Geometría
Geometría
Geometría
tica
especialidad en matema
GEOMETRIA EUCLIDEANA
Equipo de Dise
no:
Nahomy Jhopselyn Hernandez Cruz
Gabriel Alexander Chicas Reyes
Eduardo Arnoldo Aguilar Ca
nas
Hector Enmanuel Alberti Arroyo
Ernesto Americo Hidalgo Castellanos
Juan Agustn Cuadra
Claudia Patricia Corcio Lopez de Beltran
Carlos Mauricio Canjura Linares
Oscar Armando Hernandez Morales
Aar
on Ernesto Ramrez Flores
21 de febrero de 2010
Indice
1. Angulos
entre paralelas.
2. Tri
angulos: Teoremas Fundamentales.
3. Congruencia de Tri
angulos.
16
4. Cuadril
ateros: Clasificaci
on y Propiedades.
23
5. Angulos
en la Circunferencia.
29
45
57
8. Soluci
on a Problemas Selectos.
71
1.
Angulos
entre paralelas.
ANGULOS
Definimos como angulo a la figura geometrica formada por dos rayos (o semirrectas) distintas
que tienen el mismo origen. Ese origen se llama vertice del angulo. Al angulo de vertice O y
rayos OA y OB se le denota AOB.
Dos angulos AOB y BOC son adyacentes si y solo si tienen un lado com
un OB y los lados
no comunes OA y OC estan en semiplanos distintos, determinados por el lado com
un.
Bisectriz de un angulo es la semirrecta que lo divide en dos angulos adyacentes iguales.
Dos angulos son:
Congruentes o Iguales: si tienen igual medida.
Suplementarios: si su suma es 180.
Complementarios: si su suma es 90.
Por otra parte, dos rectas en el plano pueden ser secantes o paralelas,1 dependiendo si se cortan
o no; ademas, si las rectas son secantes, el punto de corte es u
nico, y definen cuatro angulos,
que se agrupan por parejas en angulos opuestos por el vertice (las parejas de angulos tales que
uno esta formado por la prolongacion de los lados del otro).
Los angulos opuestos por el vertice son iguales (Justifique), por lo que dos rectas secantes forman cuatro angulos que definen dos parejas de angulos iguales, y si tomamos un miembro de
cada pareja, se tienen dos angulos suplementarios. En particular, si las rectas son secantes y
forman cuatro angulos iguales, seran llamadas rectas perpendiculares,2 y los angulos as generados son llamados angulos rectos. Y como es muy conocido, un angulo agudo es aquel cuya
medida es menor a la de un angulo recto, y un angulo obtuso es aquel cuya medida es mayor
que un angulo recto; en particular, un angulo obtuso sera llamado angulo llano si su medida es
el doble que la de un angulo recto.
ANGULOS
ENTRE PARALELAS
Al intersecar un par de rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman
los siguientes tipos de angulo:
Angulos
Correspondientes: Son dos angulos no adyacentes situados en el mismo lado de
la secante, uno en el interior y otro en el exterior de las paralelas.
Angulos
Alternos Internos: Son dos angulos no adyacentes situados en el interior de las
paralelas, y en distintos lado de la secante.
1
2
Angulos
Alternos Externos: Son dos angulos no adyacentes situados en el exterior de las
paralelas, y en distintos lado de la secante.
Angulos
Conjugados: Son los angulos no adyacentes situados uno en el interior y el otro
en el exterior de las rectas paralelas y del mismo lado de la secante.
Las propiedades fundamentales de los angulos entre paralelas son:
1. Los angulos correspondientes son iguales entre s.
2. Los angulos alternos internos son iguales entre s.
3. Los angulos alternos externos son iguales entre s.
4. Los angulos conjugados son suplementarios.
Figura 1: Angulos
entre las rectas paralelas L1 y L2 .
Ejercicios
1. Tres angulos adyacentes forman un semiplano y tienen sus medidas proporcionales a los
n
umeros 5, 7 y 8. Hallar la medida del menor angulo.
2. Demostrar que las bisectrices de dos angulos suplementarios son perpendiculares.
3. En la figura adjunta, L1 k L2 y
L3 k L4 . Calcular x.
Figura 2
5. En la figura 3, AB k F G. Hallar el angulo x si el AM F = 90y el M AB = 110.
Figura 3
6. Calcular el OP Q, si OP es bisectriz del angulo O, L1 k L2 y P Q L1 . Ver figura 4.
Figura 4
7. En la figura 5, L1 k L2 y L3 k L4 , calcular .
Figura 5
8. En la figura 6, calcular x, si L1 k L2 .
Figura 6
Figura 7
11. Sea AOB = 24, en la region exterior a dicho angulo se traza el rayo OC. Hallar la
medida del angulos formado por las bisectrices de los angulos AOC y BOC.
12. Del grafico 8, calcular y, cuando x tome su maximo valor entero.
Figura 8
2.
Tri
angulos: Teoremas Fundamentales.
opuesto)
Corolario: En todo triangulo, la suma de las medidas de sus tres angulos internos es igual a
180.
Teorema 2: Desigualdad Triangular. En todo triangulo, la longitud de uno de sus lados
esta comprendido entre la suma y la diferencia de los otros dos.
Sin ser muy rigurosos, suponga que dado el segmento AB se traza con centro en A una circunferencia de radio r1 , y con centro en B una circunferencia de radio r2 ; si AB < r1 + r2 ,
las circunferencias se cortaran en dos puntos, y cualquiera de ellos puede ser el vertice C,
as AB < BC + CA; en cambio, si AB = r1 + r2 o peor a
un, si AB > r1 + r2 , la construccion
del 4ABC no es posible.
La Desigualdad Triangular es un resultado fundamental, a partir de esta y de su modelo de
demostracion se generan los Criterios de Congruencia de Triangulos; a groso modo, si dadas
ciertas condiciones, la construccion de una figura geometrica (un triangulo en particular) queda
determinada de manera u
nica, entonces dos figuras que reunen las mismas condiciones seran
llamadas figuras congruentes.
As, si se tienen tres segmentos (cuyas longitudes cumplen la desigualdad triangular), dejando
uno fijo y construyendo las circunferencias con centros en los extremos de este segmento y
radios las longitudes de los otros segmentos, por construccion, solo sera posible obtener dos
triangulos (uno con cada punto de interseccion de las circunferencias), que son basicamente el
mismo pero la orientacion de los angulos es contraria; as, si se sabe que dos triangulos cumplen
tener lados respectivamente iguales, por construccion, deben de ser iguales. Este es el conocido
criterio LLL de congruencia de triangulos; mas adelante se detallaran el resto de criterios, pero
a partir de este probaremos el siguiente resultado:
Teorema 3: En todo triangulo, se cumple que a lados iguales se oponen angulos iguales, y
viceversa.
Suponga que 4ABC es tal que AB = AC, entonces, por criterio LLL, 4ABC es congruente
al 4ACB (en ese orden, porque AB = AC, BC = CB y CA = BA), entonces, los angulos
que se oponen a los angulos iguales son iguales. Para el recproco necesitamos otro criterio de
congruencia, por lo que la demostracion se dejara incompleta; retome esto en la seccion de
congruencia de triangulos.
Teorema 4: En todo triangulo se cumple que a mayor lado se opone mayor angulo y viceversa.
Este teorema se deja como ejercicio para el lector (Sugerencia: utilice el teorema anterior, tome
el lado mayor y defina un punto adecuado que genere un triangulo con dos lados iguales.)
DE TRIANGULOS.
CLASIFICACION
1. Con relacion a sus lados:
8
TEOREMA DE PITAGORAS.
Abordamos el estudio de las Relaciones Metricas, del cual solo realizaremos el analisis del famoso Teorema de Pitagoras, cuyo enunciado es el siguiente:
Teorema: Pit
agoras. En un triangulo rectangulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Figura 10
Una demostracion de este teorema es debida a Thabit ibn Qurra (836-901), la cual consiste en
diseccionar la figura que se forma al construir dos cuadrados de lados respectivamente iguales
a los catetos de un triangulo rectangulo, como se muestra en el grafico 11.
Figura 11
Recproco del teorema de Pit
agoras: Si en un triangulo el cuadrado de un lado es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el triangulo es rectangulo.5
Ejercicios.
Ver demostraci
on en la secci
on de congruencia de triangulos
10
Figura 12
3. (*) En la figura 13, ABDE es un cuadrado y BCD es un triangulo isosceles con BD =
DC. Si ABC = 160, determinar la medida de AEC.
Figura 13
y el GF H =
Figura 14
7. (*) Hallar la suma de los angulos + + + en la figura 15.
Figura 15
8. Determine el valor de la suma A + B + I + H + F + G. Figura 16.
Figura 16
12
Figura 17
14. Se tiene un triangulo isosceles ABC, AB = BC en el cual se traza al altura AF tal que
BF = 6 y F C = 2. Hallar AC.
15. Cual es el valor de b a en la figura 18?
Figura 18
16. La hipotenusa BC de un triangulo rectangulo ABC se divide en 4 segmentos congruentes
por los puntos G, E y H. Si BC = 20, encuentra la suma de los cuadrados de las longitudes
de los segmentos AG, AE y AH. Figura 19.
13
Figura 19
17. (*) Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triangulos equilateros ABP (exteriormente) y ADQ (interiormente). Probar que C, P y Q estan alineados.
18. (*) Sea ABC un triangulo rectangulo con CAB = 90. D es un punto sobre la prolongacion de BC tal que BD = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A respecto
de BC, tal que CE BC y ademas CE = CA. Mostrar que A, D y E estan alineados.
19. El cuadrilatero ABCD mostrado en la figura 20 cumple que AB k CD y BC k DA.6
Sobre las prolongaciones de AB y AD se construyen puntos E y F tales que BC = BE
y DC = DF . Demuestre que C, E y F estan alinedos.
Figura 20
El cuadril
atero ABCD es un paralelogramo.
14
a+b+c
.
2
23. Muestre que es posible construir un triangulo con segmentos de longitudes a, b, c si y solo
existen n
umeros positivos x, y, z tales que: a = x + y, b = y + z, c = z + x.
Problemas de Refuerzo.
24. (*) (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matematicas) En la figura
21 se muestra un hexagono regular ABCDEF de lado 1. Los arcos del crculo que estan
dibujados tienen centro en cada vertice del hexagono y radio igual a la distancia al vertice
opuesto. P , Q, R, S, T y U son los puntos de corte de estos arcos. Cuanto mide cada
lado del hexagono P QRST U ?
Figura 21
25. (*) (XXVIII Olimpiada Brasile
na de Matematica) En la figura 22, AB = AC, AM = AN
y CAM = 30, encuentre el valor del BM N .
Figura 22
15
3.
Congruencia de Tri
angulos.
CRITERIOS DE CONGRUENCIA.
Definici
on de Congruencia de tri
angulos. El 4ABC es congruente al 4A0 B 0 C 0 si: AB =
A0 B 0 , AC = A0 C 0 , BC = B 0 C 0 , ABC = A0 B 0 C 0 , ACB = A0 C 0 B 0 y BAC = B 0 A0 C 0 .
Simbolicamente: 4ABC = 4A0 B 0 C 0 . Vease figura 23.
criterio de LADO-ANGULO-LADO,
en smbolos: L-A-L.
Criterio L-A-L. Si los triangulos ABC y A0 B 0 C 0 presentan las congruencias: AB = A0 B 0 ,
AC = A0 C 0 y BAC = B 0 A0 C 0 , entonces 4ABC = 4A0 B 0 C 0 .
18
Ejercicios.
Figura 29
3. ABCD es un cuadrado, E, F , G y H son puntos sobre los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente, tal que EF GH tambien es cuadrado. Demuestre que los triangulos AEH,
BF E, CGF , DHG son todos congruentes entre si. Figura 30.
Figura 30
19
4. ABCDE y F GHIJ son pentagonos regulares (Vease figura 31). Demuestre que los
triangulos AF J, BGF , CHG, DIH, EJI son todos congruentes entre si.
Figura 31
5. Demuestre que dos triangulos desplazados son congruentes.
6. Demuestre que dos triangulos rotados son congruentes.
7. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto a un punto
son congruentes.
8. Demuestre que dos triangulos reflejados con respecto a una recta son congruentes.
Importante: Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no cambian el tama
no ni la forma
de un triangulo.
9. (*) (Cuaderno de Olimpiadas Mexicanas - Geometra) En la figura 32, ABCD un cuadrado y EF GH. Demuestre que que EF = GH.
Figura 32
10. Dos cuadrados ABCD y EHGF , ambos de lado l, estan colocados en manera tal que un
vertice de uno esta en el centro del otro (vease la figura 33). Demuestre que el area del
l2
cuadrilatero EJBK es
y por ende no depende de la posicion de J (o K).
