Problemas Tema1
Problemas Tema1
Problemas Tema1
TEMA 1
CLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE
EJERCICIOS TEMA 1
EJERCICIOS TEMA 1
CONJUNTOS NUMRICOS
Ejercicio 1 Demostrar, aplicando el principio de induccin, las siguientes propiedades
a) 1 + 2 + 3 +
+n=
n(n + 1)
; 8n 2 N; b) 2n 6 n! si n > 4
2
+ (2n
+ (4n
1) = n2 ; 8n 2 N
3) = n(2n 1); 8n 2 N
n(n + 1)(2n + 1)
6
+ n2 =
1
2
1j
jx + 1jj
1
2:
12g ; C = fx 2 R =
2g
1 1
1; ; ;
2 3
1
;
n
1j > j2x
4j
b) Estudiar si el conjunto de puntos que verican la desigualdad anterior es abierto, cerrado o acotado.
Solucin: a) ( 1; 3) [ (1; +1): b) Es un conjunto abierto. No es un conjunto acotado.
Ejercicio 8 a) Hallar los nmeros reales x que verican
j2x
1j < jx
4j
b) Estudiar si el conjunto de puntos que verican la desigualdad anterior es abierto, cerrado o acotado.
Solucin: a) ( 3; 12 ) [ [ 12 ; 53 ) = ( 3; 12 ): b) Es un conjunto abierto y acotado.
1 x
1+x
x1 + x2
)
1 + x1 x2
EJERCICIOS TEMA 1
a) y = p
jxj
; b) y =
x
1 + x2
2x
r
5
3; b) g(x) = ln
x2 + x + 3
x2 + 1
x4 + x2 + 1
sen x + x + x3
; b) g(x) = 5
2
x + cos x + 4
x + x3 + 2
x
2
ey
p
x2 + 1
y
Ejercicio 18 Estudiar la funcin inversa de la funcin y = x2 en el intervalo (0; 1) y construir sus grcas.
p
Solucin: x = y:
Ejercicio 19 Se llama cicloide a la curva descrita por un punto de una circunferencia cuando sta rueda
sin deslizar sobre una recta. Supongamos que el punto mvil M , de la circunferencia coincide, al principio
del movimiento, con el origen de coordenadas. Determinar las ecuaciones paramtricas de la cicloide.
Solucin:
x = a(t
y = a(1
sen t)
cos t)
EJERCICIOS TEMA 1
2
Solucin: x 3 + y 3 = a 3 :
Ejercicio 21 Demostrar la frmula
cos x + cos y = 2 cos
x+y
x y
cos
2
2
p
1 + x2
cos(sen x) + arcsen
2x
1.
sh2 x = 1
x!1
1) = 1
a) l m
x!0
1
x
Solucin: a) @ l m. b) @ l m.
Ejercicio 29 Hallar los lmites siguientes
a) l m
x!1 x2
Solucin: a)
x2
1
; b) l m
x!2 jx
3x + 2
4
2j
1: b) @ l m :
1
1 + e1=x
EJERCICIOS TEMA 1
a) f (x) =
Solucin: a) f (1 ) = 1; f (1+ ) =
cuando x ! 1; b) f (x) =
2: b) f (2 ) =
5
(x
2)3
cuando x ! 2
1; f (2+ ) = +1:
Ejercicio 33 Hallar
x2
x!1 jx
1
1j
lm
Solucin: f (1 ) =
2; f (1+ ) = 2: @ l m :
Ejercicio 34 Hallar
lm
x!2 1
1
+ ex
1
2
Solucin: f (2 ) = 1; f (2+ ) = 0: @ l m :
INFINITSIMOS
Ejercicio 35 Calcular los siguientes lmites
sen 5x
ln cos x
ln(1 + sen 4x)
; b) l m p
; c) l m
4
2
x!0 ln(1 + 4x)
x!0 1 + x
x!0 esen 5x
1
1
a) l m
Solucin: a)
5
4;
b)
2; c)
4
5:
tg x
x!0 ex
p
sen 3 x ln(1 + 3x)
p
; c) l m x(a1=x
p
3
x!1
x!0 (arctg x)2 (e5 x
1)
; b) l m
Solucin: a) 1; b) 3=5; c) ln a.
