UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

FACULTAD DE INGENIERIA DE PRODUCCION Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

SISTEMAS DE TELECOMUNICACIONES
CAPITULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER

- Bustamante Benito, Yasmit Shayla 20160373

- Cruz Condori, Josheling 20150537
- Gutierrez Espinoza, Renzo M. 20160396
- Hurtado Silva, Miguel Angel 20161846
- Quispe Cary, Helberth Hector 20160400
- Vasquez Rivera, Anthony Abraham 20153298
- Venero Muñoz, Juan José E. 20140534
- Vilca Condori, Juan Marcos 20142262

AREQUIPA – PERÚ
2020
 2

I. INTRODUCCION

En el siguiente informe se detallarán conceptos, definiciones sobre la

transformada de Fourier, sus aplicaciones, así como también sobre la modulación
y la utilización de técnicas que se usan para transportar información sobre una
onda portadora, típicamente sinusoidal (Proceso de Modulación), la cual puede
combinarse con otras señales de transmisión a lo largo de un canal, y luego
recuperarla de tal manera que la información transmitida pueda extraerse
(Proceso de Demodulación). Dichos procesos son el caso inverso, uno de otro, y
en gran parte de los procesos de comunicación existirá una pareja modulador-
demodulador, uno en cada extremo, formando un módem.

Este informe también se basa en el teorema de muestreo de Nyquist del cual

un único canal puede llevar más de una señal con lo que se tiene acceso a las
telecomunicaciones digitales, para ello hace un enfoque en cuanto a lo referente a
la temática de procesamiento de señales discretas en tiempo continuo en relación
a lo que es teorema de muestreo. Para ello relaciona un ejemplo de una señal que
es capturada y se desea saber lo que contiene dicha señal, además resalta y
presenta el software de MATLAB, como una herramienta muy útil para simular
estos sistemas y lograr excelentes resultados.
 3

II. RESUMEN

Bajo ciertas condiciones, una señal continua puede representarse y

reconstruirse por completo partiendo del conocimiento de los valores, o de
muestras, en puntos igualmente espaciados en el tiempo. Esta propiedad un tanto
sorprendente se deriva de un resultado básico que se le conoce como el teorema
de muestreo. Este teorema es un extremo importante y útil.

Gran parte de la importancia del teorema de muestreo reside en su papel de

puente entre las señales continuas y las discretas. Bajo ciertas condiciones, una
señal continua se puede recuperar por completo a partir de una secuencia de sus
muestras, proporciona un mecanismo para representar una señal continua
mediante una señal discreta. En muchos contextos, el procesamiento de señales
discretas es más flexible y a menudo se prefiere al procesamiento de señales
continuas. Esto se debe en gran parte al impresionante desarrollo de la tecnología
digital en las últimas décadas, la cual da como resultado la disponibilidad de
sistemas discretos de bajo costo, ligeros, programables y de fácil reproducción.

Un sistema de comunicación transmite señales con información a través de

un canal de comunicaciones que separa el transmisor del receptor. El termino
banda base se utiliza para denominar la banda de frecuencias que representa la
señal original que lleva la información. La utilización eficiente del canal de
comunicación requiere desplazar las frecuencias banda base a otro rango de
frecuencias más adecuado para la transmisión.
 4

III. ÍNDICE
 5

1. MARCO TEORICO

1.1. Transformada de Fourier

La ingeniería emplea métodos para la reducción de las complejidades

matemáticas existentes denominándola transformada siendo un proceso univoco
de cambio del dominio da la variable. La transformada de Fourier es usada para
obtener la información frecuencias de una determinada función, así como también
la descomposición de la luz solar en diferentes colores.

Una herramienta matemática capaz de extraer la información de la frecuencia

de una forma de onda una vez conocido su comportamiento temporal y viceversa.
Camilo José Carrillo González,2003.

