos, además:
dm
= 4πr 2 ρ , (8.30)
dr
y de la componente (r, r):
dΦ m(r) + 4πr 3 p
= , (8.31)
dr r(r − 2m(r))
donde hemos definido la función m(r) en términos de Λ(r) como
r
1 − e−2Λ . (8.32)

m(r) :=
2
Las ecuaciones de Einstein para (θ, θ) y (φ, φ) resultan ser consecuencia de las tres ecuaciones anteriores y
no aportan ninguna información nueva.
Es importante notar que la ecuación (8.30) tiene exactamente la misma forma que la ecuaci ón que se obtiene
en la teorı́a de Newton para la masa contenida dentro de una esfera de radio r. Debido a esto, llamaremos a
m(r) la “función de masa”.
Las ecuaciones (8.29), (8.30) y (8.31) nos dan 3 ecuaciones para las 4 inc ógnitas (p, ρ, m, Φ). Es claro que
para poder resolver el sistema aun nos falta una ecuaci ón. La ecuación faltante es claramente la ecuación de
estado del fluido que nos da la relación p = p(ρ).
Resulta conveniente dividir las ecuaciones (8.31) y (8.29) entre sı́ para obtener
dp (ρ + p) (m + 4πr 3 p)
=− . (8.33)
dr r(r − 2m)
Esta última ecuación se conoce como la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkov (TOV).
Para resolver el sistema de ecuaciones una vez teniendo la ecuaci ón de estado se procede de la siguiente
forma:
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Colapso gravitacional 91
i. Se eligen las constantes de integración m(r = 0) y p(r = 0). No es difı́cil convencerse de que
debemos tener m(r = 0) = 0 (la masa contenida en una esfera de radio cero es cero), por lo que solo
nos queda un parámetro: la presión central de la estrella.
ii. Se integran las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (8.30) y (8.33) utilizando la ecuaci ón
de estado para obtener m(r), ρ(r) y p(r). La superficie de la estrella se define como el sitio donde la
presión se hace cero p(R) = 0. Nótese que Φ no aparece en ninguna de estas ecuaciones.
iii. Una vez teniendo p(r) y ρ(r), se integra la ecuación (8.29) para obtener Φ(r). La función Λ(r) se
obtiene a partir de la definición de m(r) dada en la ecuación (8.32). Esto nos permite obtener la
métrica final en el interior de la estrella.
iv. Para continuar la solución mas allá de la superficie, simplemente se toma la métrica de Schwarzschild
con M = m(R).
El caso mas simple que puede considerarse es el de una estrella con densidad uniforme ρ =constante. Esta
condición substituye a la ecuación de estado. No hay ninguna justificación fı́sica para tomar esta condición,
y de hecho tiene el grave inconveniente de predecir una velocidad del sonido infinita (v s = (dp/dρ)1/2 ),
pero constituye una buena aproximación en muchos casos. La solución a este problema fue encontrada
originalmente por Schwarzschild mismo en 1916 [23] pocos meses después de que encontrara la solución
en el caso del vacı́o. Debido a esto, a una estrella con densidad constante se le conoce como “estrella de
Schwarzschild”.
La ecuación (8.30) se puede ahora integrar trivialmente para obtener:
m(r) = 4πρ r 3 /3 , r < R, (8.34)
donde R es el radio de la estrella (aun por determinar).

Ahora debemos resolver la ecuación de TOV. Esta ecuación puede integrarse de manera exacta para obtener:
ρ + 3p ρ + 3pc
= (1 − 2m/r)1/2 , (8.35)
ρ+p ρ + pc
donde pc es la densidad central de la estrella. El radio de la estrella se obtiene tomando p = 0 y resolviendo

para r. Haciendo esto encontramos:
(ρ + pc )2

2 3
R = 1− , (8.36)
8πρ (ρ + 3pc )2
lo que implica
1 − (1 − 2M/R)1/2
pc = ρ , (8.37)
3(1 − 2M/R)1/2 − 1
donde M = 4πρR3 /3. Substituyendo este resultado de nuevo en (8.35) obtenemos, finalmente:
(1 − 2M r 2 /R3 )1/2 − (1 − 2M/R)1/2

p=ρ . (8.38)
3(1 − 2M/R)1/2 − (1 − 2M r 2 /R3 )1/2
La consecuencia mas importante de esta solución desde el punto de vista de los agujeros negros es el hecho
de que cuando M/R → 4/9, la densidad central pc se vuelve infinita. Es decir, es imposible tener estrellas

con densidad uniforme y masa M > 4R/9. Utilizando la relaci ón entre el radio de la estrella y la densidad
es posible mostrar que la masa máxima esta dada por:
4
Mmax = ρ−1/2 . (8.39)
9(3π)1/2
De hecho, es posible demostrar que si asumimos que la densidad no es constante, pero es siempre positiva y
disminuye de manera monótona al aumentar r, entonces para un radio fijo R, la masa máxima de una estrella
esta siempre dada por el valor para densidad uniforme M max = 4R/9, independientemente de la forma de la
ecuación de estado. Si uno construye una estrella con cualquier tipo de materia y con un radio igual a 9M/4
y después le da un pequeño empujón hacia adentro, la estrella debe necesariamente colapsarse pues ya no
hay ninguna solución estática. Como la métrica exterior es la métrica de Schwarzschild, la estrella no tiene
mas remedio que formar un agujero negro.
Noviembre, 2001
Capı́tulo
9
Propiedades generales de los agujeros negros
En las secciones anteriores hemos estudiado la solución de Schwarzschild que representa a un agujero negro
eterno, y el colapso gravitacional donde un agujero negro se forma de manera din ámica. En ambos casos,
sin embargo, hemos considerado situaciones con simetrı́a esférica, para las que es relativamente sencillo
entender que es el agujero negro. El estudio de los agujeros negros con simetrı́a esférica se simplifica con-
siderablemente gracias a la existencia del teorema de Birkhoff que nos dice que la soluci ón de Schwarzschild
es la única solución con simetrı́a esférica de las ecuaciones de Einstein en el vacı́o. En el caso mas general,
cuando no existe ninguna simetrı́a, ese teorema ya no es válido por lo que se requieren de métodos mas
generales para el estudio de los agujeros negros. Nuestro objetivo ahora es estudiar las propiedades gen-
erales de los agujeros negros sin hacer uso de ninguna simetrı́a. El primer paso es definir el concepto de
agujero negro de manera general. Intuitivamente, lo que se desea es definir a un agujero negro como una
“región de no retorno”. La definición formal de un agujero negro requiere del uso de los llamados “métodos
globales” donde la estructura causal del espacio-tiempo, es decir que eventos pueden tener influencia causal
entre si, se estudia de forma global. De particular interés para el caso de los agujeros negros son las defini-
ciones de “infinito conforme”, donde se utiliza una transformaci ón de coordenadas para estudiar las regiones
infinitamente lejanas del espacio-tiempo.
9.1 Infinito conforme y diagramas de Penrose

Para introducir la idea del infinito conforme, consideremos por un momento la métrica de Minkowski para
un espacio plano en coordenadas esféricas:
ds2 = −dt2 + dr2 + r2 dΩ2 . (9.1)
Estamos interesados en estudiar las propiedades de la radiaci ón que se propaga hacia el infinito en este
espacio-tiempo. El primer paso es introducir las llamadas coordenadas“avanzadas” y “retrasadas”:
u = t−r, v = t+r, (9.2)
con lo que la métrica se transforma en

1
ds2 = −dudv + (v − u)2 dΩ2 . (9.3)
4
Es fácil ver que las coordenadas u y v son coordenadas radiales nulas: la radiaci ón que sale se propaga
siguiendo lı́neas con u constante, y la que entra siguiendo lı́neas con v constante.
Para estudiar lo que ocurre en el infinito, es conveniente hacer una nueva transformaci ón de coordenadas que
traiga el infinito a una distancia finita. Una transformación que resulta adecuada es la siguiente:
T = tan−1 v + tan−1 u , (9.4)

R = tan−1 v − tan−1 u . (9.5)
93
En estas nuevas coordenadas, el espacio-tiempo completo se encuentra ahora restringido a la regi ón
−π < T + R < π , (9.6)

−π < T − R < π . (9.7)
y la métrica toma la forma

1
ds2 = 2 2 2 2 2 2
(9.8)

