Consolidado Trabajo Ecuaciones Diferenciales
Consolidado Trabajo Ecuaciones Diferenciales
Consolidado Trabajo Ecuaciones Diferenciales
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Aplicar y diferenciar los diferentes mtodos de solucin de las ecuaciones
diferenciales de orden superior relacionndolos con situaciones y problemas de la
ingeniera
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Analizar y aplicar mtodos de resolucin de ecuaciones diferenciales de orden
superior.
Implementar a travs del trabajo individual y colaborativo los mtodos de solucin
de las ecuaciones diferenciales de orden superior a situaciones problema.
y^'=mx^(m-1),y''=m(m-1)x^(m-2) y
y^'=mx^(m-1),y''=m(m-1)x^(m-2) y
y^'=mx^(m-1),y''=m(m-
B.
C.
y h=c1 +c 2 lnx
D.
y h=c1 x+ c2 x1
A.
SOLUCION
y=x m
y=mx
m1
y=m ( m1 ) x m 2
y h=c1 x m+ c 2 x n
m n
y h=c1 x m+ c 2 x m /n x
m=n
m
m2 x
x 2 ( m2 ) + xmx m1+ x m=2 x
x 2 ( m2 x m 2 mxm2 ) + mxm + x m=2 x
m2 x mmx m +mx m + x m=2 x
2
m x mx +mx + x =2 x
m
m x + x 2 x=0
m
x
x m ( m2 12 x ) =0
x 2 y + xy + y =2 x
mx
x ( m1)+ x m =2 x
x 2 ( m ( m1 ) x m2 ) +
m
m
2 x
x2
x 2 ( m2 x m 2 mxm2 ) + mxm + x m=2 x
m2 x mmx m +mx m + x m=2 x
m2 x m + x m2 x=0
2
4 c
m +12 x =0
xm
y h=c1 x m+ c 2 x m
m2=2 x1
m= 2 x1
y h=c1
m= 2 x1
2 x1
y h=c1 cos ( lnx ) +c 2 Sen(lnx)
a2 D y ( x )+ a1 Dy ( x ) +a 0 y ( x )=g( x )
y=r 1 u1 +r 2 u 2
Es
En donde
r 1=
w1
w
, r 2= 2
w
w
| |
w=
u1 u2
u
'
1
'
2
w 1=
g( x) u2
g' ( x) u'2
A . y =c 1 e4 x + c 2 ex
1
12
w 3=
u1 g( x)
u'1 g '1( x )
es:
B . y=c1 e 4 x + c2 e x +
3
12
C . B . y=c1 e 4 x +c 2 e x
D . y =c 1 x4 +c 2 x1
15
12
1
3
Se
procede
sustituir
| |
w 3=
u1 g( x)
u'1 g '1( x )
1.
y h=c1 +c 2 lnx
2.
y h=c1 xc 2 lnx
3.
1
y p= x 3
9
4.
y p=
1 3
x
9
SOLUCION
x 2 y + xy =x
y
dy dydt dy
=
=
dx dtdy xdt
d 2 y 1 d 2 ydt
1 dy 1 d 2 y dy
=
d x 2 x d t 2 dx x 2 dt x 2 d t 2 dt
( (
))
1 d y dy
dy
x 2
+x
=0
2
dt
xdt
x dt
2
d y dy dy
+ =0
2
dt dt
dt
d2 y
=0
2
dt
Esto nos indica que
dy
=c 1
dt
Donde
c 1=constante
dy=c1 dt
Integrando:
dy = c 1 dt
y=c1 t+ c2
Como t=ln x
x> 0 Se tiene
t=ln x
y=c1 ln x+ c 2
Entonces:
y h=c1 ln x+ c 2
Luego, con la ayuda de los wronskianos
| |
w=
u1 u2
u'1 u'2
w 1=
g( x) u2
'
g (x) u
'
2
u1=
1
x
u2=1
u'2=0
g ( x ) =x
| ||
w=
ln x
=
1
'
u2
x
u1 u2
u
'
1
1
0
| |
w 1= x 1 =1
1 0
| |
lnx x
w 2= 1
=ln x1
1
x
r 1=
w 1 1
=
=x
w 1
x
1
x
w 3=
u1
u
'
1
g( x)
'
g 1( x )
r 2=
w 2 ln x1
=
=xxln x
w
1
x
y=r 1 u1 +r 2 u 2
y=xlnx+ ( x xln x )1
y=xlnx+ x xln x
y=x
Comprobando con un software matemtico
11+ 61
x
6
+C 2 e
11 61
x
6
imaginarias.
