Resumen Cuando se conocen tres cualesquiera de los cinco pará­

metros 6, a, t, a>f y a>0, los otros dos se pueden hallar a partir

En este capítulo ampliamos el concepto de movimiento cir­ de una de estas ecuaciones. Elija la dirección de rotación que
cular para incluir la rotación de un cuerpo rígido formado va a considerar positiva en todos sus cálculos.
por muchas partículas. Descubrimos que muchos problemas
se pueden resolver por los métodos expuestos anteriormente 8 Las siguientes ecuaciones son útiles cuando se compara
para el movimiento rectilíneo. Los conceptos esenciales se re­ el movimiento rectilíneo con el movimiento rotacional:
sumen a continuación. v = ü)R aR
° Semejanzas entre el movimiento rotacional y el movi­
miento rectilíneo: Otras relaciones útiles:

Rotacional e co a I Ico T la tO lr 2 reo 7 = 2 mR2 Momento de inercia

2

1
Rectilíneo s V a 171 mv F ma Fs —m v2 Fv I = mk2 Radio de giro
2
El ángulo en radianes es la razón entre la longitud de arco
s y el radio R del arco. Simbólicamente podemos escribir: Trabajo = t 9 Trabajo

s
9 — s — 6R L = I(ú Cantidad de movimiento angular
R

El radián no tiene unidades y es la razón entre dos

longitudes. K = -I(ü¿ Energía cinética rotacional
2
La velocidad angular, que es la relación de desplazamien­
to angular, se puede calcular a partir de 9 o de la frecuen­
cia de rotación: r = la Ley de Newton

Velocidad
2irf P = reo Potencia
angular fnedia

La aceleración angular es la tasa de cambio de la rapidez Conseiyación de la cantidad

angular en el tiempo: de movimiento

Aceleración angular

Al comparar 9 con s, co con v y a con a, podemos usar las si­

guientes ecuaciones en problemas de aceleración angular:

Conceptos clave
aceleración angular 226 desplazamiento angular 221 radián 221
aceleración tangencial 227 eje de rotación 226 radio de giro k 229
cantidad de movimiento angular L 235 energía cinética rotacional 228 trabajo rotacional 232
conservación de la cantidad de momento de inercia 228 velocidad angular 223
movimiento angular 236 movimiento traslacional 221

238
Preguntas de repaso
11.1. Elabore una lista de las unidades del SI y el SUEU ción, su energía cinética total está dada por
correspondientes a: velocidad angular, aceleración
1 , 1 ,
angular, momento de inercia, momento de torsión y K = —mv -1— I cj-
energía cinética rotacional. 2 2
11.2. Señale las analogías angulares para las siguientes Lo que determina la forma en que se divide la ener­
ecuaciones para el movimiento de traslación: gía entre efectos rotacionales y traslacionales es la
a. = v0 + at distribución de la masa (el momento de inercia). A
1 r7 partir de estas declaraciones, ¿cuál de los siguientes
b. s = v0t + —a objetos llegará primero rodando hasta la parte infe­
rior de un plano inclinado?
c. F — ma
a. Un disco sólido de masa M
1 9
d. K = —mv b. Un aro circular de masa M
2
e. Trabajo = Fs 11.7. Use como referencia la pregunta 11.6. Si una esfera
f. Potencia = trabajo/r = Fv sólida, un disco sólido, un cilindro sólido y un cilin­
dro hueco, todos con el mismo radio, se sueltan al
11.3. Una esfera, un cilindro, un disco y un aro hueco
mismo tiempo desde la parte superior de un plano
tienen todos la misma masa y giran con velocidad
inclinado, ¿en qué orden llegarán al punto más bajo
angular constante en tomo del mismo eje. Compare
del plano?
sus respectivas energías cinéticas rotacionales, su­
11.8. Un disco cuyo momento de inercia es It y cuya ve­
ponga que sus diámetros exteriores son iguales.
locidad angular es se combina con un disco cuyo
11.4. Explique cómo controla sus movimientos una cla-
momento de inercia es I2 y cuya velocidad angular
vadista para determinar si va a tocar primero el agua
es (o2. Escriba la ecuación de la conservación sim­
con los pies o con la cabeza.
bolizando con u¡ su velocidad angular combinada.
11.5. Si sujetamos a un gato con las patas hacia arriba y
11.9. Tome como referencia la pregunta 11.8. Suponga
lo soltamos hacia el suelo, siempre dará la vuelta y
que (o = ft), y I = 2/,. ¿Cómo son sus velocidades
caerá sobre sus patas; ¿cómo lo logra?
combinadas en comparación con su velocidad ini­
11.6. Cuando se suministra energía a un cuerpo y se pro­
cial? Suponga que col = 3co2 e = /7.
ducen resultados en términos de traslación y rota­