Ejercicio 37 Calcular
lm
x!0
Solucin:
ln(1 + x) + ln(1
x2
x)
1:
INFINITOS
Ejercicio 38 Calcular el lmite
7x6 + 4x3 + 1
x!1 4x6 + 2x5 + 14x2
lm
Solucin:
7
4:
a) l m
Solucin: a) 1; b) 1; c) 1:
Ejercicio 40 Calcular
x2x + x3 + e3x
x!1
x!
lm
Solucin: 1:
Ejercicio 41 Hallar las constantes a y b para que se verique
lm
x!1
x2 + 1
x+1
ax
=0
1)
EJERCICIOS TEMA 1
Solucin: a = 1; b =
1.
INDETERMINACIONES
Ejercicio 42 Calcular
1
1
a) l m x sen ; b) l m 2x2 arc tg 2
x!+1
x!+1
x
3x
Solucin: a) 1. b)
2
3:
Ejercicio 43 Calcular
a) l m
x!+1
Solucin: a)
3
2:
b)
p
n a
an :
p
x2 + x + 1
x2
2x
p
(nx
1 ; b) l m
x!a
x
p
n
a)
Ejercicio 44 Calcular
1
p
sen
x ; b) l m x x
a) l m [cos x]
x!+1
x!0
Solucin: a) 1. b) 1:
Ejercicio 45 Calcular
a) l m x2 tg
x!+1
1
1
; b) l m 2x arcsen
2
x!+1
2x
x
Solucin: a) 1=2. b) 2.
Ejercicio 46 Calcular
a) l m
x!+1
p
x2 + 1
p
(3x
x ; b) l m p
x!1
x
1)
1
Solucin: a) 0. b) 2=3.
Ejercicio 47 Calcular
1
tg
x2 ; b) l m xx
a) l m cos x
2
x!0
x!0
Solucin: a) 1=e. b) 1.
Ejercicio 48 Hallar las constantes a y b para que se verique
p
x2 x + 1 ax b = 0
lm
x!1
Solucin: a = 1; b =
1=2.
ASNTOTAS
Ejercicio 49 Obtener las asntotas de las siguientes funciones
a) f (x) =
p
x3
;
b)
f
(x)
=
1 + x2 + 2x
(x + 1)2
EJERCICIOS TEMA 1
Ejercicio 50 Estudiar la continuidad de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
sen x
x
a) f (x) =
si x 6= 0
si x = 0
en x = 0; b) f (x) =
x3 + 1
en x =
x+1
1; con lo
x2
x
4
2
Cmo podemos elegir el valor de f (x) en x = 2 para que f sea continua en este punto?.
Solucin: f (2) = 4:
Ejercicio 53 Estudiar en x = 0 la continuidad de la funcin
sen x1
0
f (x) =
si x 6= 0
si x = 0
c) h(x)
2x2
3x
j2x 3j
2x 3
si x 3
si x > 3
si x 6= 3=2
si x = 3=2
1<x 1
1<x<3
3 x<1
en x = 1 y x = 3
en x = 3
en x = 3=2
f (x) =
si x 6= 0
si x = 0
a) f (x) = sen(ex
Solucin: a) f (x) es continua en R: b) xk =
de la funcin.
+5
); b) f (x) =
sen3 x + x2 + 1
2 cos x 1
si x 6=
si x =
EJERCICIOS TEMA 1
f0g.
x
2
<x<
x 2
1
2:
f (x) =
si x 6= 2
si x = 2
Solucin: f es continua en R:
Solucin: ( 4; 3).
