Calculo 3 (1) Guia Dif PEP Rec

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo III para Ingeniería

“Diferenciabilidad: Preparación PEP1 Recuperativa”
Tutor: Javier León Paredes Fecha: 08 de Julio del 2019
1. Derivadas Parciales
𝑥𝑦
1. Sea 𝑢 = , muestre que 𝑢 satisface la ecuación:
𝑥+𝑦
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 2
1
2. Sea 𝑢 = , probar que 𝑢 satisface la ecuación:
√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢

+ + =0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
2. Regla de la Cadena
1. Sean 𝑓: ℝ2 → ℝ y 𝑔: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥, 𝑔(𝑥)) = 𝑥 sen(𝑔(𝑥)). Sabiendo que 𝑔(1) = 0 y que

𝑓𝑥 (1, 0) = 1, calcular 𝑔′ (1)
2. Sea 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) de clase C2, deduzca que:
𝑔′′ (𝑡) = 𝑓𝑥𝑥 (𝑥, 𝑦)(𝑥 ′ )2 + 2𝑓𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑥 ′ 𝑦 ′ + 𝑓𝑦𝑦 (𝑥, 𝑦)(𝑦 ′ )2 + 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑥 ′′ + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑦′′
3. Una función 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) se dice que es armónica si tiene derivadas parciales de segundo orden,
continuas y además
𝑧𝑥𝑥 + 𝑧𝑦𝑦 = 0
𝑥 𝑦
a) Sean 𝑢 = 2 2 , 𝑣 = 2 2. Pruebe que
𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦
i) 𝑢 y 𝑣 son armónicas.
2
ii) (𝑢𝑥 )2 = (𝑣𝑦 )
2
iii) (𝑢𝑦 ) = (𝑣𝑥 )2
iv) 𝑢𝑥 𝑣𝑥 = −𝑢𝑦 𝑣𝑦
𝑥 𝑦
b) Pruebe que si 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función armónica, entonces la función 𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝑓 ( , )
𝑥 2 +𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 2
es también armónica.
3. Planos Tangentes y Recta Normal
1. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie descrita por la ecuación 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 que sea
perpendicular a los planos 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 y 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4.
2. Considere la superficie 𝑆 definida por la ecuación 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦 − 𝑥 = 3. Hallar todos los puntos de

esta superficie en que los planos tangentes allí sean paralelos al plano 2𝑥 + 𝑧 = 8.
3. Pruebe que la recta normal en cualquier punto al cono 3𝑥 2 + 3𝑦 2 = 𝑧 2 intersecta al eje 𝑍.

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4. Derivación Implícita
1. Probar que la ecuación 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧𝑒 𝑧 = 0 define implícitamente la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en una

vecindad de V de (1,1). Establecido lo anterior, conteste
a) A partir de la ecuación dada, calcular 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) y 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) con (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉(1, 1) y también
𝑓𝑥 (1, 1) y 𝑓𝑦 (1, 1)
b) Determine en qué dirección 𝑢̂ la derivada direccional de 𝑓 en (1, 1) es igual a cero.
2. Si 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) define una función diferenciable, y 𝑧 se define implícitamente como una función
de 𝑥 e 𝑦 por la ecuación 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 con los atributos pedido en el teorema de la función
implícita. Pruebe que 𝑢 tiene primeras derivadas parciales de 𝑥 e 𝑦 dadas por:
𝜕(𝑓, 𝑔) 𝜕(𝑓, 𝑔)
𝜕𝑢 𝜕(𝑥, 𝑧) 𝜕𝑢 𝜕(𝑦, 𝑧)
= ; =
𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦 𝜕𝑔
𝜕𝑧 𝜕𝑧
3. Si 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑧 2 , y 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) se define implícitamente por la ecuación 𝑥 2 𝑦 − 3𝑧 + 8𝑦𝑧 3 = 0.

Calcule, de acuerdo con el ejercicio anterior:
𝜕𝑢 𝜕𝑢
(1, 0, 0) ; (1, 0, 0)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
4. Probar que el sistema:
𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9
]
𝑥𝑦 + 𝑧 = 0
Define implícitamente 𝑥 = 𝑥(𝑧) e 𝑦 = 𝑦(𝑧) en la vecindad 𝑉(2, 1, −2) y obtener 𝑥 ′ (𝑧) e 𝑦 ′ (𝑧)
5. Valores Extremos
1. Determine y clasifique todos los puntos críticos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 4 + 𝑦 4 − 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 2
2. Determinar los puntos de la curva definida por las ecuaciones 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 con

𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 − 1 = 0 más cercanos al origen de coordenadas y calcular el valor de la distancia
mínima.
3. Usando el método de los multiplicadores de Lagrange para un problema apropiado, muestre que si
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜋/2, entonces sen 𝑥 sen 𝑦 sen 𝑧 ≤ 1/8.
4. Un avión consume combustible según la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 . El avión se mueve sobre la

esfera terrestre asociada a la ecuación de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2 (𝑅 > radio de la Tierra).
Determinar el máximo consumo de combustible posible.

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𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢

1. Sean 𝑓: ℝ2 → ℝ y 𝑔: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥, 𝑔(𝑥)) = 𝑥 sen(𝑔(𝑥)). Sabiendo que 𝑔(1) = 0 y que

2. Sea 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) de clase C2, deduzca que:

3. Planos Tangentes y Recta Normal

2. Considere la superficie 𝑆 definida por la ecuación 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦 − 𝑥 = 3. Hallar todos los puntos de

3. Pruebe que la recta normal en cualquier punto al cono 3𝑥 2 + 3𝑦 2 = 𝑧 2 intersecta al eje 𝑍.

1. Probar que la ecuación 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧𝑒 𝑧 = 0 define implícitamente la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en una

3. Si 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑧 2 , y 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) se define implícitamente por la ecuación 𝑥 2 𝑦 − 3𝑧 + 8𝑦𝑧 3 = 0.

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1. Determine y clasifique todos los puntos críticos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 4 + 𝑦 4 − 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 2

2. Determinar los puntos de la curva definida por las ecuaciones 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 con

4. Un avión consume combustible según la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 . El avión se mueve sobre la

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