Material Olimp Niv 1 PDF

Primer Nivel 1
Impreso por Pictograma Creativos Ltda. Tel. 5622631

XXXVI Olimpiadas Colombianas
de Matemáticas
PRUEBA CLASIFICATORIA NACIONAL
Primer Nivel - GRADOS 6 y 7
Marzo 14, 2017
Organizadas
por la
Universidad Antonio Nariño OLIMPIADAS
Colombianas de
MATEMÁTICAS
Instrucciones e Información
Generales.
1. No abra este cuadernillo hasta que su profesor lo indique.
2. Esta es una prueba de veinticinco problemas de selección múlti-
ple. Cada problema está seguido por cinco respuestas marcadas
A, B, C, D y E. Sólo una de éstas es correcta.
3. (a) Toda respuesta debe ser consignada en la hoja de respues-
tas.
(b) Para marcar sus respuestas en la hoja, use únicamente
lápiz No. 2.
(c) Si comete algún error al marcar sus datos personales o
alguna respuesta, borre la marca completamente.
4. Su puntaje será calculado por la fórmula: Puntaje = 6C +1.5N ,
donde C es el número de respuestas correctas y N el número de
problemas que deja sin contestar. Evite adivinar sin haber
eliminado 3 de las 5 alternativas ya que en promedio bajará su
puntaje.
5. Los diagramas no están necesariamente dibujados a escala a no
ser que se indique lo contrario. Se ofrecen únicamente como
ayudas visuales.
6. Se permite el uso de papel para operaciones, papel cuadricula-
do, regla y compás. No se permite ninguna otra ayuda.
7. Lea cuidadosamente las instrucciones que se encuentran en la
parte posterior de esta prueba para llenar la hoja de res-
puestas. Es responsabilidad del concursante llenar la hoja co-
rrectamente. Llene sus datos personales antes de que comience
la prueba.
8. Cuando su profesor dé la señal, usted tendrá 90 minutos para
desarrollar la prueba. Use únicamente lápiz No 2.
Integridad de la Competencia.
Para asegurar la integridad de la competencia, cuyos objetivos incluyen
promover el estudio de la matemática e identificar a estudiantes sobre-
salientes en matemáticas, el Comité Organizador de las Olimpiadas Colom-
bianas de Matemáticas se reserva el derecho de reexaminar cualquier estu-
diante antes de aceptar su puntaje como oficial.
Derechos Reservados por la AMS. Totalmente prohibida la reproducción to-
tal o parcial del contenido de esta prueba por cualquier medio sin permiso.
Primer Nivel 2
Un consejo antes de comenzar.
Este no es un examen de colegio. No se trata de pasar o perder. No
se espera que resuelvas todos los problemas. (Si lo logras, ¡verdad
que estás muy bien!) Lo importante es que cada problema que tú
resuelvas representa una verdadera victoria.
Si hay un problema que no resuelves, no tienes por que preocuparte,
pues no pierdes puntos. Ası́ que anı́mate a mostrar tus capacidades.
Este cuadernillo se queda contigo. Los problemas que no alcances a
hacer ahora, los podrás hacer después. ¡Manos a la obra!
1. El partido de tenis profesional más largo de la historia duró 11

horas y 5 minutos. ¿Cuántos minutos duró?
(A) 605 (B) 655 (C) 665 (D) 1005 (E) 1105
2. En el rectángulo ABCD, AB = 6 y AD = 8. El punto M es el

punto medio de AD. ¿Cuál es el área del 4AM C?
(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 24
3. Cuatro estudiantes toman un examen. Tres de sus puntajes son

70, 80 y 90. Si el promedio de sus cuatro puntajes es 70, ¿cuál
es el puntaje restante?
(A) 40 (B) 50 (C) 55 (D) 60 (E) 70
4. Cuando Chemo era un niño, podı́a correr 15 kilométros en 3

horas y 30 minutos. Ahora, como adulto de tercera edad, puede
caminar 10 kilométros en 4 horas. ¿Cuántos minutos más tarda
en caminar un kilométro ahora en comparación con correr un
kilométro cuando era un niño?
(A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 18 (E) 30
5. El número N es un número de dos cifras.
Cuando N se divide por 9, el residuo es 1.

Cuando N se divide por 10, el residuo es 3.
¿Cuál es el residuo cuando N se divide por 11?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7
Primer Nivel 3
6. La siguiente gráfica de barras representa la longitud (en letras)

de los nombres de 19 personas. ¿Cuál es la mediana de las
longitudes de estos nombres?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
7. ¿Cuál de los siguientes números no es un cuadrado perfecto?