Ejercicio 62 Probar que las grcas de las funciones f (x) = ln x y g(x) = e
localizarlo aproximadamente.
f (x) =
se cumple que f (0) = 1 < 0 y f (1) = e
Contradice esto el teorema de Bolzano?.
si 0 x 1=2
1
1
si
2 <x
3
4; 4
, y sin embargo,
DERIVADA Y DIFERENCIAL
DEFINICIONES
Ejercicio 67 Comprobar si es derivable en x = 0 la funcin
f (x) =
x2 sen x1
0
si x 6= 0
si x = 0
10
EJERCICIOS TEMA 1
cos x si x 6= 0
1
si x = 0
Solucin: f 0 (0) = 0:
Ejercicio 69 Estudiar en los puntos x = 1 y x = 0 la
8
< (2x + 1)
x2
f (x) =
:
sen x
Solucin: f (x) es derivable en x =
1 y f 0 ( 1) =
derivabilidad de la funcin
si
si
si
x
1
1<x<0
x 0
2: No existe f 0 (0):
1; no es derivable.
1:
4 = 9(x
3x + 2
2) y la ecuacin de la normal y
4=
x y la parbola y = 4
1
9 (x
2):
x2 =2.
Solucin:
=2:
1:
2x
Ejercicio 77 Tiene tangente la curva y = arcsen 1+x
2 en el punto x = 0?.
Solucin: s.
Ejercicio 78 Determinar todos los valores de los parmetros m y n para los cuales la funcin
f (x) =
a) es continua en x =
sen x
mx + b
y b) es derivable en x = :
si x <
si x
EJERCICIOS TEMA 1
11
Solucin: a) f (x) es continua en x = para todo par de valores de m y n tales que: m + b = 0: b) f (x)
es derivable en x = si m = 1; y b = :
Ejercicio 79 Demostrar que la funcin
f (x) =
x 2
1+e x
si x 6= 2
si x = 2
no es derivable en x = 2.
Ejercicio 80 Estudiar la derivabilidad de la funcin
f (x) =
Solucin: no es derivable en x = 0; x =
1
(jx + 1j
x
jx
1j)
1 y x = 1.
x sen x1
0
a) es continua en x = 0. b) es derivable en x = 0:
Solucin: a)
> 0; b)
> 1:
x + jxj
2
x
2
jxj
Construir su grca.
Solucin: es continua y no es derivable.
Ejercicio 84 Estudiar en x =
1; x = 1 y x = 3 la derivabilidad de la funcin
f (x) = jx2
1j + jx
3j
12
EJERCICIOS TEMA 1
Solucin: dy = 1.5:
Ejercicio 89 Calcular el incremento y la diferencial de la funcin y = x3
5 a 5.01:
Solucin:
y = 0.050801; dy = 0.05:
TCNICAS DE DERIVACIN
Ejercicio 91 Hallar la derivada de las funciones siguientes
p
a) f (x) = 2x arctg(2x) ln 1 + 4x2 ; b) f (x) = cos4 (3x + 1)2
Solucin:
x2 )
arcsen x
(1 x2 )3=2
yx0
y; b) x = 3y
cos y
2
p
2 1 y
1
=
; b) yx0 =
4y 5y 2
3 + sen2 y
a(sen t)
; b) yx0 = cotg 2t
a(1 cos t)
a)
Solucin: a) y 0 =
x=e t
y = arctg(2t + 1)
et
t+t(2t+1)2 :
; b)
x = a(ln tg 2t + cos t
y = a(sen t + cos t)
sen t)
b) y 0 = tg t:
EJERCICIOS TEMA 1
Solucin: y 0 =
13
b
a:
3y 2 2x cos(x2 + y)
cos(x2 + y) 2y(3x + 1)
y+1
2 x;
b) y 0 =
1 = 0; b) x3 y
2y
xy 3 = 2
y 3 3x2 y
x3 3xy 2 .
