CAPÍTULO 6

RESPUESTA ELÁSTICA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El objetivo principal de este capítulo consiste en estudiar la respuesta de una

estructura modelada como un sistema de un grado de libertad la cual es sometida
a una excitación sísmica en la base. Para ello es necesario plantear modelos
matemáticos que permitan evaluar la respuesta del sistema dinámico.

Es importante mencionar que la excitación sísmica está definida como una historia
de aceleraciones del suelo producido por un temblor. Etimológicamente, la
palabra SISMO se deriva del griego que significa Temblor y la palabra
TERREMOTO se deriva del latín que significa Movimiento de Tierra. Con base en
esta interpretación, se puede definir un sismo o terremoto como un movimiento
brusco e intempestivo del terreno producido por la liberación de energía
acumulada en un intervalo de tiempo, producto del movimiento de dos superficies
en contacto, el cual produce un movimiento del terreno adyacente.

Los eventos sísmicos fuertes son medidos por medio de aparatos digitales de gran
sensibilidad conocidos como acelerómetros, los cuales son calibrados para que
registren datos a partir del instante en que se supere un umbral definido por el
usuario. La figura 6.1 muestra un acelerómetro digital.

Figura 6.1. Acelerómetros digitales.

Actualmente estos aparatos pueden tomar 200 muestras por segundo, lo que
equivale decir que registran con un diferencial de tiempo de 0.005 s. Las
muestras son guardadas como cambios de voltaje producidos por el movimiento
del aparato. El usuario cuenta con las curvas de calibración de los aparatos que
permite convertir las unidades de voltaje en unidades de aceleración.
Los acelerómetros constantemente están registrando datos los cuales se
superponen en una memoria digital. Cuando ocurre un evento sísmico importante,
que sobrepase el umbral de disparo, el aparato comienza a guardar los datos del
evento hasta que nuevamente se superen las condiciones del umbral que
determina el fin del evento. Posteriormente, se le adicionan a los datos
registrados aquellos que hacen parte del pre evento.

Luego de manipular el archivo de datos, se puede distribuir a los interesados. El

archivo de datos es enviado con varias líneas de inicio que proporcionan la
información del evento. En la figura 6.2 se muestra un ejemplo del archivo
correspondiente al sismo de EL CENTRO ocurrido en 1940. La primera línea
especifica el nombre del evento, la fecha y la componente de medición. La
segunda línea define el número de puntos que componen el evento y el delta de
tiempo empleado para la captura de datos. La tercera y cuarta línea especifica el
formato de lectura (8 columnas compuestas por 10 espacios de los cuales 5 son
decimales). La última línea define las unidades de aceleración empleadas en el
registro.

Figura 6.2. Archivo de datos del sismo de EL CENTRO en 1940

Teniendo el archivo disponible, es posible graficar la historia de aceleraciones que
define el evento sísmico, tal como se ilustra en la figura 6.3.
400

300

200
Aceleración (cm/s 2)

100

-100

-200

-300

-400
0 5 10 15 20 25 30
Tiempo (s)

Figura 6.3. Acelerograma del sismo de EL CENTRO en 1940

Por la naturaleza misma del registro y de la medición de los aparatos, hace que la
historia de aceleraciones sea una función discreta formada por la secuencia de
líneas rectas que unen los puntos de la señal.

Teniendo como excitación en la base un registro de aceleraciones, es posible

determinar la respuesta de una estructura en términos de aceleración absoluta,
velocidad relativa o desplazamiento relativo. Para lograr este objetivo, se han
desarrollado varios métodos numéricos, variando las hipótesis que describen su
funcionamiento y alcance. Todos los métodos evalúan la respuesta paso a paso,
lo que implica que la respuesta final de un intervalo es la inicial del intervalo
siguiente.