4
7
La reflexi
on con respecto a un punto es equivalente a una rotacion de 180
20
Figura 33
11. (*) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triangulos equilateros ADP y ABQ como se
muestra en la figura 34. Sea M la interseccion de CQ con AD y N la interseccion de CP
con AB. Demuestre que CM N es un triangulo equilatero.
Figura 34
12. En un 4ABC el B = 2C, la mediatriz del lado AC corta en F al lado BC. Hallar
AB, si BF = 3 y F C = 9.
13. (*) (Examen final de XVI Olimpiada mexicana de Matematica) Los angulos de un triangulo ABC estan en progresion aritmetica (B A = C B = ), D, E, y F son los
puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente. Llamamos H al pie de la
altura trazada desde C (que cae entre B y F ) y G a la interseccion entre DH y EF .
Cuanto vale F GH?
21
Figura 35
Problemas de Refuerzo.
16. En la figura 36, ABC, CDE y EF A son triangulos isosceles, con el ABC = CDE =
EF A = 120. Probar que el 4BDF es equilatero.
Figura 36
17. (*) 4ABC es un triangulo isosceles con ABC = ACB = 80. D es un punto en AC
tal que ABD = 10. Demuestre que AD = BC.
22
4.
Cuadril
ateros: Clasificaci
on y Propiedades.
CLASIFICACION.
Los cuadrilateros pueden clasificarse de acuerdo a sus diagonales de la siguiente forma:
Cuadril
atero Convexo: Es un cuadrilatero con las dos diagonales en su interior.
Cuadril
atero Entrante: Es un cuadrilatero con una diagonal en el interior y otra en el exterior.
Cuadril
atero Cruzado Es un cuadrilatero con las diagonales en su exterior.8
Es muy frecuente que se considere que un cuadrilatero es convexo, a menos que se especifique lo
contrario. Esto es as porque muchos resultados son mas claros en un cuadrilatero convexo, sin
embargo, es importante darse cuenta que existen teoremas que no se cumplen para cualquier
tipo de cuadrilateros, por ejemplo:
Teorema: La suma de los angulos internos de un cuadrilatero no cruzado es 360.
La demostracion de este resultado se basa en la diseccion del cuadrilatero en dos triangulos cuyos angulos internos conforman los angulos internos del cuadrilatero, sin embargo, estas
condiciones no pueden lograrse en un cuadrilatero cruzado; de hecho, la suma de los angulos
internos puede hacerse arbitrariamente peque
na cuando el cuadrilatero es cruzado.
Tambien hay otras clasificaciones de cuadrilateros de acuerdo a sus lados y angulos.
Cuadril
atero Equi
angulo: un cuadrilatero (convexo) es equiangulo si todos sus angulos internos son iguales; dado el teorema anterior, los angulos son iguales a 90, por ello este cuadrilatero
es llamado rectangulo.
Cuadril
atero Equil
atero: un cuadrilatero (convexo) es equilatero si todos sus lados son iguales. A este cuadiratero tambien se le conoce como rombo.
Cuadrado: es un cuadrilatero que es equiangulo y equilatero.
Paralelogramo: es un cuadrilatero con los lados opuestos paralelos.
Trapecio: es un cuadrilatero con un par de lados opuestos paralelos.9
8
23
PARALELOGRAMOS
Dado el paralogramo ABCD, por propiedades de angulos entre paralelas es posible probar el
siguiente resultado:
Teorema: Los angulos opuestos son iguales y los angulos consecutivos son suplementarios:
ABC = CDA = y BCD = DAB = 180 .
Por otra parte, por criterio ALA, 4ABC 4CDA; esto implica que AB = CD y BC = DA,
i.e.
Teorema: Los lados opuestos de un paralogramos son iguales.
A partir de esto, si M es la interseccion de AC con BD, por criterio ALA, 4ABM 4CDM ,
por lo que AM = CM y BM = DM , i.e.
Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Ademas, se cumple un resultado sofisticado y muy importante:
Teorema: Ley del Paralelogramo. Si ABCD es un paralelogramo entonces el doble de la
suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, es
decir
2 AB 2 + BC 2 = AC 2 + BD2
Demostraci
on: Aplicando la Ley del Coseno a 4ABC y 4ABD se tiene
AC 2 = AB 2 + BC 2 AB BC cos
DB 2 = AB 2 + AD2 AB AD cos(180 )
AC 2 + DB 2 = 2 AB 2 + BC 2 AB BC (cos + cos(180 ))
y dado que cos = cos(180 ) el resultado se sigue inmediatamente.
RECTANGULOS
En primer lugar, es importante notar que todo rectangulo es paralelogramo (por angulos entre paralelas), por lo que todos los resultados probados anteriormente son heredados a todo
rectangulo; pero los rectangulos tienen propiedades adicionales:
Observe que por criterio LAL, 4ABC 4ABD, por lo que AC = BD y entonces
Teorema: Las diagonales de un paralelogramo son iguales; ademas, el punto de interseccion
de estas equidista de los cuatro vertices y por tanto es el centro de una circunferencia que pasa
por todos los vertices.
Por otra parte, observe que si se aplica la ley del paralelogramo a un rectangulo se obtiene el
Teorema de Pitagoras.
24
ROMBOS
Dado un rombo ABCD, por criterio LLL, 4ABC 4CDA, y por lo tanto BAC = DAC
y BCA = DAC, lo cual implica BC k AD y AB k CD, i.e., todo rombo ABCD es un
paralelogramo. Ademas, por las mismas congruencias se tiene
Teorema: Las diagonales de un rombo cumplen ser una mediatriz de la otra.
Teorema: Las diagonales de un rombo bisecan a los angulos interiores del rombo; esto implica
que el punto de corte de las diagonales equidista de los cuatro lados del rombo y es el centro
de una circunferencia tangente a estos.
TRAPECIOS
Dado el trapecio ABCD (con AB k CD), se construyen los puntos medios de BC y DA, M y
N , respectivamente. Si el cuadrilatero M N AB se rota con centro en M y angulo 180 se genera
un cuadrilatero M N 0 A0 C; observe que N D = N 0 A0 y N D k N 0 A0 , por lo que DN N 0 A0 es un
paralelogramo y
N N 0 = DA0
2M N = DC + CA0
2M N = DC + AB
AB + CD
MN =
2
El segmento M N es llamado base media del trapecio, y por lo recien demostrado se tiene
Teorema: La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases.
Por otra parte, hay ciertos trapecios que reciben nombres particulares; el trapecio rectangulo es
aquel que las bases son perpendiculares a alguno de los otros lados; y por otra parte, el trapecio
isosceles es aquel que los lados (distintos de las bases) tienen igual longitud. 10
Ejercicios
1. Dado el trapecio ABCD con AB k CD, demuestre que la bisectriz interior del A es
paralela a la bisectriz exterior del D.
2. A un rombo ABCD se le construyen exteriormente los cuadrados ABEF y BCGH.
Demuestre que 4ABD = 4EBH.
3. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triangulos equilateros exteriores 4CDP
y 4ADQ. Demuestre que el 4BP Q es equilatero.
4. Si un cuadrilatero tiene dos lados iguales y paralelos es un paralelogramo.
10
Los trapecios is
osceles son muy importantes cuando se estudian los angulos en la circunferencia; resulta que
un trapecio es is
osceles si y s
olo si los cuatro vertices se ubican sobre una misma circunferencia.
25
5. Demuestre que las bisectrices interiores de un paralelogramo forman un rectangulo (que sucede si el paralelogramo es ademas rombo?).
6. Demuestre que las bisectrices exteriores de un paralelogramo forman un rectangulo.
7. Sea ABCD un paralelogramo. La bisectriz interna del CDA corta a BA en M , y la
bisectriz interna del BAD corta a CD en N . Demuestre que ADN M es un rombo.
8. Demuestre que si por el punto de interseccion de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los lados del rombo, entonces los puntos de interseccion de dichas
perpendiculares con los lados del rombo forman un rectangulo.
9. Demuestre que las bisectrices de los angulos definidos por las diagonales de un rombo,
cortan a los lados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado.
10. En un 4ABC sea G la interseccion de las medianas BB 0 y CC 0 . Sean B 00 , C 00 las reflexiones
de G respectivas a los puntos B 0 y C 0 .
a) Demuestre que AGCB 00 y AGBC 00 son paralelogramos.
b) A partir de lo anterior, demuestre que BCB 00 C 00 tambien es paralelogramo.
c) Demuestre que A0 pertenece a la recta AG, y concluya que las tres medianas de un
triangulo concurren en el punto G, llamado el centroide del 4ABC.
d) Demuestre que CG = 2GC 0 ; relaciones similares se cumplen para las otras dos medianas.
11. Teorema de Varignon: Dado un cuadrilatero ABCD (no necesariamente convexo), se
construyen los puntos medios L, M , N , O, P , Q, de los segmentos de recta AB, BC, CD,
DA, BD, AC, respectivamente. Figura 37.
a) Demuestre que LM N O, LP N Q, OP M Q, son paralelogramos.
b) Demuestre que LN , OM , P Q concurren en un punto, llamado el centroide del cuadrilatero ABCD.
c) Demuestre que el permetro de LM N O es igual a AC + BD; resultados similares se
cumplen para los otros paralelogramos.
12. Sea ABCD un paralelogramo tal que existe un punto E sobre el lado AB que cumple
CED = 90. Sean M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde A y B hacia
DE y CE, respectivamente. Demuestre que AC, BD y M N concurren.
13. (*) (Hector Alberti) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen los triangulos equilateros
BDA0 , ACB 0 , BDC 0 y ACD0 . Demuestre que el A0 B 0 C 0 D0 es tambien un cuadrado.
26
Figura 38
Problemas de Refuerzo.
15. (*) ABCD es un cuadrilatero convexo y O es un punto en su interior. Sean P , Q, R, S,
los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente. Por P se traza una
paralela a OR, por Q se traza una paralela a OS, por R se traza una paralela a OP , y
por S se traza una paralela a OQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.
16. (*) Un trapecio isosceles tiene diagonales perpendiculares y su area es 2010, determine su
altura.
17. (*) (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea ABCDEF un hexagono
regular cuyo centro es O. Se construyen los cuadrados F SOP y ORCQ. Demuestre que
AP QB y SEDR son rectangulos. Figura 39.
27
Figura 39
18. (*) Sobre los lados del 4ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABP Q, CARS y
BCT U . Luego se trazan los paralelogramos AQA0 R, CSC 0 T y BU B 0 P .
a) Sean A00 , B 00 , C 00 los centros de los cuadrados BCT U , CARS, ABP Q, respectivamente. Demuestre que estos centros estan sobre los lados del 4A0 B 0 C 0 .
b) Demuestre que AA00 , BB 00 , CC 00 concurren.
19. (*) Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo, demuestre que:
a) El cuadrilatero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.
b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.
20. (*) Dado un 4ABC, se construyen exteriormente los triangulos rectangulo isosceles
4ACP y 4BCQ, con AC y BC como hipotenusas. Si M es el punto medio de AB,
demuestre que el 4M P Q tambien es un triangulo rectangulo isosceles.
28
5.
Angulos
en la Circunferencia.
Figura 40
AB < AO + BO
= r+r
= AA0
Si A es un punto fijo, esta desigualdad es valida para cualquier punto B sobre la circunferencia
(excepto cuando B = A0 lo cual implica AB = AA0 ). Esto quiere decir que el diametro es la
mayor de todas las cuerdas.
A las porciones de circunferencia que quedan entre dos puntos ubicados en la circunferencia,
se les llama arcos de circunferencia; note que dos puntos sobre una circunferencia definen dos
arcos de circunferencia. Tambien, si un angulo tiene vertice sobre el centro de la circunferencia y
esta formado por dos radios, sera llamado angulo central ; de nuevo, AOB hace referencia a dos
angulos, cuya suma es 360, y subtienden respectivamente a uno de los arcos AB. Finalmente,
si un angulo tiene el vertice sobre la circunferencia y esta formado por dos cuerdas, sera llamado angulo inscrito; en la figura anterior, AA0 B es un angulo inscrito que subtiende al arco AB.
29
Teorema: El angulo central es el doble del angulo inscrito que subtiende el mismo arco.
Demostraci
on: Considere la figura 41, se demostrara que AOB = 2AP B en los tres casos
mostrados. En la circunferencia de la izquierda, sea P 0 el punto diametralmente opuesto a P ;
observe que 4AP O y 4BP O son triangulos isosceles, y por el teorema del angulo externo se
tiene
AOB =
=
=
=
=
AOP 0 + BOP 0
(AP O + OAP ) + (BP O + OBP )
2AP O + 2BP O
2 (AP O + BP O)
2AP B
Figura 41
El caso de la circunferencia del medio es mas sencillo y se deja como ejercicio para el lector.