Solucin: a) y 0 =
b) y 0 =
x+y
x y.
p
2x2 + 5x 1 (x + 1)2 x
2 (x2 1)
ex
esh ax
sh bx ch bx
Solucin: y0 = (a ch ax + b)y:
DERIVADAS SUCESIVAS
Ejercicio 103 Sea la funcin
8
< sen x
0
f (x) =
3
:
x x6
si x > 0
si x = 0
si x < 0
Ejercicio 105 Hallar las derivadas n-simas de las siguientes funciones elementales
a) f (x) = ex ; b) f (x) = ln x; c) f (x) = xk ; d) f (x) = sen x; e) f (x) = cos x
Solucin:
a) f (n)
= ex ; b) f (n) =
d) f (n)
( 1)n
(n
xn
1)!
; c) f (n) =
k!
(k
n)!
xk
14
EJERCICIOS TEMA 1
x2 )
Solucin:
f (100) (x) = cos(x + 100 ) (1
2
x2 )
200x cos(x + 99 )
2
100 99 cos(x + 98 )
2
1 n
2 cos 2x + n
2
2
f (n) (x) =
1
x2
Solucin:
n! si
0 si
f (n) (0) =
n es par
n es impar
5x
x2
2
5x + 6
13
( 3)n+1
8
( 2)n+1
1)(x
2):::(x
1000)
dy d2 y
;
de la curva de ecuaciones parmetricas
dx dx2
x = a cos t
y = b sen t
Solucin:
dy
=
dx
b cos t
a sen t ;
d2 y
=
dx2
b
a2 sen3 t :
EJERCICIOS TEMA 1
15
Ejercicio 115 Calcular el valor de y 00 ; en el punto donde y = 0; si la funcin viene denida implictamente
por la ecuacin
p
y
x2 + y 2 = earctg x
Solucin: y 00 =
2(x2 +y 2 )
(x y)3 :
Ejercicio 116 Calcular y 00 (x) si la funcin viene denida implictamente por la ecuacin
arctg y
Solucin: y 00 =
y+x=0
2(1+y 2 )
:
y5
Ejercicio 117 Comprobar que la funcin y(x) denida paramtricamente por las ecuaciones
x = et sen t
y = et cos t
verica la ecuacin
(x + y)2 y 00 + 2(y
xy 0 ) = 0
Ejercicio 118 La frmula para calcular la curvatura de una curva dada en forma explcita por y = y(x) es
k=
y 00
(1 + y 02 )3=2
Deducir la que corresponde a una curva dada en forma paramtrica y aplicarla para
x = a(t
y = a(1
Solucin: k =
sen t)
cos t)
con t =
p1
:
2 2jaj
a) Pn (x)
e) Pn (x)
1+
x+
x2 + ::: +
xn
x2
x4
x2n
+
+ ::: +
2!
4!
2n!
Ejercicio 121 Calcular de forma aproximada el nmero e utilizando su polinomio de Maclaurin de grado
n = 8. Acotar el error.
Solucin:
e ' 2;7182787698; jRj < 3
1
= 8;27 10
9!
16
EJERCICIOS TEMA 1
Ejercicio 122 Calcular de forma aproximada ln(1;1) tomando el polinomio de Maclaurin de f (x) = ln(1+x)
de grado n = 1: Acotar el error.
Solucin:
ln(1;1) ' 0;1; jRj <
(0;1)2
= 0;005
2
p
3
x: Calcular
p
3
8;03 con un
Solucin:
Pn (x) = 2+
1 1
3 22
(x
8)
1!
p
3
1
3
2 1
3 25
8)2
(x
2!
+:::+( 1)n
(0;03)
1
+(
1!
3
1 1
3 22
11
2 5 8 ::: (3n
3n
4)
(x
23n 1
2 1 (0;03)2
)
3 25
2!
x+1
1
a) 1 + x
2
1 2
1
x + x3
8
16
8)n
n!
1;02
5 4
x ; b) 1;00995
128
1
1+x
1
de forma aproximada, tomando n = 2, y acotar el error cometido.
