3.3.

BASES CONCEPTUALES:

3.3.1. ORIENTACIÓN Y PROYECCIÓN DE PLANOS EN EL

ESPACIO

En los afloramientos de macizos rocosos observamos diferentes

estructuras geológicas como (fallas, estratos, pliegues, discontinuidades,
etc) las cuales pueden ser consideradas en dos dimensiones como
planos. La orientación de estos planos en el espacio se realiza con la
ayuda de una brújula que mide la dirección en horizontal respecto al
norte magnético y el buzamiento en el plano vertical perpendicular a la
dirección.

Para tener bien orientado el plano, por tanto, es necesario medir ambos
ángulos, dirección y buzamiento. Otra posibilidad para definir este mismo
plano en el espacio, es medir su ángulo de buzamiento y el sentido de
buzamiento del mismo con respecto al norte, o sea, la orientación de la
línea perpendicular a la línea de dirección.

3.3.1.1. DIRECCIÓN Y BUZAMIENTO REAL DEL PLANO 

A. Dirección del plano.

Una línea horizontal inscrita en el plano recibe el nombre de línea de

dirección y corresponde a la intersección entre el plano y un plano
horizontal imaginario. El ángulo de dirección del plano corresponde
al ángulo formado entre esta línea horizontal y el norte geográfico.
En el afloramiento se mide con la brújula y generalmente se
representa con la letra griega ẟ.

En el bloque diagrama correspondiente a la figura 2, la línea XY

representa una línea de dirección del plano. Su dirección es el
ángulo que forma con respecto al norte geográfico y como cualquier
dirección tiene dos sentidos, que difieren entre si 180º. Para
describir esta dirección existen dos alternativas:
  Mediante una notación por cuadrantes, contando desde el norte
hacia el este o hacia el oeste. En este caso debemos decir el
punto del que partimos (norte), a continuación, el valor del
ángulo y seguidamente hacia donde estamos contando (este u
oeste). Una dirección sería por ejemplo N32ºE, N20ºO, etc.

 O bien asignando a la dirección norte un valor de 000º o 360º,

siempre con tres dígitos. En el caso de que no se especifique, se
entiende que el ángulo de dirección está contado desde el norte
hacia el este, en el sentido de las agujas del reloj. Las
direcciones anteriores en este caso serían 032º y 340º.

B. BUZAMIENTO REAL DEL PLANO

Se define como el ángulo que forma este plano con la horizontal,

medido según la línea de máxima pendiente del plano, por tanto,
medido en el plano vertical que es perpendicular a la línea de
dirección del plano (Fig. 3). Se representa con la letra β. Para que el
valor de este ángulo sea correcto, es necesario especificar su sentido:
34º S, 45º E, 82º N, etc, ya que cualquier plano con una dirección
dada puede buzar en dos sentidos opuestos. Por ejemplo, un plano
con dirección 000º, puede buzar al este o al oeste, por tanto, hay que
especificar el sentido de buzamiento.

Figura N° 3: Representación de un plano en tres dimensiones

 Fuente: Babín R. y Gomez D. (2010)

3.3.1.2. BUZAMIENTO Y SENTIDO DE UN PLANO. BUZAMIENTO

APARENTE

A. DIRECCION DEL BUZAMIENTO

Es el ángulo que forma la proyección en la horizontal de la línea de

máxima pendiente del plano con el norte geográfico. Por tanto, su
valor angular está situado a 90º del valor angular correspondiente a la
dirección del plano. Se representa con las letras sβ (Fig. 4).

Figura N° 4: plano orientado en el espacio mediante sentido de buzamiento y

ángulo de buzamiento

Fuente: Babín R. y Gomez D. (2010)

 A partir de esta definición se deduce que cualquier plano se puede
orientar en el espacio mediante su sentido de buzamiento y su ángulo
de buzamiento. En este caso, no es necesario añadir al valor del
ángulo de buzamiento su sentido, ya que este es conocido. Tomando
como ejemplo un plano de estratificación, según la primera posibilidad
(caso a) el plano sería N 32º E ‐ 25º SE y tomando la segunda (caso
b), el mismo plano sería 122º ‐ 25º, siendo 122º el sentido de
buzamiento y 25º el ángulo de buzamiento. Su sentido es SE, ya que
es el cuadrante que contiene el ángulo de valor 122º. En el caso de
que el plano buzara en sentido contrario, hacia el NO, su sentido de
buzamiento sería 302º, en ambos casos a 90º de la dirección del
plano, bien en un sentido o en otro según hacia donde se incline el
plano.