6.1. MÉTODO DIRECTO

El sistema a considerar se representa en la figura 6.4, en donde es posible

establecer el diagrama de cuerpo libre de la masa, teniendo en cuenta que sobre
ella se desean realizar las mediciones que permitan establecer la historia en
tiempo de las variables cinemáticas definidas en términos del desplazamiento, la
velocidad y la aceleración de dicha masa.
 xs x
m Fi = m( &x&s + &x&)
Fe = kx
Fa = cx&
k
c

&x&s

Figura 6.4. Modelo y diagrama de cuerpo libre de un sistema sometido a una

excitación en la base para determinar el movimiento relativo

Al establecer el equilibrio dinámico de la masa, se puede obtener la siguiente

ecuación diferencial del movimiento:

m(&x&s + &x&) + cx& + kx = 0 (6.1)

El lado izquierdo de la ecuación siempre debe contener variables cinemáticas

correspondientes al mismo grado de libertad seleccionado. Al seleccionar como
grado de libertad el desplazamiento relativo, la velocidad y la aceleración también
deben ser relativas. En este caso se seleccionó el desplazamiento relativo de la
estructura, x:

m&x& + cx& + kx = F (6.2)

Donde:

F = − m&x&s (6.3)

La ecuación 6.2 corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden, lineal,

no homogénea y de coeficientes constantes.

El método de solución de la ecuación diferencial 6.2 consiste en resolver el

sistema paso a paso, partiendo de una condición inicial de movimiento
(desplazamiento, velocidad y aceleración, iniciales) para evaluar su condición al
final del intervalo de tiempo (desplazamiento, velocidad y aceleración, finales).
Estos valores finales serán iguales a los iniciales del siguiente tramo. Esta
solución es conocida como método directo de integración.
Como excitación se puede emplear una función discreta separada por intervalos
de tiempo constantes. La función entre dos tiempos consecutivos separados por
un ∆t. En la figura 6.5 se ilustra la excitación de un tramo cualquiera.

Ff

F(t)

Fo

to t tf

Figura 6.5. Descripción de la función de excitación

De la gráfica anterior, se puede obtener la función de fuerza que define la

excitación dentro de un intervalo de tiempo cualquiera:

∆F
F (t ) = Fo + (t − to ) (6.4)
∆t

Donde:

- Fo es la fuerza al inicio del intervalo

- Ff es la fuerza al final del intervalo
- ∆F es la diferencia entre Ff y Fo
- to es el tiempo al inicio del intervalo
- tf es el tiempo al final del intervalo
- ∆t es la diferencia entre tf y to

Al sustituir la ecuación 6.4 en la 6.2 se obtiene la siguiente ecuación diferencial del

movimiento:

∆F
m&x& + cx& + kx = Fo + (t − to ) (6.5)
∆t

La solución a este tipo de ecuaciones está dada por la superposición de la

solución homogénea y la particular o permanente:

x(t ) = x(t ) Homogenea + x(t ) Particular (6.6)

Donde x(t) es la historia de desplazamientos que define el movimiento del sistema
físico estudiado en función del tiempo, t.

La solución homogénea para la ecuación 6.5 es similar a la obtenida en el caso de

vibración libre amortiguada, para condiciones iniciales dadas:

[ ]
x(t ) Homogenea = e −ξω (t −to ) C Cosωa (t − to ) + DSenωa (t − to ) (6.7)

Por otra parte, la solución particular debe tener la forma de una línea recta, tal
como lo es la función de excitación:

x(t ) Particular = B + A(t − to ) (6.8)

Los valores de A, B, C y D son constantes que se calculan para cada intervalo de

tiempo.