La transformada de fourier empezó en 1748 con un estudio de movimientos

vibracionales de una cuerda donde Euler afirmo que si la configuración de la
cuerda en un instante determinado se podía poner como combinación lineal de los
modos normales, esto seguiría siendo válido en los instantes siguientes de tiempo,
luego Jean-Baptiste-Joseph Fourier en 1807 presento en la academia francesa de
ciencias un estudio de transmision de calor en donde el daba a conocer este
método de resolución la transformada de fourier.

La transformada de fourier fue extendiendo su uso haciendo necesaria

herramientas numéricas que permiten su implantación en computadoras,
facilitando el análisis de formas de ondas complicadas.

“El teorema de Fourier no es solamente uno de los resultados más

hermosos del análisis moderno, sino que puede decirse además que proporciona
un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las cuestiones de la
física moderna, por recónditas que sean”, Lord Kelvin,1867.
 6

1.1.1. Series de Fourier

La serie de fourier es utilizada para el estudio de señales periódicas por lo

que se desarrollara teorias sobre esta
Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real y denotemos
por XT(t) (T > 0) la señal 2T-periodica que se obtiene a partir de x(t) haciendo X T (t)
= x(t) para t ∈ (−T, T] y extendiendo periodicamente con periodo 2T.
∞ T
1
x ( t )=xT ( t ) =
2T
∑ [ ∫ x ( s) e−(πi /T )ks ds ]∗e (πi/T )kt , para t ∈ ¿
k=−∞ −T

si T → ∞. Tomando ∆f = 1/(2T) y fk = k∆f,

∞ T
x ( t )= ∑
k=−∞
∆f
[∫
−T
x ( s) e
−2 πi f k s
]
ds ∗e
−2 πi f k t
, para t ∈¿

1
|f k+1 −f k|=∆ f = 2 T (k ∈ Z)
Se interpreta que fk son nodos equiespaciados de una particion de Riemann
para la integral limite,bajo ciertas restricciones aperiodicas x(t), se obtendrá la
identidad de teorema integral de fourier
∞ ∞
x ( t )= ∫
(
−∞ −∞
)
∫ x ( s ) e−2 πifs ds ∗e−2 πift df
Si: ξ = 2πf remplazando en la anterior ecuacion
∞ ∞
1
x ( t )= ∫
2 π −∞ (∫ −∞
)
x ( s ) e−iξs ds ∗e iξs d ξ

f : R → C, se define formalmente su transformada de Fourier como la función

de variable real f : R → C, definida como
∞
1
f ( ε )= ∫ e−iξs f ( x ) d x , donde ε ϵ R
2 π −∞
Y la transformada inversa de señal aperiódica
∞
1
f −1 ( t )= ∫ e−iξs y (ε ) d ε
2 π −∞
Deduciendo:
f [f ¿¿−1 ( t ) ]= y (ε ) ¿
 7

1.1.2. Propiedades elementales

1.1.2.1. Linealidad:

La transformada de Fourier es un operador lineal. Mas precisamente, si x1,

x2 ∈ L (R), y a, b ∈ R, entonces:
ax 1+ bx 2(ξ)=ax 1(ξ)+ bx 2(ξ )

1.1.2.2. Traslacion en el tiempo:

Dado a ∈ R, se tiene que

F [x (t−a)](ξ)=e−iaξ F [ x(t )](ξ) y F [e iaξ x (t )](ξ)=F[ x (t)](ξ−a)

1.1.2.3. Cambios de escala:

Si δ > 0 y xδ(t) = δ −1x(t/δ), entonces

F [x δ ](ξ)=F [ x ](δξ ) y F [x ( δt)]( δξ )=F(x ) δ( ξ)

1.1.2.4. Derivacion.:

Si x es continua y derivable a trozos, con x 0 (t) ∈ L 1 (R), entonces

F (x 0)(ξ )=iξF (x)( ξ)
Ademas, si x(t) es integrable entonces
F ( tx ( t ) ) ( ξ ) =iF ( x ) ´ (ξ)
 8

1.1.3. Teoremas
 Teorema 1
Si x(t) = exp(−t2 ), entonces x (ξ)=√ π exp(−ξ 2 /4).
 Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue)
Si x ∈ L 1 (R) entonces
lim F(x )(ξ )=0.
ξ →± ∞

 Teorema 3
Supongamos que x : R → C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente

integrable ∫ x (t)∨dt < ∞Entonces x(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.

