III Criterios de Divisibilidad
III Criterios de Divisibilidad
III Criterios de Divisibilidad
Colegios TRILCE
Criterios de
Divisibilidad
1. Definicin
Son condiciones que deben cumplir los
nmeros para ser divisibles por otros.
Estas condiciones en algunos casos
son operaciones cuyos resultados
permitirn saber si existe divisibilidad
o no.
2. Criterios de Divisibilidad
2.1. divisibilidad por 2
Un nmero ser divisible por 2 cuando
la cifra de unidades es par.
Es decir:
o
o
Si abcd es 2 d es 2 ,
d = { 0; 2; 4; 6; 8}
4352 es 4 , ya que 52 es 4
o
56700 es 4 , ya que 00 es 4
o
2
61
o
56728 es 8 ?
7 2 8
4 2 1
2
108
2
54
No es 8
Forma Prctica 2:
o
Si 123a es 4 , halla a.
o
3a es 4
32 Luego:
36 a = 2; 6
216
2
122
04
24 Luego :
44 a= 0; 2; 4; 6; 8
64
84
o
4 x 7 + 2 x 2 + 1 x 8 = 40 es 8
o
63408624 es 8 ?
6 2 4
4 2 1
o
4 x 6 + 2 x 2 + 1 x 4 = 32 es 8
o
43216 es 8 ?
Debe tener 3 veces, la mitad:
4324 es 4 , ya que 24 es 4
o
o
1208 es 4 , ya que 08 es 4
244
Forma Prctica 1:
Ejemplos :
o
Si 53a4 es 4 , halla a.
o
a4 es 4
o
50244 es 8 ?
Veamos:
Ejercicios:
2
27
d=0 5
Si es 8
6346 no es 4 , ya que 46 no es 4
III Bim. / ARITMTICA / 1ER. AO
52
Colegios TRILCE
50 a = 0
o
Si 662a5 es 25 , halla a.
o
a5 = 25
25 a= 2 7
75
2.6. divisibilidad por 125
Un nmero ser divisible por 125 si el
nmero formado por sus 3 ltimas cifras
es mltiplo de 125.
Es decir:
Si:
o
o
abcde es 125
cde es 125 ,
cde = {000; 125; 250; ...;875}
Ejemplos :
Ejercicio:
o
Si 7893ab es 125 , halla a + b.
o
3ab = 125
375
a=7;b=5
a + b = 12
o
4+a+2+1= 3
o
a+7=3
a = {2; 5; 8} 3 valores
o
Si 35a21 es 9 , halla a.
o
3+5+a+2+1=9
o
57000 es 125?
o
S, ya que 000 es 125.
Ejemplos :
o
4 3 2 5 6 4 es 11
- +- + - +
Pues: - 4 + 3 - 2 + 5 -6 + 4 = 0
o
es 11 .
o
2 6 3 7 8 es 11
+ -+ -+
Pues: 2 - 6 + 3 - 7 + 8 = 0
o
es 11 .
o
9 6 8 es 11
+ - +
o
Pues: 9 - 6 + 8 = 11; es 11 .
o
1 9 2 8 3 es 11
+ - + - +
Pues: 1 - 9 + 2 - 8 + 3 = 11
o
es 11 .
Ejercicios:
o
Halla a si a1a =11 .
o
a
1 a = 11
+ - +
o
4325625 es 125?
o
S, ya que 625 es 125.
o
a + 11 = 9
a =7
o
a 1 + a = 11
2a 1 = 11 a = 6
6
o
Halla x si 5x231 = 11.
5 x 2 3 1
+ - + - +
o
5 - x + 2 - 3 + 1 = 11
o
5 x = 11
x = 5
5
o
0 es 11
Forma Prctica 1:
Un nmero ser divisible por 7 si al
separar el doble de la ltima cifra, restas
del nmero que queda y as sucesivamente
resulta un mltiplo de 7.
Colegios TRILCE
Nivel i
o
Si 5a10b es 72 , halla a+b.
Ejemplo :
o
420721 es 7
o
8
4 2 0 7 2 (1
2
4 2 0 7 (0
0
4 2 0 (7
1 4
4 0 (6
1 2
o
2 8
es 7
Forma Prctica 2:
Un nmero ser divisible por 7
cuando de derecha a izquierda y
cifra por cifra se les multiplica a sus
dgitos por los factores:
... 3 ; 1 ; -2 ; -3 ; -1 ; 2 ; 3 ; 1
5a10b
o
9
a) x + 3 = 7
o
b) x + 11 o= 9
c) x - 3 = 6
o
d) 5 - x = 8
o
e) 2x + 1 = 11
o
f) 3x + 8 = 7
o
1) 5 a 1 0 b es 8
o
1 0 b es 8
4 21
o
4x1+2x0+1xb=8
o
b+4=8
b=4
o
2) 5 a 1 0 4 es 9
o
5+a+1+0+4=9
o
a + 10 = 9
Rpta.:
Rpta.:
Rpta.:
Rpta.:
Rpta.:
Rpta.:
a=8
a=8yb=4
2) Si 4x + 9 =11,
halla los 3 primeros enteros
positivos.
a) 5; 16; 27
b) 6; 17; 28
c) 4; 15; 26
d) 2; 13; 24
e) 1; 12; 23
2x - 6 = 7
2340216 es 7?