−dT + dR + sin R dθ + sin θ dφ ,
ω2
donde ω está dado por
4
ω2 = . (9.9)
(1 + v 2 )(1 + u2 )
Nótese que la métrica anterior es singular en el infinito (t → ±∞, r → ±∞), pues ahı́ ω es igual a cero. Sin
embargo, podemos definir una nueva métrica dada por:
g̃αβ = ω 2 ηαβ , (9.10)
con ηαβ la métrica de Minkowski original. Encontramos entonces que:
ds̃2 = −dT 2 + dR2 + sin2 R dΩ2 . (9.11)
La nueva métrica es perfectamente regular en infinito (T + R = ±π, T − R = ±π). A la transformaci ón

(9.10) se le conoce como una “transformación conforme” (que mantiene ángulos pero no distancias), y a g̃αβ
se le llama la “métrica conforme”. Utilizando la métrica conforme podemos analizar el comportamiento de
cantidades fı́sicas en el infinito sin tener que tomar lı́mites.
Definimos el “infinito conforme” del espacio-tiempo de Minkowski como la frontera de la m étrica conforme
g̃αβ . En la figura 9.1 se puede ver que esta frontera esta naturalmente dividida en 5 regiones:
• El vértice inferior i− llamado “infinito temporaloide pasado”.
• El vértice superior i+ llamado “infinito temporaloide futuro”.
• Los vértices i0 llamados “infinito espacialoide”.
• La superficie tridimensional nula J − dada por T ± R = −π, llamada “infinito nulo pasado”
• La superficie tridimensional nula J + dada por T ± R = π, llamada “infinito nulo futuro”.
Nótese que todas las trayectorias temporaloides en el espacio-tiempo de Minkowski empiezan en i − y ter-
minan en i+ , todas las trayectorias espacialoides empiezan y terminan en i 0 , y todas las trayectorias nulas
empiezan en J − y terminan en J + (estas trayectorias siempre corresponden a lı́neas a 45 grados). A la
figura 9.1 se le llama un “diagrama conforme” o “diagrama de Penrose”.
Un procedimiento similar puede seguirse en el caso de la soluci ón de Schwarzschild, obteniéndose el dia-
grama que se muestra en la figura 9.2. Este diagrama tiene varias diferencias importantes con respecto al
diagrama que encontramos en el caso de Minkowski. En primer lugar vemos la presencia de las dos re-
giones exteriores I y III, y la presencia de las regiones del agujero negro II y del agujero blanco IV. Adem ás,
las singularidades forman una nueva porción de la frontera, distinta a las 5 regiones que existen en el caso
de Minkowski. Podemos ver que en este caso es posible encontrar tanto trayectorias nulas como trayecto-
rias temporaloides que no alcanzan los infinitos temporaloides i ± o los infinitos nulos J ± , y que ya sea
comienzan en la singularidad pasada o terminan en la singularidad futura.
Noviembre, 2001
Propiedades generales de los agujeros negros 95
Figura 9.1: Diagrama de Penrose para el espacio-tiempo de Minkowski.
Figura 9.2: Diagrama de Penrose para un agujero negro de Schwarzschild.

9.2 Definición de agujero negro y horizontes
Como ya hemos dicho, un agujero negro es básicamente una región de “no retorno” en el espacio-tiempo.
La propiedad fundamental de los agujeros negros es el hecho de que eventos que se encuentren dentro de la
frontera del agujero negro no pueden enviar ningún tipo de señales fı́sicas al exterior. La definición formal
de una agujero negro se puede expresar utilizando el concepto de “infinito conforme” que introdujimos en
la sección anterior: Se dice que un espacio-tiempo posee un agujero negro si el conjunto de todos aquellos
eventos conectados causalmente con el infinito futuro nulo (con J + ) no cubre al espacio-tiempo completo.
En otras palabras, si se envı́an rayos de luz hacia atrás en el tiempo desde J + , existen eventos que son
imposibles de alcanzar. La región que no puede alcanzarse de esta forma se conoce como el interior del
agujero negro, y a la frontera de dicha región se le llama el “horizonte de eventos” (véase figura 9.2).
Aun cuando la definición anterior de un agujero negro incluye perfectamente el concepto de la existencia
de una región de no retorno, tiene el grave inconveniente de que es necesario conocer la historia completa
del espacio-tiempo antes de poder decidir si existe un agujero negro o no en él. Esto es debido a que
es necesario seguir toda geodésica nula por un tiempo infinito para poder ver si escapa al infinito o no. En
muchas aplicaciones prácticas es posible que uno conozca solo una porción de la historia del espacio-tiempo.
Se requiere entonces de algún criterio que permita decidir si existe un agujero negro que sea mas local y no
requiera del conocimiento completo del espacio-tiempo.
Para llegar a dicho criterio, es necesario primero definir el concepto de “superficie atrapada”. Consideremos
una superficie bidimensional cerrada y regular contenida en una secci ón tridimensional de tipo espacialoide
de un espacio-tiempo dado. Pensemos ahora en un conjunto de geodésicas nulas (es decir, rayos de luz)
que se lanzan hacia el exterior de dicha superficie en trayectorial ortogonales a ella. La expansi ón de dichas
geodésicas se define como el cambio por unidad de tiempo en los elementos de area que dichas geod ésicas
cubren. En un espacio plano es evidente que si consideramos una superficie convexa, la expansi ón de las
geodésicas nulas que salen de ella es siempre positiva pues al moverse los rayos de luz al exterior cubren
un area cada vez mayor (en el caso de una esfera, el area crece como r 2 ). Por otro lado, como hemos visto
anteriormente, en el interior de un agujero negro de Schwarzschild, los rayos de luz “salientes” en realidad
también caen, por lo que dicha expansión es negativa.
Una superficie atrapada se define en general como una superficie bidimensional cerrada y regular tal que la
expansión de las geodésicas nulas que salen de ella es negativa en toda la superficie. Por ejemplo, toda esfera
con r < 2M en la solución de Schwarzschild es una superficie atrapada. Una superficie “marginalmente
atrapada” es aquella donde la expansión de las geodésicas nulas salientes es igual a cero en todos sitios,
como es el caso del horizonte de la solución de Schwarzschild.
El concepto de superficies atrapadas nos permite definir lo que se conoce como el “horizonte aparente” de
un agujero negro: Definimos la “región atrapada total” de un espacio tiempo como la unión de todas las
superficies atrapadas. A la frontera de dicha región se le conoce como el “horizonte aparente”. No es difı́cil
ver que el horizonte aparente es siempre una superficie marginalmente atrapada. A diferencia del horizonte
de eventos, el horizonte aparente puede encontrase de forma local.
En el caso del agujero negro de Schwarzschild, el horizonte aparente coincide con el horizonte de eventos,
pero en un caso mas general esto no es siempre cierto. Sin embargo, es posible demostrar que el horizonte
aparente tiene la siguiente propiedad: Si las ecuaciones de Einstein se cumplen, y el tensor de energı́a-
momento de la materia es tal que Tαβ k α k β ≥ 0 para todo vector nulo k α , entonces el horizonte aparente
siempre esta contenido, o coincide, con el horizonte de eventos. En particular, el resultado anterior es siempre
válido en el vacı́o.
Noviembre, 2001
El resultado anterior requiere no solo de las ecuaciones de Einstein, sino de una suposici ón extra sobre la
estructura de la materia, una “condición de energı́a”. Este tipo de condiciones de energı́a son comunes en
muchos resultados de la relatividad general, en particular los teoremas de singularidades que se mencionan
mas adelante. Las condiciones de energı́a son independientes a las ecuaciones de Einstein, y tienen que ver
con suposiciones generales sobre la estructura de la materia. Por ejemplo, la llamada “condici ón de energı́a
débil” dice que la densidad de energı́a vista por un observador es siempre positiva y mayor que la presi ón de
la materia en cualquier dirección, y la llamada condición de energı́a fuerte dice que la densidad de energı́a
es mayor que la suma de las presiones de la materia en todas direcciones. Ambas condiciones implican la
condición sobre vectores nulos mencionada arriba. Toda la materia clásica conocida en la naturaleza obedece
estas condiciones de energı́a. Sin embargo, es posible construir modelos clásicos de materia que violan las
condiciones de energı́a ası́ como también es posible encontrar efectos cuánticos que producen violaciones de
estas condiciones.
9.3 Singularidades
Como hemos visto, la definición de un agujero negro depende del concepto de horizonte. En el caso de la
solución de Schwarzschild, dentro del horizonte se encuentra una singularidad, es decir un “lugar” donde la
curvatura del espacio es “infinita”. Podemos ahora preguntarnos si existen siempre singularidades dentro de
agujeros negros mas generales.
El problema principal al que nos enfrentamos al intentar responder a esta pregunta es que en el caso general
es difı́cil definir que es una singularidad. Para empezar, no es posible definir en general a una singularidad
como un “lugar”. Incluso en el caso de Schwarzschild hemos visto que la singularidad es mas bien un
tiempo. En casos mas complejos es difı́cil saber si la singularidad es un lugar, un tiempo, o incluso si tiene
sentido hablar en esos términos. De la misma manera, pensar en la singularidad refiriéndonos a la curvatura
haciéndose infinita es problemático. Las componentes de la curvatura pueden ser infinitas por problemas del
sistema de coordenadas. También es posible pensar en casos donde la curvatura es finita pero el espacio es
singular por algún otro motivo.
La manera mas general de definir una singularidad es refiriéndose a la existencia de “geodésicas incomple-
tas”, es decir, geodésicas que no pueden extenderse pero que tienen longitud finita. El concepto de geod ésicas
incompletas, asociado al estudio de familias de geodésicas nulas o temporaloides, ha resultado de gran util-
idad en el estudio de la singularidades tanto de tipo cosmol ógico (por ejemplo en la gran explosión), como
aquellas asociadas con agujeros negros. De esta forma a sido posible demostrar una serie de teoremas sobre
la inevitabilidad de la formación de singularidades en el colapso gravitacional ası́ como en el pasado de un
universo en expansión.
De particular importancia para el estudio de los agujeros negros es el teorema de Penrose de 1965. Este
teorema indica que si la materia obedece la condición de energı́a Tµν k µ k ν ≥ 0 para todo vector nulo k µ , y
existe en algún momento una superficie atrapada, entonces una singularidad debe formarse necesariamente
en el futuro. Nótese que el teorema anterior no dice nada sobre la estructura de la singularidad.
9.4 Censura cósmica