1;1
Solucin:
a) 1
x + x2
x3 + ::: + ( 1)n xn ; b)
1
' 0;91; jRj < 10
1;1
x
x2
x3
xn
11
e
+
+ 7 + ::: +
; b) f (1) '
; c) jRj <
1!
2!
3!
n!
3
24
x2
xn
5
x
1 + 2 + ::: +
n; b) e ' 2;5; jRj <
1!
2!
n!
8
1
(x
2
1)
1 (x 1)2
1
+ ::: + ( 1)n
2
2
2
1)n
1 (x
EJERCICIOS TEMA 1
17
Ejercicio 129 Aplicando el polinomio de Maclaurin (a = 0), de la funcin f (x) = ch x de grado 3; calcular
ch 0;5 y acotar el error cometido.
Solucin:
ch 0;5 ' 1;125; jR3 (0;5)j < 3;9 10
Ejercicio 130 Aproximar tg x por el polinomio de Maclaurin (a = 0) de grado 3: Acotar el error cometido
si se tomara x = 0;1.
Solucin:
tg x ' x +
Ejercicio 131 Vericar que para f (x) = e
MacLaurin de orden 6.
Solucin:
P6 (x) = 1 + (
x=2
x3
: jR3 (0;1)j < 10
3
1
4 f (x).
Hallar el polinomio de
1
1
1 3
1
1 5
1
)x + ( )x2 + (
)x + ( )x4 + (
)x + ( )x6
2
2
4
4
8
8
Ejercicio 132 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular los siguientes lmites
a) l m
x!0
Solucin: a) 31 ; b)
ln(1 + x)
sen x cos x sen x
; b) l m
x!0
x2 + 2x
x3 cos x
1
2:
Ejercicio 133 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular los siguientes lmites
p
1 + x2 cos x
1
sen x x cos x
a) l m
; b) l m
4
x!0
x!0
x2 sen x
tg x
Solucin: a) 1=3; b) 1=3.
Ejercicio 134 Con la ayuda de los desarrollos adecuados, calcular
x sen x x2 cos x
x!0
ln2 (1 + x2 )
lm
Solucin: a) 1=3.
TEOREMA DE ROLLE
Ejercicio 135 Sea la funcin
x3
2x2 + 3x + 1
3
Comprobar si verica las hiptesis del teorema de Rolle en el intervalo [0; 3]:
f (x) =
Solucin: s, c = 1:
Ejercicio 136 Sea la funcin
f (x) = cos x
Comprobar si verica las hiptesis del teorema de Rolle en el intervalo [ ; 5 ]:
Solucin: s, c = 2 ; 3 y 4 :
Ejercicio 137 La funcin
f (x) =
1 + jxj
1 jxj
toma valores iguales en los extremos del intervalo [ 1=2; 1=2] pero su derivada no se anula en ningn punto
de dicho intervalo. Contradice sto el teorema de Rolle?.
Solucin: no.
18
EJERCICIOS TEMA 1
x=0
p
3
(x
Solucin: a) no; b) s, c =
9x en [ 3; 3]; c) f (x) =
1
en [
sen x
; ]
3; c) no.
Ejercicio 142 Demostrar que la ecuacin ax3 + bx2 + cx + d = 0 tiene slo una raz real si b2
3ac < 0:
Ejercicio 143 Demostrar que la ecuacin x3 + ax + b = 0; con a < 0, tiene a lo sumo una raz real en el
intervalo
1p
1p
3jaj;
3jaj
3
3
Ejercicio 144 Sea P (x) un polinomio. Demostrar que entre dos races consecutivas de P 0 (x) slo puede
existir una de P (x):
Ejercicio 145 Demostrar que la ecuacin x3
intervalo [0; 1].
x sen
0
si x > 0
si x = 0
+2
2 en el intervalo [ 5; 5]?.
Solucin: una.
