ISSN 1853-1385

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE

FACULTAD DE INGENIERA
INSTITUTO DE MATEMATICA

CIENCIAS BASICAS
EN
INGENIERIA
REVISTA DIGITAL SEMESTRAL

N 9 AO 5

JULIO DE 2013

ISSN N 1853-1385
CIENCIAS BASICAS EN INGENIERIA
Revista Digital del Instituto de Matemtica

Publicacin Semestral

Director:
Prof. Antonio B. MAHAVE

Consejo Editor:
Dr. Ing. Jorge V. PILAR
Ing. Gustavo DEVINCENZI
Dr. Rubn CERUTTI
Dr. Juan NPOLES VALDS
Prof. Cdora. Carmen RESCALA
Ing. Emilio GARCIA SOL
Dr. Ing. Mario E. De BRTOLI

Instituto de Matemtica Facultad de Ingeniera U.N.N.E.

Las Heras 727 Resistencia, Chaco (3500) Republica Argentina
Director: Antonio Mahave Facultad de Ingeniera Las Heras 727
Tel. 03722 425064; 420076
e-mail: mahave@ing.unne.edu.ar

INDICE

Normas para la presentacin de artculos en la Revista

Comit de Referato

RENDIMIENTO ACADEMICO DE LOS INGRESANTES A LA FACULTAD DE

INGENIERIA DE LA UNNE EN EL 2012
Antonio Mahave, Alejandro Ruberto, Gloria Nuez, Noem Ojeda,
Marta Giraudo, Milena Balbi

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES BESSEL

Rufino Iturriaga, Carina Jovanovich

CULTURAL NUANCES OF MATHEMATICS: The case of Proof

Bharath Sriraman

FILIACIONES Y RUPTURAS CON LA REDUNDANCIA EN LAS CIENCIAS

MATEMATICAS Y DE LA COMPUTACION
Mauro Garcia Pupo

CIENCIAS BASICAS EN INGENIERIA

Revista Digital del Instituto de Matemtica
Publicacin Semestral

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE

En el mes de Octubre se realizarn

en

la

Facultad
de

de
la

Ciencias

Rector:
Ing. EDUARDO DEL VALLE

Econmicas

Universidad

Vicerrectora:
Prof. MARIA D. VEIRAVE

Jornadas de docentes de Matemtica

Nacional del Nordeste las XXVIII

de

facultades

de

Ciencias

Econmicas y Afines.
Este encuentro, rene anualmente a

FACULTAD DE INGENIERIA

profesores de esta especialidad que

Decano:
Dr. Ing. JORGE V. PILAR
Vicedecano:
Ing. JOS L. BASTERRA
Secretario Acadmico:
Ing. ARTURO A. BORFITZ
Sec. De Asuntos Estudiantiles:
Ing. GUSTAVO O. FISCHER
Sec. Administrativo:
Cdor. DANIEL ASULAY
Sec. De Extensin Universitaria
Prof. JUAN JOSE CORACE

pertenecen a todas las Instituciones

de Enseanza Superior del pas, y
tiene

para

nuestro

Instituto

de

Matemtica importante significacin,

por haber sido partcipe de las
actividades
Organizadora,

de
la

la

Comisin

Asociacin

de

Docentes de Matemtica de Ciencias

Econmicas, desde su creacin.
La Direccin

INSTITUTO DE MATEMATICA
Director:
Prof. ANTONIO B. MAHAVE
Vicedirectora:
Ing. MARTA GIRAUDO

- RESOLUCION N 070/09
RESISTENCIA, 21 ABRIL 2009

VISTO:
El Expte. N 27-2008-04196, por el que el Director del Instituto de Matemtica
solicita la aprobacin de las Normas para las publicaciones en la Revista del Instituto
y acuerdo para la designacin de la Comisin de Referato y;
CONSIDERANDO
Que los proyectos elevados por el Director del Instituto, con las
modificaciones que oportunamente sugiriera la Comisin de Posgrado de esta
Facultad con total acuerdo del primero, se ajustan a las necesidades de organizacin
de las publicaciones peridicas a las que se hace referencia;
Que los antecedentes acadmicos y cientficos de los integrantes
propuestos de la Comisin de Referato avalan suficientemente la propuesta;
El Dictamen favorable de la Comisin de Enseanza e Investigacin;
Lo aprobado en Sesin Ordinaria del da de la fecha;
POR ELLO:
EL CONSEJO DIRECTIVO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA
RESUELVE:
Artculo 1.- APROBAR las Normas para la presentacin de artculos para las
publicaciones peridicas, Revista del Instituto de Matemtica, ISSN 1850-9827 y
Ciencias Bsicas en Ingeniera, Revista Digital, actualmente en preparacin, que
figura en el Anexo I de la presente Resolucin.
Artculo 2.- PRESTAR acuerdo a la designacin de los miembros del Comit de
Referato, para las publicaciones referidas en el articulo anterior, que figuran como
Anexo II de la presente Resolucin.
Artculo 3.- REGSTRESE, comunquese al Instituto de Matemtica y cumplido,
archvese.hjm.-

- RESOLUCION N 070/09

\\\...2.ANEXO I
NORMAS PARA LA PRESENTACION DE ARTCULOS
1) Los artculos se remitirn por correo electrnico al Director de la Revista en su
defecto por correo postal una copia y CD, a la siguiente direccin:
Revista del Instituto de Matemtica Facultad de Ingeniera Universidad Nacional
del Nordeste.
Las Heras 727 Resistencia Chaco
C.P. 3500
La presentacin de los trabajos deber contar con:
a) Identificacin del(los) autor(es): Nombre completo, Institucin a la que pertenece,
localidad, direccin de contacto (incluyendo la electrnica)
Pequeo texto de presentacin de los autores (cargos actuales, lnea de trabajo,
contribuciones al campo de estudio, etc.) (Extensin no mayor a media pagina).
b) Ttulo del artculo; en idioma espaol.
c) Resumen: Texto breve (de hasta 100 palabras) de descripcin de objetivos,
mtodos y principales resultados y conclusiones. Ha de presentarse en idioma
espaol, pudiendo opcionalmente hacerlo adems en los idiomas ingles o portugus.
d) Palabras claves: hasta cinco.
e) Referencias: Se ajustarn a la normativa APA (Manual de publicacin, 5 ed, 2001).
(http://apastyle.apa.org/)
f) Tablas, imgenes e ilustraciones: Se incluirn en su lugar correspondiente en un
formato compatible con su edicin en Internet, identificndolas.
2) Los trabajos enviados debern ser inditos o con escasa difusin, (informando en
este caso que otros mecanismos de divulgacin han sido o estn siendo utilizados).
3) La recepcin de un trabajo no implicar compromiso de esta revista para su
publicacin.
4) El Comit Editorial proceder a la seleccin de los trabajos de acuerdo con criterios
formales y de contenidos.
5) El envo de un artculo para su publicacin, implica la autorizacin por parte del
autor, de la reproduccin del mismo por cualquier medio, en cualquier soporte y en el
momento en que el Instituto lo considere conveniente, salvo expresa notificacin en
contrario del autor. En todos los casos la publicacin mencionar a su autor(es), y el
trabajo no ser modificado una vez aprobado.
6) Los trabajos se aceptarn en formato WORD 97-2003, WORD 2007

7) Los artculos tendrn una extensin de hasta diez (10) pginas, incluidos las tablas,
las figuras y los anexos. Como excepcin la Revista podr publicar algn trabajo de
mayor extensin. Los trabajos debern estar escrito con formato en fuente Times New
Roman, tamao 12 puntos para el cuerpo y 14 en mayscula negrita para los ttulos,
interlineado simple, alineacin justificado y en hoja tamao DIN A4. Los mrgenes
inferior, superior, izquierdo y derecho sern de 3 cm. Todas las pginas debern estar
numeradas en el ngulo inferior derecho. No deber contener encabezados ni pies de
pginas.
8) Deber indicarse el tratamiento de texto utilizado y si incluye smbolos, tablas o
grficos, se especificar el programa de diseo empleado.
9) Los artculos enviados para ser publicados sern evaluados en una primera
instancia por el Director con los miembros del Comit Editorial, el que podr
rechazarlo; en caso de aceptacin previa, enviar el artculo a evaluacin externa
(Miembros del Comit de Referato). A partir de los informes obtenidos decidir sobre
la publicacin del trabajo, la informacin al autor de las observaciones planteadas por
los revisores a los efectos de que considere posibles modificaciones; o su no
publicacin. En cualquier caso, se informar lo antes posible a los autores,
particularmente en el caso de rechazo (y eventualmente, acompaando sugerencias
para su posible publicacin).

COMIT DE REFERATO

Publicaciones peridicas permanentes

Dr. Iran Abreu Mendes - Universidade Federal do Rio Grande do Norte y Universidade
Federal do Par, Brasil.
Dr. Rubn Cerutti - Facultad de Ciencias Exactas Naturales y Agrimensura. UNNE
Dr. Ing. Mario De Bortoli. - Facultad de Ingeniera. UNNE.
Ing. Emilio Garca Sol - Facultad de Ingeniera. UNNE
Lic. Liliana Koegel - Facultad de Ciencias Econmicas. Universidad Nacional de
Rosario.
Dra. Luisa Lazzari - Facultad de Ciencias Econmicas. Universidad de Bs. As.
Lic. Mgter. Blanca Lezana - Universidad Nacional de Tucumn
Ing. Victor Martinez Luaces - Universidad de la Republica del Uruguay
Dr. Juan Eduardo Npoles Valdes - Universidad Nacional del Nordeste y Universidad
Tecnolgica Nacional.
Dr. Ing. Mario Bruno Natalini. - Facultad de Ingeniera. UNNE
Dra. Claudia Lisete Oliveira Groenwald - Universidade Luterana do Brasil, Centro de
Cincias Naturais e Exatas, Campus Canoas.
Dr. Ing. Jorge Vctor Pilar - Facultad de Ingeniera. UNNE
Dr. Ing. Adrian R. Wittwer - Facultad de Ingeniera. UNNE
Ing. Gustavo H. Devincenzi - Facultad de Ingeniera. UNNE
Prof. Mgter Viviana Yaccuzzi Polisena Universidad Nacional del Nordeste
Lic. Jorge Enrique Sagula Universidad Nacional de Lujan
Mgter Gloria Santa Nuez Universidad Nacional del Nordeste

RENDIMIENTO ACADMICO DE LOS INGRESANTES A LA

FACULTAD DE INGENIERA DE LA UNNE EN EL AO 2012

Antonio B. Mahave
Alejandro R. Ruberto
Gloria S. Nez
Noem Ojeda
Marta Giraudo
Milena Balbi

Grupo IME - Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional del Nordeste

Recibido el 30 de mayo de 2013

Aceptado el 28 de junio de 2013

RENDIMIENTO ACADMICO DE LOS INGRESANTES A LA

FACULTAD DE INGENIERA DE LA UNNE EN EL AO 2012

Antonio B. Mahave, Alejandro R. Ruberto, Gloria S. Nez, Noem Ojeda, Marta

Giraudo, Milena Balbi
Grupo IME - Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional del Nordeste
correo-e: mahave@ing.unne.edu.ar

Resumen
El grupo de Investigacin en Matemtica Educativa (IME), integrado por docentes e
investigadores del Instituto de Matemtica de la Facultad de Ingeniera de la UNNE e
investigadores invitados, se ocupa de evaluar anualmente el rendimiento acadmico de
los estudiantes ingresados a las carreras que se dictan en la mencionada Unidad
Acadmica.
Se ha realizado una evaluacin con datos provistos por el Departamento de Alumnos de
la Facultad, referentes a resultados de las materias promocionadas con exmenes finales
y materias promocionadas sin exmenes finales (promocin directa), durante el tiempo
transcurrido desde el mes de febrero del ao de ingreso hasta mayo del siguiente, para la
totalidad de los alumnos inscriptos.
En el presente trabajo, la evaluacin se realiza sobre 370 inscriptos para comenzar sus
estudios en 2012 y que hasta mayo de 2013 tuvieron oportunidad de rendir espacios
curriculares correspondientes al primer semestre, dividido en ocho turnos de exmenes
previstos en el calendario acadmico, o bien por el rgimen de promocin directa, sin
examen final.
La informacin obtenida actualiza, para la cohorte 2012, porcentajes de ingreso real,
desercin y grupos de distintos niveles de rendimiento; muestra algunas de las
dificultades para el avance en los estudios y proyecciones de duracin de la carrera, en
cada uno de los niveles.
La metodologa empleada, similar a la aplicada por el mismo grupo de trabajo en aos
anteriores, permite un anlisis comparativo de la informacin obtenida.