−∞

 Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue)

Supongamos que tenemos una familia de funciones xh : R → C (h ∈ R),
continuas a trozos tales que existe una cierta función g verificando que
xh(t )∨≤∨g( t)∨ para todo t ,h ∈ R
∞

y ∫ g( x )∨dx < ∞Si ademas sabemos que existe el limite puntual

−∞

x (t)=lim fh(t ); t ∈ R ,
h →0

 Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de x(ξ))

Sean L 1 (R) y C0(R) dotados de sus normas
∞
¿|x ( t )|∨¿ L1(R )= ∫ ¿ x (t)∨dt y∨|x ( t )|∨Co( R)=supt ∈ R∨x (t)∨. ¿
−∞

Entonces F : L 1 (R) → C0(R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con

−1
el operador transformada de Fourier inversa, F : L 1 (R) → C0(R)
 Teorema 6
s1t s2t
Supongamos que las funciones x(t)e y x(t)e son continuas a trozos y
absolutamente integrables en toda la recta real, y s1 < s2.
 9

∞
F (z)= ∫ x (t)e−izt dt
−∞

existe y es holomorfa en la banda

D={z ∈ C : Imz ∈(s 1, s 2)}

1.2. TEORIA DE MODULACION

Básicamente, la modulación consiste en hacer que un parámetro de la onda

portadora cambie de valor de acuerdo con las variaciones de la señal moduladora,
que es la información que queremos transmitir.
Esta técnica permite un mejor aprovechamiento del canal de comunicación lo
que posibilita transmitir más información en forma simultánea además de mejorar
la resistencia contra posibles ruidos e interferencias. Una señal portadora es una
onda eléctrica modificada en alguno de sus parámetros por la señal de
información (sonido, imagen o datos) y que se transporta por el canal de
comunicaciones

Tenemos las siguientes señales:

1. Señal portadora: Es una señal de alta frecuencia, de tipo sinusoidal

frecuentemente, que da soporte para trasladar de frecuencia la señal moduladora.

2. Señal en banda base o señal moduladora: Es la señal que

procedente del transductor, es decir, es la señal que queremos transmitir.

3. Señal modulada: Es la combinación de las señales portadora +

moduladora, es la señal a emitir.
 10

Figura 1: Onda de alta frecuencia (portadora, las dos de abajo) puede

modularse en amplitud (AM, varía la amplitud) o en frecuencia (FM, varía la
frecuencia).

Figura 2: Proceso de modulación y demodulación

Existen tres tipos básico de modulación (para datos analógicos y señales

analógicas) que son:
1. Modulación en Amplitud (Amplitude Modulation - AM)
 11

2. Modulación en Frecuencia (Frecuency Modulation FM)

3. Modulación en Fase (Phase Modulation - PM)

La modulación se realiza en el transmisor. La señal modulada resultante es

enviada al receptor. En el receptor se realiza el proceso de demodulación, el cual
consiste en remover la frecuencia portadora de la señal modulada, recuperando la
señal original (los datos).

1. MODULACION EN AMPLITUD (AM): La frecuencia portadora varía

su AMPLITUD, de acuerdo a las variaciones en amplitud de la señal moduladora.
Lo anterior da como resultado (en la salida del modulador) una señal modulada en
amplitud.