Ejercicio 149 Sea
p(x) = x5
5x + a
Demostrar que: a) El polinomio p(x) posee a lo sumo una raz en el intervalo [ 1; 1], para todo a 2 R: b) El
polinomio p(x) posee una raz en [ 1; 1] si, y slo si, jaj < 4:
x3
EJERCICIOS TEMA 1
Solucin: s, c =
19
1:
p
3
x4
3 x2
2
1
x
si 0
si 1 < x
Comprobar si verica las hiptesis del teorema de Lagrange en el intervalo [0; 2]:
p
Solucin: c = 12 ; c = 2:
Ejercicio 153 Estudiar si las siguientes funciones
p
a) f (x) = 3x3 + 3x en [0; 1]; b) f (x) = x2 + px + q en [a; b]
verican las hiptesis del teorema de Lagrange en los intervalos que se indican. En caso armativo hallar el
punto c intermedio.
Solucin: a) s, c =
p1 ;
3
b) s, c =
a+b
2 :
x2
ax + b
si x x0
si x > x0
con 0 < x0 < 2. a) Determinar los coecientes a y b para que f (x) verique las hiptesis del teorema de
Lagrange en [0; 2]. b) Tomando x0 = 1 hallar el punto c intermedio.
Solucin: a) a = 2x0 ; b =
x20 . b) c = 43 :
arctg x
ln(1 + x2 ) >
arcsen
1 se cumple la igualdad
2 arctg x + arcsen
2x
=0
1 + x2
2x
=
1 + x2
1 se cumple la igualdad
2 arctg x + arcsen
2x
=
1 + x2
Ejercicio 161 Comprobar si satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en [ 3; 3] las funciones
f (x) = ex ; g(x) =
x2
1 + x2
20
EJERCICIOS TEMA 1
p
3+ 21
.
4
REGLA DE LHPITAL
Ejercicio 163 Calcular
ln2 (1 + x)
x!0
1 e
a) l m
sen2 x
x2
cos x ln(x 2)
x!2
ln(ex e2 )
; b) l m
Solucin: a) 0; b) cos 2:
Ejercicio 164 Calcular
a) l m (x
x!+1
ln2 x); b) l m xx
x!0
Solucin: a) +1; b) 1:
Ejercicio 165 Calcular
lm
x!1
x sen x
x + sen x
x!1
1 + x + sen x cos x
(x + sen x cos x) esen x
x!0+
ex e x 2x
ln x
; b) l m
x!1
ln(ln(1 + x))
x sen x
Solucin: a) 1; b) 2.
Ejercicio 169 Calcular, aplicando la regla de l Hpital
a) l m
x!0+
ln2 (1 + x)
1 e
sen2 x
x2
; b) l m
x!1
x2 ln(1 +
1
)
x
Solucin: a) 0; b) 1=2.
Ejercicio 170 Calcular, aplicando la regla de l Hpital
a) l m
x!0
x cotg x
cos x
; b) l m
x!0 sen x
x2
sen x
Solucin: a) 1=3; b) 1.
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Ejercicio 171 Hallar los intervalos donde son estrictamente crecientes o decrecientes las funciones
a) f (x) = x3
3x2
9x + 1; b) f (x) = ln jxj
EJERCICIOS TEMA 1
21
Solucin: a) estrictamente creciente en ( 1; 1) [ (3; 1) y estrictamente decreciente en ( 1; 3) ;b) estrictamente decreciente en ( 1; 0) y estrictamente creciente en (0; +1) :
Ejercicio 172 Demostrar que es creciente la funcin
f (x) = x + cos x
Deducir que la ecuacin x + cos x
a > 1:
Ejercicio 173 Hallar los intervalos donde son estrictamente crecientes o decrecientes las funciones
a) f (x) = 2x2
ln x; b) f (x) = x2 e
1
2x
; b) f (x) = 2 x a
ln x
Solucin: a) estrictamente creciente en (e; 1) y estrictamente decreciente en (0; 1) [ (1; e); b) estrictamente
decreciente en ( 1; a) [ (a; +1):
x3
3
4); c) f (x) =
2x2 + 3 si x 6= 0
4
si x = 0
x3
3
5x3 + 2
1, mnimo
4x3 + 6x2
4x + 1; b) f (x) = (x + 1)10
1:
Ejercicio 178 Estudiar, utilizando los criterios de la derivada primera y de la derivada segunda, los puntos
crticos de las funciones
a) f (x) =
3x4
4
x3
1+
x
x2
xn
+
+ ::: +
1!
2!
n!
3)2
1 no es extremo, x '
0;28
22
EJERCICIOS TEMA 1
x+
x3
6
x4
24
Solucin: mximo.
EXTREMOS ABSOLUTOS
Ejercicio 182 Determinar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican
a) f (x) = x4
4x3 + 6x2
1
en el intervalo
x
1
; 100
100
1
100
y x = 100:
f (x) =
si x > 0
si x 0
alcanza un mnimo en x = 0, aunque su derivada no cambia de signo en ese punto. Calcular su mximo y
mnimo absolutos.
Solucin: mximo absoluto: +1 y mnimo absoluto: 0:
Ejercicio 185 Calculando los extremos absolutos, demostrar las siguientes desigualdades
a) x +
1
x
x2
; 8x 6= 0
2
50
3x4 + 8x3
18x2 + 60
; b) f (x) =
p
ex2
1;
1
p
3
4
[ (0; 1) y cncava en
p1 ; p1
2
2
1
p
3 ;0
4
1
p
3 ;
4
p1 :
2
Ejercicio 188 Determinar los puntos de inexin y los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones
p
p
a) f (x) = 3 x 3 x + 1; b) f (x) = jxj1=3
Solucin: a) convexa en ( 1; 0) y cncava en ( 1; 1) [ (0; +1); puntos de inexin x =
cncava en ( 1; +1), sin puntos de inexin.
1 y x = 0; b)
EJERCICIOS TEMA 1
23
Ejercicio 189 Determinar los puntos de inexin y los intervalos de concavidad y convexidad de la curva
de Gauss
2
f (x) = e x
p
p
p
p
Solucin: convexa en ( 1= 2; 1= 2) y cncava en
1; 1= 2 [ (1= 2; +1); puntos de inexin x =
p
p
1= 2 y x = 1= 2:
Ejercicio 190 Demostrar que los posibles puntos de inexin de y = x sen x estn sobre la curva
y 2 (4 + x2 ) = 4x2
Ejercicio 191 Sea f (x) una funcin estrictamente positiva y dos veces derivable al menos. Se considera la
funcin g(x) = ln(f (x)). Demostrar que g(x) es convexa si lo es f (x).
CONSTRUCCIN DE GRFICAS
Ejercicio 192 Construir la grca de la funcin
f (x) =
Solucin: mximo relativo en x =
oblicua y = x 2:
x3
(x + 1)2
1, asntota
p
3
x2 (1
x)
1 + 4x3
x
x.
Ejercicio 196 Razonando adecuadamente, dibujar la grca de la funcin y = f (x); en un entorno sucientemente pequeo del punto x = 1; conociendo las condiciones
f ( 1) = 2; f 0 ( 1) =
OPTIMIZACIN EN INGENIERA
Ejercicio 197 En un taller se quiere construir una caja abierta con una lmina de metal de 24 cm de ancho
y 45 cm de largo. Para ello se cortan cuatro cuadrados iguales en las esquinas y se doblan hacia arriba las
pestaas. Cules deben ser las dimensiones de la caja para que el volumen sea mximo?.
Solucin: la caja de volumen mximo se obtiene con 14 cm de ancho, 35 cm de largo y 5 cm de profundidad.
Ejercicio 198 Un campo de futbol tiene por dimensiones: 100 m de largo por 61 m de ancho, estando la
porteria, de 11 m de ancho situada a 25 m del corner. Desde qu punto de la banda ser ms fcil meter
gol en la portera?.
Solucin: debe lanzarse a 30 m de distancia del corner.
24
EJERCICIOS TEMA 1
Ejercicio 199 Un operario debe cercar una zona rectangular para que los nios jueguen, dentro de un terreno
con forma de tringulo rectngulo de catetos 4 y 12 metros y le han puesto como condicin que dos lados del
parque infantil estn sobre los catetos. Hallar el rea mxima que puede tener dicho parque infantil.
Solucin: las dimensiones del parque sern pues de 2 m de ancho y 6 m de largo.
Ejercicio 200 Dos pueblos P y Q estn en distintas orillas de un ro de 5 km de ancho, como se muestra
en la gura. Pedro, que vive en P , tiene su novia en Q y quiere llegar a verla en el mnimo tiempo posible.
Hallar el camino que debe seguir, sabiendo que Pedro nada a una velocidad constante de 3 km= h y camina
a una velocidad constante de 5 km= h.
Solucin: el trayecto que debe recorrer andando: x = 12
15
4
Ejercicio 201 Los cauces de dos ros r1 y r2 tienen por ecuaciones r1 : y x2 = 0 y r2 : x y 2 = 0 (con
las coordenadas en kilmetros). Se pretende construir un canal rectilneo que una ambos ros. Sabiendo que
el coste de cada kilmetro de canal es de 90000e, hallar el coste mnimo.
Solucin: el coste mnimo es 111369e.
Ejercicio 202 Una compaa de autobuses alquilar uno con capacidad para 50 personas a grupos de 36 o
ms. Si un grupo consta de 36 personas, pagar cada una 60e. Para grupos mayores, se reduce 1e el precio
por persona, por cada una que exceda de 36. Determine el tamao del grupo que hace mximo el ingreso de
la compaa.
Solucin: 48 personas.
Ejercicio 203 Un cultivador de naranjas de Valencia estima que, si planta 60 naranjos, obtendr una
cosecha media de 400 naranjas por rbol. Este nmero bajar 4 unidades por cada rbol ms que se plante
en el mismo terreno. Hallar el nmero de rboles que hace mxima la cosecha.
Solucin: 80 naranjos.
Ejercicio 204 Una ventana tiene la forma de un rectngulo rematado en su parte superior con un semicrculo, y se quiere contornear con p metros de borde metlico. Hallar el radio de la parte semicircular si el
rea de la ventana ha de ser mxima.
Solucin: r =
p
+4 :
Ejercicio 205 La resistencia de una viga de seccin rectangular es directamente proporcional a la anchura
y al cubo de la altura. Hallar el ancho de la viga de mxima resistencia que se puede obtener de un tronco
de madera de 16 cm de dimetro.
Solucin: 8 cm.
Ejercicio 206 Inscribir en una esfera de radio R, un cilindro de supercie lateral mxima.
p
Solucin: radio del cilindro r = R= 2:
Ejercicio 207 El precio del diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que rompindolo
en dos partes, existe una depreciacin de su valor, y que esta depreciacin es mxima cuando las dos partes
son iguales.
Ejercicio 208 Dos postes de 12 y 28 m de altura distan entre s 30 m. Desea tenderse un cable, jado en
un nico punto del suelo, entre las puntas de ambos postes. En qu punto del suelo hay que jar el cable
para usar la menor cantidad posible de cable?
Solucin: a 9 m del poste bajo.
Ejercicio 209 Un espejo plano de forma cuadrada de 80 cm de lado se ha roto por una esquina segn una
recta. Uno de los trozos tiene forma de tringulo rectngulo de catetos 40 y 32 cm: Calcular el rea mxima
del espejo rectangular que puede recortarse del otro trozo, de modo que los bordes del nuevo espejo sean
paralelos al primitivo.
Solucin: 3920 cm2 :