Al sustituir las ecuaciones 6.7 y 6.8 en la 6.6, so obtiene la función de respuesta

en términos del desplazamiento:

[ ]
x(t ) = e −ξω (t −to ) C Cosωa (t − to ) + DSenωa (t − to ) + B + A(t − to ) (6.9)

Para evaluar los valores de las constantes es necesario establecer inicialmente

que la solución homogénea es nula o bien que la condiciones iniciales son iguales
a cero ( C y D son iguales a cero). Esto hace que la ecuación de desplazamientos
sea igual a:

x(t ) = B + A(t − to ) (6.10)

Al derivar la ecuación anterior respecto al tiempo es posible obtener la velocidad y

la aceleración:

x& (t ) = A (6.11)

&x&(t ) = 0 (6.12)

Al sustituir el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en la ecuación 6.5, se

tiene:

∆F
m(0 ) + c( A) + k (B + A(t − to ) ) = Fo + (t − to ) (6.13)
∆t
Al reagrupar términos se puede reescribir la anterior ecuación de la siguiente
forma:

[c( A) + k (B )] + k ( A(t − to )) = Fo + ∆F (t − to ) (6.14)

∆t

Teniendo en cuenta que a cada lado de la ecuación anterior se cuenta con una
función lineal, es posible igualar coeficientes con el fin de determinar los valores
de las constantes A y B.

Al igualar los coeficientes asociados a la variable (t-to), se tiene:

∆F
k ( A) = (6.15)
∆t

Despejando el valor de la constante A, se logra:

∆F
A= (6.16)
k∆t

Ahora, si se igualan los términos independientes de la ecuación 6.14, se tiene:

[c( A) + k (B )] = Fo (6.17)

Despejando el valor de la constante B, se logra:

Fo − cA
B= (6.18)
k

Con las ecuaciones 6.16 y 6.18 se pueden evaluar las constantes A y B al inicio de
cada intervalo. Para evaluar las otras dos constantes, es necesario establecer
condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad al comienzo del intervalo.
Para lograr esto, es necesario retomar la ecuación 6.9 que define el
desplazamiento total:

[ ]
x(t ) = e −ξω (t −to ) C Cosωa (t − to ) + DSenωa (t − to ) + B + A(t − to ) (6.19)

Al derivar el desplazamiento respecto al tiempo y reagrupar los términos, se

obtiene la velocidad del sistema:

[ ]
x& (t ) = e −ξω (t −to ) (Dωa − C ξω )Cosωa (t − to ) − (C ωa + Dξω )Senωa (t − to ) + A (6.20)
Como condición inicial del intervalo se tiene que cuando t es igual a to, el
desplazamiento x(t) será igual a Xo. Al sustituir esta condición en la ecuación del
desplazamiento (ec. 6.19), se tiene:

[ ]
X o = e −ξω (to −to ) C Cosωa (to − to ) + DSenωa (to − to ) + B + A(to − to ) (6.21)

Simplificando la ecuación anterior y despejando el valor de la constante C se

tiene:

C = Xo − B (6.22)

De igual forma, se puede establecer que cuando t es igual a to, la velocidad será
igual a Vo. Al sustituir esta condición en la ecuación de velocidad (ec. 6.20), se
tiene:

[ ]
Vo = e −ξω (to −to ) (Dωa − C ξω )Cosωa (to − to ) − (C ωa + Dξω )Senωa (t o − t o ) + A (6.23)

Simplificando la ecuación anterior y despejando el valor de la constante D se tiene:

Vo + C ξω − A
D= (6.24)
ωa

Con las ecuaciones 6.22 y 6.24 se pueden evaluar las constantes C y D al inicio
de cada intervalo. Esto hace que las ecuaciones que rigen la respuesta, queden
totalmente definidas.

Para evaluar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración al final del intervalo,

es necesario evaluar dichas funciones cuando t es igual a tf. Se aclara que la
diferencia ente tf y to es igual a ∆t. El desplazamiento final será igual a:

[ ]
x f = e −ξω∆t C Cosωa ∆t + DSenωa ∆t + B + A∆t (6.25)

La velocidad al final del intervalo será:

[
x& f = e −ξω∆t (Dωa − C ξω )Cosωa ∆t − (C ωa + Dξω )Senωa ∆t + A ] (6.26)

La aceleración final se puede obtener, bien sea derivando la velocidad respecto al

tiempo o bien sea despejando dicha variable de la ecuación dinámica de equilibrio
(ec. 6.2). Empleando la segunda opción se tiene:
 − m&x&sf − cx& f − kx f
&x&f = (6.27)
m

El procedimiento que permite evaluar la respuesta de un sistema dinámico

sometido a una excitación arbitraria descrita mediante una función discreta,
estable inicialmente condiciones iniciales al principio del primer intervalo, luego se
evalúan las constantes propias del método y se calculan los valores de las
variables cinemáticas al final del intervalo, los cuales serán los mismos al inicio del
siguiente intervalo.

