Antenas

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
ESCOLA POLITECNICA SUPERIOR DE GANDIA
Grado en Ing. Sist. de Telecom., Sonido e Imagen
“ESTUDIO, ANÁLISIS Y DISEÑO DE

LENTES PARA ANTENAS MEDIANTE
MATLAB”
TRABAJO FINAL DE GRADO
Autor/a:
Alarcón Vanegas, Juan Gregorio
Tutor/a:
Vico Bondia, Felipe
GANDIA, 2017
AGRADECIMIENTOS
Este documento supone el culmen de una etapa, mi etapa en el Grado en
Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación, Imagen y Sonido por la
Universidad Politécnica de Valencia en el Campus de Gandía.
Han sido 5 años (por suerte y desgracia) en los que he crecido tanto en lo
personal como en lo profesional, en los que he tenido la fortuna de conocer gente
que me ha aportado tanto que no sabría cómo agradecerlo (espero que este texto
aporte un poco), compañeras y compañeros de clase, de estudio y tardes de
biblioteca, con las que me he divertido tanto en descansos y que me han ayudado
a seguir adelante las largas sesiones de estudio en el CRAI o en la pecera; de piso,
con los que hemos lidiado ante problemas de la vida cotidiana preparándonos
para el día que echemos a volar y no dependamos de tuppers y ropa sin planchar;
y sobre todo de voleibol, ese deporte que me ha ayudado tanto a soportar tanto
la presión que he recibido en todo este tiempo, tantos golpes a la pelota
desquitándome de algún examen que ha salido mal, de una clase en la que no he
entendido nada, o alguna que otra discusión.
Agradecer a todos las profesoras y profesores que han tratado de
transmitirme lo máximo que han podido sus conocimientos. A Felipe Vico,
muchas por la confianza depositada en mí para poder llevar a cabo este proyecto,
y poder ahondar en un tema prácticamente desconocido para mí y del que creo
haber sacado bastantes conocimientos.
Y, por último, a Juan José y Luz Mery, gracias por sacrificaros tanto
durante estos años, por haber luchado y trabajado por darme un futuro digno,
por confiar en mí cada día, por confiar en que lograría tener un camino más fácil
que el que habéis recorrido vosotros. Espero que algún día podáis sentiros
orgullosos de vuestro hijo tanto como él lo está de vosotros. Os quiere, vuestro
hijo.
Trabajo final de Grado: Diseño y simulación de lentes
RESUMEN
Este proyecto se basa en el diseño y caracterización de tres lentes:
planoconvexa, heterogénea y lente de Fresnel planoconvexa. Estas forman junto
con una antena un sistema para mejorar la directividad y por otra parte realizar
la corrección de caminos y obtener un frente de ondas plano. Para ello son
modeladas mediante ecuaciones matemáticas, y después transcritas a un código
de programación que las evaluará mediante un algoritmo que calculará las
distribuciones del campo eléctrico y del frente de ondas dentro de un área
delimitada. También se dibujará el diagrama de radiación para analizar los
parámetros que se desean mejorar. Después de la caracterización de las lentes, se
le aplicará un filtro gaussiano en cada una de las lentes, con tal de mejorar aún
más la directividad u otros parámetros y proponiendo una nueva técnica de
diseño de lentes, basada en filtrado. La cantidad de variables disponibles para el
diseño de antenas deja cabida a realizar futuras ampliaciones a este proyecto con
el fin de conseguir mejores sistemas antena-lente.
PALABRAS CLAVE
Lente, foco, corrección de caminos, filtrado gaussiano, electromagnetismo
computacional
ABSTRACT
This Project is based on lenses design, three lenses: plane convex,
heterogeneous and Fresnel plane convex lens. These are joined in system with an
antenna to improve directivity and correction of wave front. First, lenses are
modelled by mathematics equations and implemented on a programming code,
the finality is an evaluation through algorithm to obtain an electric field
distribution on delimited area. Also, is plotted radiation path to analyse it
parameters. After characterization, is applied a gaussian filter in each lens, to
improve again directivity or other parameters. Finally, another characterization
forms are purposed according other parameters, lenses or filters. The number of
variables makes possible continue this project in future upgrades to obtain better
systems antenna-lenses.
KEYWORDS
Lens, focus, wave front correction, gaussian filter, computational
electromagnetism
1
Juan Gregorio Alarcón Vanegas
ÍNDICE DE CONTENIDOS
LISTADO DE FIGURAS .......................................................... 3
LISTADO DE TABLAS............................................................. 5
1. INTRODUCCIÓN ..................................................... 6
1.1. ESTRUCTURA DEL PROYECTO................................. 6
2. BASE TEÓRICA ......................................................... 7
2.1. PRINCIPIOS FÍSICOS .................................................... 7
2.1.1.1. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL .......................................... 8
2.2. ANTENAS ......................................................................... 9
2.2.1.1. PARÁMETROS DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN .... 11
2.3. LENTES ............................................................................ 14
2.3.1. TIPOS DE LENTES .................................................................... 14
2.3.2. CORRECIÓN DE CAMINOS .................................................. 15
2.3.3. LENTES DE FRESNEL .............................................................. 16
2.4. FILTRADO GAUSSIANO Y CONVOLUCIÓN 2D 17
3. ALGORITMO UTILIZADO Y SIMULACIÓN . 19
3.1. CONDICIONES DE SIMULACIÓN.......................... 20
4. DISEÑO DE LENTES ............................................. 20
4.1. LENTE PLANOCONVEXA .......................................... 21
4.2. LENTE HETEROGÉNEA.............................................. 24
4.3. LENTE DE FRESNEL PLANOCONVEXA ................ 27
4.3.1. ANÁLISIS DEL ANCHO DE BANDA .................................. 28
4.4. COMPARACIÓN ENTRE LENTES ........................... 30
5. FILTRADO DE LENTES ........................................ 31
5.1. LENTE PLANOCONVEXA FILTRADA ................... 33
5.2. LENTE HETEROGÉNEA FILTRADA ....................... 36
5.3. LENTE DE FRESNEL PLANOCONVEXA
FILTRADA 38
6. EVALUACIÓN DEL FOCO .................................. 40
7. LINEAS FUTURAS ................................................. 42
8. CONCLUSIONES.................................................... 43
9. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA ..................... 44
2
LISTADO DE FIGURAS
Fig. 1 Reflexión especular (izquierda) y reflexión difusa (derecha) ....................... 8
Fig. 2 Onda incidiendo sobre un medio con ángulo crítico, lo que provoca que se
desplace por la superficie del medio. ......................................................................... 8
Fig. 3 Rayo incidente sobre un medio con diferente índice de refracción ............. 9
Fig. 4 Diferentes tipos de antenas: Bocina rectangular (izquierda), bocina circular
con lente (centro) y dipolo (derecha) .......................................................................... 9
Fig. 5 Diagrama de radiación tridimensional omnidireccional ............................ 10
Fig. 6 Diagrama de radiación en coordenadas polares vertical (izquierda) y
horizontal (derecha) .................................................................................................... 10
Fig. 7 Diagrama de radiación en coordenadas cartesianas .................................... 11
Fig. 8 Diagrama de radiación cartesiano con los principales valores a obtener
señalados ....................................................................................................................... 11
Fig. 9 Diagramas de radiación en 3D isotrópico (izquierda), omnidireccional
(centro) y directivo (derecha) ..................................................................................... 12
Fig. 10 Eficiencia total a partir de la eficiencia de iluminación y desbordamiento
para un reflector con f/Da =0.25, cuya mayor eficiencia es 0.5 .............................. 13
Fig. 11 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente ................. 14
Fig. 12 Lentes planoconvexa (izquierda), biconvexa (centro), cóncavoconvexa
(derecha)........................................................................................................................ 14
Fig. 13 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente ................. 15
Fig. 14 Lentes planocóncava (izquierda), bicóncava (centro), convexa cóncava
(derecha)........................................................................................................................ 15
Fig. 15 Recorrido de las ondas esféricas hasta verse afectadas por el índice de
refracción de la lente, el cual producirá la igualación de caminos ....................... 16
Fig. 16 Transformación de una lente planoconvexa a una lente de Fresnel........ 17
Fig. 17 Representación en 3D dimensiones de una distribución gaussiana ........ 17
Fig. 18 Proceso de convolución bidimensional de dos matrices 3x3 .................... 18
Fig. 19 Simplificación de la matriz de filtrado a dos matrices unidimensionales.
........................................................................................................................................ 19
Fig. 20 Lente planoconvexa con los parámetros necesarios para calcular la
corrección de caminos ................................................................................................. 21
Fig. 21 Campo eléctrico en el área delimitada para una lente (izquierda) y
desplazamiento del frente de ondas (derecha)........................................................ 23
Fig. 22 Diagrama de radiación cartesiano de la lente planoconvexa ................... 23
Fig. 23 Permitividad eléctrica en función de la longitud de la lente .................... 24
Fig. 24 Lente heterogénea con los parámetros necesarios para calcular la
corrección de caminos ................................................................................................. 24
Fig. 25 Campo eléctrico en el área delimitada para la lente (izquierda) y
desplazamiento del frente de ondas(derecha)......................................................... 25
Fig. 26 Diagrama de radiación cartesiano de la lente heterogénea ...................... 26
Fig. 27 Índice de refracción variante según la posición de la lente ...................... 26
3
Fig. 28 Campo eléctrico en el área delimitada para la lente (izquierda) y