(A) 12016 (B) 22017 (C) 32018 (D) 42019 (E) 52020
8. Encontrar el valor de la expresión
100 − 98 + 96 − 94 + 92 − 90 + · · · + 8 − 6 + 4 − 2.
(A) 20 (B) 40 (C) 50 (D) 80 (E) 100
9. ¿Cuál es la suma de los diferentes divisores enteros primos de

2016?
(A) 9 (B) 12 (C) 16 (D) 49 (E) 63
10. Suponga que a ∗ b significa 3a − b. ¿Cuál es el valor de x si
2 ∗ (5 ∗ x) = 1 ?
1 10
(A) (B) 2 (C) (D) 10 (E) 14
10 3
11. Determinar cuántos números de dos cifras satisfacen la siguiente

propiedad: Cuando el número se suma al número obtenido in-
virtiendo sus cifras, la suma es 132.
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 12
Primer Nivel 4
12. El Centro Educativo Antonio Nariño tiene la misma cantidad de

niños que de niñas. Tres cuartos de las niñas y dos tercios de los
niños fueron a una excursión. ¿Qué fracción de los estudiantes
en la excursión eran niñas?
1 9 7 2 14
(A) (B) (C) (D) (E)
2 17 13 3 15
13. Dos números diferentes se seleccionan al azar del conjunto {−2,
−1, 0, 3, 4, 5} y se multiplican los dos. ¿Cuál es la probabilidad
de que el producto sea 0?
1 1 1 1 1
(A) (B) (C) (D) (E)
6 5 4 3 2
14. El auto de Carlos utiliza un galón de combustible cada 35
kilométros y su tanque de combustible contiene 14 galones cuan-
do está lleno. Un dı́a, Carlos empezó con un tanque de com-
bustible lleno, condujo 350 kilométros, compró 8 galones de
combustible y siguió conduciendo hacia su destino. Cuando
llegó, su tanque de combustible estaba lleno hasta la mitad.
¿Cuántos kilométros condujo Carlos ese dı́a?
(A) 525 (B) 560 (C) 595 (D) 665 (E) 735
15. ¿Cuál es la mayor potencia de 2 que es divisor de 134 − 114 ?
(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 (E) 128
16. Ana y Betty están corriendo vueltas alrededor de una pista

ovalada de 400 metros. Empezaron juntas, pero Ana se ade-
lantó, porque ella corre un 25% más rápido que Betty. ¿Cuántas
vueltas habrá corrido Ana cuando pase a Betty por primera vez?
1 1
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 25
4 3
17. Una contraseña de una tarjeta débito en el banco de Federico
está compuesta por cuatro cifras de 0 a 9 que se pueden repetir.
Si ninguna contraseña puede comenzar con la secuencia 9, 1, 1,
¿cuántas contraseñas se pueden generar?
(A) 30 (B) 7290 (C) 9000 (D) 9990 (E) 9999
18. En un evento de atletismo, 216 corredores se inscriben en una

competencia de 100 metros planos. La pista tiene 6 carriles,
por lo que sólo 6 corredores pueden competir a la vez. Al final
de cada carrera, se eliminan los cinco perdedores y el ganador
competirá de nuevo en una carrera posterior. ¿Cuántas carreras
se necesitan para determinar el campeón?
(A) 36 (B) 42 (C) 43 (D) 60 (E) 72
Primer Nivel 5
19. La suma de 25 enteros pares consecutivos es 10, 000. ¿Cuál es

el mayor de estos 25 enteros pares consecutivos?
(A) 360 (B) 388 (C) 412 (D) 416 (E) 424
20. El mı́nimo común múltiplo de a y b es 12, y el mı́nimo común

múltiplo de b y c es 15. ¿Cuál es el mı́nimo valor que puede
tener el mı́nimo común múltiplo de a y c?
(A) 20 (B) 30 (C) 60 (D) 120 (E) 180
21. Una caja contiene 3 fichas rojas y 2 fichas verdes. Las fichas
se extraen de la caja de manera aleatoria, una a la vez sin
reemplazarlas, hasta que se sacan las 3 rojas o hasta que se
sacan las 2 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan
sacado las 3 rojas?
3 2 1 3 2
(A) (B) (C) (D) (E)
10 5 2 5 3
22. El rectángulo DEF A que se muestra a continuación es un
rectángulo de 3 × 4 con DC = CB = BA = 1. El área de
las “alas de murciélago” (el área sombreada) es
1 1
(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 (E) 4
2 2
23. Dos cı́rculos congruentes con centros en los puntos A y B pasan

cada uno por el centro del otro. La lı́nea recta que contiene A
y B se extiende para intersecarse con los cı́rculos en los puntos
C y D. Los dos cı́rculos se intersecan en dos puntos, uno de los
cuales es E. ¿Cuál es la medida en grados de ∠CED?
(A) 90 (B) 105 (C) 120 (D) 135 (E) 150
Primer Nivel 6
24. Las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se usan una vez cada una para escribir un
número de cinco cifras P QRST . El número de tres cifras P QR
es divisible por 4, el número de tres cifras QRS es divisible por
5 y el número de tres cifras RST es divisible por 3. ¿Cuál es la
cifra que corresponde a P ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
25. Un semicı́rculo está inscrito en un triángulo isósceles con base