Figura 3: Modulación en amplitud

2. MODULACIÓN EN FRECUENCIA (FM): La frecuencia portadora

cambia de acuerdo al signo y a la amplitud de la señal moduladora. La amplitud de
la portadora no es afectada (mantiene la misma amplitud de la señal moduladora).
 12

Figura 4: Modulación en frecuencia

Existen cuatro técnicas de modulación (llamada también Modulación Digital)

para transformar datos digitales en señales analógicas:
1. Modulación por Desplazamiento de Amplitud (Amplitude Shift Keying –
ASK)
2. Modulación por Desplazamiento de Frecuencia (Frecuency Shift Keying –
FSK)
3. Modulación por Desplazamiento de Fase (Phase Shift Keying – PSK)
4. Modulación de Amplitud en Cuadratura (Quadrature Amplitude Modulation-
QAM).

3. MODULACION DE FASE:

Es una modulación que se caracteriza porque la fase de la onda portadora

varía en forma directamente proporcional de acuerdo con la señal moduladora. La
modulación de fase no suele ser muy utilizada porque se requieren equipos de
recepción más complejos que los de frecuencia modulada, además puede
presentar problemas de ambigüedad para determinar si una señal tiene una fase
de 0° o 180°.
 13

La forma de las señales de modulación de frecuencia y modulación de fase

son muy parecidas. De hecho, es imposible diferenciarlas sin tener un
conocimiento previo de la función de modulación.

1.3. RELACION CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Existe una propiedad de la transformada de Fourier denominada traslación
en frecuencia, la cual se puede detallar de la siguiente manera:
Dada una:

Aplicando la definición de la transformada de Fourier:

Se llega a que
 14

Siendo w0 la traslación en frecuencia. Esta propiedad define la modulación

en frecuencia. Si g (t) fuese real, o sea,

Aplicando la definición de la transformada de Fourier se llegaría a que

La cual define la modulación en amplitud.

De la misma manera, y aplicando la definición de la anti transformada de
Fourier

Se puede obtener la inversa de mi transformación, lo que sería igual a aplicar

demodulación, ya sea en frecuencia o en amplitud.

1.4. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Esta propiedad de la transformada de Fourier es el llamado teorema de la

modulación: Si es G (w) la transformada de Fourier de f (t), la transformada de
Fourier de f (t) cos (wot) es:
 15

DEMOSTRACION:

1.5. TEOREMA DEL MUESTREO

1.5.1. MUESTREO

El muestreo, también denominado “Discretización de señal”, es el primer

paso en el proceso de conversión de una señal analógica (tiempo y amplitud
continuos) en una señal digital (tiempo y amplitud discretos).

La conversión de la señal Análoga en Digital se realiza, entre otras razones

porque las señales digitales presentan grandes ventajas a la hora de ser
transmitidas y/o procesadas: mayor inmunidad al ruido, mayor facilidad de
procesamiento y facilidad de multiplexaje. En las aplicaciones tecnológicas “las
muestras” se toman a intervalos de tiempo “iguales”, proceso denominado
“Muestreo periódico de la señal”, lo que facilita procesos como el de la
“Reconstrucción de la señal”.

1.5.2. Teorema del Muestreo (Demostración)

El muestreo es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en

tiempo discreto obtenida tomando muestras de la señal en tiempo continuo en
instantes de tiempo discreto.
 16

Sea g(t ) una función cualquiera definida para toda t, que representa una
señal analógica, y δ (t ) una función tal que:

δ ( t )= 1 si t=0
{0 si t ≠ 0 }
El producto de ambas resulta:

g ( t )∗δ ( t )=g ( 0 )

Que representa una muestra de la señal analógica en el instante cero. Si

ahora δ ( t ) se recorre una constante de tiempo δ ( t−T ) y se realiza de nuevo el
producto con la señal analógica se obtiene:

g ( t )∗δ ( t−T S )=g(T ¿¿ S )¿

Se verifica que g(T ) que representa una muestra de la señal analógica en el

instante t=T . Por lo tanto el conjunto de muestras en diferentes instantes de
tiempo que se obtienen de una señal analógica es:

g(t )δ (t)+ g(t ) δ(t−T S )+ g(t)δ (t−2T S )+...+ g(t) δ (t−n T S )

Pudiendo representar la señal muestreada gT ( t ), mediante una suma de

productor de la señal analógica con los impulsos unitarios desplazados en el
tiempo:

∞
gT ( t )= ∑ g(t) δ (t−n T S)
n=−∞
 17

Figura 1: Señal muestreada a partir de la muestreada a partir de la

multiplicación de una señal analógica senoidal y un tren de impulsos.