Para la circunferencia de la derecha, el trabajo es analogo y solo cambia en un peque
no arreglo
algebraico
AOB =
=
=
=
=
BOP 0 AOP 0
(BP O + OBP ) (AP O + OAP )
2BP O 2AP O
2 (BP O AP O)
2AP B
Corolario: Todos los angulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales (Ver figura
42). En particular, los angulos internos son iguales a 90 si subtienden a una semicircunferencia.
Demostraci
on: Todos los angulos mostrados en la figura 42 son iguales a la mitad del AOB,
y por tanto, son iguales entre s. En particular, si AB fuera un diametro, AOB = 180 y por
tanto AP B = 90. 11
Hay un par de angulos mas que son importantes: Si un punto P es interno a la circunferencia,
el angulo de vertice P formado por dos cuerdas que pasan por P se llama angulo interior. De
11
30
Figura 42
forma similar, si P es exterior y dos cuerdas de la circunferencia (al prolongarse) pasan por P ,
el angulo con vertice P es llamado angulo exterior.
Dejamos como ejercicio demostrar el siguiente teorema:
Teorema: Los angulos interior y exterior mostrados en la figura 43 cumplen las formulas
siguientes:
BOD + AOC
2
BOD AOC
AP C =
2
AQC =
Figura 43
CUADRILATEROS
CICLICOS
Ahora suponga que sobre una circunferencia se ubican cuatro puntos A, B, C, D, como se
muestra en la figura 44. Al cuadrilatero ABCD se le llama cuadrilatero cclico o concclico.
Observe que
ABC + CDA = + = 180 .
2
2
31
Figura 44
Y analogamente DAB +BCD = 180. Esto significa que si ABCD es un cuadrilatero cclico
y convexo, entonces los angulos opuestos son suplementarios. Tambien, es posible demostrar por
contradiccion el recproco de este resultado: si suponemos que ABCD es tal que B+D = 180
pero no es cclico, se define el punto D0 como la otra interseccion de AD con el circuncrculo
del 4ABC, y como ABCD0 es cclico (por construccion) entonces B + D0 = 180, luego,
D = D0 , lo cual implica la contradiccion CD k CD0 (rectas paralelas que se cortan en C).
As, se ha demostrado el siguiente teorema:
Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cclico si y solo si
A + C = 180 = B + D
Tambien, otro criterio muy u
til y cuya demostracion tambien se basa en el corolario anterior es
Teorema: El cuadrilatero convexo ABCD es un cuadrilatero cclico si y solo si se cumple
alguna de las siguientes igualdades
ABD
BCA
BAC
CAD
=
=
=
=
ACD
BDA
BDC
CBD
Es importante recalcar que NO todo cuadrilatero puede ser inscrito en una circunferencia; por
ejemplo, un paralelogramo no sera cclico a menos que sea rectangulo.
32
AOB
= AQB
2
Por otra parte, dada una circunferencia, otra circunferencia puede ser secante o tangente a la
primera, dependiendo si la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso
se dice que las circunferencias no se cortan.13
12
Cuando la recta es tangente a la circunferencia puede considerarse como un caso muy peculiar en el cual
los dos puntos de corte coinciden.
13
Tambien ac
a puede considerarse a las circunferencias tangentes como un caso especial de circunferencias
secantes en el cual los puntos de corte coinciden.
33
Figura 45
Ademas, dos circunferencias pueden posicionarse una dentro de la otra, y claramente, la circunferencia de radio mayor es la externa mientras que otra es la interna; particularmente, si las
circunferencias tienen el mismo centro se llaman concentricas. Finalmente, combinando estas
definciones se tienen las circunferencias tangentes exteriormente y las tangentes interiormente.
Teorema: Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2 que se cortan en dos puntos distintos
A y B, se cumple que O1 O2 AB.
Teorema: Si dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes en A, se cumple que O1 , A
y O2 estan alineados.
Teorema:
a) Dos circunferencias, una dentro de la otra, no tienen rectas tangentes en com
un.
b) Dos circunferencias tangentes interiormente tienen una recta tangente com
un.
c) Dos circunferencias secantes (en dos puntos distintos) tienen dos rectas tangentes en com
un.
d) Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen tres rectas tangentes en com
un.
e) Dos circunferencias no secantes y tal que ninguna contiene a la otra, tienen cuatro rectas
tangentes en com
un.
Ejercicios
34
2. Dado un angulo inscrito BAC, y su angulo central BOC, se sabe que BAC + BOC =
180. Calcular el OBC.
3. En la figura 46, BCDO es un rombo. Determine el valor del angulo y la medida de las
diagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6.
Figura 46
4. Un cuadrilatero cclico ABCD satisface ABC = 2CDA = . Calcule .
5. En la figura 47, P R es una tangente com
un. Calcule el valor del P QR.
Figura 47
Figura 48
10. (*) Dada la figura 49, demuestre que AB k A0 B 0 .
Figura 49
11. En la figura 50 CR es una recta tangente en C, demuestre que AB k CR.
Figura 50
36
12. Dos circunferencias 1 y 2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (Ver figura 51).
Dos rectas que pasan por P cortan a 1 y 2 en A y C, y en B y D, respectivamente.
Demuestre que AB k CD.
Figura 51
Figura 52
37
Figura 53
17. Si el AEB = 30, ADE = 20 y ACE = 35, calcule el AF B. Vease figura 54.
Figura 54
18. Dada una circunferencia de diametro BC, se toma un punto P en la prolongacion de BC,
y se traza la tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre
que el 4AOC es equilatero.
19. (*) Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunes
externas forman segmentos iguales; analogamente, las tangentes comunes internas forman
segmentos iguales.
20. (*) Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilatero inscribible, la suma de
lados opuestos es igual.
21. (*) Teorema de Steiner. En todo cuadrilatero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de lados opuestos es igual.
38
22. Demuestre que las mediatrices de un cuadrilatero son concurrentes si y solo si es cclico.
23. Demuestre que el cuadrilatero convexo ABCD es inscribible si y solo si los incrculos
respectivos del 4ABC y 4CDA son tangentes.
24. Demuestre que las bisectrices internas de un cuadrilatero son concurrentes si y solo si es
inscribible.
25. Demuestre que todo rombo es inscribible.
26. En la figura 55, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia
paralela a AB. Demuestre que CD es bisectriz del ACB.
Figura 55
27. Determine las medidas de ACB y ACO de la figura 56.
Figura 56
Figura 57
30. La figura 58 esta formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre s y
tangentes a tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la
cuarta parte del lado menor del paralelogramo, calcule la razon entre el lado mayor del
paralelogramo y el radio de las circunferencias.
Figura 58
31. En la figura 59, ABCDEF es un hexagono regular y las circunferencias de centro en los
vertices son tangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vertices B, D, F son
iguales, demuestre que las circunferencias restantes son iguales.
Figura 59
32. Alrededor de una circunferencia se construyen diez circunferencias tangentes a la original
y tangentes entre s (Vease figura 60). Demuestre que la suma de las areas de las diez
circunferencias es el doble del area de la circunferencia mayor.
40
Figura 60
33. (*) Teorema de Miquel: Dado un 4ABC, sean X, Y , Z puntos sobre AB, BC, CA,
respectivamente. Demuestre que los circuncrculos de 4AXZ, 4BY X, 4CZY tienen un
punto en com
un M .
34. (X OMCC - P2, Aaron) Sea ABCD un cuadrilatero concclico con diametro AC, y sea
O el centro de su circunferencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF .
Demuestre que si E y F estan sobre la circunferencia entonces ABCD es rectangulo.
35. (*) Sea ABC un triangulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del angulo A
con el lado BC y el circuncrculo de ABC respectivamente. Construimos la interseccion
M del circuncrculo de ABL con el segmento AC. Prueba que los triangulos BM N y
BM C tienen la misma area.
36. (*) Sea AB el diametro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre
la semicircunferencia y sobre AB, respectivamente.14 Sea P el centro de la circunferencia
que pasa por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B, K y M .
Demuestre que M P KQ es concclico.
37. (*) Las circunferencias 1 y 2 se cortan en los puntos A y B. Por el punto A se traza
una recta que corta nuevamente a las circunferencias 1 y 2 en los puntos C y D,
respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las
cuales se cortan en el punto M . Demuestra que M CBD es cclico.
38. (*) El 4ABC cumple que A = 90 y AB = AC. Se toma un punto E del segmento
AB, se construye interiormente un triangulo equilatero AEF . EF corta BC en I, y se
construye exteriormente un triangulo equilatero BIJ. Encuentre EJB.
39. (*) En la figura 61, se sabe que AO1 B AO2 B = 70 y ademas la tangente EB forma
el triangulo isosceles ABE, con AB = AE. Encuentre EBC.
14
M y K son distintos de A y B.
41
Figura 61
40. (*) Dos circunferencias 1 y 2 se cortan en A y B. Una recta por A corta a 1 y 2 en C
y D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta 1 y 2 en E y F , respectivamente.
Demuestre que 4CDB 4EAF .
41. (*) La Recta de Simson-Wallace. Sean X, Y y Z los pies de las alturas trazadas
desde un punto P en el circuncrculo del 4ABC hacia AB, BC y CA, respectivamente.
Demuestre que X, Y y Z estan alineados.
42. (*) Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que AP C = 90 , Q es la interseccion
de AB y P C, y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D estan
alineados.
43. En la figura 62, ABCD es un trapecio rectangulo tal que la circunferencia de diametro
AB (y centro O) es tangente a CD. Demostrar que O pertenece a la circunferencia de
diametro CD y que esta circunferencia es tangente a BA.
Figura 62
44. El 4ABC es rectangulo en C, la circunferencia de centro O es tangente a cada uno de los
lados del 4ABC en los puntos P , Q y R (como se muestra en la figura 63), y se cumple
que AP = 20 y BP = 6. Calcule OP .
42
Figura 63
45. En la figura 64 se muestran tres semicircunferencias, una de diametro AB (de centro O
y radio r), otra de diametro AO y la u
ltima de diametro OB. Determine la razon entre
el radio de la circunferencia tangente a estas tres semicircunferencias y r.
Figura 64
46. El segmento AB es diametro de un semicrculo con centro en O. Un crculo con centro
en P es tangente a AB en O y tambien al semicrculo. Otro crculo con centro en Q es
tangente a AB, al semicrculo y al crculo de centro en P . Si AB = 2, cual es el radio
del crculo con centro en Q?
Figura 65
Problemas de Refuerzo.
47. Los vertices A y B de un triangulo equilatero 4ABC estan sobre una circunferencia de
radio 1 y el vertice C esta en el interior de la circunferencia. Un punto D (distinto de B)
que esta en la circunferencia es tal que AD = AB. La recta DC corta por segunda vez a
la circunferencia en E. Encuentre la longitud del segmento CE. Ver figura 66.
48. (*) (OIM 2002, P-4) En un triangulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con
D sobre AC. Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE k CF ) BD, y sea
M el punto sobre el lado BC tal que DM BC. Demuestre que EM D = DM F .
43
Figura 66
49. (*) (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diametro de ella. Sea t la recta
tangente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean
E y F las intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con
CF y DE. Demuestre que AH = AG.
50. (*) (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadrado
ABCD y un punto E sobre el lado AB. La diagonal AC corta al segmento DE en el punto
P . La perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF .
51. (*) Teorema de Arqumedes: En la figura 67, la region delimitada por tres semicircunferencias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o arbelos.
Demostrar que las circunferencias sombreadas son congruentes.
44
6.
Introducci
on.
Definicion
1. Razon: se llama razon, al cociente de dos cantidades, expresadas en la misma magnitud,
por ejemplo ab .
2. Proporcion: se llama proporcion a la igualdad de dos razones. Por ejemplo ab = dc , 15 a los
terminos a y d se les llama extremos y los terminos b y c se les llama medios, al termino
d se le llama cuarta proporcional entre a, b y c en este orden.
Propiedades de las proporciones:
a
c
1. = si y solo si a c = b d.
b
d
2.
a
c
b
d a
b
= si y solo si = o = .
b
d
a
c c
d
3.
a
c
ab
cd
= si y solo si
=
.
b
d
b
d
4.
a
c
a+b
c+d
= si y solo si
=
.
b
d
ab
cd
Paralelismo y proporcionalidad.
Definicion
1. Un punto P AB divide al segmento AB en una razon dada r, si
PA
PB
= r.
Figura 68
2. Sean AB y CD dos segmentos, y sean P AB y Q CD, decimos que P y Q dividen a
QA
A
AB y CD en segementos proporcionales si PP B
= QB
.