B. BUZAMIENTO APARENTE

Es el ángulo que forma el plano con la horizontal medido en un plano

vertical, según una dirección cualquiera que no sea perpendicular a la
línea de dirección del plano. Su valor angular siempre es menor que
el correspondiente al buzamiento real. Se representa con la letra β´
(Fig. 3).

El valor del ángulo de buzamiento, sea este real o aparente, está

comprendido entre 0º (horizontal) y 90º (vertical). El máximo valor del
buzamiento aparente estará situado sobre la dirección que coincida
con el sentido de buzamiento real, mientras que el valor mínimo del
buzamiento aparente será cuando se mida este sobre una dirección
que coincide con la dirección del plano.

3.3.2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA

La proyección estereográfica es un método rápido, fácil y eficaz para

resolver problemas geométricos en geología estructural.
 La proyección estereográfica permite proyectar líneas y planos,
determinar la orientación de la línea de intersección de dos planos,
determinar el ángulo entre dos líneas y el ángulo entre dos planos, medir
el ángulo entre una línea y un plano, rodar líneas y planos en el espacio
en torno de un eje vertical, horizontal o inclinado.

Todas las proyecciones permiten la representación de objetos

tridimensionales en una superficie de dos dimensiones. Cualquiera que
sea el sistema de proyección elegido, la representación plana presenta
deformaciones que pueden ser lineales, angulares y superficiales.
Dependiendo de la finalidad de la representación elegiremos uno u otro
tipo de proyección.

3.3.2.1. TIPOS DE REDES ESTEREOGRÁFICAS

Dos tipos de redes son de uso común: la red estereográfica o red de

Wulff y la red de igual área de Lambert o red de Schimidt (ver figura
3). Las dos redes son construidas de forma diferente.

Figura N° 5: a) Red Estereográfica o red de Wulff, b) Red de igual área de Lambert

o red de Schimdt

Fuente: Rowland & Duebendorfer, 1994

A. RED DE WULFF

Es un tipo de proyección azimutal, los términos de red de Wulff o red

estereográfica se refieren a penas a las redes diseñadas en una
proyección estereográfica. El termino estereograma refiere a los
puntos o curvas proyectadas en una red estereográfica.

Reconocida por ser de ángulos correctos y distancias falsas, se usan

para proyección en la cristalografía para definir los ángulos en un
cristal.

PROPIEDADES
 La proyección conserva las relaciones angulares, esto significa
que el ángulo entre las tangentes a dos trazos de círculos
máximos en su punto de intersección es el mismo que el ángulo
entre dos planos representados por los referidos trazos, (ver
figura 4 “a”)
 La proyección estereográfica no conserva el área, círculos
idénticos inscritos en diferentes partes de la esfera de proyección
son representados por círculos de diferentes tamaños en el
estereograma; un circulo con una determinada área parece mejor
si es proyectado próximo de la primitiva del que si es proyectado
en el centro de la red. (ver figura 4 “b”).
 Las áreas de 10° x 10° próximas de los límites de la red de Wulff
no son adecuadas para el tratamiento estadístico de datos,
concentraciones iguales de polo en diferentes posiciones en la
superficie de la esfera de proyección aparecen como
concentraciones desiguales de los polos en el plano de la
proyección estereográfica. (ver figura 4 “c”)

Figura N° 6: Propiedades de la proyección estereográfica de igual ángulo.

Fuente: Marshak & Mitra, 1988

 C. RED DE SCHIMIDT

La proyección de igual área es un segundo tipo de proyección

azimutal que puede ser usado para proyectar el hemisferio inferior en
un plano horizontal. Una proyección de igual área no es una
proyección estereográfica. El termino red de Schmidt refiere una red
diseñada en una proyección de igual área y es distinto de la red
estereográfica. En la práctica, todavía los geólogos tienden a usar el
término red estereográfica indistintamente, para designar tanto a la
red de Wulff con la red Schimidt. Reconocida por ser de distancias
correctas y ángulos falsos, sirve para geología estructural porque se
puede trabajar estadísticamente.