desplazamiento del frente de ondas (derecha)........................................................ 27
Fig. 29 Diagrama de radiación de lente de Fresnel planoconvexa ....................... 28
Fig. 30 Valores máximos de directividad para diferentes valores de k, siendo la
central 20. ...................................................................................................................... 29
Fig. 31 Diagramas de radiación de las tres lentes propuestas ............................... 30
Fig. 32 Ejemplos de distribuciones gaussianas creadas mediante gausswin. NN=
100 y 1/σ= 1 (izquierda) NN=100 y 1/σ=100 (derecha) ........................................... 31
Fig. 33 Lente planoconvexa sin filtrado (izquierda) y lente filtrada con NN=10 y
1/σ =2.5 (derecha) ......................................................................................................... 32
Fig. 34 Ventana de diálogo para el filtrado gaussiano ........................................... 32
Fig. 35 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente
planoconvexa................................................................................................................ 33
Fig. 36 Diagrama de radiación comparativo entre las lentes filtradas que ofrecen
la mayor directividad con la lente sin filtrar ........................................................... 34
Fig. 37 Lentes filtradas NN= 10, 1/σ= 2 ( arriba izquierda),NN= 20, 1/σ= 5 (arriba
derecha) y lente sin filtrar ........................................................................................... 35
Fig. 38 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente
heterogénea................................................................................................................... 36
Fig. 39 Lente heterogénea sin filtrar (izquierda) y lente filtrada para NN= 4 y 1/σ=
2 ...................................................................................................................................... 36
Fig. 40 Comparación de la lente sin filtrar con la lente que ofrece el mejor filtrado
........................................................................................................................................ 37
Fig. 41 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente de
Fresnel ........................................................................................................................... 38
Fig. 42 Lente Fresnel sin filtrar y filtrada para NN= 2 y 1/σ=1 .............................. 39
Fig. 43 Diagrama de radiación de la lente sin filtrar y la lente filtrada ............... 39
Fig. 44 Diagrama de radiación para distintos focos ............................................... 40
Fig. 45 Diagramas de radiación para variación del foco ........................................ 41
Fig. 46 Backtracking aplicado al problema de las N-Reinas (izquierda) y antena
diseñada mediante algoritmo genético .................................................................... 42
4
LISTADO DE TABLAS
Tabla 1 Parámetros para calcular lente planoconvexa ........................................... 22
Tabla 2 Datos del diagrama de radiación de la lente planoconvexa .................... 23
Tabla 3 Parámetros predeterminados para la creación de la lente ....................... 25
Tabla 4 Datos del diagrama de radiación de la lente heterogénea ....................... 26
Tabla 5 Parámetros predeterminados para la lente de Fresnel ............................. 27
Tabla 6 Datos del diagrama de radiación de la lente de Fresnel .......................... 28
Tabla 7 Directividades máximas en cada lente filtrada en función de NN (filas) y
1/σ (columnas) .............................................................................................................. 34
1/σ (columnas) .............................................................................................................. 37
1/σ (columnas) .............................................................................................................. 38
5
1. INTRODUCCIÓN
Una lente es un sistema óptico con dos superficies refractantes que
generalmente posee un índice de refracción diferente al del medio en el que se
trabaja por el que puede entrar una onda incidente y ser desviada en diferentes
direcciones. Son clasificadas en convergentes y divergentes (2.3.1), de acuerdo
con la forma en la que refractan la onda incidente. Además, las superficies
refractantes pueden ser de tres tipos, convexa, cóncava y plana.
Las lentes son usadas en el campo de telecomunicaciones como elementos
complementarios a una antena que permiten generar superficies radiantes con
campos en fase1. Un elemento similar a las lentes son los reflectores, elementos
que se encargan de recibir una señal y por medio de una reflexión en su superficie
enviarla en dirección a una antena receptora. La diferencia principal entre lentes
y reflectores es la propiedad física en la que se basan, las primeras en la refracción
(2.1.1), y los segundos en la reflexión (2.1.2).
En este proyecto se analizarán tres tipos de lentes, planoconvexa, heterogénea
y lente de Fresnel, y como su complementación junto con una antena pueden
crear un diagrama de radiación (2.2.3) bastante directivo. Para la simulación y
caracterización de las lentes se ha tomado como base un algoritmo (3)
programado por el profesor Felipe Vico en MATLAB, un software de cálculo
matemático muy utilizado en el campo de la ingeniería. El programa aportado
ha sido ampliado y modificado para poder recabar datos y generar gráficas que
servirán para analizar el comportamiento de las lentes.
Los cálculos usados en este proyecto se realizan en unidades adimensionales
para así tener la mayor escalabilidad posible, siendo el límite la fabricación final
de las lentes.
1.1. ESTRUCTURA DEL PROYECTO
Este proyecto se ha llevado a cabo de acuerdo con los siguientes pasos:

- Estudio de la base teórica (Apartado 2): Se ha llevado a cabo un estudio y
repaso de conocimientos concernientes a este proyecto, como son óptica
geométrica y propagación de ondas electromagnéticas.
- Estudio del algoritmo (Apartado 3): Al usarse un algoritmo de reciente
publicación, se ha necesitado un estudio del mismo, así como con el
software correspondiente.
- Creación de lentes (Apartado 4): Se han programado 3 tipos de lentes a
partir de modelos matemáticos, que son resueltos para poder adaptarlos
a su código correspondiente y se han estudiado sus características.
1AZNAR CARDAMA. Á. et al. (2002) “Lentes” en Antenas. Barcelona: Edicions UPC.

Segunda edición. Pág. 299
6
- Comparación de lentes (Apartado 4.4): Las tres lentes son comparadas

entre si para estimar cuál de ellas sería más conveniente usar en función
del parámetro que se quiera primar.
- Aplicación de un filtro gaussiano (Apartado 5): A las lentes se les ha
aplicado un filtro gaussiano con el objetivo de suavizar su diseño. Se
analizará el efecto de aplicar este filtro a los diferentes elementos creados.
- Análisis del foco (Apartado 6): Tras analizar las distintas lentes
propuestas, se analiza el impacto sobre la lente planoconvexa al modificar
el diagrama de radiación del foco.
- Líneas futuras (Apartado 7): Se presentan diferentes propuestas de
ampliación o continuación del proyecto.
2. BASE TEÓRICA
2.1. PRINCIPIOS FÍSICOS
2.1.1. REFLEXIÓN
La reflexión es la propiedad física por la cual una onda al incidir sobre un

medio diferente al que se desplaza se ve reflejado con el mismo ángulo de
incidencia respecto al plano normal2.
(1)
𝜃1 = 𝜃1′
Los dos tipos principales de este fenómeno son reflexión especular y

reflexión difusa.
- Reflexión especular: Este tipo de reflexión se produce cuando la
superficie tiene unas variaciones inferiores a la longitud de la onda, esto
permite a los rayos reflejados ser paralelos entre si.
- Reflexión difusa: Cuando la superficie es rugosa o irregular los rayos
reflejados siguen varias direcciones.
2 A. SERWAY, R. Y W. JEWETT JR, J. (2009) “Naturaleza de la luz y leyes de óptica

geométrica” en Física para ciencias e ingeniería con Física Moderna. México D.F.: Cencage Learning
Editores. Séptima Edición Vol. 2. Pág. 981-982
7
Fig. 1 Reflexión especular (izquierda) y reflexión difusa (derecha)
2.1.1.1. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL

Cuando la luz viaja de un medio a otro con menor índice de refracción,
hay cierto ángulo, denominado ángulo crítico, en el cual el rayo viajará paralelo
a la frontera entre ambos medios, además, a partir de dicho ángulo se producirá
una reflexión total de la señal sin haber fenómeno de refracción. Para calcular el
ángulo crítico n1 ha de ser mayor a n2 (4).
𝑛2 (2)
𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐 =
𝑛1
Fig. 2 Onda incidiendo sobre un medio con ángulo crítico, lo que provoca que se desplace por la
superficie del medio.
2.1.2. REFRACCIÓN
Cuando una onda viaja por un medio y penetra en un segundo, parte de

su energía es reflejada y el resto cambia de dirección entrando en el segundo
medio3. El ángulo con el que se produce dicho cambio es llamado ángulo de
refracción.
3 SERWAY, op.cit., 2009, Pág. 985.

