ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE UNO

Presentado a:
William de Jesús Montoya Henao

Tutor

Entregado por:

Idelver Bolaños Ortiz

Código: 6200071

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

XxxxxxxXxxxxXxxxxx
Código: xxxxx

Grupo:xxxxxx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
BOGOTÁ D.C.
2018
 INTRODUCCION

Teniendo en cuenta la vital importancia de las matemáticas, en diversos campos

profesionales y la necesidad de adquirir nuevos conocimientos que permitan una mayor
efectividad al momento de solucionar problemas que requieran de cálculos
matemáticos, nos adentramos en las ecuaciones diferenciales, que nos muestra cómo
desarrollar ecuaciones de primer orden.

Es muy común encontrarnos con el manejo de ecuaciones en áreas como la ingeniería,

donde se requiere de cálculos de volumen, áreas, solidos, etc. Por medio del desarrollo
de estos ejercicios desarrollados en esta unidad ampliamos y recordamos el manejo de
estas ecuaciones de primer orden.
 OBJETIVOS

 Comprender las temáticas relacionadas con el tema ecuaciones diferenciales de orden

superior (Ecuaciones lineales de segundo orden, ecuaciones lineales de orden n) y sus
aplicaciones, cuyas referencias bibliográficas se encuentran propuestas en el syllabus del
curso.

 Resolver de manera individual y colaborativa problemas y ejercicios de ecuaciones

diferenciales de orden superior como aplicación de las temáticas estudiadas.
 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Actividad Individual:

A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones

diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas
tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la
respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método
adecuado para llegar a su solución general y/o particular.
El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de
sus compañeros.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un
enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción
que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras
A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y
justifique la respuesta.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

1. En general, una ecuación diferencial de primer orden adopta la forma

dy
=f ( x , y)
dx

Luego, la solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función derivable con
derivada continua, que al ser sustituida en la ecuación la convierte en una identidad, o se
cumple la igualdad.

En ese sentido, la función derivable que sirve como solución de la ecuación general:
d 2 y dy 2
2
+ + 4 y−9=−8 x , es:
d x dx

A. y=−8 x2 + x +3
B. y=−2 x 2 + x+ 3
C. y=2 x−4 + x +1
D. y=−4 x 2 + x+ 1
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA

d 2 y dy 2 Fórmula Original
  + + 4 y−9=−8 x
d x 2 dx

d 2 y dy 2 Traspasando Términos
2
+ + 4 y=9−8 x
dx dx
−1
x
√ 15 x +sin √ 15 x Formula General
y=e 2
( ( ) ( ))
c cos
2 2

−1± √ 12−4.1 .4 Ecuación de Segundo Grado

γ 1,2=
2.1

−2 x2 + x +3 Solución general

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

dy
Las ecuaciones diferenciales de la forma: =g ( x ) h( y ), se pueden resolver a través de la
dx
técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados
de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa
solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la
variable correspondiente, es decir:
1
∫ h( y) dy =∫ g ( x ) dx

2 −x dy
2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: ( y +1 )− y e =0
dx
, con valor inicial y (0)=0, se puede simplificar como:
 A. e x −ln √ y 2 +1=1
B. e x + ln √ y 2 +1=1
C. e− x + ln √ y 2 +1=−1
D. e− x −ln √ y 2+1=1

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

3. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una expresión que proporciona
todas las posibles soluciones de la misma. Si la ecuación diferencial es de primer orden, la
solución general depende de una constante arbitraria. Precisamente, dando valores a esa
constante se van obteniendo las diferentes soluciones, conocidas como soluciones
particulares.

dx
De acuerdo a la información, la solución particular de la ecuación diferencial: =1+ x2, si se
dt
tiene que x ( 0 )=√ 3, queda expresada como:

a. x ( t )=tan t−( π3 )
π
b. x ( t )=tan ( t + )
4
π
c. x ( t )=tan ( t + )
3
π
d. x ( t )=tan ( )
3

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA
 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera:
a. Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o
más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice
que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de
una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama
ecuación diferencial parcial (EDP).
b. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
c. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria
de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación
diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto,
la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado.
Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x.

4. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y lineal

corresponde a

dy 2
a. 1− y
( ( )
)
dx
+2 y=e xy
2
d y 2
b. + y −1=0
d x2
2
2d y dy
c. x 2
+ y =sen(x )
dx dx
d2 y dy x
d. 2
+ x −7=e
dx dx

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA
 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación
de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones
adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la
dy
forma: =f ( x , y) , o M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0, que por homogeneidad quedan del mismo
dx
y
grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la
x
dy y dy y
forma
dx
=f ( u ) , donde u= , por lo tanto
x dx ( )
=f
x
.

5. Según la información, la solución de la siguiente ecuación diferencial homogénea:

( y ¿¿ 3+ yx ¿¿ 2)dx −x3 dy=0 ¿¿ , corresponde a:

x2
A. y=
√ C−2 ln |x|
x
B. y=
√ C−2 ln |x|
x
C. y=
√
C−2 ln |x|
2x
D. y=
√ C−ln|x|
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA

dy 1 y 1 y 3 Fórmula Original
  − = 3
dx x x
 dy Dividir Ambos Lados
dx 1 1
3
− 2= 3
y xy x
dy Resolver
dx y 1
− = 3
2 x x

∫ e∫ p ( x ) dx q ( x ) dx +C Solución General
y ( x) =
e ∫ p ( x ) dx

2 dy −2 Forma Adecuada
γ ( x )+ = 3
x dx x

−2 −21 n ( x )+ c Sustituimos
y =
x2
−x Despejamos
y=
√ c−21 n(x )
x Resultado Ideal
y=
√ C−2 ln |x|

ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA

Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se
plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación
de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de
respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.

Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

y2
6. Al resolver la ecuación diferencial homogénea: ( y−
x) dx=xdy, la solución general y

particular cuando y ( 1 )=1, viene dada por:

 C
1. y=
ln|x|+ x
x
2. y=
ln|x|+C
1
3. y=
ln|x|+ x
x
4. y=
ln|x|+1
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

7. Una ecuación diferencial de la forma M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0, es exacta si se tiene que:

∂M ∂ N
= ,es decir, sus derivadas parciales son iguales.
∂ y ∂x

De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas son exactas:

1. ( x 2 y 3 +2 y−1 ) dx + ( x 3 y 2+ x 2−1 ) dy =0

2. ( 2 x 2 y 3 +2 y−1 ) dx + ( 2 x3 y 2−2 x−3 ) dy=0

3. ( 3 x 2 y 2 + y−1 ) dx + ( 2 x 3 y + x−4 ) dy=0

4. ( 4 x y 3−2 y +3 ) dx + ( 6 x 2 y 2−2 x +5 ) dy =0

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA

 
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

8. Cuando una ecuación diferencial de la forma M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 no es exacta, porque

∂M ∂ N
≠ , se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado
∂ y ∂x
μ( x , y), llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de ymediante la
Nx− M y
dy
fórmula: μ ( y )=e∫ M

De acuerdo al concepto, el factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial

2 xydx+(3 x 2+ 4 y−3) dy=0 , está dado por:

A. μ ( y )= y 2
2
B. μ ( y )=
y

C. 2 x2 y 3 + y 4 − y 3=C
D. 2 x3 y 2 + y 4 −3 y3 =C

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón,
unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición
y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de
respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una

explicación CORRECTA de la afirmación.
Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una
explicación CORRECTA de la afirmación.
Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición
FALSA.
Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición
VERDADERA.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

dy
9. Tomando como referencia la ecuación diferencial ( x ¿¿ 2−9) −xy =0 , ¿ para aplicar la
dx
técnica llamada variables separables, se puede asegurar que la solución particular cuando
y ( 5 )=4 ,es y (x )=√ x2 −9, PORQUE al hallar el valor de la constanteC en la solución general
se obtiene que C=1.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

∂M ∂ N
≠
10. La ecuación diferencial (3 xy )dx + ( 3 x 2 ) dy=0 , es inexacta puesto que
, pero se
∂ y ∂x
puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor
 1 ∂M ∂ N
μ ( y )= −3 se obtiene que
= .
y ∂ y ∂x

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMATICA

Primera actividad Grupal:

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el
foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha
planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones
diferenciales de primer orden.