Problemas
Sección 11.3 A celeración angular y Sección 11. 4 Exprese el desplazamiento angular de esa persona
Relación entre m ovim iento rotacional y lineal en radianes, grados y revoluciones.
11.5. Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velo­
11.1. Un cable está enrollado en tomo de un carrete de 80 cidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular
cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este ca­ después de 6 s?
rrete se requieren para que un objeto atado al cable Resp. 62.8 rad/s, 377 rad
recorra una distancia rectilínea de 2 m? ¿Cuál es el 11.6. Una polea giratoria completa 12 revoluciones en 4 s.
desplazamiento angular? Resp. 0.796 rev, 5 rad Calcule la velocidad angular media en revoluciones
11.2. La rueda de una bicicleta tiene 26 in de diámetro. Si por segundo, revoluciones por minuto y radianes
esa rueda describe 60 revoluciones, ¿qué distancia por segundo.
rectilínea recorrerá? 11.7. Un cubo cuelga de una cuerda enrollada con varias
11.3. Un punto localizado en el borde de una gran rueda vueltas en un carrete circular cuyo radio es de 60
cuyo radio es 3 m se mueve en un ángulo de 31°. cm. El cubo parte del reposo y asciende hasta una
Halle la longitud del arco descrito por ese punto. altura de 20 m en 5 s. (a) ¿Cuántas revoluciones giró
R e s p .1.94 m el carrete? (b) ¿Cuál fue la rapidez angular media
11.4. Una persona sentada en el borde de una plataforma del carrete al girar?
de 6 ft de diámetro recorre una distancia de 2 ft. Resp. (a) 5.31 rev; (b) 6.67 rad/s

Capítulo 11 Resumen y repaso 239

 11.8. Una rueda de 15.0 crn de radio parte del reposo y Sección 11. 5 Energía cinética rotacional:
completa 2.00 revoluciones en 3.00 s. (a) ¿Cuál es m om ento de inercia
la velocidad angular media en radianes por segun­ 11.19. Una masa de 2 kg y una masa de 6 kg están unidas
do? (b) ¿Cuál es la velocidad tangencial final de un por una barra ligera de 30 cm. Se hace girar el sis­
punto situado en el borde de la rueda? tema horizontalmente a 300 rpm en torno a un eje
11.9. Un trozo cilindrico de material de 6 in de diámetro localizado a 10 cm de la masa de 6 kg. ¿Cuál es el
gira en un torno a 800 rev/min. ¿Cuál es la veloci­ momento de inercia en tomo de este eje? ¿Cuál es la
dad tangencial en la superficie del cilindro? energía cinética rotacional?
Resp. 20.9 ft/s Resp. 0.140 kg m2, 69.1 J
11.10. La velocidad tangencial adecuada para fabricar ma­ 11.20. La rueda de una bicicleta pesa 1.2 kg y tiene 70 cm
terial de acero es de 70 cm /s aproximadamente. ¿A de radio; además, tiene rayos cuyo peso es insigni­
cuántas revoluciones por minuto deberá girar en ficante. Si parte del estado de reposo y recibe una
un torno un cilindro de acero cuyo diámetro es de aceleración angular de 3 rad/s2, ¿cuál será su ener­
8 cm? gía cinética rotacional después de 4 s?
11.11. ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda descrita 11.21. Un disco esmeril de 16 Ib gira a 400 rev/min. ¿Cuál
en el problema 11.8? ¿Cuál es la aceleración tan­ es el radio del disco si su energía cinética es de 54.8
gencial de un punto localizado en el borde de esa ft • Ib? ¿Cuál es el momento de inercia?
rueda? Resp. 2.79 rad/s2, 0.419 m/s2 Resp. 6.00 ¡n, 0.0625 slug ft2
11.12. Un carrete circular de 40 cm de radio gira inicial­ 11.22. ¿Cuál deberá ser el radio de un disco circular de 4 kg
mente a 400 rev/min. Luego se detiene por com­ si se requiere que su momento de inercia sea igual al
pleto después de 50 revoluciones. ¿Cuáles fueron la de una varilla de 1 kg de peso y 1 m de longitud que
aceleración angular y el tiempo de detención? oscila apoyada en su punto medio?
11.13. Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo *11.23. La rueda de una carreta mide 60 cm de diámetro
diámetro es de 40 cm. La polea gira con una acele­ y está montada en un eje central sobre el cual gira
ración angular constante de 3.50 rad/s2. La rapidez a 200 rev/min. Se puede considerar que la rueda
rotacional es de 2 rad/s en el t = 0. ¿Cuáles son el es un aro circular de 2 kg de masa y cada uno de
desplazamiento angular y la velocidad angular de la sus 12 rayos de madera de 500 g puede conside­
polea 2 s más tarde? rarse como una varilla delgada que gira sobre sus
Resp. 11.0 rad, 9.00 rad/s extremos. Calcule el momento de inercia de toda la
11.14. En el problema 11.13, ¿cuáles son la rapidez lineal rueda. ¿Cuál es su energía cinética rotacional?
y la aceleración tangencial final de la correa cuando Resp. 0.360 kg m2, 78.9 J
se mueve sobre la ranura de la polea? 11.24. Compare la energía cinética rotacional de tres obje­
11.15. Una rueda gira inicialmente a 6 rev/s y después tos que tienen radios y masas iguales: un aro circu­
se somete a una aceleración angular constante de lar, un disco circular y una esfera sólida.
4 rad/s2. ¿Cuál es su velocidad angular después de
5 s? ¿Cuántas revoluciones completará la rueda? Sección 11. 6 Segunda ley de N ewton y rotación
Resp. 57.7 rad/s, 38.0 rev 11.25. Una cuerda que está enrollada en un carrete circular
11.16. Un disco rectificador detiene su movimiento en 40 de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de
revoluciones. Si la aceleración de frenado fue de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede
—6 rad/s2, ¿cuál fue la frecuencia inicial de giro en girar libremente sobre su eje central, ¿cuál es la ace­
revoluciones por segundo? leración angular? Resp. 800 rad/s2
11.17. Una polea de 320 mm de diámetro gira inicialmen­ 11.26. El volante de un motor tiene un momento de inercia
te a 4 rev/s y luego recibe una aceleración angular de 24 slug • ft2. ¿Qué momento de torsión se requie­
constante de 2 rad/s2. ¿Cuál es la velocidad tan­ re para acelerar el volante desde el reposo hasta una
gencial de una correa montada en dicha polea, al velocidad angular de 400 rpm en 10 s?
cabo de 8 s? ¿Cuál es la aceleración tangencial de la 11.27. Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud
correa? y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de
Resp. 6.58 m /s, 0.320 m /s2 torsión se requiere para que la varilla describa 20
*11.18. Una persona que inicialmente se encontraba en re­ revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación
poso, colocada a 4 m del centro de una plataforma se incrementa de 200 a 600 rev/min?
giratoria, recorre una distancia de 100 m en 20 s. Resp. 0.558 N • m
¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? 11.28. Una rueda grande de turbina pesa 120 kg y tiene un
¿Cuál es la velocidad angular al cabo de 4 s? radio de giro de 1 m. Un momento de torsión friccio-

240 Capítulo 11 Resumen y repaso

 nal de 80 N • m se opone a la rotación del eje. ¿Qué cinética trasnacional? (b) ¿Cuál es su energía cinéti­
momento de torsión se deberá aplicar para acelerar la ca rotacional? (c) ¿Cuál es la energía cinética total?
rueda desde el reposo hasta 300 rev/min en 10 s? Resp. (a) 144 J; (b) 72 J; (c) 216 J
11.29. Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una 11.40. Un aro circular tiene la misma masa y radio que el ci­
varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de lindro del problema 11.39. ¿Cuál es la energía cinéti­
radio. ¿Qué momento de torsión resultante se re­ ca total si rueda con la misma velocidad horizontal?
quiere para impartir a esa masa una aceleración an­ 11.41. Considere un plano inclinado de 16 m de altura. Cua­
gular de 2.5 rad/s2? Resp. 1.25 N • m tro objetos de diferentes materiales tienen la misma
11.30. Una cuerda está enrollada con varias vueltas en un masa de 3 kg: Un aro circular, un disco, una esfera
cilindro de 0.2 m de radio y 30 kg de masa. ¿Cuál es y una caja. Suponga que la fricción es insignificante
la aceleración angular del cilindro si la cuerda tiene para la caja, pero hay suficiente fricción para que los
una tensión de 40 N y gira sin fricción alguna? objetos rodantes rueden sin deslizarse. Al calcular
11.31. Un disco rectificador de 8 kg tiene 60 cm de diáme­ las velocidades finales en cada caso, determine el or­
tro y gira a 600 rev/min. ¿Qué fuerza de frenado se den en el cual llegan al punto más bajo del plano.
deberá aplicar tangencialmente al disco para dete­ Resp. vc = 17.7 m /s; ve = 14.97~15.0 m/s;
ner su movimiento de rotación en 5 s? v,a = 14.46 m/s;' va = 12.5 m/s
Resp. 15.1 N *11.42. ¿Qué altura debe tener un plano inclinado para que
11.32. Un momento de torsión no balanceado de 150 N • un disco circular ruede desde una posición en repo­
m le imparte una aceleración angular de 12 rad/s2 so hasta el punto más bajo del plano con una veloci­
al rotor de un generador. ¿Cuál es el momento de dad final de 20 m/s?
inercia?
Sección 11.9 Momento angular y Sección 11.10
Sección 11.7 Trabajo rotacional y potencia Conservación de la cantidad de movimiento angular
11.33. Una cuerda enrollada en un disco de 3 kg y 20 cm de 11.43. Una varilla de acero de 500 g y 30 cm de longitud
diámetro recibe una fuerza de tracción de 40 N que oscila sobre su centro y gira a 300 rev/min. ¿Cuál
la desplaza una distancia lineal de 5 m. ¿Cuál es el es su cantidad de movimiento angular?
trabajo lineal realizado por la fuerza de 40 N? ¿Cuál Resp. 0.118 kg m /s2
es el trabajo rotacional realizado sobre el disco? 11.44. En el problema 11.39, ¿qué momento de torsión
Resp. 200 J, 200 J promedio deberá aplicarse para detener totalmente
11.34. Aplique el teorema del trabajo y la energía para la rotación en 2 s?
calcular la velocidad angular final del disco, si éste 11.45. Un momento de torsión de 400 N ' m s e aplica re­
parte del estado de reposo en el problema 11.33. pentinamente en el borde de un disco inicialmente
11.35. Un motor de 1.2 kW impulsa durante 8 s una rueda en reposo. Si la inercia rotacional del disco es de 4
cuyo momento de inercia es 2 kg ■m2. Suponiendo kg • m2y el momento de torsión actúa durante 0.02 s,
que la rueda estaba inicialmente en reposo, ¿cuál es ¿cuál será el cambio en la cantidad de movimiento
su rapidez angular final? angular? ¿Cuál será la rapidez angular final?
Resp. 98.0 rad/s Resp. 8.00 kg • m2/s, 2.00 rad/s
11.36. Un cordón está enrollado en el borde de un cilindro 11.46. En la figura 11.14, un disco A de 6 kg, que gira en
que tiene 10 kg de masa y 30 cm de radio. Si se tira el sentido de las manecillas del reloj a 400 rev/min,
del cordón con una fuerza de 60 N, ¿cuál es la acele­
ración angular del cilindro? ¿Cuál es la aceleración
lineal del cordón? /A
11.37. Un motor de 600 W impulsa una polea con una ve­
(O,
locidad angular media de 20 rad/s. ¿Cuál es el mo­ 0
mento de torsión así obtenido? Resp. 30 N • m
h .
11.38. El cigüeñal de un automóvil desarrolla un momento
de torsión de 350 Ib • ft a 1800 rpm. ¿Cuál es la
potencia resultante en caballos de fuerza?

Sección 11.8 Rotación y traslación combinadas

11.39. Un cilindro de 2 kg tiene un radio de 20 cm. Rueda
sin deslizarse a lo largo de una superficie horizontal
a una velocidad de 112 m/s. (a) ¿Cuál es su energía Figura 1 1 .1 4

Capítulo 11 Resumen y repaso 241

 se acopla a un disco B de 3 kg que inicialmente es­
taba en reposo. El radio del disco A es de 0.4 m, y
el radio del disco B es de 0.2 m. ¿Cuál es la rapidez
angular combinada después de que los dos discos se
acoplan?
11.47. Suponga que el disco B del problema 11.46 gira ini­
cialmente en el sentido de las manecillas del reloj
a 200 rev/min, en la misma dirección que el disco
A. ¿Cuál sería entonces la rapidez angular común
después de su acoplamiento? Resp. 378 rev/m in
11.48. Suponga que existen las mismas condiciones descri­
cot = 600 rpm
tas en el problema 11.46, con excepción de que el
disco B gira en contrasentido al avance de las mane­
- 34 cm -
cillas del reloj y A gira en el sentido de las manecillas
del reloj. ¿Cuál es la velocidad angular combinada
después del acoplamiento de los discos?
11.49. La varilla que conecta los dos pesos de la figura
11.15 tiene un peso insignificante, pero está confi­
gurada para permitir que los pesos resbalen hacia
2 ks 2 kg
afuera. En el instante en que la rapidez angular llega
a 600 rev/min. las masas de 2 kg están separadas
10 cm. ¿Cuál será la rapidez rotacional cuando las
masas estén a 34 cm de distancia una de otra?
ex
Resp. 51.9 rpm
F ig u ra 1 1 . 1 5

Problemas adicionales
11.50. Un disco rectificador circular de 6 kg gira inicial­ 11.53. Si los discos del problema 11.52 giran inicialmente
mente a 500 rev/min. El radio del disco es de 40 en la misma dirección, ¿cuál será su rapidez angular
cm. ¿Cuál es la aceleración angular del disco si el común después del acoplamiento?
eje ejerce una fuerza tangencial de 120 N en el bor­ Resp. 350 rev/m in en el sentido
de? ¿Cuántas revoluciones describirá el disco antes de las manecillas del reloj
de detenerse? ¿Qué trabajo se realiza y cuánta po­ 11.54. El radio de giro de una rueda de 8 kg es de 50 cm.
tencia se pierde en el proceso? Halle su momento de inercia y su energía cinética
11.51. Una rueda de 3 kg, con rayos de masa insignificante, cuando está girando a 400 rev/min.
gira libremente sobre su centro sin fricción alguna. 11.55. ¿Cuánto trabajo se requiere para reducir la rotación
El borde de la rueda, de 40 cm de radio, es golpeado de la rueda del problema 11.50 a 100 rev/min?
repentinamente con una fuerza tangencial media de Resp. -1 6 4 5 .9 J
600 N durante 0.002 s. (a) ¿Qué impulso angular 11.56. Una rueda de 2 ft de radio tiene un momento de iner­
se le imparte a la rueda? (b) Si la rueda estaba ini­ cia de 8.2 slug ft2. Una fuerza constante de 12 Ib ac­
cialmente en reposo, ¿cuál era su rapidez angular al túa tangencialmente en el borde de la rueda, la cual
final del intervalo de 0.002 s? está inicialmente en reposo. ¿Cuál es la aceleración
Resp. (a) 0.48 N • m • s; (b) 1 rad/s angular?
11.52. El disco A tiene el triple de la inercia rotacional del 11.57. En el problema 11.56 la rueda se detuvo por com­
disco B. El disco A gira inicialmente en el sentido pleto en 5 s. ¿Cuánto trabajo se realizó? ¿Qué po­
de las manecillas del reloj a 200 rev/min y el disco tencia se desarrolló en caballos de fuerza?
B gira en la dirección opuesta a 800 rev/min. Si los Resp. 879 ft • Ib, 0.319 hp
dos discos se acoplan, ¿cuál será la velocidad co­ 11.58. Una máquina funciona a 1800 rev/min y desarrolla
mún de rotación de los discos combinados? 200 hp. ¿Qué momento de torsión desarrolla?

242 Capítulo 11 Resumen y repaso