8
Fig. 3 Rayo incidente sobre un medio con diferente índice de refracción
Para calcular el ángulo de refracción se hace uso de las leyes de Snell, las
cuáles relacionan, el ángulo de incidencia, el primero, y los índices de refracción
de ambos medios (3). También puede usarse la velocidad para realizar el cálculo,
puesto que el índice de refracción es la relación entre la velocidad de la luz en el
vacío y la velocidad de la luz en el medio que se esté utilizando (4).
𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝑛1 𝑣2 (3)
= =
𝑠𝑒𝑛 𝜃1 𝑛2 𝑣1
𝑐 (4)
𝑛=
𝑣
2.2. ANTENAS
De acuerdo con el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

(IEEE Std. 145-1993)4, una antena es aquella parte de un sistema transmisor o
receptor diseñada específicamente para radiar o recibir ondas electromagnéticas.
Las formas de una antena pueden ser varias, como pueden ser dipolos, hélices,
espiras, bocinas, reflectores o agrupaciones de varias antenas.
Fig. 4 Diferentes tipos de antenas: Bocina rectangular (izquierda), bocina circular con lente
(centro) y dipolo (derecha)
4 INSTITUTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERS. (1993) IEEE Standard

Definitions of Terms for Antenas. IEEE.
9
2.2.1. DIAGRAMA DE RADIACIÓN
Una antena al radiar una onda, puede no hacerlo de la misma manera en

todas las direcciones, para saber o poder visualizar como se produce dicha
radiación se recurre a los diagramas de radiación, los cuales son la
representación gráfica de las propiedades de radiación de una antena en función
de las diferentes direcciones del espacio, a una distancia fija.
La representación en coordenadas esféricas (Figura 5) es el más usado en
modelos tridimensionales, en los cuales se sitúa la antena en el origen de
coordenadas y se expresa el campo eléctrico en función de las variables angulares
θ y ϕ.
Fig. 5 Diagrama de radiación tridimensional omnidireccional
La información también puede ser presentada en forma de coordenadas

polares o cartesianas. En coordenadas polares (Figura 6), el radio representa la
intensidad de campo eléctrico o la densidad de potencia radiada y el ángulo la
dirección en el espacio; el primer valor en coordenadas cartesianas (Figura 7) se
sitúa en el eje de ordenadas, mientras que en el eje de abscisas es representado el
ángulo.
Fig. 6 Diagrama de radiación en coordenadas polares vertical (izquierda) y horizontal (derecha)
10
Fig. 7 Diagrama de radiación en coordenadas cartesianas
2.2.1.1. PARÁMETROS DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN

En la figura 8 se encuentran los siguientes parámetros de un diagrama de
radiación, los cuales son indicados en la figura
- Lóbulo principal: Es el lóbulo que presenta la mayor radiación. (2)
- Lóbulos secundarios: Son los lóbulos que tienen mayor radiación después
del lóbulo principal. (4)
- Lóbulo lateral: Es el lóbulo que está se forma al lado del principal, puede
ser también un lóbulo secundario. (6)
- Lóbulo posterior: Es el lóbulo situado a 180º del lóbulo principal. (8)
- Ancho de haz a -3 dB (Δϕ -3dB ): Es la separación angular de las direcciones
en las que el diagrama de radiación toma el valor mitad del máximo. (5)
- Ancho de haz entre nulos (Δϕ 0): Es la separación angular en las que el
lóbulo principal toma su menor valor. (7)
- Nivel de lóbulo principal a secundario (NLPS): Es la diferencia existente
entre el lóbulo con mayor radiación y el segundo lóbulo con mayor
radiación. (3)
- Relación delante-atrás (F/S): Es la diferencia existente entre el lóbulo
principal y el posterior. (1)
Fig. 8 Diagrama de radiación cartesiano con los principales valores a obtener señalados
11
2.2.2. DIRECTIVIDAD
La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia

radiada en una dirección a cierta distancia, y la densidad de potencia radiada por
una antena isótropa que radia a la misma potencia que la antena5 (5).
℘ (𝜽, 𝝓) (5)
𝑫(𝜽, 𝝓) =
𝑷𝒓 /(𝟒𝝅𝒓𝟐 )
Si no se específica la dirección angular, se entiende que la directividad a
calcular es la referente a la dirección de máxima radiación (6).
℘𝒎á𝒙 (6)
𝑫(𝜽, 𝝓) =
𝑷𝒓 /(𝟒𝝅𝒓𝟐 )
Las antenas se pueden llegar a clasificar en 3 tipos según directividad en
isotrópica, omnidireccional y directiva.
- Isotrópica: Esta antena radia uniformemente en todas las direcciones y

presenta, por lo que su directividad en dB es 0. Es una antena ideal
- Omnidireccional: Se trata de radiar en el mayor número de direcciones
posibles. En uno de los planos, es capaz de emitir o recibir de manera
equitativa.
- Directiva: Se busca cubrir una región del espacio específicamente,
emitiendo lo mínimo en otras zonas.
Fig. 9 Diagramas de radiación en 3D isotrópico (izquierda), omnidireccional (centro) y directivo

(derecha)
5 Cardama, op.cit, 2002, pág. 22.

12
2.2.3. EFICIENCIA DE ILUMINACIÓN Y EFICIENCIA DE

DESBORDAMIENTO.
Al situar un objeto refractante o reflectante enfrente de una antena, de la

potencia radiada (Pr), solo una parte incidirá en el elemento (Pa). La diferencia de
entre Pr y Pa no forma parte de la generación del diagrama secundario de
radiación, puesto que el diagrama primario es el de la propia antena. El cociente
entre ambos valores da como resultado la llamada eficiencia de desbordamiento
o de spillover (7).
𝑃𝑎 (7)
𝜂𝑠 =
𝑃𝑟
Un valor bajo de ηs indica que gran parte de Pr está incidiendo sobre el

reflector o lente.
Por otra parte, al evitar el desbordamiento se ha de tener en cuenta otro
tipo de eficiencia, la de iluminación (ηil), la cual relaciona el área efectiva, es decir,
la zona donde si hay radiación, con el área geométrica, el tamaño total del
elemento usado (8).
𝐴𝑒𝑓 (8)
𝜂𝑖𝑙 =
𝐴𝑔𝑒𝑜𝑚
Ambos parámetros son de uso común reflectores, y también en lentes6,

para calcular la distancia entre el foco y el elemento reflexivo, y el diámetro de
apertura, la distancia entre los extremos de la lente; ambos valores son conocidos
como f/Da.
Fig. 10 Eficiencia total a partir de la eficiencia de iluminación y desbordamiento para un reflector

con f/Da =0.25, cuya mayor eficiencia es 0.5
6 Ferran, M. y Valero. A. “Lentes” en Antenas. Valencia: Universidad Politécnica de

Valencia. Pág. 19.
13
2.3. LENTES
Una lente en el área de telecomunicaciones es un elemento con una
constante de propagación distinta al aire que permite realizar una igualación de
los caminos procedentes de un punto emisor7. El uso de una lente sobre una
antena permite concentrar la radiación de la segunda sobre una determinada
dirección o región del espacio, es por ello por lo que los elementos refractantes,
las lentes, se sitúan en frente del foco radiador.
2.3.1. TIPOS DE LENTES
Las lentes se pueden clasificar según su forma física en dos grupos,

convergentes y divergentes.
- Convergentes: Son aquellas que son más anchas por el centro.
La onda incide perpendicularmente sobre la lente, refractándose (2.1.2) y
concentrándose en el foco (Fig. 11).
Fig. 11 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente
Las formas de las lentes convergentes pueden ser planoconvexa,

biconvexa o cóncavoconvexa, como las mostradas en la figura 12.
Fig. 12 Lentes planoconvexa (izquierda), biconvexa (centro), cóncavoconvexa (derecha)
7 Cardama, op.cit, 2002, pág. 299.

14
- Divergentes: Son aquellas que son más anchas en los extremos.

La onda incide perpendicularmente sobre la lente desde el plano focal, y
se refracta en varias direcciones, todas ellas en sentido opuesto al foco (Fig. 13).
Fig. 13 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente
Las formas de las lentes divergentes pueden ser planocóncava, bicóncava

y convexo-cóncava, como se puede observar en la figura 14.
Fig. 14 Lentes planocóncava (izquierda), bicóncava (centro), convexa cóncava (derecha)
2.3.2. CORRECIÓN DE CAMINOS
Una antena al emitir una señal, esta recorre diferentes distancias hasta
incidir en una lente, si trata del tipo convergente, llegará antes al centro que, a los
extremos, en caso de un tipo divergente, será, al contrario, primero a los extremos
y después al centro.
La lente tiene un índice de refracción mayor al del medio de propagación,
por lo que en su interior la onda viajará a una velocidad menor. En las partes en
las que es más ancha, la señal, estará más tiempo viajando a una velocidad menor.
A la salida, todos los rayos que entraron saldrán perpendiculares al plano normal
y paralelos entre si. Además, para que viajen al mismo tiempo, la lente ha de
tener unas dimensiones específicas, de acuerdo con el tamaño que se desea que
15
tenga, la distancia del foco, del índice de refracción y de la forma. En el apartado

4 se diseñarán las lentes para que cumplan dichas especificaciones.
En la figura 15 se observa cómo se produce la igualación de caminos tras
pasar el frente de ondas por la lente. En la figura 10 se puede observar también
como rayos procedentes de un mismo punto, salen de la lente siguiendo la misma
dirección.
Fig. 15 Recorrido de las ondas esféricas hasta verse afectadas por el índice de refracción de la
lente, el cual producirá la igualación de caminos
2.3.3. LENTES DE FRESNEL
En el diseño de lentes se tiene en cuenta también el tamaño de la lente a

utilizar, ya que en ocasiones estas podrían tener unas dimensiones demasiado
grandes que pueden afectar a la estructura del sistema ideado, ya sea por el
volumen o por su peso.
Para solventar dicho problema se puede recortar la lente quitando
cilindros del material de diseño con un grosor Δ (9) (10), dejando una distancia
entre caminos eléctricos igual a un número entero de longitudes de onda Esto es
posible debido a que la refracción se produce solamente en la superficie de la
lente. Este tipo de elementos son conocidos como lentes de Fresnel o escalonadas.
(9)
∆𝑛 − ∆= 𝑚𝜆 𝑚 = 1,2, …
𝜆 (10)
∆= 𝑚 𝑚 = 1,2, …
𝑛−1
Como se aprecia en la figura 16 se convierte una lente planoconvexa en
una lente de Fresnel, primero se calculan grosores, después se elimina el material
que no se utilizará quedando las partes que serán colocadas por último en la parte
plana. Si se comparan las lentes ambos extremos se puede apreciar una clara
reducción del ancho de la lente, y por tanto de su volumen y peso.
16
Fig. 16 Transformación de una lente planoconvexa a una lente de Fresnel
2.4. FILTRADO GAUSSIANO Y CONVOLUCIÓN 2D

Las lentes suelen presentar saltos bruscos de índice de refracción al pasar
de un medio a otro. Esto puede provocar reflexiones indeseadas, pérdida de
directividad y aumento de la relación delante-detrás, por ello se puede realizar
una modificación haciendo que la transición de un medio a otro sea más suave.
En el procesamiento digital de una imagen es común el uso de filtros para
seleccionar, modificar o eliminar la información contenida. Por ejemplo, para
hacer más suave la transición de un color a otro en una imagen se pueden filtros
paso bajo espaciales8, un filtro de este tipo es el gaussiano, basado en la
distribución gaussiana (11), pero trasladado a dos dimensiones9.
1 𝑥 2 +𝑦2 (11)
−
𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝜎2
2𝜋𝜎 2
Fig. 17 Representación en 3D dimensiones de una distribución gaussiana
8 GIMÉNEZ PALOMARES, F., MONSORIU SERRÁ, J., & ALEMANY MARTÍNEZ, E.

(2016). “Aplicación de la convolución de matrices al filtrado de imágenes” en Modelling in Science
Education and Learning, vol. 9 (1), Pág. 98.
9https://www.cs.auckland.ac.nz/courses/compsci373s1c/PatricesLectures/Gaussian%20F
iltering_1up.pdf> Pág. 22
17
Para guardar la distribución como un pixel es necesario discretizarla

primero en una matriz nxn, después normalizarla para que en los extremos de la
matriz valga 1 y por último se enmascara dividendo la matriz entre la suma de
todos los valores. Un ejemplo sería la matriz 5x5 mostrada a continuación.
1 4 7 4 1
1 4 16 26 16 4
7 26 41 26 7
273
4 16 26 16 4
[1 4 7 4 1]
Una vez formada la matriz de filtrado, también llamada kernel, se realiza

una convolución bidimensional con la matriz de la imagen. El proceso consiste
en la multiplicación de todas las casillas del kernel por las casillas que le
correspondan en la matriz imagen. Se considera la casilla central del kernel la
posición que comienza la convolución con la primera casilla de la matriz de
imagen, por ello, puede haber elementos de la matriz de filtrado que quedan
fuera, estos serán multiplicados por 0. Tras multiplicar todas las posiciones, se
suman y se asignan a la posición del elemento central, a continuación, se desplaza
de izquierda y de arriba abajo realizando la operación anteriormente
mencionada. Este proceso se puede visualizar en la figura 18.
Fig. 18 Proceso de convolución bidimensional de dos matrices 3x310
10 http://www.songho.ca/dsp/convolution/convolution2d_example.html
18
Por último, se obtendría una matriz de tamaño, nxn siendo n:

(12)
𝑛 = 𝑡𝑎𝑚𝑜𝑢𝑡 = 𝑡𝑎𝑚𝑞 + 𝑡𝑎𝑚𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 − 1
El filtrado gaussiano presenta las siguientes características:

- Presenta simetría rotacional, lo que implica el mismo efecto en todas las
direcciones.
- Un único lóbulo, el cual da mayor peso a los píxeles centrales.
- El grado del filtrado se puede regular mediante σ, es decir, la desviación
estándar.
- La matriz de filtrado puede ser separable en dos matrices
unidimensionales, lo que hace el computo más sencillo.
Fig. 19 Simplificación de la matriz de filtrado a dos matrices unidimensionales.
3. ALGORITMO UTILIZADO Y SIMULACIÓN

Para calcular los efectos que tiene la distribución de un campo de
electromagnético procedente de un foco emisor en el exterior e interior de una
lente, se recurre a un algoritmo llamado Fast convolution with free-space Green’s
functions11, el cual permite calcular el campo difractado por la lente 2D (z
invariante) mediante la resolución de una ecuación integral. Dicha ecuación
integral se resuelve de manera iterativa mediante el algoritmo BiCG-stab12. Cada
iteración consiste en una convolución que se realiza empleando la FFT,esto
además reduce el tiempo de cálculo ya que la FFT en Matlab está optimizada
mediante el algoritmo FFTW (Fastest Fourier Transform in the West)13.
11
VICO, F. et al (2016) “Fast convolution with free-space Green´s functions” en Journal
of Computational Physics. vol. 323, p. 191-203
12CAMBRIDGE, “Iterative Krylov methods for large linear systems” en Cambridge
Monographs on Applied and Computational Mathematics. Pág. 133.
13 https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html
19
3.1. CONDICIONES DE SIMULACIÓN

Dependiendo del software y del hardware utilizado, la simulación puede
diferir tanto en resultado como en tiempo de simulación para obtener una
solución, siendo la segunda parte más sensible a variaciones debido a la
dependencia del hardware.
Las simulaciones están hechas sobre el siguiente banco de trabajo:
- MATLAB 2016b
- Windows 10 – 64 bits
- Intel Core i5-3317U @ 1.70 GHz
- 8 GB memoria RAM
- Tarjeta gráfica NVIDIA GT 620M @1 GB DDR3 NO
Se recomienda usar la versión de Matlab utilizada en este proyecto para

evitar posibles problemas con las funciones utilizadas y que si van
implementadas en la versión mencionada.
4. DISEÑO DE LENTES
Se han diseñado tres lentes, que realizan la corrección de caminos de
distintas maneras: lente planoconvexa, lente heterogénea y lente de Fresnel
planoconvexa. Todas ellas tienen situado el foco fuera del plano de simulación,
debido a que al este la fuente de emisión, genera un campo electromagnético
mucho mayor que el que se tiene en la lente, lo cual, al representarlas, haría que
no se apreciarían correctamente.
Para la simulación de las lentes, se ha creado una función llamada
disenyaLente, a la cual se le indica el tipo de lente a ejecutar, la frecuencia y el
número de muestras, al indicar dichos parámetros la función preguntará por un
nombre de archivo de guardado y ejecutará el algoritmo. Tras su ejecución de se
muestra la distribución del campo eléctrico en el exterior de la lente, la corrección
de caminos, el campo en el interior de la lente y el diagrama de radiación a la
salida de la lente. Además, se guardan dos archivos con el mismo nombre, el
indicado previamente.
- Archivo de figuras ( .fig): Se guardan las figuras anteriormente
mencionadas. Cuando se realice el filtrado se guardarán además otro tipo
de gráficas (5).
- Archivo de datos ( .mat): Guarda diferentes valores necesarios para la
obtención de las figuras, la matriz con los índices de refracción, y algunos
valores útiles para evaluar el funcionamiento del algoritmo. Este archivo
puede utilizarse para generar otros tipos de gráficas o análisis.
20
Los cálculos de las lentes son realizados en la función q_2D_limpio, es decir

el planteamiento y resolución de las ecuaciones que las crean e indican su
índice de refracción (ε)
4.1. LENTE PLANOCONVEXA

Se ha planteado una lente planoconvexa genérica y resuelto para que
cumpla con la igualación de caminos. Se mantiene fijo el radio D de la lente. Esta
lente basa la igualación de camino en función de su anchura respecto al eje y,
siendo el máximo ancho el centro de lente para reducir la velocidad durante más
tiempo ya que se recorrer menos espacio que en los extremos.
Fig. 20 Lente planoconvexa con los parámetros necesarios para calcular la corrección de caminos
En los vértices la onda incide y se desvía sin llegar a entrar a la lente, solo
la toca, por lo que el tiempo que se tarda desde el foco hasta ese extremo es
𝑠 √𝑃2 + 𝐷2 (13)
𝑡𝑒𝑥𝑡 = =
𝑣 𝑐𝑜
Mientras, en el resto de la lente los rayos si inciden y son retardados

debido a que existe un valor de ε mayor que en el exterior. El tiempo que tarda
en atravesar la lente la señal se divide en dos partes, cuando pasa por el centro,
y cuando pasa por el resto de la lente
√𝑦 2 + (𝑃 − 𝑑(𝑦)2 ) 𝑑(𝑦) (14)

𝑡𝑖𝑛𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 = + · √𝜀
𝑐𝑜 𝑐𝑜
el tiempo en los extremos ha de ser igual que en el interior de la lente, por lo que
ambas fórmulas pueden ser igualadas
𝑡𝑒𝑥𝑡 = 𝑡𝑖𝑛𝑡 (15)
21
√𝑃2 + 𝐷2 √𝑦 2 + (𝑃 − 𝑑(𝑦)2 ) 𝑑(𝑦) (16)

= + · √𝜀
𝑐𝑜 𝑐𝑜 𝑐𝑜
y, además, despejando la velocidad y considerando que
√𝑃2 + 𝐷2 = 𝑇 (17)
se puede resolver la siguiente ecuación tras trasponer términos
2
2 2
(𝑇 − 𝑑(𝑦)√𝜀) = (√𝑦 2 + (𝑃 − 𝑑(𝑦)) ) (18)
𝑇 2 + 𝑑(𝑦)2 𝜀 − 2 · 𝑇 · 𝑑(𝑦)√𝜀 (19)

= 𝑦 2 + 𝑃2 + 𝑑(𝑦)2 − 2𝑃 · 𝑑(𝑦)
Ordenando términos se llega a la siguiente ecuación de segundo grado
𝑑(𝑦)2 · (𝜀 − 1) + 𝑑(𝑦) · (2𝑃 − 2𝑇√𝜀) + 𝑇 2 − 𝑦 2 − 𝑃2 = 0 (20)
Se definen unos parámetros fijos, los necesarios para poder calcular la

lente:
Posición del foco x= -0.1 y= 0.5
ε 2
Radio de la lente 0.375
Distancia al foco 0.75

Tabla 1 Parámetros para calcular lente planoconvexa
Tras implementar la ecuación en q_2D_limpio se genera una matriz de

mallado y se resuelve la ecuación de segundo grado la cual indica los puntos
donde existe la lente dentro de la malla. Las partes donde no existe se consideran
con ε= 0, y donde si, 1; esto se debe a que a toda la matriz se le resta 1 para
normalizar a 0 el medio de propagación.
22
A continuación, tras obtener la matriz con los índices de refracción es

simulado el sistema para k= 20 y N= 300, obteniendo la figura 21 en la que se
puede observar el campo eléctrico en el área delimitada y la igualación de
caminos tras incidir la onda en la lente.
Fig. 21 Campo eléctrico en el área delimitada para una lente (izquierda) y desplazamiento del
frente de ondas (derecha)
Se dibuja además el diagrama de radiación a la salida de la lente (Fig. 22)

comparado con el del foco. Se puede ver como se genera un sistema más
directivo, ganando hasta poco más de 17 dB de acuerdo con la tabla 2, en la cual
se recogen más datos sobre el entorno creado.
Lóbulo principal 17.1246 dB
Lóbulo secundario 4.816 dB
NLPS - 12.3dB
∆𝜙−3𝑑𝐵 0.07 rad= 4º
∆𝜙0 0.18 rad= 9.6º
F/S -25.45 dB
Tabla 2 Datos del diagrama de radiación de la lente planoconvexa
Fig. 22 Diagrama de radiación cartesiano de la lente planoconvexa
23
4.2. LENTE HETEROGÉNEA

A parte de la forma de la lente, la corrección de caminos también se puede
conseguir mediante la variación del índice de refracción a lo largo de la lente,
teniendo un valor mayor en el centro que en los extremos (Figura 23).
Fig. 23 Permitividad eléctrica en función de la longitud de la lente
Para poder simular dicha lente en el algoritmo es necesario plantear una

ecuación que pueda calcular el valor que tomará el índice de refracción en
función de la altura de la lente, los cuales son tomados de la figura 24
Fig. 24 Lente heterogénea con los parámetros necesarios para calcular la corrección de caminos
Como en el caso anterior, se tiene en cuenta que la onda tenga a la salida

de la lente los caminos corregidos. En los extremos la permitividad eléctrica será
mínima siendo igual al del medio propagación previo a la lente por lo que no es
necesario introducirlo en la ecuación.
Se procede al planteamiento de las ecuaciones para la corrección de
caminos.
√𝑃2 + 𝑅 2 𝑎 (21)
𝑡𝑒𝑥𝑡 = +
𝑐0 𝑐0
En el interior de la lente, de acuerdo con su radio la variación de ε se

produce del centro a los extremos.
√𝑃 + (𝑦 − 𝑦𝑜 )2 𝑎√𝜀(𝑦) (22)
𝑡𝑖𝑛𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 = +
𝑐𝑜 𝑐𝑜
Una vez más se necesita igualar los tiempos en los extremos como en el
interior de la lente.
24
√𝑃2 + 𝑅 2 𝑎 √𝑝 + (𝑙 − 𝑦𝑜 )2 𝑎√𝜀(𝑦) (23)

+ = +
𝑐0 𝑐0 𝑐𝑜 𝑐𝑜
Se reordenan términos para calcular el valor que tomará ε en cada punto

y se resta 1 para normalizar en el exterior de la lente a 0.
2
√𝑃2 + 𝑅 2 + 𝑎 − √𝑝 + (𝑌 − 𝑦𝑜 )2 (24)
𝜀(𝑦) = ( ) −1
𝑎
La última ecuación se pasa a código MATLAB para su resolución dentro

de la función q_2D_limpio, al igual que con la lente anterior. Se definen los
siguientes parámetros fijos:
Posición del foco x= -0.1 y0.5
Ancho de la lente 0.25

Tabla 3 Parámetros predeterminados para la creación de la lente
Se crea la matriz donde se situarán los valores del índice de refracción

variable. Tras resolver la ecuación 24 se han de eliminar valores que no están
dentro de los límites de la lente. A dichos valores se les asigna un valor 0.
Así se obtiene la matriz final que será analizada mediante el algoritmo y
que calculará los valores de campo eléctrico, así como en la corrección de caminos
para su posterior representación visual (Fig. 25).
Fig. 25 Campo eléctrico en el área delimitada para la lente (izquierda) y desplazamiento del
frente de ondas(derecha)
Se obtiene el diagrama de radiación del sistema lente junto con el del foco
(Fig. 26), por lo que se puede ver como al utilizar la lente, se gana directividad,
pero se pierde del cual se recogen los siguientes datos (Tabla 4):
25
NLPS - 12.9dB
∆𝜙−3𝑑𝐵 0.055 rad= 3.17º
∆𝜙0 0.13 rad= 7.2º
F/S -20.74 dB
Tabla 4 Datos del diagrama de radiación de la lente heterogénea
Fig. 26 Diagrama de radiación cartesiano de la lente heterogénea
Además, se representa una figura que muestra como varía ε (Figura 27)
respecto a los puntos de resolución, teniendo el máximo en el centro y los
mínimos en los extremos, la forma de la gráfica es similar a la de una lente
planoconvexa.
Fig. 27 Índice de refracción variante según la posición de la lente
26
4.3. LENTE DE FRESNEL PLANOCONVEXA

Debido a las propiedades mecánicas, el diseño final de una lente puede
dar como resultado un elemento muy pesado que sería inviable para su
utilización. Se decide recurrir a las lentes de Fresnel (2.3.3), las cuales permiten
reducir el peso y grosor de la lente, así pues, se calculan los radios a partir de los
cuales la lente mantiene un grosor igual a una longitud de onda, posteriormente
esos radios, son calculados de manera similar a la lente planoconvexa en param2
dentro de la función q_2D_limpio.
Posición del foco x= -0.1 y0.5
Ancho de la lente 0.25