Ejemplo 6.1:

Una estructura modelada como un sistema de un grado de libertad, presenta un

período igual a un segundo y una fracción de amortiguamiento crítico del cinco por
ciento. El sistema es excitado por una señal compuesta por tres tramos de
lineales y el delta de tiempo es igual a 0.02 s. Se desea saber cual es el
desplazamiento, la velocidad y la aceleración relativa y absoluta, cuando finaliza la
excitación.

xs x (
&x&s cm / s 2 )
m Fi = m( &x&s + &x&)
120
Fe = kx 100
Fa = cx&
k 0.04s
t (s)
T=1s 0.02s 0.06s
c
ω = 6.2832 rad/s
∆t = 0.02 s
ξ = 0.05 180
&x&s

La ecuación de equilibrio dinámico que controla el movimiento esta dado por la

siguiente ecuación la cual se obtiene del equilibrio dinámico de la masa:

m&x& + cx& + kx = −m&x&s

Al normalizar todos los términos de la ecuación por la masa del sistema, se tiene:

m c k m
&x& + x& + x = − &x&s
m m m m

&x& + 2ξωx& + ω 2 x = − &x&s

 La ecuación anterior gobierna el movimiento del sistema dinámico a estudiar. Con
el fin de aplicar el método directo en la solución del problema, es necesario
establecer la respectiva correspondencia de los términos empleados en la
deducción con los planteados en el problema. Esta correspondencia se puede
hacer de la siguiente forma:

m = 1 t-s2/cm

c = 2ξω ⇒ c = 2 * 0.05 * 6.2832 ⇒ c = 0.6283 t-s/cm

k = ω 2 ⇒ k = 6.2832 2 ⇒ k = 39.4786 t/cm

t x x& &x& A B C D
&x&s F = − m&x&s &x&s + &x&
cm/s 2
t
cm cm/s cm/s2 cm/s 2
S
0.00 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -126.6515 2.0157 -2.0157 20.0815
0.02 100 -100 -0.0066 -0.9945 -99.1130 0.8870 354.6241 -8.1770 8.1704 -56.2603
0.04 -180 180 -0.0276 -0.1667 181.1943 1.1943 -379.9544 10.6066 -10.6342 59.9884
0.06 120 -120 -0.0148 0.4428 -119.6937 0.3063

Es importante recordar que los desplazamientos, velocidades y aceleraciones al

final de cada intervalo, son los valores iniciales en el siguiente intervalo.

6.2. MÉTODO β DE NEWMARK

Diferente al método de solución anterior, éste asume diferentes comportamientos

en la respuesta de aceleración de la estructura, los cuales pueden asociarse a un
comportamiento uniforme o lineal entre dos puntos continuos separados por un
diferencial de tiempo.

6.2.1. MÉTODO β DE NEWMARK CON ACELERACIÓN UNIFORME

La figura 6.6 ilustra el caso de análisis, al asumir una respuesta de aceleración

uniforme.

&x&f
&x&(t )
&x&o

to t tf

Figura 6.6. Hipótesis de aceleración uniforme

La hipótesis anterior permite establecer la función de aceleración de la estructura
en cualquier instante de tiempo:

1
&x&(t ) =
2
(&x&f + &x&o ) (6.28)

Al integrar la función de aceleración y evaluarla al final del intervalo de tiempo

(t = tf) se obtiene la velocidad:

x& (t ) = x&o +
(t − to ) (&x& + &x&o ) ⇒ x& f = x&o +
∆t
(&x&f + &x&o ) (6.29)
f
2 2

Al integrar la función de velocidad y evaluarla al final del intervalo de tiempo (t = tf)

se obtiene el desplazamiento:

x(t ) = xo + x&o (t − to ) +
(t − to )2 (&x& + &x&o ) ⇒ x f = xo + x&o ∆t +
∆t 2
(&x&f + &x&o ) (6.30)
f
4 4

6.2.2. MÉTODO β DE NEWMARK CON ACELERACIÓN LINEAL

La figura 6.7 ilustra el caso de análisis, al asumir una respuesta de aceleración

lineal.

