Instruction manuals y educación">
Matematica 8vo Grado
Matematica 8vo Grado
Matematica 8vo Grado
Ministerio de Educacin
Viceministerio de Ciencia y Tecnologa
Ministerio de Educacin
l Plan Social Educativo Vamos a la Escuela 2009-2014 nos plantea el reto histrico de formar
ciudadanas y ciudadanos salvadoreos con juicio crtico, capacidad reflexiva e investigativa, con
habilidades y destrezas para la construccin colectiva de nuevos conocimientos, que les permitan
transformar la realidad social y valorar y proteger el medio ambiente.
Nuestros nios, nias y jvenes desempearn en el futuro un rol importante en el desarrollo cientfico,
tecnolgico y econmico del pas; para ello requieren de una formacin slida e innovadora en todas las reas
curriculares, pero sobre todo en Matemtica y en Ciencias Naturales; este proceso de formacin debe iniciarse desde
el Nivel de Parvularia, intensificndose en la Educacin Bsica y especializndose en el Nivel Medio y Superior. En la
actualidad, es innegable que el impulso y desarrollo de la Ciencia y la Tecnologa son dos aspectos determinantes en el
desarrollo econmico, social y humano de un pas.
Para responder a este contexto, en el Viceministerio de Ciencia y Tecnologa se han diseado materiales de
autoformacin e innovacin docente para las disciplinas de Matemtica y Ciencias Naturales, para los Niveles de
Parvularia, Educacin Bsica y Educacin Media. El propsito de stos materiales es orientar al cuerpo docente para
fundamentar mejor su prctica profesional, tanto en dominio de contenidos, como tambin en la implementacin de
metodologas y tcnicas que permitan la innovacin pedaggica, la indagacin cientfica-escolar y sobre todo una
construccin social del conocimiento, bajo el enfoque de Ciencia, Tecnologa e Innovacin (CTI), en aras de mejorar la
calidad de la educacin.
Los materiales, son para el equipo docente, para su profesionalizacin y autoformacin permanente que le
permita un buen dominio de las disciplinas que ensea. Los contenidos que se desarrollan en estos cuadernillos, han
sido cuidadosamente seleccionados por su importancia pedaggica y por su riqueza cientfica. Es por eso que para el
estudio de las lecciones incluidas en estos materiales, se requiere rigurosidad, creatividad, deseo y compromiso de
innovar la prctica docente en el aula. Con el estudio de las lecciones (de manera individual o en equipo de docentes),
se pueden derivar diversas sesiones de trabajo con el estudiantado para orientar el conocimiento de los temas clave o
pivotes que son el fundamento de la alfabetizacin cientfica en Matemtica y Ciencias Naturales.
La enseanza de las Ciencias Naturales y la Matemtica debe despertar la creatividad, siendo divertida,
provocadora del pensamiento crtico y divergente, debe ilusionar a los nios y nias con la posibilidad de conocer y
comprender mejor la naturaleza y sus leyes. La indagacin en Ciencias Naturales y la resolucin de problemas en
Matemtica son enfoques que promueven la diversidad de secuencias didcticas y la realizacin de actividades de
diferentes niveles cognitivos.
Esperamos que estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente establezcan nuevos caminos para la
enseanza y aprendizaje de las Ciencias Naturales y Matemtica, fundamentando de una mejor manera nuestra
prctica docente. Tambin esperamos que el contenido de estos materiales nos rete a aspirar a mejores niveles de
rendimiento acadmico y de calidad educativa, en la comunidad educativa, como en nuestro pas en general.
Apreciable docente, ponemos en sus manos estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente,
porque sabemos que est en sus manos la posibilidad y la enorme responsabilidad de mejorar el desempeo
acadmico estudiantil, a travs del desarrollo curricular en general, y particularmente de las Ciencias Naturales y
Matemtica.
ndice
I Parte
Presentacin...
La resolucin de problemas.....
11
14
II Parte
Nmeros Irracionales...
19
37
53
68
84
98
113
131
147
Ecuaciones lineales...................
164
Primera parte
Presentacin
1. Un tema pivote es un contenido curricular clave, se considera que si los docentes manejan adecuadamente dichos temas, podr
desarrollar otros contenidos con facilidad y aplicar de forma ms pertinente el conocimiento a la realidad en que se desarrolla el
proceso de enseanza aprendizaje; por otra parte podr seleccionar qu contenidos del programa desarrollar y en qu orden, de
acuerdo a las necesidades e intereses del grupo de alumnos.
2
3
George Plya (1887-1985), Matemtico Hngaro, How to solve it, Pricenton University Press.
New York: Academic Pres.
10
11
12
y toda la informacin relevante que se establece como marco de referencia de los tpicos a
estudiar.
l. Desarrollo de la leccin. Se presenta una secuencia de actividades donde se muestran
ejercicios y aplicaciones que explican de forma detallada los objetivos, materiales a utilizar y
procesos que se van a seguir. Las actividades propuestas tienen la cualidad de ser de
carcter interesante e innovador, buscan relacionar aspectos tericos, histricos y cientficos
con algoritmos matemticos. Las actividades estn encaminadas a forjar ideas que
construyan la comprensin, el anlisis y la resolucin de problemas como eje fundamental.
m. Gua de ejercicios y aplicaciones. Hay que hacer una valorizacin importante en este
apartado, la gua est integrada por ejercicios, problemas o una integracin de ejercicios y
problemas. Esta gua pretende fortalecer los conocimientos y habilidades tanto en docentes
como en estudiantes, as tambin, brindar un punto de partida hacia el estudio de nuevas
temticas.
n. Referencias bibliogrficas. Se hacen referencias a texto, videos y otros materiales para que
cada docente pueda consultar y profundizar su conocimiento.
b.
c.
d.
e.
El material ha sido elaborado pensando en primer lugar, en cada docente, en consecuencia, los
conceptos y procesos que se incluyen presentan un nivel de complejidad adecuado para la misma
persona docente, quien tendr que dosificar la informacin y utilizar algunas de las actividades
que se muestran en la leccin para hacer que el estudiantado comprenda la temtica.
La historia de la matemtica es un elemento enriquecedor que favorece el desarrollo de la leccin
brindando el ingrediente motivacin, adems orienta al lector acerca de los fundamentos que
dieron lugar a la concrecin de un tema especfico.
Posteriormente, es indispensable verificar los conocimientos del estudiantado mediante un
diagnstico, para corroborar si cumple o no con los presaberes necesarios para comprender la
temtica, considerando que algunas temticas pueden ser abordadas de diversas formas.
Las actividades contenidas en cada una de las lecciones, muestran situaciones de aprendizaje
donde el estudiantado en conjunto con su docente construyen conocimientos y resuelven
problemas siguiendo una secuencia de pasos inspirados en el proceso de resolucin de problemas
de G. Polya. Los procesos que se describen no son arbitrarios, nicamente se muestra una opcin,
tanto docentes como estudiantes pueden proponer otras estrategias de abordaje de problemas y
de desarrollo de las actividades.
El cuadernillo de Autoformacin e Innovacin Docente, puede utilizarse adems como gua para el
desarrollo de una clase, puesto que posee elementos que orientan la utilizacin del mismo, as
tambin, describe los materiales y procesos que se han de realizarse durante la clase.
13
LECCIN 1
Nmeros irracionales.
LECCIN 2
Justificacin
La enseanza de
irracionales ha
desde puntos de
ciales, mostrando
los nmeros
sido tratada
vista superfide estos ni-
camente la escritura ( 2, 5)
y simbologas matemticas que
indican algunos nmeros irracionales relevantes, entre estos:
LECCIN 3
estos nmeros han sido relegados en la educacin sin considerar la riqueza conceptual y didctica que otorgan para el desarrollo de sesiones (clases) interesantes, relevantes, y que
motiven al estudiantado a investigar ms acerca de la temtica.
Justificacin
Es necesario mostrar que los
nmeros reales estn conformados por la unin de nmeros
racionales e irracionales. El
conjunto de nmeros irracionales se integra por nmeros decimales infinitos no peridicos.
Toda aproximacin de estas
cantidades conlleva a resultados
errneos en operaciones bsicas.
14
de forma anloga a las operaciones bsicas de expresiones algebraicas en las que se reducen
trminos semejantes, y las operaciones que no poseen trminos
semejantes se indican mediante
expresiones algebraicas con dos
o ms trminos.
LECCIN 4
Justificacin
Comprender la multiplicacin y
divisin de polinomios, facilitar
en gran medida el aprendizaje de
la factorizacin, pero, esto no
garantiza que se entienda con
claridad el Por qu? De la factorizacin. Para lograr este come-
LECCIN 5
LECCIN 6
Unidad 4. Aprendamos a
factorizar.
Justificacin
Para el enriquecimiento de la
temtica, se recomienda visualizar la factorizacin desde un
punto de vista donde esta no se
separe en casos. La divisin de la
factorizacin en casos de factoreo facilita la comprensin de
esta, seccionando y mostrando
paulatinamente diversas formas
de factorizar donde el polinomio
15
LECCIN 7
Unidad 3: Midamos y
construyamos tringulos.
Justificacin
En los libros de texto utilizado
por docentes y el programa de
estudio de octavo grado, se
introduce el tema de congruencia de tringulos, guardando
poca consideracin a la forma-
LECCIN 8
Teorema de Pitgoras.
Unidad 3: Midamos y
construyamos tringulos.
Justificacin
El teorema de Pitgoras es
considerada una herramienta
muy utilizada en la resolucin de
problemas relacionados con
algebra y geometra, pero, en el
saln de clases no se comenta el
LECCIN 9
Justificacin
El programa de estudio de
octavo grado propone que el
estudiantado alcance dentro de
16
LECCIN 10
de
superficies
soluciona
problemas que invitan a utilizar
conocimientos previos y a deducir procesos que orienten a la
obtencin de resultados.
Ecuaciones lineales
Justificacin
En el programa de estudio de
octavo grado de educacin bsica y en libros de texto de usados por docentes, se evidencia
que el abordaje de las ecuaciones
lineales se realiza implementando procesos algebraicos y
operaciones bsicas con expresiones algebraicas. Se muestran
diversas representaciones de
ecuaciones lineales entre estas:
ecuaciones enteras, fraccionarias
con denominadores monomios y
denominadores polinomios y
tcnicas de resolucin.
Se propone estudiar la resolucin de problemas, donde se
17
Segunda parte
Lecciones
Contenidos trabajados con enfoque CTI.
18
Leccin 1
8 grado
Unidad 1
Implementar
elementos
geomtricos en la construccin de
nmeros irracionales.
Generar
aproximaciones
decimales de los nmeros
irracionales mediante sucesiones
de Cauchy y el binomio de
Newton.
Presaberes
Propiedades de exponentes y
19
radicales.
La diagonal de un rectngulo
MNOP, es igual a la raz cuadrada
de la suma de los cuadrados de
las longitudes y .
2 = 2 + 2
Figura 3. Diagonal del rectngulo.
