Ensayo PSU Matematica PDF

ENSAYO PSU
PRUEBA DE MATEMTICA
Forma
UST-216
INSTRUCCIONES
1.-
Esta prueba consta de 80 preguntas de las cuales 75 sern

consideradas para el clculo del puntaje y 5 sern de pilotaje, por
tanto no se considerarn en el puntaje final de la prueba. Cada
pregunta tiene 5 opciones, sealadas con las letras A; B; C; D y E, una
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.-
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.-
Las respuestas a las preguntas se marcan en la Hoja de Respuestas que se le ha

entregado. Complete todos los datos pedidos. Se le dar tiempo para ello antes de
comenzar la prueba.
4.-
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON
DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisin o error en ellos impedir
que se entreguen los resultados.
5.-
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al nmero de la pregunta

que est contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse
de ella. Hgalo exclusivamente con lpiz grafito N2 o portaminas HB.
6.-
Lea atentamente las instrucciones especficas para responder las preguntas de

Suficiencia de Datos en donde se explica la forma de abordarlas. Estas preguntas
estn ubicadas con el resto de las preguntas en cada eje temtico.
7.-
No se descontar puntaje por preguntas errneas.
8.-
Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar
oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarn para la
evaluacin EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.
9.-
Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba

en ella solamente los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar
la hoja. Si lo hace, lmpiela de los residuos de goma.
10.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTN necesariamente dibujadas

a escala.
DECLARACIN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad

exclusiva de la Pontificia Universidad Catlica de Chile y que est prohibida su
reproduccin parcial o total.
MATEMTICA
FIRMA
ENSAYO UST-216
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Catlica de Chile. Prohibida su reproduccin total o parcial.
INSTRUCCIONES ESPECFICAS
1.
2.
3.
4.
5.
A continuacin encontrar una serie de smbolos, los que puede

consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas.
Los grficos que se presentan en este ensayo estn dibujados en
un sistema de ejes perpendiculares.
Se entender por dado comn, a aquel que posee 6 caras, donde al
lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables
de salir, a menos que se indique lo contrario.
g) ( x ) = f ( g ( x ) )
6.
(f
7.
Los nmeros complejos i y i son las soluciones de la ecuacin
x2 + 1 = 0.
8.
Si z es un nmero complejo, entonces z es su conjugado y z es

su mdulo.
9.
Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N ( 0,1) y donde

la parte sombreada de la figura representa a P ( Z z ) , entonces se
verifica que:
P (Z z)
0,67
0,99
1,00
1,15
1,28
1,64
1,96
2,00
2,17
2,32
2,58
0,749
0,839
0,841
0,875
0,900
0,950
0,975
0,977
0,985
0,990
0,995
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solucin al problema, sino que
se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones
(1) y (2) se pueda llegar a la solucin del problema.
Es as, que se deber marcar la opcin:
A)
(1) por s sola, si la afirmacin (1) por s sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmacin (2) por s sola no lo es,
B) (2) por s sola, si la afirmacin (2) por s sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmacin (1) por s sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por s sola es
suficiente,
D) Cada una por s sola, (1) o (2), si cada una por s sola es suficiente para
responder la pregunta,
E) Se requiere informacin adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere informacin adicional
para llegar a la solucin.
SMBOLOS MATEMTICOS
<
es menor que
es congruente con
>
es mayor que
es semejante con
es menor o igual a
es perpendicular a
es mayor o igual a
es distinto de
ngulo recto
//
es paralelo a
pertenece a
conjunto vaco
AB trazo AB
valor absoluto de x
x
ln
logaritmo en base e
x!
factorial de x
unin de conjuntos
complemento del conjunto A
interseccin de conjuntos
vector u
ngulo
log logaritmo en base 10
MATEMTICA
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1.
3 1
+ 3
5
2
2
22
3
A)
B)
C)
D)
E)
2.
1
42
7
10
14
135
5
32
21
40
Sean a =
p
p
y b=
dos nmeros racionales no nulos, con p, q y r
r
q
nmeros enteros distintos de cero, tales que a < b. Cul(es) de los

siguientes nmeros racionales pertenece(n) al intervalo a,b ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
p
, con q+1 distinto de cero.
q+1
p ( r + q)
2qr
p
, con r 1 distinto de cero.
r 1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
Ninguno
MATEMTICA
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3.
1 1
cul de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto al
3 5
valor de T?
Si T =
I)
Al aproximar T por redondeo a la milsima, se obtiene un

nmero mayor a T.
II)
T pertenece al conjunto de los nmeros racionales.
III) El valor de T 0, 03 es igual a T truncado a la dcima.
4.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Los
dimetros
de
aproximadamente
un
glbulo
4
1,5 10
blanco
y 7,5 10
un
glbulo
respectivamente.
rojo
son
Cuntas
veces es ms grande es un glbulo blanco que un glbulo rojo?

A)
5 10 2
B)
C)
5 1010
2 102
D)
0,2 1010
E)
2 101
MATEMTICA
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5.
Un triatleta de alto rendimiento, en su preparacin para los Juegos

Olmpicos, tiene como meta completar un mximo de 200 minutos
1
entre las 3 pruebas. Si en natacin ocupa
de los minutos y en trote
10
28
del tiempo restante. Cuntos minutos le quedan para realizar la
45
etapa de bicicleta, sin pasarse de su meta?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
132
68
Aproximadamente 124.
Aproximadamente 112.
Aproximadamente 95.
Las alternativas muestran el desarrollo, paso a paso, del ejercicio
( 4 ) : (2
3
: 84
En cul de ellas se ha cometido primero un error?
A)
( )
B)
(2 )
C)
230 : 217
D)
E)
230 : 234
24
415 : 25 : 23
2
15
: 25 : 212
MATEMTICA
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7.
Sean p un nmero real, tal que 1 p 1 y K otro nmero real mayor

que 1. Es siempre verdadero que
8.
A)
( pK )
B)
K
<K
p
C)
Kp K
D)
Si K ,
E)
K p podra ser negativo
p
K
<p
Dada la ecuacin x 10 = m2 + 3m para que la solucin en x sea

siempre un nmero entero par, se debe cumplir que:
(1) m es par.
(2) m es entero.
A)
B)
C)
D)
E)
9.
(1) por si sola

(2) por si sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por s sola, (1) o (2)
Se requiere informacin adicional
Si A es divisor de 12, B es divisor de 20 y C es mltiplo de 4, cul de

las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
El producto entre A, B y C es siempre par.
B)
Existen valores para A y C de modo que se cumpla que
C)
D)
E)
A+C
es
10
un nmero entero.
A B
El valor de
es entero.
C
Si A y B son mayores que 5 entonces existen valores de C
divisores del producto entre A y B.
Si A y B son menores que 3, entonces A+B puede tomar 3
posibles valores distintos.
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10.
Sabiendo que e=2,718281 y = 3,141592 . Si W es la aproximacin

por defecto a la centsima de e y F es la aproximacin por exceso a la
centsima de , entonces se puede afirmar que
W+F e+
=
2
2
11
=F
II) W +
25
III) F = 0,01
I)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
11. (log
A)
B)
C)
D)
E)
12.
I
II
III
I y II
I y III
81) log5
( 5)
4
log 8 =

2
27

3
3
16
48
3
48
Si M = 4 A 3 22 6 25 cul de las siguientes alternativas corresponde al

valor de A, de modo que M sea igual a 4?
A)
B)
C)
D)
E)
22
23
26
27
218
MATEMTICA
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13.
Cul de las siguientes alternativas tiene como resultado un nmero
racional, considerando un tringulo rectngulo cuyos catetos miden

y
A)
B)
C)
D)
E)
14.
El rea del tringulo, considerando un cateto como base y el otro

como altura.
El cociente entre los catetos mayor y menor.
El cuadrado de la diferencia entre los catetos del tringulo.
El cuadrado de la suma de los catetos.
La mitad de la suma de los cuadrados de los catetos.
Una hoja cuyo grosor es de 0,1 mm, se dobla en 2, luego nuevamente

en 2 y as sucesivamente. Cul es el alto total, en cm, despus de
realizar 8 dobleces?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
3?
1
1,6
8
2,56
102,4
Al reducir la expresin (log5 10 ) (log3 125) (log8 3) se obtiene

A)
B)
20
log2 10
C)
log4 15
D)
(log2 ) (log8 9 )
E)
log16 138
MATEMTICA
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16.
Sea D = i32 + i16 i2 + ix , donde i es la unidad imaginaria, cul de las

siguientes opciones podra ser el valor de x para que D valga 2?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
0
22
29
41
47
Dado el nmero complejo r = m i , con m un nmero real, se puede

afirmar que el mdulo es igual a la unidad si:
(1) m = 0
(2) El mdulo de su conjugado es 1.
A)
B)
C)
D)
E)
18.
(1) por si sola

(2) por si sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por s sola (1) o (2)
La distancia d recorrida por un mvil corresponde al producto entre el

tiempo t empleado y el promedio de su velocidad inicial v0 y su
velocidad final vf . Cul de las siguientes alternativas representa al
enunciado dado?
A)
B)
C)
D)
E)
v + vf
d = t 0
2
v vf
d = t 0
2
t v0 + v f
d=
v + vf t
d= 0
d=
t ( v0 + v f )
MATEMTICA
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10
19.
Dada la expresin algebraica 2x 4 16x , cul de las siguientes

expresiones es equivalente a ella?
A)
2x ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 )
B)
x 4 + x2 + 4 x2 4
C)
2x ( x 2 ) x2 + 2x + 4
D)
4 ( x + 2) ( x 2)
E)
20.
)(
2x ( x + 2 ) ( x 2 ) ( x 2 )
Un saln cuadrado de rea x2 + 4ax + 4a2 cm2 , con a > 0 , se compara

con otro saln, de forma rectangular, cuyo largo tiene ( a + 1) cm ms y
su ancho
( a 1) cm
menos que el lado del primer saln. Cmo se
puede expresar el rea del segundo saln, en centmetros cuadrados?
21.
A)
x2 + 2ax + x + a + 1
B)
x2 + 3a2 + 4ax + 2x + 4a + 1
C)
x2 + 2ax 2a 1
D)
x2 + 3a2 + 4ax 2a 1
E)
x2 + 3a2 + 1
p
p
Para p 1 , el producto p +
p
corresponde a
p 1
p 1
A)
B)
p3 (p 2 )
C)
D)
p2 (p 2 )
E)
2p
( p 1)
p 1
MATEMTICA
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11
22.
23.
Esta tarde los alumnos de IV medio presentarn una obra de teatro en

su colegio. Para ubicar a los espectadores en el patio, que es de forma
cuadrada, estn colocando todas las sillas disponibles, igualmente
espaciadas y de modo que haya el mismo nmero de sillas por lado,
pero al poner x sillas por lado sobran 16 de ellas; en cambio al ubicar
una silla ms por lado faltan 31 de ellas. Cul es la mxima cantidad
de sillas que podrn poner en este patio con las condiciones dadas?
A)
545
B)
496
C)
576
D)
676
E)
529
Dado el sistema
2ax + 3by = p
ax by = q
para x e y con a, b, p y q no nulos.
Cul es la quinta parte de la diferencia entre los cuadrados de p y q,

en ese orden?
A)
a2x2 b2y2
B)
a2x2 + b2y2
C)
( ax by )
D)
( ax + by )
E)
No se puede determinar con el sistema dado.
MATEMTICA
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12
24.
En la prueba semestral de 50 preguntas, se obtienen 4 puntos por

cada respuesta correcta, pero se pierde 1 punto por cada respuesta
incorrecta. Si Martn obtiene 145 puntos al desarrollar la totalidad de la
prueba, cuntas respuestas correctas ha tenido?
A)
B)
C)
D)
E)
25.
55
45
39
19
11
Dada la ecuacin x2 ( a + i) (b i) x ( a b ) i = 0 , tal que a y b son

nmeros reales iguales y, adems, i es la unidad imaginaria. Una de
las soluciones de la ecuacin, en trminos de a, es
A)
B)
C)
D)
E)
26.
x
x
x
x
x
= 2a 1
= a1
= 2a + 1
= a+1
= a2 + 1
Siendo u y v nmeros reales distintos de cero y n un nmero entero

positivo. Cul de las siguientes desigualdades es siempre positiva?
A)
un + vn
B)
u + n
v
C)
D)
E)
u2n v2n
u2n
v 2n + n
Ninguna de las anteriores.
MATEMTICA
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13
27.
Se puede establecer que la grfica de una funcin f es una recta con

pendiente positiva en el primer cuadrante del plano cartesiano si se
sabe que:
(1) f establece la relacin de la diagonal de un cuadrado con su
lado.
(2) El dominio y el recorrido de f son nmeros reales positivos.
A)
B)
C)
D)
E)
28.
Cuntos kilogramos de chocolate de $ 3.500 el kg se deben fundir con

6 kilos de chocolate de mejor calidad que cuesta $ 5.000 el kg, para
que el precio de un kilogramo de la mezcla sea inferior a $ 4.000 ?
A)
B)
C)
D)
E)
29.
(1) por s sola

(2) por s sola
Aproximadamente 8,5 kg.

Ms de 8,5 kg.
Menos de 8,5 kg.
Ms de 12 kg.
Menos de 12 kg.
Amanda, para determinar el dinero que recaudar cada semana por los
chalecos que vende, ha establecido un modelo lineal de clculo. Si ella
tiene un costo fijo de $ s por la materia prima requerida y la semana
anterior por cada chaleco, de los x que vendi, pudo recaudar $ y .
Cunto dinero recaudar esta semana por la venta de t chalecos?
A)
B)
C)
D)
E)
x
t +s
y
tx+s
y
t +s
x
xy ts
ys
t +s
x
MATEMTICA
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14
30.
Dadas la funciones f y g definidas en los nmeros reales por las

frmulas f ( x ) = 2x 3 y g ( x ) = 2 3x , cul debe ser el valor de x
para que se cumpla la condicin ( f g) ( x ) = ( g f ) ( x ) ?

A)
B)
C)
D)
E)
31.
4
9
0
9
4
2
No existe un valor de x para esta condicin.
Para la funcin f ( x ) = r ( x p ) + q , con dominio en los nmeros reales