PROPIEDADES
 Caculos idénticos en la esfera de proyección se proyectan como
elipses con varias relaciones axiales, pero con la misma área. (ver
figura 5 “a”)
 Las áreas de 10° x 10° próximas de lo slimites de l red tienen la
misma dimensión que en el centro. (ver figura 5 “b”)

Figura N° 7: Propiedades de la proyección de igual área.

Fuente: Marshak & Mitra, 1988

Teniendo en cuenta las propiedades enunciadas, la proyección de igual

área o Lambert es usada em problemas donde la concentración de
 puntos es significativa, o sea, para análisis de un gran número de
medidas.

3.3.2.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA PROYECCIÓN

ESTEREOGRÁFICA

La proyección estereográfica es un caso especial de proyección azim
utal, que en su principio fue desarrollada por los cristalógrafos. Su car
acterística principal es que el punto fuente usado en su construcción e
stá situado en la superficie de la esfera. En geología, el plano de proy
ección usado para construir la proyección estereográfica pasa por el c
entro de la esfera, y se corresponde con su plano ecuatorial.

Figura N° 8: A. Plano en tres dimensiones, orientado mediante dirección y

buzamiento. B. Proyección esférica del plano, en el hemisferio inferior de la esfera.
C. Estereograma del plano

Fuente: Babín R. y Gómez D. (2010)

Vamos a visualizar la construcción de una proyección estereográfica
(Fig. 8). Imaginemos un punto marcado en el hemisferio inferior de
nuestra esfera de cristal, que representa la proyección esférica de un
punto en el espacio. La proyección estereográfica de este punto se
construye dibujando una línea de proyección que conecte el punto
situado en el hemisferio inferior, con el zenit de la esfera colocado en
la parte superior de la misma. La intersección de la línea de
proyección con el plano ecuatorial (plano de proyección) de la esfera,
es la proyección estereográfica de ese punto. En Geología Estructural
siempre proyectamos desde el hemisferio inferior de la esfera y el
elemento representado (línea o plano) pasa por el centro de la esfera
de referencia, mientras que en Cristalografía se utiliza el hemisferio
superior. Los planos intersectan el hemisferio inferior como círculos
mayores, y las líneas, como puntos. Cada punto de un círculo mayor
en el hemisferio inferior, unido con el zenit, da a su vez un punto en el
círculo ecuatorial de proyección. La unión de todos estos puntos
muestra la proyección estereográfica (estereograma) del plano que
pasa por el centro de la esfera y que corresponde a un círculo mayor.
Hemos reducido una geometría tridimensional a dos dimensiones.

La intersección del plano ecuatorial (plano de proyección) con la

esfera, se denomina “circunferencia primitiva”, mas abreviado, la
primitiva. Tiene el mismo radio que la esfera de proyección original y
todos los puntos en la superficie del hemisferio inferior quedan
proyectados como puntos en o dentro de la primitiva. La proyección
estereográfica es una de las mejores técnicas para resolver
problemas geométricos en Geología Estructural. Se diferencia de la
proyección ortográfica en un punto fundamental: ésta preserva las
relaciones espaciales entre las estructuras, mientras que la
estereográfica trabaja con planos y líneas sin tener en cuenta sus
relaciones espaciales, únicamente las angulares.

El uso de la proyección estereográfica es, en muchos casos,

preferible al de la proyección ortográfica, ya que es capaz de resolver
gran cantidad de problemas geométricos con mayor facilidad y
rapidez, siempre que en ellos solo intervengan valores angulares.
Ambos tipos de proyecciones son complementarios, de forma que los
datos angulares se tratan con proyección estereográfica y los
escalares, mediante proyección ortográfica o de planos acotados.
En la práctica, la proyección estereográfica de líneas y planos se lleva
a cabo con ayuda de una falsilla de proyección (stereographic net).
Esta falsilla o estereoneta está formada por un conjunto de
proyecciones de círculos mayores y menores que ocupan el plano
ecuatorial de proyección de la esfera de referencia. Ambos conjuntos
de círculos están espaciados con intervalos de 2º, apareciendo
marcados con un trazo más grueso los que corresponden a valores
múltiplos de 10 (Fig. 9).