16 y altura 15 de manera que el diámetro del semicı́rculo está
contenido en la base del triángulo como se muestra. ¿Cuál es
el radio del semicı́rculo?
√ √
√ 120 17 2 17 3
(A) 4 3 (B) (C) 10 (D) (E)
17 2 2
Primer Nivel 7
Primer Nivel 8
INSTRUCCIONES PARA LLENAR LA HOJA DE RESPUESTAS
Al llenar información en la hoja de respuestas USE UNICAMEN-

TE LAPIZ NUMERO 2. De otro modo la lectora no podrá leer
su hoja. No doble ni arrugue la hoja de respuestas.
DATOS PERSONALES.
Antes de comenzar la prueba escriba su apellido, nombre, grado,
edad y sexo en la cara 1 de la hoja de respuestas. En el lado 2 su
correo electrónico, teléfono fijo personal, teléfono celular personal y
documento de identidad. Luego sombree los cı́rculos apropiados. Al
sombrear un cı́rculo asegúrese de llenarlo completamente con marca
negra en lápiz. En el cuadro de APELLIDO escriba primero su(s)
apellido(s) de izquierda a derecha. Luego, en cada columna sombree
el cı́rculo correspondiente a la letra escrita en el respectivo cuadro
superior. Proceda similarmente con el cuadro NOMBRE.
En el cuadro GRADO, sombree el cı́rculo correspondiente al grado
que actualmente cursa. Si usted ya completó estudios secundarios
sombree el cı́rculo correspondiente a 12. Si usted no marca co-
rrectamente su grado, el computador no sabrá si usted es
de primer nivel, de nivel intermedio o de nivel superior y no
podrá calificar su prueba.
Proceda similarmente con los campos EDAD, SEXO, CORREO
ELECTRONICO, TELEFONO FIJO, TELEFONO CELULAR Y
DOCUMENTO DE IDENTIDAD.
En el recuadro que está encima de los cuadros APELLIDO NOM-
BRE firme asegurando que las respuestas corresponden a su propio
trabajo.
En el recuadro que está debajo de los cuadros APELLIDO NOM-
BRE, escriba el nombre completo de su colegio, ciudad y departa-
mento.
RESPUESTAS. Mientras desarrolle la prueba marque su respuesta

a cada pregunta encerrando la letra apropiada sobre el mismo cues-
tionario. Luego, en los últimos 10 minutos de la prueba, marque las
respuestas escogidas en la hoja en el cuadro RESPUESTAS. Si por
ejemplo usted ha decidido que la respuesta correcta de la pregunta
1 es A usted debe sombrear el cı́rculo correspondiente a A en la fila
marcada con 1. Si se equivocó o cambia de opinión en alguna res-
puesta, debe borrar la marca totalmente y luego marcar la nueva
respuesta. Dé una sola respuesta por cada pregunta. Si señala más
de una respuesta ésta será calificada como incorrecta.

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Primer Nivel 1

Impreso por Pictograma Creativos Ltda. Tel. 5622631

1. El partido de tenis profesional más largo de la historia duró 11

2. En el rectángulo ABCD, AB = 6 y AD = 8. El punto M es el

(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 24

3. Cuatro estudiantes toman un examen. Tres de sus puntajes son

4. Cuando Chemo era un niño, podı́a correr 15 kilométros en 3

5. El número N es un número de dos cifras.

 Cuando N se divide por 9, el residuo es 1.

¿Cuál es el residuo cuando N se divide por 11?

6. La siguiente gráfica de barras representa la longitud (en letras)

7. ¿Cuál de los siguientes números no es un cuadrado perfecto?

8. Encontrar el valor de la expresión

(A) 20 (B) 40 (C) 50 (D) 80 (E) 100

9. ¿Cuál es la suma de los diferentes divisores enteros primos de

10. Suponga que a ∗ b significa 3a − b. ¿Cuál es el valor de x si

11. Determinar cuántos números de dos cifras satisfacen la siguiente

12. El Centro Educativo Antonio Nariño tiene la misma cantidad de

15. ¿Cuál es la mayor potencia de 2 que es divisor de 134 − 114 ?

(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 (E) 128

16. Ana y Betty están corriendo vueltas alrededor de una pista

18. En un evento de atletismo, 216 corredores se inscriben en una

19. La suma de 25 enteros pares consecutivos es 10, 000. ¿Cuál es

20. El mı́nimo común múltiplo de a y b es 12, y el mı́nimo común

23. Dos cı́rculos congruentes con centros en los puntos A y B pasan

25. Un semicı́rculo está inscrito en un triángulo isósceles con base

INSTRUCCIONES PARA LLENAR LA HOJA DE RESPUESTAS

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