Transferencia de Calor Desde Superficies Extendidas

Transferencia de calor desde Superficies Extendidas (Aletas)
Prácticamente en todas las operaciones que realiza el ingeniero químico

interviene la producción o absorción de energía en forma de calor. Por lo tanto,
las leyes que rigen la transferencia de calor y el tipo de aparatos, cuyo fin
principal es el control del flujo de calor, tienen una gran importancia.
Las superficies extendidas (aletas) son de uso común en la práctica para mejorar
la transferencia de calor y a menudo incrementan la razón de esa transferencia
desde una superficie varias veces.
A. Modelo Matemático
Para estudiarlas, se requiere la relación que expresa el intercambio de calor por
convección de un sólido a un fluido:
𝑄 = ℎ𝐴∆𝑇
Con la cual se deduce que el calor disipado por una superficie aumenta con:
• El aumento del coeficiente convectivo ℎ, esto puede requerir la instalación
de una bomba o ventilador, o reemplazar el existente con uno más grande,
pero este procedimiento puede no ser práctico o adecuado.
• El aumento del área expuesta al fluido, al agregar unas superficies
extendidas llamadas aletas, hechas de materiales intensamente
conductores como el aluminio u otro metal o aleación.
• El aumento de la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido.
En los casos en que interesa aumentar la disipación desde una superficie (ej.
carcasa de motores, intercambiadores de calor) se recurre al uso de superficies
extendidas (aletas), especialmente cuando se tiene una pequeña diferencia de
temperatura y un bajo coeficiente convectivo.
Consideremos una superficie plana a temperatura T, a la cual se le agrega una
barra (o aleta) de sección rectangular,
• de espesor t (según la dirección vertical, y)
• largo L (según la coordenada x, normal a la superficie de la base)
• Ancho w (según la dirección lateral, z).
El medio ambiente (aire) está a T0. En principio la distribución de temperatura es
tridimensional 𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛). Pero si se supone que:
1. No hay gradiente de Temperatura definido en la dirección z (𝜕𝑇/𝜕𝑧 = 0).
2. El espesor b es pequeño, de modo que t/k << L/k (resistencia según el
espesor despreciable).
La menor resistencia según el espesor implica que la caída de temperatura
según esta dirección es baja, es decir, aproximadamente 𝜕𝑇/𝜕𝑦 = 0. Entonces
𝑇 = 𝑇(𝑥) y el problema puede considerarse como un problema de conducción
unidimensional en la dirección x, con convección en el contorno.
La suposición unidimensional impide usar la ecuación general del calor para
formular este problema, ya que no podría plantearse la condición de borde mixta
de convección y conducción en las caras superior e inferior. En lugar de eso se
escribe un balance de energía para un elemento Δx de la aleta.
Sea A el área de transferencia, normal a la dirección x.
Sea p el perímetro de esta sección rectangular.
𝐴 = 𝑤𝑡
𝑝 = 2 (𝑤 + 𝑡 )
Un balance de energía para un elemento Δx se escribe:
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥 + 𝛥𝑥𝐴 + ℎ𝑝𝛥𝑥(𝑇 – 𝑇0)
𝑑𝑞
𝑞𝑥 + 𝛥𝑥 = 𝑞𝑥 + 𝛥𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑇
𝑞 = −𝑘
𝑑𝑥
Haciendo los reemplazos correspondientes se obtiene de las ecuaciones
anteriores la ecuación característica de la aleta:
𝑑2𝑇
− 𝑚2 (𝑇 − 𝑇0 ) = 0
𝑑𝑥 2
ℎ𝑝
𝑚=√
𝑘𝐴
Esta ecuación genera soluciones exponenciales. Para resolverla se homogeniza