Palabras clave: ingreso universitario, retencin estudiantil, ingeniera.

INTRODUCCIN
El 14 de diciembre de 1957 fue creada la Universidad Nacional del Nordeste y,
dos aos despus su Facultad de Ingeniera. Ambos acontecimientos coincidieron con la
finalizacin de una poca distinta, no vivida y hasta difcil de imaginar por la mayora
de nuestros docentes; con mayor razn, por nuestros alumnos. Resulta ilustrativo
recordar algunos datos para comprender en su real dimensin las consecuencias de los
cambios contemporneos a la evolucin de estas dos instituciones.
Algunos de los argumentos que sirvieron a
la Comisin Promotora de la Universidad Nacional
del
Nordeste,
compuesta
por
destacadas
personalidades y vecinos de la Regin, consideraban
que la nueva casa de altos estudios sera un aporte
impulsor del progreso cultural en todos los rdenes
y del bienestar de la poblacin, facilitando el acceso
a la educacin superior a un nmero elevado de
jvenes pertenecientes a la Regin compuesta por
cuatro provincias argentinas: Corrientes, Chaco,
Formosa y Misiones (ver imagen adjunta).
Con todo el peso de estas razones, el
argumento no resultaba fcil de imponer porque en
todo el pas existan solamente seis universidades
nacionales grandes que mantenan el elevado
prestigio de la educacin superior de la Repblica
Argentina en el concierto de las naciones del
Continente; a estas universidades, con preferencia
Buenos Aires, Crdoba, Litoral (Santa Fe) y en
menor cantidad Tucumn, La Plata o Cuyo (Mendoza y San Juan), deban trasladarse
hasta entonces, los egresados de las escuelas secundarias que optaban por seguir una
carrera de grado y siempre que contaran con apoyo econmico necesario, de padres o
familiares dispuestos a realizar un esfuerzo durante el tiempo que demandara la carrera.
La nueva universidad vena a sumarse a las grandes ya existentes, en
condiciones difciles por su relativo aislamiento geogrfico y comunicacional; la regin
Nordeste estaba conectada al resto del pas por caminos que en la mayor parte de sus
recorridos eran de tierra y el ro Paran, sin la existencia del actual puente General
Belgrano, la divida y separaba en dos subregiones muy semejantes en cuanto a
extensin y cantidad de poblacin, impidiendo la comunicacin terrestre entre ambas.
Si se pregunta que cambi durante estos cincuenta y seis aos en los que desarroll sus
actividades nuestra universidad, la respuesta puede sintetizarse con muy poco margen
para excepciones, en una sola palabra: TODO.
El avance de los conocimientos cientficos y tecnolgicos, especialmente en las
comunicaciones, en la segunda mitad del siglo XX y lo poco del actual, con una
aceleracin nunca antes alcanzada en la historia de la humanidad, coinciden con la
expansin y diversificacin de la enseanza superior. En el pas y el continente, las
universidades y carreras de grado se han multiplicado por cientos y con seguridad este
8

crecimiento continuar a similar ritmo para responder a nuevas necesidades de la

poblacin, emergentes como consecuencia del progreso mismo.
Desde el punto de vista que nos ocupa corresponde sealar entre los mayores
cambios, la importancia de haberse entendido que ningn pas puede prescindir de un
sistema nacional de Educacin Superior que, le asegure la formacin de profesionales
de excelencia en todas las reas y por otro, la creacin y aplicacin de nuevos
conocimientos cientficos y tecnolgicos.
Con este crecimiento tambin aparecieron nuevos problemas relacionados con
una poblacin estudiantil ms numerosa y de distinto perfil, muchos de ellos ligados al
ingreso a primer ao de las carreras de grado: desercin, articulacin de la enseanza
media y superior; retencin del estudiantado y mejora de la calidad educativa. Estas son
las cuestiones en las que se encuentran trabajando equipos de investigacin de distintas
universidades del pas y del continente.
En la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional del Nordeste se
constituy en 1999 con el nombre de Investigacin en Matemtica Educativa (IME), un
grupo de docentes del Departamento de Matemtica, con la finalidad, entre otras, de
estudiar los problemas del ingreso a primer ao y aportar algn tipo de ideas o
propuestas para el mejoramiento de la enseanza. El IME viene realizando con
continuidad y desde el comienzo de las carreras de ingeniera, mediciones anuales del
rendimiento acadmico de los estudiantes ingresados a esta Facultad.
La desercin universitaria
Se entiende por desercin estudiantil, el abandono de los estudiantes
matriculados en una carrera antes de completar su graduacin, cuando la suspensin de
los estudios es por una decisin voluntaria del estudiante, sin que existan motivos o
resoluciones de autoridades universitarias que lo obliguen, como podra ser una
expulsin. Las deserciones pueden darse en distintas formas:
Abandono definitivo de los estudios para dedicarse a otra actividad,
abandono de los estudios comenzados para reinscribirse y reiniciarlos al ao
siguiente,
abandono por razones particulares, de trabajo, de familia u otros, para
reanudarlos ms adelante, cuando las causas que provocaron la desercin
sean superadas,
Cancelacin de la matrcula en la carrera iniciada para pasar a otra
universidad o cambiar de carrera.
Las causas de desercin estudiantil son muy variadas:
Motivos familiares como fallecimientos, traslados de residencia del grupo
familiar, cambios en la situacin laboral o econmica del grupo
falta de una orientacin vocacional adecuada para elegir la carrera,
preparacin bsica insuficiente y falta de hbitos de estudio,
no haber conseguido integrarse a la vida universitaria, con sentido de
pertenencia a la Facultad,
Situacin socioeconmica de los estudiantes.
El problema de la desercin estudiantil preocupa a todas las universidades del
continente, donde equipos de investigadores trabajan sobre las causas del mismo, su
9

cuantificacin, diseo de estrategias y polticas de gobierno tendientes a disminuir los

ndices que, en trminos generales, oscilan cercanos a cincuenta por ciento. Se
presentan como antecedentes algunas citas:
Segn Informe del Vice rectorado de la Universidad Nacional de Colombia,
sede Medelln, de noviembre de 2011, con datos porcentuales del 21,6% en el
primer semestre, para acumular 53,3% en el ltimo, para carreras universitarias.
En instituciones oficiales de educacin superior, el ndice de desercin es de 54%
y, un punto y medio menos en universidades privadas. En Ingeniera Fsica 66,7
%; Matemtica 77,4% y Estadstica 72% .
Universidad de Costa Rica. En un estudio presentado por Allan Abarca
Rodrguez y Mara Alejandra Snchez Vindas, (revista electrnica Actualidades
investigativas en Educacin, sep-2005), registra ndices porcentuales de 45% en
2003; 45,7% en 2004; 37,4% en 2005 y 36,1% en 2006, atribuyendo la cada
porcentual en los ltimos dos aos a un cambio en la planificacin de los estudios
superiores.
Segn el Centro de Microdatos, Departamento de Economa, Universidad de
Chile, en su Estudio sobre causas de la desercin Universitaria de agosto de
2008. Segn datos del CSU las tasas de desercin promedio para las
Universidades Chilenas en primer ao (2004) es de 19% para las universidades
del CRUCH y de 22% para las privadas sin aporte del Estado, debiendo agregarse
unos veinte puntos porcentuales al trmino del tercer ao, con lo que las tasas de
desercin alcanzaran del 39 al 44%. En el rea de Tecnologa llegara a un
46,6% y en ingeniera Civil 45,5%.
En las universidades que tienen condiciones restrictivas para el ingreso a primer
ao y arancelamiento de la matrcula, la desercin no se produce en forma
inmediata al ingreso, sin embargo, esto sucede a lo largo de la carrera,
principalmente en los primeros aos y crea problemas adicionales, cuantificables
econmicamente, porque los lugares que ganaron por mritos propios los alumnos
que abandonan, quedan vacantes y no pueden ser cubiertos. Adems se pierde la
inversin en las becas con las que fueron beneficiados.
En el caso de la universidad argentina el problema se presenta de distinta
manera debido a condiciones ms liberales del ingreso, sin exmenes ni
arancelamientos, pero el problema existe de igual manera y representa una fuerte
preocupacin por sus consecuencias acadmicas y sociales, como se ver en el
presente trabajo.
Alumnos inscriptos e ingresantes
El total de inscriptos en esta Facultad para iniciar carreras de ingeniera en 2012
fue de trescientos setenta estudiantes.
No se incluyeron en este cmputo treinta y dos estudiantes incorporados durante
2012 por pases de otras universidades, debido a que stos presentan caractersticas
propias, individuales, y distintas en la mayora de los casos, respecto a las generales del
conjunto que se analiza.
10

Si bien el ingreso a la Facultad es irrestricto porque no existen exmenes, cursos,

ni arancelamientos u otro requisito reglamentario que impida o dificulte a los alumnos
inscriptos el cursado normal de primer ao, el Rgimen Acadmico para la enseanza
de grado aprobado por Resolucin 287/10 del Consejo Directivo, conforme a las
disposiciones de la Ordenanza 162/03 del Consejo Superior de la Universidad, establece
en el punto 5.2 de su anexo, que sern considerados alumnos ingresantes a partir del
momento de aprobacin de la primer materia del plan de estudios de la carrera que
cursan. En la prctica, esta norma reglamentaria no representa impedimentos para que
el estudiante inscripto pueda pasar a la condicin de alumno ingresante, porque en
primer ao de la carrera existe un par de materias que no requieren conocimientos
previos especiales de Matemtica o Fsica y pueden aprobarse por promocin directa,
sin examen.
De acuerdo con lo dispuesto por el Rgimen Acadmico, en la fecha de
realizacin del presente trabajo, los 370 inscriptos se encontraban en la siguiente
situacin (tabla n1):
Tabla n 1. Inscriptos e ingreso real Facultad de IngenieraUNNE 2012
Inscriptos

370 estudiantes

100%

No ingresaron

219 estudiantes

59 %

Ingreso real

151 estudiantes

41%

Los doscientos diecinueve estudiantes que no ingresaron presentan las siguientes

caractersticas:
Ciento noventa estudiantes no rindieron materias ni registran actividad
acadmica.
Veintisis alumnos rindieron materias, todas con resultado insuficiente,
nicamente durante el 2012.
Tres alumnos rindieron materias, todas con resultado insuficiente, hasta
abril de 2013.

