Unidad 5

Porcentaje

EL PORCENTAJE
Porcentaje, llamado tambien tanto por ciento, proviene de la palabra latina per
cetum, que significa por ciento. El calculo del porcentaje es una de la operaciones ms
utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos,
disminuciones, utilidades, tasas de inters, tasas de descuento, etctera.
El termino por ciento significa centcima; es decir, el ciento de un nmero N
es una fraccin con numerador N y denominador 100. El smbolo de por ciento es %1.
As, por ejemplo:
14%

significa

14 /100

= 0.14

2.16%

significa

2.16/100

= 0.0216

348%

significa

348/100

= 3.48

Inversamente, cualcuqier nmero puede ser escrito en forma de porcentaje;

simplemente se multiplica por 100 y se agrega el smbolo %. Por ejemplo:
0.1814

= (0.1814)(100)% = 18.14%

1.175

= (1.175)(100)%

= 117.5%

Qu significa, entonces, la expresin "6% de 78"? Como 6% significa 6

centsimas, esta expresin significa: hallar 6 centsimas de 78. Por tanto, 6% de 78 es
simplemente la multiplicacin de 78 por 0.06; esto es:
6% de 78 = (6/100)(78) = (0.06)(78) = 4.68
El nmero 4.68 recibe el nombre de producto. 6% es el porcentaje o tanto por ciento y
78 se llama base.
EJEMPLO 5.1
Obtenga el 16.75% de 5,820.
SOLUCIN
16.75% de 5,820 significa 16.75 centsimas de 5,820; esto es:
16.75% de 5,820 = (16.75/100)(5,820) = (0.1675)(5,820) = 974.85

El smbolo % surgio como una corrupcin de la abreviatura de la palabra ciento(cto). El primero es usar
el smbolo fue Delaporte, que en 1685 lo emple en su libro Gua del comerciante.

EJEMPLO 5.2
Ral compr un televisor con valor de $ 3,850.00. Si dio un enganche del 20%
del precio, de cunto fue el pago inicial?
SOLUCIN
Pago inicial = 20% de 3,850 = (20/100)(3,850) = $ 770 Uso de la Calculadora HP
Uso de la calculadora HP
La tecla % se utiliza para obtener el porcentaje de un nmero dado. Para
resolver el ejemplo 5.1, se sigue la siguiente secuencia de tecleo:

La secuencia para obtener el resultado del ejemplo 5.2, es:

EJEMPLO 5.3
El precio de lista de una calculadora es de $ 287.30. Una tienda la vende con un
18% de descuento. Cul es el precio final de la calculadora?
SOLUCION
Descuento = 18% de 287.30 = (0.18)(287.30) = 51-71
Precio final = 287.30 - 51.71 = 235.59
EJEMPLO 5.4
Cul ser la cantidad a pagar por la calculadora del ejemplo anterior, si al
precio final se le debe sumar el IVA (Impuesto al Valor Agregado)?
SOLUCION
Actualmente el IVA es del 15% del precio final de un bien o servicio, en la
mayora de los casos. Por tanto:
IVA = 15% de 235.59 = (0.15)(235.59) = 35.34
Cantidad a pagar por la calculadora = 235.59 + 35.34 = 270.93
Hallar la tasa significa determinar qu por ciento es un nmero de otro nmero.
EJEMPLO 5.5
Qu porcentaje de 2,500 es 900? SOLUCION
Sea x el porcentaje buscado. Como x% de 2,500 debe ser igual a 900, entonces
es posible formar la siguiente ecuacin:
(x/100)(2,500) = 900

Despejando x se tiene:
x = (900)(100)/2,500
x = 36%
EJEMPLO 5.6
Un agente de ventas recibi $ 8,730.00 de comisin por vender mercanca con
un valor total de $ 48,500.00. Cul es el porcentaje ganado?
SOLUCIN
Sea x = % de comisin ganada. Como x% de 48,500 debe ser igual a 8,730, entonces:
(x/100)(48,500) = 8,730
Por tanto:
x = (8,730)(100)/48,500
x = 18"%
EJEMPLO 5.7
La superficie total de la Repblica Mexicana es de 1'958,201 km2,
correspondiendo 80,836 km2 al estado de Jalisco y 5,471 km2 al de Aguascalientes.
Qu porcentaje del territorio nacional corresponde a cada uno de esos estados?
SOLUCIN
Si x = porcentaje del territorio correspondiente a Jalisco, entonces:
(x/100)(1'958,201) = 80,836
x = 4.13%
Si y = porcentaje del territorio correspondiente a Aguascalientes, entonces:
(y/ 100)(1'958,201) = 5,471
y = 0.28%
Hallar la base significa hallar el nmero que producir el porcentaje cuando ese
nmero se multiplique por el por ciento dado.
EJEMPLO 5.8
De qu nmero es 35 el 5%? SOLUCIN
Sea x la base buscada. Como el 5% de x debe ser igual a 35, entonces se tiene
la siguiente ecuacin:
(5/100)(x) = 35
Porcentaje