SOLUCIN.
Debido a que es ecuacin diferencial homognea:
2
3 m 11 m+ 5=0
Hallamos las races de la ecuacin:
m=
b b24 ac
2a
m=
11 112435
23
m=
11 61
6
11+ 61
x
6
+C 2 e
11 61
x
6
( D2 +1 ) ( 2 D2 +5 ) y =0
( D1 ) ( D2 +5 ) y=0
( D 2 +1 ) ( 2 D2 +5 ) y =0
( 2 D2+5 )=sen x
D 3 [ ( 2 D2 +5 ) =sen x]
( 2 D2+5 ) y
0x
e sen 1 x
( D22 ( 0 ) +1 )
( D2 +1 )
sustituir
Para, en primera
| |
w=
u1 u2
'
1
'
2
w 1=
g( x) u2
g' ( x) u'2
w 2=
u1 g( x)
u'1 g '1( x )
2. w1=-x3
3. w2=1
4. w2=x
Rta. La respuesta correcta es B (1 Y 3).
y ' =m x m1
y '' =m(m1) x m2
x 2 ( m ( m1 ) x m 2 ) x (m x m1 )=0
( m ( m1 ) x m ) ( m x m)=0
x m ( m ( m1 )m) =0
m 2 ( m ( m1 )m) =0
2
m mm=0
m22 m=0
m(m2)=0
m=0 m=2
y=c1 x0 + c2 x 2
2
W 1= 1 x = 2 x
0 2x
W 2=
[ ]
1 x
=1
0 1
70
70
70
(49)
x' '5 x
25
x' '5 x 1,96
Solucin ecuaciones caractersticas
k2 5 0
k 2 5
k 5i
k 2,236i
0 5A
Solucin general
x(t ) C1 cos( 2,23t ) C 2 sen (2,23t ) 1,96
Condiciones iniciales
y ( 0) 8
C1 8
C1 8 1,962
C1 6,038
y ' (0) 30
5C 2 30
C2
30
5
C 2 13,45
SOLUCION
y (t ) 6,04 cos( 2,23t ) 13,45sen (2,23t ) 1,96
ACTIVIDAD GRUPAL
PROBLEMA 1.
Primera actividad Grupal
Se plantea una situacin problema y el grupo de realizar los aportes respectivos
en el foro colaborativo con el fin de reconocer las caractersticas del problema que
se ha planteado y buscar el mtodo de solucin ms apropiado segn las
ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema:
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una prctica de bungee jumping. Si en
el tiempo t=0 la banda elstica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de
30m/seg, Halle la funcin x(t) que describe el movimiento libre resultante si se
sabe que la banda elstica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
Datos
m=70kg
t=0
x=8m
v=30m/seg
k=350N/m
La fuerza elstica es:
Fe = -350 N
La de la gravedad
Fg = mg = -70kg 9.81m/s^2 = -686.7 N
Suma de las fuerzas
F=ma
Fe+Fg = ma
La aceleracin es la derivada segunda, luego:
350 x 686,7 70.x' '
70 x ' '350 x 686,7
70 x' 350 x
686,7
'
70
70
70
(49)
x' '5 x
25
x' '5 x 1,96
Solucin ecuaciones caractersticas
k2 5 0
k 2 5
k 5i
k 2,236i
0 5A
Solucin general
Condiciones iniciales
y ( 0) 8
C1 8
C1 8 1,962
C1 6,038
y ' (0) 30
5C 2 30
C2
30
5
C 2 13,45
SOLUCION
y (t ) 6,04 cos( 2,23t ) 13,45sen (2,23t ) 1,96
PROBLEMA 2
Segunda actividad Grupal:
masa es de
1
Kg
5
k =2
y la constante elstica es
amortiguado ( =1,2
(T = 2 s)
1
2
N
.