2 + 2
2 + 2
12 + 12
Por lo que:
= 2
20
Los pitagricos se enfrentaron con un nuevo nmero que se opona a toda racionalidad explicada
con nmeros enteros. A este nmero se le llam irracional7.
DEFINICIN
Nmero irracional es toda representacin decimal infinita no peridica, que no puede expresarse
de la forma , para 0.
La definicin anterior describe las caractersticas que cumplen algunos nmeros para ser
clasificados como irracionales. Resulta necesario mencionar que los nmeros irracionales fueron
utilizados en otras pocas, anteriores al descubrimiento de la irracionalidad de raz de dos, la
diferencia reside en la actitud de los antiguos griegos que los orient a demostrar tal irracionalidad.
En matemtica es necesario demostrar la veracidad de las definiciones y teoremas, por ello se
utilizan diversos mtodos de demostracin entre los cuales se mencionan: induccin, deduccin,
mtodo directo y reduccin al absurdo.
A continuacin se demuestra la irracionalidad de 2, publicada por Euclides en su libro Los
elementos tres siglos despus del descubrimiento de raz de dos. En dicha demostracin se aplica
el mtodo de reduccin al absurdo (reductio ad absurdum8).
Teorema: Raz de dos es irracional.
2=
y son dos nmeros enteros cuyo mximo comn divisor es 1, es decir, no tienen factores
comunes y por ello son considerados primos relativos9.
6 Para indicar que algo se puede medir, cabe optar entre el adjetivo regular medible y el cultismo mensurable (del latn mensurabilis), se
indica lo contrario, ubicando la palabra no, as no mensurable se refiere a no medible o inmedible.
7 Todo nmero que no es racional, entra en la categora del conjunto de nmeros irracionales, algunos libros indican este conjunto
mediante el smbolo , y otros lo consideran como complemento del conjunto racional con el smbolo .
8 La tcnica de argumentacin conocida como Reductio ad Absurdum est estrechamente ligada al concepto de validez deductiva. De
acuerdo con una definicin corriente de argumento vlido, es aquel donde resulta imposible que las premisas sean verdaderas y la
conclusin falsa. Esto implica: si la conclusin es falsa entonces o no se trata de un argumento vlido o al menos una de las premisas es
falsa. Tomado de: La lgica de la filosofa. (s.f.). Recuperado agosto 19, 2011, a partir de http://lalogicadelafilosofia.blogspot.com/
9 Dos nmeros naturales se llaman primos relativos si el mximo comn divisor entre ellos es 1. Los nmeros 9 y 14 son primos relativos
ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el mximo comn divisor es 1.
21
Si a cada expresin en ambos extremos de la igualdad se le asigna exponente dos se tiene que:
2
2
2 =
2
2
2
2
2
2
1 2
= 22
2
) =
= 22
= 21
=2
1 =
2
2
2
2
2
.
2
2 2
2
2
2
2
2 = 2
2 2 =
2
= 22 = 0 = 1
2
Por lo que 2 debe ser mltiplo de 2, esto implica que tambin es mltiplo de 2, es decir = 2.
El valor 2 se sustituye en la posicin de en la expresin 2 2 = 2 .
2 2 = 2)2
Por lo que:
2 2 = 22 2
) =
Dividir ambos extremos de la igualdad entre 2 y simplificar la expresin:
2 2 22 2
=
2
2
2 2 22 2
=
2
2
2 = 2 2
=
2 2 = 2
22
los dos son mltiplos de 2, por lo que su MCD debe ser al menos 2. Esta es la contradiccin que se
buscaba, en consecuencia 2 es irracional.
Si 2 es irracional, se necesita un mtodo que facilite la obtencin de cifras decimales y optar por la
mejor aproximacin decimal. Es indispensable recordar que la aproximacin muestra una posible
ubicacin de este nmero sobre la recta numrica, pero dicha aproximacin posee un rango de
error en comparacin a la inconmensurabilidad de cifras decimales de 2.
Han sido muchos los esfuerzos por determinar un algoritmo que permita obtener una aproximacin
decimal de raz de dos. Uno de los resultados se deduce del teorema del binomio de Newton.
En el transcurso de la formacin acadmica y docente, se estudian expresiones de la forma:
+ )2 , + )3 , generalizando con la expresin + ) .
Newton desarroll un algoritmo que permite aproximar el irracional raz de dos mediante la
expansin del binomio 1 + ) , cuya demostracin ser omitida debido a la aplicacin de anlisis
matemtico y clculo diferencial, pero en la bibliografa de esta leccin se ofrece un enlace web que
llevar al hbil lector o lectora a dicha demostracin. Antes de utilizar el algoritmo se recomienda
recordar las siguientes propiedades de exponentes y radicales.
1. =
2. 2 =
2
1 ) = 1 + +
+
1
2
3 +
3) 2)
Tomado del libro Viaje a travs de los genios de William Dunham, Editorial Pirmide. Ver extracto en: Demostracin del binomio de
Newton. Tomado de: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html
10
23
Anlisis de la frmula:
La frmula del binomio de Newton se aplica para la suma de dos cantidades, una de ellas 1
(constante) y la otra, q (variable) donde el valor de q pertenece al conjunto de nmeros racionales
( ). Observar que el exponente del binomio (1 + ), es
con 0.
La expansin del binomio inicia con el nmero 1, a esta cantidad se adiciona el exponente de la
1 ,
Quinto trmino:
1
2
3
3)(2)
1
2
4) 3)(2)
Considerar que el nmero 2, equivale a la expresin exponencial 2)2 . Adems, el nmero 2 puede
representarse como la suma o resta de dos cantidades.
1 + 1 = 2; 1 1) = 2
Sustituyendo esta informacin en la forma general del algoritmo se tiene:
1 1
1 1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1 + 1)2 1 + 1 +
1 +
13
2
2
3) 2)
Para facilitar el clculo de la expresin, es necesario simplificarla. En el segundo trmino de la
expansin se observa a
1
2
24
1+
1
1)2
1
1
1
2
1
2
1+ +
+ 2
2
2
1
2
3) 2)
1
1
1=
2
2
1
3
2=
2
2
3
2
b) Productos indicados.
1+
1
1)2
1 3
1 4 8
1+ +
+
2
2
6
1
2
1
2
1
11
1
=
=
2
4
4
1
3
113 3
=
=
2
2
222 8
c) Efectuar divisiones.
1
1 1 3
1 + 1)2 1 + +
2 8 48
1 + 1)2
25
15
Los trminos 1, 2 , 8 , 48 , 384 , pertenecen a una sucesin de infinitos trminos para los
que la distancia entre dos trminos cualesquiera, ser cada vez menor. La suma de estos
infinitos trminos converge en un valor que corresponde al irracional 2, cuya
aproximacin decimal a 70 posiciones decimales es:
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462.
Este tipo de sucesiones, que cumple con las caractersticas descritas, son conocidas con el
nombre de sucesiones de Cauchy.
APROXIMACIN DE RAZ DE DOS MEDIANTE SUCESIONES DE CAUCHY Y EL BINOMIO DE NEWTON
Con ayuda del binomio de Newton, se identifican los trminos de la sucesin. La suma de estos
trminos se acerca a 2, a continuacin se propone un esquema grfico que permite apreciar el
acercamiento segn el nmero de trminos que se suman de la sucesin.
En una consideracin inicial, se sostiene que 2 est comprendido entre 1 y 2 (entre dos nmeros
racionales). Para el primer trmino obtenido del desarrollo del binomio de Newton la aproximacin
de raz de dos se encuentra en el extremo inferior (1).
Sumando dos trminos de la sucesin de Cauchy 1 +
1
2
este momento 2 se encuentra entre 1 y 1.5. Ahora bien, si se suman tres trminos de la sucesin
1
26
DESARROLLO DE LA LECCIN
A continuacin se plantea un conjunto de actividades por desarrollar con el estudiantado. Dichas
actividades facilitarn la introduccin y desarrollo del tema en el saln de clases. En estas se
presentan ejemplos, problemas de aplicacin que involucran los nmeros irracionales.
Actividad 1. Antes de iniciar.
Objetivo: Explorar los conocimientos previos del grupo de estudiantes para tener un panorama
inicial y orientar la temtica a la obtencin de buenos y mejores resultados.
1. Cuntas veces contiene la longitud a la unidad u de la figura 5?
2, 2;
2
;
3
7
;
4
6
7
3;
2
3
1
2
; 1 + 2 8; 1.73; 3.14
3. Aplica propiedades de los exponentes y radicales para realizar las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
1 2
2
1
2
1
1
2
3 3
4
2
1
2
=
2
4
3
d)
5)8
27
Una
decena
Dos
unidades
Un
dcimo
Dos
centsimos
Cinco
milsimos
seis
diezmilsimos
ocho
cienmilsimos
Decenas
Unidades
Punto
decimal
Punto
decimal
Dcimos
Centsimos
Milsimos
Diezmilsimos
Cienmilsimos
2
100
= 0.02.
Y con 20/1000?
La posicin para 20 milsimas, es equivalente a decir que 0 se encuentra en la posicin de las
milsimas y 2 en la posicin de las centsimas. Observar la tabla 2:
Tabla 2. Posicin decimal de 0.020
Cero decenas
Cero unidades
Punto
decimal
Dcimos
Dos centsimos
Cero
milsimos
Decenas
Unidades
Punto
decimal
Dcimos
Centsimos
Milsimos
28
2
100
20
,
1000
son fracciones
20
2 10
2
10
2
=
=
=
1000 100 10 100 10 100
20
3 25
,
5 20
Al observar los denominadores de las fracciones se identifica que estas no poseen denominador con
potencia 10. Qu haras para que las fracciones tengan potencias de base 10?
1
2
Si en lugar de multiplicar el numerador y denominador de 2, por 5, este fuese multiplicado por 50,
se tiene:
1 1 50
50
=
=
2 2 50 100
Donde, 0 corresponde a la posicin de las centsimas y 5 en las dcimas; la expresin decimal
resultante es 0.50, adems 0.5 =0.50.
3
25
.
20
Solucin
3
5
32
= 52 = 10 = 0.6
25
20
255
125
= 205 = 100
29
PRCTICA
Convierte la fraccin decimal
45
250
a nmero decimal.
Tomar el denominador (250), y determinar el nmero que se debe multiplicar para obtener una
potencia de base 10. La potencia de base 10 ms cercana a 250 es 1000, que se obtiene al
multiplicar 250 4, por lo que, el numerador y el denominador de la fraccin tendrn que
multiplicarse por 4.
45
45 4
180
=
=
250 250 4 1000
La expresin decimal corresponde a ciento ochenta milsimos, observa la tabla 3, para orientar la
ubicacin de las cifras decimales:
Tabla 3. Ciento ochenta milsimos
0
Decenas
Unidades
Punto
decimal
Dcimos
Centsimos
Milsimos
180
18
100
= 0.18.
