EJERCICIOS RESUELTOS:

1.-se tiene los pesos en (Kg.) de 50 estudiantes de la escuela de ODONTOLOGIA de la

FACS de la UNJBG, observados en abril del 2015.
50

52

51

50

53

52

54

53

51

54

53

56

57

58

60

62

64

63

61

65

60

67

69

70

72

74

75

77

79

78

76

77

73

79

78

80

81

82

84

86

82

83

85

84

79

80

82

86

85

84

a).- Construya una tabla de distribucin de frecuencias.

b).- Represente el grfico adecuado.
Desarrollo: 1.- N datos

c = R/K

K = 1+ 3.32 log n

-> X min = 50

k = 1+ 3.32 (log 50)

c = 36/7

-> X max = 86

k = 6.641

c = 5,14

R = 86 50 = 36

k = 7 ( es N entero)

Titulo: Muestra de 50 estudiantes de la escuela de comunicaciones de la

de la UNJBG, observados segn su peso (kg) en abril del 2007.
[L1

L5 ]

Yi

fi

Fi

hi

[50

55,14)

52,57

11

11

0,22

0,22

[55.14 60,28)

57,71

16

0,10

0,32

[60,28 65,42)

62,85

21

0,10

0,42

[65,42 70,56)

67,99

24

0,06

0,48

[70,56 75,70)

73,13

28

0,08

0,56

[75,70 80,84)

78,27

10

38

0,20

0.76

[80,84

83,42

12

50

0,24

1,00

86]
total

50

Hi

1,00

Fuente: Datos obtenidos en el servicio de bienestar universitario UNJBG

FLCJ

2.- Con el cuadro obtenido en ( 1 ):

a).- Calcular: La Media Mediana La Moda e interpretar estos valores.
b).- Calcular: La desviacin estndar La varianza y el coeficiente de variacin.
Desarrollo
La media: M (Y ) = Yi fi

= 3458

N
La Mediana: Med (Yi) = Yk + (

M (Y ) = 69,16 Kg

50

n/2 - F k-1 ) Ck
fk

= 70,56 + (25-24 ) 5,14

4

Med (Yi) = 71,845 Kg.

La moda : Mo(Yi) = Yk + k (

) Ck

1 + 2

Mo(Yi) = 80,84 + (

1 = 12 - 10= 2
2 = 12 - 0 =12

) 5,14

2 + 12
Mo(Yi) = 81, 57 Kg

desviacin estndar (S) (usando calculadora )

; s = 12,10770713.

La varianza es el cuadrado de la desviacin estndar : V (y ) = 146,596572

INTERPRETACIN DE LA MEDIA : El peso promedio de los 50 estudiantes de la

escuela FLCJ es 69,16 Kg.
INTERPRETACIN DE LA MEDIA NA

El 50% de estudiantes tienen un peso menor a 71,845 Kg. Mientras que el

50%, restantes pesan ms de 71,845 Kg.
INTERPRETACIN DE LA MODA :El peso ms frecuente de los estudiantes es
81,57 Kg.
El coeficiente de variacin (C.V.)
C. V(y) . =

s x 100
M(y)

C. V(y) . = 12,10770713x 100

69,16
C. V.(y) = 17,50% 15% : por lo tanto el promedio NO ES REPRESENTATIVO

3).- a).-se conocen los datos de los pesos de 1500 estudiantes, distribuidos en 5
intervalos con amplitud constante e igual a 10. De los cuales se pide calcular la mediana;
se sabe que:
Y3 = 65

F1 = 300

H2 =

0,04

Li - Lj

Yi

fi

Fi

Hi

40 - 50

45

300

300

0,20

50 - 60

55

600

900

0,40

60 - 70

65

70 - 80

75

80 - 90

85

TOTAL

Desarrollo
A)

hi = fi
n

1500
N = 1500

hi = 300/1500 = 0,2
fi = hi x n
fj = 0,40 x 1500 = 600

hallar Li

Yi = Li+ Li+Ck
2
45 = 2li+10
2
90 = 2Li+10
45 = Li+5
40 = Li
Ahora la mediana : Med (Yi)
Med (Yi)=Li+ ( n/2 Fk-1 )
fk
Med (Yi)=50+ ( 750 100 ) 10

Med (Yi)=57,5.

600
4.- Se dispone los siguientes datos de 40 trabajadores de la empresa
constructora EDIFSA segn la edad en aos; en agosto del 2008 en la ciudad
de Lima.
21
23
23
25
i)
ii)
iii)

30 40 35 57 36 28 24 60 61
32 52 43 60 28 37 50 65 69
60 45 38 67 35 52 60 50 56
48 38 25 68 34 58 65 53 58
Construir un cuadro de distribucin de frecuencias
Construir un grafico adecuado a estos datos
Es representativa la edad promedio?, justifique su respuesta.

Solucin:
i)
Muestra de 40 trabajadores de la empresa EDIFSA observados segn su
edad (en aos) en agosto del 2008 en la ciudad de Lima.

[ YL-1
YL]
[21
29)
[29
37)
[37
45)
[45
53)
[53
61)
[61
69]
total

Yi

fi

Fi

hi

Hi

hi%

25
33
41
49
57
65

8
6
5
6
9
6

8
14
19
25
34
40

0.2
0.15
0.125
0.15
0.225
0.15

0.2
0.35
0.475
0.625
0.85
1

20%
15%
12.5%
15%
22.5%
15%

40

100

Fuente: datos obtenidos por entrevista directa

ii)

S
CV ( Y ) = 100
Y
CV ( Y ) =

14.085
100
45

CV ( Y ) =31.30
Como CV

15% entonces

No es representativo

5.- Se tiene una distribucin de frecuencias de cinco intervalos de clase con

amplitud constante, de

H 3=0.6875

f 4=2

ella se conoce:

h1=0.125

h2=0.1875

y n=32. Adems se sabe que: La moda es 43.75 y su

mediana es 45.
Reconstruir el cuadro y calcular:
a) La media aritmtica
b) La desviacin estndar
c) El cuartil 3
Solucin:
[ YL-1
YL]

Yi

fi

Fi

hi

Hi

[20
30)
[30
40)
[40
50)
[50
60)
[60
70)

25
35
45
55
65

4
6
12
2
8

total

4
10
22
24
32

0.125
0.1875
0.375
0.0625
0.25

0.125
0.3125
0.6875
0.75
1

32

Mo[Y] = 43.75
Med[Y]= 45
Mo[Y]=

YK +

a)

6
C =43.75
6+10 K

Mo [ Y ] =Y =

Y if i 1400
=
=46.25
n
32

b) S=13.16956719

Med [ Y ] =Y K +

YK +

YK +

C =45
( 1610
12 )

c)

Q3=50+

2422
10=60
2

6
C =43.75
16 K
6
C =45
12 K

6.- Dada la siguiente distribucin de

frecuencia de amplitud constante,
adems se conoce que

8 f 4=5 f 3

complete la tabla y calcule:

a) M [Y ]
Resolviendo el sistema de
ecuaciones se obtiene:

Y K =40 y C K =10

b)
c)
d)
e)

cuartil 2
s
M(4Y+10)
V(8Y-12)

Peso en Kg
[40
)
[
)
[
)
[
)
[56
]
TOTAL

h
0.10

H
0.25

26
0.90

Solucin:
Peso en Kg

Yi

fi

Fi

hi

Hi

[40
44)
[44
48)
[48
52)
[52
56)
[56
60]
TOTAL

42
46
50
54
58

4
6
16
10
4
40

4
10
26
36
40

0.10
0.15
0.4
0.25
0.10
1

0.10
0.25
0.65
0.90
1

8 f 4=5 f 3

f4
f
=5 3
n
n

8 h4 =5 h3
5
h4 = h3
8

h3 +h 4 +0.35=1

h3 +h 4=0.65
5
h3 + h 3=0.65
8
h3=0.4

h4 =0.25

entonces
Como

F3 =26

H 3=

Adems:

n=

n=

H 3=0.65
F3
n

F3
H3

26
0.65

n=40

a)

b)

Mo [ Y ] =48+

10
( 10+6
) 4=50.5

Q2=Med [ Y ] =48+

C)

4=50.5
( 2010
16 )

S=4.363484846

S 2=19.04=V (Y )
Y =50.4
d)

d)

M[4Y+10]=4M[Y]+10
=4(50.4)+10
=211.6
2

V[8Y-12]= 8 V [ Y ]
=64(19.04)

=1218.56

7.- Dado el siguiente cuadro de distribuciones y sabiendo que la media es 61.

Hallar la varianza.
Intervalo de clase
[20
40)
[40
60)
[60
80)
[80
100]

Frecuencia relativa
0.10
0.10

Solucin:

Yi

Intervalo de clase

hi

[20
[40

40)
60)

30
50

0.10

[60

80)

70

h3

[80

100]

90

0.10

h2

0.10+h 2+ h3+ 0.10=1

h2 +h3 =0.80 ..(1)
Y = Y i hi =61

30 ( 0.10 ) +50 h2 +70 h3 +90 ( 0.10 )=61

50 h2 +70 h3=49 ..(2)
De (1) y (2) se obtiene:
Intervalo de
clase
[20
40)
[40
60)

h2=0.35
Yi

h3=0.45
hi

30
50

0.10

h2 =0.35

[60

80)

70

h3=0.45

[80

100]