Figura N° 9: Falsilla de proyección estereográfica (falsilla de Wulff) o estereoneta.

Conserva los ángulos

Fuente: Babín R. y Gómez D. (2010)

Los círculos mayores representan una familia de planos con dirección

norte ‐ sur, cuyos buzamientos varían desde 0º a 90º en ambos
sentidos. Estos planos se cortan según una línea horizontal
representada por el norte o el sur de la falsilla.
 Los círculos menores son aquellos a través de los cuales medimos las
direcciones de los distintos planos y líneas en la proyección. También
se utilizan para hacer rotaciones de distintos elementos estructurales
alrededor de ejes horizontales, verticales o inclinados. Representan la
proyección sobre el plano ecuatorial de un conjunto de planos que no
pasan por el centro de la esfera, espaciados de 2º en 2º. Cada
círculo menor corresponde al corte de una superficie cónica con la
esfera, cuyo ápice está situado en el centro de la esfera y su altura
coincide con el radio de la falsilla. La combinación de círculos
mayores y menores constituye un ábaco perfectamente apto para la
proyección estereográfica de líneas y planos.

3.3.3. PROYECCION POLAR DE UN PLANO

Cuando en un estereograma aparecen gran cantidad de círculos

mayores correspondientes a proyecciones β de planos, es difícil hacer
una lectura y posterior interpretación, ya que las trazas de los diferentes
planos se cruzan entre si y son difíciles de separar e identificar.

Afortunadamente, es posible representar la orientación de un plano

mediante la normal a ese plano (Fig. 10). La normal es la línea
perpendicular al plano y por tanto se proyecta como un punto que recibe
el nombre de polo del plano y por definición, se sitúa a 90º del centro del
círculo mayor que representa al plano.

Figura N° 10: a) Proyección en el hemisferio inferior de la esfera, de un plano y su

polar. B) Estereograma del plano anterior y de su polo.
 Fuente: Babín R. y Gómez D. (2010)
En la proyección esférica de la figura 10 A, se observa la relación entre
la proyección ciclográfica del plano (representada por un círculo mayor)
y su normal (representada por un punto). Este corresponde al punto de
corte del hemisferio inferior de la esfera con la línea de esa orientación
que pasa por su centro, y que es perpendicular al plano. El
estereograma de la figura 10 B, muestra la relación ortogonal del plano y
su polo.

La distancia del polo al centro de la primitiva es r∙tan (β/2) siendo β el

buzamiento del plano y r el radio del estereograma. Cada plano tiene
una única normal que se proyecta como un único punto en la proyección,
por tanto, podemos representar la orientación de cualquier plano
mediante su polo. Los diagramas que representan polos de planos se
conocen como diagramas π o diagramas de polos.
 La relación de perpendicularidad entre normal y plano ha de ser
recordada siempre. Esto significa que si el plano tiene un buzamiento de
20º, su línea perpendicular (la normal al plano) tendrá una inmersión de
90‐20 = 70º. La normal de un plano vertical será una línea horizontal que
se proyectará sobre la circunferencia primitiva. La normal de una
superficie horizontal será una línea vertical, por tanto, el polo se
proyectará en el centro de la falsilla. Las relaciones ortogonales
plano/normal significan que la dirección de la normal está a 90º de la
dirección del plano, en el sentido opuesto al buzamiento del plano.

3.3.4. TIPOS DE ROTURA

En cualquier parte de la superficie terrestre la gravedad actúa

continuamente sobre los materiales, que tienden a dirigirse hacia niveles
más bajos. El termino más comúnmente usado para designar los
movimientos producidos en los taludes es el de deslizamiento. Dicho
término implica movimientos de masas formadas por diferentes tipos de
materiales: rocas, suelos, rellenos artificiales o también combinaciones
de los mismos, a través de una superficie determinada denominada de
rotura. La velocidad con que se desarrollan las roturas de los taludes es
variable, dependiendo de la clase de material involucrado en los mismos
y del tipo de deslizamiento. El movimiento puede ser progresivo,
produciéndose inicialmente una rotura local, que va progresando hasta
convertirse en una rotura generalizada.