Las relaciones entre el nmero de inscriptos y el ingreso real, en los ltimos

quince aos, estn consignadas en la tabla n2. En la misma se observa el elevado
porcentaje de estudiantes que no concretan su ingreso a la carrera, cifras que se
mantienen prximas a 50% del nmero de inscriptos, siendo en 2012 una de las ms
altas.
En las dos ltimas columnas de la tabla n 2 figuran las cantidades y porcentajes
de estudiantes ingresados en los ltimos quince aos,

11

Tabla n 2. Inscripcin e ingreso real Facultad de IngenieraUNNE 1998-2012

Aos

Inscriptos

No
ingresaron

(*)

1.445

57

%
Ingresantes
(*)

1998-2007

2.539

1.094

43

promedio

253,9

2008

213

74

35

139

65

2009

344

161

47

183

53

2010

387

212

55

175

45

2011

317

162

51

155

49

2012

370

219

59

151

41

109

(*) Porcentajes respecto al nmero de inscriptos

Es posible graficar la variabilidad temporal de los ingresantes, considerando al

perodo 1998-2007 con ingreso constante de ciento nueve de promedio anual para el
perodo, hasta 2012 donde se tienen datos segn:

12

2000
1800
1600

1400
1200
1000
800

600
400
200

0
1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

En los diez aos del perodo 1998 - 2007 la pendiente temporal de los
ingresantes mantiene valor constante de 109 alumnos promedio, mientras que a partir
del ao 2007 el promedio aumenta a 161 alumnos anuales.
Clasificacin de los ingresantes
Las consideraciones tomadas en cuenta para clasificar por sus rendimientos
acadmicos a los 151 ingresantes son las que se explicitan en cada uno de los puntos
siguientes, las que han permitido establecer tres clases segn tabla n 3:
Tabla N 3 Clasificacin de los ingresantes Facultad de Ingeniera-UNNE-2012
Bajo rendimiento

51 alumnos

Rendimiento medio

57 alumnos

Alto rendimiento

43 alumnos

13

Estudiantes con bajo rendimiento

Se consideran en esta situacin 51 ingresantes que aprobaron una sola materia, o
bien nicamente, las de menores exigencias en cuanto a conocimientos bsicos de Fsica
y Matemtica.
El nmero de estudiantes en estas condiciones representa 35,6% del total de
ingresantes y por las caractersticas del grupo, se tom de base para una proyeccin del
ndice de desercin correspondiente a la cohorte.
De los anlisis individuales de lo realizado por cada estudiante, se extrajeron las
cantidades de alumnos que aprobaron una, dos o tres materias, y en cada caso, cuales
fueron stas. La tabla N 4 contiene estos datos; por ejemplo, la primera fila indica que
fueron siete los estudiantes que aprobaron Fundamentos de la Ingeniera y los dos
mdulos de Sistemas de Representacin; la ltima fila, que 39 alumnos aprobaron
solamente Fundamentos de Ingeniera.
Tabla n 4. Ingreso real y desercin inicial Facultad de IngenieraUNNE - 2012
Cantidad de
alumnos

Fundamentos de
ingeniera

Sistemas de
representacin I

Sistemas de
representacin II

1
2

39

Las materias de mayor preferencia o que ofrecieron menos dificultades, se

detallan seguidamente, en base a la cantidad de alumnos aprobados en este grupo:
Tabla n 5. Materias aprobadas y cantidad de alumnos
Facultad de Ingeniera UNNE 2012
Fundamentos de Ingeniera
49 aprobados
Sistemas de Representacin, Mdulo I

49 aprobados

Sistemas de Representacin, Mdulo II

8 aprobados

Algebra y Geometra

1 aprobado

Anlisis Matemtico I

1 aprobado

Otras

0 aprobado

La cantidad de materias rendidas por alumnos de este grupo, con resultados

insuficientes, da una idea de las principales dificultades encontradas en el tramo inicial
de la carrera, y se registran en la siguiente tabla N 6:
14

Tabla n 6. Cantidad de insuficientes por materias

Facultad de IngenieraUNNE 2012
Materia

Cantidad total de insuficientes

Algebra y geometra

21

Anlisis Matemtico I

40

Sistemas de representacin-Mdulo I

10

Fundamentos de Ingeniera

Otras asignaturas

Ingresantes con rendimiento medio

Se encuentran en estas condiciones 57 estudiantes que aprobaron entre dos y
cinco materias, incluyendo alguna de contenidos fsico-matemticos; representan 38%
del total de ingresantes; figuran clasificados por especialidad en la tabla n7:
Tabla n 7. Rendimiento medio por tipo de carrera
Facultad de IngenieraUNNE -2012
Mecnica-Electromecnica

Civil

Total

23

34

57

Tabla n 8. Cantidad de materias aprobadas alumnos del grupo

Facultad de IngenieraUNNE -2012
materias
aprobadas

Nmero alumnos mecnicaelectromecnica

Nmero
alumnos civil

Nmero total
alumnos

17

10

16

10

10

14

Total

23

34

57

Alto rendimiento
Cuarenta y tres alumnos ingresantes son los que aprobaron entre 6 a 8 materias;
representan 28,4% del total de ingresantes y en la siguiente tabla, se clasifican por
especialidad y por cantidad de materias aprobadas:
15

Tabla n 9. Facultad de IngenieraUNNE - 2012

Aprobaron

Nmero alumnos mecnicaelectromecnica

Nmero
alumnos civil

Nmero total
de alumnos

6 materias

7 materias

10

8 materias

20

25

Sumas por
especialidad

34

43

Sntesis
Fue posible clasificar los ciento cincuenta y un ingresantes por especialidad,
conforme al nivel de rendimiento acadmico y durante el perodo en estudio.
Tabla n 10. Clasificacin ingresantes en cada especialidad
Facultad de IngenieraUNNE - 2012
Nivel

Mecnica-Electromecnica

Civil

Total

Bajo

29

22

51

Medio

23

34

57

Alto

34

43

Totales

61

90

151

A efectos comparativos, se detalla en la siguiente tabla, el rendimiento

acadmico de los ingresantes a las carreras de ingeniera, durante los ltimos quince
aos.
Tabla n 11. Rendimiento acadmico Facultad de IngenieraUNNE 1998-2012
Aos

Total
ingresantes

Bajo
rendimiento

en %

Rendimiento
medio

Rendimiento
muy bueno

en %

1998-2007

1094

503

46

388

35

203

19

2008

139

39

28

64

46

36

26

2009

183

46

25

90

50

47

25

2010

175

54

31

62

35

59

34

2011

155

49

32

56

36

50

32

2012

151

51

34

57

38

43

28

16

Conclusiones
La desercin inicial se mantiene dentro de valores prximos, superiores a 50% de
los inscriptos y se produce durante los primeros das o meses del inicio de clases de
primer ao. Aunque es sabido que todos los esfuerzos realizados por la Facultad
para retener el mayor nmero de inscriptos no puede generar algn resultado
positivo en el caso de alumnos que dejan de asistir desde el comienzo, siendo el
tema preocupante por el elevado nmero de jvenes en estas condiciones. Es posible
que las causas del problema se encuentren en las falsas expectativas de estudiantes
que elijen estas carreras en la creencia de una inmediata insercin en la actividad
tcnica, sea mecnica o en obras civiles de construccin.
Tambin es posible que este caudal de jvenes, que seguramente repite la frustrante
experiencia, anualmente, en otras Facultades de Ingeniera, pudiera encausar
adecuadamente sus vocaciones en carreras de diferente fundamentacin cientfica y
duracin, con mayores posibilidades de rpida incorporacin al mercado laboral,
como podran ser algunas tecnicaturas.
Este tipo de ofertas educativas y una adecuada orientacin vocacional ayudaran tal
vez a evitar costosas y lamentables experiencias a tantos jvenes estudiantes. No
obstante la Facultad est interesada en aportar soluciones, pero no es esta Institucin
la que puede resolver el problema que, por sus propias caractersticas y dimensiones
requiere especial atencin de otros niveles de la educacin argentina.
El ingreso real de ciento cincuenta y un estudiantes se distribuye equilibradamente
respecto al rendimiento acadmico en tres grupos muy aproximados en nmero de
alumnos.
El grupo de bajo rendimiento presenta dificultades serias para la continuidad de la
carrera, por tanto ser conveniente acentuar los apoyos que se brindan desde la
Facultad, como programas tutoriales y clases de apoyo. Los estudiantes de este
grupo presentan, sin excepciones, falta de conocimientos bsicos en ciencias,
particularmente matemtica; y aunque esto sea as, no se ha podido registrar para
este grupo, alguna materia que presente dificultades superiores al desarrollo normal
de los estudios.
El grupo de rendimiento medio resulta heterogneo, como en aos anteriores. La
mayora de sus integrantes alcanz a aprobar las cuatro materias del primer
cuatrimestre, lo cual significa que continuarn en carrera, con un tiempo de duracin
mayor que el previsto en el plan de estudios; esto se debe a que siempre existe un
conjunto de alumnos que por motivos personales, no disponen de dedicacin
exclusiva a sus estudios. De todas maneras, los resultados en el grupo pueden ser
considerados como buenos.
Los cuarenta y tres estudiantes con alto rendimiento, poco menos de una tercera
parte de los ingresantes, muestran muy buen resultado considerando hay ocho
materias en primer ao y adems las mayores dificultades para el avance de los
estudios estn al inicio de la carrera. Es posible estimar que este conjunto de
cuarenta y tres alumnos, que poseen seis o ms materias aprobadas, podr concluir
sus carreras en el tiempo previsto en el plan de estudios, aspecto importante de
destacar.

17

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

Rufino Iturriaga
Carina Jovanovich

Recibido el 10 de mayo de 2013

Aceptado el 22 de junio de 2013

18

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

Rufino Iturriaga1
Carina Jovanovich2
RESUMEN
En algunos casos, la solucin de una ecuacin lineal con coeficientes variables, de
orden 2 o superior, se puede expresar por medio de funciones elementales. Por otro
lado, existen ecuaciones diferenciales que determinan nuevas funciones, tal el caso de la
ecuacin diferencial de Bessel3, cuya resolucin conduce a las conocidas Funciones de
Bessel, aplicables al esclarecimiento de mltiples situaciones en campos de la fsica.
En este desarrollo se har explcita una aplicacin directa de las Funciones de Bessel
a la corriente alterna en conductores, para interesados que cuenten con conocimientos
previos de fsica y anlisis matemtico. Tambin se tratarn otras aplicaciones de las
funciones de Bessel en cuestiones de ingeniera.
Palabras clave: FUNCIONES DE BESSEL EFECTO PELICULAR.
CONCEPTOS PREVIOS
Funciones de Bessel
La ecuacin diferencial de Bessel es de las ms importantes en la matemtica
aplicada, fue utilizada inicialmente para el estudio de rbitas de planetas y tiene la
forma:
[1]
x 2 y '' xy ' x 2 - n2 y 0
La ecuacin [1] en su forma estndar ser:
y'
2
y ''

1 2 y 0
x

[2]

en la cual es un nmero real no negativo y se usa frecuentemente para decir que la

[2] es la ecuacin de Bessel de orden 4.
Para cada valor de se tendr una ecuacin diferencial, de las que, cuando 0 se
llega a la ecuacin considerada por Daniel Bernoulli en 1733 al hacer estudios sobre las
pequeas oscilaciones de una cadena pesada de densidad uniforme.

Rufino Iturriaga Ingeniero Electromecnico- UNNE, Resistencia, Chaco- rufinoit@yahoo.com.ar

Ethel Carina Jovanovich Licenciada en Tecnologa Educativa, Especialista en Investigacin Educativa
- UNNE, Resistencia, Chaco - UTN-FRRe, Resistencia, Chaco, carijovanovich@yahoo.com.ar
2

Friedrich Wilhelm Bessel (1784 - 1846): astrnomo y matemtico alemn nacido en Minden, fundador y
director vitalicio del observatorio de Knigsberg. Reconocido por sus aportes en materia de astronoma:
calcul la rbita del cometa Halley, catalog con alta precisin la posicin de miles de estrellas y fue
pionero en la determinacin del paralaje y distancia a una estrella (61 Cygni). Introdujo las funciones, que
utiliz para determinar el movimiento de tres cuerpos bajo mutua influencia gravitacional, hoy conocidas
como Funciones de Bessel. (Algunas biografas sitan el lugar de nacimiento de Bessel en Rusia.)
4
La ecuacin diferencial tratada es de segundo orden, sin embargo es comn decir que la ecuacin de
Bessel es de orden haciendo referencia al parmetro que aparece en el coeficiente de y.