&x&f
&x&(t )
&x&o

to t tf

Figura 6.6. Hipótesis de aceleración lineal

La hipótesis anterior permite establecer la función de aceleración de la estructura

en cualquier instante de tiempo:

&x&(t ) = &x&o +
(&x& f − &x&o )
(t − to ) (6.31)
∆t

Al integrar la función de aceleración y evaluarla al final del intervalo de tiempo

(t = tf) se obtiene la velocidad:
x& (t ) = x&o + &x&o (t − to ) +
(t − to )2 (&x& − &x&o ) ⇒ x& f = x&o +
∆t
(&x&f + &x&o ) (6.32)
f
2∆t 2

Al integrar la función de velocidad y evaluarla al final del intervalo de tiempo (t = tf)

se obtiene el desplazamiento:

&x&o (t − to )2 (&x&f − &x&o )(t − to )

3
1 1 
x(t ) = xo + x&o (t − to ) + + ⇒ x f = xo + x&o ∆t +  &x&f + &x&o ∆t 2 (6.33)
2 6∆t 6 3 

6.2.3. GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO β DE NEWMARK

Las ecuaciones 6.28 a 6.33 se pueden generalizar con el fin de unificar las
funciones que definen los desplazamientos y las velocidades. Para esto es
necesario definir unos valores constantes así:

- Caso de aceleración uniforme: α =1/2 y β = 1/4

- Caso de aceleración lineal: α =1/2 y β = 1/6

De esta forma las funciones que definen la velocidad y el desplazamiento final

quedan definidas así:

[
x& f = x&o + (1 − α )&x&o + α&x&f ∆t ] (6.34)

[( )
x f = xo + x&o ∆t + 1 − β &x&o + β&x&f ∆t 2
2
] (6.35)

6.2.4. EVALUACIÓN FINAL DEL MÉTODO β DE NEWMARK

Es importante hacer notar que las ecuaciones 6.34 y 6.35 permiten evaluar la
velocidad y el desplazamiento final, pero en ambos casos se tiene la dependencia
de la aceleración final, la cual es desconocida. El objetivo ahora consiste en
evaluar los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones finales en
función de sus valores iniciales.

Para lograr dicho objetivo, se despeja el valor de la aceleración final de la

ecuación 6.35:

&x& f =
x f − xo − x& o ∆t (
− 2
1 − β )&x&
o
(6.36)
2
β∆t β
Con el fin de simplificar, se realizan varios cambios de variables, así:

&x&f = β o (x f − xo ) − β1 x&o − β 2 &x&o (6.37)

Donde:

1
βo = (6.38)
β∆t 2

1
β1 = (6.39)
β∆t

1
β2 = −1 (6.40)
2β

Al sustituir la aceleración final (ec. 6.36) en la ecuación de velocidad final (ec.

6.34), se puede lograr:


o o
(
− 2
)
 x − x − x& ∆t 1 − β &x&o 
x& f = x&o + (1 − α )&x&o + α  f  ∆t (6.41)
  β∆t 2
β 
  

Cambiando nuevamente de variables, se tiene:

x& f = β 3 (x f − xo ) − β 4 x&o − β 5 &x&o (6.42)

Donde:

α
β3 = (6.43)
β∆t

α
β4 = −1 (6.44)
β

∆t  α 
β5 =  − 2  (6.45)
2 β 

Ahora, la ecuación dinámica de equilibrio del sistema debe ser válida para
cualquier instante, por lo tanto, para el final del intervalo se tiene:
m&x&f + cx& f + kx f = −m&x&s f (6.46)