Problema: 1

Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es

la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio
circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o
calentamiento de Newton que dice:

“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la

diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio
mantenga constante su temperatura”
dT
=k (T −T a)
dt

En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se

puede aplicar en el siguiente caso:

Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un

recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará
en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un
segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMATICA

Segunda actividad Grupal:

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y

analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y
respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a
procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras
a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra
incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados
resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.
Problema 2:

El flujo sanguíneo conduce cierto medicamento hacia el interior de un órgano de un ser

cm3
humano a una razón de 2 , y se determina que sale de él a la misma velocidad. El
seg
órgano tiene un volumen líquido de 120 cm3. Si la concentración del medicamento en la
gr
sangre que entra en el órgano es de 0,3 , ¿cuál es la concentración del
cm 3
medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente la persona no tenía ninguna
muestra que indicara que había consumido el medicamento previamente?, ¿En qué
gr
tiempo, la concentración del medicamento en el órgano será de 0,2 3 ?
cm

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA OBSERVACIONES, ANEXOS,

MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN

PLANTEADA
SOLUCION

Como es un ejercicio de aplicación de

ecuaciones diferenciales sobre problemas
de mezclas, la situación descrita está
asociada a la siguiente ecuación
diferencial lineal:
dx x (t)
+Q 2 =Q 1 C 1
dt V 0 + ( Q 1−Q 2 ) t
que permite encontrar la ley de variación
de la cantidad de medicamento x ( t )en un
instante de tiempo t.

Los datos proporcionados son:

Nombre Dato inicial

Volumen inicial V 0=120 cm3
Concentración del C 1=0,3 gr /cm3
medicamento en la
sangre que entra
Razón de entrada Q 1=2 cm 3 /seg
Razón de salida Q 2=2 cm3 / seg
Gramos de x (t ), donde
medicamento en el x ( 0 )=0
instante t
Como se tiene la ecuación diferencial que
modela la situación, se reemplazan los
valores conocidos:

dt x
+(3) =2(0,3)
dx 120+ ( 2−2 ) t
dt x
Simplificando se tiene: −(2) =0,6
dx 120 t
dt x 72−x
=0,6+2 =
dx 120 120 t

Se hace separación de variables:

dx dt
=
72−2 x 120

Integrando se obtiene:
dt dx
∫ 72−2 x =∫ 120
1 t
ln |72−2 x|= +C
2 120
2t
ln |72−2 x|= +C
120

Aplicando propiedades de los logaritmos

neperianos:
−2 t 2t
+C
72−2 x=e 120 =C e 120
Al despejar x resulta:
−2 t
x (t)=72+Ce 120

De acuerdo al valor inicial x (0)=0

−2 ( 0)
0=36+C e 120
⇒ C=36

Luego, la ecuación que representa la

concentración del medicamento en el
órgano en el instante t, es:
−2 t
x ( t )=72−36 e 120
Para determinar el tiempo en el cual la
concentración del medicamento en el
gr
órgano será de 0,2 3 , se utiliza la
cm
ecuación:
x(t )
C (t)=
V (t)

−2 t
120
Por lo tanto, 0,2= 36−e
120
Simplificando y reacomodando términos:
−2 t
120
72=36−36 e
−2 t
120 12
e =
36
Se aplican logaritmos y se obtiene:
12
−2t
120
=ln
36 | |
Entonces,
 −120 12
t=
2
ln | |
36
=60,9167 segundos

Finalmente, el tiempo encontrado fue

aproximadamente de 1,91 min.

Apreciados estudiantes, recuerden que:

 Cada estudiante debe hacer

mínimo un aporte significativo al
análisis del desarrollo presentado.
 Moderador o líder debe consolidar
el trabajo final donde se incluya
aportes individuales y grupales.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS