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Transformada de Laplace
Definición
Sea f una función definida para t ≥ 0. Entonces se dice que la integral es
la transformada de Laplace de f, siempre que la integral converja.
Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones

diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función definida para todos los
números positivos, siempre y cuando la integral esté definida, la transformada de Laplace
es lineal
 La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se

considera constante
 La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s
 Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos
Funciones Básicas
Función impulso unitario
La función impulso o delta, está definida como un impulso de amplitud infinita y con un
tiempo en alto de cero. Sin embargo, el área de la misma es de uno, en donde el valor de
Delta t es infinitesimal-mente pequeño y t0 el tiempo en el que la función ocurre
La función delta, pasa a ser parte de los límites de la integral. Debido a que está
multiplicando a la función exponencial
Función escalón unitario
La función impulso vale cero antes del tiempo cero, entonces no se toma en cuenta, por lo
tanto, queda igual antes de resolver

Función exponencial
Tenemos solamente que reagrupar por exponentes. Esto debido a que tenemos la misma
base.
Por lo tanto, nos queda de la siguiente manera. (Se omiten los pasos de la evaluación de la
integral, pero notar que aplican igual que para el escalón unitario).
Función rampa
Se tiene que realizar por partes. En este caso tenemos la siguiente expresión para la función
integral de transformada de Laplace y a continuación la fórmula para integrar por partes.

En este caso, tenemos que seleccionar u y v para expandir la integral. Toma en cuenta que
uno de los términos es exponencial, entonces no podemos tomar u como el termino
exponencial por que la integral por partes nos daría de nuevo otra integral por partes. Por lo
tanto, tomamos u como el termino t. Comenzamos con la selección de los términos
Función rampa con exponencial
Consideramos el mismo análisis realizado de la rampa, en donde además tenemos el

comportamiento exponencial. En la parte exponencial se simplifica con la suma del valor
de alfa.

Fórmulas de funciones básicas
No son las únicas formulas o funciones que se pueden trabajar.

Propiedades básicas de la Transformada de Laplace
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) son funciones que
poseen transformada de Laplace.
1. Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que
multiplican.
2. Primer Teorema de Traslación

La transformada de Laplace convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
3.
4. Teorema de la transformada de la derivada
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
5. Teorema de la transformada de la integral
6. Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
7. Teorema de la derivada de la transformada

8. Transformada de la función escalón
Si representa la función escalón unitario entonces
9. Segundo teorema de Traslación
10. Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:
10. Teorema de la Convolución
Si f * g representa la Convolución entre las funciones f y g entonces
Transformada de derivadas y ecuaciones diferenciales
La transformada de la Derivada de una función, se conoce como Transformada de Laplace,

nos ayuda a encontrar la solución de una ecuación diferencial, es decir, una ecuación donde
estén relacionadas una función con sus derivadas.
Transformada de derivadas
Si f(x) es derivable hasta el orden n y f(x) y sus derivadas son de orden exponencial
entonces:
L{f n)(x)} = snL{f (x)} – sn-1f(0+) – sn-2f’(0+) – ... – f n-1)(0+).

Permite asegurar que la transformada de Laplace transforma derivadas en productos, lo
que va a hacer posible transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, y
resolverla a mediante simples operaciones algebraicas.
Transformada de Ecuaciones Diferenciales

Las características esenciales del método para resolver ecuaciones diferenciales lineales
mediante la transformada de Laplace son las siguientes:
1. Aplicar la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuación diferencial.
2. Resolver el problema algebraico despejando la transformada de la función solución de

la ecuación
3. Calcular la transformada inversa de la función obtenida.
Este procedimiento es especialmente útil en ecuaciones lineales completas, no

homogéneas, cuando la función b(x), que determina que la ecuación sea no homogénea.
También se puede aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones que no tienen

coeficientes constantes siempre que exista la transformada de las funciones que
intervienen en la ecuación.
Transformadas de Integrales
Convolución, Si las funciones f y g son continuas por tramos en [0, ∞

), entonces un
producto especial, denotado por f *g, se define mediante la integral
y se llama convolución de f y g.
La Convolución de f * g es una función de t. Por ejemplo,
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por Transformada de Laplace
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por Transformada de

Laplace
La transformada de Laplace también se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones

diferenciales con coeficientes constantes. El procedimiento es similar al que se ha
expuesto para resolver ecuaciones diferenciales.
1: Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones del sistema.
2: Resolver el sistema de ecuaciones algebraico para despejar las transformadas de las
soluciones del sistema.
3: Calcular las transformadas inversas de las funciones obtenidas.
También en este caso cuando se conocen las condiciones iniciales no es necesario
obtener primero la solución general y a partir de ella la solución particular que verifica
dichas condiciones, ya que se incorporan de forma automática en las soluciones.
Este método se puede aplicar no sólo a los sistemas lineales de primer orden sino
también a los de orden superior.
Ejemplo
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
con las condiciones
Solución
Si y entonces
o agrupando
Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior
De donde obtenemos que

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Transformada de Laplace

Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones

 La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se

Función escalón unitario

Función rampa con exponencial

Consideramos el mismo análisis realizado de la rampa, en donde además tenemos el

Fórmulas de funciones básicas

No son las únicas formulas o funciones que se pueden trabajar.

Propiedades básicas de la Transformada de Laplace

2. Primer Teorema de Traslación

5. Teorema de la transformada de la integral

6. Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

7. Teorema de la derivada de la transformada

Si representa la función escalón unitario entonces

9. Segundo teorema de Traslación

10. Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

10. Teorema de la Convolución

Si f * g representa la Convolución entre las funciones f y g entonces

Transformada de derivadas y ecuaciones diferenciales

La transformada de la Derivada de una función, se conoce como Transformada de Laplace,

L{f n)(x)} = snL{f (x)} – sn-1f(0+) – sn-2f’(0+) – ... – f n-1)(0+).

Transformada de Ecuaciones Diferenciales

1. Aplicar la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuación diferencial.

2. Resolver el problema algebraico despejando la transformada de la función solución de

Este procedimiento es especialmente útil en ecuaciones lineales completas, no

También se puede aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones que no tienen

Convolución, Si las funciones f y g son continuas por tramos en [0, ∞

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por Transformada de Laplace

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales por Transformada de

La transformada de Laplace también se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones

1: Aplicar la transformada de Laplace a las ecuaciones del sistema.

2: Resolver el sistema de ecuaciones algebraico para despejar las transformadas de las

soluciones del sistema.

3: Calcular las transformadas inversas de las funciones obtenidas.

También en este caso cuando se conocen las condiciones iniciales no es necesario

dichas condiciones, ya que se incorporan de forma automática en las soluciones.

también a los de orden superior.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

con las condiciones

De donde obtenemos que

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