2
y, adems, p, q, r nmeros reales distintos de cero. Con respecto a su

grfica, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Su interseccin con el eje y est a q unidades del origen del

sistema cartesiano.
II)
El eje de simetra de la parbola asociada est a p unidades

de distancia del eje y.
III) Si r > 0 entonces tiene un mximo en el punto (p, q ) .
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMTICA
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15
32.
Dado el grfico adjunto para f ( x ) es correcto afirmar para esta funcin

que
A)
D)
su dominio es el conjunto de los

nmeros reales positivos.
su recorrido es el conjunto de los
nmeros reales positivos.
1
su funcin inversa es f 1 ( x ) =
x
para x distinto de cero.
f (r ) < f (r + 1) para r nmero real no
E)
negativo.
Ninguna de las anteriores.
B)
C)
33.
c
a
x + 2 = 0,
b
b
con a, b y c nmeros reales positivos, para que su ecuacin asociada
tenga dos soluciones reales y distintas, se debe cumplir que
Dada la funcin definida en los nmeros reales por x2
A)
B)
C)
D)
E)
34.
c2
c2
c2
b2
b2
4a > b2
4a > 0
4a < b2
4ac > 0
4ac < 0
Si en el conjunto de los nmeros reales se definen las funciones

f ( x ) = x3 u y g ( x ) = x 4 v , con 0 < u < v , entonces cul de las
siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
B)
f ( x ) es una funcin creciente en todo su dominio.
La grfica de g ( x ) es una parbola con concavidad hacia arriba.
C)
f (1) > g ( 1) .
D)
E)
Ambas funciones intersectan al eje y en un valor negativo.

Si u = v , entonces ambas funciones son iguales.
MATEMTICA
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16
35.
Para la funcin real definida por f ( x ) = xn , con nmero n entero

positivo mayor o igual que 2, es siempre verdadero que
I)
f (p q) = f (p ) f ( q) .
II)
f ( x ) es una funcin inyectiva.
III) f 1 ( x ) es una funcin.
A)
B)
C)
D)
E)
36.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
Se puede determinar que la funcin f ( x ) es inyectiva si se sabe que:

(1) f ( x ) est definida de modo tal que f : {1} .
(2) f ( x ) corresponde al cociente entre x y su antecesor.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por s sola

(2) por s sola
MATEMTICA
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17
37.
Cul de las siguientes alternativas representa mejor al tringulo ABC

que se obtiene luego de una simetra con respecto a la recta L,
aplicada al tringulo ABC, como en la figura?
L
C
A
B
A)
B)
C)
L
C
C
A
A
C
B
A
D)
E)
A
B
B
C
MATEMTICA
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18
38.
Cul de los siguientes puntos corresponde al circuncentro del

tringulo de la grfica adjunta, dado por las coordenadas de sus
vrtices?
y
(7,6)
A) ( 4, 0)
B)
C)
39.
(3,2)
(3,0)
D)
3 5
2,2
E)
( 4,2)
(0,1)
(8,1)
En la figura adjunta, AB//DF , DA//CB y DF corta en E y F a los dos

lados del tringulo ABC. Si 2 DE = EF , entonces cul de las siguientes
alternativas es FALSA?
A)
El permetro del tringulo EFC es el doble del permetro del

tringulo EDA.
B)
EDA ~ ABC
C)
El segmento EA mide la mitad que el segmento EC.
D)
ABC ~ EFC
E)
El rea del tringulo EFC es
2
del rea del tringulo ABC.
3
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
19
40.
En el trapecio escaleno ABCD se trazan las rectas DF y CF, que son

paralelas a CB y AD , respectivamente, y que al mismo tiempo
intersectan en E y G a la base AB , como en la figura adjunta. Adems,
AE = EF. Cul de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
AED GBC
B)
Rombo AGCD es congruente
con el rombo BEDC.

C)
AED GEF
D)
EG GB
E)
DC > CB
41.
Con cul de las siguientes operaciones entre vectores es posible

obtener el vector ( 1,7) ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 ( 2, 4) ( 3,1)
(1, 1) (2, 6 )
3 (1,1) + 4 ( 1,1)
Solo con I
Solo con III
Solo con I y con II
Solo con I y con III
Con I, con II y con III
MATEMTICA
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20
42.
Cul de los
semejantes?
A)
siguientes
pares
de
polgonos
NO
son
siempre
Dos trapecios issceles, en que la medida del ngulo basal de uno

de ellos es igual al ngulo basal del otro.
B)
Dos tringulos equilteros en que la medida del lado de uno de

ellos es distinta a la medida del lado del otro.
C)
Dos cuadrados cualesquiera.
D)
Dos pentgonos regulares cualesquiera.
E)
Dos tringulos rectngulos issceles en que la medida del cateto

de uno de ellos es distinta de la medida del cateto del otro.
43.
En un tringulo ABC se traza un segmento CD hasta el lado AB , Con

cul de las siguientes condiciones los tringulos ADC y BDC NO son
necesariamente congruentes?
C
I)
ACD DCB y AC = 2 DB .
II)
BAC ABC y CD es altura.
III) DAC DBC y AC = CB .

A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMTICA
con
con
con
con
con
I
II
III
I y con II
I y con III
ENSAYO UST-216
21
44.
En el paralelogramo ABCD, con AD DB , como en la figura, se trazan

las alturas DE y BF . Si AD = 15 cm y DB = 20 cm , entonces el rea del
rectngulo EBFD es
45.
A)
300 cm
B)
192 cm2
C)
150 cm2
D)
108 cm2
E)
96 cm
Dos puntos dividen interiormente a un trazo AB, P en la razn m : n y

Q en la razn n : m. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
FALSA(S)?
I) Si m < n, entonces AP < PQ.
II) Si m = n, entonces P coincide con A y Q con B.
III) Si m > n, entonces AP > PB.
A)
B)
C)
D)
E)
46.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
II
III
I y II
I y III
II y III
En el deltoide RSTU, inscrito en la circunferencia de centro O, RT y SU

son diagonales. VT = m y RT : VT = 5 : 1 . Cunto mide la cuerda SU
en trminos de m?
U
A)
m 5
B)
2m 5
C)
D)
E)
2m
3m
4m
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
22
47.
En la siguiente figura, las rectas AD y BE se intersectan en C. Se puede

determinar que ABC ~ DEC si:
(1) BAD EDA
(2) AD y BE
corresponden
las
diagonales del trapecio ABDE, de

base AB .
48.
A)
(1) por s sola
B)
(2) por s sola
C)
D)
E)
En el cuadriltero ABCD de la figura adjunta, AD = 2 cm , CD = 6 cm y

CB = 4 cm . Si AC CB y BC//AD , entonces AB mide
A)
4 3 cm
B)
4 cm
C)
12 cm
D)
4
cm
3
E)
56 cm
MATEMTICA
C
D
B
A
ENSAYO UST-216
23
49.
En la circunferencia de la figura adjunta, A, B, C, D, E y F son puntos

de ella. El arco BF mide 22 y el ngulo FEC mide 24. Las cuerdas
AC//FE y AB//DF . La medida del ngulo DFE es
C
A) 24
B) 46
C) 35
D) 48
E) 70
D
F
B
E
A
50.
Dada la ecuacin de la recta
x y
+ = 1 , con p y q nmeros reales
p q
distintos de cero, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?
I)
II)
Si p = q, entonces siempre la recta tiene pendiente 1.

Si p y q son de distinto signo, entonces la recta tiene
pendiente negativa.
III) Si q es un valor constante positivo y p es negativo, entonces
a mayor valor de p, mayor pendiente tiene la recta.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMTICA
I
II
III
I y II
I y III
ENSAYO UST-216
24
51.
Cul de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuacin

3x 5y + 1 = 0 ?
A)
B)
C)
D)
E)
52.
(2, 1)
( 2, 1)
(3, 2 )
( 3,2 )
(5, 3)
Para el sistema de ecuaciones lineales
ax + by = 0
, con a, b, d y e
dx ey = 1
nmeros reales positivos, es siempre verdadero que

A)
si a = d y b = e , entonces las rectas son coincidentes.
B)
si
C)
D)
E)
53.
a
b
, entonces las rectas son paralelas.
d e
a d
si = 1 , entonces las rectas son perpendiculares.
b e
la segunda recta corta al eje y en ( 0,1) .
independientemente de los valores de a, b, d y e, estas rectas son

secantes.
En cul de los siguientes casos el par de puntos NO corresponde al

origen y el extremo, respectivamente, del vector v = ( 2,3 ) ?
A)
B)
C)
D)
E)
Origen
(5,1)
( 4, 0)
( 2,3)
( 1, 2)
(2, 0 )
MATEMTICA
Extremo
(3, 4)
( 6,3)
( 4, 6 )
( 1,1)
(0, 3)
ENSAYO UST-216
25
54.
La figura adjunta muestra un tringulo ABC y un punto O. Al tringulo

se le aplica una homotecia de centro O y razn k1 , obtenindose el
tringulo homottico ABC, y luego a ste se le aplica otra homotecia
de centro O y razn k 2 , resultando el tringulo homottico ABC. En
cul de las siguientes alternativas el tringulo ABC es el de mayor
rea?
55.
A)
0 < k 2 < k1 < 1
B)
2 < k1 < k2 < 0
C)
k1 < 2 y k 2 < 2
D)
1 < k1 < 2 y 1 < k 2 < 2
E)
0 < k1 <
.O
A
1
y 2 < k2 < 0
2
Si se hace girar indefinidamente un cuadrado de lado L en torno a

algn eje, entonces NO es posible obtener
A)
dos conos rectos unidos por sus bases.
B)
un cilindro recto de radio basal L.
C)
un cilindro recto de radio basal
D)
dos conos rectos unidos por sus vrtices.
E)
dos cilindros de bases concntricas, una de radio basal L+x y el
L
.
2
otro de radio basal x.
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
26
56.
En el espacio tridimensional, los dos extremos de un dimetro del

crculo Q son ( 0,5, 4 ) y (0,3,2 ) . Si Q se traslada segn el vector
(3, 0, 0 ) ,
entonces el volumen del cuerpo generado de esta manera, en
unidades cbicas, es
57.
A)
B)
12
C)
D)
6 2
E)
2 2
La ecuacin vectorial de la recta que pasa por los puntos
(0, 4 )
( 2, 6 ) , con t variando en los nmeros reales, es

A)
x ( t ) = ( 0, 4 ) + t (1,5 )
B)
y ( t ) = ( 0, 4 ) + t ( 2, 6 )
C)
z ( t ) = ( 2, 6 ) + t ( 0, 4 )
D)
p ( t ) = (2,10 ) + t ( 0, 4 )
E)
q ( t ) = ( 0, 0 ) + t (2,10 )
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
27
58.
Se pueden determinar las coordenadas del centro de un cubo de arista

2 unidades en el espacio tridimensional, si se sabe que:
(1) El centro del cubo est en el primer octante, a
3 unidades
de distancia del origen de coordenadas.