Resuelve
180
18
1. Observa que las fracciones 1000 = 100 , mencionar por qu son equivalentes?
2. Utiliza tu ingenio y formula una estrategia que te permita convertir un nmero decimal a
fraccin decimal. Simplificar las fracciones si es necesario.
3. Formular y argumentar un proceso que permita identificar si las expresiones: 0.025;
2500
,
100000
son equivalentes.
4
10
1
100
4
1000
4
.
10000
30
25
1
;
1000 40
1
3
1
15
1
30
En la fraccin
1
3
=0.33333333333333333333
1
3
6
,
7
8
,
9
30
,
45
2
,
6
97
,
30
45
250
34. 09343434343434
0,193650278443757
2.4554455445544554
0,101001000100001
3.141592653589793
2.718281828459045
1.618033988749...
A las expresiones decimales que no pueden representarse de la forma , se les llama irracionales.
Los nmeros irracionales se indican de forma aproximada mediante una expresin con punto
decimal.
31
32
Invitar al grupo de estudiantes a descubrir la relacin que existe entre el cuadrado exterior y el
cuadrado interior. Para facilitar la interpretacin, posicionar en la pizarra una ilustracin similar a
la que se muestra en la Figura 7.
Propuestas de solucin
1. Mtodo algebraico.
Despus de analizar la figura, enunciar los
elementos que se conocen de ella y los que
no se conocen.
implica que = .
De forma anloga se prosigue con el segmento
33
2 2
+
4
4
2 + 2
4
22
4
+
+ =
22
22
=
4
4
2 2
=
4
Extraer raz cuadrada a los cuadrados perfectos.
=
2
2
Si se efecta el proceso anterior para
determinar la diagonal de los tringulos ,
, . Qu resultado se obtiene?
En efecto, la longitud de las diagonales , ,
, coincide con , por lo que:
=== y MNOP es un cuadrado.
Hasta este momento se ha demostrado que la
figura inscrita es un cuadrado. Pero, qu
relacin tienen?
Posiblemente sea que ambos son cuadrados.
Podra existir otra relacin?
Ser la longitud de sus lados?
O la superficie? En efecto, se podra plantear la
pregunta Qu relacin existe entre las
2, la superficie se determina de la
forma siguiente:
2
2
2
2
2 =
2
2
2 2
El orden de los factores no altera el producto.
1 2
2
2
2 =
2)
= = 2 =
4
2 =
2
.
2
2. Mtodo aritmtico.
El mtodo aritmtico se realiza de forma anloga al algebraico, la diferencia reside en que la
longitud de los lados del cuadrado estar determinada por un nmero entero cualquiera, del
cual se deduce la relacin entre el cuadrado ABCD y el cuadrado MNOP.
Mostrar al estudiantado el algoritmo de Newton para determinar cifras decimales de
proponer solucin para 3 y 5.
34
2, y
GUA DE PROBLEMAS
Problema 1
Sea un cuadrado de 20 cm de lado. Se sabe que , , y
estn divididos en cuatro partes iguales.
a) Comprobar que el permetro del cuadrado negro es el doble
del permetro del cuadrado gris.
b) El valor que representa el permetro de cada uno de los
cuadrados, Es un nmero natural? Es irracional?
Resuelve
Utiliza el teorema de Pitgoras para identificar las longitudes de los catetos, procurando que la
hipotenusa tenga un valor equivalente a:
3,
7,
15
Mediante el binomio de Newton, aproxima los radicales anteriores mediante notacin decimal.
Investiga
Argumenta por qu son necesarios los nmeros irracionales e investiga los nmeros irracionales
que son identificables en la actividad cotidiana del ser humano.
Analiza aspectos histricos que influyen a que el hombre defina el conjunto de los nmeros
irracionales.
35
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Dunham W. (1993), Viaje a travs de los genios. Editorial Pirmide.
2. Kline M. (1992), El pensamiento matemtico de la antigedad a nuestros das. Editorial
Alianza.
3. Flores Gil F. (2001), Historia y Didctica de los nmeros racionales e irracionales, Ittakus.
4. Nez Cabello R. (2007), Nmeros racionales e introduccin de los nmeros irracionales,
Ittakus.
5. Demostracin del binomio de Newton. Tomado de:
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.html
36
Leccin 2
8 grado
Unidad 1
la
Presaberes
Propiedades de exponentes y
radicales.
Leonhard Euler.
El valor de , se evidencia desde civilizaciones antiguas, quienes
emprendieron un viaje incansable hacia la determinacin de los
decimales de .
El primer valor asignado a se le atribuye a los babilonios
quienes aproximaron la longitud L de una circunferencia
mediante 6r que es el permetro del hexgono regular inscrito,
de esta relacin se tiene que:
6 = 2
Si la expresin se divide entre 2 en ambos extremos de la
igualdad y luego se efectan las operaciones indicadas, se
obtiene el resultado:
6 2
=
2
2
3=
Esta primera aproximacin, no hace referencia a la
irracionalidad de , y fue considerada verdadera por miles de
aos, hasta que lleg a manos de Arqumedes, quien determin
una aproximacin ms exacta de . Para lograr tal hazaa, el
plan de ataque de Arqumedes fue utilizar polgonos regulares
inscritos10 y circunscritos11, considerando como elemento clave
los permetros de estos. Arqumedes saba perfectamente que
cada lado del hexgono era igual al radio, de longitud r, del
crculo. Por consiguiente,
permetro del crculo
=
dimetro del crculo
Por lo que,
permetro del hexgono 6
>
=
=3
dimetro del crculo
2
Obteniendo as, el mismo resultado conocido por los
babilonios aos atrs.
El conjunto de nmeros enteros es integrado por los nmeros naturales, tambin llamados enteros positivos, unidos con los
enteros negativos incluyendo el cero. Cero es el nico nmero que no tiene signo.
= ( 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, )
10. Polgono dibujado dentro de un crculo, siendo cada vrtice del polgono tangente del crculo.
11. Polgono dibujado fuera de un crculo, siendo cada lado del polgono tangente del crculo.
38
Calculando
inscritos y
aproximan
permetros
(figura 5).
39
APROXIMACIN DECIMAL DE
1)
2+1
1)k
=4
k=0
1
2k + 1
Ilustracin de odmetro.
40
Cuntas revoluciones
El odmetro de la Figura 6, muestra el total de metros recorridos por un automvil. Puede
determinar el nmero de revoluciones de la rueda trasera del auto para recorrer tal distancia, si
esta mide 50 cm de dimetro? Y si mide 60? 70?
Figura 6. Odmetro.
100
151,517
Por lo que:
151,517 100
1
= 151 151,700
=
41
EL RECTNGULO UREO
Imagnese que hubiera un nmero que dominara la naturaleza? Alguna vez ha pensado en algn
patrn matemtico por el cul se rigiesen la msica, las creaciones de los pintores, las
construcciones de edificios, la dinmica de los agujeros negros, la estructura microscpica de
algunos cristales y muchas cosas ms? Ese patrn, ese nmero, es el Nmero de Oro, ureo o
simplemente fi, conocido por muchos como la divina proporcin. Cuando hablamos de la belleza de
la matemtica, podemos referirnos a la belleza artstica que posee un rectngulo en particular, este
rectngulo es llamado rectngulo ureo.
El rectngulo de oro, debe su belleza al nmero ureo, tambin conocido como nmero de oro, que
se representa mediante la letra griega (phi) en honor al escultor griego Fidias, maestro de las
proporciones. El nmero resulta de dividir el largo sobre el ancho del rectngulo. La importancia
de este nmero se debe a que es comn identificarlo en la naturaleza (plantas y animales) en
pinturas, esculturas, y en construcciones arquitectnicas de gran esttica. Algunos ejemplos son: el
Partenn de Atenas, La Gioconda de Leonardo da Vinci, Semitaza gigante volando de Salvador Dal.
(Figura 7).
42
Comps.
Cartel cuadriculado.
Regla graduada
centmetros.
en
milmetros
= = = = 1 .
2. Marcar el punto medio de , llamar a este
punto M. Si = 1, entonces:
1
= = 2.
3. Unir el punto M con el vrtice C. El
segmento es radio de la circunferencia
que pasa por C y corta la prolongacin de
en el punto P. (Figura 14).
43
Cul es la longitud de ?
es uno de los lados del tringulo rectngulo
, para determinar la longitud de MC, es
necesario aplicar el teorema de Pitgoras.
5
2
1
2
y =
= = 1
1
5
+
2
2
1+ 5
=
2
1
2
, entonces:
5
2
En consecuencia:
+ 12
1
+1=
4
1+4
=
4
5
=
=
2
4
44
5
4
Aproximacin decimal de .
= 1.618033988749894848204586834365
EL NMERO e
El smbolo e fue utilizado por primera vez en matemtica en 1618, en un apndice del trabajo de
Napier sobre logaritmos, en la tabla aparecan logaritmos naturales de varios nmeros; sin
embargo, no se reconoci que estos fueran logaritmos de base e. La primera aproximacin decimal
de e, fue en 1683, cuando Jacobo Bernouilli examin el problema del inters compuesto y durante
1
en
el
nmero
irracional
e,
cuya
para n con
aproximacin
es:
12. Introductio in analysin infinitorum (Introduccin al Anlisis del Infinito) es una obra en dos volmenes por Leonhard Euler, que
establece las bases del anlisis matemtico. Publicado en 1748, la Introductio contiene 18 captulos en la primera parte y 22
captulos en la segunda.
13. La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida
nicamente a la fuerza de la gravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales est
determinada por las coordenadas de sus extremos 0 , 0 ), (1 , 1 ) y por su longitud L.
45
Figura 10. El nmero e en nuestro entorno, en las catenarias de los cables de tendido elctrico, y en biologa mediante el
estudio de crecimientos en el cultivo de bacterias.
Inters (5%)
100 0.05 = 5
La tasa de inters al 5% indica que de cada 100 unidades se tomaran 5; de este modo, si el monto
inicial corresponde a 100, este ser dividido en 100 partes iguales, cada una de estas partes es 1,
por lo que, si se toman 5 de ellas, se tienen 5 partes iguales correspondientes a 5 US$.
Otra forma de realizar el clculo es, recordando que la expresin 5%, expresa la fraccin decimal
5
,
100
para convertir esta fraccin a notacin decimal, se identifica que el nmero 5 corresponde a la
5
posicin de las centsimas, y en la posicion de las dcimas se ubica cero, por lo que: 100 = 0.05.
A continuacin el monto inicial se multiplica por el inters aplicado, resulta: 100 0.05 = 5.
46
En la casilla de la derecha, se ubica la cantidad de dinero final que se tiene al cabo de un ao, lo que
indica que, al monto inicial (US$ 100) se agrega el inters acumulado durante el ao (US$ 5), en
consecuencia: US$ 100 + US$ 5 = US$ 105
Si en lugar de aplicar el inters al finalizar un ao, este es aplicado cada tres meses cunto dinero
se tiene al cabo de un ao? (Tabla 2)
El inters es aplicado al final de cada tres meses, por lo que en un ao, se completan cuatro
periodos de tres meses.