19

Las soluciones de la ecuacin diferencial componen un sistema que se conoce como

funciones de Bessel de orden : una finita para x 0 se llama de primera especie, otra
infinita para x 0 de segunda especie.
Las funciones de Bessel de primera especie quedan determinadas a partir de la
expresin:

1 x
J ( x )

2k
k ! k 1
k 0 2
2k

[3]

En general, se llama funcin de segunda especie a toda solucin de la ecuacin de

Bessel [1] infinita para x 0 . Puede tomarse como forma normal de las ecuaciones de
segunda especie:
Yn ( x ) para n 0;1; 2...

J ( x ) para 0 no entero
Yn ( x )

2
1
x
ln J n ( x )

2
( 1)

k !( k n)! 2

2k n

k 0

( n j 1)! x

2
j!

j 0
n 1

2 j n

[4]

1
1
1
1

1 2 ... k 1 2 ... k n

en la que es la constante de Euler.

1 x
J ( x )
2 k
k !
k 0 2

2 k

k 1

0, no entero

[5]

Suele suceder que el modelo de algn fenmeno fsico, requiere una modificacin en
la funcin de Bessel para llegar a una solucin.
Si la expresin
y( x) c1 J 0 (kx) c2Y0 (kx)

es la solucin general de la funcin de Bessel de orden cero

y ''

1
y ' k 2 y 0
x

Con k=i, se tendr:

y( x) c1 J 0 (ix) c2Y0 (ix)

solucin general de:

y ''

1
y ' y 0 para x > 0
x

Se tiene as una ecuacin de Bessel modificada, de orden cero y J0(ix) es una

ecuacin de Bessel modificada de primera clase de orden cero.
Anlogamente, la solucin general de:

20

1
y ' b 2 y 0 para x > 0, ser:
x
y( x) c1I 0 (bx) c2 K0 (bx)
y ''

[6]
[7]

Efecto Pelicular
Se sabe que la resistencia real, conocida tambin como
resistencia hmica, es la oposicin que ofrece el conductor
a la circulacin de la corriente elctrica. Si bien la
resistencia especfica de un conductor es la misma para la
corriente continua que para la corriente alterna, la
resistencia total de un conductor es mayor para la corriente
alterna que para la corriente continua. El efecto pelicular5 es
un fenmeno que se traduce en una distribucin perifrica
de la corriente transportada, por el rechazo en el interior del
conductor a la circulacin de la corriente elctrica, debido a
la aparicin de fuerzas electromotrices de autoinduccin
que se oponen al paso de la corriente elctrica, estando las
mismas originadas por el campo magntico engendrado en
el interior del conductor por la corriente que lo recorre.
En la figura 1 se puede ver una representacin de la
Figura 1. Efecto skin
distribucin de cargas en un conductor de seccin circular
en conductores.
considerando primero corriente continua y luego corriente
Fuente:
http://solarpraxis.
alterna.
blogspot.com.ar/2012/02/.h
El fenmeno descripto es el que produce el aumento en el tml
valor de la resistencia para la corriente alterna respecto al
valor en corriente continua, dado que en trminos prcticos se puede considerar una
disminucin de la seccin, lo cual genera un aumento de resistencia y tambin un
aumento en las prdidas por efecto Joule.
La norma UNE 21144 define frmulas
a emplear para hacer una evaluacin del
efecto pelicular. Existe una expresin
aproximada, en la cual los valores de
resistencia efectiva y su equivalente en
corriente continua se relacionan a partir
de un coeficiente, el cual depender de
factores como ser la seccin del
conductor, el material empleado (sus
valores de resistividad y permeabilidad)
y la frecuencia de red de alimentacin.
Figura 2: Incidencia del efecto skin en
El efecto pelicular es ms significativo
conductores a diferentes frecuencias.
cuanto mayor es el valor de la frecuencia
Fuente: http://solarpraxis.blogspot.com.ar/2012/
02/efecto-skin-en-conductores.html
(figura 2), aunque cuando se trata de
conductores de escasa seccin la incidencia del fenmeno es casi despreciable. El efecto
5

El efecto pelicular es conocido tambin en el mbito de la electrotecnia como efecto skin, efecto Kelvin,
piel o cortical y produce en los conductores un aumento en su resistencia hmica, tanto mayor cuanto
mayor es el dimetro.

21

pelicular no ocasiona slo inconvenientes, ya que para el caso de cables de aceroaluminio provoca que la corriente circule por la capa externa y no por los alambres de
acero, destinados al soporte mecnico del cable.

CORRIENTE ALTERNA EN UN ALAMBRE

Entre algunas de las formas en las que se puede expresar la ley de Faraday, es
correcto establecer que la integral curvilnea del campo elctrico alrededor de un
circuito es igual al negativo de la variacin del flujo en el tiempo.
d 8
[8]
e El dl
10 Volt
dt

e: fuerza electromotriz total inducida.

El: componente de la intensidad del campo elctrico E en la direccin dl.
: flujo magntico.
La ley de Ampere, conocida como ley del circuito del campo magntico, establece
que la integral de lnea de la intensidad del campo magntico a lo largo de una
trayectoria cerrada es igual a la suma de los Ampere-vueltas con los que esta trayectoria
ser enlazada.
[9]
Hl dl NI
Hl: intensidad del campo magntico en el elemento dl del circuito magntico.
N: nmero de espiras que estn enlazadas por el flujo magntico.
I: intensidad de corriente que fluye en el arrollamiento.
Se considerar un alambre de seccin transversal circular y radio a ms las leyes
mencionadas para determinar la densidad de la corriente en el radio r del alambre
tratado.
Si el crculo de radio r tiene su eje longitudinal a lo largo de la extensin del alambre,
aplicando al mismo la ley de Ampere, con los conceptos antes vertidos ms los
desarrollos que se pueden notar en cualquier libro de fsica general avanzada o de
electrotecnia, se puede aseverar:
r

2r H 4 x( 2)d

[10]

en la que H es la intensidad del campo magntico y llamando en adelante x(r,t) a la

densidad de corriente, la frmula [10] tambin se puede expresar como:
r

r H 4 x d

[11]

operando sobre la misma, se llega a:

(r H ) 4 xr y de la misma manera:
r
1
(r H ) 4 x(r; t )
[12]
r r
Si se aplica la ley de Faraday considerando un circuito rectangular que sera el
determinado por el corte longitudinal del conductor, donde un lado quedara

22

determinado como r y el otro por la longitud L y adems siendo la resistencia especfica

del alambre y su permeabilidad:
r
Lx(0; t ) Lx(r; t ) LH ( ; t )d
t 0
Si la ecuacin es diferenciada, se obtiene:
x
H

[13]
r
t
Multiplicando [13] por el radio (r)

x
H
r
r
t

[14]

Expresin que es diferenciada respecto de r, obteniendo como resultado [15] y que se

compara con la [12] y se logra la independencia de H, como se expresa en [16]:

x
H

r
r
(r.H) 4 x r 4r
r r
r t
t r
t
t

[15]

Entonces:

x
x
r
4 r
r r
t

[16]

En busca de resolver la ecuacin diferencial parcial en x, se reemplazar en [16] x

por z, de manera que z (r; t ) x(r; t ) i. y(r; t ) tomando q x(r; t ) Re z (r; t ) y la
corriente ser la parte real de la expresin compleja.

z
z
r
4 r
r r
t

La cual se transforma en

rf '(r )eit 4 r f (r )ieit

[17]
r
si en ella se considera una solucin del tipo z (r; t ) f (r ) eit Dividiendo por el
exponencial y haciendo las diferenciaciones, se llega a una ecuacin que tiene la forma:
4
1
b2
i
f (r ) '' f (r ) ' b 2 y 0 en la que:

Ecuacin que puede comparase con [6] y para la cual se escribe la solucin general
segn las funciones de Bessel modificadas [7]
f (r ) c1 I 0 (br ) c2 K0 (br )

en la que:

4 1 i

23

Convenientemente se elige que c2=0 vinculado al trmino logartmico que tiene lmite
infinito conforme se acerque al centro del alambre (es decir que el radio tiende a cero).
De manera que se trabajar con:
f (r ) c1 I 0 (br )

y entonces:

z (r; t ) c1 I 0 (br ) eit

Para determinar la constante se tendr en cuenta que la parte real de Ceit es la
corriente total y usando la [7] se llegar a:
a

C 2 c1 rI 0 (br )dr
0

por lo que:
bC
1
c1
'
2 a I 0 (ba)

z (r; t )

2 ac1 '
I 0 (ba )
b

y:

bC
1
I 0 (br ) eit
'
2 a I 0 (ba)

Como x(r; t ) Re( z (r; t )) se tendr que:

2C

H(r; t ) Re
I 0 (br ) eit
'
a I 0 (ba)

Se puede utilizar la solucin de z(r,t) que sirve para trazar el modelo del efecto
pelicular:
r

b
Ceit I 0 (br )2 rdr
2 a.I 0' (ba)
0
que es la parte real de:
r I 0' (br ) it
Ce
aI 0' (ba)

de manera que:
corriente en el cilindro de radio r r I 0' (br )
'
corrientetotal en el alambre
aI 0 (ba)

Ante un valor alto de la frecuencia, tambin se hace grande el valor del parmetro b.
Se puede expresar:

r I 0' (br ) r ebr ba

r b ( a r )

e
'
ba
aI 0 (ba) a br e
a

para cualquier valor del radio r, (con 0 r a ) se puede hacer el trmino

(r / a) eb ( a r ) tan pequeo como se quiera tomando una frecuencia lo suficientemente
grande. Esto significa que, a medida que aumenta frecuencia, la mayor parte de la

24

corriente circula por la periferia del conductor, es decir lo que se conoce como efecto
pelicular.
MEMBRANA CIRCULAR
Las membranas resultan importantes en varios campos de la ingeniera; distintos
elementos como micrfonos, bombas y otros presentan membranas en sus diseos.
En una membrana circular plana las vibraciones estn gobernadas por la ecuacin
bidimensional de onda6, que se escribe de la forma:
2
2u
1 u 1 2u
2 u

[18]
2

t 2
r r r 2 2
r
Para membranas que resultan radialmente simtricas, no habr dependencia de , por
lo cual:
2
2u
1 u
2 u

2
t 2
r r
r

[19]

Puesto que la membrana se encuentra fija a lo largo de toda su frontera (r = R), se

tiene la condicin:

u R; t 0 para todo t 0

[20]

y si las condiciones iniciales no dependen de

r;0 f (r ) deflexin inicial

[21]

u
t

[22]

g (r )

velocidad inicial

t 0

Por separacin de variables se determinan primero las soluciones

u r; t W (r ) G(r )

[23]

que se sustituyen en [19] junto con sus derivadas y dividiendo por c 2WG se obtiene:

G
1 '' 1 '

W W
2
cG W
r

Las expresiones deben ser iguales entre s y adems iguales a una constante que ser
negativa para lograr soluciones que satisfagan la condicin de frontera sin lograr una
identidad con cero.
G
1 '' 1 '
2

W W k
2
cG W
r

Se tienen las dos ecuaciones diferenciales lineales:

G 2G 0
con ck
1
W ' ' W ' k 2W 0
r
6

Se trata de membranas planas circulares y material de composicin elstico, pero que no ofrezca
resistencia alguna a la flexin, por lo cual se encuentran excluidas las membranas metlicas delgadas.