Desde el punto de vista mecánico, las clases de roturas que se suelen

producir mayoritariamente en los taludes en roca se pueden dividir en
cuatro grupos, a saber:

 Roturas por deslizamiento según uno o varios planos de

discontinuidad que afloran en el talud y que incluirán las roturas
planas y en cuña.
 Roturas por movimiento relativo de bloques a través de planos de
discontinuidad preexistentes que no afloren necesariamente y que
 incluirán las roturas por vuelco, algunas roturas que siguen
discontinuidades paralelas al talud y las roturas de varios bloques.
 Roturas producidas parte por deslizamiento a lo largo de planos de
discontinuidad y parte por rotura de la roca y que incluirán las roturas
en escalón, roturas mixtas, roturas complejas (como roturas por
deslizamiento y vuelco o el denominado “kink-band slumping”) y
otras roturas que siguen parcialmente discontinuidades paralelas al
talud (como la rotura por pandeo).
 Roturas que se producen siguiendo una superficie circular, sin
relación importante con los planos de junta, y que en términos
generales se denominan roturas circulares.

Dentro de este encuadre general, los mecanismos de rotura que se

producen de manera más frecuente en el ámbito de las ingenierías civil y
minera son la rotura plana, la rotura en cuña, la rotura por vuelco, la
rotura circular y la rotura siguiendo discontinuidades paralelas al talud.
En la Figura 11 se presentan, de acuerdo con las propuestas iniciales de
Hoek y Bray (1974) con leves modificaciones, los esquemas
tridimensionales de la geometría básica de estos tipos de
deslizamientos, junto con las condiciones cinemáticas necesarias, pero
no suficientes, para que estos mecanismos se puedan producir, y
representadas mediante el uso de la proyección estereográfica.

Figura N° 11: Representación de los tipos más comunes de rotura en taludes:

proyección estereográfica tridimensional. Modificada a partir de Hoek y Bray (1974)
 Fuente: Ramírez P. y Alejano L.
Tal y como muestra la Figura 11, estas roturas consisten en:

La rotura plana se produce siguiendo una discontinuidad con dirección

aproximadamente igual a la del talud pero que buza menos que éste,
quedando descalzado por tanto un prisma de roca. Normalmente
requiere superficies laterales de despegue. Se ilustra este mecanismo
en la Figura 12. a.

La rotura en cuña se produce siguiendo dos planos de discontinuidad, de

manera que el buzamiento de la línea de intersección de ambos planos
tenga un buzamiento inferior al ángulo de talud, lo que descalza un
tetraedro o cuña de roca que podrá eventualmente deslizar. Se ilustra
este mecanismo en la Figura 12. b.

Figura N° 12: Esquemas de los tipos más comunes de rotura de taludes. a) R. plana,
b) R. en cuña, c) R. por vuelco y d) R. circular

Fuente: Ramírez P. y Alejano L.

La rotura por vuelco se produce si se tiene una familia de

discontinuidades muy persistentes y relativamente poco espaciadas que
tengan un rumbo paralelo al del talud (típicamente estratificación o
esquistosidad), pero que bucen contra éste con una inclinación más bien
alta. A veces este fenómeno se ve catalizado por la presencia de otra
familia de discontinuidades perpendicular a la anterior que permita la
formación de una base escalonada sobre la que vuelquen los prismas de
roca que se formen. Se ilustra este mecanismo en la Figura 12. c.

La rotura circular suele tener lugar en macizos rocosos de mala calidad

o meteorizados o en suelos. En este caso la rotura por deslizamiento se
produce siguiendo una trayectoria circular. Se ilustra este mecanismo en
la Figura 12. d.

Las roturas que siguen discontinuidades paralelas al talud, incluyen

diversos mecanismos (rotura por cortante en la base, roturas con
expulsión de bloque, pandeos), que tienen en común el hecho de que la
mayor parte de la inestabilidad va asociada al deslizamiento por las
discontinuidades antedichas. Se ilustra un ejemplo de este tipo de
mecanismos en la Fig. 13.

Figura N° 13: Rotura por discontinuidades paralelas al talud.

Fuente: Ramírez P. y Alejano L.