Tabla 2. Inters compuesto
Periodo
Monto
Inters*
Cantidad al final de
cada periodo
100 US$
1.25 US$
101.25 US$
101.25 US$
1.26 US$**
102.51 US$
102.51 US$
1.28 US$
103.79 US$
103.79 US$
1.30 US$
105.09 US$
*Debido a que el inters es aplicado cada tres meses, se divide este en 4 partes, una por cada periodo, de este modo, si el
interes es del 5% (0.05), al dividirse en 4 partes, se tiene que:
0.05
4
**Utilizar las aproximaciones a cifras decimales, recordar que, si te posicionas en la segunda cifra decimal y la cifra que le
sigue es mayor que 5, entonces la cifra actual aumenta en una unidad, si la siguiente cifra es igual a 5, entonces aumenta
solo si la cifra actual es impar, y si la siguiente cifra es menor que cinco, entonces la cifra actual no vara.
47
Actividad 4. Aproximacin de e.
Objetivo: Proponer algoritmo matemtico que brinde una aproximacin decimal de e.
Indicaciones
Para el desarrollo de la actividad se utilizarn procesos tratados en la actividad 3, explicando al
estudiantado que una de las aplicaciones evidente de e, es visto en economa.
Para la aproximacin de e, se estudia una situacin ficticia en la que supondremos que, en un banco
cualquiera se deposita 1 dlar con una tasa de inters al 100%. Partiendo de este hecho ficticio,
desarrollaremos los siguientes anlisis.
i) Considerando que el inters es del 100%, para un monto inicial de 1 US$, al cabo de 1 ao la
cantidad se duplica.
ii) El 100% en notacin fraccionaria se expresa como
100
,
100
Periodo
1
Monto inicial
1 US$
Inters (100%)
1 US$
Cantidad final
2 US$
Forma general
1 + 1)1
Situacin 2: Se deposita en el banco 1 US$, con una tasa de inters del 100% anual aplicable cada 6
meses.
Tabla 4. Inters semestral
Periodo
Monto inicial
1 US$
1.5 US$
Inters (100%)
Cantidad final
1 0.5 = 0.5
1.5 US$
2.25 US$
Forma general*
1+
1 1
2
1
1+
2
1
1+
2
+ 1+
2
1
2
1
1
= 1+
2
2
1+
1
2
* Para determinar la forma general, se utiliza la factorizacin de polinomios mediante el anlisis de sus factores comunes.
Situacin 3: Se deposita en el banco US$ 1, con una tasa de inters del 100% anual, aplicable cada
cuatro meses.
48
Periodo
Monto inicial
Inters (100%)
Cantidad
final
1 US$
1 0.33333 = 0.33333
1.33333
US$
1.33333 US$
1.33333 0.33333
= 0.44444
1.77777 US$
1.77777 US$
1.77777 0.33333
= 0.59258
2.37035 US$
Forma general
1+
1 1
3
1
1+
3
1
1+
3
1
1+
3
1
1+
3
+ 1+
1
3
+ 1+
1
3
1
1
= 1+
3
3
1
1
= 1+
3
3
1+
1
3
1+
1
3
Situacin 4: Se deposita en el banco 1 US$, con una tasa de inters del 100% anual, aplicable cada 3
meses.
Tabla 6. Inters aplicable cada tres meses
Periodo
Monto inicial
Inters (100%)
Cantidad
final
1 US$
1 0.25 = 0.25
1.25 US$
1.25 US$
1.5625 US$
1.5625 US$
1.953125 US$
1.953125 0.25
= 0.48828125
1.953125
US$
2.44140625
US$
Forma general
1+
1 1
4
1
1+
4
1
1+
4
1
1+
4
1
1+
4
1
1+
4
1
1+
4
+ 1+
1
4
1
4
+ 1+
1
4
+ 1+
1
1
= 1+
4
4
1+
1
1
= 1+
4
4
1
1
= 1+
4
4
1
4
1+
1
4
1+
1
4
De los resultados obtenidos de la tabla 3 a la tabla 6, que describen las situaciones 1 ,2, 3 y 4.
Completar el cuadro resumen y deduce la cantidad que se obtiene para 5 y 6 periodos, luego
generaliza y elabora una frmula general para n periodos.
Tabla 7. Inters aplicable cada dos meses
No de periodos en un ao
1
2.25
2.37035
2.44141
2.48832
2.52163
Formula general
1 1
1+1
1 2
1+2
1 3
1+3
1 4
1+4
1 5
1+5
1+
1 6
6
49
1+
, para +.
Valor resultante
2.6532977
2.70481382
2.71692393
2.71828046
2.7182805
10000000000
Cuando el nmero de periodos tiende a valores cada vez ms grandes, la frmula muestra un
acercamiento infinito al nmero e, cuya aproximacin a 50 cifras decimales es:
2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
1 1 1 1
1
+ + + + +
1! 2! 3! 4!
!
50
GUA DE PROBLEMAS
Problema 1
El dimetro de la tierra a nivel ecuatorial es de 12,756.8 kilmetros.
Puedes determinar con esta informacin cunto mide el ecuador
terrestre?
Considerando que la Tierra da una rotacin completa en 24 horas,
cul es la velocidad con que gira la Tierra?
Investiga la forma adecuada de calcular tal velocidad y escribe tu
respuesta.
Problema 2
Investigue, analice y responda: Imagnese que una organizacin espacial internacional le hace la
propuesta de viajar a Venus. Le ofrecen dos millones de dlares si se queda en Venus durante un da
o cuatro millones de dlares si te quedas en Venus durante un ao.
De cualquier manera, tendrs suficiente alimento, suficiente agua, la temperatura ser la que t
desees, tendrs televisin por cable, etc.
Qu opcin elegirs?
Problema 3
La sucesin 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610aparece con frecuencia en la
naturaleza, en la reproduccin de los conejos, en la posicin de tallos en una planta, etc.
a) Busca la regla que permite pasar de un trmino al siguiente e identifica el trmino que
sigue.
b) Comprueba que el cociente de un trmino y el anterior se aproxima hacia el nmero de oro.
Es decir, calcula 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 etc
Problema 4
Crecimiento exponencial. Si se considera la variable poblacin de especies es necesario reflexionar
que algunas especies poseen crecimientos exponenciales. Toda poblacin que experimenta
crecimiento exponencial se estructura de la forma siguiente:
=
Cuya asignacin es:
F: Cantidad final o valor futuro.
C: Valor inicial.
r: tasa de crecimiento.
n: tiempo transcurrido.
Un cultivo est constituido por 400 bacterias, las cuales tienen una tasa de crecimiento de 25%
cada da cuntas bacterias habr al cabo de 30 das?
Utiliza la informacin anterior para deducir la frmula de crecimiento exponencial, sustituye las
variables que consideres necesarias y contesta la pregunta que se plantea en el problema.
51
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
6. Beskin N. (1987) Fracciones Maravillosas, Lecciones populares de matemtica, Mosc: Editorial
Mir.
7. Dunham W. (1993), Viaje a travs de los genios. New York: Editorial Pirmide.
8. Ghyka, M (1992). El Nmero de Oro. Barcelona: Poseidn, S.L.
9. Kline M. (1992), El pensamiento matemtico de la Antigedad a nuestros das. Editorial Alianza
Universidad.
10. Maor E. (1994), the story of a number, Princeton.
11. Coolidge J. L. (1950), The number e, Amer. Math.
12. Vorobiov N. N(1974), Nmeros de Fibonacci. Mosc: Editorial Mir.
13. Schreiber M. (2007), Golden Section Demonstrations Project , Editorial Poseidon.
52
Leccin 3
8 grado
Unidad 1
Saber
argumentar,
cuantificar,
analizar crticamente la informacin,
resolver y enfrentarse a problemas.
Objetivos
los
su
Nmeros reales
VOCABULARIO MATEMTICO
Nmeros irracionales
Los nmeros irracionales se
caracterizan porque no pueden
representarse como el cociente
de dos nmeros enteros,
debido a que en sus infinitas
cifras no presentan un periodo.
Los nmeros irracionales ms
conocidos son: =3.141592,
=1.618033, =2.718281
Cuerpo
En lgebra abstracta un cuerpo
o campo es una estructura
algebraica en la cual las
operaciones de adicin y
multiplicacin
se
pueden
realizar
y
cumplen
las
propiedades
asociativa,
conmutativa y distributiva,
adems de la existencia de un
inverso aditivo y de un inverso
multiplicativo,
los
cuales
permiten
efectuar
las
operaciones de sustraccin y
divisin (excepto la divisin
entre cero).
13. Moritz Abraham Stern (1807-1894). Matemtico Alemn. Stern, se convirti en Ordinarius (profesor titular) en la Universidad de
una profesor
infinidad
racionales
entre a
Gotinga en 1858, sucediendo a Carl Friedrich entonces
Gauss. Stern existe
fue el primer
judode
de nmeros
tiempo completo
en una universidad
alemana.
b, colocando as la propiedad topolgica de la densidad de
14. Weber, Wilhelm E. (1804-1891). Curs estudios en la Universidad de Halle y sigui en la misma como profesor hasta 1831, ao en
los nmeros racionales en la base del anlisis.
el que ingres como profesor en la Universidad de Gotinga. En esta ciudad entabl amistad con Carl F. Gauss, colaborando con
este en estudios sobre electricidad y magnetismo.
15. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) matemtico alemn al que se le atribuye la definicin formal moderna de
una funcin.
54
55
mixta, as por ejemplo, para graficar la fraccin 5, esta fraccin se puede convertir a fraccin
mixta escribiendo el nmero 8 como la suma de dos nmeros enteros menores que 8, los
nmeros podran ser 5 + 3, luego, distribuir el denominador de la fraccin para cada uno de los
sumandos del denominador y al final, simplificar las expresiones.
17. Una correspondencia biunvoca, o correspondencia uno a uno indica que a cada elemento del primer conjunto se corresponde con
solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer
conjunto.
56
8 5+3 5 3
3
=
= + =1+
5
5
5 5
5
8
3
La fraccin mixta de 5 es 1 5 (Un entero tres quintos).
3. La fraccin mixta se ubica en la recta, posicionando inicialmente la parte entera (1), luego se
traza una segmento transversal a la recta real cortando esta en 1 (1 ), trazar otro segmento
desde el extremo superior de 1 que corte a la recta real en 2 (2 ). Seccionar el segmento 1 en
tantas partes como indique el denominador de la fraccin (5), y luego contar el nmero de
unidades que indique el numerador (3), en esta posicin trazar un segmento de recta paralelo a
2 que corte a la recta numrica en un punto comprendido entre 1 y 2. El punto de corte indica
8
la posicin de la fraccin 5.