Como hemos visto, los teoremas de singularidades indican que en el colapso gravitacional, una vez que se
forme una superficie atrapada, es inevitable que se cree una singularidad. Sin embargo, los teoremas no
garantizan que toda singularidad que se forme en un colapso gravitacional estar á dentro de un horizonte de

eventos, es decir, dentro de un agujero negro. Una singularidad que no este “protegida” por un horizonte de
eventos se conoce como una “singularidad desnuda”.
La existencia de una singularidad desnuda serı́a un grave problema para la relatividad general, ya que en
la singularidad la teorı́a no es válida, y es por lo tanto imposible predecir que puede ocurrir ahı́. Si la
singularidad es desnuda, cualquier cosa que ocurra ahı́ puede afectar al exterior, y el poder predictivo de
la teorı́a se pierde por completo. Sin embargo, existen motivos para creen que las singularidades desnudas
no existen en la naturaleza, lo que ha llevado a la formulaci ón de lo que se conoce como la “hipótesis de
la censura cósmica”: El colapso gravitacional de un objeto siempre resulta en un agujero negro y no en
una sigularidad desnuda, es decir, las singularidades que se produzcan en un colapso gravitacional siempre
estarán escondidas dentro de un horizonte de eventos.
La hipótesis anterior es incompleta sin imponer condiciones sobre la materia. Esto es debido a que siempre es
posible pensar en un espacio-tiempo con una singularidad desnuda y llamarlo una soluci ón a las ecuaciones
de Einstein definiendo el tensor de energı́a-momento de la materia simplemente como Tµν = Gµν /8π. Es
necesario entonces suponer que la materia satisface condiciones de energı́a de algún tipo. La censura cósmica
aun no ha sido demostrada, y constituye uno de los problemas abiertos mas importantes de la relatividad
general.
9.5 Masa, momento angular y carga

Consideremos ahora el colapso gravitacional de un objeto en rotaci ón. Es claro que en este caso el resultado
final no puede ser un agujero negro de Schwarzschild debido a que esta soluci ón tiene simetrı́a esférica y
no posee momento angular. Sin embargo, esperamos que la soluci ón final sea estacionaria, y que sea una
solución de vacı́o pues la materia que no escape al infinito acabara por caer al agujero negro.
Poco después de que la solución de Schwarzschild fuera descubierta en 1916, una generalizaci ón de ella que
posee carga eléctrica fue descubierta de forma independiente por Reisner [19] y Nordstrom [16], en 1916 y
1918 respectivamente. Pero no fue sino hasta 1963 que Kerr encontr ó una solución con momento angular
[10]. En 1965 la solución de Kerr fue generalizada por Newman al caso con carga eléctrica [15].
La solución de Kerr tiene dos parámetros libres a y M y es de la forma:
∆ − a2 sin2 θ M r sin2 θ

2
ds = − dt2 − 4a dtdφ
Σ Σ
(r + a2 )2 − ∆ a2 sin2 θ
2
+ sin2 θ dφ2
Σ
Σ 2
+ dr + Σ dθ 2 , (9.12)
∆
donde
Σ = r 2 + a2 cos2 θ , (9.13)
2 2
∆ = r + a − 2M r . (9.14)
Cuando a = 0, la solución se reduce a la métrica de Schwarzschild. La métrica anterior se vuelve ligeramente

mas compleja en el caso de un agujero negro con carga eléctrica.
La solución de Kerr corresponde a una métrica estacionaria, con simetrı́a axial, y asintóticamente plana. Los
parámetros a y M tienen una interpretación fı́sica directa: M es la masa del agujero negro, y J = aM es su
momento angular.
Noviembre, 2001
Las componentes de la métrica de Kerr son singulares cuando Σ = 0 y cuando ∆ = 0. De la misma forma
que en el caso de Schwarzschild, evaluando el tensor de curvatura podemos ver que la singularidad en Σ = 0
es real, pero la estructura de esta singularidad es mucho mas compleja que en el caso de Schwarzschild.
Aquı́ nos limitaremos a mencionar, sin demostrar, que la singularidad de Kerr resulta tener la estructura de
un anillo, y también que existen curvas temporaloides cerradas cerca de ella.
La singularidad en ∆ = 0 es distinta. En primer lugar, la singularidad no existe si a > M , pues en ese caso
no existen soluciones de la ecuación r 2 + a2 = 2M r. Cuando a > M la singularidad anular de Kerr es
desnuda, y la métrica no representa a un agujero negro. Vemos entonces que el valor máximo permitido para
a es a = M , correspondiente a un agujero negro con momento angular J = M 2 . A un agujero negro con
este momento angular se le conoce como un agujero negro “extremo”.
En el caso en que a ≤ M , la solución de la ecuación ∆ = 0 es:
p
r± = M ± M 2 − a 2 . (9.15)
Igual que en el caso de Schwarzschild, es posible demostrar que estas singularidades no son reales y que
solo representan problemas con el sistema de coordenadas. La superficie r = r + resulta ser el horizonte de
eventos del agujero negro, mientras que la superficie r = r − es una singularidad de coordenadas interna al
agujero negro.
A diferencia de la solución de Schwarzschild que, de acuerdo al teorema de Birkhoff, es la única solución
esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacı́o, la solución de Kerr no es la única solución
con simetrı́a axial. Esto significa que el colapso gravitacional de un objeto con simetrı́a axial no tiene por
que tener como métrica exterior a la solución de Kerr. Sin embargo, si es posible demostrar que la soluci ón
de Kerr es la única solución estacionaria con simetrı́a axial de las ecuaciones de Einstein en el vacı́o. Por lo
tanto, si después de un colapso gravitacional el espacio-tiempo alcanza una situaci ón estacionaria, entonces
el resultado final siempre será un agujero negro de Kerr.
9.6 La ergósfera de un agujero negro en rotación

Existe otra propiedad muy importante de los agujeros negros de Kerr que los diferencia del caso de Schwarzschild.
Consideremos la componente g00 de la métrica de Kerr (9.12):
∆ − a2 sin2 θ

g00 = − . (9.16)
Σ
Es fácil ver que g00 se vuelve positiva siempre que:
∆ − a2 sin2 θ = r2 + a2 cos2 θ − 2M r < 0 , (9.17)
cuyas soluciones son: p

r=M± M 2 − a2 cos2 θ . (9.18)
Parte de esta región siempre estará fuera del agujero negro si a is distinta de cero. A la región
p
r+ < r < M + M 2 − a2 cos2 θ (9.19)
se le conoce como la “ergósfera” del agujero negro. La ergósfera tiene su mayor extensión en el ecuador, y
se reduce a cero en los polos.