O bien una como un producto de la señal analógica g (t) y un tren de

impulsos unitarios, figura 1:

∞
gT =g(t) ∑ δ( t−n T S )
n=−∞

Por la propiedad de que cualquier producto se convierte en una convolucion

en el dominio de la transformada de Fourier es posible determinar la transformada
de Fourier es posible determinar la transformada de Fourier de la señal
muestreada F {g T (t) }, mediante la convolucion de la transformada de tren de
impulsos y la transformada de la señal analógica, figura 2.

∞ ∞
F { ∑ δ ( t−n T S ) = Tn ∑
} (
δ f−
1
TS )
n=−∞ S n=−∞
 18

( f )∗n ∞
F {g T ( t ) }=GT ( f )=G ∑ δ f − T1
T S n=−∞ ( )
S

Suponiendo que el espectro en frecuencia de la señal analógica es como la

figura 3, la señal se compone por frecuencias desde −f G hasta f G, el espectro en
frecuencia del tren de impulsos tiene frecuencias de −f a f . Si se analiza el
espectro en frecuencia de la señal muestreada se puede observar que G T (f )

1
respresenta un espectro continuo periódico con periodo el cuál es el periodo de
T
muestreo, el espectro continuo de la señal.

Figura 2: Convolucion de dos espectro en frecuencia, un espectro de

una señal senoidal con frecuencia de 25Hz y un espectro de un tren de
impulsos, que genera el espectro de la señal muestreada.
 19

Figura 3: Convolucion de dos espectros en frecuencia, un espectro de

una señal cualesquiera y espectro de un tren de impulsos, que genera el
espectro de la señal muuestreada.

Muestreada surge por la operación de convolucion que se efectuó en la

ecuación 8. Se puede apreciar que el espectro de la señal analógica se distribuyó
sobre todo el intervalo del espectro del tren de impulsos.

Es aquí donde surge el teorema de muestreo de Nyquist, obsérvese de

nuevo la figura 3, como se había mencionado anteriormente los espectros se
convolucionan resultando una espectro final que no es más que el espectro de la
señal analógica distribuido periódicamente, del cual eliminando todos los ciclos del
espectro de la señal analógica excepto el ciclo centrado en f =0, se puede aplicar
la inversa de la tranformada de Fourier y obtener la señal analógica original, sin

1
embargo si el periodo es menor que 2 f m entonces los ciclos en el espectro de
TS
la señal muestreada se traslapan y es imposible aislar el ciclo centrado en cero ya
que ahora tendría frecuencias traslapadas, por tal motivo:

1
≥2f m
TS
 20

Y ya que T S es el periodo de muestreo o el tiempo entre cada impulso en el

tren de impulsos, se puede representar por medio de la frecuencia de muestreo:

1
=f ≥ 2 f m
TS S

Lo que implica que la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a la

frecuencia máxima de la señal analógica que se desea muestrear.
 21

2. MARCO OPERATIVO TEOREMA DE MUESTREO

2.1. OBJETIVO

La finalidad de esta práctica es poder muestrear una señal, y poder

comprobar la veracidad del teorema de muestreo que nos enuncia que: es
necesario que la frecuencia a muestrear sea 2 veces mayor que la frecuencia de
la señal de información.

2.2. Teorema del Muestreo

Si una señal contínua, S(t), tiene una banda de frecuencia tal que fm sea la
mayor frecuencia comprendida dentro de dicha banda, dicha señal podrá
recontruirse sin distorsión a partir de muestras de la señal tomadas a una
frecuencia fs siendo fs > 2 fm.
En la figura se muestra un esquema simplificado del proceso de muestreo.