57
2 = 2 + 2
Es indispensable que cada estudiante deduzca a partir de un nmero en expresin radical, las
longitudes de los catetos del tringulo rectngulo. De este modo para la expresin 2, el nmero 2,
pude reescribirse como la suma de 1 + 1, adems, considerando que 12 = 1, y relacionando este
resultado con el teorema de Pitgoras, se tiene que:
2=
=
12 + 1 2
2 + 2
Para ubicar sobre la recta numrica 3, se dibuja un tringulo rectngulo cuya base deber ser 2.
Observar la siguiente comprobacin:
58
3= 1+2
3 = 12 + 2
Se necesita de un nmero que multiplicado por s mismo resulte 2, se verifica adems que 2 indica
tal nmero, por lo que:
2
=2
En consecuencia = 2
3=
12 +
Definicin axiomtica de R
Axioma 1
Existe un cuerpo totalmente ordenado y completo que recibe el nombre de cuerpo de los nmeros
reales y se denota por .
A continuacin se detalla cada trmino mencionado en el axioma17.
Cuerpo
Significa que hay dos operaciones internas en , llamadas suma y producto donde para dos
nmeros 18, el resultado de efectuar la suma o producto, + , respectivamente,
tambin pertenece al conjunto de nmeros reales.
, )
, )
A raz de la definicin de cuerpo de nmeros reales surgen las siguientes propiedades para la suma
y el producto.
Propiedades para la suma
1. + + ) = + ) + para todo , , .
(Propiedad asociativa)
2. + = + para todo , .
(Propiedad conmutativa)
(Propiedad asociativa)
6. = para todo , .
(Propiedad conmutativa)
17
18
Un axioma es aquello que es verdad sin ninguna necesidad de prueba (definicin etimolgica).
El smbolo , es un operador que denota la conjuncin y.
59
mediante 1 .
Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la suma
+ ) = +
En la estructura bsica del conjunto de nmeros reales no aparecen las cuatro operaciones, sino
solamente dos: suma y producto; la resta y la divisin se definen mediante el uso de propiedades de
suma y multiplicacin de nmeros reales. De este modo, = + (), es decir, la resta de dos
nmeros reales no es ms que la suma del primer nmero con el opuesto del segundo, desde luego,
esta operacin no es conmutativa puesto que para
En la divisin de nmeros reales se prosigue de forma anloga, para dos nmeros
60
22 + 2 2
8=
22 2
22 2
8=2 2
1. Describe el proceso para ubicar la expresin 2 2 en la recta real.
2. Qu concluyes de los resultados 8, 2 2?
3. Puedes mencionar otros nmeros que cumplan con las mismas caractersticas y que brinden
resultados similares?
4. Ubica en la recta real los siguientes valores.
61
2+3 2=4 2
+ 12 , entonces 3 = 2 + 1
5 = 12 + 22 , entonces 1 + 4
Una vez verificadas ambas igualdades, ilustrar mediante figuras geomtricas la operacin, luego
ubicar el resultado en la recta real y proponer una aproximacin del resultado.
62
2 3+ 22 5+ 2=2 3+2 22 5
Observar que en la expresin 2 3 + 2 2 2 5, la constante 2 aparece en todos los trminos,
recordando la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma, simblicamente
se expresa que: + + ) = + +
Para pasar de la expresin derecha a la izquierda, se toma el elemento que se repite y se multiplica
por la suma o resta de los elementos no repetidos.
De esta forma:
2 3+2 22 5=2 3+ 2 5
Para ubicar este resultado en la recta real, primero se posiciona la resultante de la expresin
3 + 2 5 para ello se ubican 3 + 2 sobre la recta real (figura 12a), luego se ubica 5 bajo
la recta real y en sentido contrario (figura 12b), despus se duplica la longitud restante (figura 12c)
Figura 12a.
3+ 2
Figura 12b.
3+ 2 5
Figura 12c. 2
3+ 2 5 = 2 3+2 22 5
63
Nmero
decimal (n)
Cuadrados
(2 )
Nmero
decimal (n)
Cuadrados
(2 )
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
4.41
4.84
5.29
5.76
6.25
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
6.76
7.29
7.84
8.41
9.00
64
Nmero
decimal (n)
Cuadrados
(2 )
Nmero
decimal (n)
Cuadrados
(2 )
2.81
2.82
2.83
2.84
2.85
7.90
7.95
8.01
8.07
8.12
2.86
2.87
2.88
2.89
2.90
8.18
8.24
8.29
8.35
8.41
Aproximacin por
defecto (cuarta cifra)
Truncado en la cuarta
cifra
Redondeo en la cuarta
cifra
2
3
65
2. Efecta las siguientes operaciones con nmeros reales y representa el resultado en la recta
numrica.
a) 3 + 2 2 + 5
b) 3 + 2 5 3 7 + 2 3 + 5
4. Considerando 7.4833147735 como el valor exacto de 56, escribe las aproximaciones por
defecto, por exceso y redondeo de orden primero y segundo (dcimas y centsimas).
5. Considera el ejemplo de la actividad 3, y determina el desarrollo decimal aproximado para 20,
15 y 3.
6. El radio de una circunferencia es 3.96 m. Utiliza la calculadora y el valor de y determina.
a) La longitud de la circunferencia truncando el resultado en centmetros.
b) La longitud de la circunferencia redondeando el resultado en decmetros.
c) El rea del crculo truncando en 2 .
d) El rea del crculo redondeando en 2 .
66
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Astorga A., Rodrguez J. (1984), El conjunto de los nmeros Reales. Captulo I, Instituto
Tecnolgico de Costa Rica, Escuela Matemtica.
2. Collete, J. P. (1985), Historia de las matemticas II. Siglo XXI de Espaa editores S. A., Madrid.
3. Dedekind R. (1969), Stetigkeit und irrationale Zahlen. 7. edicin, Vieweg, Braunschweig.
Primera edicin 1872. Traducido al ingls por W. W. Neman, Dover, New York 1963.
4. Dedekind R. (1969), Was sind und was sollen die Zahlen. Primera edicin 1888. Traduccin al
ingls por W. W. Beman, Dover, New York 1963.
5. Dugac, P (1976), Richard Dedekind et les fondements de Ianalyse, Vrin, Pars.
6. Garca M., Zaldvar Y., Glvez C. Los nmeros reales. Avalado por Dra. Rita Roldan, Universidad
de La Habana.
7. Hinrichsen, Diedrich (1973), Anlisis Matemtico I: Segunda Parte. Editorial Pueblo y
Educacin.
8. Ribnikov, K. (1991) Historia de las matemticas. Editorial Mir, Mosc.
9. Trejo C. (1968), El concepto de nmero. Departamento de Asuntos Cientficos, Unin
Panamericana, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires.
67
Leccin 4
8 grado
Unidad 2
68
Figura 1. Al-Sabit Thabit Ibn Qurra al-Harrani (826901) hizo importantes descubrimientos en el
lgebra, la geometra y la astronoma.
En
astronoma, es considerado uno de los primeros
reformadores del sistema de Ptolomeo, y en la
mecnica fue fundador de la esttica.
Saber
argumentar,
cuantificar,
analizar crticamente la informacin,
resolver y enfrentarse a problemas.
Objetivos
Plano cartesiano.
Polinomio
En matemtica, se le llama
polinomio a la suma de varios
monomios. Un monomio es un
producto de un coeficiente y
una variable elevado a un
nmero natural, que se llama
el exponente del monomio.
18. Tambin conocido como falsa posicin. Este mtodo consiste en tomar un valor concreto para la incgnita, probar con l y si se
verifica la igualdad ya se tiene la solucin, si no, mediante reiterados clculos se obtiene la solucin exacta. (Socas, p. 46).
19. Pijeira Cabrera, Hector E; Matemtica, La poca Dorada (600 a. C.415 d. C.) El aporte cientfico y metodolgico de los sabios de
la Grecia Antigua. Departamento de Matemtica, Universidad de Matanzas, Cuba, p. 6.
69
En el libro II de Los elementos, de Euclides (300 a. C.), hay 14 proposiciones para resolver
problemas algebraicos con mtodos geomtricos. Los griegos resolvan ecuaciones cuadrticas por
medio del proceso de aplicacin de reas. Por ejemplo, es posible probar la propiedad distributiva
del producto con respecto a la suma, a partir de la proposicin 1 de los Elementos de Euclides,
mediante la siguiente afirmacin:
Si tenemos dos lneas rectas y cortamos una de ellas en un nmero cualquiera de segmentos,
entonces el rectngulo contenido por las dos lneas rectas es igual a los rectngulos contenidos por
la lnea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores20
= ; = ; =
= + = +
La superficie de ABCD, se define con el producto
de AD y AC, por lo que:
= + ) = +
En consecuencia: + ) = +
Figura 2. Propiedad distributiva.
20. En Socas Robaina y otros; Iniciacin al lgebra. Madrid. Editorial Sntesis. 1989. p. 42.
21. En Socas Robaina y otros; Iniciacin al lgebra. Madrid. Editorial Sntesis. 1989. p. 42.
70
)2 = + )2 = )2 + )2 + +
Dado que = ; = , = , = , = , = , sustituir estos valores en la
expresin anterior.
+ )2 = 2 + 2 + +
Efectuando operaciones con trminos semejantes y ordenando el polinomio en relacin a la letra x,
se tiene:
+ )2 = 2 + 2 + 2
La expresin algebraica anterior describe el desarrollo del cuadrado de un binomio. Es necesario
relacionar este resultado con las figuras geomtricas relacionadas a cada monomio.
A las expresiones algebraicas que pueden expresarse mediante figuras geomtricas, y que adems,
pueden unirse para formar estructuras complejas, se les denomina polinomios. En el siguiente
apartado se explican aspectos conceptuales y de nomenclatura de polinomios en Matemtica.
ESTUDIO DE POLINOMIOS (nomenclatura y definiciones importantes)
En matemtica, a las expresiones algebraicas que constan de un solo trmino se les llama
monomios. Si son dos trminos se llaman binomios y si son tres, trinomios. Si una expresin tiene
varios trminos y la variable de estos trminos tienen exponentes enteros positivos, entonces se
opta por llamarla polinomio.
A los polinomios se les denomina con una letra (en la presente leccin se utilizarn letras
maysculas) y entre parntesis se indica la variable que se utiliza. De preferencia, se utilizar la
letra P, para representar la inicial de la palabra POLINOMIO. En caso de que sea necesario y se hable
de varios polinomios, se emplearn otras letras: ), ), ().
La forma general del polinomio est dada por:
) = + 1 1 + 2 2 + + 2 2 + 1 1 + 0 0
Coeficientes
Los coeficientes son todos los nmeros o letras que afectan a las diferentes potencias de la variable
x (tambin puede utilizarse cualquier letra, siempre y cuando se defina esta como variable).19
En un polinomio, se destacan dos coeficientes, Uno de ellos pertenece al trmino de mayor
exponente en la variable, por lo que se le llama primer coeficiente o coeficiente principal22. El otro
coeficiente es el que tiene la variable con exponente cero, a este se le llama trmino independiente23.