Queda pues claro que, salvo en el caso de la rotura circular, que

normalmente se produce en taludes en suelos, en escombreras o en
macizos rocosos muy fracturados y de muy mala calidad, el resto de las
roturas anteriormente citadas tienen lugar a lo largo de discontinuidades
cuya resistencia condiciona la rotura.
3.3.5. CONO DE FRICCIÓN

El cono de fricción es una combinación del método de cálculo cinemático

y cinético que representa la forma convencional de solución, que se
utiliza para encontrar la potencial superficie de deslizamiento de fracaso.
El principio de la solución se muestra en la siguiente figura.

Figura N° 14: Cono de fricción

Fuente: CGI

Las fuerzas de la resistencia se describen utilizando siguiente condición:

Figura N° 15: Cono de fricción para un bloque que descansa sobre un plano inclinado
(superficie de deslizamiento poligonal)
 Fuente: Goodman, 1989

N tg ∅=c A+W cosβ tg ∅

Dónde:

A: Área de bloques que descansa sobre la superficie de deslizamiento

C: Cohesión sobre la superficie de deslizamiento
W: Vector debido al peso propio del bloque (resultante peso propio del
bloque de roca)
N: Normal al plano de deslizamiento
Ʈ: Resistencia cortante sobre el plano
Β: Ángulo de inclinación
Φ: Ángulo de fricción interna

Figura N° 16: Representación estereográfica del cono de fricción

 Fuente: Oyanguren y Monge, 2004

3.3.6. PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS PARA EL

ANÁLISIS CINEMÁTICO DE LABORES SUBTERRÁNEAS

Existen dos mecanismos de falla: Falla por gravedad (si la cuña contiene
al centro de la red estereográfica) y falla por deslizamiento (si la cuña no
contiene al centro de la red estereográfica). Para el análisis solo se
trabaja con un solo cono de fricción (ángulo de fricción interna de la
masa rocosa del túnel) y se coloca en el centro de la red de Wulff. El
ángulo es medido desde afuera (es decir del centro seria 90-ángulo de
fricción).

3.3.6.1. CAÍDA DE CUÑAPOR GRAVEDAD:

Para que un bloque de roca puede estar libre y caer del techo o de las
paredes de una excavación, es necesario que este bloque esté
separado de la masa de roca que lo rodea por la intersección, de por
lo menos tres planos estructurales o de discontinuidad.

Esta condición se puede observar representados en la proyección

estereográfica y mostrado en la Figura 20, donde el vértice de la cuña
se representa por el centro de la red estereográfica y si esta cae
 dentro de la intersección de los planos de discontinuidad, entonces la
cuña caerá a causa de la gravedad.

Figura N° 20: Falla por caída por gravedad

Fuente: CGI

La siguiente figura muestra la identificación en redes estéreo del

hemisferio inferior de estabilidad de sujeción para cuñas simples: (a)
cuña poco profunda liberada en todas las condiciones, (b) cuña con
ángulo ápex cercano al ángulo de fricción - estable si está confinada;
(c) cuña empinada estable a menos que la relajación sea extrema
(después de Diederichs 1999).

Figura N° 21: Identificación en redes estéreo del hemisferio inferior de estabilidad

de sujeción para cuñas simples: (a) cuña poco profunda liberada en todas las
condiciones, (b) cuña con ángulo ápex cercano al ángulo de fricción - estable si está
confinada; (c) cuña empinada estable a menos que la relajación sea extrema

Fuente: CGI

3.3.7.2. CAÍDA DE CUÑAS POR DESLIZAMIENTO:

Cuando los tres planos al interceptarse forman la cuña sobre el

estereograma y esta no incluye su centro de este, quiere decir que el
modo de falla de la cuña será por deslizamiento ya sea a partir del
techo o de los hastiales del túnel.

Figura N° 22: Caída de cuñas por deslizamiento

Fuente: CGI
Las condiciones de estabilidad de la cuña dependerán también del
ángulo de fricción del macizo rocoso el cual está representado por
medio del cono de fricción de manera inversa en el estereograma. Si la
cuña formada intercepta una parte del cono de fricción, la cuña se
deslizará como muestra la Figura 22, sin embargo, si la cuña formada
queda por fuera del cono de fricción sus condiciones serán estables.