115

0.05 x = 35
x = 35/0.05
x = 700

EJEMPLO 5.9
El gerente de una tienda de ropa aument el precio de los pantalones para
caballero en 12%. Cul era el precio original de los pantalones, si el precio actual es
de $ 207.20?
SOLUCIN
Sea x el precio de los pantalones antes del aumento. El aumento fue de 12%
sobre el precio x.
Por tanto:
Aumento = 12% de x = 0.12 x
El precio actual se forma de la siguiente manera: Precio anterior + Aumento =
Precio actual
Es decir:
x + 0.12 x = 207.20
Esto es:
1.12 x = 207.20
x = 185
EJEMPLO 5.10
Una impresora de inyeccin de tinta cuesta $ 4,320.00, IVA incluido. Calcule:
a) El precio de la impresora antes de sumar el impuesto.
b) El impuesto a pagar.
SOLUCIN
a)
Sea x = valor de la impresora antes de impuesto.
Como el IVA es el 15% del valor de la impresora, entonces:
IVA =15% de x = (0.15)(x) = 0.15 x
Si al valor de la impresora antes de impuesto se le suma el impuesto, se obtiene
la cantidad total a pagar por ella.
Esto es:
x + 0.15 x = 4,320 1.15 x = 4,320
Por tanto: x = 3,756.52
b)
El impuesto es el 15% de 3,756.52;
Esto es:

Impuesto a pagar = (0.15)(3,756.52) = 563.48

Uso de la Calculadora HP
En el men MAIN (Principal) se encuentra el rtulo COM (Comercio). Al
presionar la tecla que se encuentra debajo del rtulo se tiene acceso a un conjunto de
mens que permiten la resolucin de problemas donde est involucrado el concepto de
porcentaje.
COM: muestra el men que contiene, entre otros, los siguientes rtulos:
%CMB: Porcentaje de cambio.
%TOTL: Porcentaje del total.
ALZ% C: Alza como un porcentaje del costo.
ALZ%P: Alza como un porcentaje del precio.
Cada uno de los cuatro mens contiene tres variables y se puede calcular
cualquiera de ellas si se conocen las otras dos.
Antes de utilizar cualquiera de estos mens, es conveniente borrar cualquier
posible valor que pudieran contener las variables; esto es, igualarlas a cero. Para borrar
las variables utilizadas en cualquiera de los mens, se entra al men deseado y se
oprime la tecla CLEAR DATA (en segunda funcin de la tecla INPUT.)
MENU %CAM
Este men est formado por las variables: ANT (Anterior), NVO (Nuevo) y %CAM
(Porcentaje de cambio). Con este men se resuelve el problema general siguiente: si
N1 es un nmero que se incrementa en un x%, el resultado es el nmero N2. N1 es el
nmero Anterior, x%, es el Porcentaje de cambio y N2 es el nmero Nuevo. Por
ejemplo: El total de alumnos que tiene actualmente la escuela preparatoria Albert
Einstein es de 950. Si el semestre pasado haba un total de 780 alumnos, cul fue el
porcentaje de aumento?
Para resolver este problema, se realiza esta secuencia de tecleo:
Se tuvo un 21.79% de aumento en el nmero de alumnos.
Recuerde que antes de introducir los valores numricos a las variables, se
recomienda que stas sean previamente borradas.
En el Ejemplo 5.9 se conoce el precio nuevo y el porcentaje de cambio y se
desea obtener el precio anterior. La secuencia de tecleo sera:
MENU %TOTL
Este men contiene las variables: TOTAL, PARCL (Parcial) y %TOT (Porcentaje
del total). El men permite el clculo del producto, base o porcentaje. As, en el ejemplo
5.5 se desea obtener el porcentaje o tanto por ciento, conocida la base (2,500) y el
producto (900).

