INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

PROGRAMACION LINEAL
MODELOS
Los modelos son abstracciones y representaciones de la realidad que facilitan el análisis de
las situaciones reales. Son herramienta para la toma de decisiones y son aplicables a todas
las áreas de la empresa.

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La formulación de modelos de PL es un proceso mediante el cual un problema se puede
representar mediante un enunciado matemático, utilizando un conjunto de variables,
operadores matemáticos (+, -, *, ÷) y relaciones entre dos o más variables (≤, ≥, =).
Todo modelo de PL debe respetar la siguiente estructura:

Son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo

Definición de el modelo, sobre los que se tomarán decisiones y se encuentran bajo
variables de el control de quien toma las decisiones
decisión Ejemplos
• Cantidad de unidades a producir
• Cantidad de soles a invertir
• Cantidad de acciones a comprar
• Cantidad de encuestas a realizar
• Cantidad de personas a contratar
• Cantidad de medios publicitarios a contratar
• Cantidad de productos a fabricar o comprar
Es la expresión matemática que indica el objetivo o medida de
Función desempeño a optimizar.
Objetivo Se puede maximizar o minimizar la expresión, de acuerdo con el
objetivo que represente
¿Qué se maximiza?
Ingresos, producción, utilidades, producción.
Todo aquello que genere beneficios.
¿Qué se minimiza?
Costos, tiempo, riesgo.
Todo aquello que NO genere beneficios.
Restricciones Corresponde a los requisitos que deben cumplir las variables de
decisión. Pueden ser limitaciones, requerimientos o condiciones de
balance. Restringen las variables de decisión a un rango de soluciones
factibles. Ejemplos:
• Limitaciones de capital para inversiones.
• Capacidad de producción de las máquinas.
• Cantidad de insumos en el mercado.
• Cantidad de personal requerido.
• Cantidad mínima de compra.
• Composición de alimentos.
Restricción de Indican que la variable debe de ser positiva.
no negatividad
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Metodología sugerida:

La modelación o formulación es el arte de traducir un problema narrado en un lenguaje

matemático. Considere las siguientes recomendaciones.
1. Lea el problema hasta comprenderlo en su totalidad.
2. Identifique y escriba la función objetivo en función de las variables de decisión.
Recuerde que el objetivo corresponderá siempre a una situación de MAXIMIZACIÓN
o MINIMIZACIÓN.
3. Describa las variables de decisión del problema. Recuerde indicar unidades (cajas,
unidades, docenas, hectáreas, etc.), el objeto (soles, sillas, acciones, producto, etc.),
acción (verbo) y temporalidad si se indica en el problema (mes, semana, día, etc.).
4. Identifique y escriba cada una de las condiciones que deben cumplir las variables,
correspondientes a las restricciones estructurales. Deben expresarse en función de
las variables de decisión. Recuerde empezar el bloque de restricciones con la
expresión “SUJETA A”. Además, debe asignar identificación (nombre o número) a
cada restricción, y respetar la sintaxis de las restricciones (variables al lado izquierdo
de la desigualdad, constantes al lado derecho).
5. Cierre el modelo escribiendo la restricción de no negatividad.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE FORMULACIÓN

1. Confecciones
En un taller de confecciones se quiere establecer el plan de producción semanal de
casacas deportivas con mayor demanda, de modo que el costo sea el menor posible.
Hay dos modelos a producir: casacas del modelo clásico y casacas del modelo juvenil,
con costos unitarios de S/ 50 y S/ 30, respectivamente. Durante su confección, cada
casaca pasa por dos áreas: confección y acabado:
▪ Cada casaca clásica requiere 1/4 hora en el área de confección, mientras que cada
casaca juvenil requiere de 1/5 hora; la próxima semana se tendrán disponibles 48
horas en esta área.
▪ En el área de acabados se dispondrá de 2 operarios, cada uno trabaja jornadas
completas de 8 horas de lunes a viernes y los sábados solo trabajan media jornada.
Las casacas clásicas requieren de 24 minutos para las revisiones de acabado y las
juveniles requieres de 6 minutos de trabajo de un operario.
Además, se debe tener en cuenta que:
▪ Por cada 2 casaca juvenil, por lo menos se deberán producir 3 casacas clásicas.
▪ Máximo el 80% de los costos totales deben corresponder al modelo clásico.
▪ La demanda máxima de casacas juveniles se estima en 110 unidades.
▪ La producción total debe ser como mínimo 200 casacas
Formule el modelo correspondiente al caso descrito