25

Si s k .r

1 k

r s

y aplicando regla de la cadena:

dW dW ds dW
d 2W 2
''
W

.k y W
k
dr
ds dr
ds
ds 2
'

d 2W 1 dW

W 0
[24]
ds 2
s ds
que es una ecuacin de Bessel y cuyas soluciones son las funciones de Bessel J0 e Y0,
pero Y0 se hace infinita en 0 y no se usar puesto que la deflexin de la membrana
siempre debe ser finita. Quedar entonces:
W (r ) J 0 ( s) J 0 (kr )
a partir de la cual se encuentra la solucin completa.
LONGITUD CRTICA DE UNA BARRA VERTICAL
Considerando una barra elstica delgada, de densidad uniforme y seccin transversal
circular, verticalmente sujeta en su posicin. Si la barra se desplaza en su extremo
superior y se mantiene en esa posicin hasta lograr el reposo, la barra quedar inclinada
o desplazada cuando se suelte; la longitud mencionada se conoce como longitud
inestable. En longitudes menores, cuando la barra se suelte, luego de algunas
oscilaciones volver a su posicin inicial; esta longitud es conocida como estable. El
objetivo es conoce la longitud de transicin desde el estado estable al inestable, la cual
se conoce como longitud crtica. Si los puntos considerados en la barra desplazada son
P(x; y) y Q(; ).
Se establece la ecuacin:
x

EIy ''( x) [ y ( ) y ( x)]d

0

En la que E es el mdulo de Young e I es el momento de inercia. La misma se

diferencia respecto de x y se ordena para lograr:
y '''( x)

x y '( x) 0
EI
Con u=y se logra una ecuacin diferencial de segundo orden:
u ''

[25]

xu 0
[26]
EI
que es comparable con:
2 2 2 c 2 a 2 2 c 2
2a 1
b c x
y 0
y' '
y
'

[27]

x2
x

y cuya solucin general ser la que deba aplicarse.

En la comparacin entre las expresiones [26] y [27] surgirn los valores de a; b; c; .
Adems y(0)=0 y tambin y(L)=0 ya que no existe momento torsor en el extremo
superior y el extremo inferior se encuentra sujetado.
Se buscar que:

26

 2 2/3
[28]
J 1/3
L 0
3
E
I

La longitud crtica es el menor nmero positivo que puede ser sustituido para L en
esta ecuacin. El nmero en cuestin se puede tener desde una tabla de funciones de
Bessel J-1/3()=0 resulta 1,866, de manera que resulta:
1/3

E.I
Lc 1, 986

CONCLUSIONES.
Las funciones de Bessel se encuentran incluidas dentro de las llamadas funciones
especiales y si bien surgieron para obtener precisiones en estudios astronmicos su
campo de aplicacin se ha expandido al anlisis matemtico y distintos mbitos de la
ingeniera, brindando soluciones de tipo general que se ajustan a diferentes situaciones.
La complejidad matemtica de las mismas determina la necesidad de un nivel elevado
de anlisis para la aplicacin de los conceptos a situaciones novedosas, aunque la
correcta interpretacin de los mismos y la asociacin en temas ya desarrollados, resulta
de gran utilidad.
El auxilio prestado por las ecuaciones de Bessel y las funciones surgidas de las
mismas, para la demostracin matemtica del efecto pelicular ha sido ampliamente
valioso, ya que ha permitido visualizar numricamente cmo la frecuencia incide sobre
la circulacin de la corriente elctrica en conductores, cuando se trata con corriente
alterna. El desarrollo de las ecuaciones permite vislumbrar que el aumento de la seccin
efectiva reduce el efecto skin, lo cual resulta ventajoso principalmente en conductores
de mayor seccin, puesto que el efecto es ms pronunciado en los conductores de
seccin ms grande (la utilizacin del denominado hilo de Litz es una solucin sencilla
y frecuente para el aumento de la seccin efectiva).
Aparte de los temas mencionados en este escrito tambin fueron estudiadas
soluciones a temas como el desplazamiento de una cadena suspendida, el pndulo de
Poe, el modelo masa-resorte vencido (en el cual no hay amortiguamiento), transmisin
de calor en tubos y superficies extendidas, entre otras.
BIBLIOGRAFA

Jos Garca Transacos. (2009). Electrotecnia. Ediciones Paraninfo. Madrid. 10 Ed.

Erwin Kreyszig. (2003). Matemticas Avanzadas para Ingeniera. Tomo I. Editorial
Limusa Wiley. Mxico. 3 Ed.
C. Henri Edwards David E. Penney. (2001). Ecuaciones Diferenciales. Editorial Prentice
Hall. Mxico. 4 Ed.
Mark A. Pinsk. (2003). Introduccin al Anlisis de Fourier y las Ondoletas. Editorial
Thomson. Mxico.
Donald G. Fink H. Wayne Beaty. (1996). Manual de Ingeniera Elctrica. Tomo II. Mc
Graw Hill Interamericana. Mxico. 1 Ed. (Traducido de la 13 edicin en ingls)
Andr Ducluzauk. (2003). Cuaderno Tcnico N83 - Coleccin Tcnica Schneider Electric.
Prdidas suplementarias en los conductores de grandes intensidades por los efectos pelicular y
de proximidad. http\\www.schneider-electric.com.ar
Tony R. Kuphaldt. Lessons in Electric Circuits. http://openbookproject.net/electric
Circuits/AC/AC_3.html. Obtenido el 26 de abril de 2013.

27

Cultural Nuances of Mathematics: The case of Proof

Bharath Sriraman

Dept of Mathematical Sciences

The University of Montana

Recibido el 12 de marzo de 2013

Aceptado el 26 de marzo de 2013

28

Cultural Nuances of Mathematics: The case of Proof12

Bharath Sriraman
Dept of Mathematical Sciences
The University of Montana
Proofs are to mathematics what spelling (or even calligraphy) is to poetry.
Mathematical works consists of proofs as poems consist of characters
V.I. Arnold (1937-2010)

Un prembulo griego
Las pruebas han sido el ncleo de las matemticas que comienzan con los Elementos de
Euclides, que ejemplifica el carcter axiomtico-deductivo de la escritura matemtica
formal. Sin embargo, varias reorganizaciones de los elementos eran necesarios por la talla
de David Hilbert, con el fin de eliminar pequeos defectos en la superestructura deductivo.
Por ejemplo, el criterio de Side-Angle-Side de la congruencia de dos tringulos que se
presentan en el libro que revela las fallas de tratar de forzar un argumento deductivo
artificial, donde no existe uno. En su lugar, adaptamos dos milenios ms tarde como un
axioma [una verdad evidente por s misma] para realizar la reorganizacin lgica sonido.
Comentaristas como los Proclo erudito bizantino tienen anotado los elementos con
observaciones sobre las fallas en varios argumentos de reduccin al absurdo forzados en
numerosas proposiciones en el libro. Si uno examina el libro IV de cerca, hay numerosas
pruebas que son esencialmente pruebas de existencia establecidos por regla y comps
construcciones. Esto indica que axiomatizar aunque esencial para la creacin de una
estructura lgica formal, viene con su parte de los defectos que eventualmente necesitan reorganizacin. Ms importante an, los defectos revelan una dimensin humanista a la
nocin de prueba. Ante esta exposicin de motivos, la cuestin que aborda en este trabajo
es: Hay otras tradiciones de prueba que revelan matices culturales de la dimensin
humanstica de hacer matemticas? (Sriraman, 2008).
1

A Sami language version of this work appeared in Dr. A.B. Fyhns edited collection on multicultural
perspectives in mathematics..
2
This chapter stems from a series of lectures given at the University of Tromso in the time period 2008-2010
in the Center for Peace Studies, and in the doctoral course: Mathematics - creativity - culture: Indigineous
profiles and interdisciplinary approaches to innovation, teaching and learning. Many of the ideas also
germinated in the work with Anne Birgitte Fyhn in the Writing Seminar at Skibotn, and the Mathematics of
Sami Ornamentation project.

29

A Greek Preamble
Proofs have been the core of mathematics starting with Euclids Elements, which
exemplifies the axiomatic-deductive nature of formal mathematical writing. However
several re-organizations of the Elements were necessary by the likes of David Hilbert, in
order to remove minor flaws in the deductive superstructure. For instance the Side-AngleSide criterion for the congruence of two triangles presented in Book I reveals the flaws of
trying to force a contrived deductive argument, where one does not exist. Instead we adapt
it two millennia later as an Axiom [a self-evident truth] to make the re-organization
logically sound. Commentators like the Byzantine scholar Proclus have annotated the
Elements with remarks on the flaws in various reduction ad absurdum arguments forced on
numerous propositions in the book. If one examines Book IV closely, there are numerous
proofs that are essentially existence proofs established by Straight edge and compass
constructions. This indicates that axiomatizing while essential to creating a formal logical
structure comes with its share of flaws that eventually need re-organization. More
importantly, flaws reveal a humanistic dimension to the notion of proof. Given this
preamble, the question that addressed in this paper is: Are there other traditions of proof
which reveal cultural nuances of the humanistic dimension of doing mathematics?
(Sriraman, 2008).
By the rivers of Babyloni
The Pythagorean theorem today is more or less part of popular culture. However the
cultural history of this theorem reveals the cultural nuances involved in the creation of
mathematics, and the burden of proof. Mesopotamia (or Babylon) was the site of an
ancient, urban civilization dating back to ~3100 B.C. Among the many achievements of
this civilization in medicine, astronomy, engineering and mathematics, one stands out for
the community of mathematicians, namely Plimpton 322, which is a clay tablet that lists the
Pythagorean triples. It is not a trivial mathematical task to generate Pythagorean triples
(never mind in base 60 and cuneiform notation), and the fact that it was done with some
sort of a systematic method adds to the aura of this artifact. Subsequently numerous
researchers have studied this tablet in great detail to unravel the method used by the
Babylonians to generate the triples (Robson, 2001, p. 170).

30

Figure 1. Plimpton 322

In unraveling this mystery one has to resort to the notation of modern number theory. There
are three explanations found in the literature mostly from the extensive work of Eleanor
Robson (2001, 2002, 2008). The first explanation takes into consideration the fact that the
Babylonians used trigonometry extensively for their astronomy, and suggests that the first
column is the
of the angle opposite of the short side of a right triangle. If one
computes , it decreases about
from row to row, and lies between 30 degrees and 45
degrees (Buck, 1980, p. 344). However there are flaws in this view according to Robson
(2002) who deduced that Babylonians defined the circumference of a circle as a way to
define them and find their areas, as opposed to the radius. Instead of using
, they
used
, where c is the circumference and
is approximately equal to 3 (Robson,
2002, p.111). According to Robson, there is no evidence of the Babylonians rotating of
radii, and without this evidence, there is no conceptual framework for trigonometry
(2002, p. 112). The researchers that authored this theory did not look through the veil of
Babylonian culture, so this theory is deemed invalid (Wagner, 2011).
Otto Neugebauer and Abraham J. Sachs introduced the generating pair theory
(Neugebauer and Sachs, 1945), which originally comes from Book X of The Elements
(Roskam, 2009; Wagner, 2011) their 1945 book, Mathematical Cuneiform Texts. The
generating pair theory has its origins in Book X of The Elements, which examined rational
and irrational lines using the concepts of commensurable and incommensurable2 lengths
and squares (Roskam, 2009, p. 277). Neugebauer and Sachs (1945) claim that Babylonians
31

used a formula, comparable to Euclids formula, for generating Pythagorean triples. In

other words (using modern notation), triples are generated with m and n, such that

m > n, gcd(m,n)=1
m,n are not both odd
a = mn, b = m2-n2, c = m2+n2.

Robson (2001) dismisses this theory on the grounds that it requires knowledge of odd and
even numbers and coprime numbers (p. 177). Since this knowledge was not part of their
overall cultural knowledge, it cannot be assumed to play an integral role in their
mathematics. The third theory explaining Plimpton 322 comes from E.M. Bruins (1949).
This is the most plausible explanation because of its use of the medium of the theory of
numbers respecting the cultural context of the Babylonians (Wagner, 2011).