El interruptor no es del tipo mecánico, puesto que por lo general fs es de

bastante valor. Suelen emplearse transistores de efecto campo como
interruptores, para cumplir los requerimientos que se le exigen entre los que se
encuentran:
 Una elevada resistencia de aislamiento cuando los interruptores
(transistores) están desconectados.
 Una baja resistencia si los interruptores están conectados o cerrados.
 Una elevada velocidad de conmutación entre los dos estados de los
interruptores.
 22

En la siguiente figura se ofrece las formas de las tres señales principales:

S(t) Señal a muestrear
Señal muestreadora
Sd(t) Señal muestreada

Desde el punto de vista de la cuantificación de la señal muestreada, lo ideal

sería que el tiempo en que el interruptor está cerrado, fuese prácticamente cero,
ya que de otro modo, la señal muestreada puede variar en dicho tiempo y hacer
imprecisa su cuantificación.

Debe tenerse en cuenta que para la reconstrucción de la señal original, a

partir de la muestreada, se emplea un filtro de paso bajo, el cual deberá tener una
función de transferencia como se indica en la figura siguiente:
 23

Obsérvese que la respuesta del filtro, debe ser plana hasta una frecuencia,
como mínimo, igual a fm, para caer posteriormente de forma brusca a cero, antes
de que la frecuencia alcance el valor de fs-fm.

Mediante la aplicación del Teorema del Muestreo, se pueden transmitir varias

señales, por un mismo canal de comunicación. Para ello se muestrea
sucesivamente varias señales S1, S2, S3,.... y las señales muestreadas se
mandan por el canal de comunicación. A este sistema se le denomina
"multiplexado en el tiempo"

Al otro extremo del canal habrá que separar las distintas señales
muestreadas para hacerlas pasar después por el filtro paso bajo que las
reconstruya.

En la figura anterior el multiplexor y el demultiplexor se han representado

mediante conmutadores rotativos sincronizados, los cuales, evidentemente no son
adecuados, dada la gran frecuencia de giro fs, necesaria en este sistema.

Para ello se emplean multiplexores y demultiplexores electrónicos. En este

sistema de transmisión de señales es imprescindible, el perfecto sincronismo entre
los dos extremos del canal.

En la figura se ilustra una señal analógica x(t), así como su versión

muestreada, que designaremos x[mT], donde las muestras ocurren en los
instantes en que el tiempo t toma los valores T, 2T, 3T..., etc. Estos instantes se
llaman tiempos de muestreo, y al tiempo entre muestras consecutivas se le llama
intervalo de muestreo.
 24

Finalmente, cuando una señal discreta en el tiempo sólo puede tomar valores
de amplitud discretos, entonces se trata de una señal discreta tanto en el tiempo
como en amplitud. Este tipo de señales ha cobrado una gran importancia en las
comunicaciones digitales, ya que los sistemas modernos de telecomunicaciones
son eficientes y efectivos precisamente debido a este tipo de señales. A las
señales que son discretas en el tiempo y en amplitud se les denomina señales
digitales, y cuando la amplitud de la señal solamente puede tomar uno de dos
valores entonces se trata de una señal digital binaria.
Una señal limitada en Banda, que no contiene componentes espectrales
mayores que la frecuencia Fm (HZ), esta determinada en forma única por sus
valores en intervalos uniformes menores que:( Fm → No contiene frecuencias mas
arriba de ωm )
 25

Es importante que se tenga en cuenta el teorema de muestreo ya que entre

mayor sea la frecuencia de muestreo el diseño de filtro se hace más sencillo. Ya
que si no se puede llegar a presentar la seudo interferencia.

DESARROLLO
Implementar un circuito de muestreo donde la frecuencia a muestrear sea
mayor o igual a dos veces la frecuencia máxima de la señal de informacion (1KHz)
e introducirla a un filtro paso bajas con una frecuencia de corte de 900 Hz, para
recuperar la señal de información.