2. Finanzas
Mariano acaba de ganar medio millón de soles jugando a la lotería, y quiere invertir lo
ganado comprando acciones, de manera que maximice su rendimiento. Sin embargo,
para reducir el riesgo propio de invertir en bolsa, no desea colocar más del 40% de su
dinero en ninguna de las opciones que ha identificado. Además, por cada 2 acciones
adquiridas de la empresa B, máximo deberá comprar 3 de la empresa C. Del mismo
modo, el dinero invertido en la empresa A, no debe superar el 60% de su inversión total.
Datos por empresa
Precio por Oferta Ganancia
Empresa
acción máxima esperada
A S/. 14 15,000 acciones 20 %
B S/. 25 22,300 acciones 13 %
C S/. 18 10,500 acciones 25 %
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3. Producción
Una compañía dedicada a ensamblar equipos de cómputo produce según la
disponibilidad de mano de obra e insumos.
El próximo mes se ensamblarán dos modelos de computadoras portátiles buscando
la mayor utilidad total. En el cuadro, se muestran los componentes necesarios por
modelo y la disponibilidad de cada componente, así como otros datos importantes:

Datos por modelo

Componente Modelo 1 Modelo 2 Disponibilidad
Pantalla LED X X 800 u
Cámara web - X 500 u
Lector Blu-ray X - 800 u
Ensamble 35 min 30 min 600 horas
Precio ($) 500 450
Costo ($) 280 250
Demanda mínima 250 150

Máximo el 80% de la producción corresponderá al modelo 2; y que por cada

docena de computadoras modelo 1 ensambladas, por lo menos se fabricarán
10 unidades del modelo 2.

4. Programación de trabajadores
Un problema usual en las estaciones de bomberos consiste en planificar las horas de
trabajo de los voluntarios, de manera que se minimice el número total de bomberos
asignados.
Requerimiento durante cada período del día
Período Horario Cantidad de bomberos
1 06.00-10:00 6
2 10:00-14:00 10
3 14:00-18:00 14
4 18:00-22:00 8
5 22:00-02:00 8
6 02:00-06:00 6
El turno de cada bombero es de doce horas consecutivas, y se debe tener en cuenta
que solo podrán comenzar su turno al inicio de cualquier período, es decir, ningún
bombero podría iniciar su turno a las 9:00, 11:00, etc.

5. Acciones.
La señora Daisy acaba de heredar 300 000 nuevos soles de su querido esposo Donald y
se la ha ocurrido que, considerando la estabilidad económica del país, sería una muy
buena alternativa invertir en el mercado bursátil y le solicita a usted que la oriente acerca
de la mejor forma de realizar dicha inversión. Usted hábilmente ha identificado las
siguientes alternativas de inversión en el mercado bursátil:
Tipo de inversión Precio por acción (soles) Ganancia por acción (soles)
Mineras 60 8.5
Industria textil 30 4.3
Construcción 54 6.0
• Por cada 10 acciones que adquiera en las acciones del sector construcción deberá
comprar no menos de 25 acciones de las empresas de la industria textil.
• La inversión en el sector minero deberá ser la más fuerte por lo que se recomienda invertir
por lo menos la mitad de la inversión total en este sector.
• Las empresas de construcción constituyen un tipo de inversión con cierto riesgo por lo que
debería invertirse en este sector máximo 30% del capital.
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6. Inventarios
En octubre una automotriz debe planear su producción del siguiente año para satisfacer
la demanda de su modelo más económico en función de los pedidos anticipados.
En la tabla 1.4 se muestra la demanda en miles de carros para cada bimestre.
Se ha estimado que el costo de tener que mantener un carro de un bimestre al otro, más
los costos del seguro y del personal de vigilancia, es de $420 bimestrales.
Los costos de producción de los vehículos también varían a lo largo del año pues en el
mes de marzo se espera un aumento en los salarios y los costos de los insumos también
se incrementan.
También se han estimado estos costos y se muestran en la misma tabla 1.6. El precio de
venta es el mismo durante todo el año. Al comenzar el siguiente año se dispondrá de
2000 vehículos, este es el inventario inicial y se quiere que para el año siguiente queden
al menos 2200 vehículos.
Por políticas de la empresa, ningún pedido debe quedar sin satisfacerse totalmente.
Demanda y costo
Bimestre 1 2 3 4 5 6
Demanda di 6 3.5 3 3 4 6.5
Costo
18000 19600 19750 20100 20400 21000
Unitario de
producción
Ii: inventario al inicio del bimestre i (i=1..7)
Xi: producción del bimestre i, asumiendo que se realiza al inicio (i=1..6)

7. Publicidad
La Organización Internacional del Trabajo (OIT) se encuentra implementando el programa
SCORE de apoyo a las PYMES, por el cual un equipo de formadores ayudará a desarrollar
herramientas que les permitan incrementar su productividad.
La oficina de marketing de la OIT está organizando la campaña de difusión para el año
2020 y ha considerado publicar anuncios en radio, televisión y revistas, teniendo en cuenta
la siguiente información:
Medio
Información por medio publicitario
Radio Televisión Revistas
Costo por anuncio (en nuevos soles) 600 4000 2400
Número máximo de avisos 320 100 50
Audiencia por aviso 3600 20000 8000

El presupuesto asignado para la campaña publicitaria es S/. 300000. Con el propósito de

lograr el uso homogéneo de los medios publicitarios, se ha establecido lo siguiente:
• Máximo el 60% del presupuesto disponible se puede utilizar para anuncios en revistas.
• Los anuncios en televisión deberán ser no más del 30% del total, mientras que los avisos
por radio corresponderán como mínimo el 25% de todos los avisos publicados.
• Por cada dos anuncios en radio, se deberá publicar por lo menos 3 en revistas.
• Por lo menos el 20% de toda la audiencia debe corresponder a anuncios por televisión.
Se desea lograr el número más alto de audiencia posible.

