Base y Dimensión de Un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de Un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de Un Espacio Vectorial
Definicin: Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, , vn} forma una base
para V si :
2)
3)
4)
5)
6)
7)
El conjunto de matrices
generan a M22. Si
tenemos que:
vemos que
c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Por tanto, estas matrices son linealmente
independientes. As que este conjunto de matrices forman la base
usual para M22.
3)
En Mmn, sea Aij una matriz m x n con 1 en la posicin ij y cero en las dems
posiciones. Entonces, Aij para i = 1, 2, 3, .., m y j = 1, 2, 3, , n forman
una base para Mmn. Y dimMmn = mn.
Ejemplo: dimM22 = 22 = 4, pues el siguiente conjunto de matrices
constituyen la base de M22:
2. El conjunto
no genera a V = M23. El conjunto
contiene dos vectores en el espacio vectorial de dimensin
seis. Contiene menos de n vectores (i).
Ejercicios:
1. Cul(es) de los siguientes conjuntos de vectores forman una base en
R2?
a. dimR4
b. dim{0}
c. dimP5
d. dimM32
Una base posee 2 caractersticas que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para genera
pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinacin lineal de los d
vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un nmero finito de vectores, entonces V es de d
finita. En caso contrario, V es de dimensin infinita.
Base
En trminos generales, una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espa
partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las
operaciones en l definidas.
La base es natural, estndar o cannica si los vectores v 1, v2,, vn forman base para Rn.
Si S={v1, v2,, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede e
como:
1.
2.
Restar 2-1
0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2++(cn- kn) vn
Ejemplo:
demostrar si S = {v1, v2,, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)
det A = [(1*9*4)+(2*3*1)+0]-[(1*9*3)+0+(4*2*2)]
= [36+6]-[27+16]
= -1
Si genera a R3