Ejemplo:
) = 4 2 + 2 + 5
Coeficiente principal: -3
22. El grado de un polinomio lo indica el mayor exponente de la variable, as en el polinomio ) = 5 3 + 3 + 23, el mximo
exponente es 3, el coeficiente de esta potencia es 5 que se le conoce con el nombre de coeficiente principal.
23. En un polinomio, el trmino independiente se expresa de la forma 0 , donde 0 = 1, en otras palabras, el trmino independiente
ser aquel que no preceda a la variable x, de esta forma, en el polinomio:
) = 5 4 + 3 2 + 2 + 10, El trmino independiente es 10.
71
Trmino independiente: 5
Se recomienda analizar con los estudiantes los polinomios, identificando en ellos el nmero de
trminos, trmino que contiene la variable con mayor exponente, coeficientes de cada trmino, el
trmino independiente o constante. Observar el siguiente ejemplo:
Dado ) = 3 + 2 ) 2 5 + , identifique sus coeficientes.
Solucin
La variable del polinomio es x, los coeficientes son:
Coeficiente del trmino con 3 : 1
Coeficiente principal.
2
Coeficiente del trmino con : 2
Coeficiente del trmino con 0 : 5 +
Trmino independiente.20
Cuando todos los coeficientes de los trminos de un polinomio son cero, entonces estamos en
presencia de un polinomio nulo.
Dado: ) = + 1 1 + 2 2 + + 2 2 + 1 1 + 0 0
) = 0
= 0 = 0 , adems .
Cmo determinar el grado de un polinomio?
El grado de un polinomio reducido24 lo determina el trmino que contiene la variable con su mayor
exponente. De este modo, para los polinomios A(x), B(x), C(x) y D(x) se determina de la forma
siguiente:
) = 2 3 + 2 + 3
es de grado 3.
) = 2 4 + 4
es de grado 2.
) = 5 4
es de grado 1.
) = 2 4 + 4
es de grado 2.
24. Se entiende por polinomio reducido aquel que se obtiene despus de hacer las operaciones indicadas por trminos semejantes del
polinomio.
72
Coeficientes de A(x)
0
1
2
0
7
Variable y exponente
4
3
2
1
0
Coeficiente de B(x)
1
4
0
2
73
DESARROLLO DE LA LECCIN
A continuacin se proponen actividades que introducen al estudiantado paso a paso a la
comprensin del algebra geomtrica y a la aplicacin de esta en la representacin de monomios y
polinomios, as tambin en el desarrollo de operaciones de multiplicacin y divisin.
Actividad 1. Reconocimiento de monomios y polinomios mediante figuras geomtricas.
Objetivo.
Brindar al estudiantado herramientas geomtricas que faciliten la comprensin de operaciones con
monomios y polinomios.
Materiales
Regla.
Papel de color.
Tijera.
Marcador.
Indicaciones
Seguir los pasos que se plantean y elaborar las piezas que se utilizan en la actividad con
anticipacin o mostrar al estudiantado cmo elaborar sus propias herramientas.
Elaborar piezas cuadradas (20 en total) que tengan 5 cm de lado, cada lado simboliza una unidad,
por lo que el rea de cada cuadro corresponde a una unidad de rea.
Con ayuda de las piezas, formar un cuadrado que tenga 4 unidades de lado, determinar su rea.
Es necesario destacar la importancia de
identificar las longitudes de los lados para el
clculo del rea o superficie de figuras
planas, del mismo modo que es necesario
deducir la longitud de los lados a partir de la
superficie de figuras cuadradas. En la figura
4, se considera un cuadrado de lado 4
unidades, cuya superficie es 16 unidades
cuadradas.
Figura 4. Cuadrado.
Ahora, con las piezas de una unidad de rea, formar un rectngulo con cinco unidades de base y 3
unidades de altura. Cuntas unidades de rea son necesarias para determinar la superficie del
rectngulo?
74
Si se desea construir un cuadrado cuya longitud de uno de sus lados es desconocida; entonces se le
asigna a esta longitud una variable, de tal modo que x determina la longitud de los lados del
cuadrado, en consecuencia la superficie del cuadrado de lado x est definida por el producto de dos
de sus lados o por el cuadrado de la longitud de un lado.
El rea del cuadrado se define por la expresin = 2 , de esta forma queda definido el polinomio
) = 2 . Cmo indicaras el polinomio A(x)=3 2 ? Y el polinomio ) = 4 2 + 4? Utiliza para
ello piezas que corresponden a una unidad de rea, y piezas de la forma 2 .
Solucin
) = 3 2
El polinomio ) = 3 2 , se expresa
mediante la unin de tres figuras
geomtricas, cada una indica el polinomio
) = 2 , por lo que ) = 3 ). Luego
de ubicar las tres figuras, una despus de
la otra, se forma un rectngulo cuya base
corresponde a la suma de los lados de cada
cuadrado. La superficie de esta figura se
determina por: rea = 3x) x) = 3x 2 , en
consecuencia:
) = 3) ) = 3 2
75
) = 4 2 + 4
76
Luego de ubicar la base y la altura del rectngulo, es necesario dibujar los dos lados restantes para
completar los cuatro lados. Posteriormente, introducir dentro de este las figuras geomtricas
necesarias para cubrir por completo la superficie del rectngulo, para tal propsito, brindar al
estudiante diversas formar geomtricas que indiquen las expresiones algebraicas 2 , 1 .
El producto de () (), est
determinado por la suma de las
superficies de las figuras que se
encuentran dentro del rectngulo de la
figura 10.
Figura 10. Superficie del rectngulo de base A(x) y altura B(x).
De este modo: ) = 5 2 + 15
Para multiplicar binomios por binomios, se procede de forma anloga al caso anterior, considerar el
siguiente ejemplo:
Dados: ) = 3 + 2 y ) = 2 + 4 , determine un polinomio ) = )()
Solucin
Los polinomios C(x) y D(x), indican la base y la altura respectivamente, del rectngulo cuya
superficie est dada por P(x).
77
2 + 4) = 3 2 + 4) + 2 2 + 4)
2 + 4) = 3) 2) + 3) 4) + 2 2) + 2 4)
2 + 4) = 6 2 + 12 + 4 + 8
2 + 4) = 6 2 + 16 + 8
78
De forma anloga a las operaciones anteriores, el nmero de fichas de cada forma y color indican el
resultado del producto. Si las fichas se encuentran en el primer y tercer cuadrante, se suman
aquellas que tengan forma semejante, pero, si dos fichas semejantes se encuentran en el primer y
segundo cuadrante, estas sern anuladas. Por qu son anuladas? Discute y define propiedades que
faciliten las operaciones.
Dados: ) = + 2, ) = 2 + 3, determina el polinomio P(x), tal que ) = () ().
Solucin
Elaborar un plano cartesiano como el que se muestra en la Figura 12a, luego ubicar cada trmino
del primero polinomio (base del rectngulo) en el plano cartesiano, recordar que en el primero y
tercer cuadrante se ubican los trminos con signo positivo y en el segundo y tercer cuadrante, los
trminos con signo negativo (Figura 12b). Despus ubicar el segundo polinomio en posicin
vertical (Figura 12c), completar el rectngulo y determinar su superficie para definir el producto
(figuras 12d-12e).
a)
b)
c)
d)
e)
+ 2)
+ 2)
+ 2)
+ 2)
2 + 3) = ) 2 + 3) + 2 2 + 3)
2 + 3) = ) 2) + ) 3) + 2) 2) + 2) 3)
2 + 3) = 2 2 3 + 4 + 6
2 + 3) = 2 2 + + 6
Figura 12. a) Plano cartesiano, b) Polinomio E(x), c) Polinomio F(x), d) Superficie del rectngulo, e) Producto
) = () ()
79
<
80
a)
b)
c)
La figura 12d muestra el resultado de dividir
) = 2 + + 1 entre ) = 2, el cociente de la
divisin se identifica en la altura del rectngulo y el
residuo est en las piezas sobrantes ubicadas fuera del
rectngulo.
De este modo, el cociente resulta de la operacin:
) = 1 + + 4
Por lo que:
) = + 3
Adems, el residuo (), est dado por:
() = 7
d)
Figura 12. a) Ubicacin de () = 2; b) Ubicacin de () = 2 + + 1 en la franja definida por (); c)
Construccin del rectngulo, agregando piezas que algebraicamente son cero; d) Resultado de la divisin (cociente y
residuo).
81
Problema 3
Diferencia de cuadrados
Mediante la ilustracin que se muestra a continuacin, se observa que recortando el cuadrado de
lado en la lnea punteada, se deduce un rectngulo de lados , + . Deduce a partir de la
ilustracin una justificacin geomtrica de la identidad:
+ ) ) = 2 2
82
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Acevedo de M., Myriam y Folk de L. (1997), Redescubriendo el lgebra: De la solucin de
ecuaciones al lgebra abstracta. Universidad Nacional de Colombia-Colciencias.
2. Boyer, Carl (1996), Historia de la Matemtica. Alianza Editorial. Madrid.
3. Canon L. Baldosas Algebraicas. Biblioteca Nacional de manipuladores virtuales. Disponible en
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_189_g_1_t_2.html?open=activities.
Accesado
en
12/09/2011.
4. Dante L. (2004), Tudo matemtica. Editorial tica. Sao Paulo.
5. Dienes Z., (1971), El aprendizaje de las matemticas, Ed. ngel Estrada y Cia. S. A. S. Argentina.
6. Grupo Arzaquiel (1993), Ideas y actividades para la enseanza del lgebra, Madrid, Editorial
Sntesis, S. A.
7. Miguel A. (2004), Histria na Educaao Matemtica: Proposttas e Desafos. Belo Horizonte,
Autntica.
8. Pijeira C. Matemticas: La poca Dorada (600 a. C.-415 d. C.) El aporte Cientfico y
Metodolgico de los Sabios de la Grecia Antigua. Departamento de Matemticas. Universidad de
Matanzas, Cuba.
9. Snchez P. (1991), Elementos de Euclides. Madrid, Editorial Gredos.
10. Soto F., Mosquera S., Gmez C. (2005), La caja de polinomios. Matemticas: Enseanza
Universitaria, junio, ao/vol. XIII, nmero 001, Universidad del Valle. Cali, Colombia.
83
Leccin 5
8 grado
Unidad 4
Saber
argumentar,
cuantificar,
representar y comunicar, resolver y
enfrentarse a problemas, tcnicas e
instrumentos
matemticos,
modelizar, integrar los conocimientos
adquiridos.
LA FACTORIZACIN EN LA HISTORIA
VOCABULARIO MATEMTICO
Factorizacin
La
factorizacin
es
una
operacin algebraica utilizada
para expresar un nmero o
expresin algebraica como el
producto de otros factores ms
pequeos.
Es
decir,
la
multiplicacin de estos factores
da como resultado el nmero o
expresin original.
Elemento neutro
En aritmtica y lgebra, se
denomina elemento neutro a
un nmero al que llamaremos
n, tal que el producto de una
cantidad con n, resulta .