El significado de que g00 sea mayor que cero es que un objeto fı́sico no puede permanecer en reposo en
esa región pues eso serı́a equivalente a moverse mas rápido que la luz. El objeto debe entonces moverse,
pero ¿hacia donde? Para responder a esto, consideremos el vector tangente u µ = dxµ /dτ a una trayectoria
temporaloide (τ denota el tiempo propio). Como el vector es temporaloide, debemos tener
gµν uµ uν < 0 . (9.20)
Substituyendo la métrica de Kerr (9.12) en esta expresión y asumiendo que estamos dentro de la ergósfera
vemos que todos los términos en el lado izquierdo de esta ecuación resultan ser positivos excepto el término
2gtφ ut uφ . Para que la desigualdad se cumpla dentro de la ergósfera debemos entonces tener:
gtφ ut uφ > 0 . (9.21)
Por otro lado, para a > 0 podemos ver que gtφ es siempre negativo. Además, debemos siempre tener
ut = dt/dτ > 0, pues el tiempo propio avanza a medida que el tiempo coordenado lo hace. La conclusi ón
final es que dentro de la ergósfera necesariamente debemos tener
dφ
> 0, (9.22)
dτ
es decir, los objetos fı́sicos dentro de la ergósfera de la métrica de Kerr deben rotar en la dirección de rotación
del agujero negro. Esto se conoce como el “arrastre de marcos inerciales”. Los objetos dentro de la erg ósfera
aun pueden escapar al infinito, pero no pueden evitar rotar.
Es interesante mencionar que en 1969 Penrose descubri ó que es posible extraer energı́a de un agujero negro
en rotación utilizando la presencia de la ergósfera. En escencia, la energı́a rotacional puede extraerse hasta
terminar con un agujero negro de Schwarzschild. Para un agujero negro extremo con momento angular
√
J = M 2 , es posible extraer de esta forma una cantidad de energı́a equivalente a (1 − 1/ 2) ' 0.29 de su
masa inicial.
Noviembre, 2001
Capı́tulo
10
Perturbaciones de agujeros negros
Los agujeros negros por definición no emiten radiación electromagnética de ningún tipo (con la excep-
ción de la radiación de Hawking de origen cuántico que es extremadamente débil para agujeros negros
macroscópicos y que no consideraremos en estas notas). Debido a esto, no es posible detectar su presencia
en forma directa de manera convencional. A la fecha, existe evidencia indirecta de la presencia de agujeros
negros tanto de masas estelares en nuestra propia galaxia, como de millones de masas solares en el centro de
muchas otras galaxias (posiblemente todas). Sin embargo, resultarı́a extremadamente importante contar con
una manera de identificar a un agujero negro directamente.
Afortunadamente, una forma de detección directa existe en la señal de ondas gravitacionales emitida por
un agujero negro perturbado. En efecto, las perturbaciones de un agujero negro producen una se ñal carac-
terı́stica cuya detección indicarı́a de manera contundente la presencia de dicho agujero negro.
En esta sección daremos una breve introducción a la teorı́a de perturbaciones de un agujero negro de
Schwarzschild (el caso de Kerr es considerablemente mas complejo). Puede uno preguntarse, ¿como puede
perturbarse a un agujero negro? La respuesta a esto es muy sencilla, basta con que un poco de materia caiga
al agujero negro. Al absorber la materia, el agujero negro aumentará ligeramente de masa, y dependiendo de
la forma en que se arrojo la materia, oscilará hasta alcanzar de nuevo un estado estacionario.
Existen muchas referencias estándar donde se puede estudiar la teorı́a de perturbaciones de un agujero negro,
entre ellas merece principal mención el libro de Chandrasekhar “La Teorı́a Matemática de los Agujeros
Negros” [4]. Una introducción al tema puede encontrarse en el artı́culo de revisión de Kokkotas y Schmidt
[11].
10.1 Perturbaciones de la métrica: La ecuaciones de Regge-Wheeler y Zer-

illi
El estudio de las perturbaciones de un agujero negro de Schwarzschild
fue iniciado con los trabajos de Regge y Wheeler a fines de la década de los 50’s [18] y fue continuado
después por Zerilli [31, 32].
La teorı́a de perturbaciones de un agujero negro parte de considerar una peque ña perturbación hµν 1 a
una métrica estática y esféricamente simétrica:
ds2 = gµν
0
dxµ dxν = e−2Φ dt2 + e2Λ dr2 + r2 dΩ2 , (10.1)
la métrica perturbada será:

0
gµν = gµν + hµν . (10.2)
Esta perturbación en la métrica nos lleva a considerar una perturbación en las ecuaciones de Einstein (las
ecuaciones no perturbadas se satisfacen automáticamente pues consideramos perturbaciones a la métrica de
101
Schwarzschild):
δGµν = 8π δTµν . (10.3)
El siguiente paso es expander las perturbaciones de la métrica en la base de los armónicos esféricos de la
siguiente forma:
X χlm (r, t)
χ(t, r, θ, φ) = Ylm (θ, φ) , (10.4)
r
l,m
donde χlm (r, t) es una combinación de las distintas componentes de hµν . Substituyendo esta expansión en
la perturbación a las ecuaciones de Einstein es posible mostrar que las funciones χ lm (r, t) obedecen una
simple ecuación de onda con un potencial distinto de cero. Aquı́ no derivaremos esta ecuación de onda
sino que nos limitaremos a escribirla. Debemos notar, sin embargo, que la expansi ón (10.4) es válida solo
para cantidades que se transforman como funciones escalares bajo una rotaci ón. De las 10 componentes
independientes de hµν , solo htt , hrr y hrt tienen esta propiedad. Las demás componentes se transforman
como vectores o tensores, y debemos utilizar armónicos esféricos vectoriales o tensoriales (ver por ejemplo
los trabajos de Moncrief [14]). Existen dos clases de armónicos esféricos vectoriales llamados “polares” y
“axiales”, la diferencia entre ambas clases está en su paridad ante reflecciones en el origen. La clase polar se
transforma como (−1)l y la axial como (−1)l+1 . A las perturbaciones polares también se les conoce como
“pares”, y a las axiales como “impares” (aunque estos nombre son confusos, pues las perturbaciones “pares”
solo son papers para l par) . Además, debido a que el espacio-tiempo de fondo tiene simetrı́a esférica, la
solución final es independiente del ı́ndice m por lo que lo suprimiremos de ahora en adelante.
La componente radial de la perturbación obedece la siguiente ecuación de onda fuera del horizonte del
agujero negro:
∂t2 χl + −∂r2∗ + Vl (r) χl = 0 , (10.5)

donde r ∗ es la radio de tortuga definido anteriormente (ecuación (7.28), y Vl (r) es un potencial. La forma
especı́fica de dicho potencial es distinta para perturbaciones polares o axiales. Debido a ser mucho mas
simple, el primer caso en ser estudiado fue el de las perturbaciones axiales, para el cual el potencial resulta
ser:
2M l(l + 1) 2 σ M
Vl (r) = 1 − + . (10.6)
r r2 r3
El potencial anterior se conoce como el “potencial de Regge-Wheeler”, y a la ecuaci ón (10.5) con este po-
tencial se le llama la “ecuación de Regge-Wheeler” [18]. El parámetro σ toma el valor 1 para perturbaciones
ocasionadas por un campo escalar, 0 para perturbaciones por un campo vectorial (electromagn ético por ejem-
plo), y -3 para perturbaciones gravitacionales. Este potencial representa una simple barrera con un m áximo
cerca de r = 3M (la órbita circular inestable para fotones).
Para perturbaciones polares, el potencial resulta ser mas complicado. Su forma fue calculada por primera
vez por Zerilli [31]:
2M 2n2 (n + 1)r 3 + 6n2 M r2 + 18nM 2 r + 18M 3

Vl (r) = 1 − , (10.7)
r r3 (nr + 3M )2
donde
2n = (l − 1)(l + 2) . (10.8)
Al potencial (10.7) se le conoce como potencial de Zerilli, y a la ecuaci ón (10.5) con este potencial se llama
la ecuación de Zerilli.
Noviembre, 2001
Perturbaciones de agujeros negros 103
Tanto en el caso polar como en el axial, el potencial Vl (r∗ ) decae exponencialmente cerca del horizonte
(r∗ → −∞), y como 1/r ∗ 2 en infinito.
Es importante notar que a partir de la solución de la ecuación (10.5) es posible reconstruir la perturbación
a la métrica completa hµν . El problema de las perturbaciones de un agujero negro de Schwarzschild se ha
reducido entonces a un simple problema de dispersión de ondas por una barrera de potencial.
10.2 Modos quasi-normales