La secuencia de tecleo para resolver el ejemplo 5.5 es:

En el ejemplo 5.8 se conoce el porcentaje y el producto y se desea conocer la

base. Por tanto,

Los Mens ALZ%C y ALZ%P se vern en la siguiente seccin.

Ejercicios 5.1
Cambie cada uno de los siguientes porcentajes a forma decimal:

Cambie los siguientes nmeros a porcentaje:

Obtenga los siguientes datos:

Porcentaje

Qu por ciento de:

De qu nmero es: 28.

34. Roberto compr un libro cuyo precio es de $ 135.00. Si le hicieron el 15% de

descuento, cunto pag por el libro?
35. El seor Orozco recibe un sueldo neto de $ 5,230.00 mensuales. Si gasta el
26.77% en renta de la casa donde vive y el 40% en comida, cunto tendr
disponible para otros gastos?
36. Santiago recibi $ 8,000.00 de aguinaldo. Si gast el 13% en ropa y dio a sus
padres el 20% del resto, cunto le queda?
37. Un negocio aumenta su gasto de publicidad en 18% cada ao. Si este gasto ha
sido de $113,800.00 este ao, a cunto ascender dentro de 4 aos?
38. El precio de un reloj aument de $ 375.85 a $ 458.54. En qu porcentaje
aument el precio?
39. Agustn gan $ 2,450.00 la quincena pasada y pag $269.50 por concepto de
ISR (Impuesto sobre la Renta). Qu por ciento de su ingreso pag en
impuestos?
40. En 1975, los camiones urbanos de pasajeros en Guadalajara, jalisco, cobraban $
1.00 (de los viejos pesos); en 1993 cobraban $ 1.00 (de los nuevos pesos).

Cul fue el porcentaje de aumento?

NOTA: A partir del 1o. de enero de 1993 se cre en nuestro pas una nueva
unidad monetaria, llamada nuevo peso, la cual tiene una equivalencia de 1 nuevo
peso igual a 1,000 pesos de los viejos.
41. Una helada reciente destruy el 53.8% de la cosecha de jitomate en el estado de
Sinaloa. Si la cosecha tena un valor aproximado de $1'230,000.00, cul fue la
cantidad que se perdi?
42. Un agente de ventas gan $ 8,320.00 por comisin al vender un automvil. Si la
comisin que l gana es el 13% de la venta, cul fue el precio de venta del
automvil?
43. En cierta universidad hay 2,850 alumnos. El 32% de ellos estudian Contadura
Pblica; el 30% estudian Administracin de Empresas; el 24%, Ingeniera
Industrial y el 14%, Licenciado en Economa. Cuntos alumnos hay en cada
carrera?
44. Jos Antonio Villa es agente de ventas. Gana una comisin del 18% del total de
las ventas. Cunto gan el mes pasado si vendi $ 37,466.00?
45. Al introducir una nueva mquinaria en una fbrica, la produccin diaria aument
de 25,000 a 42,000 unidades, cul fue el porcentaje de aumento?
46. En 1986, en cierta ciudad del pas, se robaron 5,470 automviles y en 1996
fueron 16,809 los autos robados. Calcule el porcentaje de aumento.
47. Una compaa ha contratado un vendedor. El vendedor est de acuerdo en que
ganar un salario fijo de $ 500.00 a la semana y un 16% de sus ventas
semanales, como comisin. En su primera semana de trabajo, sus ventas fueron
de $ 22,896.00. Cunto gan en la semana?
48. Una tienda de equipo fotogrfico ofrece un proyector de 16 mm en un tercio
abajo de su precio normal de $ 7,800.00. Otra tienda vende elmismo proyector
con un descuento del 30% de su precio normal de $ 7,600.00. En cul tienda
conviene comprar el proyector?
49. De los 150 pantalones que haba en una tienda de ropa, el 88% se vendi a $
56.00 cada uno y el resto a $ 40.00 cada uno. Calcule el importe total de la
venta.
50. Si el salario mnimo general en el Distrito Federal, en 1980, era de 163 viejos
pesos al da y en enero de 1990 era de 10,080 viejos pesos diarios, cul fue el
por ciento de aumento?
51. En 1970 la zona metropolitana de Guadalajara contaba con 1'456,000
habitantes; para 1980 haba 2'856,000 habitantes. Obtenga el por ciento de
aumento.
52. Se compr un saco y una camisa. El saco vala $ 710.00 y la camisa $ 250.00.
Se pagaron $ 748.80 por las dos cosas, en lugar de $ 960.00. Cul fue el
porcentaje de descuento?