Figura 69
15
45
Teorema de Thales. Si tres paralelas cortan a dos secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. 16
Antes de demostrar el Teorema de Thales, se enunciaran dos teoremas que a pesar de su apa
rente sencillez es de mucha utilidad en problemas que involucran Areas
y Proporcionalidad.
Lema 1. Sea AB k CD. Demuestre que: (ABC) = (ABD).
Lema 2. Sea P un punto sobre el lado AB (o su prolongacion) del 4ABC. Pruebe que:
AP
(AP C)
=
PB
(P BC)
.
A continuacion se enuncian los pasos a seguir en la demostracion del teorema de Thales.
Demostraci
on. Sean AA0 , BB 0 y CC 0 rectas paralelas que cortan a dos secantes en los puntos
0
0
A, A , B, B , C, C 0 respectivamente (ver figura 70).
AB
(ABB 0 )
=
BC
(BCB 0 )
A0 B 0
(A0 B 0 B)
2. 0 0 =
.
BC
(B 0 C 0 B)
3. (ABB 0 ) = (A0 B 0 B) y (BCB 0 ) = (B 0 C 0 B).
Con ayuda de las igualdades demostradas concluya que:
AB
A0 B 0
= 0 0.
BC
BC
Observaci
on Importante: Utilice las propiedades de las proporciones para demostrar las
equivalencias siguientes (interpretelas geometricamente):
A0 B 0
AC
A0 C 0
AC
A0 C 0
AB
= 0 0
= 0 0
= 0 0
BC
BC
AB
AB
BC
BC
16
El teorema de Thales puede enunciarse de manera general como sigue: Si tres o mas paralelas cortan a dos
o m
as secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
46
(2)
48
4ADE = 4A0 B 0 C 0 , de lo cual se deduce que ADE = A0 B 0 C 0 . Por otra parte teneAB
AC
mos que:
=
, y al aplicar el recproco del teorema de Thales, se puede afirmar que
AD
AE
DE k BC, de lo cual a su vez se deduce que ADE = ABC, por angulos correspondientes
entre paralelas. Finalmente por transitividad se concluye que ABC = A0 B 0 C 0 . Por lo tanto,
4ABC 4A0 B 0 C 0 (Por el criterio A-A.)
Tercer criterio de semejanza de tri
angulos: L-L-L. Si los tres lados de un triangulo son
respectivamente proporcionales a los tres lados de otro triangulo, entonces los dos triangulos
son semejantes.
AC
BC
AB
Demostraci
on. Por hipotesis se tiene que: 0 0 = 0 0 = 0 0 y como antes sean D y E
AB
AC
BC
puntos sobre AB y AC respectivamente tales que AD = A0 B 0 y AE = A0 C 0 . Entonces por
el recproco del teorema de Thales se tiene que DE k BC y por consiguiente el ABC =
ADE y el ACB = AED, de donde 4ABC 4ADE (por el criterio A-A). Por ende
BC
BC
BC
AB
=
, luego por transitividad
= 0 0 , de donde DE = B 0 C 0 . En consecuencia
AD
DE
DE
BC
4ADE = 4A0 B 0 C 0 (por el criterio L-L-L), de lo cual se sigue que A0 B 0 C 0 = ADE y
A0 C 0 B 0 = AED, y por transitividad A0 B 0 C 0 = ABC y A0 C 0 B 0 = ACB =. Por lo
tanto, 4A0 B 0 C 0 4ABC (Por el criterio A-A.)
Ejercicios
1. Sean AB y CD las bases del trapecio ABCD, cuyas diagonales son perpendiculares. Si
se sabe que AD = 13, AE = 12 y CE = 4 encuentre las longitudes de CD y AB.
2. En la figura 73, el 4ABC es equilatero, sus lados tienen longitud 3 y P A es paralela a
BC. Si P Q = QR = RS, encontrar la longitud de CS.
Figura 73
3. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD, sus diagonales se cortan en E. Si BE = 3,
ED = 4 y CE = 2, determine la medida de AE.
4. Las bases de un trapecio miden 3 y 5, y si su altura mide 4. Encontrar la distancia desde
el punto de corte de las diagonales hasta la base mayor.
49
Figura 74
8. Sobre la circunferencia de centro O, se trazan los diametros AB y CD tales que AB CD.
Sea P un punto sobre el arco CBD y Q el punto de interseccion de las cuerdas AP y
CD. Si DO = 1, demuestre que AP AQ = 2.
9. Un segmento de recta AB es divido por los puntos interiores K y L de manera que
AL2 = AK AB. Sea P un punto exterior al segmento AB tal que AP = AL. Pruebe que
KP L = LP B. Figura 75.
Figura 75
17
50
Figura 76
11. Demostrar que
1
1
1
+
=
si se cumple que AX k BY k CZ. (Ver figura 77.)
AX BY
AZ
Figura 77
12. En la figura 78, el 4ABC es rectangulo. Se construyen exteriormente los cuadrados
ABEF y BCP Q. Demostrar que BM = BN .
Figura 78: .
51
Figura 79
14. Si en un triangulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces:
a) Los dos nuevos triangulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al
triangulo original.
b) La altura es media proporcional
hipotenusa.
18
18. Teorema de Menelao. Dado el 4ABC, sea P un punto sobre la recta AB, Q un punto
sobre la recta BC, R un punto sobre la recta CA. Si los puntos P , Q, R estan alineados
AP BQ CR
entonces
= 1.
P B QC RA
Para demostrar este teorema, sea W un punto sobre la recta P QR tal que BW k AC:
a) Demuestre que los triangulos AP R y BP W son semejantes.
Si b es una magnitud tal que ab = cb , entonces decimos que b es media proporcional entre a y c,o de manera
equivalente: b es media proporcional entre a y c si y solo si b2 = a c.
18
52
Para demostrar este teorema, sean W y V los puntos de interseccion de la recta que pasa
por B paralela a AC, con las rectas CP y AQ, respectivamente.
a) Demuestre que 4AP C 4BP W y que 4AQC 4V QB.
b) Demuestre que 4BW P 4RCP y que 4BV P 4RAP .
AP BQ CR
= 1.
c) Utilice los literales a) y b) para probar que
P B QC RA
20. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces el producto
de las medidas de los segmentos determinados por el punto de interseccion en una de las
cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra
cuerda.
21. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentos
y el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de interseccion
en el primer segmento es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados
por el punto en el segundo segmento,entonces los extremos de los segmentos estan sobre
una circunferencia.
22. Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes
que cortan a la circunferencia en los puntos A, B y C, D respectivamente, entonces
P A P B = P C P D.
53
23. Si desde un punto P se trazan dos semirrectas con los puntos A, B sobre una y los puntos
C, D sobre la otra, tales que P A P B = P C P D, entonces los puntos A, B, C, D estan
sobre una circunferencia.
24. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente
y la otra secante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media
proporcional entre los segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de
interseccion de la secante con la circunferencia. 19
25. Si P es un punto sobre el mismo plano que una circunferencia de centro O y radio r, y d
es la distancia del punto P al centro O de la circunferencia, demuestre que:
a) Si P esta en el interior de la circunferencia, entonces la potencia de P es r2 d2 .
b) Si P esta en el exterior de la circunferencia, entonces la potencia de P es d2 r2 .
c) Si P esta sobre de la circunferencia, entonces la potencia de P es cero.
26. (*) (IV OMCC, P-4) Sea ABC un triangulo, D el punto medio de BC, E un punto sobre
el segmento AC tal que BE = 2AD y F el punto de interseccion de AD con BE. Si
CAD = 60, encuentre la medida de los angulos del 4F EA.
27. (*) Sea ABCD es un trapecio con AD k BC. M y N son los puntos medios de CD y BC,
M
= 14 , demuestre que
respectivamente, y P el punto com
un de las rectas AM y DN . Si PAP
ABCD es paralelogramo.
28. Dado el 4ABC se construye un cuadrado P QRS con P en AB, Q en AC, R y S en BC.
Sea H el pie de la altura desde A hacia BC. Demuestre que:
1
1
1
=
+
PQ
AH BC
b) (ABC) = 2(P QRS) si y solo si AH = BC.
a)
29. Sea P un punto en el interior del 4ABC. Se trazan por P las paralelas a los lados del
triangulo, que queda dividido en tres triangulos y tres paralelogramos. Si las areas de los
tres triangulos de la subdivision son, en alg
un orden, 9, 16 y 25, hallar el area del 4ABC.
Problemas de Refuerzo.
19
Los problemas anteriores nos permite establecer la siguiente definicion de Potencia de un punto con
respecto a una circunferencia: La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia de centro O y
radio r es el producto P A P B, donde A y B son los puntos de interseccion de la circunferencia con una recta
que pasa por P .
54
31. Las tres circunferencias de la figura 81 tienen el mismo radio r, sus centros son colineales
y la circunferencia de centro O2 es tangente a las otras dos. Por A se traza una tangente
a la circunferencia de centro O3 . Obtenga el valor del segmento BC en funcion de r.
Figura 81
32. Sea ABCD un rombo, con AC = 6 y BD = 8. Se construyen exteriormente los cuadrados
ADEF y CDHG, cuyos centros son O1 y O2 , respectivamente (Vea figura 82). Calcular
la medida del segmento O1 O2 .
Figura 82
33. Dado un paralelogramo ABCD, se trazan dos circunferencias tangentes externamente
en P , y tales que la primera es tangente internamente al ABC y la otra es tangente
internamente al CDA, como en la figura 83. Demuestre que B, P y D estan alineados.
34. Sea ABCD un cuadrado con P y Q sobre AB y BC tales que BP = BQ. Sea H el pie
de la perpendicular de B a P C. Demuestre que DHQ = 90.
55
Figura 83
35. En un 4ABC el CAB = 120. Encuentre la medida de la bisectriz interna del CAB
en funcion de los lados adyacentes.
36. El 4ABC tiene lados de 13, 14 y 15 unidades. El 4A0 B 0 C 0 esta dentro del 4ABC con
lados paralelos a los de este y a 2 unidades de distancia de los lados del mismo. Calcule
(ABC) (A0 B 0 C 0 ).
37. (*) (Asiatico Pacfica) Sea ABC un triangulo y D el pie de la altura con respecto a A.
Sean E y F puntos en una recta que pasa por D (distintos de D) tales que AE CE
y AF BF . Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestre
que AN N M .
56
7.
MEDIANAS
Definici
on: En un triangulo, una mediana es el segmento de recta que une un vertice con el
punto medio del lado opuesto.
Teorema: Las tres medianas de un triangulo concurren en un punto llamado el Centroide 20
del triangulo y usualmente es denotado por G. Ademas, las medianas de cortan mutuamente
en razon 2:1.
Demostraci
on: Dado el 4ABC sean A0 , B 0 , C 0 , los puntos medios de BC, CA, AB, respectivamente. Defina G como la interseccion de BB 0 con CC 0 . Por el teorema de la base media,
B 0 C 0 k BC y 2B 0 C 0 = BC; observe que 4BCG ' B 0 C 0 G, con razon de semejanza 2, por lo
que
GC
GB
=
=2
0
GB
GC 0
Analogamente, si G = AA0 BB 0 se cumple
G A
G B
=
=2
G B 0
G A0
As, G y G dividen al segmento BB 0 en dos segmentos cuya razon es 2:1, por lo que G = G ,
lo cual implica que AA0 , BB 0 , CC 0 concurren y
GB
GC
GA
=
=
=2
0
0
GA
GB
GC 0
MEDIATRICES
Definici
on: Dado un segmento AB, la mediatriz del segmento es el lugar geometrico de puntos
que equidistan de A y B, i.e., un punto P esta sobre la mediatriz de AB si y solo si P A = P B.
Teorema: La mediatriz de AB es una recta l perpendicular a AB y que pasa por su punto
medio.
Demostraci
on: Sea M el punto medio de AB, y l pasa por M y l AB. En primer lugar
se probara que todos los puntos de l satisfacen la definicion de mediatriz: Por definicion de
punto medio M A = M B. por lo que claramente M pertenece a la mediatriz de AB; sea P un
punto de l distinto de M , por criterio LAL, 4P M A 4P M B por lo que P A = P B. Ahora,
cabe preguntarse si existe alg
un punto fuera de l que tambien cumpla la definicion: suponga
P 0 tal que P 0 A = P 0 B, esto implica que 4P 0 AB es isosceles, y entonces P 0 AB = P 0 BA;
si M 0 es la proyeccion de P 0 sobre AB, por criterio ALA 4P 0 AM 0 4P 0 BM 0 , lo cual implica que M 0 A = M 0 B, es decir que M 0 = M , y esto obliga a que P 0 este sobre l (ya que P 0 M 0 = l).