=
La igualdad anterior solo es
verdadera si = 1, por lo que
el elemento neutro de la
multiplicacin es 1.
Pierre de Fermat, naci el 17 de agosto de 1601, en Beaumontde-Lomagne, Francia. Muri el 12 de enero de 1665, en Castres,
Francia.
Su padre era comerciante de cueros y segundo cnsul de
Beaumont-de-Lomagne. Se dice que existe un conflicto acerca de
la fecha de su nacimiento debido a que tuvo un hermano mayor
llamado Pierre, quien muri siendo an joven. Aunque hay poca
evidencia sobre su formacin escolar, lo ms probable es que
fue en el monasterio franciscano local donde la recibi.
Asisti a la Universidad de Toulouse antes de mudarse a
Burdeos, durante la segunda mitad de la dcada de 1620. En
Burdeos comenz sus primeras investigaciones matemticas
serias y en 1962 le dio una copia de su restauracin del Plane
loci 26 de Apolonio a uno de los matemticos de all.
Desde Burdeos Fermat fue a Orlens donde estudi leyes en la
Universidad. Recibi una licenciatura en derecho civil y ocup
las oficinas de consejero en el parlamento de Toulouse. As que
en 1631, Fermat era abogado y funcionario del gobierno en
Toulouse, y por el cargo que tena adquiri el derecho a cambiar
su nombre de Pierre Fermat a Pierre de Fermat.
En el campo de la factorizacin, se reconoce un proceso llamado
factorizacin de Fermat. Este proceso consiste en factorizar un
nmero al que llamaremos . La idea que propone Fermat se
explica a continuacin.
Si es igual a la diferencia de dos cuadrados27, se tiene la
expresin:
= 2 2
Entonces puede factorizarse de forma de la forma siguiente:
= + )( )
26. Son curvas que se definen por su distancia de otros objetos en el plano. Por ejemplo, un crculo es un lugar plano, ya que cada
punto en un crculo es la misma distancia desde el punto en el centro.
27. La factorizacin de expresiones de la forma 2 2 , se deduce el producto de dos binomios cuyos trminos son iguales y la nica
diferencia reside en el signo de uno de los binomios, de esta forma, el producto de la suma y la diferencia de dos cantidades x y y,
da como resultado la diferencia de cuadrados + ) ) = 2 2 .
85
Para que la diferencia 2 2 resulte , con positivo, el valor correspondiente a 2 tiene que ser
mayor que ( 2 > ); en consecuencia, debe ser mayor que . A partir de esto comenzamos a
introducirnos en el mtodo de factorizacin de Fermat.
Dado un nmero entero positivo que se quiere factorizar, se toma un entero positivo , tal que
tiene que ser mayor que , luego se calcula 2 y se le resta n. Si al hacer este proceso se obtiene un
cuadrado perfecto28, hemos terminado; en caso contrario, se toma + 1 y se calcula + 1)2 ,
restamos y si se obtiene un cuadrado perfecto, se acaba el proceso; en caso contrario, se procede
de la misma forma hasta encontrar un cuadrado perfecto.22
Para verificar la afirmacin anterior, se describe a continuacin un ejemplo:
Se desea factorizar el nmero 13837. Al extraer la raz cuadrada a 13837 se verifica que est
comprendida entre 117 y 118. Se asigna a la variable = 118. Pero al elevar la variable al cuadrado
y restando a este resultado el nmero 13837 se tiene:
2 ; Si = 118
1182 13837 = 87
= 13837, entonces:
Observar que 87 no es un cuadrado perfecto. Por lo que es necesario tomar el valor que sigue
despus de 118, es decir, 118+1 que es 119. Para = 119 = 13837 se tiene:
1192 13837 = 324
324 equivale a 182 , por lo tanto la factorizacin de 13837 se expresa mediante la diferencia de
1192 182 .
13837 = 1192 182
Por lo que:
13837 = 119 + 18) 119 18)
13837 = 137)(101)
Para comprobar la efectividad del mtodo de Fermat para factorizar nmeros mediante la
diferencia de cuadrados, es necesario utilizar cantidades cada vez ms grandes. Para tal propsito
se propone el siguiente ejemplo:
Se desea factorizar el nmero 2027651281 mediante el mtodo de Fermat. La raz cuadrada del
nmero est comprendida entre 45029 y 45030. Se inicia con = 45030, y se efecta el siguiente
proceso:
450302 2027651281 = 49619
28. Un nmero cuadrado perfecto es aquel cuya raz cuadrada es un nmero entero, por ejemplo 9 es un cuadrado perfecto porque su
raz cuadrada es 3.
86
En vista de que 49619 no es cuadrado perfecto, se repite el proceso hasta obtener la cantidad cuya
raz cuadrada sea un nmero entero.
450312 2027651281 = 139680
450322 2027651281 = 229743
450332 2027651281 = 319808
450342 2027651281 = 409875
450352 2027651281 = 499944
450362 2027651281 = 590015
450372 2027651281 = 680088
450382 2027651281 = 770163
450392 2027651281 = 860240
450402 2027651281 = 950319
450412 2027651281 = 10202
29
29. Eureka, Eureka! o Heureka en griego , hurka, Lo he encontrado!), es una famosa exclamacin atribuida al matemtico
griego Arqumedes.
87
30. Eureka, Eureka! o Heureka en griego , hurka, Lo he encontrado!), es una famosa exclamacin atribuida al matemtico
griego Arqumedes.
88
DESARROLLO DE LA LECCIN
Las siguientes actividades pretenden acercar al estudiantado a la factorizacin mediante el uso de
figuras planas (cuadrados y rectngulos). La visualizacin geomtrica de expresiones algebraicas
fue desarrollada en la leccin 4, de multiplicacin y divisin de polinomios. Se recomienda utilizar
de referencia la informacin contenida en dicha leccin y utilizar los conocimientos previos para
visualizar la factorizacin y que el estudiantado la utilice de forma natural sin tener que memorizar
casos de factoreo.
Actividad 1 Geometrizacin de expresiones algebraicas.
Objetivo
Brindar al estudiante herramientas que faciliten la comprensin de la factorizacin de expresiones
algebraicas.
Materiales
Regla.
Papel de color (rosado-rojo, verde, amarillo).
Tijera.
Marcador.
Indicaciones
Elaborar figuras geomtricas: cuadrados pequeos de color amarillo (2 2), cuadrados de
color rosado (10 10) y rectngulos de color verde (10 2). Ver Figura 3.
Invitar al estudiantado a elaborar las piezas
con los materiales descritos. Es indispensable
que cada estudiante tenga un juego de piezas
como las que se describe en la Figura 3.
Aclarar que a cada pieza le corresponde un
valor especfico; de este modo, el cuadrado de
2cm de lado equivale a una unidad, el
cuadrado de 10 cm de lado indica la expresin
algebraica 2 , y el rectngulo de 10cm x 2 cm
indica la expresin .
actividad.
89
Con ayuda de las piezas que se han creado, resolver las situaciones que se plantean a continuacin:
Descubre cmo se forman las secuencias de las figuras y anota en la tabla su permetro y rea.
Secuencia 1
Secuencia 2.
Llenar las siguientes tablas con ayuda de las figuras que se muestran en la secuencia 1 y 2. A partir
de los resultados obtenidos, elaborar conclusiones y deducir lo que sucede con el permetro y rea
de las diversas representaciones.
Tabla 1. Anlisis de las secuencias 1 y 2
Secuencia 1
Figura
4A
4B
4C
Permetro
rea
Secuencia 2
Figura
Permetro
5A
5B
5C
rea
A partir de la informacin anterior, deduce el permetro y rea de las figuras que consideres que
siguen segn la secuencia.
D
D
E
E
F
F
90
91
base
Ejemplo
altura
+1
rea
2 +
Explicacin
La Figura 7 muestra un rectngulo conformado por dos figuras, la base del rectngulo es definida
por la base del cuadrado de lado x, en consecuencia la base del rectngulo ser x. De forma anloga,
la altura del rectngulo est conformada por dos partes, una de ellas corresponde al cuadrado de
lado x y la otra parte a la unidad, por lo que la altura se define por la suma + 1. La superficie de la
figura total est dada por la superficie de cada una de las partes que la conforman.
Si se descompone la figura se visualiza el cuadrado de lado x, cuya rea es 2 ; tambin se tiene el
rectngulo de base x y altura 1, cuya rea es x. En definitiva, el rea se identifica como la suma de
cada una de sus partes 2 + .
Verificar este proceso, realizando el producto de la base y altura del rectngulo inicial y comparar
este resultado con el que se obtuvo con las figuras geomtricas. Explicar que la superficie del
92
En los ejemplos e ilustraciones de las actividades que se han mostrado en esta leccin, se detallan
procesos donde cada estudiante construye expresiones algebraicas a partir de figuras geomtricas.
El factor comn de las actividades reside en que nicamente se ha trabajado con figuras agrupadas,
con la intencin de formar con estas, cuadrados y rectngulos. A continuacin, se propone el
abordaje metodolgico con ayuda de figuras geomtricas de la factorizacin de expresiones
algebraicas que se restan, y posteriormente se aterriza en el estudio de la factorizacin por el
mtodo de Fermat.
Se tiene un cuadrado de lado , cuya rea se indica por la expresin 2 , luego en la esquina superior
derecha de este cuadrado se ubica un segundo cuadrado de longitud tal que > (son
longitudes de figuras geomtricas, en consecuencia las longitudes deben ser positivas). El rea del
segundo cuadrado est dada por 2 . Al poner un cuadrado sobre el otro, se observa que existe una
regin que no es cubierta por 2 (figura 9). Puedes determinar la superficie de esta regin?
La superficie de la regin sombreada est determinada por la
diferencia 2 2 .
En la Figura 9, se ha ubicado en cada vrtice de los cuadrados una
letra, esto facilitar el anlisis y resolucin de la situacin.
En el cuadrado ABCD, los segmentos , , , son iguales, en
consecuencia = = = = , sobre este cuadrado se ha
dibujado el cuadrado MBNO, donde , , , son iguales, y se
tiene que = = = = .
Figura 9. Diferencia de cuadrados.
93
La superficie del polgono irregular ADCNOM est dada por la suma de las superficies de los
rectngulos ADPM y OPCN.
Los rectngulos que se extraen del polgono ADCNOM, tienen un lado en comn, cuya longitud es
, si se toman los dos rectngulos y se unen estos, haciendo coincidir el lado comn se forma el
rectngulo que se muestra en la Figura 11.
Segn la Figura 11, la expresin 2 2 , que se indic en la figura 9,
puede expresarse como el producto de los binomios + y ;
esto se deduce a partir de que la primera y segunda expresin hacen
referencia a la misma superficie. De este modo, se tiene la siguiente
expresin.
2 2 = + ) )
Esta expresin es comnmente conocida como diferencia de
cuadrados y fue utilizada por Fermat para elaborar su mtodo de
factorizacin.
de cuadrados.