Existen diferentes maneras de estudiar el comportamiento de las perturbaciones de un agujero negro a partir
de las ecuaciones de Regge-Wheeler y Zerilli. Una posibilidad es estudiarlas en el “dominio temporal”,
es decir, simplemente dar datos iniciales adecuados para la ecuaci ón de onda (χ(t = 0) y ∂t χ(t = 0)) y
calcular la evolución en el tiempo de dicha perturbación. De esta forma se puede estudiar la dispersión de
ondas gravitacionales por un agujero negro, por ejemplo.
Una técnica mucho mas poderosa consiste en buscar algún tipo de soluciones caracterı́sticas, del tipo de
los modos normales de oscilación de una cuerda por ejemplo. Los sistemas oscilatorios tı́picamente poseen
estados de oscilación caracterı́sticos que se conocen como “modos normales de oscilaci ón”. En general,
existe un número infinito de dichos modos, y la solución general su puede expresar como una superposici ón
de ellos, es decir, los modos normales son “completos”.
Este comportamiento simple cambia considerablemente cuando se consideran sistemas abiertos que pierden
energı́a al infinito. En este caso, las soluciones análogas a los modos normales decaen en el tiempo, y ya no
forman un conjunto completo. Un ejemplo de este tipo de comportamiento es el efecto t únel en la mecánica
cuántica en el que la función de onda puede escapar a una barrera de potencial. A soluciones de este tipo
se les conoce como “modos quasi-normales”, y lo mas que puede decirse de ellos es que el comportamiento
tardı́o de una solución cualquiera puede aproximarse como una superposici ón de modos quasi-normales.
En el caso de perturbaciones de un agujero negro de Schwarzschild, es posible demostrar que existe un
número infinito de modos quasi-normales que decaen exponencialmente en el tiempo. Existen diversos
métodos para calcular las frecuencias de dichos modos quasi-normales, el método mas simple es el método
propuesto por Schutz y Will [21] basado en una aproximaci ón de tipo WKB para estudiar dispersión de
ondas en una barrera de potencial. Los modos quasi-normales serán aquellas soluciones que obedezcan
las condiciones de frontera apropiadas para ondas salientes puras en infinito, y ondas entrantes puras en el
horizonte.
Es claro que las frecuencias de los modos quasi-normales deben ser n úmeros complejos debido al de-
caimiento exponencial de los modos en el tiempo. La tabla 10.1 muestra las frecuencias de los primeros
4 modos quasi-normales de un agujero negro de Schwarzschild para l = 2, 3, 4 (las frecuencias est án
dadas en unidades geométricas). Para l = 2 y n = 0 (el modo fundamental), la frecuencia compleja es
M ω ' 0.37 − 0.09i, y el perı́odo de oscilación correspondiente es T = 2π/Re(ω) ' 17M . Para un agu-
jero negro de 10 masas solares, esto corresponde a una frecuencia de 1.2 kHz, un perı́odo de oscilación de
0.8 ms y un tiempo de decaimiento de 0.2 ms.
La parte imaginaria de las frecuencias crece rápidamente con n, lo que implica que los modos con n mucho
mayor de 4 no contribuyen de manera significativa a la se ñal de ondas gravitacionales.
La figura 10.1 muestra la evolución en el tiempo del modo fundamental de un agujero negro de Schwarzschild.
Nótese como el modo decrece exponencialmente en el tiempo. Inversamente, el modo se vuelve infinito en
el pasado remoto. En un caso real, no esperamos tener una perturbaci ón infinita (lo que no tiene ningún
sentido), por lo que la señal de ondas gravitacionales inicial no puede estar bien aproximada por un modo

n l=2 l=3 l=4

0 0.37367 - 0.08896 i 0.59944 - 0.09270 i 0.80918 - 0.09416 i
1 0.34671 - 0.27391 i 0.58264 - 0.28130 i 0.79663 - 0.28443 i
2 0.30105 - 0.47828 i 0.55168 - 0.47909 i 0.77271 - 0.47991 i
3 0.25150 - 0.70514 i 0.51196 - 0.69034 i 0.73984 - 0.68392 i
Tabla 10.1: Los primeros 4 modos quasi-normales de un agujero negro de Schwarzschild para l = 2, 3, 4 en unidades geom étricas.
Figura 10.1: Evolución en el tiempo del modo fundamental de oscilación de un agujero negro de Schwarzschild.
Noviembre, 2001
Perturbaciones de agujeros negros 105
quasi-normal. Esto es precisamente lo que mencionamos anteriormente, al perturbar a un agujero negro, el

principio de la señal de ondas gravitacionales (la parte “transitoria”) es distinto de acuerdo a la forma es-
pecı́fica de la perturbación, pero poco tiempo después la señal toma la forma de los modos quasi-normales.
Es importante señalar que los modos quasi-normales de un agujero negro resultan ser muy distintos a los
de las estrellas (incluso las estrellas de neutrones). Debido a esto, la detecci ón observacional de un modo
quasi-normal serı́a evidencia inmediata de la presencia de un agujero negro.
10.3 Estabilidad
La teorı́a de perturbaciones nos permite estudiar la estabilidad de un agujero negro de Schwarzschild. Para
esto, nos hacemos la siguiente pregunta: Dada una perturbaci ón inicial restringida a un intervalo finito de r ∗
(con “soporte compacto”), ¿permanecerá la perturbación acotada para todo tiempo futuro?
Como hemos visto, las perturbaciones de un agujero negro de Schwarzschild est án completamente determi-
nadas por las soluciones de la ecuación:
∂t Z − ∂ r ∗ Z + V Z = 0 . (10.9)
Multiplicando ahora esta ecuación por ∂t Z ∗ (donde Z ∗ es el conjugado complejo de Z), e integrando por
partes obtenemos: Z +∞
∂t Z ∗ ∂t2 Z + ∂r∗ Z ∂t ∂r∗ Z ∗ + V Z ∂t Z ∗ = 0 . (10.10)

−∞
Si sumamos a esta última ecuación su compleja conjugada encontramos:
Z +∞
∂t |∂t Z| + |∂r∗ Z| + V |Z|2 dr∗ = 0 , (10.11)
−∞
donde hemos tomado en cuenta que ∂t V = 0. Sacando la derivada temporal de la integral obtenemos
finalmente la llamada “integral de energı́a”:
Z +∞
|∂t Z| + |∂r∗ Z| + V |Z|2 dr∗ = constante . (10.12)
−∞
La existencia de esta integral pone una cota superior en el valor de |∂ t Z|2 , y excluye la existencia de solu-
ciones que crecen exponencialmente. La solución de Schwarzschild es entonces estable frente a perturba-
ciones arbitrarias.
Es importante notar que en el caso de un agujero negro de Kerr, aun no ha sido posible demostrar estabilidad
con respecto a perturbaciones arbitrarias, lo mas que puede decirse a la fecha es que la soluci ón de Kerr es
estable ante perturbaciones con simetrı́a axial.

Noviembre, 2001
Capı́tulo
11
Simulaciones numéricas de agujeros negros
La teorı́a de la relatividad general es una teorı́a altamente exitosa, no solo ha modificado de manera radical
nuestra visión del espacio y el tiempo, sino que también posee un enorme poder predictivo. A la fecha,
ha pasado con extraordinaria precisión todas las pruebas experimentales y observacionales a que se le ha
sometido. Entre sus predicciones mas importantes, y que posiblemente tengan mayor impacto astrofı́sico en
el futuro, se encuentra la fı́sica de agujeros negros que hemos presentado en las secciones anteriores.
La relatividad general, sin embargo, es altamente compleja. Las ecuaciones de Einstein son un sistema de
diez ecuaciones diferenciales parciales, acopladas y no lineales. Escritas en su forma mas general estas
ecuaciones poseen miles de términos. Debido a esta complejidad, soluciones exactas de las ecuaciones
de Einstein, y en particular de espacio-tiempos con agujeros negros, se conocen solo en situaciones con
alto grado de simetrı́a: la solución de Schwarzschild es estática y esféricamente simétrica, la de Kerr es
estacionaria y axi-simétrica. Si uno está interesado en estudiar situaciones con relevancia astrofı́sica, como
la acreción de materia a un agujero negro, el colapso de una supernova, o la colisi ón de dos agujeros negros,
resulta imposible resolver las ecuaciones de Einstein de manera exacta. De la necesidad de estudiar este tipo
de problemas ha surgido el area de la relatividad numérica, que intenta resolver las ecuaciones de Einstein
utilizando aproximaciones numéricas.
En las siguientes secciones veremos las principales ideas detrás de la relatividad numérica, y en particular
su aplicación al estudio de los agujeros negros. La discusión que aquı́ se presenta puede verse con mayor
detalle en las referencias referencias [13, 30].
11.1 El formalismo 3+1

11.1.1 Foliación en hipersuperficies espaciales
Para estudiar la evolución en el tiempo de cualquier sistema fı́sico, lo primero que debe hacerse es formular
dicha evolución como un “problema de valores iniciales” o “problema de Cauchy”: Dadas condiciones
iniciales adecuadas, las ecuaciones que gobiernan al sistema deben poder predecir la evoluci ón futura del
sistema.
Al intentar escribir a las ecuaciones de Einstein como un problema de Cauchy nos enfrentamos inmediata-
mente a un problema: las ecuaciones de Einstein están escritas en tal forma que el espacio y el tiempo son
simétricos y juegan papeles equivalentes. Esta “covariancia” de las ecuaciones es elegante desde el punto
de vista teórico, pero no permite pensar claramente en la evoluci ón en el tiempo del campo gravitacional.
Lo primero que debemos hacer entonces es separar los papeles del espacio y el tiempo de forma clara. A la
formulación de la relatividad general que resulta de esta separaci ón de le conoce como el “formalismo 3+1”.
Consideremos un espacio-tiempo con una métrica gαβ . Si dicho espacio-tiempo puede ser “foliado” (es
decir, separado en cortes tridimensionales) de tal forma que cada hoja tridimensional es de tipo espacialoide,
entonces se dice que dicho espacio tiempo es “globalmente hiperb ólico”. Un espacio-tiempo globalmente
107
hiperbólico no posee curvas temporaloides cerradas, lo que significa que no permite viajes hacia atr ás en
el tiempo. No todos los espacio-tiempos posibles tienen esta propiedad, pero en la relatividad num érica se
asume que todos los espacio-tiempos fı́sicamente razonables son de este tipo.
Figura 11.1: Foliación del espacio-tiempo en hipersuperficies tridimensionales de tipo espacialoide.
Una vez que se tiene un espacio-tiempo globalmente hiperb ólico, por definición podemos foliarlo en una se-
rie de hipersuperficies de tipo espacialoide (ver figura 11.1). Esta foliaci ón en general no es única. Definimos
el parámetro t como aquel que identifica a las distintas hojas de la foliaci ón; t puede considerarse entonces
como un “tiempo universal” (pero cuidado, t no tiene por que coincidir con el tiempo propio de nadie).
Consideremos ahora una cierta foliación, y tomemos dos hipersuperficies infinitesimalmente cercanas Σ t y
Σt+dt en ella. La geometrı́a de la región del espacio-tiempo contendida entre ambas hipersuperficies puede
determinarse a partir de los siguientes 3 ingredientes (véase figura 11.2).
• La métrica tridimensional γij (i, j = 1, 2, 3) que mide las distancias dentro de la hipersuperficie
misma:
dl2 = γij dxi dxj . (11.1)
• El “lapso” de tiempo propio α entre ambas hipersuperficies que mide un observador que se mueve en
la dirección normal a ellas (observadores de Euler):
dτ = α(t, xi ) dt . (11.2)
• La velocidad relativa β i entre los observadores de Euler y las lı́neas con coordenadas espaciales con-
stantes:
xit+dt = xit − β i (t, xj ) dt , paraobservadores de Euler (11.3)
Noviembre, 2001
Simulaciones numéricas de agujeros negros 109
Figura 11.2: Dos hipersuperficies espacialoides infinitesimalmente cercanas. La funci ón de lapso α mide el intervalo de tiempo
propio entre las superficies a lo largo de la trayectoria normal, y el vector de corrimiento β i mide la velocidad relativa entre las
trayectorias normales y las lı́neas con coordenadas espaciales fijas.

Al vector β i se le llama el “vector de corrimiento”.
Nótese que la manera en la que se hace la foliación no es única, y de la misma forma, la manera en la que se
propaga el sistema de coordenadas espacial de una superficie a otra tampoco lo es. Esto significa que tanto
la función de lapso α como el vector de corrimiento β i son funciones que pueden especificarse libremente.
Estas funciones determinan nuestro sistema de coordenadas y se conocen como “funciones de norma”.
En términos de {α, β i , γij }, la métrica del espacio-tiempo toma la siguiente forma:
ds2 = −α2 + βi β i dt2 + 2 βi dtdxi + γij dxi dxj , (11.4)

donde hemos definido βi := γij β j .

En forma explı́cita tenemos:
−α2 + βk β k

βi
gµν = , (11.5)
βj γij
−1/α2 β i /α2

µν
g = . (11.6)
β j /α2 γ − β i β j /α2
ij
De la misma forma, no es difı́cil mostrar que las componentes del vector normal unitario a las hipersuperficies
son:
nµ = 1/α, −β i /α , nµ nµ = −1 . (11.7)

nµ = (−α, 0) ,
Nótese que este vector normal unitario corresponde por definici ón a la cuatro-velocidad de los observadores
de Euler.
11.1.2 Curvatura intrı́nseca y curvatura extrı́nseca

Al hablar de las hipersuperficies espaciales que forman la foliaci ón del espacio-tiempo, debemos distinguir
entre la curvatura “intrı́nseca” de dichas hipersuperficies proveniente de su geometrı́a interna, y su curvatu-
ra “extrı́nseca” relacionada con la forma en que éstas se encuentran inmersas en un espacio-tiempo de 4
dimensiones.
La curvatura intrı́nseca estará dada por el tensor de Ricci tridimensional que se define en términos de la
métrica espacial γij . La curvatura extrı́nseca, por otro lado, se define en términos de lo que le ocurre al
vector normal nα al transportarlo paralelamente de un sitio a otro de la superficie. En general encontraremos
que al transportar paralelamente este vector a un punto cercano, el nuevo vector ya no ser á normal a la
superficie. El “tensor de curvatura extrı́nseca” Kαβ es una medida del cambio en el vector normal bajo
transporte paralelo, y se define como:
Kαβ := −∇α nβ , (11.8)
donde ∇ es la derivada covariante que como hemos visto esta dada en términos de los sı́mbolos de Christoffel
como
∇α nβ = ∂α nβ − Γλαβ nλ , (11.9)
A partir de la definición anterior es posible mostrar que el tensor de curvatura extrı́nseca es simétrico (Kαβ =
Kβα ), y que tiene la siguiente propiedad:
nα Kαβ = 0 , (11.10)
Noviembre, 2001
lo que significa que el tensor Kαβ es “puramente espacial”. Debido a esto consideraremos de ahora en
adelante solo sus componentes espaciales Kij .
Substituyendo la forma explı́cita del vector normal (11.7) en la definición de la curvature extrı́nseca es
posible demostrar que Kij está dado en términos de la métrica espacial como:
1 h (3) (3)
i
Kij = ∂t γij + ∇i βj + ∇j βi , (11.11)
2α
(3)
donde ahora ∇i representa la derivada covariante tridimensional, es decir, en términos de los sı́mbolos de
Christoffel correspondientes a la métrica espacial γij . La ecuación anterior puede reescribirse como:
(3) (3)
∂t γij = −2αKij + ∇i βj + ∇j βi . (11.12)
Podemos ver entonces como la curvatura extrı́nseca Kij está relacionada con el cambio en el tiempo de la
métrica espacial.
Esto nos permite llegar a la mitad del camino necesario para reescribir la relatividad general como un proble-
ma de Cauchy: ya tenemos una ecuación de evolución para γij . Pero para cerrar el sistema aun nos falta una
ecuación de evolución para Kij . Es importante notar que hasta ahora hemos trabajado solo con conceptos
geométricos, y aun no hemos utilizado las ecuaciones de Einstein. Es precisamente a partir de las ecuaciones
de Einstein de donde obtendremos la ecuación de evolución para Kij .
11.1.3 Las ecuaciones de Einstein en forma 3+1

Antes de escribir las ecuaciones de Einstein en forma 3+1 debemos definir el operador de “proyecci ón” Pβα
a las hipersuperficies espaciales:
Pβα := δβα + nα nβ , (11.13)
donde nα es el vector unitario normal a las hipersuperficies. Es fácil mostrar que para cualquier vector v α
tenemos:
Pβα v β nα = 0 , (11.14)
(basta recordar que nα nα = −1). Esto significa que todo vector proyectado a la hipersuperficie es ortogonal
a nα .
Es posible también proyectar tensores con varios ı́ndices, basta contraer todos los ı́ndices libres con el oper-
ador de proyección:
P Tαβ ≡ Pαµ Pβν Tµν . (11.15)
Utilizando el operador de proyección podemos separar las ecuaciones de Einstein en 3 grupos:
• Proyección normal (1 ecuación):
nα nβ (Gαβ − 8πTαβ ) = 0 . (11.16)
• Proyección a la hipersuperficie (6 ecuaciones):
P (Gαβ − 8πTαβ ) = 0 . (11.17)

• Proyección mixta (3 ecuaciones):
P [nα (Gαβ − 8πTαβ )] = 0 . (11.18)
Para expresar estos conjuntos de ecuaciones en el lenguaje 3+1, es necesaria un algebra larga y complicada
que no haremos en estas notas. Aquı́ nos limitaremos a señalar los resultados finales.
De la proyección normal obtenemos la siguiente ecuación:
R(3) + (tr K)2 − Kij K ij = 16πρ . (11.19)
donde R(3) es el escalar de curvatura de la métrica espacial, tr K ≡ γ ij Kij es la traza del tensor de curvatura
extrı́nseca, y ρ := nα nβ T αβ es la densidad de energı́a de la materia medida por los observadores de Euler.
La ecuación anterior no tiene derivadas temporales (aunque si tiene derivadas espaciales de γ ij dentro del
escalar de Ricci). Debido a esto no es una ecuación de evolución sino una “constricción” del sistema. Como
esta relacionada con la densidad de energı́a ρ, a esta constricción se le conoce como la “constricción de
energı́a”, o la “constricción hamiltoniana”.
De la proyección mixta de las ecuaciones de Einstein obtenemos:
∇j K ij − γ ij tr K = 8πj i , (11.20)

con j i el “flujo de momento” medido por los observadores de Euler:

j i := Pβi nα T αβ . (11.21)
La ecuación (11.20) tampoco tiene derivadas temporales, por lo que es otra constricci ón (o, mejor dicho, 3
constricciones mas). A estas ecuaciones se les llama las “constricciones de momento”.
La existencia de las contricciones implica que en la relatividad general no es posible especificar de man-
era arbitraria las 12 cantidades dinámicas {γij , Kij } como condiciones iniciales. Las constricciones deben
satisfacerse ya desde el inicio, o no estaremos resolviendo las ecuaciones de Einstein.
Las últimas 6 ecuaciones se obtienen a partir de la proyecci ón a la hipersuperficie de las ecuaciones de
Einstein y contienen la verdadera dinámica del sistema. Estas ecuaciones toman la forma:
∂t Kij = β a ∇a Kij + Kia ∇j β a + Kja ∇i β a

h i
(3)
−∇i ∇j α + α Rij − 2Kia Kja + Kij tr K
+4πα [γij (tr S − ρ) − 2Sij ] , (11.22)
donde Sij es el “tensor de esfuerzos” de la materia definido como:
Sij := P Tij . (11.23)
La ecuaciones (11.12) y (11.22) forman un sistema cerrado de ecuaciones de evoluci ón. Se les conoce como
las ecuaciones de ADM (Arnowitt-Deser-Misner), y forman el punto de partida de prácticamente toda la
relatividad numérica. Es importante notar que no tenemos ecuaciones de evoluci ón para las variables de
norma {α, β i }. Como hemos dicho antes, las variables de norma se pueden elegir libremente.
Es posible demostrar también que las ecuaciones de evolución garantizan que si las contricciones se sat-
isfacen al tiempo inicial, entonces se satisfacerán a todo tiempo posterior: las ecuaciones de evolución
propagan las constricciones.
Noviembre, 2001
11.2 El problema de los valores iniciales

Como hemos mencionado anteriormente, la existencia de las contricciones en la relatividad general implica
que no es posible elegir de manera arbitraria las 12 cantidades dinámicas {γij , Kij } como condiciones ini-
ciales. Los datos iniciales deben elegirse de tal modo que las constricciones se satisfagan desde el principio.
Las contricciones forman un conjunto de 4 ecuaciones diferenciales de tipo elı́ptico, y en general son difı́ciles
de resolver. Una forma común de resolver estas ecuaciones es el llamado procedimiento de York [30]. Este
procedimiento parte de considerar una trasformación conforme de la métrica del tipo:
γij = φ4 γ̃ij , (11.24)
donde la métrica conforme γ̃ij se considera como dada.
Para la curvatura extrı́nseca se consideran su traza tr K y su parte de traza cero A ij por separado:
1
Aij := Kij − γij tr K . (11.25)
3
También se lleva a cabo una transformación conforme de Aij de la forma:
Aij = φ−10 Ãij . (11.26)
Ahora podemos utilizar el hecho de que cualquier tensor simétrico con traza cero puede separase en dos
partes de la siguiente manera:
Ãij = Ã∗ij + (L̂ W )ij , (11.27)
donde Ã∗ij tiene divergencia cero, Wi es un vector, y L̂ es un operador definido como:
(L̂ W )ij = ∇ ˜ j Wi − 2 γ̃ij ∇

˜ i Wj + ∇ ˜ kW k . (11.28)
3
Para encontrar nuestros datos iniciales, asumimos ahora que las cantidades {γ̃ ij , tr K, Ã∗ij } están dadas, y
utilizamos las constricciones para determinar las cuatro cantidades {φ, W i }.
La constricción hamiltoniana toma la forma:
˜ 2 φ − R̃ φ + φ−7 Ãij Ãij − 2 φ5 (trK)2 + 16π φ̃−5 ρ = 0 ,

8∇ (11.29)
3
lo que nos da una ecuación elı́ptica para φ (nótese el operador de Laplace ∇2 ).
Las contricciones de momento se convierten en
˜ 2 W i − 2 φ6 ∇
∇ ˜ i tr K − 8π j̃i = 0 , (11.30)
3
que son tres ecuaciones elı́pticas acopladas para W i .
Las ecuaciones anteriores son la forma mas general de escribir las constricciones en la descomposici ón de
York. Nótese que están acopladas entre si. Una manera de simplificar notablemente el problema y desacoplar
las ecuaciones es simplemente elegir tr K = 0. Si además escogemos la métrica conforme como la de un
espacio plano γ̃ij = δij , las constricciones se reducen (en el vacı́o) a:

8 ∇2plano φ + φ−7 Ãij Ãij = 0 , (11.31)
∇2plano W i = 0 , (11.32)
donde ∇2plano es simplemente el operador de Laplace estándar. La segunda ecuación es lineal y puede
resolverse de forma analı́tica en muchos casos. Una vez teniendo la solución para W i , se reconstruye Aij y
se resuelve le ecuación de Poisson para φ.

11.3 Datos iniciales para agujeros negros múltiples

Como primer ejemplo de la solución del problema de valores iniciales, consideremos el siguiente caso:
una métrica conforme plana, y un momento de simetrı́a temporal, es decir Kij = 0. En ese caso, las
constricciones de momento se satisfacen idénticamente, y la condición hamiltoniana toma la forma sencilla:
∇2 φ = 0 , (11.33)
que no es otra cosa que la ecuación de Laplace. Las condiciones de frontera corresponden a un espacio
asintóticamente plano, por lo que en infinito debemos tener φ = 1. La soluci ón mas sencilla de esta ecuación
que satisface la condición de frontera es entonces:
φ = 1, (11.34)
lo que implica que la métrica espacial es simplemente:
dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 . (11.35)
Es decir, hemos recuperado los datos iniciales para el espacio de Minkowski (aunque por una via bastante
elaborada).
La siguiente solución de interés es:
φ = 1 + k/r , (11.36)
por lo que la métrica espacial es ahora (en coordenadas esféricas)
dl2 = (1 + k/r)4 dr2 + r2 dΩ2 . (11.37)

No es difı́cil mostrar que esto no es otra cosa que la métrica de un agujero negro de Schwarzschild en las
llamadas “coordenadas isotrópicas”, donde la masa del agujero negro esta dada por M = 2k. Hemos encon-
trado la solución para el problema de valores iniciales correspondiente a un agujero negro de Schwarzschild.
Como la ecuación de Laplace es lineal, podemos superponer soluciones para obtener nuevas soluciones. Por
ejemplo, la solución:
N
X Mi
φ=1+ , (11.38)
2|r − ri |
i=1
representa a N agujeros negros en los puntos ri inicialmente en reposo, y se conoce como los datos iniciales
de Brill-Lindquist. Es posible generalizar dicha solución al caso en que los agujeros negros no estén en
reposo, construyendo ası́ datos iniciales para dos agujeros negros en órbita entre si, por ejemplo.
11.4 Colisiones de agujeros negros