90

0.10

S 2=V ( Y )=M [ Y 2 ]( M (Y ))2

Y i2 f i
2
S =
61
n
2

S 2= Y 2 hi612
2
2
2
2
2
2
S =30 ( 0.10 ) +50 ( 0.35 ) +70 ( 0.45 )+ 90 ( 0.10 )61

S 2=259
8.-Se conocen los datos de pesos de 1500 estudiantes, distribuidos en 5
intervalos con amplitud constante e igual a 10, de los cuales se pide calcular
la mediana, si se sabe que:

Y 3=65

f 1 =300 ; h2=0.40

Solucin:

Yi
[40
[50
[60
[70
[80

50)
60)
70)
80)
90]

45
55
65
75
85

fi

Fi
300
600

1500

10=57.5
( 750300
600 )

Med [ Y ] =50+

300
900

hi
0.20
0.40

Hi
0.20
0.60

PROBABILIDADES
1.- a).- Se elige al azar un nmero entre los 200 primeros nmeros enteros positivos
cual es la probabilidad de que el numero elegido sea divisible por 6 o por 8?

Desarrollo
Datos
n=1; 2; 3; .....200
A=divisible por 6;
P(A)=33/200
B=divisible por 8
P(B)=25/200
Luego
P(AnB)=8/200
mcm(6,8)=24
Me piden:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
= 33 + 25 200

200

8
200

= 0,25
EJEMPLO 2: Un Doctor dispone de tres equipos electrnicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a
cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen
probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografa y
observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
SOLUCIN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del
primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de Bayes. Claro est,
que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado errneo,
por lo tanto:

EJEMPLO 3
Un mdico cirujano se especializa en cirugas estticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones
faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugas correctivas. Se sabe adems, que son de
gnero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras
cirugas correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine: a.) Determine la probabilidad de que sea
de gnero masculino ; b). Si resulta que es de gnero masculino, determine la probabilidad que se haya
realizado una ciruga de implantes mamarios.
SOLUCIN: Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugas faciales.
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso

O: pacientes que se realizan otras cirugas correctivas

Suceso

H: pacientes de gnero masculino

a. La probabilidad de que sea de gnero masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el
suceso condicionado y las cirugas los condicionantes. Dicho valor ser:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de Bayes, luego, el valor de la
probabilidad ser:

EJEMPLO 4

: Se estima que el 15% de la poblacin adulta padece de hipertensin, pero que el 75% de todos

los adultos creen no tener este problema. Se estima tambin que el 6% de la poblacin tiene hipertensin
aunque no es consciente de padecerla. Si un paciente adulto opina que no tiene hipertensin, cul es la
probabilidad de que realmente sea hipertenso?
RESOLUCIN. Consideramos los sucesos: A1 = {el paciente tiene hipertensin}, A2 = {el paciente no tiene
hipertensin}, Los cuales forman un sistema completo de suecesos o particin del espacio muestral. Por
hiptesis P (A1) = 0.15, luego P (A2) = 0.85. Por otra parte, consideramos los sucesos:
B1 = {el paciente es consciente de padecer hipertensin},
B2 = {el paciente no es consciente de padecer hipertensin}.
Conjugando los datos del problema con el hecho de que B1 y B2 son complementarios encontramos que
P(B1) = 0.25 y P(B2) = 0.75.
Por hiptesis se tiene que P (B2/A1) = 0.06. La probabilidad de que un paciente adulto sea realmente
hipertenso cuando opina que no tiene hipertensin (esto es, no es consciente de padecerla) viene dada por
P(A1/B2). En virtud del Teorema de Bayes, esta probabilidad a posteriori puede ser calculada como: P (A1/B2)
= P (A1) P (B2/A1) / P (B2) = 0.150.06 /0.75 = 0.012. Podemos concluir entonces que un 1.2% de los
pacientes que opinan que no padecen de hipertensin son realmente hipertensos

EJEMPLO 5

. En qumica clnica son particularmente interesantes los llamados coecientes falso-positivo y

falso-negativo de un test. Tales coecientes son probabilidades condicionadas. El coeciente falso-positivo es la

probabilidad de que el contraste resulte positivo cuando de hecho el sujeto no padece la dolencia. El coeciente
falso-negativo se dene de manera anloga. Es decir:

= coeciente falso-positivo = P(el test da +/el sujeto

es en realidad ) ; = coeciente falso-negativo = P(el test da /el sujeto es en realidad +).