El siguiente paso que realizamos fue calcular el filtro Paso Bajo con una
frecuencia de corte de 900 Hz, esto para que después de que muestreemos la
señal la podamos recuperar, los cálculos que realizamos son:
CÁLCULOS DE DISEÑO
SIMULACIONES
 26

El circuito implementado para el muestreo de la señal fue mediante un JFET

canal P y un timer con señal de salida a una frecuencia de 10 KHz, para recuperar
la señal de 1 KHz fue necesario implementar un filtro paso bajas (fc=900 Hz).
Dicho circuito es el que se muestra en la figura, en donde se ve cual es el filtro que
finalmente se implemento, y el circuito de muestreo.

Ahora hacer un breve análisis de cada una de las salidas que se tiene en
cada uno de los bloque; En cuanto al Timer se implementó con un 555, en el cual
por el teorema de muestreo y por recomendación del Maestro, muestreamos a una
frecuencia de 10 KHz, y la señal que debemos obtener es una muy parecida a la
de la simulación que se muestra en la figura.
 27

Señal de Salida del Timer

La siguiente etapa que se ve en la figura 4 es la señal muestreada, es decir
que una vez que pasa por el JFET, se tiene una señal muestreada a una
frecuencia de 10 KHz.

Señal Muestreada
Finalmente la última señal que observaremos de Multisim 8 es la señal que
recuperamos, es decir, es la señal que se tiene a la salida del Filtro Paso Bajo de
segundo orden, e idealmente como se ve en la figura 5 la señal que recuperamos
es la senoidal de 1 KHz, que es la señal de información.

3. CONCLUSIONES
 28

 La técnica de la modulacion permite un mejor aprovechamiento del canal de

comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea
además de mejorar la resistencia contra posibles ruidos e interferencias.
 Se puede concluir que la transformada de Fourier es de gran utilidad para
las tecnologías, como es el caso de las telecomunicaciones. Siendo de gran ayuda
gracias a sus propiedades, facilitando la transmisión de las ondas en las
comunicaciones. Cabe destacar que tiene múltiples usos, todos de gran ayuda
para la tecnología de la actualidad.
 Se pudo comprobar mediante el marco operativo la veracidad del teorema
del muestreo, el cual nos enunciaba que es necesario que la frecuencia a
muestrear sea 2 veces mayor a la frecuencia de la señal de la información.
 Con la teoría de muestreo de Nyquist, a medida que el ancho de banda de
la señal aumenta, también lo hace la frecuencia de muestreo, de forma que para
ciertos tipos de señales la tarea de muestreo se hace casi imposible.
 El teorema de muestreo para funciones de tipo pasa bajos es vital en la
ingeniera de telecomunicaciones, vinculando la señales continuas con las
discretas.
 29

4. RECOMENDACIONES
 30

5. BIBLIOGAFIA
[1] G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación,
2002
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Modulación_(telecomunicación)
[3] https://es.wikipedia.org/wiki/Desmodulación
[4] https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_modulada
[5] http://lmi.bwh.harvard.edu/papers/pdfs/2002/martin-
fernandezCOURSE02.pdf
[6] http://grupo_ene.webs.uvigo.es/publicaciones/Apuntes_Fourier.pdf
[7]https://es.slideshare.net/anamariaugartemendia/transformada-de-fourier-
presentacin
[8].http://www.dicis.ugto.mx/profesores/ljavier/documentos/Lec01%20%20Te
orema%20de%20Muestreo.pdf
[9]. Oppenheim, Willsky y Nawab, Señales y Sistemas, 2da edición ed.,
Prentice Hall.
[10]. C. E. Shannon, "Comunicación en presencia de ruido", Proc. Institute of
Radio Engineers, volumen 37
[11].https://www.dsi.uclm.es/personal/miguelfgraciani/mikicurri/docencia/bioinf
ormatica/web_bio/Teoria/Teoria%20de%20la%20informacion/Teorema%20del
%20muestreo.htm