53. Se incendia una casa que estaba asegurada en el 75% de su valor real, y se
cobran $ 195,000.00 por el seguro. Calcule cul era el valor real de la casa.
54. Por un automvil usado se pag $ 16,675.00, despus de que se hizo un
descuento del 11% sobre el precio de lista. Cunto costaba el automvil?
55. Un automvil comprado hace dos aos a un precio de $ 60,850.00, es valuado
en $ 39,975.00 este ao. Obtenga el porcentaje de depreciacin.
56. Un agente de bolsa aconsej a Horacio Weber colocar el 32% de su capital en
CETES, el 56% en acciones y el resto en comprar monedas de oro. Si Horacio
invirti $ 276,000.00 en la compra de las monedas, cul es el valor total del
capital invertido?
57. La renta de un departamento aument 16%. Si actualmente se pagan $ 980.00
mensuales de renta, cul era el valor de la renta?
58. Al morir una persona dej $ 275,000.00 de herencia, a repartir entre tres
hermanos. El mayor recibi $ 57,750.00; el del medio, $ 93,500.00 y el menor, $
123,750.00. Calcule el porcentaje que recibi cada uno.
59. En 1980 el nmero de habitantes en Mxico era de 67'383,000 de los cuales
33'295,000 eran hombres. Calcule el porcentaje de mujeres.
60. Ayer un litro de leche costaba $ 3.80; hoy cuesta $ 4.30. Obtenga el porcentaje
de aumento.
61. En 1986 la produccin de refrescos de cola en Mxico alcanz la cifra de
1,149'565,000 litros; mientras que en 1987 fue de 1,036'027,000 litros. Cul fue
el porcentaje de variacin con respecto a 1986?
62. Segn datos estadsticos presentados en 1987 por el Consejo Mundial de las
Iglesias, los cristianos representaban el 33.9% (1,695 millones de personas que
profesan el Cristianismo) del conjunto de la poblacin mundial. Calcule cuntos
habitantes haba en el mundo en 1987.
63. Un granjero vende el 70% de sus gallinas y se queda con 183. Cuntas gallinas
tena?
64. Un abogado dedicado a cobrar cuentas difciles cobr el 95% de una cuenta de $
23,800.00. Si el abogado cobr el 8% de lo recuperado por sus servicios,
cunto recibi el abogado? Cunto recibi el beneficiario?
65. Un agente de bienes races gana el 12% de comisin sobre la venta. Al vender
un departamento gan $ 25,800.00. Cul fue el precio de venta del
departamento?

UTILIDAD SOBRE EL COSTO Y SOBRE EL PRECIO DE VENTA

El costo de un artculo consiste de todos los gastos hechos para fabricar o
adquirir el artculo. El costo de un servicio consiste de todos los gastos hechos para
proporcionar el servicio.
Para determinar el precio de venta de un producto o servicio se aade al costo
una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operacin y tener una utilidad. Los
gastos de operacin o gastos operacionales son las cantidades pagadas por concepto
de renta, salarios, publicidad, etc. La cantidad que se suma al costo del artculo o
servicio, para cubrir los gastos de operacin y obtener una ganancia, se llama utilidad
bruta. La ganancia, esto es, la cantidad que queda despus de cubrir los gastos de
operacin se llama utilidad neta.
Esto es:
PRECIO DE VENTA = COSTO + UTILIDAD BRUTA
UTILIDAD BRUTA = GASTOS DE OPERACION + UTILIDAD NETA
Como ejemplo, considrese el siguiente: un fabricante produce un artculo que le
cuesta $ 120.00 producirlo. Estima en $ 50.00 los gastos de operacin por artculo
producido y desea obtener una utilidad neta de $ 40.00 por artculo vendido. El precio
de venta del artculo sera:
Utilidad bruta = 50 + 40 = 90
Porcentaje

123

Precio de venta = 120 + 90 = 210

Es costumbre que al fijar los precios de venta, la utilidad bruta y la utilidad neta
se den como un porcentaje en lugar de una cifra en unidades monetarias. El porcentaje
se da en funcin o del costo o del precio de venta. Sin embargo, no importa en qu est
basada la utilidad, sta siempre se suma al costo para hallar el precio de venta.
EJEMPLO 5.11
Un comerciante minorista compr cunas con un valor de $ 260.00 cada una. La
utilidad bruta para cubrir los gastos de operacin y obtener una ganancia razonable es
del 65% del costo. Cul es el precio en el que puede vender la cuna?
SOLUCIN
Utilidad bruta = 65% de 260 = 169
Precio de venta = 260 + 169 = 429
EJEMPLO 5.12
Un detallista compr un ventilador en $ 90.00. Desea aadir una utilidad bruta del
55% del precio de venta para cubrir los gastos de operacin y la utilidad neta. A qu
precio debe vender el ventilador?