m
El movimiento es
comenzando
en
t=0. Dicha
fuerza
est
definida
como
F=ma
d x
dx
=kx + f (t)
2
dt
dt
d2 x
a= 2
dt
dx
y v = dt
d x
dx
+ + kx=f (t)
2
dt
dt
d2 x
dx
+6 +10 x=25 cos 4 t
2
dt
dt
d2 x
dx
+6 +10 x=0
2
dt
dt
m + 4 m+5=0
m + 6 m+10=0
m1=3+i
m2=3i
d2 x
dx
+6 +10 x=0
2
dt
dt
16 A cos 4 t16 B sin 4 t +4 (4 A sin 4 t +4 B cos 4 t )+5 ( A cos 4 t +B sin 4 t )=25 cos 4 t
16 A cos 4 t16 B sin 4 t +6 (4 A sin 4 t+ 4 B cos 4 t ) +10 ( A cos 4 t + B sin 4 t )=25 cos 4 t
Operando:
16 A cos 4 t16 B sin 4 t16 A sin 4 t+16 B cos 4 t +5 A cos 4 t +5 B sin 4 t =25 cos 4 t
16 A cos 4 t16 B sin 4 t24 A sin 4 t+ 24 B cos 4 t +10 A cos 4 t +10 B sin 4 t=25 cos 4 t
Factorizando:
Se cumple que:
6 A+ 24 B=25
24 A6 B=0
A=
25
50
y B=
102
51
y p= A cos 4 t+ B sin 4 t
Reescribiendo:
y p=
25
50
cos 4 t+ sin 4 t
102
51
y= y c + y p
La solucin sera:
y=e2 t ( C 1 cos t +C2 sin t )
25
50
cos 4 t+ sin 4 t
102
51
25
50
cos 4 t+ sin 4 t
102
51
Haciendo t=0
y ( 0 )=e2(0) [ C1 cos (0)+ C2 sin(0) ]
3(0)
y ( 0 )=e
25
50
cos 4( 0)+ sin 4(0)
102
51
25
50
1 2 (0 )
25
50
=e
C 1 cos (0)+C2 sin(0)]
cos 4 (0)+ sin 4 (0)
[
2
102
51
1 3 (0 )
25
50
=e
C 1 cos (0)+C 2 sin(0) ]
cos 4 (0)+ sin 4 (0)
[
2
102
51
1 25
C1 = +
2 102
C1 =
38
51
86
51
t=0
y=e2 t
25
50
cos 4 t + sin 4 t
( 3851 cos t 8651 sin t ) 102
51
y=e3 t
25
50
cos 4 t + sin 4 t
( 3851 cos t 8651 sin t ) 102
51
CONCLUSIONES
Una vez elaborado el trabajo final y revisando cada ejercicio se determin que, la
resolucin de problemas de ingeniera est asociada, por lo general, a resultados
numricos puesto que se requieren respuestas prcticas.
Gran parte de las leyes cientficas de expresan en trminos de rapidez de
variacin de una variable con respecto otra. Adems proporcionan una
herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniera, Fsica,
puesto que estos, por lo general, requieren la determinacin de una funcin que
satisface a una ecuacin diferencial.
Bibliografa
UNAD, U. N. (10 de 2010). Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD .
Obtenido de file:///C:/Users/Leydy%20D%20Reyes%20Lozano/Downloads/Gu
%C3%ADa%20de%20actividades%20y%20r%C3%BAbria%20de%20%20evaluaci
%C3%B3n%20%20fase%202%20dise%C3%B1o%20y%20construcci%C3%B3n
%20(1).pdf
Garca, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp.
67-112). Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467