Teorema: Las mediatrices de un 4ABC concurren en un punto que equidista de los vertices
del triangulo, llamado el Circuncentro del 4ABC
20
Tambien conocido como Geocentro, Centro de Gravedad, Baricentro, o mas formalmente Equibaricentro.
57
ALTURAS
La altura es un concepto que esta intrnsecamente relacionado con la distancia de un punto a
una recta; la altura es la recta que debe trazarse para determinar esta distancia, i.e., es una
recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta. A la interseccion entre la altura y la
recta generalmente se le llama pie de la altura, o tambien (mas formal) proyeccion del punto
sobre la recta. En particular, para triangulos, definiremos la altura de la siguiente forma:
Definici
on: Dado un triangulo, una altura es una recta que pasa por un vertice y es perpendicular al lado opuesto.
21
58
Es importante observar que el pie de la altura NO siempre pertenece a un lado; de hecho, una
altura puede estar al interior de un triangulo, coincidir con un lado, o estar completamente
afuera de un triangulo.
Teorema: Las alturas de un triangulo concurren en un punto, llamado el Ortocentro del triangulo, usualmente denotado por H.22
Demostraci
on: Dado el 4ABC, se construyen los puntos A1 , B1 , C1 , tales que ABA1 C,
BCB1 A, CAC1 B son paralelogramos. Observe que el 4ABC es el triangulo medial del 4A1 B1 C1 ,
y que las alturas del 4ABC son las mediatrices del 4A1 B1 C1 ; como las mediatrices de un
triangulo concurren (en este caso, las del 4A1 B1 C1 ), las alturas del 4ABC concurren.
La altura tambien puede escribirse en terminos de lugar geometrico:
Teorema: La recta l es perpendicular a AB si y solo si AL2 LB 2 es constante. Es decir, que
una recta perpendicular a AB es el lugar geometrico de los puntos L que satisfacen la condicion
anterior.
Demostraci
on: sea P la interseccion de l con AB, y L un punto arbitrario sobre l; por Pitagoras se tiene AL2 LB 2 = AP 2 P B 2 , y el termino derecho de la igualdad es constante. La
otra direccion de la implicacion se prueba por contradiccion.
De esa definicion tambien puede fabricarsele una demostracion del teorema anterior, sin embargo, no se aborda porque la prueba se basa en un resultado sofisticado llamadado Teorema
de Steiner.23
BISECTRICES
Definici
on: La bisectriz de un angulo es una recta que divide al angulo en dos angulos de
igual magnitud.
Teorema: El lugar geometrico de puntos que equidistan de dos rectas dadas, generan un par
de rectas perpendiculares llamadas bisectriz interna y bisectriz externa del angulo formado por
las rectas.
Demostraci
on: Suponga que las rectas se cortan en un punto O; sean a, b las rectas dadas, y
P un punto que equidista de ellas; si A y B son las proyecciones de P sobre a y b, respectivamente, entonces P A = P B. Observe que por criterio LLL (utilizando Pitagoras previamente),
4OAP 4OBP , por lo que P OA = P OB, i.e., P pertenece a la bisectriz del AOB.
Claramente aqu se dan dos casos, recuerde que para definir el angulo entre a y b se utilizan u
nicamente semi-rectas, por lo que las rectas a y b definen cuatro angulos, que por parejas pueden
22
El tri
angulo formado por los pies de las alturas de un 4ABC es llamado el tri
angulo
ortico del 4ABC.
Sean l, m, n, tres rectas perpendiculares a los lados del AB, BC, CA del 4ABC, respectivamente. Sean
L, M , N , puntos arbitrarios sobre l, m, n, respectivamente. Entonces las rectas l, m, n concurren si y s
olo si
AL2 + BM 2 + CN 2 = N A2 + LB 2 + M C 2 .
23
59
ser opuestos por el vertice o suplementarios; de estos se escoge cualquiera de ellos como referencia, entonces, si AOB coincide con este o con el opuesto por el vertice, la recta P O es llamada
bisectriz interna, y en caso contrario, bisectriz externa. As, el lugar geometrico son dos rectas,
y su perpendicularidad se basa en los pares de angulos que son suplementarios. Finalmente, si
a k b, el lugar geometrico es una recta paralela a a y b que se ubica entre ellas a igual distancia de
ambas (este es un caso extra
no de bisectriz interna, sin embargo, en ocasiones es u
til tener esta
convencion en mente; peor a
un, la bisectriz externa es una recta ideal llamada recta al infinito).
Teorema: Las bisectrices internas de un 4ABC concurren en un punto, llamado el Incentro
del 4ABC, usualmente denotado por I. La distancia de I a los tres lados del triangulo es igual
a un n
umero r, llamado el Inradio del 4ABC, y de aqu que la circunferencia de centro I y
radio r sea tangente a los lados del triangulo; dicha circunferencia es llamada el Incrculo del
4ABC.24
60
Ejercicios
1. Las areas de los seis triangulos AGB 0 , AGC 0 , BGA0 , BGC 0 , CGA0 , CGB 0 son iguales e
iguales a un 61 del area del triangulo ABC.
Figura 86
2. Los cuatro triangulos AB 0 C 0 , BC 0 A0 , CA0 B 0 , A0 B 0 C 0 ,27 son congruentes entre si y semejantes al 4ABC con razon de semejanza 12 .
3. El centroide del 4ABC coincide con el centroide del triangulo medial 4A0 B 0 C 0 . Ademas,
estos dos triangulos tienen lados correspondientes paralelos (triangulos homoteticos).
4. En la figura 87, G es el centroide. Si GD = 2 y el area sombreada vale 5, calcule AD y el
(ABC).
Figura 87
5. Demostrar que las paralelas a los lados de un 4ABC, trazadas por el centroide G dividen
cada lado en tres partes iguales.
6. ABCD es un paralelogramo de centroide (baricentro) E, M es el punto medio de AD,
y F es la interseccion de AC con BM . Si el area de ABCD es 1, calcule el area del
cuadrilatero DEF M .
7. En el 4ABC, se traza la mediana AM . Demostrar que si BM = AM , entonces el
triangulo es rectangulo en A.
27
61
8. La suma de las distancias del centroide a los puntos medios de los lados de un triangulo
es 20. Calcule la suma de las medianas del triangulo.
9. La mediana tiene longitud menor que la semisuma de los lados adyacentes, es decir AA0 <
b + c, BB 0 < c + a, CC 0 < a + b.
10. Dado el 4ABC, sean D y E puntos variables sobre los lados AB y AC respectivamente
tales que BC k DE. Entonces, la mediana AA0 puede definirse como el lugar geometrico
de los puntos P tales que P CD BE.28
11. Siempre es posible construir un triangulo XY Z con las medianas AA0 , BB 0 , CC 0 de un
4ABC dado. Ademas, los segmentos que unen el centroide del 4XY Z con sus vertices
son iguales a la mitad de los lados del 4ABC.
12. En el 4ABC, AB = BC y la mediatriz de BC interseca a la mediana BM en L. Si
LCB = 25, determine la medida del LAC.
13. Ley del Seno. Dado un 4ABC, se cumple que
senB
senC
1
senA
=
=
=
a
b
c
2R
14. Las reflexiones de H con respecto a los lados del 4ABC caen sobre el circuncrculo del
mismo, es decir HHa = Ha X y analogo para los otros lados.
Figura 88
15. Las reflexiones de H con respecto a los puntos medios de los lados del triangulo, caen
sobre el circuncrculo del mismo.
28
62
Figura 89
63
AB
.
4
30. Sea O el circuncentro del 4ABC con C = 45 y sea D el pie de la altura desde A.
Calcule la medida del ODC.
31. Dado el 4ABC isosceles con A = 90, sean P y Q son puntos dentro del triangulo tales
que BP = AQ y AP = CQ. Si BP y CQ se cortan en R, demostrar que AR P Q.
32. Se ubican los puntos M y K sobre los lados BC y CD del cuadrado ABCD, respectivamente, de modo que M C = KD. Sea P la interseccion de M D y BK, demuestre que
AP M K.
33. Sean D, E, F los puntos de tangencia del incrculo sobre los lados BC, CA, AB del
4ABC. Demuestre que se cumplen las siguientes relaciones, donde s denota el semipermetro del triangulo:
AE = AF = s a
BD = BF = s b
CD = CE = s c
34. El ortocentro del 4ABC es el incentro de su triangulo ortico.
35. Dado un 4ABC, su triangulo ortico y su triangulo tangencial tienen lados correspondientes paralelos (triangulos homoteticos).
36. Las bisectrices exteriores de B y C, junto con la bisectriz interior de A, concurren
en un punto, llamado el Excentro con respecto al vertice A, usualmente denotado por Ia .
Este punto es equidistante a los lados del 4ABC, dicha distancia es el Exradio respecto a
A, usualmente denotado por ra . As, la circunferencia de centro Ia y radio ra es tangente
exteriormente a los lados del 4ABC, y es llamada el Excrculo respecto a A.29
37. I es ortocentro del 4Ia Ib Ic . Ademas se cumple:
AX = AZ = s
BX = BY = s b
CY = CZ = s c
38. En un 4ABC, la bisectriz exterior del ABC y la bisectriz exterior del BCA se cortan
en D. La paralela a BC por D corta a AC en L y a AB en M . Si LC = 5 y M B = 7,
hallar LM .
39. El 4ABC es rectangulo en A. Si I es el incentro, calcular BIC.
40. En un 4ABC, el ABC CAB = 90. Sean D y E los pies de las bisectrices interior
y exterior del BCA respectivamente. Demuestre que CD = CE.
29
An
alogamente se definene los excrculos con respecto a los otros vertices.
64
Figura 90
41. En el 4ABC, AB < AC, AD es bisectriz, y E es un punto en AB tal que el EDB = 90.
El punto F sobre AC es tal que el BED = DEF . Demuestre que el BAD = F DC.
42. En el 4ABC se trazan las bisectrices interiores BD y CE tales que D es el punto sobre
AC, E es el punto sobre AB, 2BDE = 3B y CED = 2B. Calcular los angulos del
4ABC.
43. Dado el 4ABC con A = 90, sea D el pie de la perpendicular desde A. Sean ademas I
y J los incentros respectivos de 4ABD y 4ACD. Demostrar que la bisectriz del BAC
es perpendicular a IJ.
44. Un triangulo es isosceles si cumple alguna de las siguientes condiciones:
a) Dos medianas son iguales.
b) Dos alturas son iguales.
c) Dos bisectrices son iguales.30
45. Teorema de la Bisectriz: Dado el 4ABC, sean P y P 0 sobre BC. Se cumple que AP
y AP 0 son la bisectriz interna y la bisectriz externa del A si y solo si
BA
BP 0
BP
=
= 0
PC
AC
PC
Sugerencia: Para demostrar la primera igualdad, trace CD k AP con E sobre la prolongacion de AB.
30
Este caso es aparentemente tan sencillo como los anteriores, pero realmente es un resultado muy complicado
y recibe el nombre de Teorema de Steiner-Lehmus.
65
46. (*) De acuerdo con los datos de la grafica 91, calcular el valor de AB.
Figura 91
47. Dos circunferencias son tangentes internamente en P , y una cuerda AB de la circunferencia de radio mayor es tangente en Q a la otra circunferencia. Ver figura 92.
a) Demuestre que P Q es bisectriz del AP B.
b) Llame A0 y B 0 a las otras intersecciones de P A y P B con la circunferencia de radio
menor y suponga que AB = 15, P A0 = 3 y P B 0 = 2; calcule AQ y BQ.
Figura 92
48. (*) Sea ABC un triangulo tal que las medianas respectivas a B y C son perpendiculares.
Demuestre que se cumple la relacion.
5BC 2 = CA2 + AB 2 .
49. (*) Teorema de Poncelet: Demuestre si 4ABC es un triangulo rectangulo con A =
90, entonces 2(r + R) = b + c.
66
Problemas de Refuerzo.
50. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Q es el punto medio de AD, F el pie de la perpendicular
por B sobre QC. Probar que AF = AB.
51. Dado el rombo ABCD, se trazan las bisectrices internas de DAC, CAB, BCA,
ACD, y cortan a DC, CB, BA, AD en P , Q, R, S, respectivamente. Demuestre que
P QRS es un rectangulo.
52. (*) Sea ABCD un cuadrilatero tal que AB = CD. Las mediatrices de AC y BD se cortan
en P . Probar que P AC = P CA = P BD = P DB.
53. (*) ABC es un triangulo y P un punto en su interior. Sean A0 , B 0 y C 0 las reflexiones de
P sobre BC, CA y AB, respectivamente. D, E y F son los pies de las perpendiculares
respectivos desde A, B y C hacia B 0 C 0 , C 0 A0 y A0 B 0 . Probar que AD, BE y CF son
concurrentes.