Figure 2. Use of Reciprocals & Cut and Paste geometry

The reciprocal theory suggests that the tablet was constructed with the use of reciprocals
and cut-and-paste geometry. Other Babylonian tablets such as YBC 6967 support this
claim. In other words, the Babylonians completed squares by using reciprocals to generate
Pythagorean triples (Robson, 2001, p. 183-185). As Wagner (2011) posits, the important
thing to take away from the study of Plimpton 322 is that it illustrates that mathematics is
not culture-free; however, most importantly, it illustrates a powerful application of uniting
geometry and number theory (p.195).
The fact that the Babylonians were working on generating Pythagorean triplets before
Euclid, and using non-deductive methods suggests we pay our due respects to other ways of
doing mathematics which appear less formal by todays standards, but are nevertheless
interesting and powerful in their own right.
32

Chinese Methodsii
Chinese mathematics is much older than that of the Greeks. Many of the early Chinese
proofs of the Pythagorean theorem predate Euclid and were highly visual. For instance the
following proof takes a right triangle with side lengths a,b and c, and uses 3 additional
transformations of the same triangle to produce a square of area c2 as well as a hole in the
square of area (a-b)2. Each of the triangles has area ab. Thus a2 + b2 = c2= (a-b)2 + 2ab.
This can be visually demonstrated as follows:

Figure 3. A visual proof of the Pythagorean theorem

The Chinese were also adept at geometric methods for approximating by inscribing
regular polygons inside a unit circle. Again these methods predate Archimedean and
Euclidean methods by hundreds of years. The Chinese method of circle division starts
with the value of = 3 by using a regular 12-gon. However by doubling sides in succession
to arrive at the 192-sided polygon Liu Hui improved his approximation of to 3.14+
.
In modern terms, they understood an existent theorem from that time period which states,
Given a polygon with 2n sides and
= side length of 2n- polygon, then the side length
of polygon with 4n sides can be determined, by

33

Many such astonishing results are found in Jiu Zhang Suan Shu (the Nine Chapters of
Mathematical Arts). The book is written as a set of problems and solutions, many of which
are geometric in nature, but non-Euclidean in their solution techniques. Most of the
solutions follow a prescribed rule, and the methods used to arrive at these rules are not
mentioned. The book in its present form is supposedly more or less complete in spite of the
massive pillaging done by a conquering Emperor Qin Shi Huang who ordered that all of the
books in the Chinese empire were to be burned in the year 213 BC (Dauben, 1998).

Figure 4. Jiu Zhang Suan Shu (the Nine Chapters of Mathematical Arts)
Several of the problems from the nine chapters were assigned as homework problems in
one of the authors history of mathematics courses that required students to follow the
original mathematical technique but use modern notation. Problem 32 from Chapter 1 asks:
Given a circular field, the circumference is 181 bu and the diameter 60 1/3 bu. What is the
area? To solve this problem one must first understand what the units bu and mu mean? bu
is a measure of length and mu is the measure of area. 240 square bu equals one mu. The
rule given in the book states: multiply half the circumference by the radius yields the area
of the circle. By following this rule first we find half of the circumference, which is 90 1/2
bu. We then multiply this number by the value of the radius, which is 30 1/6 bu. This gives
a resulting value of 11 mu 90 1/12 square bu (Dauben, 2007).
34

Another rule given in Jiu Zhang Suan Shu can also be used to solve the problem. It is one
fourth of the product of the circumference and the diameter. This can be derived directly
from the first rule, since the diameter is twice the radius of the circle. Yet another method
to find the answer to the problem is given. This rule gives the area of the circle by One
fourth the product of three times the diameter squared. Given the same circle from above
with the diameter of 60 1/3 bu, we can again calculate the area. It can be found that the area
given by this formula for this circle is again 11 mu 90 1/12 square bu, exactly the same
value as found by the first rule. Are the two rules exactly the same? In modern notation:

The third identity is derived from the first and leads us to believe that the ancient Chinese
believed that the circumference of the circle was 3 times the diameter, or = 3. If we take a
more standard approximation of = 3.14, the error in the calculation is still below the
statistical threshold of 5%.

In Chapter 4 problem 12 one gets a glimpse at a root finding algorithm. Liu Hui described
the algorithm as follows:
First the number of digits in the result is determined. This is found by dividing the
number of digits of the area by two and rounding up. Now the first digit (the
largest) is found by getting the largest possible number that will not exceed the area
when squared. It can be reasoned out that if there are an odd number of digits, then
the first number is less than four. Otherwise the first number is greater than three.
Lets call this largest digit fa. To get the next digit, we subtract off the part of the
area we already know, giving us a remaining area we will call a1. Double fa and
call this the determined fa, then move one digit and estimate the root of this digit.
Continue on with another subtraction for the next area. The following illustration
shows the procedure visually (Dauben, 2007)

35

Figure 5. Approximating the Square root

Our first guess is square A. The side length of this is the first digit of the square root. Then
subtract the red sections along with square B. Then the blue sections are subtracted, leaving
the small leftover yellow square. This algorithm has glimpses of the square root algorithm
that used to be taught in middle schools not too long ago.
Problem number 10 from this chapter reads, Given a frustrum of a pyramid, with lower
section 5 zhang square, and upper section of 4 zhang square, and an altitude of 5 zhang.
What is the volume? The method is called the rule for a Frustum of a Pyramid, namely
multiply the length of the side of the top square by the length of the side of the bottom
square. Then add the squares of the length of the side of the top square and the bottom
square. Then to this you multiply the altitude and divide by three (Dauben, 2007). The
Chinese never showed any proofs for their formulas, or their method of deduction la
Euclids Elements but this is the identical formula we use today! By breaking out the
rectangular prism that lies below the top square, all that remains is to calculate the volumes
of the four remaining side pieces.

Figure 6: Volume of a Frustum

36

The concluding chapter (Chp 9) includes the Pythagorean theorem called the Gou-gu. Like
the Babylonian tablet Plimpton 322, the discovery of the result remains a mystery today but
the Chinese did not use triples in generating these triangles because many of the answers to
the questions in the Nine Chapters are non-integers.

Discussion
As numerous historians of mathematics have pointed out, mathematics has engaged people
all over the world in rich cultural contexts. However mathematics as we know it today is
mostly characterised by the work mathematicians do. This kind of mathematic is mostly
defined by the global community who assume that mathematics is an international and
homogeneous culture (Dash & Sriraman, 2014). Ascher urges us to consider that the
western expression of mathematics is one of many. The category mathematics, she claims,
is a western one. She defines what mathematical ideas are (p.2):
Among mathematical ideas, we include those involving numbers, logic,
spatial configuration, and, even more significant, the combination or
organisation of these into systems or structures.
Mathematics is constituted of systems of expressions of ideas shared by and exchanged by
people in different parts of the world over time. Mathematics is one of the symbolic
languages that we have invented to help us organize our surrounding and our lives (Dash &
Sriraman, 2014). Joseph (2000) urges us to imagine the intercultural exchanges of
knowledge as something very unique. He point out that in philosophy and art there are
strong filters for what can be appreciated and understood across cultures. From clay tablets
found from Mesopotamian civilisation, evidence of activities at scribal schools illustrate
and narrate that priests, healers, accountants and teachers were educated in mathematics
that was not purely utilitarian. Assessing the contributions to mathematics from Egypt and
Mesopotamia, G.G. Joseph takes examples that show the generality in both its application
and as rules. The generality being- if the rule is there, but not deduction. In other words,
the ancients often did not explicitly spell out their method of discovery as illustrated earlier
in the case of the Babylonians and the Chinese nor the deductive process in the style of
Euclid.
Today the intercultural dialogue, Joseph notes, is more homogeneous and taking place more
locally than ever before which in a sense is a paradoxical phenomenon. One would expect
more heterogeneity in the dialogues given the increased access to information and a more
multicultural sensibility. But this may not be the case. However as educators we have the
burden and the responsibility of ensuring that an inter-cultural dialogue and communication
continues in our classrooms unmarred by the mainstream. Dash and Sriraman (2014)
suggest that this puts us in a position to look at what school mathematics is about and also
leads us to the more difficult question: how do we make learners participants in the
mathematics discourse and why should the learners be interested in mathematics in the first
place?
37

This chapter began with a quote from V.I. Arnold about the nature of proof. It seems apt
conclude it with another quote from his Mathematics: Frontiers and Perspectives. Arnold
(2000) quotes the algebraist J.J. Sylvester as saying that:
A mathematical idea should not be petrified in a formalized axiomatic setting, but
should be considered instead as flowing as a river. (p. 404)

References
Arnold, V.I. (2000) Mathematics: Frontiers and Perspectives. American Mathematical
Society.
Ascher, M. (2004). Mathematics Elsewhere: An Exploration of Ideas Across Cultures.
Princeton
University Press.
Dash, I., & Sriraman, B. (2014). Towards new Inter-cultural perspectives in mathematics
education. Forthcoming in The Mathematics Enthusiast, vol. 11, no.3
Dauben, J. (1985). The history of mathematics from antiquity to the present: A selective
bibliography. Garland Press, New York.
Dauben, J. (1998). (Jiu Zhang Suan Shu) vs Euclids Elements. Aspects of proof and the
linguistic limits of knowledge. International Journal of Engineering Science, 36
(12-14),
pp.1339-1359.
Dauben. J. (2007). Chinese Mathematics. In V. Katz, (Ed). The mathematics of Egypt,
Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook. Princeton: Princeton
University Press
Joseph, G.G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Neugebauer, O. (1952). The exact sciences in antiquity. Princeton University Press.
Otto N., and Sachs, A.J. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series,
29,
pp. 3841
Robson, E. (2001). Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322.
Historia Mathematica, 28, 167-206.

38

Robson, E. (2002). Words and pictures: New light on Plimpton 322. The American
Mathematical
Monthly, 109(2), 105-120.
Robson, E. (2008). Mathematics in ancient Iraq: A social history. Princeton University
Press.
Roskam, J. (2009). Book X of the elements: ordering irrationals. The Montana
Mathematics
Enthusiast, 6(1&2), 277-294
Sriraman, B. (2008). Cultural studies in mathematics as catalysts for peace. Colloquium
Talk at
University of Troms- Center for Peace Studies.
URL:
http://uit.no/tavla/artikkel/92070/cultural_studies_in_mathematics_as_catalysts_for
Wagner, M. (2011). Number theory and the queen of mathematics. The Mathematics
Enthusiast,
vol9, nos1&2, pp.193-206.

Acknowledgements
i

Parts of section entitled By the Rivers of Babylon was researched by Megan Wagner as part of her history
of mathematics (Math 429) paper project in Spring 2011, under the authors supervision. A peer reviewed
paper based on this research appeared in vol.9, nos1&2 of The Mathematics Enthusiast.
ii
The geometric problems presented in the Chinese section were assigned to Adam Ruhnke as part of a
homework assignment in Math 429: History of Mathematics, taught by the author in Spring 2011.