con la variable 𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 , (que representa el exceso de temperatura en la aleta
sobre el ambiente) quedando:
𝑑2𝛩
− 𝑚2 𝛩 = 0
𝑑𝑥 2
Cuya solución puede escribirse de dos formas:
𝛩 = 𝐶3 sinh(𝑚𝑥 ) + 𝐶4 cosh(𝑚𝑥)
𝛩 = 𝐶1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑚𝑥
El parámetro m reúne las propiedades físicas y geométricas. El calor se conduce

a lo largo de la aleta y es disipado por convección desde el perímetro de esta.
B. Soluciones Específicas para diferentes Condiciones de Frontera
Aleta de Longitud Infinita
Las condiciones de frontera son:
1. 𝑇 = 𝑇1 en 𝑥 = 0, o bien: 𝛩 = 𝛩1 = 𝑇1 − 𝑇0 en 𝑥 = 0, base de la aleta.
2. Si la aleta es muy larga, la temperatura lejos de la base sería igual a la
ambiente. Esto se expresa de la siguiente forma: 𝛩1 → 0, si 𝑥 → ∞
La condición 2 es incompatible con un crecimiento exponencial, entonces
𝐶1 = 0. Para determinar 𝐶2 , se usa la condición de frontera 1, quedando:
𝛩 = 𝛩1 𝑒 −𝑚𝑥
Se puede ver la progresión de temperatura en la figura siguiente, para diferentes
valores de m. En cada caso, la temperatura decrece con 𝑥 (aumento de la
distancia a la base), 𝑚 aumenta con ℎ y 𝑝, y disminuye con 𝑘 y 𝐴.
Por lo tanto, la temperatura cae más rápidamente en medios con alto coeficiente
convectivo, y de gran perímetro. (Condiciones que favorecen la disipación
convectiva). La temperatura cae lentamente para materiales de alta
conductividad y para aletas con gran área de transferencia. (Condiciones que
favorecen la conducción).
El decrecimiento de la temperatura, aunque exponencial, se aproxima m´as a la
linealidad para casos en que predomina la conducción (k alto). Si la distribución
de temperatura fuera lineal, se habla de aleta ”perfectamente conductora”, por
analogía con el caso de la pared sólida en que la transferencia de calor es solo
por conducción.
El calor total disipado por la aleta hacia el medio es el que pasa a través de la
base de la aleta, y se puede evaluar usando la Ley de Fourier con la distribución
de temperatura encontrada.
𝜕𝑇(0) 𝜕Θ(0)
𝑄 = −𝑘𝐴 = −𝑘𝐴 = Θ1 √ℎ𝑝𝑘𝐴
𝜕𝑥 𝜕𝑥
Aleta de Largo Finito L

Si la aleta tiene un largo finito, la segunda condición de borde debe ser
modificada. Una condición muy usada es la de ”extremo adiabático”, entonces
las condiciones de frontera serían:
1. 𝑇 = 𝑇1 en 𝑥 = 0, o bien: 𝛩 = 𝛩1 = 𝑇1 − 𝑇0 en 𝑥 = 0, base de la aleta.
2. Si el extremo es adiabático (o aislado), se expresa de la siguiente manera
𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 𝑑Θ/𝑑𝑥 = 0, en 𝑥 = 𝐿.
La segunda condición es algo irreal, pero es una forma de no forzar a que la
punta de la aleta tenga una temperatura determinada.
Con la primera condición, la solución es:
Θ = Θ1 [− tanh(𝑚𝐿) sinh(𝑚𝑥 ) + cosh(𝑚𝑥)]
Con esta distribución de temperatura, el flujo de calor evaluado en la base es:
∂Θ(x = 0)
Θ = −𝑘𝐴 = Θ1 √ℎ𝑝𝑘𝐴 tanh(𝑚𝐿)
𝜕𝑥
La tangente hiperbólica crece con 𝑚𝐿 hasta 𝑚𝐿 = 5. Para mayores valores de
𝑚𝐿; 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑚𝐿) = 1. Por lo tanto, para 𝑚𝐿 ≤ 5 , la transferencia de calor desde
la aleta es igual a la de una aleta de longitud infinita.
Para cualquier punto más allá de 𝑚𝑥 = 5, la temperatura sobre la aleta es la del
ambiente, por lo tanto no hay disipación. El exceso de temperatura en el extremo
de la aleta es:
Θ(L) = Θ1 [− tanh(𝑚𝐿) sinh(𝑚𝐿) + cosh(𝑚𝐿)]
el cual se reduce a cero cuando 𝑚𝐿 ≥ 5, es decir, no hay disipaci´on de calor