(2) Tres de las caras del cubo estn apoyadas en los planos XY,
YZ y XZ, respectivamente.
59.
A)
(1) por s sola
B)
(2) por s sola
C)
D)
E)
Se tiene una poblacin de tamao 7. El nmero total de muestras, sin

orden y sin reposicin, de tamao N 7 , que se pueden extraer de tal
poblacin es igual a
A)
7!
N!
B)
7!
(7 N) ! N!
C)
7!
(7 N ) !
D)
7!
(N 7 ) !
E)
( 7 N) !
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
28
60.
Se considera un grupo de recin nacidos a los cuales se les hizo un

seguimiento por 15 meses para estudiar a qu edad, en meses, el beb
deja de tomar leche materna por diversos motivos. Los resultados se
encuentran en el histograma adjunto. Cul de las siguientes
afirmaciones no es posible realizar?
A)
La mediana del estudio se encuentra contenida en el intervalo

11,13 .
B)
Menos del 25% de los bebs fueron amamantados hasta antes de

los 11 meses de vida.
C)
La moda de los bebs est contenida en el intervalo 11,13 .
D)
Se consideraron en el estudio un total de 30 bebs.
E)
Aproximadamente el 33% de los bebs de la muestra fueron

amamantados entre 13 y 15 meses, inclusive.
Nmero de bebs
13
10
5
MATEMTICA
11 13 15
Meses de
lactancia
ENSAYO UST-216
29
61.
Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) posible(s) de realizar

de acuerdo al siguiente histograma de frecuencias absolutas
acumuladas u ojiva?
60
45
27
22
7
|
5 10 15 20 25
I)
II)
Un resumen de las frecuencias absolutas es

Intervalo Frecuencia Absoluta
7
0,5
5,10
10,15
15
15,20
20,25
18
5
15
La frecuencia relativa del intervalo 5,10 es exactamente

igual a 0,36 .
III) La mediana de la muestra corresponde a la marca de clase

del intervalo 15,20 .
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
I, II y III
E)
Ninguna de ellas es posible afirmar.
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
30
62.
63.
Cul de las siguientes encuestas NO forma una muestra de datos

cualitativos?
A)
Se le consulta a un grupo de estudiantes acerca de su director de

cine favorito.
B)
Se le consulta a un grupo de trabajadores acerca de la

radioemisora de preferencia.
C)
Se le consulta a un curso de primero bsico acerca de su

caricatura favorita.
D)
Se le consulta a un grupo de mdicos acerca del laboratorio de

preferencia al momento de recomendar un cierto medicamento.
E)
Se le consulta a un curso de primer ao de universidad acerca de

cuntas horas a la semana, en promedio, estudian para alguno de
sus ramos.
En la muestra de x1 x2 x3 ... x599 x600 , que se encuentra en

orden ascendente, se afirma que
x300 x301
.
2
x + x151
II) el primer cuartil de la muestra es 150
.
2
III) el percentil 75 podra ser igual a la mediana de la muestra.
I)
el percentil 50 de la muestra es igual a
De tales afirmaciones es (son) verdadera(s)

A)
B)
C)
D)
E)
solo
solo
solo
solo
I, II
I.
I y II.
I y III.
II y III.
y III.
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
31
64.
Si de la poblacin de datos P = {10,16,22} se obtienen todas las

muestras sin orden y sin reposicin de 2 elementos que se pueden
extraer, entonces, con respecto a la media poblacional, cul es el
mximo error, en valor absoluto, que se podra cometer si se
considerara el promedio muestral de solo una de estas muestras?
65.
A)
B)
C)
D)
E)
16
1
Si la muestra , para n variando de 1 hasta 20 tiene desviacin
n
estndar igual a , cul es la desviacin estndar de la muestra
30
?
n
A)
20
B)
30
C)
30
D)
202 n
E)
50n
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
32
66.
La muestra P = {1,3,5,7} tiene varianza P2 , y la muestra Q = {2, 4,6,8}

tiene varianza 2Q . Cul de las siguientes alternativas es falsa?
67.
A)
Las muestras tienen distinta dispersin con respecto a su

promedio.
B)
El promedio de Q es mayor que el promedio de P.
C)
La varianza de Q es, numricamente, igual a su promedio.
D)
La desviacin estndar de P es menor que su promedio.
E)
Los coeficientes de variacin de ambas muestras son iguales.
Si X es una variable aleatoria continua que se rige por una distribucin

