DINAMICA Y ENERGIA EN

UN MAS
Prof. Ing. Alberto Pacci
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Ejercicio.- En un sistema dinámico sin rozamiento se tienen 4 resortes dispuestos en forma
mixta (ver figura). Si la masa que oscila es de 3 Kg. Hallar el periodo de oscilación.

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Ejercicio.- En un sistema dinámico sin rozamiento se tienen 4 resortes dispuestos en forma
mixta (ver figura). Si la masa que oscila es de 3 Kg. Hallar el periodo de oscilación.

SOLUCIÓN
Keq= K1.K2/(K1+K2) + K3.K4/(K3+K4) = 120 x 150/(120+150) + 140 x 100 / (140 + 100)
Keq= 125 N/m
T = 2 π (m/k)1/2 = 0,97 s

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Ejercicio.- Se tiene el siguiente sistema dinámico sin rozamiento, si m = 4 kg.
Determinar:
a) El K equivalente
b) El período de oscilación
c) La frecuencia K1= 30 N/m
d) Si la elongación máxima fuese 6 cm, hallar la velocidad máxima K2= 40 N/m
e) Hallar la Energía potencial y energía cinética máximas K3= 60 N/m
K4= 50 N/m
K5= 60 N/m
K6= 70 N/m
K7= 80 N/m

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Ejercicio.- Se tiene el siguiente sistema dinámico sin rozamiento, si m = 4 kg.
Determinar:
a) El K equivalente
b) El período de oscilación
c) La frecuencia
d) Si la elongación máxima fuese 6 cm, hallar la velocidad máxima
K1= 30 N/m
e) Hallar la Energía potencial y energía cinética máximas K2= 40 N/m
K3= 60 N/m
SOLUCIÓN K4= 50 N/m
K5= 60 N/m
a) Ke1 = K1 x K3 / (K1+K3) + K2. K4 / (K2+K4) K6= 70 N/m
K7= 80 N/m
Ke1 = 30x60/(30+60) + 40x50/(40+50) = 20+22,22 = 42,22 N/m

Ke2= 1 / (1/K5 + 1/K6 + 1/K7) = 1 / ( 1/60 + 1/70 + 1/80)

Ke2= 23,01 N/C
Ke= Ke1xKe2/(Ke1+Ke2) = 14,9 N/C
b) T =2 π (m/k)1/2= 3,26 s, c) f =1/T= 0,3 Hz, d) vmax= A=0,11 m/s
e) Epmax= ½ kA2=0,03 J Ecmax= ½ m.vmax2 = 0,02 J 7
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Ejercicio.- Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con
una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. ¿Cuál es la energía cinética máxima del
saco?¿ Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio?

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Ejercicio.- Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con
una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. ¿Cuál es la energía cinética máxima del
saco?¿ Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio?
SOLUCIÓN
La energía cinética de un oscilador en función de la posición es :
Calcula la pulsación, ω = 2 π · f = 2 π · 3 = 6 π rad/s
La energía cinética máxima Ecmáx será:

La energía cinética en x=10 cm :

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Ejercicio.- Dos resortes, de 0,2 m de longitud natural cada uno, pero con constantes de
recuperación k1 y k2 diferentes, están unidos a las caras opuestas de un bloque de masa m
situado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los dos extremos de los resortes se fijan
a dos clavos P1 y P2 situados a 10 cm de las posiciones iniciales de los resortes. Sean
k1 = 1 N.m-1
k2 = 3 N.m-1
m = 0,1 kg.

a) Calcular la longitud de cada resorte cuando el bloque está en la nueva posición de equilibrio,
después de sujetar los resortes a los clavos.
b) Determinar el período de oscilación del bloque si este se desplaza ligeramente de su nueva
posición de equilibrio y se abandona a sí mismo.

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 Ejercicio.- Dos resortes, de 0,2 m de longitud natural cada uno, pero con
constantes de recuperación k1 y k2 diferentes, están unidos a las caras opuestas
de un bloque de masa m situado sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
Los dos extremos de los resortes se fijan a dos clavos P1 y P2 situados a 10 cm de
las posiciones iniciales de los resortes. Sean
k1 = 1 N.m-1
k2 = 3 N.m-1
m = 0,1 kg.
a) Calcular la longitud de cada resorte cuando el bloque está en la nueva posición de equilibrio,
después de sujetar los resortes a los clavos.
b) Determinar el período de oscilación del bloque si este se desplaza ligeramente de su nueva
posición de equilibrio y se abandona a sí mismo.
Solución
a) Teniendo en cuenta que se tiene las longitudes originales a cuales las denominaremos Lo1 y
Lo2 = 0,2m, tendremos la resultante de las fuerzas por los 2 resortes:
x1 = x2 = 0,1 m, k1 = 1 N/m, k2 = 3 N/m
FT = F1 + F2
Deduciendo y aplicando F = k.x, tenemos: K total.x total = k1.x1 + k2.x2
K total = k1 + k2; y x total = x1 + x2; por consiguiente: 4(x1 + x2) = k1.x1 + k2.x2 12
4 = [k1.(x1 - x2) + k2.x2]/[(x1 - x2) + x2]
Desarrollando:
4.x1 = k1.(x1 - x2) + k2.x2
dejamos todo para despejar x2, que es el factor a sacar su valor:
x2 = (4.x1 - k1.x1)/(k2 - k1)
x2 = (4 . 0,2 - 1.0,2)/(3 - 1) = 0,3 m
xt = x t + x 2
x1 = x t - x2
x1 = 0,2 - 0,3 = 0,1 m
Ahora L1 = 0,1 m y L2 es 0,3m

b) T = 2.π.√m/k1 T = 2.π.√0,1/4 = 0,993 s

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Ejercicio.- Una partícula describe un movimiento armónico simple con una
frecuencia de 10 Hz y 5 cm de amplitud. Determina la velocidad cuando la
SOLUCIÓN es x = 2,5 cm.
elongación