39

FILIACIONES Y RUPTURAS CON LA REDUNDANCIA EN LAS

CIENCIAS MATEMTICAS Y DE LA COMPUTACION

Mauro Garca Pupo

Universidad Antonio Nario
Colombia

Recibido el 11 de marzo de 2013

Aceptado el 26 de marzo de 2013

40

FILIACIONES Y RUPTURAS CON LA REDUNDANCIA EN LAS

CIENCIAS MATEMTICAS Y DE LA COMPUTACION
Mauro Garca Pupo
Universidad Antonio Nario
Colombia
mauro@uan.edu.co

Temtica: Historia, Filosofa y Metodologa de las Ciencias Matemticas y de la

Computacin
Palabras claves: teoras axiomticas, completitud, redundancia, independencia,
ciencias matemticas, ciencias de la computacin.
RESUMEN

Existen propiedades en las teoras bien formalizadas; estas son: consistencia,

independencia y completitud. Se hacen algunas referencias histricas a la evolucin e
importancia que tienen o no la ausencia de la segunda propiedad y por ende la
existencia de redundancia en el pensamiento cientfico y en la prctica de la Matemtica
y la Computacin.
INTRODUCCIN
La redundancia es la descripcin repetitiva o demasiado exhaustiva para significar un
determinado concepto, juicio o razonamiento. Para cualquier lenguaje de comunicacin,
trasmitir informaciones de cualquier ndole de forma redundante es pernicioso e
indeseable, no solo por la falta de elegancia que esto imprime, sino por el cansancio y
poco de inters que podemos causar a nuestros interlocutores.
Las diferentes teoras cientficas basan sus fundamentos en leyes, principios, categoras,
axiomas o postulados, conjeturas, etc. Siendo las primeras muy utilizadas en las
Ciencias Fsicas, Qumicas y Filosficas por slo mencionar algunas. Las ltimas tres
podemos decir que son harto utilizadas por las diferentes Teoras Matemticas y ms
recientemente por las Ciencias de la Computacin.
DESARROLLO
Si nos remontamos a algunos aspectos histricos de los Fundamentos de la Geometra,
tenemos que remitirnos al siglo VII antes de cristo en que comienzan los trabajos de los
cientficos griegos. Todo el desarrollo de muchos de los resultados geomtricos que
resumen en la obra de Euclides (330 al 275 ac) y todo el estudio que se concluyen en el
siglo XIX de nuestra era (N.E. Efimov, 1984)
Fueron casi 2200 aos donde uno de los aspectos que vamos a enfocar en este trabajo
estuvo en el centro del debate. Cualquier teora Matemtica descansa sobre un conjunto
de axiomas a partir de los cuales se construye la misma y cualquier modificacin que se
haga de algunos de ellos o se agreguen dan lugar a desarrollos cada vez ms amplios de
esta Ciencia cuyo fin est muy lejos de vislumbrarse.
La teora axiomtica a travs de su historia parte de que un conjunto de axiomas para
dar lugar a una en teora debe tener varias propiedades. En primer lugar Consistencia,
es decir, su carcter no contradictorio y completitud, es decir la posibilidad de que a
partir de el se pueda deducir todos los resultados tericos que van a constituir
41

enunciados verdaderos de la misma (Yu.I., Manin, 1980). En tercer lugar, y durante

todo este tiempo a que hacamos referencia en el anterior prrafo, la propiedad de
Independencia significaba que ese conjunto posea exactamente los axiomas que se
necesitan y que ninguno de ellos se puede deducir de los restantes. Es decir,
independencia significa no redundancia en las teoras axiomticas.
La comunidad de matemtica conoce muy bien toda la historia alrededor del quinto
postulado de Euclides, que en su forma original expresa: Y que cada vez que una recta,
al intersecar otras dos, forme a un mismo lado ngulos internos cuya suma sea menor
que dos rectos, y que dichas dos rectas se intersequen en aquel lado en el cual esta suma
sea menor que dos rectos, cuyo equivalente ms conocido es: Por cada punto exterior
a una recta dada para una nica recta paralela a ella.
Pues bien, durante ms de 2000 aos se trato, infructuosamente de demostrar que este
quinto postulado era redundante, es decir este conjunto no posea la propiedad de la
independencia. Al mismo tiempo se estaba desarrollando a comienzos del siglo XIX, de
manera simultnea las bases de la Geometra No Euclidiana por Lobatschewski, Gauss
y Bolyai, aunque se conoce con el nombre del primero. Ellos basaron sus postulados en
aceptar los cuatro primeros, denominmoslos como E y el quinto postulado como P,
pero negado, P. Una Geometra basada en el sistema E P suscito numerosas
polmicas desde su surgimiento hasta que en 1871, Felix Klein indica un modelo para la
misma y con el demuestra su consistencia, no solo la de Lobatschewski sino tambin la
de Riemann, dando origen a una nueva rama de la Geometra conocido como Geometra
Diferencial. Con esta demostracin se cierra un captulo que dur mas de 2000 aos
alrededor de la redundancia del quinto postulado, pues al demostrar la consistencia de
EP se demostr a la vez la independencia de P, (H. Apelt, 1981). Lejos se estaba
de pensar que no solo el quinto postulado era independiente, sino que en el sistema de
Euclides faltaban axiomas que hacan que el mismo no fuera completo obra que
culmina David Hilbert a finales del siglo XIX.
Consideramos que esta situacin revierte la metodologa del quehacer matemtico
posterior a Hilbert. Ya carece de importancia si una teora matemtica es redundante o
no, solo hay que exigirle consistencia y completitud lo cual no quiere decir que se
renuncia a la elegancia que reviste trabajar con una teora no redundante. En aras de una
mejor comprensin y posterior aplicacin de los principales aportes matemticos del
siglo XX presentan una axiomtica no necesariamente independiente, a veces con
axiomas que se pueden deducir de algunos de los restantes, otras veces con reglas o
propiedades adicionales, otras veces con axiomticas diferentes pero isomorfas o
equivalentes; en fin, con suficientes herramientas que permita una mejor comprensin y
asimilacin didctica de la misma. Los ejemplos son suficientes. Considero que para el
desarrollo inagotable de esta ciencia existe un sentimiento de agradecimiento con esta
forma del quehacer matemtico.
Otro aspecto que se debe mencionar que finalmente las ideas de Hilbert lejos de
encontrar un sistema de axiomas para toda la matemtica dieron al traste con el
Teorema de la Incompletitud de Gdel. Sin embargo, el hecho de que conjuntamente
con este teorema, Gdel demostr el Teorema de la Completitud (Yu.I., Manin, 1980)
que garantiza que todo enunciado verdadero de cualquier teora matemtica se puede
deducir de un sistema de axiomas. Un forma de interpretar este teorema es la siguiente:
si se tiene un enunciado que es verdadero bajo una determinada interpretacin, entonces
42

es posible verificar que la axiomtica de la teora a la que pertenece permite su

deduccin bajo esa misma interpretacin; en caso contrario, este enunciado se convierte
en un axioma o es necesario extender dicha axiomtica de forma tal que se pueda
deducir de ella. Es una lstima, que la mayor parte de las teoras modernas de las
matemticas no completan, de forma explcita, la axiomtica a la que pertenecen cuando
ocurre este caso. Pero por supuesto, existe un compromiso tcito de toda la comunidad
matemtica de un ineludible con la propiedad de consistencia para todo el desarrollo
ulterior de esta ciencia.
Pero la modernidad nos depara otras sorpresas. En 1930 se forman los primeros
cimientos de las Ciencias de la Computacin, cuyas races se fundamentan en muchas
de las teoras matemticas muy bien establecidas en el siglo anterior. En la dcada del
los 40s surgen los primeros ordenadores electrnicos, los primeros lenguajes de
programacin evolucionan desde el cdigo de mquina orientado al ordenador, los
lenguajes ensambladores, tambin y por ltimos los sper lenguajes como el PASCAL
donde se libera al programador de ser un esclavo de determinado ordenador. Es
decir, antes de 1970 los lenguajes constituan una prolongacin de la mquina
llegndose a instrumentos tan complejos como el PL/1 y Algol 68 (J. Cuena, 1986). Una
de las cuestiones indeseables en la programacin de cualquier sistema es la introduccin
de redundancias, por las acciones de ineficiencia que estas provocan.
Uno de los aspectos a considerar en cualquier metodologa de programacin debe
conducir a evitar este tipo de incorreccin. En 1970 surgen los primeros trabajos
tericos sobre los sistemas de gestin para Base de Datos Relacionales (BDR). E.F.
Codd (1970), como una va alternativa a los modelos jerrquico y reticular. Pocos aos
despus surge la teora del diseo de las bases de datos relacionales vinculada
directamente con la dependencia de datos existentes entre los campos de una BDR. Los
principales resultados de esta teora estn asociados con dos tipos fundamentales de
dependencias: las Funcionales y las Multivaluadas. (M.Garca, 1991).
La axiomatizacin de las propiedades de ambos tipos de dependencia queda demostrada
de forma consistente y completa (C.Beeri, 1977), pero el ulterior desarrollo de la Teora
del Diseo para Bases de Datos Relacionales se ampla posteriormente con numerosos
aportes de reglas y axiomas adicionales, evidentemente redundantes, pero que se
constituyen en herramientas que simplifican considerablemente los diseos de BDR. (J.
Ullmann, 1982). Ambos tipos de dependencias permiten caracterizar muy bien
redundancias indeseables en las BDR. Por su relevancia y su carcter histrico, se
presentarn dos ejemplos. El primero es conocido por su aplicacin temprana en la
teora de la codificacin.
CDIGOS DE HAMMING.
Notacin: Campo de los nmeros binarios F2
Subespacio vectorial Fnm m < n donde n m la cantidad de coordenadas
redundantes.
Matriz de paridad H la que me proporciona un sistema homogneo de ecuaciones
lineales donde se incluyen las coordenadas redundantes (recordar que 0 es el
representante de los nmeros pares).

43

C es el cdigo o ncleo de H el conjunto de palabras que satisfacen el sistema

homogneo.
Ejemplo: Sea H la matriz de paridad:
1010
1101
C = [ (0 0 0 0), (0 1 0 1), (1 0 1 1), (1 1 1 0)]
Habiendo definido un cdigo lineal binario detector-corrector de errores para codificar
informacin y enviarla por algn canal de comunicacin, es muy factible que sta
adquiera errores durante su transmisin, de tal manera que si la informacin enviada fue
x = (x1, x2,., xn), la estacin receptora reciba:
y = (y1, y2,., yn) = x + e = (x1, x2,., xn) + (e1, e2,., en), donde e = (e1, e2,., en) es
el error adquirido durante la transmisin.
Cul es la informacin original? Determinar x = y e
La informacin recibida es parecida a la original siempre y cuando e sea muy cercano a
cero e 0
La distancia de Hamming se define para poder decir cuando dos palabras estn
cercanas una a la otra. Para ello definamos el peso de Hamming pH(z) como el nmero
de coordenadas distintas de cero de la palabra z, Por ejemplo: si z = (111010) F62(z) =
4
Si z,w Fn2 la distancia de Hamming se define como dH(z,w) = pH(z - w)
Por ejemplo: si z = (1 1 0 1 1) y w = (1 0 0 1 1 ), entonces dH(z,w) = 1, que tiene la
propiedad de ser una mtrica y va a servir para determinar los errores que puede
corregir un cdigo lineal. Ahora, para estimar el error e definamos sntoma de una
palabra. Si H es la matriz de paridad de un cdigo C y z Fn2 su sntoma se define
como S = H zt
Continuando con el ejemplo anterior el sntoma de Z = (1 1 1 1) es S = H zt = H(1 1 1
1)t = (0 1 )t . Notemos que si z C entonces su sntoma es 0.
Continuemos el ejemplo suponiendo que estamos trasmitiendo una palabra de cdigo x
C con la matriz H de paridad del mismo ejemplo, y sea y = x + e la informacin
recibida. Para estimar el error e se calcula el sntoma de y: S = Hy = H(x + e) = He
De donde H(e - y) = 0, es decir, e y C lo cual implica que el error esta en la clase
lateral de la palabra recibida y con respecto al cdigo C por tanto e y + C. Se puede
interpretar que y + C es un elemento del espacio lineal cociente Fn2/C de Fn2 mdulo C.
Entonces despus de recibir a y como informacin para estimar el error e, se calcula la
clase colateral y + C y se elige el error como el elemento de esta clase lateral que tiene
el mnimo peso de Hamming. Continuando con el mismo ejemplo calculamos las clases
laterales F42 modulo C

44

C1 = (0 0 0 0) + C = [ (0 0 0 0), (0 1 0 1), (1 0 1 1), (1 1 1 0)]

C2 = (1 0 0 0) + C = [ (1 0 0 0), (1 1 0 1), (0 0 1 1), (0 1 1 0)]
C3 = (0 1 0 0) + C = [ (0 1 0 0), (0 0 0 1), (1 1 1 1), (1 0 1 0)]
C4 = (0 0 1 0) + C = [ (0 0 1 0), (0 1 1 1), (1 0 0 1), (1 1 0 0)]
De donde los sntomas de las clases laterales son:
C1 S1 = (0 0)
C2 S2 = (1 1)
C3 S3 = (0 1)
C4 S4 = (1 0)
Si suponemos que la palabra y = (0 1 1 0) y se desea decodificar el mensaje original se
determina el sntoma de dicha palabra que como pertenece a C2 es (1 1)t como el error
debe tener peso de Hamming mnimo entonces e = (1 0 0 0) por lo que la palabra
codificada es
x = y e = (0 1 1 0) - (1 0 0 0) = (1 1 1 0) y por tanto la informacin original
es (1 1)
Esta no es la nica herramienta para abordar esto; tambin otras reas como la
Geometra Algebraica, Teora de Nmeros, el lgebra Conmutativa, etc, por solo citar
algunas de ellas, conjuntamente con otros reas de las ciencias de la Computacin e
Ingeniera Electrnica se conjugan para encontrar soluciones a este problema (H.Tapia,
2003). Recientemente, en el XXIII Congreso Mundial de Matemticas (ICM2002, Daily
News, 2002) se le entreg a M. Sudn el Navanlinna Prize por sus contribuciones en
aspectos tericos de las Ciencias de la Computacin, en particular aquellos que eliminan
los ruidos que pueden introducir errores debido a los mensajes largos codificados con
redundancia y de esta manera recuperar los mensajes originales.
REDUNDANCIA EN LAS BASES DE DATOS RELACIONALES.