normal de media 10 y de varianza igual a 5; y Z es una variable
aleatoria normal estndar, cul de las siguientes alternativas es
posible usar para calcular P ( X 12) ?
A)
12 10
1 P Z
B)
12 10
P Z
C)
12 5
1 P Z
10
D)
12 + 5
P Z
10
E)
12 + 10
1 P Z
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
33
68.
Al considerar una poblacin que se modela mediante una distribucin

normal, la cual tiene media y varianza 81, se comete un error igual a
1,23 al estimar tal media poblacional mediante el promedio muestral
de una muestra de 144 elementos. Cul es el nivel de confianza usado
en tal estimacin?
69.
A)
99%
B)
95%
C)
92,5%
D)
90%
E)
75%
Se puede determinar cul de las muestras, entre P y Q, tiene mayor

dispersin con respecto a su promedio aritmtico, si se sabe que:
(1) Las desviaciones estndar

numricamente, equivalentes.
de
ambas
muestras
son,
(2) El promedio aritmtico de P es igual a 1 y el promedio

aritmtico de Q, 2.
A)
(1) por s sola
B)
(2) por s sola
C)
D)
E)
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
34
70.
Informes de meteorologa determinaron que la probabilidad de que no

disminuya el viento maana es del 8%. Pero la probabilidad de que
llueva maana dado que ha disminuido la velocidad del frente de mal
tiempo es del 59%. Cul es la probabilidad de que llueva y que la
velocidad del frente de mal tiempo disminuya?
A) 0,0472
B) 0,0869
C) 0,5428
D) 0,6413
E) 0,0736
71.
Un dado est cargado de tal manera que es siempre el triple ms

probable el obtener un mltiplo de 3 que cualquier otro nmero en l.
Si se define la variable aleatoria X de tal manera que ella estudia la
probabilidad de no obtener un mltiplo de 3. Cul es la funcin de
probabilidad que modela este experimento?
1k
1k
A)
4 6
P (X = k ) =

10 10
B)
6 4
P (X = k ) =

10 10
C)
2 4
P (X = k) =
6 6
D)
4 2
P (X = k) =
6 6
E)
4
P (X = k ) =
10
1 k
1 k
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
35
72.
Si X ~ B (2,p ) y F es su funcin de probabilidad acumulada, entonces,

la tabla que resume la informacin entregada por F es
A)
B)
C)
D)
E)
73.
F (k )
(p 1 )
F (k )
(1 p )
F (k )
(1 p )
1 p2 1
1
1p 1
1
F (k ) 1 p
p2 1 1
1
(1 p )
F (k ) 1 p
1p 1
si x = 2
k ( x 1) ,
Si
si x = 4
f (x ) =
,
2
x
0,
en otro caso
es una funcin de probabilidad asociada a una variable aleatoria

discreta X. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
16
17
Si F es la funcin de probabilidad acumulada, entonces
F ( 4) = 1 .
k =
III) f (3) = 0
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
36
74.
Una variable aleatoria discreta X se encarga de estudiar la probabilidad

de que un cierto nmero de alumnos rinda una prueba de nivel sin
haber estudiado. La funcin de probabilidad g, asociada a X, se
encuentra en la tabla adjunta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
10
12
g (k ) 0, 05 0,3 0,1 0, 05 0, 45 0, 05
I)
El valor esperado de X es igual a 6,9 alumnos.
II)
La desviacin estndar de X es igual a cero.
III) La funcin de distribucin de probabilidad acumulada G,

asociada a X es
10
G (k ) 0, 05 0,35 0, 45 0,5 0,95
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
I, II y III
E)
Ninguna de ellas es verdadera
MATEMTICA
12
1
ENSAYO UST-216
37
75.
Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribucin

Triangular si su funcin de densidad de probabilidad es
1
2 k ( x 1) , si 1 x < 2
si x = 2
k,
f (x) =
.
2
1
k (3 x ) , si 2 < x 3
2
0
en otro caso
Cul es el valor de k, sabiendo que es un nmero real positivo?
A)
B)
C)
D)
E)
76.
1
2
1
2
2
3
4
Las probabilidades que tiene un alumno de aprobar los exmenes de

2 4
3
lgebra I, Clculo I y Modelos Probabilsticos son de ,
y
3 5
5
respectivamente. Cul es la probabilidad de reprobar Clculo I si se
sabe que solo reprob una de las tres asignaturas, asumiendo que el
evento aprobar es dicotmico?
A)
B)
C)
D)
E)
34
75
2
75
2
25
6
34
73
75
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
38
77.
Una moneda est cargada de tal manera que por cada 5 caras, se
obtienen 3 sellos, si tal moneda de lanza 5 veces de manera
independiente y se define la variable aleatoria X como el nmero de
sellos que se obtienen en tales lanzamientos. Cul es la probabilidad
de obtener entre 2 y 4 sellos?
2
A)
B)
3 5
3 5
3 5
8 8 + 8 8 + 8 8