desde los valores de x en que se alcanza la temperatura ambiente.
Aleta con Temperatura Impuesta en Ambos Extremos

Dada la ecuación de aleta:
𝑑2𝛩
− 𝑚2 𝛩 = 0
𝑑𝑥 2
Suponemos que está en contacto con dos paredes, a distancia 2𝐿. Ponemos el
origen de coordenadas en el centro de la aleta. Los excesos de temperatura en
los extremos son:
Θ(𝑥 = −𝐿) = Θ1
Θ(𝑥 = 𝐿) = Θ2
Usando la solución exponencial, la distribución de temperatura es:
𝛩 = 𝐶1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑚𝑥
en la que las constantes son:

𝑒 −𝑚𝐿 (Θ1 𝑒 −2𝑚𝐿 − Θ2)
𝐶1 =
𝑒 −4𝑚𝐿 − 1
𝑒 −𝑚𝐿 (Θ2 𝑒 −2𝑚𝐿 − Θ1)
𝐶2 =
𝑒 −4𝑚𝐿 − 1
El calor transferido al aire ambiente es:
𝐿
𝑄 = ∫ ℎ𝑝Θ𝑑𝑥
−𝐿
De donde:
𝑄 = (Θ1 + Θ2 )𝐾√ℎ𝑝𝑘𝐴
1 − 𝑒 −2𝑚𝐿
𝐾=
1 + 𝑒 −2𝑚𝐿
C. Eficiencia de aletas (𝜼)

Se ha visto que la temperatura en la aleta decrece con 𝑥, por lo tanto su
efectividad como superficie disipadora es menor que la de la superficie base.
Para tener una medida cuantitativa de la efectividad de una aleta se recurre al
concepto de eficiencia de aleta. Se define esta como:
calor real transferido por la aleta
𝜂:
calor que se transferiría si estuviera a una temperatura uniforme e igual a la de la base
El denominador puede considerarse igual al transferido por la aleta si su

conductividad fuera infinita.
Para la aleta de extremo adiabático, la definición implica:
Θ1 √ℎ𝑝𝑘𝐴 tanh(𝑚𝐿) tanh(𝑚𝐿)

𝜂= =
Θ1 ℎ𝑝𝐿 𝑚𝐿
Se puede ver que esta eficiencia decrece con la longitud de la aleta. En
particular, cuando 𝑚𝐿 > 5, entonces 𝜂 = 1/(𝑚𝐿).
La eficiencia de diversas formas de aleta está tabulada en diversos textos,
permitiendo el cálculo del calor transferido en base a este parámetro y al calor
para 𝑘 = ∞, el cual es fácil de determinar.

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Prácticamente en todas las operaciones que realiza el ingeniero químico

Esta ecuación genera soluciones exponenciales. Para resolverla se homogeniza

El parámetro m reúne las propiedades físicas y geométricas. El calor se conduce

Aleta de Largo Finito L

el cual se reduce a cero cuando 𝑚𝐿 ≥ 5, es decir, no hay disipaci´on de calor

Aleta con Temperatura Impuesta en Ambos Extremos

en la que las constantes son:

C. Eficiencia de aletas (𝜼)

El denominador puede considerarse igual al transferido por la aleta si su

Θ1 √ℎ𝑝𝑘𝐴 tanh(𝑚𝐿) tanh(𝑚𝐿)

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