2 3 4 0 2 1 6
1 -2 -3 -1 2 3 1
1 x 2 - 2 x 3 - 3 x 4 1x0+2x2+3x1+1x6=-3
o
No es 7 .
Alexander
Aitken
(1895 - 1967)
AITKEN tena una
memoria increble,
poda al instante
multiplicar, dividir
y calcular races de
nmeros bastante
grandes. Describi sus procesos
mentales en un artculo, en el
cual dice que, desde pequeo
tuvo la habilidad de familiarizarse
con los nmeros, adquirida como
algo innato y agudizada con la
prctica.
a) 30
b) 31
c) 32
d) 29
e) 28
d) 8
e) 9
Colegios TRILCE
a) 0; 3; 6; 9
b) 1; 4; 7
c) 0; 4; 8
a) 9
b) 10
c) 11
d) 3; 9
e) 5; 8
o
12) Halla n si 45n302n es 7.
a) 0 y 2
b) 2 y 9
c) 1 y 4
d) 1 y 5
e) 0 y 5
d) 12
e) 13
a) 2
b) 3 u 8
c) 5
divisible por 8?
d) 2 9
e) 6
a) 2
b) 0
c) 0 u 8
d) 4 y 8
e) 2 y 8
o
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
a) 12
b) 15
c) 18
a) 1
b) 2
c) 3
a) 3
b) 4
c) 5
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
a) 3
b) 4
c) 5
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
tiene octava.
d) 6
e) 7
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
o
22) Si a23xy es 1125 ,
halla a + x - y.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
o
16) Halla xsi 7xxx + 12xx+x es 11 .
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) Si 3a710b es 72 ,
halla a . b
o
17) Halla nsi 3n(n+1)(n+2)1es 11.
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
d) 12
e) 18
d) 55
e) 66
a) 6
b) 8
c) 10
a) 5
b) 4
c) 44
d) 18
e) 24
24) Si xxxyy2 es 99 ,
halla: x . y
a) 8
b) 10
c) 12
o
o
11) Halla n si nnn1 es 7 .
nn + 23n2 + n52
Nivel II
o
10) Halla x, si 3xx + 1xx es 9.
d) 10
e) 11
o
d) 4
e) 5
d) 6
e) 7
a) 1
b) 8
c) 9
o
9) Halla "a" si aaaaa2 es 9 .
siguiente expresin:
d) 21
e) 24
o
8) Si 9a3a es 9 , halla "a".
aba es 7 ; halla: a . b . c
a) 24
b) 60
c) 140
d) 75
e) 120
I. 197 es 3 .
I. 8
II. 47353 es 7 .
( )
III. 9449 es 11 .
( )
a) VVF
b) FFF
c) FFV
d) VVV
e) VFV
II. 3
I. 789532 es 2 .
o
II. 473259 es 9.
o
III. 73545 es 25 .
( )
( )
______ 15a = 11
o
III. 13
III. 4a = 7 ______ 7a = 9
a) <, <, =
b) <, >, =
c) <, <, <
d) >, >, =
e) =, >, <
Nivel iii
34) Dado el nmero 6315, qu cifra
debe quitarse para convertirse en
un nmero de 3 cifras divisible
entre 3?
a) 6
b) 1
c) 3
III. 11
d) 5
e) Ninguna
a) 8
b) 7
c) 5
d) 3
e) Ninguna
II. 3a = 9
______ 422a = 7
o
I. 9a = 7
( )
o
d) 4
e) 5
mn54a es 4 .
( )
d) FFF
e) VFF
a) VVV
b) FFV
c) VFV
Colegios TRILCE
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Colegios TRILCE
d) 4
e) 5
a) 13
b) 12
c) 11
de a si 36ab = 25 .
a) 6
b) 8
c) 10
o
a) 100
b) 4
c) 0
d) 294
e) 284
d) 8
e) 3
d) 16
e) 25
a) 27
b) 15
c) 21
a) 27
b) 63
c) 54
d) 20
e) 22
d) 11
e) 14
d) 42
e) 48
d) 13
e) 14
Pierre de Fermat
a) 10
b) 13
c) 15
41) Si 2m3m es 7 ,
halla m3 - m2 .
d) 4
e) 5
d) 48
e) 18
a) 243
b) 343
c) 304
a) 2
b) 6
c) 8
46) Si ab es 5 , ba es 9 y abc es 4 ;
d) 12
e) 14
40) Si 32mm es 7 ,
halla m3 - m2 .
d) 14
e) 10
d) 15
e) 11