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Ejercicio.- Una partícula describe un movimiento armónico simple con una
frecuencia de 10 Hz y 5 cm de amplitud. Determina la velocidad cuando la
elongación es x = 2,5 cm.
SOLUCIÓN

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Ejercicio.- Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m.
Calcular la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 cm.
¿Cual es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra a 1
cm de la posición central de vibración?
SOLUCIÓN

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Ejercicio.- Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15 N/m.
Calcular la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 cm.
¿Cual es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra a 1
cm de la posición central de vibración?
SOLUCIÓN

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¿En que posiciones de la partícula que describe un movimiento vibratorio
armónico simple se igualan las energías cinética y potencial?
SOLUCIÓN

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¿En que posiciones de la partícula que describe un movimiento vibratorio
armónico simple se igualan las energías cinética y potencial?
SOLUCIÓN

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Ejercicio.- Una partícula de 10-3 kg de masa recorre un segmento de 5 cm de longitud en 1 s, con
movimiento vibratorio armónico simple. La partícula en el instante inicial esta situada en la
posición central del recorrido y se dirige hacia elongaciones positivas.
a) Calcular su energía cinética en el instante 2,75 s.
b) ¿Cuál es el primer instante en que coinciden los valores de la energía cinética y de la energía
potencial?
c) Representa gráficamente la velocidad de la partícula frente al tiempo transcurrido.
SOLUCIÓN

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Ejercicio.- Una partícula de 10-3 kg de masa recorre un segmento de 5 cm de longitud en
1 s, con movimiento vibratorio armónico simple. La partícula en el instante inicial esta
situada en la posición central del recorrido y se dirige hacia elongaciones positivas.
a) Calcular su energía cinética en el instante 2,75 s.
b) ¿Cuál es el primer instante en que coinciden los valores de la energía cinética y de la
energía potencial?
c) Representa gráficamente la velocidad de la partícula frente al tiempo transcurrido.

SOLUCIÓN

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Ejercicio.- La energía total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3 x 10- 4 J y la fuerza
máxima que actúa sobre el es 1,5 x 10-2 N. Si el periodo de las vibraciones es 2 s y la fase
inicial 60°, determinar:
a) La ecuación del movimiento de este cuerpo.
b) Su velocidad y aceleración para t = 0,7.
SOLUCIÓN

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 Ejercicio.- La energía total de un cuerpo que realiza un M.A.S. es de 3 x 10- 4 J
y la fuerza máxima que actúa sobre el es 1,5 x 10-2 N. Si el periodo de las
vibraciones es 2 s y la fase inicial 60°, determinar:
a) La ecuación del movimiento de este cuerpo.
b) Su velocidad y aceleración para t = 0,7.
SOLUCIÓN
a) En primer lugar ordenamos los datos, hacemos un esquema del problema, y al mismo tiempo los
memorizamos. Expresamos los datos en unidades del S.I. para evitar usar unidades inadecuadas cuando
vayamos a sustituirlos en las fórmulas:
ET= 3 x 10-4 J FMAX= 1,5·10- 2 N T= 2 s j 0= 60º = p /3 rad
Buscamos las fórmulas que relacionan los datos dados con los pedidos y substituimos sus valores:
ET= ½mv2 = ½kA2 = 3 x 10-4 J
FMAX= kA= 1,5 x 10-2 N
b)
Dividimos miembro a miembro y obtenemos:

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Ejercicio.- Un resorte de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando cuelga de él un objeto
de 10 g. Calcular:
a) La fuerza con que debe tirarse del resorte para que al soltarlo haga 20 oscilaciones en 5 s. con
una amplitud de 2 cm.
b) La energía total del sistema cuando el objeto está 0,5 cm por encima de su posición de
equilibrio. (Se desprecia la energía potencial gravitatoria ligada a la masa que oscila).

SOLUCIÓN

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Ejercicio.- Un resorte de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando cuelga de él un objeto
de 10 g. Calcular:
a) La fuerza con que debe tirarse del resorte para que al soltarlo haga 20 oscilaciones en 5 s. con
una amplitud de 2 cm.
b) La energía total del sistema cuando el objeto está 0,5 cm por encima de su posición de
equilibrio. (Se desprecia la energía potencial gravitatoria ligada a la masa que oscila).
SOLUCIÓN
a) Con los datos iniciales en el S.I. hallamos T y a partir de ellos, la fuerza
 = 2π/ T = 8π rad/s
m = 0,01 Kg
A = 0,02 m
T = 20/5 = 4 s
f = 1/T = 0,25 Hz

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b) La energía total se puede hallar aplicando las expresiones de la energía cinética máxima o
de la potencial. Como la energía total se conserva siempre, la suma de la E. cinética más la E.
potencial será igual en cualquier punto de la oscilación.

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FIN
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