8. Bell
La Bell fabrica dos tipos de componentes electrónicos: diodos y bobinas. Cada diodo
requiere dos minutos de tiempo en el departamento de ensamble, tres minutos de tiempo
en el departamento de Control de Calidad y un minuto y medio de tiempo en empaque.
Cada bobina requiere tres minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control
de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en Control de Calidad y 400
minutos en Empaque disponibles cada día.
Los diodos dan diez dólares a la utilidad, mientras que las bobinas en 8 dólares.
La compañía desea obtener la máxima utilidad total.
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9. Decisiones de inversión – GANA MUCHO

Uno de los analistas financieros de la compañía de inversiones GANA MUCHO, ha recibido
el encargo de un cliente de invertir 192000 soles. De acuerdo con la investigación
realizada, el analista recomienda que las inversiones se realicen en empresas dedicadas
a la agroexportación, en empresas mineras o en fondos mutuos, correspondiendo el índice
de rentabilidad al que se indica a continuación:
Rendimiento proyectado Inversión
%
6.0 Fondos mutuos
5.4 Agroexportadora Esparraguín
6.5 Agroexportadora Fruta Linda
7.2 Minera Mucho Oro
9.8 Minera Kriptonita
Además, la empresa de inversiones tiene las siguientes políticas:
▪ Las inversiones en fondos mutuos deberán ser máximo el 40% de la inversión que se
realicen en el sector exportación y no puede ser menor al 15% del fondo disponible.
▪ El rendimiento proyectado del sector minero debe ser superior al rendimiento proyectado
de las empresas exportadoras.
▪ No se asignará más de 80000 soles a ningún sector (ni minero ni de agroexportación)

10. Packs de oferta

Dado que ya se realizó el ingreso de la mercadería perteneciente a la nueva temporada, al
área de deportes de una conocida tienda por departamentos, la jefa del área comercial
desea liquidar los pequeños saldos pertenecientes a la temporada pasada asegurando el
máximo ingreso. Luego de evaluar la situación y los inventarios actuales, ha llegado a
determinar que se tienen para liquidar 600 polos y 820 buzos, es por ello, que ha decidido
preparar unos packs para que la rotación sea más rápida y eficiente, quedando
establecidas las ofertas de la siguiente manera:
•Pack oferta 1: consiste de 2 polos más 2 buzos a S/. 220
•Pack oferta 2: consiste de 6 polos más 2 buzos a S/. 340
No se desea ofrecer a sus clientes menos de 80 unidades del Pack 1, ni menos de 35 del
Pack 2. Sin embargo, ciertas políticas de la casa matriz exigen que por cada tres Pack 1
se ofrezcan a lo más dos Pack 2; finalmente, por lo menos el 30% de los buzos disponibles
deben utilizarse en el Pack 2. Formule el modelo correspondiente al caso descrito.

11. Mezcla alimenticia

Un granjero desea obtener al menor costo posible la mezcla alimenticia para su granja, para
ello necesita al menos 100 kg de mezcla de los componentes 1 y 2.
Cada uno de estos componentes contribuye con unos compuestos nutritivos, según la
siguiente tabla, donde también se indican otros datos importantes:
Contenido de compuestos nutritivos por cada componente

Compuesto nutritivo Componente 1 Componente 2 Requisito mínimo (g)

Carbohidratos (g/kg) 50 75 5200

Vitaminas (g/kg) 60 85 7400
Tiempo de preparación (min/kg) 5 7
Costo de materia prima ($/kg) 8 6

Adicionalmente, se deben cumplir las siguientes condiciones:

➢ El tiempo de preparación está limitado a un máximo de 670 minutos
➢ El peso del componente 1 debe ser máximo el 70% del peso total
➢ Por cada kg del componente 1 debe haber como máximo 1.2 kg del componente 2
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a) Formular como un problema de programación lineal para determinar cuántos kg de cada

componente se debe usar.
SOLUCIÓN

Definición de
variables

Función Objetivo

Sujeto a:

1.Peso total

2.Carbohidratos

3.Vitaminas

4.Tiempo de
preparación

5.Porcentaje del
componente 1

6.Proporción de
componentes

b) Resolver considerando sólo las primeras 4 restricciones.