Durante estas notas hemos considerado en general el caso de un agujero negro, ya sea est ático o en rotación,
y hemos visto como dicho agujero negro puede formarse a través del colapso gravitacional, y como puede
ser perturbado por ondas gravitacionales. Desde el punto de vista astrofı́sico resulta también de gran interés
estudiar la interacción entre dos agujeros negros, ya que se espera que sistemas binarios de agujeros negros
sean muy comunes.
El problema de dos agujeros negros en órbita es la versión mas simple del problema de dos cuerpos en la
relatividad general. Sin embargo, a mas de 80 años de que la teorı́a fuese postulada, este problema de dos
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cuerpos aun no ha sido resuelto por completo. El problema radica en el hecho de que al estar dos cuerpos
en órbita, la relatividad predice que estos deben emitir ondas gravitacionales y perder energı́a. Debido a
esto, la órbita decaerá hasta que los cuerpos choquen. En el caso de dos agujeros negros el estado final ser á
un agujero negro de mayor tamaño. Aunque las caracterı́sticas básicas de la evolución se conocen bien, los
detalles son difı́ciles de calcular.
El problema de la colisión de dos agujeros negros en órbita se ha convertido en el “santo grial” de la relativi-
dad numérica, es decir, el problema de mayor interés actual. La solución de este problema no solo es de gran
interés desde el punto de vista teórico, sino que también tendrá importantes consecuencias astrofı́sicas. En
efecto, este tipo de sistemas prometen ser eficientes productores de ondas gravitacionales. Las ondas grav-
itacionales aun no han sido detectadas de forma directa debido a que son extremadamente d ébiles, aunque
existe evidencia indirecta de su existencia (el decaimiento de la órbita del pulsar binario [27], por ejemplo).
En este momento existen varios detectores de ondas gravitacionales en estado avanzado de construcci ón que
esperan alcanzar la sensibilidad necesaria para por primera vez detectar dichas ondas directamente. En los
próximos dos años, los proyectos LIGO (de los E.U.A), Virgo (de Francia e Italia) y GEO 600 (de Alemania
y el Reino Unido) empezaran a tomar datos. La predicci ón teórica de la señal proveniente de diversos sis-
temas astrofı́sicos será de gran importancia para la detección misma, pues la señal debe extraerse de un mar
de ruido, y el saber que se debe buscar facilita la tarea enormemente.
El estudio de las colisiones de agujeros negros de forma numérica tiene una larga historia. En la década de
los 70, Smarr y Eppley intentaron por primera vez estudiar la colisi ón de frente de dos agujeros negros [8,
24, 25]. Como dicho sistema tiene simetrı́a de rotación, era posible intentar su solución en las computadoras
de la época. Aun ası́, los resultados obtenidos fueron incompletos, y fue necesario esperar mas de 15 a ños
hasta que las técnicas necesarias fueran desarrolladas y las computadoras avanzaran lo suficiente como para
obtener una solución total del problema [1]. Como podı́a esperarse, el resultado de la colisión es la formación
de un agujero negro de mayor tamaño. Sin embargo, no toda la masa original de los agujeros negros termina
en el agujero negro final. Una pequeña porción (del orden de 1 parte en 10,000) se radia al infinito en
forma de ondas gravitacionales. Es interesante notar que dichas ondas gravitacionales tienen precisamente la
forma de los modos normales de oscilación del agujero negro final. La figura 11.3 muestra la se ñal de ondas
gravitacionales producida por la colisión de frente de dos agujeros negros de masas distintas (M 2 = 2/3M1 ).
En la figura se muestra la señal correspondiente a los primeros 3 modos {l = 2, 4, 6} de una descomposici ón
en armónicos esféricos (lı́neas sólidas), y un ajuste a los modos quasi-normales del agujero negro final con
masa M = M1 + M2 (lı́neas punteadas). El ajuste es excelente (esta figura se ha tomado directamente de
[2]).
Desde fines de los 90’s a la fecha, varios grupos alrededor del mundo han construido c ódigos computa-
cionales capaces de resolver las ecuaciones de Einstein sin ninguna simetrı́a. Dichos códigos se están uti-
lizando el dia de hoy en el estudio de la colisión de agujeros negros en órbita, aunque hasta la fecha nadie ha
podido simular una órbita. Lo mas que se ha hecho es simular la fase final de la colisi ón, cuando los agujeros
negros dejan de orbitar y caen casi directamente uno hacia el otro.

0.3
0.2 Numerical solution
0.1 QSN mode fit
ψ (l=2)
0.0
-0.1
-0.2
0.02
0.01
ψ (l=3)
0.00
-0.01
-0.02
0.008
0.004
ψ (l=4)
0.000
-0.004
-0.008
0 20 40 60 80 100
Time (MADM)
Figura 11.3: Señal de ondas gravitacionales producida por la colisión de frente de dos agujeros negros de masas distintas (M2 =
2/3M1 ). La figura muestra la señal correspondiente a los primeros 3 modos {l = 2, 4, 6} de una descomposici ón en armónicos
esféricos (lı́neas sólidas), y un ajuste a los modos quasi-normales de un agujero negro con masa M = M 1 + M2 (lı́neas punteadas).
Noviembre, 2001
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[32] F. J. Zerilli. Gravitational field of a particle falling in a schwarzschild geometry analyzed in tensor
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Noviembre, 2001

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VII Escuela

Universidad de Los Andes

Todos los derechos reservados.

HECHO EL DEPOSITO DE LEY

Escuela ”La Hechicera”, Relatividad, Campos y Astrofı́sica

La Escuela La Hechicera (http://www.ciens.ula.ve/˜escuela/), en relatividad, campos y astrofı́sica, ha real-

Los autores y sus capı́tulos

• Consejo de Investigaciones Cientı́ficas y Tecnológicas de Venezuela, (CONICIT), a través del progra-

• Centro Internacional de Fı́sica Teórica (ICTP), de Trieste, Italia.

• Consejo de Desarrollo Cientı́fico Humanı́stico y Tecnológico de la Universidad de Los Andes

• Centro de Estudios de Postgrado (CEP) de la Universidad de Los Andes

• Postgrado en Fı́sica Fundamental, de la Universidad de Los Andes

I Origen y Evolución Estelar.

1 Propiedades de las estrellas 3

2 Formación Estelar. Estrellas Jóvenes 15

4 Evolución a partir de la secuencia principal. Estrellas de baja masa 37

5 Evolución a partir de la secuencia principal. Estrellas masivas 49

II Introducción a la teorı́a de los agujeros negros.

9 Propiedades generales de los agujeros negros 93

10 Perturbaciones de agujeros negros 101

11 Simulaciones numéricas de agujeros negros 107

III Agujeros negros clásicos y cuánticos en Teorı́a de Cuerdas.

12 Termodinámica y acción euclidiana 125

13 Agujeros negros en Supergravedad 159

13.4.3 SUEGRA N = 8, d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

14 Teorı́as efectivas de cuerdas: acciones 175

15 Teorı́as efectivas de cuerdas: Soluciones 197

16 Agujeros negros en Supercuerdas 223

16.4 El agujero extremo W k D1 k D5 en d = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

A Convenios y fórmulas 237

Introducción a la teorı́a de los agujeros negros

Albert Einstein Institute.

Am Mühlenberg 1, D-14476 Golm, GERMANY

ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ≡ ηαβ dxα dxβ , (6.2)

ds2 > 0 intervalo espacialoide , (6.3)

VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica

dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , (6.8)

dl2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 , (6.9)

lo puede verse fácilmente de la transformación de coordenadas

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ . (6.10)

dx = dr sin θ cos φ − r sin θ sin φ dφ + r cos θ cos φ dθ , (6.11)

Figura 6.2: Transporte paralelo en la superficie terrestre.

VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica

6.4 Base coordenada y derivadas covariantes

~er = (1, 0, 0) , ~eθ = (0, 1, 0) , ~eφ = (0, 0, 1) . (6.16)

Escritos en coordenadas cartesianas, estos vectores resultan ser:

~er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) , (6.17)

donde para calcular dichas magnitudes simplemente hemos sumado los

~eα · ~eβ = gαβ . (6.25)

VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica

v µ ;α = (g µν vν );α = g µν (vν;α ) . (6.34)

6.5 Las ecuaciones de Einstein

Gµν = 8πTµν , (6.35)

T 00 = densidad de energı́a , (6.37)

donde ρ es la densidad de energı́a en el marco de referencia de un elemento de fluido, v i es el campo de

6.6 Identidades de Bianchi y leyes de conservación

VII Escuela “ La Hechicera ” Relatividad, Campos y Astrofı́sica

7.1 El campo gravitacional de un objeto esférico