54. (*) (Arnoldo Aguilar) En la figura 93, ABGH, BCF G y CDEF son cuadrados. Si I es
el centro de ABGH y J = DH BG, demuestre que I, J y F estan alineados.
Figura 93
55. (*) (Arnoldo Aguilar) Sea ABC un triangulo equilatero. M y N son los puntos medios de
AB y BC, respectivamente. Exteriormente al 4ABC se construye un triangulo rectangulo
isosceles 4AP C, con AP C = 90 . Si I es la interseccion de AN y M P , demuestre que
CI es la bisectriz de ACM .
57. (*) Dado el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio de AB, y N la interseccion de
CD con la bisectriz interna del ABC. Demuestre que M C BN si y solo si AN es
bisectriz del DAB.
67
58. (*) En el 4ABC, se sabe que los vertices B, C, el circuncentro O y el ortocentro H del
4ABC estan todos sobre una misma circunferencia.
a) Calcule el valor de A.
b) Demuestre que el incentro tambien pertenece al circuncrculo de BCOH.
59. (*) Sea ABC un triangulo de ortocentro H. Sean P y Q los pies de las perpendiculares
desde H a las bisectrices interior y exterior de A, respectivamente. Si M es el punto medio
de BC, mostrar que P , Q y M estan alineados.
60. (*) En un triangulo ABC, sea M el punto medio de BC. Si se cumple que AB 6= AC y
ademas M AC + ABC = 90 , hallar BAC.
61. (*) Sea ABC un triangulo y U un punto de su circuncrculo tal que AU es bisectriz. Las
mediatrices en AB y AC cortan a AU en X y Y . Sea T la interseccion de BX con CY .
Demostrar que AU = T B + T C.
62. (*) (The 59th Romanian Mathematical Olympiad Final Round) Sea ABCD un rectangulo
de centro O con AB 6= BC. La perpendicular en O a BD corta a las lneas AB y BC en
los puntos E y F , respectivamente. Sean M y N los puntos medios de los segmentos CD
y DA, respectivamente. Probar que las lneas rectas F M EN .
63. (*) Sea ABC un triangulo rectangulo, con A = 90 . Sea D un punto en su interior tal
que DAC = DCA = DBC = , y AC = BD. Determine el valor de .
64. (*) Sea ABC un triangulo y M un punto tal que M AB = 10, M BA = 20, M AC =
40 y M CA = 30. Probar que el 4ABC es isosceles.
65. (*) En la figura 94, ABCD y P QRS son cuadrados, 4ABP 4BCQ 4CDR
4DAS y los los radios de las cinco circunferencias son iguales a r. Si a es el lado del
cuadrado ABCD, determine r en funcion de a.
Figura 94
68
31
69
70
8.
Soluci
on a Problemas Selectos.
Figura 95
Soluci
on: DBC = DCB = 160 ABD = 70, de donde se obtiene que BDC = 40
y EDC = EDB + BDC = 130. Como 4EDC es isosceles, entonces DEC =
DCE = 25. Por lo tanto AEC = 90 DEC = 65.
2. Hallar la suma de los angulos + + + en la figura 96.
Figura 96
Soluci
on: CAB = , EDC = por ser opuestos por el vertice. Como el AF D
externo en el 4BDF , se tiene AF D = + . Sumando los angulos internos del 4AEF
se tiene + + + = 180.
3. (XV Competencia de Clubes Cabri Primera Ronda) En la figura 97, ABCD es un
rectangulo tal que AB = 2BC. M es el punto medio de AB y los triangulos AM E
y M BF son equilateros. Si P es la interseccion de las rectas DE y CF , encuentre los
angulos del 4CDP .
71
Figura 97
Soluci
on: Note que AD = AE = F B = BC por lo que 4DAE y 4BCF son ambos
isosceles. Luego DAE = CBF = 90+60 = 150 lo que implica que P DC = P CD =
90 15 = 75 y luego CP D = 30.
4. Sea ABC un triangulo rectangulo con CAB = 90 (Ver figura 98). D es un punto sobre
la prolongacion de BC tal que BD = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A
respecto de BC, tal que CE BC y ademas CE = CA. Mostrar que A, D y E estan
alineados.
Figura 98
Soluci
on: Sea CBA = 2; el 4ABD es isosceles y BAD + BDA = 2, por lo
que BAD = BDA = . Como CAB = 90 entonces ACB + ABC = 90 y como
CE es perpendicular a BC entonces ECA + ACB = 90; por lo tanto, ABC =
ECA = 2. Con esto, como 4ECA es isosceles, CEA = CAE = 90 . Luego,
EAC + CAB + BAD = 180 y as E, A y D estan alineados.
5. Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triangulos equilateros ABP (exteriormente)
y ADQ (interiormente). Probar que C, P y Q estan alineados. Figura 99.
72
Soluci
on: Observe que P AQ = BAD = 90 y P A = BA = DA = DQ, por lo
que 4P AQ es triangulo rectangulo isosceles, y por tanto, P QA = 45. Por otra parte,
QDC = 90 ADQ = 30 y QD = AD = CD, es decir, el 4CDQ es isosceles
con el angulo comprendido entre lados iguales de 30, por lo que DQC = 75. As,
P QA + AQD + DQC = 180 y por lo tanto, C, P y Q estan alineados.
Figura 99
6. En la figura 100, AB = BC = CD = DE = EF = F G = GA. Calcule la medida del
DAE. Referenciasfig20
Figura 100
Soluci
on: Sea DAE = . Como los triangulos ABC y AGF son isosceles, ACB =
AF G = . Calculando los angulos externos de 4ABC y 4AF G se tiene F BC =
CGF = 2. Como 4GF E y 4BCD son isosceles, GEF = BDC = 2. Calculando
angulos externos de 4ADC y 4AEF se obtiene ECD = DF E = 3. Como 4CDE
y 4F ED son isosceles, CED = F DE = 3. Entonces, la suma de los angulos internos
del 4AED da + 3 + 3 = 180, de donde = 180
.
7
7. (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matematicas) En la figura
101 se muestra un hexagono regular ABCDEF de lado 1. Los arcos del crculo que estan
dibujados tienen centro en cada vertice del hexagono y radio igual a la distancia al vertice
opuesto. P , Q, R, S, T y U son los puntos de corte de estos arcos. Cuanto mide cada
lado del hexagono P QRST U ?
73
Figura 101
Soluci
on: El hexagono P QRST U es regular y con el mismo centro que ABCDEF . Sea
O el centro de ambos (Vease Figura 65). El lado buscado es igual a OP . Tenemos que
CF = F P = P C = 2 por ser radios de los arcos dibujados; entonces CF P esequilatero
de lado 2 y OP es una altura de este triangulo que, por Pitagoras, es igual a 3.
8. (XXVIII Olimpiada Brasile
na de Matematica) En la figura 102, AB = AC, AM = AN
y CAM = 30, encuentre el valor del BM N .
Figura 102
Soluci
on: Como 4ABC y 4AM N son isosceles, sean ABC = ACB = y AM N =
AN M . Por la formula del angulo externo se tiene
ACM + M AC = AM B = AM N + BM N
+ 30
=
AN M + BM N
=
(N BM + BM N ) + BM N
=
+ 2BM N
Esto implica que BM N = 15.
74
Congruencia de Tri
angulos
1. En la figura 103, ABC es un triangulo equilatero y CDEF es un cuadrado. Se construye
un punto G tal que CF = CG y ademas CF G = 15. Probar que AGC = BDC.
Figura 103
Soluci
on: BCD = 180 ACB DCF = 30. Como 4GCF es isosceles, CGF =
CF G = 15 y ACG = CGF + CF G = 30. Por criterio LAL, 4BCD 4ACG,
por lo tanto BDC = AGC.
2. (Cuaderno de Olimpiadas Mexicanas - Geometra) En la figura 104, ABCD un cuadrado
y EF GH. Demuestre que que EF = GH.
Figura 104
Soluci
on: Se construyen EK y GM con K sobre CD y M sobre AD tales que EK k AD
y GM k CD. Luego se demuestra que 4EF K 4GHM , con EF = GH.
3. Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triangulos equilateros ADP y ABQ como se
muestra en la figura 105. Sea M la interseccion de CQ con AD y N la interseccion de
CP con AB. Demuestre que CM N es un triangulo equilatero.
Soluci
on: Note que P D = AD, porque 4AP D es equilatero, y AD = CD porque
ABCD es cuadrado, por lo que P D = CD, es decir, el 4CDP es isosceles, con CDP =
CDA P DA = 30, entonces DP C = DCP = 75, y BCN = BCD DCP =
15. Analogamente, 4BCQ es isosceles con angulos 30, 75, 75, por lo que M CN =
75
Figura 105
BCQ BCN = 60. Finalmente, como la figura es simetrica con respecto a AC,
CM = CN , entonces, el triangulo CM N es equilatero porque tiene dos lados iguales y
un angulo interno igual a 60.
4. (Examen final de XVI Olimpiada mexicana de Matematica) Los angulos de un triangulo
ABC estan en progresion aritmetica (B A = C B = ), D, E, y F son los
puntos medios de los lados BC, CA y AB, respectivamente. Llamamos H al pie de la
altura trazada desde C (que cae entre B y F ) y G a la interseccion entre DH y EF .
Cuanto vale F GH?
Soluci
on: Note que A + B + C = 3A + 3 = 180, lo cual implica que A + =
60 = B. Entonces 4BCH es un triangulo 30, 60, 90, y dado que D es punto medio de
BC, el 4BDH es equilatero. Luego, como BC k EG, F GH = BDH = 60. Ver figura
106.
Figura 106
5. 4ABC es un triangulo isosceles con ABC = ACB = 80. D es un punto en AC tal
que ABD = 10. Demuestre que AD = BC. Figura 107.
Soluci
on: Se traza un punto D0 sobre AC tal que AD0 = BC. Se construye exteriormente
76
Figura 107
77
Cuadril
ateros.
1. Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triangulos equilateros exteriores 4CDP y
4ADQ, como se muestra en la figura 108. Demuestre que el 4BP Q es equilatero.
Figura 108
Soluci
on: Observe que al hacer una rotacion de centro P y angulo 60, el triangulo
P BC se transforma en el triangulo P QD (observe los segmentos P C y CB tras esta
transformacion), mientras que al hacer una rotacion de centro Q y angulo 60, el triangulo
P QD se transforma en triangulo BQA. Como la rotacion mantiene las distancias, P B =
P Q = BQ, por lo que el trangulo BP Q es equilatero.32
2. (II Olimpiada Matematica del Cono Sur) En la figura 109 ABCD y AECF son paralelogramos. Demuestre que BEDF es paralelogramo.
Figura 109
32
Una demostraci
on m
as rigurosa se basa en el calculo de los angulos P CB = P DQ = BAQ = 120 +
ABC y en la utilizaci
on del criterio LAL para justificar 4P CB 4P DQ 4BAQ.
78
Soluci
on 1: Sea M el punto medio de AC. Las diagonales AC y BD se bisecan en M ,
mientras que las diagonales AC y EF tambien se bisecan en M , entonces BD y EF se
bisecan en M por lo que BEDF es un paralelogramo.
Soluci
on 2: Como AD k CB y AE k CF entonces DAE = BCF . Entonces, por
propiedades de paralelogramos BAE = BAD EAD = BCD BCF = F CD;
ademas, AB = CD y AE = CF . Por criterio LAL, 4BAE 4DCF , y entonces BE =
DF . Analogamente se demuestre que 4ABF 4CDE, lo cual implica BF = DE.
Como BEDF es un cuadrilatero con lados opuestos iguales, es un paralelogramo.
3. ABCD es un cuadrilatero convexo y O es un punto en su interior. Sean P , Q, R, S,
los puntos medios de los lados AB, BC, CD, DA, respectivamente. Por P se traza una
paralela a OR, por Q se traza una paralela a OS, por R se traza una paralela a OP , y
por S se traza una paralela a OQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.
Soluci
on: Al tomar las rectas OP y OR y sus paralelas se forma el paralelogramo P ORM ,
y al tomar las rectas OQ y OS y sus paralelas se forma el paralelogramo OQN S. Por el
teorema de Varignon, sabemos que P QRS es un paralelogramo, y llamaremos T al punto
de corte de sus diagonales. Observe que el punto de corte de las diagonales de P ORM es
el punto medio de P R, i.e., T ; analogamente, el punto de corte de las digonales de OQN S
es el punto medio de SQ, i.e., T nuevamente. As, M es la reflexion de O con respecto a
T , y de igual forma queda definido N , por lo que M = N y las cuatro rectas concurren.
4. (Hector Alberti) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen los triangulos equilateros BDA0 ,
ACB 0 , BDC 0 y ACD0 (Vease figura 110). Demuestre que el A0 B 0 C 0 D0 es tambien un
cuadrado.
Figura 110
Soluci
on: Como A0 B = A0 D, AB = AD, CB = CD, C 0 B = C 0 D, los puntos A0 , A,
C, C 0 pertenecen a la mediatriz de BD, y por tanto, estan alineados. Analogamente, B 0 ,
B, D, D0 estan alineados; por lo tanto A0 C 0 B 0 D0 . Por otra parte, si O es el centro
de ABCD, como los triangulos equilateros construidos son todos iguales (tienen lados
iguales a la diagonal de ABCD) de altura h, OA0 = OB 0 = OC 0 = OD0 = h. Entonces,
A0 B 0 C 0 D0 es un cuadrilatero con diagones que se bisecan en O (es paralelogramo), son
iguales A0 C 0 = B 0 D0 = 2h (es rectangulo) y son perpendiculares (es rombo), lo cual
implica que es cuadrado.
79
2010 = (ABCD) =
Luego CQ =
2010.
Figura 111
6. (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea ABCDEF un hexagono regular
cuyo centro es O. Se construyen los cuadrados F SOP y ORCQ. Demuestre que AP QB
y SEDR son rectangulos. Figura 112.
Soluci
on: Por construccion P F = P O = SF = SO, y por propiedades de hexagono
regular33 AF = AO = EF = EO, entonces P , S A, E, pertenecen a la mediatriz de F O
y por tanto, estan alineados sobre una recta perpendicular a F O. Analogamente, Q, R,
B, D estan alineados sobre una recta perpendicular a CO; ademas, es facil demostrar
que AP = BQ = DR = ES. Observe ademas que AB k CF k DE, lo cual implica
(AB k CF ) (AP k BQ), es decir, AP QB es rectangulo, y analogamente para SEDR.
33
Los tri
angulos OAB, OBC, OCD, ODE, OEF , OF A son equilateros.
80
Figura 112
7. Sobre los lados del 4ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABP Q, CARS y
BCT U . Luego se trazan los paralelogramos AQA0 R, CSC 0 T y BU B 0 P , como en la figura
113.
a) Sean A00 , B 00 , C 00 los centros de los cuadrados BCT U , CARS, ABP Q, respectivamente. Demuestre que estos centros estan sobre los lados del 4A0 B 0 C 0 .
b) Demuestre que AA00 , BB 00 , CC 00 concurren.
Soluci
on:
a) Observe que al hacer una rotacion de centro A00 y angulo igual a 90, el 4A00 U B 0 se
transforma en el 4A00 BA, y a la vez este u
ltimo se transforma en el 4A00 CC 0 (esto es
porque A00 U 7 A00 B 7 A00 C y U B 0 7 BA 7 CC 0 ); esto significa que A00 B 0 A00 A
y A00 A A00 C 0 , por lo que B 0 , A00 , C 0 estan alineados, es decir, A00 pertenece a B 0 C 0 .
Analogamente se prueban los otros casos.
b) De lo anterior, observe que AA00 es mediatriz de B 0 C 0 , por lo que AA00 , BB 00 , CC 00
concurren en el circuncentro del 4A0 B 0 C 0 .
8. Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo (Vea figura 114), demuestre que:
a) El cuadrilatero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.
b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.
Soluci
on:
81
Figura 113
a) Observe que al hacer una rotacion de centro O2 y angulo igual a 90, el 4O2 BO1 se
transforma en el 4O2 CO3 (observe que los segmentos O2 B y BO1 se transforman
en O2 C y CO3 , respectivamente), por lo que O2 O1 = O2 O3 y O2 O1 O2 O3 . Repitiendo este razonamiento, O1 O2 = O2 O3 = O3 O4 = O4 O1 y estos segmentos son
perpendiculares si son consecutivos, por lo que O1 O2 O3 O4 es un cuadrado.
b) Basta demostrar que AC y O1 O3 se bisecan,34 y esto es equivalente a demostrar
que AO1 CO3 es un paralelogramo. Esto es cierto porque AO1 = CO3 y AO1 k CO3
(ambos segmentos son perpendiculares a O1 B)
Figura 114
34
82
Figura 115
83
Angulos
en Circunferencia.
1. Dada la figura 116, demuestre que AB k A0 B 0 .
Figura 116
Soluci
on: Observe que los cuadrilateros ABQP y A0 B 0 QP son cclicos, por lo que
P AB = P QB 0 = 180P A0 B 0 , por lo tanto AB k A0 B 0 .
2. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un
punto P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en
A y B, respectivamente. Demuestre que AO1 k BO2 .
Soluci
on: En la figura 117 se ha considerado que las circunferencias son tangentes exteriormente, sin embargo, el otro caso es analogo. Se sabe que O1 , P , O2 estan alineados, y
que 4AP O1 y BP O2 son triangulos isosceles (dos de sus lados son radios de una circunferencia), entonces O1 AP = AP O1 = BP O2 = O2 BP , por lo que AO1 k BO2 .
Figura 117
3. Dadas dos circunferencias una fuera de la otra como en la figura 118, demuestre que las
tangentes comunes externas forman segmentos iguales; analogamente, las tangentes comunes internas forman segmentos iguales.
Soluci
on:35 Sea P la interseccion de las tangentes comunes externas AA0 y BB 0 . Entonces
35
Suponemos que las circunferencias tienen radios distintos; cuando los radios son iguales, el problema se
justifica por la simetra de la figura.
84
Figura 118
4. Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilatero inscribible, la suma de lados
opuestos es igual.36
Soluci
on: Considere la figura 119, ABCD es el cuadrilatero inscribible, con P , Q, R, S,
los puntos de tangencia sobre AB, BC, CD, DA, respectivamente. Entonces
AB + CD = AP + P B + CR + RD
= AS + BQ + CQ + DS
= BC + DA
85
86
7. Sea ABC un triangulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del angulo A con
el lado BC y el circuncrculo de ABC respectivamente (Ver figura 122). Construimos la
interseccion M del circuncrculo de ABL con el segmento AC. Prueba que los triangulos
BM N y BM C tienen la misma area.
Soluci
on: Observe que ABN C y ABLM son cuadrilateros cclicos, por lo que N CB =
N AB = LAM = LBM , por lo que CN k BM . Entonces, las distancias de N y C a
la recta BM son iguales, y por tanto, el area del 4BM N es igual al area del 4BM C.
Figura 122
8. Sea AB el diametro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre la
semicircunferencia y sobre AB, respectivamente.37 Sea P el centro de la circunferencia
que pasa por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B, K y M .
Demuestre que M P KQ es concclico.
Soluci
on: Como AB es diametro, AM B = 90, entonces M AB + M BA = 90. As
M P K + M QK
= 2M AK + 2M BK
2 = 2 (M AB + M BA)
= 180
37
M y K son distintos de A y B.
87
9. Las circunferencias 1 y 2 se cortan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una recta
que corta nuevamente a las circunferencias 1 y 2 en los puntos C y D, respectivamente.
Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en el
punto M . Demuestra que M CBD es cclico. Figura 123.
Soluci
on: Es suficiente probar que M CBD es un cuadrilatero con un par de angulos
opuestos suplementarios. Por angulos seminscritos y suma de angulos internos de un
triangulo, se tiene
CM D + CBD = CM D + CBA + DBA
= CM D + M CA + M DA
= 180
Figura 123
10. El 4ABC cumple que A = 90 y AB = AC. Se toma un punto E del segmento AB, se
construye interiormente un triangulo equilatero AEF . EF corta BC en I, y se construye
exteriormente un triangulo equilatero BIJ. Encuentre EJB.
Soluci
on: Como el BJI = 60 = AEI,
el cuadrilatero BEIJ es cclico, por lo que el
EJB = EIB = AEI EBI = 15.
88
11. En la figura 124, se sabe que AO1 B AO2 B = 70 y ademas la tangente EB forma
el triangulo isosceles ABE, con AB = AE. Encuentre EBC.
Figura 124
Soluci
on: Sea AO2 B = 2, entonces ACB = y por hipoteis AO1 B = 2 + 70. Por
angulo seminscrito, ABE = + 35, y como el 4ABE es isosceles, AEB = + 35.
Finalmente, por la formula del angulo externo aplicada al 4BCE, EBC = AEB
ECB = 35
12. Dos circunferencias 1 y 2 se cortan en A y B. Una recta por A corta a 1 y 2 en C y
D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta 1 y 2 en E y F , respectivamente.
(Ver figura 125). Demuestre que 4CDB 4EAF .
Soluci
on: Sean G = AE BC y H = AF BD. Como AC k BE y ACEB es ccli38
co, CAG = GEB = ACG = GBE = ; analogamente, DAH = HF B =
ADH = F BH = . Observe que 4GAC y 4GBE son triangulos isosceles y por tanto AE = AG+GE = CG+GB = CB; de forma similar se obtiene AF = DB. Finalmente,
EAF = 180 = CBD, por lo que, por el criterio LAL, 4CBD 4EAF .
13. La Recta de Simson-Wallace. Sean X, Y y Z los pies de las alturas trazadas desde un
punto P en el circuncrculo del 4ABC hacia AB, BC y CA, respectivamente. Demuestre
que X, Y y Z estan alineados.39
Soluci
on: Como BP Y X es cclico, Y XP = Y BP = . Como ABP C es cclico,
CBP = CAP = . Como AXP Z es cclico, ZAP = ZXP = . Por lo tanto,
dado que Y XP = ZXP , los puntos X, Y y Z estan alineados.
38
ACEB es un trapecio is
osceles.
El recproco tambien es cierto, si X, Y y Z estan alineados, entonces P debe estar sobre el circuncrculo
del 4ABC; en cualquier otro caso, el 4XY Z se llama el tri
angulo pedal con respecto al punto P .
39
89
Figura 125
Figura 127
Soluci
on: Como DM M C y DF F C, DF CM es cclico, por lo tanto DM F =
DCF = , y como AE k F C, entonces EAD = DCF = . Sea G la interseccion
de AE con BC. Como AG BE, BE es altura y bisectriz del 4ABG, por lo que este
triangulo es isosceles y ademas BE es mediatriz de AG; entonces EGD = EAD = .
Y finalmente, podemos ver que DEM G es cclico, pues DEG = DM G = 90 , as que
EM D = EGD = . De aqu, el resultado es inmediato.
Figura 128
16. (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diametro de ella. Sea t la recta
tangente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean
E y F las intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con
CF y DE. Demuestre que AH = AG.
Soluci
on: Como AEBF es cclico (Ver figura 129), AEF = ABF . Luego, como AB
CD y BF AD, se cumple tambien ABF = F DB, por lo que AEF = F DC, es
decir, el cuadrilatero CDF E es cclico. Utilizando este resultado y el hecho que EGHF
tambien es cclico, se tiene EDC = EF G = EHG, por lo que CD k GH. Esto
91
implica que AB GH, y como AB pasa por el centro de la circunferencia, debe ser
mediatriz de GH, por lo tanto AG = AH.
Figura 129
17. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadrado
ABCD y un punto E sobre el lado AB. La diagonal AC corta al segmento DE en el punto P . La perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF .
Soluci
on: Se construye E 0 sobre BC de tal manera que CE 0 = AE (como se muestra en la figura 130) y que C quede entre F y E 0 , as por LAL se tiene que los triangulos
rectangulos 4DAE 4DCE 0 por lo tanto ADE = CDE 0 luego EDE 0 = 90. Por
otra parte, el cuadrilatero DCF P es cclico, por lo que P DF = P CF = 45 entonces
F DE 0 = EDE 0 EDF = 45. Ahora por LAL los triangulos 4DEF 4DE 0 F ,
por lo que EF = E 0 F = E 0 C + CF = AE + CF .
Figura 130
92
18. Teorema de Arqumedes: En la figura 131, la region delimitada por tres semicircunferencias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o arbelos. Demostrar
que las circunferencias sombreadas son congruentes.
Figura 132
Analogamente, si r2 y R2 son los radios del semicrculo y del crculo de la derecha, respectivamente, entonces
r2 (r r2 )
R2 =
r
93
(r r1 ) (r (r r1 ))
(r r1 )r1
=
= R1
r
r
94
Figura 133
2. Sea ABCD es un trapecio con AD k BC. M y N son los puntos medios de CD y BC,
M
= 14 , demuestre que
respectivamente, y P el punto com
un de las rectas AM y DN . Si PAP
ABCD es paralelogramo.
Soluci
on: Sea Q el punto medio de DN , entonces QM k BC k DA. Como M Q es
= CB
. Por otra parte, como 4P M Q ' 4P AD,
base media del 4CDN , M Q = CN
2
4
MQ
PM
1
AD
= AP = 4 , entonces M Q = 4 . Finalmente, como BC k DA y BC = DA, ABCD
AD
es paralelogramo.
3. En la figura 134, BC = CD = DE = EA = x y AEB = 90. Demuestre que ABC +
ACD + ADE = 90.
Figura 134
Soluci
on 1: Por Pitagoras, AD = 2x. Observe que DA2 = 2x2 = DB DC, por lo que
4ABD ' 4CAD; entonces ABD = CAD y por tanto ABC + ACD + ADE =
95
Figura 135
4. (Asiatico Pacfica) Sea ABC un triangulo y D el pie de la altura con respecto a A. Sean E
y F puntos en una recta que pasa por D (distintos de D) tales que AE CE y AF BF .
Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestre que AN N M .
Soluci
on: En la figura 136, AE CE y AD DC entonces, ADEC es cclico, as que
DEA = DCA. Del mismo modo, como AF BF y AD DB, AF BD es cclico
y entonces AF D = ABD. Esto implica que 4ABC ' 4AF E y a partir de esta
semejanza, 4ABM ' 4AF N . Luego, AM B = AN F , por lo que el cuadrilatero
AN DM es cclico, y por lo tanto AN M = ADM = 90.
96
Figura 136
Figura 137
AC
CD
Soluci
on 1: Por el teorema de la bisectrz AB
= DB
, de donde AC = 45 x, luego, aplicando
2
el teorema de pitagoras al 4ABC, se tiene que x2 + 182 = 54 x , que despues de resolver
se tiene que x = 24.
Soluci
on 2: Dado que D es un punto de la bisectrz del BAC, entonces D equidista
de los lados de dicho angulo, sea pues H AC talque DHAC y DH = DB = 8
entonces, aplicando el teorema de pitagoras en el 4CDH se deduce que HC = 6, por lo
que AC = x + 6, y por el teorema de pitagoras en el 4ABC, x2 + 182 = (x + 6)2 , por lo
tanto, x = 24.
2. Sea ABCD un paralelogramo. Q es el punto medio de AD, F el pie de la perpendicular
por B sobre QC. Probar que AF = AB.
Soluci
on: Sea E el punto medio de BC y G la interseccion de AE con BF . Como
AE k CQ, se tiene que AG BF . Pero tambien, como AE k CQ, entonces EG k CF
por lo que en el 4BCF , EG es base media. Entonces BG = GF de donde se sigue que
4ABF es isosceles porque BG es altura y mediana.
97
Figura 138
4. ABC es un triangulo y P un punto en su interior. Sean A0 , B 0 y C 0 las reflexiones de
P sobre BC, CA y AB, respectivamente. D, E y F son los pies de las perpendiculares
respectivos desde A, B y C hacia B 0 C 0 , C 0 A0 y A0 B 0 . Probar que AD, BE y CF son
concurrentes. Figura 139.
Soluci
on: Por propiedades de reflexion axial AC 0 = AP = AB 0 , por lo que el 4AB 0 C 0 es
isosceles, y entonces AD es mediatriz de B 0 C 0 . Analogamente, BE es mediatriz de C 0 A0 ,
mientras que CF es mediatriz de A0 B 0 . Por lo tanto, las rectas AD, BE, CF concurren
en el circuncentro del 4A0 B 0 C 0 .
5. (Arnoldo Aguilar) En la figura 140, ABGH, BCF G y CDEF son cuadrados. Si I es el
centro de ABGH y J = DH BG, demuestre que I, J y F estan alineados.
Soluci
on: Como G es punto medio de HF , BG es una mediana del 4BF H. Ademas,
BDF H es un paralelogramo, luego sus diagonales BF y DH se cortan en su punto medio,
digamos K. Se sigue que HK es tambien una mediana del 4BF H, y en consecuencia el
punto de corte de J = KH BG es el centroide del 4BF H. Pero I es el punto medio de
BH, as que F I es la tercera mediana del 4BF H, por lo tanto J esta sobre el segmento
F I.
98
Figura 139
Figura 140
6. (Arnoldo Aguilar) Sea ABC un triangulo equilatero. M y N son los puntos medios de AB
y BC, respectivamente. Exteriormente al 4ABC se construye un triangulo rectangulo
isosceles 4AP C, con AP C = 90 . Si I es la interseccion de AN y M P , demuestre que
CI es la bisectriz de ACM .
Soluci
on: Observe que AN es bisectriz del BAC.
Como AP C = BM C = 90, el cuadrilatero
AP CM es cclico, por lo que P M C = P AC =
P CA = P M A = 45, entonces M P es bisectriz
del AM C. De aqu se concluye que I = M P AN
es el incentro del 4ACM , por lo que CI es bisectriz
del ACM .
Soluci
on: Por relaciones de triangulos notables, BC = 2 y CA = 3. Sean P y Q
las proyecciones de O sobre AB y AC respectivamente; por construccion, AP OQ es un
rectangulo, pero como OP = r = OQ, es tambien cuadrado, por lo que AP = r. Observe
99
Figura 141
que la circunferencia es el excrculo del 4ABC, por lo que AP = s y entonces
r = s
1+2+ 3
=
2
3+ 3
=
2
8. Dado el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio de AB, y N la interseccion de CD
con la bisectriz interna del ABC. Demuestre que M C BN si y solo si AN es bisectriz
del DAB.
Soluci
on:
() Si suponemos que M C BN entonces BN es mediatriz de M C, y como BM k CN
entonces CBN = M BN = CN B = M N B, esto implica que BC k M N , y por
tanto N es punto medio de CD; as, AM N D es un rombo y AN es bisectriz del DAM .
() Si suponemos que AN es bisectriz del DAB, es propiedad conocida que AN BN ,
por lo que M es el circuncentro del 4ABN y por la relacion entre angulo central y angulo
inscrito se tiene AM N = 2ABN = ABC, por lo tanto M N k BC y BCN M es un
rombo, de donde se obtiene M C BN .
9. En el 4ABC, se sabe que los vertices B, C, el circuncentro O y el ortocentro H del
4ABC estan todos sobre una misma circunferencia. Figura 142.
a) Calcule el valor de A.
b) Demuestre que el incentro tambien pertenece al circuncrculo de BCOH.
Soluci
on:
a) Sea BAC = . Como O es el circuncentro del 4ABC, tenemos que BOC = 2. Por
otra parte, sabemos que al ser H ortocentro, se cumple que BHC = 180 . Ahora
100
Figura 142
b) Este problema se basa en el siguiente resultado: si I es el incentro del 4ABC entonces
BIC = 90 + A
. Como en este caso A = 60, entonces BIC = 120 = BOC =
2
BHC, por lo que B, C, O, H, I, se ubican sobre una misma circunferencia.
10. Sea ABC un triangulo tal que las medianas respectivas a B y C son perpendiculares.
Demuestre que se cumple la relacion (Ver figura 143).
5BC 2 = CA2 + AB 2 .
Figura 143
Soluci
on: Sean BB 0 y CC 0 las medianas que son perpendiculares, y sea G el centroide.
Observe que el cuadrilatero BCB 0 C 0 tiene diagonales perpendiculares; por el teorema de
Pitagoras se cumple
BC 2 + B 0 C 02 = C 0 B 2 + B 0 C 2
2
2
2
BC
AB
AC
2
=
+
BC +
2
2
2
2
2
2
5BC = AB + AC
101
11. Sea ABC un triangulo de ortocentro H. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde
H a las bisectrices interior y exterior de A, respectivamente. Si M es el punto medio de
BC, mostrar que P , Q y M estan alineados. Figura 144.
Soluci
on: Sean E y F los pies de las alturas trazadas desde a B y C, respectivamente.
Se sabe que AP AQ, por lo que AP HQ es un rectangulo. Como AP H = AQH =
AEH = AF H = 90, los puntos P , Q, E, F , pertenecen a una circunferencia de
diametro AH. Ademas, en esta circunferencia, como AP y AQ son bisectrices (interior
y exterior, respectivamente) del EAF , P y Q son los puntos medios del arcos EF ,
por lo que P Q es la mediatriz de EF . Por otra parte, como BEC = BF C = 90, el
cuadrilatero BCEF es cclico, y el circuncentro es M , por lo que M E = M F ; entones M
esta en la mediatriz de EF , la cual es P Q.
Figura 144
12. En un triangulo ABC, sea M el punto medio de BC. Si se cumple que AB 6= AC y
ademas M AC + ABC = 90 , hallar BAC. Figura 145.
Soluci
on: Sin perdida de generalidad, suponga que AB > AC. Sea N la interseccion de
AB con la mediatriz de BC. Se forma el 4BCN que es isosceles, entonces CN M =
90 M CN = 90 M BN = CAN , lo cual implica que el cuadrilatero ACM N es
cclico. Por lo tanto, BAC = BM N = 90.
13. Sea ABC un triangulo y U un punto de su circuncrculo tal que AU es bisectriz. Las
mediatrices en AB y AC cortan a AU en X y Y . Sea T la interseccion de BX con CY .
Demostrar que AU = T B + T C. Figura 146.
Soluci
on:40 Como X y Y pertenecen a las mediatrices de AB y AC, respectivamente,
y a la bisectriz AU , entonces 4ABX y 4ACY cumplen ser isosceles y semejantes entre
si, porque XBA = XAB = Y AC = Y CA = . Esto implica T XY = XBA +
40
102
Figura 145
XAB = 2 = Y AC+Y CA = T Y X, es decir, el 4T XY es isosceles con T X = T Y .
Por otra parte, como ABU C es cclico, U BC = U AC = U AB = U CB = . De
aqu se concluye que 4U BC es isosceles, con U B = U C. Ademas, XU B = ACB =
Y CU y XBU = ABC = Y U C; por criterio ALA, 4U XB 4CY U , por lo que
BX = Y U . Finalmente, T B + T C = (BX T X) + (CY + T Y ) = Y U + AY = AU .
Figura 146
14. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad Final Round) Sea ABCD un rectangulo de
centro O con AB 6= BC. La perpendicular en O a BD corta a las lneas AB y BC en los
puntos E y F , respectivamente. Sean M y N los puntos medios de los segmentos CD y
DA, respectivamente. Probar que las lneas rectas F M EN .
Soluci
on: Considere la figura 147, sin perdida de generalidad, se ha supuesto AB < BC.41
Sea L el punto medio de AB, y H es la interseccion de EF con AD. Se tiene que
LN k BD, y como BD EF entonces LN EF ; ademas, como ABCD es un rectangulo, DA AB, por lo tanto, H es el ortocentro del 4ELN , y as, LH EN . Por otra
parte, las reflexiones de L y H con respecto a O son respectivamente M y F , por lo que
LH k M F , lo cual implica que F M EN .
41
103
Figura 147
15. Sea ABC un triangulo rectangulo, con A = 90 . Sea D un punto en su interior tal que
DAC = DCA = DBC = , y AC = BD. Determine el valor de . Figura 148.
Soluci
on: Sean P y Q los pies de las perpendiculares trazadas desde D hacia CA y AB,
respectivamente, R es un punto sobre BC tal que DB DR, y E es la interseccion de CD
con AB. Como el 4ACD es isosceles, P es punto medio de AC, entonces AC = 2P A =
2DQ = BD, por lo que el 4BDQ es un triangulo notable y DBQ = 30. Por otra parte,
por criterio ALA, 4ACE 4DBR, por lo que CE = BR; como P D k AE, D es punto
medio de CE; as, si M es el punto medio de BR (y circuncentro del 4BDR) se cumple
que DC = RM = DM , por lo que el 4CDM es isosceles. Por la relacion entre el angulo
inscrito y el angulo central DM R = 2DBR, por lo tanto DCR = 2. Sumando los
angulos internos del 4ABC se tiene A + B + C = 90 + 30 + + 3 = 180, lo cual
implica = 15.
Figura 148
16. Sea ABC un triangulo y M un punto tal que M AB = 10, M BA = 20, M AC = 40
104
Figura 149
17. Teorema de Poncelet: Demuestre si 4ABC es un triangulo rectangulo con A = 90
entonces 2(r + R) = b + c.
18. En la figura 151, ABCD y P QRS son cuadrados, 4ABP 4BCQ 4CDR 4DAS
y los los radios de las cinco circunferencias son iguales a r. Si a es el lado del cuadrado
ABCD, determine r en funcion de a.
Figura 151
Soluci
on: Se tiene AB = a y se definen b = AP y c = BP ; observe que por las congruencias BQ = b, por lo que P Q = cb = 2r. Por otra parte (analogamente a la demostracion
del teorema de Poncelet), al calcular el inradio del 4ABP se tiene que 2r = b + c a,
entonces c b = b + c a, lo cual implica que a = 2b. Por lo tanto, el 4ABP es un
triangulo notable de 30, 60, 90, y as
cb
2
3
a 12 a
= 2
2
!
31
=
a
4
r =
106
107