Cada una de estas probabilidades es una probabilidad de error; por tanto, cabe esperar que los valores
obtenidos en la prctica sean prximos a cero. Los resultados siguientes se obtuvieron en un estudio diseado
con el n de averiguar la capacidad de un cirujano patlogo para clasificar correctamente las biopsias
quirrgicas como malignas o benignas
Positivo (MALIGNO)

negativo (BENIGNO)

CIERTO MALIGNO

79

19

CIERTO BENIGNO

395

Determinar y a partir de estos datos. Observe que de acuerdo con la tabla anterior un diagnostico positivo
corresponde a una clasificacin de la biopsia como maligno. Los datos de dicha tabla arrojan los siguientes
resultados
Nmero de casos estudiados:

79+19+7+395 = 500.

Nmero de casos malignos:

79+19 = 98.

Nmero de casos benignos:

7+395 = 402.

Nmero de casos con diagnstico positivo: 79 +7 = 86.

Nmero de casos con diagnstico negativo: 19+395 = 414.
Estamos interesados en calcular los coeficientes falso-positivos y falso negativos para casos estudiados,
para tal fin definimos los sucesos:
T+ = {el diagnstico es positivo},
T = {el diagnstico es negativo}.
Al ser equiprobable cada caso estudiado, segn los datos inferidos de la tabla encontramos que
P (T +) = 86 /500 y P(T ) = 414 /500.
Asimismo, sean: R + = {la biopsia es en realidad maligna}, R = {la biopsia es en realidad benigna}.
De modo similar se tiene que P(R+) = 98 /500 y P(R ) = 402 /500. ;T + = {el diagnstico es positivo},
T = {el diagnstico es negativo}.
tabla encontramos que

Al ser equiprobable cada caso estudiado, segn los datos inferidos de la

Por definicin, = P(T +/R ) = P(T + R ) / P(R) ; = P(T /R+) = P(T R +) /P(R+)
Ahora bien, el nmero de casos con biopsia benigna clasicados como positivos es de 7, por lo que
P(T + R ) = 7 /500. De igual manera, P(T R +) = 19 /500.

Consecuentemente, = (7 /500) / (402/ 500 ) = 7 / 402 = 0.017,

= (19 /500) / (98 / 500) = 19 /98 = 0.194.
Como conclusin podramos decir que el cirujano patlogo detecta la enfermedad en pacientes que no la tienen
en un 1.7%, mientras que no detecta la enfermedad en pacientes que la tienen en un 19.4% de los casos.
EJEMPLO 6. Un test detecta la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0.9, en caso
de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad de 0.8. Sabiendo que la probabilidad de que
una muestra de agua contenga bacterias del tipo T es 0.2, calcular la probabilidad de que:
a) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado positivo.
b) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado negativo.
c) Haya bacterias y adems el test d positivo.
d) O haya bacterias, o el test d positivo.
RESOLUCIN. Consideramos los sucesos:
A1 = {la muestra contiene bacterias tipo T}, A2 = {la muestra no contiene bacterias tipo T}.
Ntese que ambos sucesos A1 y A2 forman un sistema completo, es decir, son complementarios en el espacio
muestral del experimento que estamos considerando. Por hiptesis P (A1) = 0.2, obligando a que P(A2) =
P(A1) = 10.2 = 0.8
Por otra parte, sean los sucesos:
T + = {el test detecta la presencia de bacterias},
T = {el test no detecta la presencia de bacterias}.
De acuerdo con los datos disponibles, sabemos que
P(T +/A1) = 0.9 y P(T /A2) = 0.8
de modo que las siguientes probabilidades, correspondientes a los sucesos condicionados complementarios,
vienen dadas por: P(T /A1) = 0.1 y P(T +/A2) = 0.2.
En virtud del Teorema de Bayes, la probabilidad P(A1/T +) de que realmente haya presencia de bacterias
cuando el resultado del test ha sido positivo viene dada por
P(A1/T +) =( P(A1)P(T +/A1)) / P(T +) = (P(A1)P(T +/A1)) / P(A1)P(T +/A1) +P(A2)P(T+/A2)
= 0.20.9 /0.20.9+0.80.2 = 0.18 / 0.34 = 0.53.
b) De igual manera, la probabilidad de que realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha resultado
negativo es P(A1/T ) = (P(A1)P(T /A1)) / P(A1)P(T /A1) +P(A2)P(T /A2) =
0.20.1 / 0.20.1+0.80.8 = 0.02 /0.66 = 0.03.
c) La probabilidad de que hayan bacterias y adems el test d positivo es:
P(A1 T +) = P(A1)P(T +/A1) = 0.20.9 = 0.18.
Ntese que, como P(T +) = 0.34, tambin tenemos
P(A1 T +) = P(T +)P(A1/T +) = 0.340.53 ' 0.18.

d) Finalmente, la probabilidad de que o bien hayan bacterias en el agua o el test d positivo viene dada por:
P(A1 T +) = P(A1) +P(T +)P(A1 T +) = 0.2+0.340.18 = 0.36.