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    Parejas de Transformadas de Laplace

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    Carlos Alvarado
    Este documento describe las transformadas de Laplace de varias funciones comunes como escalones unitarios, exponenciales, senoides, senoides amortiguadas, rampas y parábolas. Explica cómo aplicar propiedades como desplazamiento en la frecuencia y multiplicación por el tiempo para calcular las transformadas de Laplace de estas funciones y sus variaciones.

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    Este documento describe las transformadas de Laplace de varias funciones comunes como escalones unitarios, exponenciales, senoides, senoides amortiguadas, rampas y parábolas. Explica cómo aplicar propiedades como desplazamiento en la frecuencia y multiplicación por el tiempo para calcular las transformadas de Laplace de estas funciones y sus variaciones.

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    Parejas de Transformadas de Laplace

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    3 Parejas de transformadas de Laplace


    A.3.1 Escaln unitario
    Sea

    La transformada de Laplace de

    ser

    (A.24)

    A.3.2 Exponenciales

    Sea
    . Para obtener la transformada de Laplace de
    aplicamos la propiedad de
    desplazamiento en la frecuencia (B.6) a la transformada del escaln (B.24)

    (A.25)

    A.3.3 Sinusoides
    A.3.3.1 Seno

    Sea
    . Para obtener la transformada de Laplace de
    de Euler para reescribir la funcin:

    Al aplicar la transformada de Laplace a cada lado de la igualdad resulta

    empleamos la Frmula

    Cada una de las dos transformadas de Laplace pueden obtenerse empleando B.25:

    Al efectuar la suma se obtiene

    (A.26)

    A.3.3.2 Coseno

    Sea
    . Para obtener la transformada de Laplace de
    podriamos emplear la frmula
    de Euler; sin embargo, optamos por otra posibilidad: empleamos la propiedad de diferenciciacin (B.4)
    y la aplicamos a la transformada de
    , (B.26):

    (A.27)

    A.3.4 Sinusoides amortiguadas

    Sean

    . Para obtener la transformada de Laplace

    de
    y
    aplicamos la propiedad de desplazamiento en la frecuencia (B.6) a las transformadas
    de seno y coseno (B.26) y (B.27):

    (A.28)

    (A.29)

    A.3.5 Rampas, parbolas y monomios de

    Sea
    . Para calcular la transformada de Laplace de
    aplicamos la propiedad de
    multiplicacin por el tiempo (B.8) a la transformada del escaln unitario (B.24).

    (A.30)

    Para los casos particulares en que


    y
    rampa y parbola unitarias, respectivamente:

    , la funcin

    se convierte en las funciones

    (A.31)

    (A.32)

    A.3.6 Exponenciales por

    Sea

    . Para calcular la Transformada de Laplace de

    de desplazamiento en la frecuencia (B.6) a la transformada del

    aplicamos la propiedad
    (B.30)

    (A.33)

    A.3.7 Sinusoides por

    Sea

    . Para calcular la Transformada de Laplace de

    propiedad de multiplicacin por el tiempo (B.7) a la transformada de

    aplicamos la
    (B.26)

    (A.34)

    Sea

    . Para calcular la Transformada de Laplace de

    propiedad de multiplicacin por el tiempo (B.7) a la transformada de

    aplicamos la
    (B.27)

    (A.35)

    A.3.8 Sinusoides amortiguadas multiplicadas por

    Sea

    . Para calcular la Transformada de Laplace de

    propiedad de desplazamiento en la frecuencia (B.6) a la transformada de

    aplicamos la
    (B.34)

    (A.36)

    Sea

    . Para calcular la Transformada de Laplace de

    propiedad de desplazamiento en la frecuencia (B.6) a la transformada de

    aplicamos la
    (B.35)

    (A.37)

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