SOLUCIN
Sea x = precio de venta
Utilidad bruta = 55% del precio de venta = 55% de x = 0.55 x
Por tanto:
Precio de venta = Costo + Utilidad bruta
x = 90+0.55x
x 0.55x = 90
0.45 x = 90
x = 200
EJEMPLO 5.13
Un fabricante desea producir rboles de navidad artificiales y venderlos en $
310.00 cada uno. Si aade un 70% del costo de produccin para cubrir los gastos de
operacin y la utilidad neta, cunto es lo ms que puede gastar para producir los
rboles de navidad?
SOLUCIN
En este caso la incgnita es el costo de produccin. Si x es el costo de
produccin, entonces:
Utilidad bruta = 70% de x = 0.70 x
Precio de venta = x + 0.70 x = 310
1.70 x = 310
x = 182.35
EJEMPLO 5.14
Un comerciante de artculos musicales compr 10 guitarras elctricas en $
970.00 cada una y las vendi en $ 1,746.00 cada una.
a) Cul es el porcentaje de utilidad bruta basada en el costo?
b) Cules el porcentaje de utilidad bruta basada en el precio de venta?
SOLUCIN
a)
Si x es el porcentaje basado en el costo, entonces:
Utilidad bruta = (x/100)(970) = 9.7x
Precio de venta = 970 + 9.7x = 1,746
9.7x = 776
x = 80%

Si x es el porcentaje basado en el precio de venta, entonces:

Porcentaje
Utilidad bruta = (x/100)(1,746) = 17.46x
Precio de venta = 970 + 17.46x = 1,746
17.46x = 776 x = 44.444%
EJEMPLO 5.15
Hemos visto que la utilidad bruta puede basarse en el costo o en el precio de
venta. En algunas ocasiones se necesita convertir una tasa de utilidad bruta basada en
el costo a una tasa basada en el precio de venta y viceversa.
La utilidad bruta de un artculo es 60% del costo. Cul es la utilidad bruta
basada en el precio de venta?
SOLUCIN
Hagamos que el costo sea una cantidad cualquiera, por ejemplo, $ 100.00. Entonces:
Utilidad bruta = 60% de 100 = 60
Precio de venta = 100 + 60 = 160
Sea x = porcentaje del precio de venta.
Entonces:
Utilidad bruta = (x/100)(160) = 1.60x
Por tanto:
Costo + Utilidad bruta = Precio de venta
100 + 1.60x = 160
1.60x = 160 -100 x=37.5%
Uso de la Calculadora HP
El men ALZ% C consta de las siguientes variables: COSTO, PRCIO (Precio) y
A%COS (Alza como un porcentaje del costo). Este men permite obtener el precio de
venta de un artculo o servicio como un porcentaje del costo.
A continuacin se resolver el ejemplo 5.11:

El men ALZ%P consta de las variables COSTO, PRCIO (Precio) y A%PRE

(Alza como un porcentaje del precio de venta). El men permite obtener el precio de
venta de un artculo o servicio como un porcentaje del precio de venta.

A continuacin se resolver el ejemplo 5.12:

En seguida se resolver el siguiente problema utilizando la calculadora:
Fotogrfica Rex compra cmaras para fotografa por $ 300.00 cada una con un
descuento del 12%, y se venden a $ 400.00 cada una. Cul es el porcentaje de
utilidad bruta basada en el precio de venta?
La secuencia de tecleo es:

El alza como un porcentaje del precio de venta fue de un 34%.

Ejercicios 5.2
1. Un fabricante produce biberones de plstico en $ 1.32 cada uno y aade el 40%
del costo como utilidad bruta. Determine el precio de venta.
2. El dueo de la tienda joyera y Relojera El Diamante compr un lote de relojes
en $ 195.00 cada uno. Cul ser el precio de venta de cada reloj si se desea
una utilidad bruta del 85% sobre el costo?
3. Un comerciante compr un librero en $ 235.00. Si aade el 46% del costo para
gastos de operacin y el 25% del costo para utilidad neta, cul es el precio de
venta?
4. En cunto deber vender un minorista un artculo que cost $ 1,500.00, si la
utilidad bruta deseada es el 42% basada en el precio de venta?
5. El costo de un pantaln para dama es de $ 340.00 y la utilidad bruta es del 38%
del precio de venta. Calcule el precio de venta.
6. Obtenga el precio de venta de una impresora lser, si el precio de costo es de $
4,950.00 y la utilidad bruta es del 66% del precio de venta.
7. Cul fue el precio de costo de un artculo que se vendi en $ 750.00 con una
utilidad sobre el costo del 15%?
8. Cul fue el costo de un librero que se vendi en $ 2,166.00 con el 19.6% de
utilidad bruta sobre el precio de venta?
9. Un comerciante vendi en $ 3,600.00 una mercanca de difcil salida con una
prdida del 21% sobre el precio de costo. Cul fue el precio de costo de la
mercanca?
10. El dueo de una zapatera desea comprar zapato de un modelo que se vende a
$ 135.00 el par. Cul es el precio mximo que puede pagar, si la utilidad bruta
debe ser del 42% del precio de venta?
11. Un artculo que cost $ 240.00 se vende en $ 300.00. Encuentre la utilidad bruta,
en porcentaje, basada en el precio de venta.
12. Un rifle de aire cuesta $ 410.00 y se vende en $ 807.65. Obtenga el porcentaje
de utilidad sobre el precio de venta.

13. Un cargamento de fertilizante se compra al mayoreo aun precio de $ 324.00 por

costal y se vende en $ 540.00. Encuentre el porcentaje de utilidad basada en el
costo.
14. El precio de venta de una radio-grabadora es de $ 1,440.00. Los gastos de
operacin son del 60% del costo y la utilidad neta es del 25% del costo. Cul es
el costo?
15. Un comerciante que desea aadir una calculadora, cuyo precio de venta es de $
570.00, a su lnea de artculos para oficina, encuentra que puede adquirirla en $
256.50. Le dar este precio de costo la utilidad bruta del 60% sobre el precio de
venta?
16. Una raqueta de tenis que cuesta $ 630.00 se vende en $ 840.00.
a) Cul es el porcentaje de utilidad bruta sobre el costo?
b) Cul es el porcentaje de utilidad bruta sobre el precio de venta?
17. Una mercanca que cost 40 dlares se vendi en 52 dlares. Qu porcentaje
se gan sobre el costo?
18. Humberto rehus vender su equipo de sonido cuando le ofrecieron $ 7,965.00
por l, con lo cual hubiera ganado el 22% de lo que cost. Algn tiempo despus
lo tuvo que vender en $ 7,000.00. Qu porcentaje del costo gan al hacer la
venta?
19. Un comerciante adquiere una mercanca a un costo de $ 720.00. Determine el
precio al cual debe ponerla en venta, para que, haciendo un descuento del 10%
sobre el precio de venta, obtenga una ganancia del 20% sobre el precio de
costo.
20. Antonio Rodrguez vendi dos casas en $ 820,000.00 cada una. En una perdi el
15% de su precio de venta real y en la otra gan el 17% del precio de compra
original. Gan o perdi en total, y cunto?
21. Si la utilidad bruta de un cierto artculo es del 36% del costo, determine la utilidad
bruta en funcin del precio de venta.
22. Qu porcentaje del precio de venta debiera usarse para obtener una utilidad del
25% del costo?
23. La utilidad bruta de un determinado servicio es 25% de su precio de venta. Cul
es el porcentaje de utilidad en trminos del costo?
24. La utilidad bruta al vender un televisor es 45% de su precio de venta. Calcule la
utilidad basada en el costo.
25. El dueo de una tienda de frutas y verduras compr 150 kilogramos de naranja a
$ 1.50 el kilogramo. Su utilidad bruta es del 60% del costo para la totalidad de la
compra. Por experiencia sabe que alrededor del 6% de la naranja se echar a
perder y tendr que tirarse. Qu precio por kilogramo dar la utilidad bruta
requerida?

26. Un supermercado compr 270 kilogramos de pescado a $ 22.00 el kilogramo.

Alrededor del 5% se daar antes de que se pueda vender la totalidad del
mismo. A qu precio por kilogramo se debe marcar el pescado con el fin de
obtener una utilidad bruta del 50% del costo?
27. Un restaurante adquiri 100 litros de leche a $ 3.50 el litro. Su utilidad bruta es
del 45% del precio de venta. Por experiencia se sabe que en promedio el 6% de
la leche se echar a perder. Qu precio por litro dar la utilidad bruta deseada?
28. Una pastelera recoge toda la mercanca que los comerciantes no vendan en el
plazo de una semana. El costo de produccin es de $ 55.00 por pastel. La
pastelera distribuye 1,000 pasteles a la semana y le devuelven alrededor del
8%. Qu precio debe tener cada pastel, si la utilidad bruta de la pastelera es
del 40% del precio de venta?
DESCUENTO COMERCIAL
Es usual que los fabricantes de productos y los mayoristas proporcionen a sus
clientes listas de precios propuestos para cada producto. El precio mostrado en estas
listas es el llamado precio de lista y es el precio sugerido para menudeo, esto es, el
precio de lista puede o no ser el precio final a pagar por el consumidor.
Los fabricantes y mayoristas venden sus productos a los detallistas con un
descuento basado en el precio de lista, llamado descuento comercial. El descuento
comercial es un porcentaje del precio de lista, y recibe el nombre de tasa de descuento.
El precio de lista menos el descuento comercial se llama precio neto.
Los descuentos comerciales se aplican generalmente a las ventas hechas por el
fabricante al mayorista; por el mayorista al detallista y cuando el fabricante vende
directamente al detallista. Los descuentos comerciales no se aplican a las ventas al
menudeo.
EJEMPLO 5.16
Encuentre el precio neto de una mercanca, cuyo precio de lista es de $ 478.00, si se
aplica un descuento comercial del 23%.
SOLUCIN
Descuento = 23% del precio de lista = 23% de 478 = 109.94
Precio neto = Precio de lista - Descuento
Precio neto = 478 - 109.94 = 368.06
Los descuentos comerciales pueden ser simples o en cadena. El descuento
aplicado en el ejemplo 5.16 fue un descuento comercial simple.
Es comn que sobre un precio de lista se hagan varios descuentos por diversas
razones. Por ejemplo, un fabricante que vende tanto a mayoristas como a minoristas
puede especificar que al minorista se le concede un descuento comercial del 20%,
mientras que el mayorista recibe un 10% adicional, debido al volumen de la compra.

Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuentos en cadena, en serie o

sucesivos.
Debido a que las tasas de los descuentos en cadena se aplican sobre bases
diferentes en cada etapa de la resolucin de un problema, los descuentos en cadena
nunca se deben sumar y utilizar la suma como un solo descuento.
Cuando se aplican tasas de descuento en serie, el precio de lista se multiplica
por la primera tasa de descuento y el resultado se resta del precio de lista para obtener
un residuo que se convierte en la base para la segunda tasa de descuento. Este
residuo se multiplica por la segunda tasa de descuento y el resultado se resta del
residuo para obtener un nuevo residuo que es la base para la tercera tasa de descuento
y as sucesivamente.
EJEMPLO 5.17
Un fabricante de muebles finos ofrece a un mayorista descuentos comerciales
del 30%, 15% y 8%. Encuentre el precio neto de un pedido por $ 158,340.00.
SOLUCIN
Precio de lista

=158,340.00

Descuento del 30%

= (158,340)(0.30) = 47,501

Saldo

= 158,340 - 47,501 = 110,838

Descuento del 15
Sobre el saldo

= (110,838)(0.15) = 16,625.70

Saldo nuevo

= 110,838 - 16,625.70 = 94,212.30

Descuento del 8%
Sobre el saldo

= (94,212.30)(0.08) = 7,536.98

Precio neto

= 94,212.30 - 7,536.98 = 86,675.32

Otro mtodo para hallar el precio neto en un problema donde se aplica

descuento comercial (simple o en cadena), consiste en utilizar la siguiente frmula
general:

en donde PN es el precio neto, PL es el precio de lista y dl, d2, .... d n son los
descuentos comerciales aplicados.
EJEMPLO 5.18
Resuelva el ejemplo 5.17 utilizando la ecuacin (5.1).

SOLUCIN
PN = 158,340 (1 - 0.30)(1 - 0.15)(1- 0.08)
PN = 158,340 (0.70)(0.85)(0.92)
PN = 86,675.32
EJEMPLO 5.19
El precio neto de un escritorio fue de $ 680.00 despus de habrsele descontado
el 18% y 10%. Halle el precio de lista.
SOLUCIN
Al despejar PL de la ecuacin (5.1), se tiene:
PL=PN/[(1-d)(1-d2)]
PL = 680/[(1 - 0.18)(1 - 0.10)]
PL = 680/[(0.82)(0.90)]
PL = 921.41
Ejercicios 5.3
1. Un portafolios, con precio de lista de $ 325.00, se vende con un descuento del
16'%. Encuentre el monto del descuento y el precio neto.
2. Un fabricante de artculos de plstico concede un descuento del 27% a todo
aqul que compre en grandes cantidades. Qu precio neto paga un mayorista
que compra $ 11,500.00 en mercanca?
3. El seor Arce compr por $ 2,188.75 una cmara fotogrfica cuyo precio de lista
es de $ 2,575.00. Calcule el porcentaje de descuento comercial que se le hizo.
4. Una empresa editorial fija un precio neto de $ 138.00 para un libro de lgebra.
Cul debe ser el precio de lista del libro, si la editorial concede un descuento
comercial a la librera del 30%?
5. Un comerciante compra cierta mercanca con un descuento comercial del 25%
del precio de lista y la vende a un 25% ms que el precio de lista. Cul es su
porcentaje de ganancia sobre el costo.
6. Sobre una factura de $ 36,000.00 se conceden los siguientes descuentos en
cadena: 15%, por compra al por mayor; 8%, por promocin especial y 5%, por
pago de contado. Encuentre la cantidad a pagar.
7. Cunto paga el dueo de una ferretera por 100 pinzas de presin, cuyo precio
de lista es de $ 55.00 cada pinza si se obtienen descuentos comerciales de 15%,
10% y 10%?
8. Dos compaas competidoras tienen el mismo precio de lista para un artculo.
Una de las compaas ofrece descuentos comerciales en serie de 30% y 20%; la
otra ofrece descuentos en serie de 231%, 15% y 13%.
Cul compaa le conviene ms a un comprador?

9. Un vendedor nuevo que no conoca el significado de los descuentos comerciales

en cadena que ofrece su compaa, y que son del 25% y 13%, los sum al
efectuar un descuento en su primera venta. Si la cantidad total sobre la que se
debe efectuar el descuento comercial fue de $ 95,000.00, de cunto fue el error
del vendedor?
10. Un fabricante de bicicletas desea vender su produccin de bicicletas de carreras
a un precio neto de $ 975.00 cada una. Cul debe ser el precio de lista de la
bicicleta, si el fabricante desea conceder descuentos en serie del 15% y 12%?
11. El gerente de una tienda de artculos electrnicos rebaj las videocaseteras dos
veces consecutivas, en un 10% y un 5%, y la vendi en $ 3847.50. Cul era su
precio original?
12. Un fabricante de juguetes desea vender cierto juguete a un precio neto de $
130.00 despus de descuentos del 22%,13%, y 8%. Cul debe ser el precio de
lista del juguete?
13. El precio neto de un artculo es de $ 710.60. Si se le han hecho descuentos en
serie del 15%, 12% y 5%, cul es el precio de lista?
14. *Con frecuencia resulta til conocer un descuento simple que producir el mismo
precio neto que una serie de descuentos en cadena. Este descuento nico se
conoce como tasa de descuento equivalente.
Este descuento nico puede ser aplicado cuando se utiliza la misma serie de
descuentos una y otra vez para calcular el precio neto de una lista de precios.
Hallar la tasa de descuento equivalente a la serie de descuentos del 10% y 5%.
15. Encuentre la tasa de descuento equivalente que es iguala la serie de descuentos
del 20%, 10% y 5%.
16. El jefe de compras de una tienda departamental compr 20 hornos de
microondas en $ 1,870.00 cada uno menos los descuentos en serie del 22% y
12%. Cul fue el precio neto total? Cul fue la tasa de descuento equivalente?
17. Use la tasa de descuento equivalente obtenida en el problema anterior para
comprobar el precio neto total.
18. Una factura por $ 7,500.00 est sujeta a descuentos en cadena del 8% y
3.5%. Encuentre qu descuento simple dara el mismo precio neto?
19. Los descuentos en serie concedidos en una compra fueron 14%, 12% y 6%. Si el
precio neto es de $ 24,898.72, encuentre la tasa de descuento equivalente.