Toda una teora sobre el diseo de las bases de datos se dedica a la normalizacin de los
esquemas de BDR lo que significa la descomposicin de una tabla cuyas columnas
determinan los campos de toda la informacin que se quiere o necesita almacenar para
una administracin eficiente de un cierto volumen de informacin. Una sola tabla para
almacenar un volumen grande de informacin en cuanto al nmero de campos de la
misma, es seguro que tendr un exceso de redundancias que puede ocasionar la
recuperacin de datos inconsistentes. La caracterizacin de diferentes tipos de
dependencias funcionales y multivaluadas y su relacin directa con cada una de las
formas normales que recoge la literatura dedicada a la Teora del Diseo de las Bases de
Datos Relacionales (para profundizar sobre este tema ver: Garca, M. (1991) y Ullman,
J.D. (1982).
Ante la situacin alternativa de qu conjunto de esquemas relacionales escoger para
disear una BDR es de suponer que una decisin arbitraria nos puede conducir lo
mismo a un buen diseo que a un mal diseo.
Es preferible explicar un mal diseo, a travs de un ejemplo, para la comprensin de lo
que significa un buen diseo. Supongamos que tenemos la relacin abastece con el
esquema relacional asociado:
abastece(Empresa_abastecedora,Direccin,Producto,Precio)
que
incluye
la
informacin de las empresas que suministran determinados productos a una institucin.
En este esquema se pueden observar los problemas siguientes:
45

1. Redundancia Potencial. La direccin de la empresa abastecedora se repetir tantas

veces como artculos se suministren por sta.
2. Inconsistencia Potencial. Como consecuencia de la redundancia si la direccin de
la empresa se actualiza en varios tuplos y se deja la anterior en al menos un tuplo,
entonces se estn introduciendo datos contradictorios.
3. Anomala de insercin. Si una empresa no suministra ningn producto a la
institucin, entonces la direccin de la misma no estar registrada en la BD. Una
solucin a este problema es proporcionada a travs de valores nulos en los valores
correspondientes a Producto y Precio. Pero en el mismo momento que dicha
empresa comience a abastecer, al menos con un artculo, es necesario eliminar el
tuplo que contiene a los valores nulos.
4. Anomala de extraccin. Se trata del problema inverso al anterior. Si una empresa,
en un determinado momento, deja de suministrar sus productos, entonces la
cancelacin de todos los tuplos implica la prdida de la direccin de dicha empresa.
Si la relacin abastece la sustituimos por las relaciones abastecedor y
abastece_producto ansiadas a los esquemas relacionales:
abastecedor (Empresa abastecedora, Direccin) y
abastece producto (Empresa abastecedora, Producto, Precio)
Entonces la relacin abastecedor registra la direccin de cada empresa una sola vez, aun
cuando no suministre ningn artculo. Con esto quedan eliminados los cuatro problemas
sealados anteriormente.
Ahora surge un nuevo problema. Si se desea interrogar a la BD sobre direcciones de
empresas que suministran un determinado artculo, es necesario realizar un encuentro
natural Ullman, J.D. (1982). Como se observa, esa informacin poda haberse obtenido
de la relacin original abastece con las operaciones de proyeccin y seleccin las que
ahora resultan insuficientes. El costo del encuentro natural es alto, adems de que no
siempre las relaciones a las que se aplica esta informacin garantizan informaciones
vlidas. Es por ello que una de las exigencias para un buen diseo es que el encuentro
natural, en caso de que sea necesaria su aplicacin, posea la propiedad sin prdida
Ullman, J.D. (1982).
En la relacin inicial abastece el problema de redundancia se presenta por la existencia
de la dependencia funcional: Empresa abastecedora Direccin. Su separacin en el
esquema relacional asociado a la relacin abastecedor proporciona, al mismo tiempo, la
solucin. En este ejemplo existe otra dependencia funcional: Empresa
abastecedora,Pruducto Precio cuyos atributos son exactamente los del esquema
relacional abastece_producto.
La sustitucin de la relacin abastece por las relaciones abastecedor y
abastece_producto es una descomposicin de la relacin abastece Ullman, J.D. (1982).
Con la descomposicin anterior se garantiza que los problemas de diseo, apuntados
anteriormente, no estn presentes por lo que se puede adelantar que se trata de un buen
diseo.
De los cuatro problemas de diseo mencionados, el de la redundancia constituye, segn
mi criterio, uno de los principales. Con el ejemplo anterior como la DF (I.1) constituye
la causa de la redundancia en la relacin inicial abastece y la separacin de sus atributos
en la relacin abastecedor propici la eliminacin de la misma. Considero que tanto las
DFs como las DMs constituyen la causa, en el sentido del ejemplo anterior, del
46

problema de la redundancia. La preservacin Ullman, J.D. (1982) de estos tipos de

dependencias, pueden proporcionar un buen diseo.
La teora del diseo de BD relacionales se apoya en lo que se conoce como procesos de
normalizacin Ullman, J.D. (1982). Los procesos de normalizacin estn directamente
asociados con la interrelacin entre las dependencias que se cumplen en una relacin
inicial con la descomposicin final, en la misma o en varias relaciones. La
normalizacin de relaciones est dirigida a la eliminacin de los problemas que puede
presentar un diseo.
La Tercera Forma Normal junto con la Forma Normal Boyce Codd constituyen
herramientas terico-conceptuales dirigidas a la realizacin de diseos basados en
dependencia de datos de tipo funcional. La Cuarta Forma Normal se ha establecido
para dependencia de datos de tipo multivaluado Ullman, J.D. (1982)1.
Con la introduccin del concepto de entidad compartimentada, se pudo demostrar que si
R una entidad compartimentada y r una relacin para R que cumple XYZ2. Si t y
s son tuplos diferentes en r, tal que t[X]=s[X], entonces t[YZ] s[YZ]. Con este
resultado no solo se encontr un tipo nuevo de dependencia entre campos de una BDR,
sino caracterizar un tipo nuevo de dependencia multivaluada y encontrar un tipo de
redundancia mucho ms imperceptible que las muy bien caracterizadas hasta la cuarta
forma normal. As mismo, se pudo instrumentar un algoritmo que con estos campos
redundantes de este tipo nuevo de dependencia DC se poda mejorar sustancialmente las
indicaciones para resolver el problema de la quinta forma normal de una forma mucho
ms eficiente si se utilizaba una extensin deductiva al restringir el encuentro natural
en la recuperacin de datos, en un proceso de interrogacin de una BDR que estuviera
caracterizada por una DC que por razones de espacio no se exponen en este trabajo pero
que se puede profundizar en Garca, M. (1990). Pero se presenta el ejemplo siguiente:
sea R un esquema relacional con atributos T(cnico), D(ibujante), P(royecto), S(eccin)
y J(efe). Si F es el conjunto de DFs = {TS, PS, DS y SJ} que satisfacen toda
relacin para R y si = (R1 ,R2 ,R3, R4) es una descomposicin de R con R1= TS, R2=
PS, R3= DS y R0= SJ y sean ri= Ri (i=0,1,2,3), dadas por las tablas siguientes:

Tomado de la Tesis en opcin al grado cientfico de Doctor en Ciencias Matemticas. Dependencias Cartesianas en Bases de
Datos, Universidad de la Habana Cuba, 1990. P. 13.
2
El concepto de Dependencia Cartesiana (DC) fue tomado de la Tesis en opcin al grado cientfico de Doctor en Ciencias
Matemticas. Dependencias Cartesianas en Bases de Datos, Universidad de la Habana Cuba, 1990. P. 33.
1

47

T
t1
t2
t3
t4
t5

S
s1
s1
s2
s2
s3

P
p1
p2
p3
p4
p5

S
s1
s1
s2
s2
s3

D
d1
d2
d3
d4

S
s1
s2
s2
s3

S
s1
s2
s3

J
j1
t1
j1

T
t1
t1
t2
t2
t3
t3
t4
t4
t3
t3
t4
t4
t5

S
s1
s1
s1
s1
s2
s2
s2
s2
s2
s2
s2
s2
s3

J
j1
j1
j1
j1
t1
t1
t1
t1
t1
t1
t1
t1
j1

P
p1
p2
p1
p2
p3
p4
p3
p4
p3
p4
p3
p4
p5

D
d1
d1
d1
d1
d2
d2
d2
d2
d3
d3
d3
d3
d4

La ltima tabla como resultado de un encuentro sin prdida a travs de la siguiente regla
de deduccin: S(T,S,J,P,D) r1(T,S) r2(P,S) r3(D,S) r4(S,J). Sin embargo, en un
contexto de una Base de Datos Deductiva se puede apreciar que los tuplos
correspondientes a las filas marcadas en negritas se corresponden con una informacin
falsa. Por tanto es necesario controlar esta situacin de forma tal que las interrogaciones
que se hagan a la BDR lo que se logra utilizando los campos redundantes causantes de
esta situacin; es decir T, P y D a travs de restricciones en la regla de deduccin
anterior tal como sigue:
S(T,S,J,P,D) r1(T,S) r2(P,S) r3(D,S) r4(S,J) not a(T,P,D). Este ltimo trmino
denominado factor de restriccin o atipicidad que conformado de las reglas siguientes:
a(T,P,D) al(T,P) a2(D,P).
a1(T,P) T = tl,P = p2.
a1(T,P) P = pl,T = t2.
a2(D,P) D = d2,P = p3.
Y de esta forma las filas marcadas en negritas de la tabla de la derecha no se generar en
ningn tipo de interrogacin a la BDR. Sobre estos aspectos se puede profundizar en
Garca, M. (1991*). El operador not en un medio ambiente de la programacin lgica
(PROLOG ESTANDAR) se corresponde con una Lgica No Monotnica o Intuicionista
(negacin por fracaso); por tanto, no debe confundirse con el operador unario de la
lgica convencional.
CONCLUSIONES
La
redundancia debe ser adecuadamente controlada en cualquiera de sus
manifestaciones. En particular en las Ciencias Matemticas y de la Computacin puede
constituir fuente de males pero tambin servir para fines muy tiles en ambas ciencias.
Considero que los ejemplos propuestos se pone de manifiesto que la redundancia de por
si no se puede caracterizar de forma peyorativa. Es perniciosa a veces y no le da
elegancia a una demostracin matemtica, tambin a veces. Pero tambin es muy til
como se ha querido mostrar.

BIBLIOGRAFA
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