Al sustituir la ecuación 6.37 y 6.42 en la ecuación 6.46, se logra:

m(β o (x f − xo ) − β1 x&o − β 2 &x&o ) + c(β 3 (x f − xo ) − β 4 x&o − β 5 &x&o ) + kx f = −m&x&s f (6.47)

Se agrupan términos comunes de xf, y se obtiene:

x f (mβ o + cβ 3 + k ) − m(β o xo + β1 x&o + β 2 &x&o ) − c(β 3 xo + β 4 x&o + β 5 &x&o ) = −m&x&s f (6.48)

Por último, se despeja el valor de xf :

− m&x&s f + m(β o xo + β1 x&o + β 2 &x&o ) + c(β 3 xo + β 4 x&o + β 5 &x&o )

xf = (6.49)
(mβ o + cβ3 + k )

Nótese que el valor de xf quedó en función de los desplazamientos, velocidades y

aceleraciones iniciales. Sólo se considera la aceleración final de la excitación, la
cual es conocida.

Una vez que se ha evaluado el desplazamiento al final del intervalo, es posible

determinar la velocidad final (ec. 6.42) y la aceleración final (ec. 6.37).

Ejemplo 6.2:

Resolver el ejemplo 6.1 empleando el método β de Newmark.

xs x &x&s (cm / s 2 )
m Fi = m( &x&s + &x&)
120
Fe = kx 100
Fa = cx&
k 0.04s
t (s)
T=1s 0.02s 0.06s
c
ω = 6.2832 rad/s
∆t = 0.02 s
ξ = 0.05 180
&x&s
La ecuación de equilibrio dinámico que controla el movimiento esta dado por la
siguiente ecuación la cual se obtiene del equilibrio dinámico de la masa:

m&x& + cx& + kx = −m&x&s

Al normalizar todos los términos de la ecuación por la masa del sistema, se tiene:

m c k m
&x& + x& + x = − &x&s
m m m m

&x& + 2ξωx& + ω 2 x = − &x&s

La ecuación anterior gobierna el movimiento del sistema dinámico a estudiar. Con

el fin de aplicar el método β de Newmark en la solución del problema, es necesario
establecer la respectiva correspondencia de los términos empleados en la
deducción con los planteados en el problema. Esta correspondencia se puede
hacer de la siguiente forma:

m = 1 t-s2/cm

c = 2ξω ⇒ c = 2 * 0.05 * 6.2832 ⇒ c = 0.6283 t-s/cm

k = ω 2 ⇒ k = 6.2832 2 ⇒ k = 39.4786 t/cm

a- Al asumir una aceleración uniforme, se definen las siguientes constantes y se

obtiene la siguiente respuesta:

Valor
α 0.50
β 0.25
β0 10000
β1 200
β2 1
β3 100
β4 1
β5 0
 t x x& &x&
&x&s F = −m&x&s &x&s + &x&
2 cm cm/s cm/s2
s cm/s t cm/s2
0.00 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.02 100 -100 -0.0099 -0.9899 -98.9873 1.0127
0.04 -180 180 -0.0215 -0.1702 180.9557 0.9557
0.06 120 -120 -0.0188 0.4440 -119.5383 0.4617

b- Al asumir una aceleración lineal, se definen las siguientes constantes y se

obtiene la siguiente respuesta:

Valor
α 0.50
β 0.16666
β0 15000
β1 300
β2 2
β3 150
β4 2
β5 0.01

t x x& &x&
&x&s F = −m&x&s &x&s + &x&
cm cm/s cm/s2
s cm/s2 t cm/s2
0.00 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.02 100 -100 -0.0066 -0.9912 -99.1164 0.8836
0.04 -180 180 -0.0276 -0.1704 181.1953 1.1953
0.06 120 -120 -0.0148 0.4446 -119.6953 0.3047

Al comparar los resultados obtenidos por los métodos anteriores, se puede

observar que el método directo y el método β de Newmark con aceleración lineal
muestran resultados similares, mientras que el caso de aceleración uniforme
difiere significativamente de los anteriores.