C)
3 5
8 8

D)
E)
Si
78.
3 5
3 5
3 5
10 + 10 + 5
8 8
8 8
8 8
5 3
5 3
5 3
10 + 10 + 10
8 8
8 8
8 8
2
3
3
2
4
3 5
3 5
3 5
1 10 + 10 + 5
8 8
8 8
8 8
X ~ B (2.000 ; 0, 02 )
y tal
distribucin se
requiere aproximar
mediante una distribucin normal, entonces, la tipificacin de la

variable aleatoria Y, Normal, que induce tal distribucin es
A)
B)
C)
D)
E)
Y 40
0,02 0,98
Y 40
2.000 0,02 0,98
Y + 40
2.000 0, 02 0, 98
Y 40
2.000 0,02 0,98
Y 40
2.000 0, 02 0, 98
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
39
79.
80.
Una empresa instala en una ciudad 20.000 ampolletas en el alumbrado

pblico. La empresa a cargo de suministrar las bombillas dice que el
tiempo medio de duracin es de 302 das con una desviacin estndar
de 98 das. Asumiendo que la vida til de las ampolletas se rige por
una distribucin normal, cuntas, de las ampolletas instaladas se
espera que duren ms de 400 das?
A)
16.820
B)
3.180
C)
841
D)
100
E)
Falta informacin para responder la pregunta.
Se puede determinar el nmero de maneras en que se pueden ordenar

90 libros, de modo que no se mezclen sus temas, si se sabe que:
(1) Los libros son de 5 temas diferentes y todos los libros son
distintos.
(2) Se deben ordenar en una sola fila.
A)
(1) por s sola
B)
(2) por s sola
C)
D)
E)
MATEMTICA
ENSAYO UST-216
40

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ENSAYO PSU

Esta prueba consta de 80 preguntas de las cuales 75 sern

Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

Las respuestas a las preguntas se marcan en la Hoja de Respuestas que se le ha

Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al nmero de la pregunta

Lea atentamente las instrucciones especficas para responder las preguntas de

No se descontar puntaje por preguntas errneas.

Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba

10.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTN necesariamente dibujadas

DECLARACIN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad

A continuacin encontrar una serie de smbolos, los que puede

Los nmeros complejos i y i son las soluciones de la ecuacin

Si z es un nmero complejo, entonces z es su conjugado y z es

Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N ( 0,1) y donde

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

nmeros enteros distintos de cero, tales que a < b. Cul(es) de los

Al aproximar T por redondeo a la milsima, se obtiene un

T pertenece al conjunto de los nmeros racionales.

III) El valor de T 0, 03 es igual a T truncado a la dcima.

veces es ms grande es un glbulo blanco que un glbulo rojo?

Un triatleta de alto rendimiento, en su preparacin para los Juegos

Las alternativas muestran el desarrollo, paso a paso, del ejercicio

En cul de ellas se ha cometido primero un error?

Sean p un nmero real, tal que 1 p 1 y K otro nmero real mayor

K p podra ser negativo

Dada la ecuacin x 10 = m2 + 3m para que la solucin en x sea

(1) por si sola

Si A es divisor de 12, B es divisor de 20 y C es mltiplo de 4, cul de

El producto entre A, B y C es siempre par.

Existen valores para A y C de modo que se cumpla que

Sabiendo que e=2,718281 y = 3,141592 . Si W es la aproximacin

Si M = 4 A 3 22 6 25 cul de las siguientes alternativas corresponde al

Cul de las siguientes alternativas tiene como resultado un nmero

racional, considerando un tringulo rectngulo cuyos catetos miden

El rea del tringulo, considerando un cateto como base y el otro

Una hoja cuyo grosor es de 0,1 mm, se dobla en 2, luego nuevamente

Al reducir la expresin (log5 10 ) (log3 125) (log8 3) se obtiene

Sea D = i32 + i16 i2 + ix , donde i es la unidad imaginaria, cul de las

Dado el nmero complejo r = m i , con m un nmero real, se puede

(1) por si sola

La distancia d recorrida por un mvil corresponde al producto entre el

Dada la expresin algebraica 2x 4 16x , cul de las siguientes

Un saln cuadrado de rea x2 + 4ax + 4a2 cm2 , con a > 0 , se compara

menos que el lado del primer saln. Cmo se

puede expresar el rea del segundo saln, en centmetros cuadrados?

Esta tarde los alumnos de IV medio presentarn una obra de teatro en

para x e y con a, b, p y q no nulos.

Cul es la quinta parte de la diferencia entre los cuadrados de p y q,

No se puede determinar con el sistema dado.

En la prueba semestral de 50 preguntas, se obtienen 4 puntos por

Dada la ecuacin x2 ( a + i) (b i) x ( a b ) i = 0 , tal que a y b son

Siendo u y v nmeros reales distintos de cero y n un nmero entero

Se puede establecer que la grfica de una funcin f es una recta con

Cuntos kilogramos de chocolate de $ 3.500 el kg se deben fundir con

(1) por s sola

Aproximadamente 8,5 kg.

Dadas la funciones f y g definidas en los nmeros reales por las

para que se cumpla la condicin ( f g) ( x ) = ( g f ) ( x ) ?