Tabla 5 Parámetros predeterminados para la lente de Fresnel
A pesar de haber eliminado parte de la lente, se puede ver en la figura 28

como se produce la igualación de caminos, aunque se aprecian ciertos desfases
en el frente de ondas que se van desplazando hacia los extremos conforme avanza
este último.
Fig. 28 Campo eléctrico en el área delimitada para la lente (izquierda) y desplazamiento del
frente de ondas (derecha)
27
Se extrae del diagrama de radiación (Fig. 29, rojo) la tabla 6, en la que se

recogen sus principales parámetros. Se puede observar como esta lente
escalonada permite mejorar también el diagrama de radiación del foco. Se aprecia
un NLPS bastante alto, lo cual no puede interesar y causar interferencias en zonas
donde no se quiera radiar.
Fig. 29 Diagrama de radiación de lente de Fresnel planoconvexa
NLPS - 10.8267 dB
∆𝜙−3𝑑𝐵 0.065 rad= 3.72º
∆𝜙0 0.16 rad= 9º
F/S -28.1 dB
Tabla 6 Datos del diagrama de radiación de la lente de Fresnel
4.3.1. ANÁLISIS DEL ANCHO DE BANDA
Debido a que las lentes de Fresnel funcionan a una frecuencia

determinada, la cual es usada para obtener las zonas donde se generan los
escalones, se necesita calcular como varia la directividad a frecuencias cercanas a
la de trabajo, para ello se mantiene la lente calculada en la función q_2D_limpio
para la frecuencia central, y posteriormente al utilizar el algoritmo que analiza
sus características se le dan diferentes frecuencias, todas ellas entorno a la central.
Para cada una de las frecuencias se generan las imágenes de la distribución del
campo eléctrico, la forma de la lente, y como se produce la igualación de caminos,
por ello, se guardan todas en un archivo .fig.
28
Fig. 30 Valores máximos de directividad para diferentes valores de k, siendo la central 20.
Se representa el valor máximo de directividad en cada uno de los

diagramas de radiación para cada una de las frecuencias simuladas. En este caso
la frecuencia central se sitúa en k= 20.
Se observa que a frecuencias más bajas que la de diseño la directividad cae
más rápidamente, mientras que a frecuencias mayores disminuye más
suavemente. A la hora de elegir un ancho de banda máximo se ha de considerar
más restrictiva la frecuencia inferior debido a que toma valores más bajos que la
frecuencia superior.
29
4.4. COMPARACIÓN ENTRE LENTES

Tras haber diseñado y analizado las 3 lentes, se puede decir que la mejor
lente en cuestión directividad es la heterogénea, 17.7172 dB, teniendo más de 0.5
dB de diferencia con las otras lentes en su lóbulo principal.
Las lentes planoconvexa (4.1) y de Fresnel (4.3), basada en una
planoconvexa, poseen unos lóbulos laterales y secundarios con valores bastante
altos hasta que apenas se atenúan con respecto al principal, mientras que la
heterogénea (4.2) desciende hasta casi 3 órdenes de magnitud por debajo del
lóbulo primario. La de Fresnel es la que ofrece el peor NLPS.
En cuanto al ancho de banda a mitad de potencia, todas las lentes
presentan un ángulo muy bajo, 4 o menos, lo mismo sucede con el ancho entre
nulos, que es menor a 10, por lo que se pueden considerar unos sistemas foco-
lente muy directivos.
Por último, a pesar de tener la mejor directividad, la lente heterogénea,
presenta la relación delante-detrás más baja, -20.74 dB, ya que la potencia radiada
a π radianes es bastante alta, pudiendo llegar a ser objeto de problema.
Fig. 31 Diagramas de radiación de las tres lentes propuestas
30
5. FILTRADO DE LENTES
Debido a que las lentes pueden presentar bordes abruptos, se opta por
suavizarlas tratando de conservar o mejorar su directividad. En este caso se ha
optado por un filtro gaussiano (2.5). Para implementarlo se ha creado una
función que realiza dicho proceso tratando la lente como si fuera una imagen, la
cual contiene los valores del índice de refracción de la lente.
Con la ayuda de la función gausswin14, la cual crea una distribución
gaussiana, se eligen los coeficientes del filtro y un valor llamado α, que es la
inversa de la desviación estándar σ (1/α). El primer valor indica cuantos
coeficientes se escogerán, y el segundo cuáles, ya que, a mayor desviación
estándar, mayor estrechamiento y viceversa (Fig. 32). Para evitar tener dos
valores máximos en la distribución, al llamar al comando, el valor dado se
multiplica por 2 y se le suma 1, esto garantiza tener valores desde 3, ya que 2 es
un número par y 1 no genera ninguna función. Por lo tanto, al llamar al indicar
valores a la función, los tomará como: gausswin(2NN+1, 1/σ).
Fig. 32 Ejemplos de distribuciones gaussianas creadas mediante gausswin. NN= 100 y 1/σ= 1 (izquierda)
NN=100 y 1/σ=100 (derecha)
Tras escogerlos se guardan en una matriz columna, después se divide

entre la suma de todos los valores y se multiplica por su matriz traspuesta,
generando así una matriz nxn. A continuación, se realiza una convolución 2D
mediante la función conv215 con el parámetro q de la lente previamente generada,
obteniendo una matriz del tamaño de la suma de ambas menos 1 (12) que es
normalizada al tamaño de q. El filtro es aplicado sobre la lente cuando esta es
diseñada, posteriormente se le aplica el algoritmo ya mencionado (3) para que así
todos los cálculos se hagan en torno a los datos de la lente filtrada.
14 https://es.mathworks.com/help/signal/ref/gausswin.html?s_tid=doc_ta
15 https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/conv2.html
31
Fig. 33 Lente planoconvexa sin filtrado (izquierda) y lente filtrada con NN=10 y 1/σ =2.5 (derecha)
Para poder realizar diferentes tipos de análisis en el filtrado a los nombres

de las lentes anteriores se les añade el prefijo fga- , la función disenyaLente lanzará
una ventana de diálogo en la que se pueden elegir el número de coeficientes,
primera línea, y la desviación estándar, segunda línea, pudiendo introducirse
varios valores en ambas líneas, para así poder analizar diferentes valores a la vez.
En la tercera línea se indicará el nombre de guardado de las figuras creadas, así
como el archivo donde se guardarán (Fig. 34).
Fig. 34 Ventana de diálogo para el filtrado gaussiano
Tras llamar a la anterior función se puede hacer un análisis de diferentes

lentes filtradas con diferentes coeficientes y desviaciones estándar se ha
desarrollado una función llamada compPunSigma que distingue las posibles
combinaciones de análisis:
- Un solo valor para NN y σ: Se muestra el diagrama de radiación, la lente
original sin filtrar en 3D, la lente filtrada y la representación de los campos
eléctricos junto con la corrección de caminos. En un archivo .fig se guardan
todos los datos previamente mencionados.
- Un solo valor para NN y varios para σ: Se muestra una figura con los
valores máximos de directividad por cada σ y la lente original sin filtrar.
En un archivo .fig se guardan todos los datos previamente mencionados,
junto con la representación de los diagramas de radiación, las lentes
filtradas y la representación del campo eléctrico y la igualación de
caminos.
32
- Varios valores para NN y uno para σ: Se muestra una figura con los
valores máximos de directividad por cada NN y la lente original. En un
archivo .fig se guardan todos los datos previamente mencionados, junto
con la representación de los diagramas de radiación, las lentes filtradas y
la representación del campo eléctrico y la igualación de caminos.
- Varios valores para NN y varios para σ: Se muestra una figura por cada
NN y en ellas se almacenan los diagramas de radiación por cada σ, una
figura con los valores máximos de directividad en forma de gráfica y otra
en forma de tabla, por último, se muestra la lente original. En un archivo
.fig se guardan todos los datos previamente mencionados, además de las
lentes filtradas en 3D y la representación del campo eléctrico y la
igualación de caminos.
Los valores simulados son los que son los marcados como asterisco, las
rectas son productos de la interpolación entre puntos hecha por MATLAB, por lo
que la hacer una simulación entre dos puntos, como por ejemplo NN= 13, entre
10 y 15, se tendrá un valor de directividad máxima al reflejado en las gráficas de
directividades.
Una solución óptima para ambos valores (NN y 1/σ) es posible, pero
debido a que la técnica es novedosa no se pueden elegir unos valores de
referencia a partir de los cuáles comenzar el estudio. Por ello se deciden usar
valores enteros, con los que se podrán realizar acotaciones en más profundidad.
5.1. LENTE PLANOCONVEXA FILTRADA

Se aplica el filtro a la lente planoconvexa (4.1) (Fig. 33 a la izquierda) dando
valores a NN comprendidos entre 1 y 30, y a 1/σ entre 1 y 5 (Fig. 34). Se puede ver
como que a medida que aumentan NN y 1/σ aumenta la directividad ligeramente,
pero llega un momento, en el que el primer valor hace descender la directividad,
sobre todo para valores grandes de desviación.
Fig. 35 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente planoconvexa
33
Como se obtienen demasiados valores de máxima directividad, se

guardan en la tabla 6, para una mejor interpretación numérica. Consultándola,
se obtiene que la máxima directividad de la simulación está en 2 lentes, la primera
está con NN= 10, 1/σ= 2 y la segunda NN= 20, 1/σ=5.
Tabla 7 Directividades máximas en cada lente filtrada en función de NN (filas) y 1/σ (columnas)
Como se puede observar en la figura 36, a pesar de tener la misma

directividad las lentes filtradas, se obtienen diagramas de radiación distintos,
apreciando mayor diferencia en los extremos. También se puede observar que,
comparadas con la lente original, la relación delante-detrás, así como la
directividad en los lóbulos laterales, son los parámetros que más se consiguen
mejorar a parte de la directividad máxima.
Fig. 36 Diagrama de radiación comparativo entre las lentes filtradas que ofrecen la mayor directividad
con la lente sin filtrar
En la figura 37, obtenida en 3D, pero rotada para una mejor observación
se ve como varía el índice de refracción en las lentes en los bordes, pero al tener
una mayor desviación estándar que la otra, el tránsito de 0 a 1 se hace con más
suavidad. En la lente original no existe tal cambio suavizado de medio, es decir,
cuando se pasa de un medio a otro, se pasa de 0 a 1 instantáneamente.
34
Fig. 37 Lentes filtradas NN= 10, 1/σ= 2 ( arriba izquierda),NN= 20, 1/σ= 5 (arriba derecha) y lente sin filtrar
35
5.2. LENTE HETEROGÉNEA FILTRADA

Se aplica el filtro a la lente heterogénea (4.2) (Fig.35 izquierda). dando
valores a NN comprendidos entre 1 y 30, y a 1/σ entre 1 y 5 (Fig. 34). Se puede
como si NN se mantiene entre 10 y 20, apenas aumenta la directividad, aunque
cambie σ. Solamente, cuando el número de coeficientes es muy grande, a partir
de NN= 25, empieza a decaer la directividad para una desviación estándar de 1,
el resto de lentes han variado en torno a 17.85 dB desde 10 a 30 coeficientes
Fig. 38 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente heterogénea
Se aprecia ligeramente como en desde la base hasta la parte superior de la

lente existe una ligera pendiente que indica la variación de ε, la cual no existe en
la original.
Fig. 39 Lente heterogénea sin filtrar (izquierda) y lente filtrada para NN= 4 y 1/σ= 2
Observar las lentes desde el eje Y puede ser más complicado debido a que
la lente heterogénea en su propia definición ya toma en cuenta la variación del
índice de refracción, y en este caso se ha situado en dicho eje.
36
Para mayor comodidad en la tabla 7 se recogen los valores máximos de

directividad, y obteniendo como valor máximo 17.8593 dB para NN= 4 y 1/σ= 2.
A continuación, se simula la mejor lente filtrada por separado y se

compara con la original (Fig. 40) para comprobar los efectos del suavizado, estos
son una ligera mejora de la directividad, 0.15 dB, junto con aumento de casi 20
dB de la relación delante-detrás, Entre -2 y 2 radianes se pude observar que la
directividad apenas varía, habiendo una diferencia casi inexistente.
Fig. 40 Comparación de la lente sin filtrar con la lente que ofrece el mejor filtrado
37
5.3. LENTE DE FRESNEL PLANOCONVEXA FILTRADA

Se utilizan los mismos valores utilizados de filtrado, NN entre 1 y 30
anteriormente para simular la lente de Fresnel (4.3) (Fig. 41). Se observa como a
partir de NN= 10 las directividades empiezan a descender para cualquier valor
de desviación estándar dado.
Fig. 41 Directividades máximas para diferentes valores de filtrado en la lente de Fresnel
En la Tabla 8 se ven las directividades máximas en las lentes simuladas,

teniendo como máximo la lente filtrada con NN= 2 y 1/σ=1. Se aprecia mejor que
en la gráfica el descenso de la directividad máxima en función de los coeficientes.
38
Se simula la lente con mejorar directividad máxima y se compara con la

lente original para apreciar los cambios producidos tras filtrar. En la figura 42 se
ve como se crea cierta separación entre los máximo valores del índice de
refracción, lo que implica que en esas partes se colocará un elemento de menor
índice.
Fig. 42 Lente Fresnel sin filtrar y filtrada para NN= 2 y 1/σ=1
Al observar la figura 43 se puede ver como el diagrama a grandes rasgos

no ha sufrido muchos cambios, la directividad no ha llegado a mejorar ni 0.1 dB,
y el NLPS junto con F/S se mantienen si sufrir grandes cambios. Esto indica que
aplicar un proceso de filtrado a la lente de Fresnel puede no se llegar a ser útil,
debido a la complejidad que requeriría diseñar este tipo de lentes.
Fig. 43 Diagrama de radiación de la lente sin filtrar y la lente filtrada
39
6. EVALUACIÓN DEL FOCO

En todas las simulaciones se ha mantenido el foco invariante, para así tener
la mejor comparación posible entre lentes. Uno de los parámetros del foco más
importantes es el exponente de la función que determina su diagrama de
radiación.
Fig. 44 Diagrama de radiación para distintos focos
Las pruebas anteriores han sido realizadas con un exponente de valor 4, el

valor por defecto. Tras haber hecho diversas modificaciones en la lente, se varía
el diagrama de radiación del foco, para ver cómo afecta a una lente planoconvexa,
para ello, se varía el exponente, llamado en su correspondiente script,
diagrama_foco, HH.
Se dan valores más elevados y se realizan diversas simulaciones para
estimar donde se encontraría el máximo. Finalmente se acota una zona desde 4
hasta 25, que es simulada con saltos de tres en tres. Al haber elevado tanto HH
se necesita que el diagrama final necesite más puntos de muestra, si previamente
se usaban 1200 muestras para dibujar el diagrama, ahora se necesitan 2400.
Se puede ver como los mejores valores para HH se encuentran entre 13 y
19, alcanzando un máximo en 16 (Fig. 45). La existencia de un número mayor es
posible debido a que dicha variable puede ser un número real no negativo, dando
cabida a realizar búsquedas con mayor precisión alrededor de ciertos valores.
40
Fig. 45 Diagramas de radiación para variación del foco
El hecho de aumentar HH hace que se radie más potencia hacia el centro,

puesto que el haz del foco se estrecha, como se ha podido ver en la figura 44.
Llega un momento en el cual el haz se estrechado tanto que la eficiencia de
iluminación (ηi) ha disminuido, además, las pérdidas producidas por la eficiencia
de desbordamiento (ηs) serían bajas. Esto sería una analogía a cuando el foco se
encuentra dentro de la parábola de un reflector, no se estaría aprovechando bien
el elemento diseñado.
41
7. LINEAS FUTURAS
Debido a la cantidad de variables que pueden ser modificadas en la parte
de la lente, queda abierta la posibilidad de seguir mejorando la directividad en
base al cambio de otros parámetros como pueden ser el tamaño de la lente, su
índice de refracción, la distancia al foco, usar otro tipo de lentes convergentes
(2.3.1). También cabría la posibilidad de cambiar el filtro gaussiano por algún
otro, como puede ser un filtro de media o filtro binomial.
Podrían diseñarse además lentes negativas, es decir, lentes con índice de
refracción (n) menores que 1. Estás lentes se pueden conseguir mediante
dieléctricos artificiales, los cuáles no tienen equivalentes ópticos.
Como pueden combinarse todos los parámetros anteriores, sería factible
incluso el desarrollo de una IA que diseñe las lentes, pudiendo usar métodos
como el backtracking16 o el uso de un algoritmo genético17 que permitan la
optimización de las lentes expuestas en este proyecto.
Fig. 46 Backtracking aplicado al problema de las N-Reinas (izquierda) y antena diseñada

mediante algoritmo genético
Además, el diseño de lentes y simulación de lentes puede ser realizado

mediante un análisis 3D a través de la simetría de revolución, pero hay que tener
en cuenta que la adición de una dimensión más requiere un coste computacional
mucho mayor.
Por último, y relacionado con el filtrado de lentes, para que tengan un
determinado índice de refracción variable a la hora de su fabricación se les puede
realizar una serie de agujeros espaciados de una forma determinada que afectan
directamente al parámetro anteriormente mencionado18. Este proceso se
encuentra aún en fases de experimentación para diseño de lentes. Así pues,
16 https://www.cis.upenn.edu/~matuszek/cit594-2012/Pages/backtracking.html
17 https://es.mathworks.com/help/gads/what-is-the-genetic-algorithm.html
18 Imbert i Villà, Marc (2016) “Inhomogeneous Dielectric Flat Lens Principles and Design”
en Design and Performance Evaluation of Millimeter-Wave Flat Lens Antennas for

Communications, Radar and Imaging Applications. Barcelona: Universitat Politècnia de
Catalunya. Págs 26-33
42
realizando diferentes incisiones en distintas partes de la lente, se consigue el

índice de refracción no sea uniforme en todo su conjunto, teniendo por tanto una
lente heterogénea.
8. CONCLUSIONES
Los objetivos fijados en este proyecto fueron el desarrollo de 3 tipos de
lentes, modeladas a partir de modelos matemáticos que cumplieran con la
corrección de caminos. Todas ellas fueron evaluadas mediante el algoritmo (3)
Fast convolution with free-space Green’s functions en combinación con un programa
que permitió el análisis de los datos recabados, tales como la forma de la lente,
almacenada en una matriz, tiempos de cómputo, distribución de los campos
eléctricos, corrección de caminos, formación de los distintos diagramas de
radiación y las comparaciones necesarias para destacar una lente sobre otra o
saber si el modelado había sido el adecuado o no. Para permitir un análisis y sin
necesitar una segunda ejecución del código, se almacenar los parámetros
esenciales para recrear de nuevo las lentes o elementos deseados.
Se ha observado y analizado como varía el diagrama de radiación en
función de un elemento debido a que la forma de igualación de caminos se basa
en diferentes parámetros, en la lente planoconvexa depende de la curvatura de
la lente, la lente heterogénea, del índice de refracción, y la lente de Fresnel de la
frecuencia de trabajo a partir de una planoconvexa, debido a esa dependencia, se
analizó su comportamiento, para así estimar un correcto ancho de banda.
Posteriormente, se ha procedido a utilizar una técnica de filtrado espacial
sobre las lentes, de la cual no hay constancia previa al momento de la redacción.
Este proceso hace que el cambio de medio sea una transición más suave, a partir
de variar el índice de refracción poco a poco. Como el filtro puede ser modificado,
las combinaciones posibles son infinitas. En este filtrado se ha primado por
observar los elementos que han ofrecido una mejor directividad máxima, en
cambio también es posible que lo que se busque sea mejorar otro parámetro,
como pueden ser la separación entre el lóbulo principal y el secundario, NLPS,
los anchos de haz, la relación delante-detrás o alguno de los otros parámetros
mencionados en el apartado 2.2.1.1.
Por último, se han propuesto una serie de líneas futuras de investigación
en el campo de lentes aplicadas a antenas, ya que son diversas las formas en las
que puede seguir este proyecto, desde buscar nuevas formas de lentes a usar
técnicas distintas de filtrado, así como tratar de automatizar el proceso de
búsqueda de lentes óptimas a partir de IAs, e incluso a utilizar métodos
fabricación aún en fase de investigación que permitan desarrollar lentes más
complejas en cuanto a diseño se refiere.
43
9. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
AZNAR CARDAMA. Á. et al. (2002) Antenas. Barcelona: Edicions UPC.
Segunda edición.
A. SERWAY, R. Y W. JEWETT JR, J. (2009) “La onda bajo ref”Física para
ciencias e ingeniería con Física Moderna. México D.F.: Cencage Learning
Editores. Séptima Edición Vol. 2.
INSTITUTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERS. (1993)
IEEE Standard Definitions of Terms for Antenas. IEEE.
VICO, F. et al (2016) “Fast convolution with free-space Green´s functions”
en Journal of Computational Physics. vol. 323, p. 191-203
GIMÉNEZ PALOMARES, F., MONSORIU SERRÁ, J., & ALEMANY
MARTÍNEZ, E. (2016). “Aplicación de la convolución de matrices al
filtrado de imágenes” en Modelling in Science Education and Learning,
vol. 9 (1), p. 97-108.
MATHWORKS. Gausswin.
<https://es.mathworks.com/help/signal/ref/gausswin.html?s_tid=do
c_ta> [Consulta:10 de septiembre]
MATHWORKS. Preallocate Arrays of Graphics Objects.
<https://es.mathworks.com/help/matlab/creating_plots/preallocate-
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MATHWORKS. Conv2
<https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/conv2.html?s_tid=doc_t
a> [Consulta: 10 de septiembre]
PLATERO C. (2010) Apuntes de visión artificial. Madrid: Dpto. Electrónica,
Automática e Informática Industrial. p. 124-130
UNIVERSITY OF AUCKLAND. (2010) Gaussian Filtering.
<https://www.cs.auckland.ac.nz/courses/compsci373s1c/PatricesLec
tures/Gaussian%20Filtering_1up.pdf> [Consulta: 10 de septiembre]
UNIVERSIDAD DE SEVILLA. Procesamiento en el dominio espacial (Parte 2).
Sevilla: Dpto. Matemática Aplicada I
MATHWORKS. What it´s a genetic algorithm.
https://es.mathworks.com/help/gads/what-is-the-genetic-
algorithm.html
IMBERT I VILLÀ, MARC (2016) “Inhomogeneous Dielectric Flat Lens
Principles and Design” en Design and Performance Evaluation of
Millimeter-Wave Flat Lens Antennas for Communications, Radar and
44
Imaging Applications. Barcelona: Universitat Politécnica de

Catalunya. Págs. 26-33
45

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UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

ESCOLA POLITECNICA SUPERIOR DE GANDIA

Grado en Ing. Sist. de Telecom., Sonido e Imagen

“ESTUDIO, ANÁLISIS Y DISEÑO DE

TRABAJO FINAL DE GRADO

Fig. 28 Campo eléctrico en el área delimitada para la lente (izquierda) y

1.1. ESTRUCTURA DEL PROYECTO

Este proyecto se ha llevado a cabo de acuerdo con los siguientes pasos:

1AZNAR CARDAMA. Á. et al. (2002) “Lentes” en Antenas. Barcelona: Edicions UPC.

- Comparación de lentes (Apartado 4.4): Las tres lentes son comparadas

La reflexión es la propiedad física por la cual una onda al incidir sobre un

Los dos tipos principales de este fenómeno son reflexión especular y

2 A. SERWAY, R. Y W. JEWETT JR, J. (2009) “Naturaleza de la luz y leyes de óptica

Fig. 1 Reflexión especular (izquierda) y reflexión difusa (derecha)

2.1.1.1. REFLEXIÓN INTERNA TOTAL

Cuando una onda viaja por un medio y penetra en un segundo, parte de

3 SERWAY, op.cit., 2009, Pág. 985.

Fig. 3 Rayo incidente sobre un medio con diferente índice de refracción

De acuerdo con el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)

4 INSTITUTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERS. (1993) IEEE Standard

2.2.1. DIAGRAMA DE RADIACIÓN

Una antena al radiar una onda, puede no hacerlo de la misma manera en

Fig. 5 Diagrama de radiación tridimensional omnidireccional

La información también puede ser presentada en forma de coordenadas

Fig. 6 Diagrama de radiación en coordenadas polares vertical (izquierda) y horizontal (derecha)

Fig. 7 Diagrama de radiación en coordenadas cartesianas

2.2.1.1. PARÁMETROS DEL DIAGRAMA DE RADIACIÓN

La directividad de una antena es la relación entre la densidad de potencia

- Isotrópica: Esta antena radia uniformemente en todas las direcciones y

Fig. 9 Diagramas de radiación en 3D isotrópico (izquierda), omnidireccional (centro) y directivo

5 Cardama, op.cit, 2002, pág. 22.

2.2.3. EFICIENCIA DE ILUMINACIÓN Y EFICIENCIA DE

Al situar un objeto refractante o reflectante enfrente de una antena, de la

Un valor bajo de ηs indica que gran parte de Pr está incidiendo sobre el

Ambos parámetros son de uso común reflectores, y también en lentes6,

Fig. 10 Eficiencia total a partir de la eficiencia de iluminación y desbordamiento para un reflector

6 Ferran, M. y Valero. A. “Lentes” en Antenas. Valencia: Universidad Politécnica de

2.3.1. TIPOS DE LENTES

Las lentes se pueden clasificar según su forma física en dos grupos,

Fig. 11 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente

Las formas de las lentes convergentes pueden ser planoconvexa,

Fig. 12 Lentes planoconvexa (izquierda), biconvexa (centro), cóncavoconvexa (derecha)

7 Cardama, op.cit, 2002, pág. 299.

- Divergentes: Son aquellas que son más anchas en los extremos.

Fig. 13 Recorrido de la onda desde el foco hasta la salida de la lente

Las formas de las lentes divergentes pueden ser planocóncava, bicóncava

Fig. 14 Lentes planocóncava (izquierda), bicóncava (centro), convexa cóncava (derecha)

2.3.2. CORRECIÓN DE CAMINOS

tenga, la distancia del foco, del índice de refracción y de la forma. En el apartado

2.3.3. LENTES DE FRESNEL

En el diseño de lentes se tiene en cuenta también el tamaño de la lente a

Fig. 16 Transformación de una lente planoconvexa a una lente de Fresnel

2.4. FILTRADO GAUSSIANO Y CONVOLUCIÓN 2D

Fig. 17 Representación en 3D dimensiones de una distribución gaussiana

8 GIMÉNEZ PALOMARES, F., MONSORIU SERRÁ, J., & ALEMANY MARTÍNEZ, E.

Para guardar la distribución como un pixel es necesario discretizarla

Una vez formada la matriz de filtrado, también llamada kernel, se realiza

Fig. 18 Proceso de convolución bidimensional de dos matrices 3x310