En la literatura técnica existen otros métodos similares, de acumulación de

resultados como los anteriormente descritos o del tipo iterativo. Algunos de ellos
se conocen bajo los nombres de: método de la diferencia central, método de
Houbolt, método θ de Wilson, entre otros.

Todos los métodos numéricos expuestos anteriormente, permiten su programación

computacional mediante el empleo de algoritmos simples, con los cuales se puede
calcular la respuesta dinámica de un sistema de un grado de libertad sometido a
cualquier tipo de excitación. Por la naturaleza de los métodos, esta excitación
debe ser expresada en forma discreta, separada mediante intervalos de tiempo
constantes. Es importante mencionar que estos métodos son susceptibles a la
acumulación de errores cuando los diferenciales de tiempo son relativamente
grandes (Bathe y Wilson, 1976), lo cual hacen que su inestabilidad numérica
genere respuestas alejadas de la realidad.

Ejemplo 6.3:

Obtener la respuesta del siguiente sistema empleando el programa de Dinámica

Estructural”. El sistema es excitado en la base empleando el registro de
aceleraciones “AEWSCT85.PRN”, el cual está conformado por 9006 puntos y
presenta un delta de tiempo de 0.02 s. El periodo de la estructura a estudiar es de
un segundo y tiene una fracción de amortiguamiento crítico del cinco por ciento.

xs x
m Fi = m( &x&s + &x&)
Fe = kx
Fa = cx&
k T=1s
c ω = 6.2832 rad/s
∆t = 0.02 s
ξ = 0.05

&x&s
Pasos a seguir para la solución del problema empleando el programa de cómputo:

a. Ejecutar el programa de “Dinámica Estructural” e ingresar a la opción de

“Registro Sísmico”. Proporcionar el valor del delta de tiempo y el número de
líneas que no hacen parte del registro de aceleraciones. A continuación se
ingresa a la opción de “Leer Sismo”:

b. El programa ingresa a una ventana de Windows en donde se puede

seleccionar el archivo de aceleraciones del suelo. El archivo de aceleraciones
puede contener al inicio varias líneas de información básica, la cual se ha
denominado “Líneas Inútiles”. Luego aparece una lista con los valores de
aceleración del suelo.

Líneas Inútiles
c- Luego de leer el archivo, el programa regresa a la ventana de “Registro
Sísmico” en la cual se puede observar el reporte de la cantidad de puntos
leídos del archivo, la duración en tiempo del evento y los valores máximos y
mínimos del sismo. Al seleccionar la opción de “Continuar”, el programa
regresa al menú principal:

d- Se selecciona la opción de “Sistemas de 1GDL” y aparece una ventana con

varias opciones. Se puede emplear la opción de “Respuesta Elástica
(Dominio del Tiempo)”:
e- Se debe ingresar el valor del periodo de la estructura y la fracción de
amortiguamiento crítico del sistema, para luego seleccionar la opción de
“Calcular”. El programa calcula la respuesta empleando el método directo:

f- Una vez calculada la respuesta, es posible seleccionar la respuesta en

términos de aceleración absoluta:
g- Al seleccionar la opción de velocidad relativa, el programa muestra dicha
historia:

h- De igual forma se puede observar la historia de desplazamientos del

sistema estructural estudiado:
Es importante mencionar que el programa de cómputo muestra los valores
máximos y mínimos, tanto de la excitación, como de las aceleraciones absolutas,
las velocidades y los desplazamientos relativos.

Para guardar los resultados obtenidos, se pueden emplear dos opciones: “Guardar
Parcial” y “Guardar Total”.

La opción de “Guardar Parcial” permite almacenar los resultados de la opción de

respuesta activada. Solo se guarda una columna de datos con los valores
respectivos:

La opción de “Guardar Total” permite almacenar los resultados de la respuesta

completa: