Proyecto Cohete de Agua
Proyecto Cohete de Agua
Proyecto Cohete de Agua
mayo, 2016
Casa Central
Tabla de Contenidos
1 Resumen Ejecutivo
2 Alcance
3 Marco terico
3.1 Fuerzas sobre el sistema . . . . . . .
3.2 Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Arrastre . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Empuje . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Principio de Pascal . . . . . . . . . .
3.6 Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . .
3.7 Ley de Boyle-Mariotte . . . . . . . .
3.8 Regla de Simpson . . . . . . . . . . .
3.9 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Conservacin de la Energa Mecnica
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4
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6
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11
11
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13
13
14
8 Resultados
16
9 Conclusin
17
Bibliografa
19
Gestin Energtica I
Resumen Ejecutivo
Gestin Energtica I
Alcance
En esta segunda etapa del proyecto, se procede al inicio de la confeccin y materializacin del
proyecto, a saber; el diseo del cohete y del sistema electrnico que ir cohesionado a ste.
El objetivo de esta entrega es la bsqueda de un diseo ptimo, que cumpla con las especificaciones tcnicas requeridas, inyeccin de como mximo 1 litro de agua, con una presin igual a 80
[psi]. De esta manera, se establecen limitaciones tcnicas, por lo que el diseo que se pretende
conseguir, debe sacar el mximo partido a las especificaciones, un modelo aerodinmico que
contribuya a generar un desplazamiento limpio y libre de ruido.
A la hora de seleccionar tanto la botella como el tapn, se debe tener en cuenta que deben ser
lo suficientemente resistentes para aguantar los 80 [psi] sin colapsar. La fabricacin del cohete
contempla una nariz, un elemento fundamental ubicado en la parte del superior de cohete, que
tiene la misin de disminuir la fuerza de arrastre que contrarresta el empuje inicial. Otro elemento
a considerar es la inclusin de aletas, cuya importancia radica en la estabilidad que aporta al cohete.
La base de lanzamiento que se utilizar ser una base de madera, sin ngulo, de esta manera el
desplazamiento buscado ser estrictamente vertical y no ser necesario el anlisis de trayectorias
parablicas. Ser importante que el bombn con el que inyectaremos aire al cohete, posea un
marcador de presin, para que en las pruebas de lanzamiento podamos verificar que el cohete
cumpla con alcanzar en su interior la presin especificada en el proyecto, y no colapse antes, debido
a que aquello podra comprometer la integridad de las personas que se encuentren alrededor. Es
un aspecto de seguridad tambin a considerar, la inclusin de un sistema de descenso, de modo
que el cohete una vez que alcanze su altura mxima no caiga de forma violenta, lo que podra no
solo daar el propio cohete al impactar el suelo, sino tambin a personas que se encuentren cerca
de la zona de aterrizaje.
El sistema electrnico del cohete tendr por objetivo medir la altura mxima alcanzada por el
cohete de la forma ms precisa posible, y consistir en un Arduino. Adems del diseo electrnico
y el cdigo, es importante decidir de que forma se alimentar el Arduino durante el vuelo y como
guarderemos el valor de la altura mxima para posteriormente leerla, luego del aterrizaje. Por
ltimo, la incorporacin del arduino en el diseo del cohete tambin es un factor a estudiar,
puesto que su peso y ubicacin incidirn tambin en la estabilidad.
Se buscar encontrar una expresin para estimar la altura mxima que alcanza el cohete,
adems de la velocidad instantnea durante el vuelo, para lo cual usaremos conceptos estudiados
en el curso de Gestin Energtica I y otros cursos de fsica previos. Lo anterior, ser usado para
determinar cual es aproximadamente la cantidad ptima de agua que deberemos colocar en el
cohete, ya que una vez construdo con todas sus partes, sta ser una de nuestras nicas variables
sobre la que tendremos control. Nuestra meta como equipo por lo tanto, ser que el da de la
competencia, la altura que refleje nuestro sistema electrnico se acerque bastante a la magnitud
que nos entregar el medidor de altura proporcionado por nuestros profesores, adems de ser
relativamente cercana a la que estimaremos tericamente.
Quedar fuera de nuestro alcance, las condiciones climticas del da de la competencia, como
lluvia o el viento, que claramente podran generar problemas en el lanzamiento, o que haran
diferir mucho nuestras estimaciones tericas, de lo conseguido experimentalmente ese da.
Gestin Energtica I
Marco terico
La siguiente seccin pretende ser el sustento terico de los aspectos relevantes que se ha tenido en
cuenta a la hora de disear el cohete, esto incluye los conceptos utilizados para estimar la altura
mxima que alcanza el cohete, as como tambin los factores que inciden en el diseo del cohete
3.1
Las fuerzas que actan sobre nuestro sistema son las siguientes:
Empuje (A favor del movimiento)
Peso (En contra del movimiento)
Fuerza de arrastre (En contra del movimiento)
Por lo anterior, claramente se puede ver que se necesita que la fuerza de empuje supere las fuerzas
del peso y la friccin, de forma que el sistema est acelerando. Cabe destacar que el movimiento
del cohete podemos separarlo en 2 situaciones, en la primera se encuentran actuando estas 3
fuerzas, pero una vez que se acaba el agua, solo queda actuando el peso y la fuerza de arrastre,
en nuestro siguiente anlisis, nos enfocaremos en el primer instante, es decir, cuando todava hay
agua dentro de la botella.
3.2
Peso
Nos encontramos frente a un sistema de masa variable, lo que involucra que el peso estar en
funcin del tiempo. La masa del sistema podemos representarla entonces como:
Ms = ma(t) + mc
(1)
(2)
3.3
Arrastre
El arrastre es la fuerza que ejerce el fludo que acta en direccin opuesta al movimiento. Por lo
tanto, se opone a nuestro movimiento deseado, y se deber buscar minimizarla. Est fuerza se
puede representar segn la siguiente ecuacin, suponiendo un nmero de Reynolds inferior a uno
Fd =
Gestin Energtica I
a V (t)2 Af Cd
2
(3)
3.4
Empuje
(5)
2
Ahora, considerando que el sistema est acelerando, que la masa est cambiando por unidad
de tiempo, definimos M como momentum lineal, se tiene que para un instante t0 = t + dt
X
Fy = (ma(t) m0 dt + mc)
dV
dt
dV
m0 V (t)
dt
Ahora combinando (5) y (7) se puede llegar a la siguiente expresin:
X
Fy = (ma(t) + mc)
Gestin Energtica I
a V (t)2 Af Cd
dV
+
dt
2
(6)
(7)
(8)
3.5
Principio de Pascal
3.6
Ecuacin de Bernoulli
La ecuacin de Bernoulli proporciona una relacin entre la presin, la velocidad y la altura, pero
que solo es aplicable bajo ciertos supuestos. Para aplicarla a nuestro modelo, supondremos que el
flujo dentro de la botella es estacionario incomprensible y sin friccin a lo largo de una lnea de
corriente. Por lo tanto se plantea la ecuacin entre los puntos indicados con rojo en la figura 1
(9)
P : Presin
v : Velocidad
z : Altura
Considerando que el dimetro de la boquilla es mucho menor al dimetro de la botella, vamos
a despreciar la v2 , adems se despreciar la altura, ya que al ser de baja magnitud su influencia
es bastante menor en relacin a la diferencia de presiones.
s
v1 =
2 P20
Gestin Energtica I
(10)
m0 = s
2 P20 (t)
(11)
(12)
Por ltimo podemos encontrar a partir de lo anterior, una expresin para la aceleracin a(t),
combinando (8) y (12):
V (t)2 Af Cd
2 s P20 (t) a
dV
2
a(t) =
=
dt
ma(t) + mc
3.7
(13)
Ley de Boyle-Mariotte
A temperatura constante y para la misma masa de gas, las presiones son inversamente proporcionales a los volumenes (Santiago Burbano de Ercilla, 2003). Se considerar para todo efecto que
el aire es un gas ideal, por lo que podremos decir que:
Po Vo = p(t) v(t)
(14)
dp(t)
dv(t)
+ v(t)
dt
dt
(15)
Ahora combinando (12), (14) y (15), y como vr(t) = v(t) y P20 (t) = p(t)0 , podemos llegar a la
siguiente expresin:
s
dp(t)
p(t)2
2 p0 (t)
=
s
(16)
dt
Po V o
Gestin Energtica I
3.8
Regla de Simpson
Debido a la dificultad que conlleva resolver las ecuaciones diferenciales planteadas en (13) y (16),
recurriremos a simplificaciones que nos permitan obtener una estimacin de la altura mxima y
la velocidad instantnea. En particular, se utilizar la Regla de Simpson para poder obtener una
expresin para la velocidad instantnea mientras la botella aun tiene agua. La regla de Simpson
es la aproximacin que se muestra acontinuacin y es vlida para polinomios de grado menor o
igual a 3. Si bien existe el clculo del error que se genera con esta estimacin, se despreciar para
facilitar los clculos.
Z b
a
ba
f (x) dx '
[f (a) + 4 f
6
a+b
2
+ f (b)]
(17)
Como se puede ver, si aplicamos esto para la aceleracin, podeemos encontrar una expresin
para la velocidad, necesitando solo la aceleracin en 3 puntos de su trayectoria. Todo esto bajo el
supuesto que la aceleracin tiene un comportamiento de un polinomio de grado menor o igual a 3.
3.9
Estabilidad
La estabilidad de un cohete puede ser definida segn la Escuela Argentina de Modelismo Espacial
Condor (EACME) como: "Habilidad de un cohete para mantener su trayectoria de vuelo en lnea
recta contraria a la fuerza de empuje del motor". En general, existen dos variables que determinan
la estabilidad de un cohete: El centro de gravedad (CG) y el centro de presiones (CP). El centro
de presiones es el punto donde todas las fuerzas aerodinmicas se concentran, lo que significa que
la suma de todas las fuerzas aerodinmicas que actan por delante de este punto es igual a la
suma de las que actan por detrs, mientras que el centro de gravedad es el punto donde acta la
fuerza gravitacional. En general, una mayor estabilidad se lograr cuando el centro de gravedad
se encuentra por sobre el centro de presiones.
Por lo anterior, es que en el diseo del cohete incluiremos aletas, de forma de trasladar el
centro aerodinmico a el extremo inferior del cohete. Debemos considerar que mientras ms
grande sean, estarn expuestas a una magnitud mayor de fuerzas aerodinmicas, haciendo que el
efecto sobre el desplazamiento del centro aerodinmico sea mayor. Esto proporcionar al cohete
un torque aerodinmico durante el curso del vuelo, logrando la estabilidad rotacional, de modo
que el cohete vuele recto, y que pueda responder favorablemente a vientos laterales y mantener
su posicin de vuelo inicial, con esto se pretende que la trayectoria sea en todo momento vertical,
para as aprovechar al mximo la energa potencial.
3.10
Para el caso de la energa mecnica se puede concluir que, en ausencia de rozamientos y sin
intervencin de ningn trabajo externo, la suma de las energas cintica y potencial permanece
constante. Este fenmeno se conoce con el nombre de Principio de conservacin de la energa
mecnica y ser utilizado como parte del procedimiento para estimar nuestra altura mxima.
Gestin Energtica I
Se utilizar como armazn una botella de plstico de PET de 2 litros, en particular usaremos el
envase de una bebida Coca-Cola, la cual servir de tanque con la boquilla orientada hacia abajo,
haciendo de tobera, la eleccin de la botella es debido a que las de bebida estn fabricadas para
soportar mayor presin que por ejemplo las de agua.
Luego se pondr un corcho con una vlvula cromada para que pueda entrar el aire a presin con
la ayuda del bombn. En la parte inferior del cohete, habr un cilindro confeccionado del mismo
material de plstico de PET, sobre el cual se fijarn 4 aletas confeccionadas a partir de carpetas
de PVC, que como ya se detall en el marco terico, ayudan a darle estabilidad al cohete.
La nariz del cohete, que va ubicada en la parte superior estar fabricada con la parte superior
de una botella plstica de PET, a la cual se le cortar su boquilla, recordemos que la importancia
de la nariz es disminuir la fuerza de friccin.
Las dimensiones de las piezas y su ubicacin se encuentran detallas en la figura 2, que entrega
una visin global de como se estructura el cohete. Los planos detallados para cada una de las
piezas que componen el sistema se encuentran en los anexos.
Gestin Energtica I
En la parte superior del cohete, se implementar el sistema de paracadas, el cual consiste en una
bolsa de basura, cortada de forma circular, acomodada bajo la "nariz"del cohete de manera que
en la trayectoria vertical se mantenga adherido al cohete al estar bajo la accin de fuerzas de
oposicin al desplazamiento, y que se desprende de este una vez que alcanza la altura mxima y
empieza a descender, debido al cambio abrupto de direccin. Este paracadas ir amarrado con 4
hilos de propileno cada uno con una longitud de 1,02 metros, los que a su vez estarn fijados a la
botella, mientras que en su parte superior ir amarrado a la nariz dejando el espacio suficiente
para que pueda abrirse sin problemas. Si bien parece un mecanismo bastante sencillo, y la lgica
dice que debera funcionar, quedar en observacin y sujeto a mejoras, tras las primeras pruebas
de lanzamiento. En la figura 3 se puede apreciar el plano del paracadas
Gestin Energtica I
10
Sistema electrnico
6.1
Componentes
Para el sistema electrnico se utilizar un Arduino Uno, una Proto Shield y un sensor barmetrico
BMP180. El sensor es conectado y soldado a la protoshield, mientras que esta ltima se adhiere
por encima del arduino, de forma que el espacio que ocupa estos componentes no supera las
dimensiones del Arduino Uno, lo que hace bastante compacto y prctico el sistema, que se reduce
a una sola pieza ensamblada. Se analiz como alternativa el uso de un Arduino Nano con una mini
breadboard, pero esto fue descartado al no poder ensamblarse las piezas de manera compacta,
adems que el Arduino Nano no cuenta con la entrada de voltaje que usaremos de alimentacin.
Cabe destacar que la ubicacin de este sistema ser por debajo de la "nariz"del cohete, y ser
amarrado firmemente a la botella.
6.2
La mayora de los Arduinos funcionan a 5V. Independiente del modelo, todos tienen un regulador
de tensin, que bsicamente es un componente que convierte el voltaje con el que se alimenta la
placa a 5 [V], tirando por tierra el resto, o ms bien sobrecalentando nuestro Arduino, por ende,
no se recomienda usar voltajes mayores a 12 [V]. Otro aspecto a considerar son los miliamperios
por hora [mAh], que es el trmino que se utiliza para determinar la duracin de una batera. Las
mejores 3 alternativas considerando lo expuesto anteriormente son:
Batera LIPO: Funcionalmente la mejor opcin, pero demasiado cara.
Batera 9 [V]: Tiene una masa de 35 gramos
Pilas AA: Tienen una masa de 25 gramos y entregan 1.5 [V]
La diferencia entre utilizar pilas AA o una batera de 9 [V] es evidente. Una sola pila AA tiene
entre 2700-2900 [mAh], mientras que una batera de 9 [V] tiene apenas unos 300 [mAh], por lo
que para nuestro proyecto se ha decidido usar 4 pilas AA en serie, que nos entregan en total un
voltaje de 6 [V]. Estas irn en un portapilas, tal como se seana en la figura 4, y que se conectar
al Arduino por medio de un adaptador, que se seala en la figura 5.
Figura 4: Portapilas
Gestin Energtica I
11
6.3
El sensor BMP180 es un sensor baromtrico de alta precisin. Este sensor es capaz de leer presin
absoluta y temperatura. Adems, por medio de clculos matemticos, puede retornar diferencias
de alturas. Para el mejor uso de este sensor existe una librera llamada BMP180, que contiene
muchas funciones que nos sern de utilidad para programar el cdigo. Las conexiones de los pines
se encuentran descritas en el cuadro 1.
Pines BMP180
VDD
GND
SDA
SCL
Pines Arduino
3.3V
GNG
A4
A5
Gestin Energtica I
12
6.4
Los arduinos cuentan con una memoria EEPROM, es decir una memoria no voltil, que puede
almacenar datos sin perderlos una vez que se le quita la alimentacin al sistema. Esta memoria
tiene una capacidad que vara segn el modelo de la placa Arduino, que para nuestro caso, el
Arduino Uno tiene una capacidad de 1 KB. De esta forma podremos almacenar el dato de la
altura mxima que alcanza el cohete, y luego conectarlo va USB a un PC para poder leer el dato
guardado. Para el mejor uso de esta herramienta existe una librera llamada EEPROM.
6.5
Se desea encontrar la altura mxima alcanzada por el cohete, para esto se har que el sensor
nos retorne cada cierta cantidad de segundos la altura a la que se encuentra con respecto a la
posicin inicial, y guardaremos el valor mximo encontrado en la Memoria EEPROM, una vez
que se haya detectado que el cohete inici su descenso. Lo anterior, podra haberse omitido, es
decir, podramos haber almacenado en nuestra memoria cada iteracin que encuentre un nuevo
mximo de altura, sin embargo, nos parece interesante que el algoritmo detecte el momento en
que se inicia el descenso, pues esto es sumamente relevante si se desean aadir funciones extras al
Arduino, por ejemplo, que el paracaidas se accione, funcin que estar fuera del alcance de este
informe pues aun se encuentra en evaluacin. El diagrama de flujo que representa el algoritmo se
describe en la figura 7. El cdigo programado se puede encontrar en los anexos de esta entrega.
13
Para lograr esta estimacin primero se buscar encontrar el tiempo que demora el estanque
en vaciarse. Para esto, haremos uso de la ecuacin (16), fundamentada en el marco terico, y
supondremos para simplificar los clculos que p(t) = p0 (t), de esta forma la expresin se reduce.
p0 (t)
5
2
dp(t) =
Po Vo
2
dt
(18)
3
3
2
(Pf 2 Po 2 )
3
(19)
+ a(f )]
(21)
La fuerza de arrastre, que vara con la velocidad del cohete al cuadrado, se desprecia por ser
un valor muy pequeo frente a los otros (si el fludo tuviese una mayor densidad, s que sera
muy importante considerarlo). De esta manera calculamos las 3 aceleraciones en los 3 instantes
indicados por medio la relacin (13), y apoyados en las relaciones (14) y (19)
Finalmente, para obtener la altura se realizan los siguientes clculos:
1. Altura que recorre el cohete una vez que el estanque es vaciado
Einicial =
1
m v2
2
Ef inal = mgh
Ef inal = Einicial
h=
v2
2g
En donde v es la velocidad al final del vaciado, que corresponde a la velocidad inicial del
movimiento sin empuje, con solo la fuerza del peso actuando (el arrastre se despreci en los
pasos anteriores), y mg es el peso del cohete sin agua. Ntese que en este procedimiento se
aplic el principio de la conversacin de la energa mecnica.
Gestin Energtica I
14
Gestin Energtica I
t
2
+ a(f ))]2
15
t2
t
+
[a(0) 4 a
12
2
+ a(f )]
(22)
Resultados
En la siguiente figura se representa el detalle de la masa estimada que tendr nuestro cohete.
Figura 9: Datos
16
Conclusin
A lo largo del informe se desarroll el proceso de diseo y confeccin del cohete de propulsin
a chorro, de esta forma se situ la propuesta en un marco terico el cual fue direccionando
el mejor camino para la construccin del diseo ptimo bajo las condiciones dadas, considerando las especificaciones que establecen los mrgenes a los que debe ceirse el prototipo a disear.
El sistema correspondiente al cohete puede dividirse en dos partes, la primera correspondiente
a la estructura en s y de carcter constante en la trayectoria y la masa de agua utilizada como
propulsante la cual vara en el tiempo. Sobre el sistema acta la fuerza de arrastre, el peso y la
fuerza de empuje, las cuales sern los parmetros para definir la dinmica del cohete a lo largo de
su trayectoria.
Debido a que se trata de un sistema de masa variable se defini la masa en funcin del tiempo,
esto considerando la masa del sistema como toda la masa de agua menos el flujo msico x tiempo
= [kg]. En la componente de flujo msico se considera la seccin transversal de la tobera y una
velocidad relativa a un sistema de coordenadas no acelerado.
La fuerza de empuje responde a la tercera Ley de Newton, y corresponde a la reaccin causada
en respuesta a la expulsin de aire comprimido por el extremo de la botella, lo que resulta en propulsin hacia adelante del cohete, este empuje es proporcional al impulso que inicia el desplazamiento.
Tambin se consider el Principio de Pascal el cual advierte que la presin se transmite de
forma uniforme en un recipiente de paredes slidas, por lo que hay que tener precaucin en las
partes crticas de la botella, en este caso la criticidad est dado por la geometra y corresponde a
el extremo inferior por donde se expulsa el chorro de agua (tobera).
La estabilidad es otro factor que fue analizado ya que se pretende lograr una trayectoria
perfectamente vertical, para as alcanzar una altura mxima mayor, que est determinada por la
relacin entre el centro de gravedad y el centro de presiones los cuales idealmente deben coincidir.
Por otro lado se desea lograr una estabilidad rotacional de manera que el cohete pueda responder
de manera favorable a vientos laterales y mantener su trayectoria, con lo que al final de su
trayectoria el cohete apunta hacia arriba.
En el diseo como tal se utiliz una botella de plstico PET de 2 litros, cuyo extremo inferior
corresponde a la tobera sellada con un corcho y una vlvula cromada por donde se imprimir
aire a presin y por donde colapsa y expulsa el aire que desembocar en la propulsin del cohete.
Por otro lado el extremo superior de la botella se dispuso una nariz aerodinmica con el fin de
reducir el rea de contacto frontal y de esta manera la fuerza de arrastre.
Tambin se contempl en el diseo la implementacin de un paracadas hecho de un material
Gestin Energtica I
17
liviano (bolsa de basura) el cual estar adherido al cohete durante la trayectoria por la accin de
fuerzas en oposicin al movimiento y se activar al momento de cambiar de direccin de forma
abrupta cuando alcanza la altura mxima y comenzar el descenso, el cual gracias al paracadas
ser controlado. Por otro lado el sistema electrnico Arduino Uno, una Proto Shield y un sensor
baromtrico BMP180 de alta precisin acomodado de forma compacta para interferir lo menos
posible en el diseo, se ubicar bajo la nariz del cohete. El sistema arduino funciona a 5v se
decidi utilizar 4 pilas AA en serie. El algoritmo de funcionamiento del programa consiste en
que el sensor retorna la altura cada cierta cantidad de segundos guardando el mximo registrado
en la memoria EEPROM tras iniciar el descenso del cohete. Tambin se registra este valor para
nuevas funciones que podran configurarse en el arduino, como por ejemplo el accionamiento del
paracadas.
Se calcul la presin en el tiempo considerando el aire como un gas ideal. Adems dado que se
utiliza un sistema de referencias con aceleracin se asume una aceleracin como un polinomio de
orden menor o igual a 3, luego y con ayuda de mtodos de integracin como la Regla de Simpson
se encontr una expresin para la velocidad de vaciado en funcin del tiempo.
Luego para determinar la dinmica la trayectoria vertical del cohete en el tiempo se utiliz la
simplificacin de despreciar la fuerza de arrastre por ser muy pequea al compararla con las otras
fuerzas en cuestin, de este modo se obtuvieron las 3 componentes de aceleracin con lo que de la
conservacin de energa se obtuvo una expresin para la altura mxima evaluando en el tiempo
medio.
Despus de analizar los 3 casos descritos, concluimos que es muy importante la cantidad de
agua inicial en el cohete ya que la altura mxima depende de esta. Por lo tanto, ocuparemos 1
litro de agua en nuestro cohete.
Gestin Energtica I
18
Bibliografa
[1] Nuez Trejo, H. (2007) Fsica II. Un enfoque constructivista (p. 29), primera edicin,
Pearson Educacin, Mxico, DF.
[2] White, Frank M. Mecnica de Fludos Madrid: McGraw-Hill, 2008
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