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Transformaciones Logaritmicas en Regresion Simple
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All content following this page was uploaded by Jorge Ortiz Pinilla on 15 July 2016.
Resumen
Abstract
89
90 Jorge Ortiz Pinilla & Diana Gil
1. Introducción
When the transformed model is used to predict the value of log y, the
d
predicted value of y is the antilog, yb = elog y .
El propósito de este artı́culo es comparar los métodos que se utilizan para obtener
las estimaciones de mı́nimos cuadrados de los modelos exponencial y potencial
de manera directa con los que se basan en transformaciones logarı́tmicas. Como
criterio de comparación se toma la suma de cuadrados residual, como indicador
de la bondad del ajuste del modelo a los datos observados.
2. Modelo exponencial
Cuando el modelo planteado es de la forma
y = β0 e β 1 x (1)
Xn
∂g(b0 , b1 )
= −2 yi − b0 eb1 xi eb1 xi
∂b0 i=1
Entonces:
P
n
yi eb1 xi
i=1
b0 = Pn (3)
e2b1 xi
i=1
Xn
∂g(b0 , b1 )
= −2 yi − b0 eb1 xi b0 eb1 xi xi
∂b1 i=1
n
X n
X
xi yi eb1 xi − b0 xi e2b1 xi = 0
i=1 i=1
La complejidad de esta ecuación solo permite encontrar sus soluciones por méto-
dos numéricos. Si las denotamos como β˜0 y β˜1 , el modelo ajustado por mı́nimos
cuadrados directos es:
˜
ỹ = β˜0 eβ1 x (5)
Según las sugerencias de los autores citados, se “regresa” al modelo original (1)
aplicando las transformaciones inversas acordes con (7):
∗ ∗
y = ey , b0 = eb0 , b1 = b∗1 , x = x∗ (10)
es decir, ∗ ∗
yb = eb0 eb1 x (11)
Los dos procedimientos proveen soluciones diferentes. Resulta claro que si el pri-
mero es de mı́nimos cuadrados para el modelo original, el segundo no lo es. Por lo
tanto, si se pasa al plano inferencial, los estimadores de los parámetros del modelo
exponencial, obtenidos mediante la transformación logarı́tmica no son de mı́nimos
cuadrados para el modelo original.
El siguiente ejemplo sirve para ilustrar la situación planteada:
Ejemplo 2.1. Los siguientes datos fueron obtenidos de un modelo de la forma
(1):
x y x y x y
6.7 77.4 7.2 38.3 16.1 743.4
14.9 440.2 11.3 101.6 4.7 38.9
7.0 34.0 14.7 457.7 7.6 9.8
5.2 119.8 7.7 4.1 13.8 234.5
7.6 102.6 8.3 24.9 18.7 2367.9
18.7 2287.0 17.0 1186.4 11.8 167.8
11.4 177.3 10.8 109.5 5.3 24.2
9.5 65.0 18.1 1818.2 17.0 1201.4
17.1 1273.1 12.0 149.2 19.2 2892.6
8.5 124.1 9.3 94.5 12.0 135.4
3000
2500
2000
1500
y
1000
500
5 10 15
Por otra parte, el supuesto de normalidad de los errores trae consecuencias muy
diferentes para los dos procedimientos. En el caso de los mı́nimos cuadrados direc-
tos, los errores son de carácter aditivo para Y y Y ∼ N (β0 eβ1 x , σ 2 ). En el modelo
transformado, son aditivos para ln(Y ), es decir, multiplicativos para Y . Si se asu-
Y
me que ε ∼ N (0, σ 2 ), entonces de (13) se deduce que tiene distribución
β0 e β 1 x
2 2 2
log-normal con valor esperado eσ /2 y varianza eσ (eσ − 1). Por lo tanto, la dis-
2
tribución de Y bajo el modelo transformado es log-normal con media β0 eβ1 x+σ /2
2 2
y varianza (eσ − 1)e2 ln β0 +2β1 x+σ .
Es claro que, dependiendo del procedimiento que se utilice, se ajustan modelos
diferentes en cuanto al papel que cumplen los errores y a los supuestos acerca de
su distribución, y en cuanto a las consecuencias que traen sobre la distribución
condicional de la variable dependiente.
3. Modelo potencial
El modelo se llama potencial cuando la relación entre las variables es de la forma:
y = β0 xβ1 (14)
Entonces: P
yi xb1
b0 = P 2bi1 (17)
xi
Xn
∂g(b0 , b1 )
= −2 yi − b0 xbi 1 b0 xbi 1 log(xi ) (18)
∂b1 i=1
n
X n
X
yi xbi 1 log(xi ) − b0 x2b
i
1
log(xi ) = 0 (19)
i=1 i=1
Ejemplo 3.1. Los datos siguientes son utilizados por Walpole et al. (2012, ejem-
plo 11.9, p.420) para ilustrar el uso de la regresión potencial. Según la ley del gas
ideal, P V γ = C, donde P es la presión, V es el volumen y C y γ son constan-
tes por estimar. En el ejemplo, P es la variable dependiente y V es la variable
independiente. C asume el papel de β0 y γ el de β1 en el modelo potencial y sus
estimaciones se denotan como b0 y b1 .
x (Volumen) 50 60 70 90 100
y (Presión) 64.7 51.3 40.5 25.9 7.8
60
50
40
Presión
30
20
10
50 60 70 80 90 100
Volumen
Los comentarios del final de la sección anterior son válidos para el modelo po-
tencial. Cuando se aplica el método directo de mı́nimos cuadrados, se considera
que los errores son de la forma ε = Y − β0 xβ1 , es decir, son aditivos. Cuando se
emplea el método de la transformación logarı́tmica, los errores se calculan como
Y
ε = ln(Y ) − ln(β0 xβ1 ) = ln , es decir que son de carácter multiplicativo.
β0 xβ1
Igualmente, si en un contexto inferencial se asume que ε ∼ N (0, σ 2 ), entonces para
los mı́nimos cuadrados directos, la variable Y tiene distribución normal condicio-
nal para cada x, mientras que para la transformación logarı́tmica la distribución
condicional de Y para cada x es de tipo log-normal.
4. Conclusiones
1. La aplicación de transformaciones sobre la variable dependiente en los mode-
los con el fin de linealizarlos no conduce a soluciones de mı́nimos cuadrados.
4.1. Recomendaciones
1. La observación rutinaria de la gráfica de puntos con la curva del modelo es
fundamental para ver su calidad.
Agradecimientos
Referencias
Mendenhall, W. & McClave, J. (1981), A Second Course in Business Statistics:
Regression Analysis, Dellen Publishing Company, Santa Clara, California.
Walpole, R., Myers, R., Myers, S. & Ye, K. (2012), Probability & Statistics for
Engineers & Scientists, Prentice Hall, New York.