31. Recordar que el resultado de 6 pertenece al conjunto de los nmeros irracionales, debido a que posee infinitas cifras decimales no
peridicas.
94
95
96
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
11. Acevedo de M., Myriam y Folk de L. (1997), Redescubriendo el lgebra: De la solucin de
ecuaciones al lgebra abstracta. Universidad Nacional de Colombia-Colciencias.
12. Andrews G. (1994). Number Theory. Editorial Dover Publications, New York.
13. Boyer, Carl (1996), Historia de la Matemtica, Alianza Editorial. Madrid.
14. Canon L. Baldosas Algebraicas. Biblioteca Nacional de manipuladores virtuales. Disponible en
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_189_g_1_t_2.html?open=activities.
Accesado
en
12/09/2011.
15. Gaussianos La factorizacin de Fermat, tomado de: http://gaussianos.com/la-factorizacion-defermat/
16. Jones, B. (1969). Teora de los Nmeros. Editorial F. Trillas, S.A., Mxico.
17. Miguel A. (2004), Historia na Educaao Matemtica: Proposttas e Desafios. Belo Horizonte,
Autntica.
18. OConnor J and Robertson E. F. 1996), Pierre de Fermat Biography, tomado de http://wwwhistory.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat.html
19. Pijeira C. Matemticas: La poca Dorada (600 a. C.-415 d. C.) El aporte Cientfico y Metodolgico
de los Sabios de la Grecia Antigua. Departamento de Matemticas. Universidad de Matanzas,
Cuba.
20. Snchez P. (1991), Elementos de Euclides. Madrid, Editorial Gredos.
21. Sanabria
G.
Un vistazo a la historia: Fermat y Euler, tomado de:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1set2005/factorizacion/pag1.html
22. Vorobiov, N. 1984. Criterios de Divisibilidad. Lecciones populares de matemtica. Editorial Mir,
Mosc.
97
00000000000
Leccin 6
8 grado
Unidad 4
Saber
argumentar,
cuantificar,
representar y comunicar, resolver y
enfrentarse a problemas, tcnicas e
instrumentos matemticos, modelizar,
integrar los conocimientos adquiridos.
Objetivos
4 + 4 4 = 2 + 2 + 2) 2 + 2 2)
Esta expresin es conocida como identidad de Germain.
Presaberes
Multiplicacin y divisin de
polinomios.
LA FACTORIZACIN EN LA HISTORIA
VOCABULARIO MATEMTICO
Identidad algebraica
Se conoce como identidad
algebraica a la igualdad entre
expresiones algebraicas que se
verifica siempre a partir de
cualquier valor de las variables
que
intervienen:
As
+ = + ) es una
identidad, ya que, cualquiera
sea el valor de las variables, la
igualdad persiste.
Trinomio cuadrado perfecto
Expresin algebraica que posee
tres trminos, dos de ellos son
cuadrados perfectos, y el
tercero corresponde a dos
veces el producto de las races
cuadradas de las otras dos
cantidades.
2 + 2 + 2
33. Despus de tres aos de guerra, las legiones romanas consiguieron tomar la ciudad de Siracusa y Marcelo permiti a sus tropas
saquear la ciudad, pero orden que no mataran a Arqumedes. Un legionario lleg a un jardn donde se encontraba el sabio
estudiando las figuras geomtricas trazadas en la arena. Arqumedes no saba que la ciudad haba sido tomada, y al ver al
legionario grit No me pises las figuras!. El legionario, que no saba cmo era Arqumedes lo atraves con su espada. Tomado
de: http://historiasdelahistoria.lacoctelera.net
34. Joseph-Louis de Lagrange (Turn, 1736-Pars, 1813). Matemtico francs de origen italiano. Contribuy en el estudio de la
Astronoma, lgebra, Teora de nmero, Mecnica analtica o lagrangiana.
100
2 + + = 0
+
+ =0
2
2
es equivalente a la expresin 2 + .
para
2
.
Si la superficie
es distinta a
corresponda a
2
,
2
.
2
Para no alterar la expresin, tambin se restar un cuadrado de la misma longitud, de este modo
2
2
2
2
2 + +
2
+
=0
2
2=0
4
=0
42
siempre ser racional. Por ello, es necesario conocer que la factorizacin tambin puede efectuarse
para nmeros reales, cuyos factores no son racionales. De este modo, la diferencia 3-2 puede
factorizarse mediante la suma por la diferencia de la raz cuadrada de ambas cantidades:
3 2 = 3 + 2 ( 3 2). Esto implica que 1 = 3 + 2 ( 3 2), de forma anloga se
pueden factorizar expresiones algebraicas, por ejemplo: =
102
A continuacin un proceso llamado Transposicin de trminos, que consiste en mover uno o varios
trminos de un lado de la igualdad al otro; para ello, se recomienda que se relacione la igualdad con
el funcionamiento de una balanza, en la que se procura que los pesos de cada extremo sean iguales
y que esta se mantenga en equilibrio. En estudios posteriores se mostrar el proceso de despeje de
variables en ecuaciones lineales con una incgnita.
2
4 2
Para transponer (
2
4 2
2
2
2
4
2
4 2
, es cero, en consecuencia:
2
4
Ahora bien, en el miembro derecho de la igualdad se indica una diferencia entre fracciones con
distinto denominador. Al desarrollar la diferencia se tiene:
+
2 4
42
+
2
+
2 4
42
2 4
=
2
2
=
=
2 4
2
2
2 4
2
Este resultado se llama Frmula cuadrtica, y mediante esta frmula se pueden identificar lo
valores numricos que sustituidos en el polinomio 2 + + hagan que resulte cero. En la
frmula cuadrtica se identifica la expresin 2 4, que se llama discriminante. Analizando el
resultado del discriminante se puede estimar la existencia de dos races, una raz o ninguna raz
para un polinomio.
2 4
1 =
y 2 =
para una expresin cuadrtica completa de la forma
2
2
2
+ + .
Por lo que, al factorizar 2 + + , se tienen dos factores, que se indican a continuacin:
2 + + = 1 )( 2 ).
b) 2 4 = 0; si el discriminante es cero, entonces hay una nica raz real. Por lo que 1 = 2 .
La factorizacin de 2 + + , se indica a continuacin:
2 + + = 1 ) 2 ) = 1 )2
Este tipo de polinomios se conoce con el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
El discriminante cero tambin corresponde a la expresin 2 + 1 .
c) 2 4 < 0; en este caso el polinomio no tiene races reales. Posee dos races complejas 38
conjugadas y distintas.
DESARROLLO DE LA LECCIN
Las siguientes actividades pretenden acercar a los estudiantes a la factorizacin mediante el uso de
figuras planas (cuadrados y rectngulos). La visualizacin geomtrica de expresiones algebraicas
fue desarrollada en la leccin 4 de multiplicacin y divisin de polinomios, se recomienda utilizar
de referencia la informacin contenida en dicha leccin y utilizar los conocimientos previos para
visualizar la factorizacin y que el estudiante la utilice de forma natural sin tener que memorizar
casos de factoreo.
Actividad 1. factorizacin de expresiones algebraicas.
Objetivo 27
Brindar al estudiante herramientas que faciliten la comprensin de la factorizacin de expresiones
algebraicas mediante actividades de cortar y pegar.
Materiales
Regla.
Pginas de papel.
Tijera.
Marcador.
Indicaciones
Algunas expresiones algebraicas pueden representarse mediante la adicin de figuras geomtricas.
En esta actividad se plantean ejercicios en los que el estudiantado construye, a partir de cuadrados
y rectngulos, otras figuras equivalentes, mediante procesos de cortar y pegar. Este mtodo de
38. Las races complejas pertenecen al conjunto de nmeros complejos. Un nmero complejo puede ser escrito de la forma a+bi, donde
a y b son nmeros reales e i es un nmero imaginario resultante de la extraccin de raz cuadrada de cantidades negativas.
104
factorizacin consiste en cortar y mover las figuras recortadas a cualquier otra posicin y pegarla a
la figura, para formar otra.
Explicar al estudiantado que este mtodo es muy antiguo y fue usado por civilizaciones antiguas, los
babilonios lo utilizaron para resolver problemas relacionados con reas. Representar
geomtricamente un problema en el que su solucin es un rea, es una forma ms comprensiva
para encontrar su solucin, ya que el origen del lgebra tiene sus races en la geometra39.
Este mtodo ser ejemplificado mediante la factorizacin de la expresin 2 + =
( 2 + + = 0).28
Para comenzar, definamos a como dos nmeros positivos, es decir > 0 > 0. El
polinomio 2 + se representa con una figura cuadrada de lado x y una figura rectangular de base
b y altura x, tal como se muestra en la Figura 7.
Se corta la mitad del rectngulo , cada una de las partes tiene un rea que corresponde a , se
toma una de estas reas y se pega en la parte inferior del cuadrado de lado x, de tal forma que
coincidan los lados de igual longitud (Figura 8).
Despus de pegar el rectngulo de superficie 2 en la parte inferior del cuadrado de lado x, queda
la ilustracin que se muestra en la Figura 8. El rea de la figura resultante es equivalente al rea del
rectngulo de lados + , , y la superficie total es ( 2 + ).
cuadrado.
1
,
2
Para complementar el cuadrado se debe evaluar si la superficie de c es suficiente para rellenar este
espacio, para ello, es necesario realizar un anlisis de la correspondencia entre el valor de c y la
1
2
1
2
1
,
2
si el valor de c es igual a la
2
1
1 2
tambin hay que quitar el mismo cuadrado. De este modo se garantiza que 2 2 2 2 = 0, y puesto
que cero es el elemento neutro de la suma, la expresin algebraica 2 + + no se modifica.
El proceso de complementar el cuadrado se
ilustra en la Figura 10, se ha agregado un
cuadrado de lado
1
.
2
La expresin algebraica
2
1
2
2
1
2
1
(I)
2
es factorizable,
106
2
1
son:
1
+ +
2
1
= +
2
1
= +
2
2 + +
1
+
2
2
()
1 2
,
2
()
2
1
, que es
1
+
2
1
+ +
2
1
= + +
2
2
1
1
+
2
1
+
2
2
1
Algoritmo
Con ayuda de las ilustraciones de la Figura 11, se puede elaborar el siguiente algoritmo de
factorizacin.
Se inicia con el polinomio 2 + 8 + 2, utilizar los trminos 2 + 8, y a partir de estos se
complementa el cuadrado. Para ello se divide en dos el coeficiente de la variable x de exponente 1, y
este resultado se eleva a exponente 2. En consecuencia, de la complementacin del cuadrado es
8 2
2
8
2
+2
8
2
8 2
2
= 0.
2 + 8 + 2 = 2 + 8 + 42 + 2 42
El polinomio 2 + 8 + 4 se indica en la Figura 11 como un cuadrado de lado + 4. El resultado de
factorizar este polinomio est dado por: 2 + 8 + 4 = + 4) + 4) = + 4)2 . Adems, la
operacin 2 42 puede reescribirse como: (42 2). Sustituyendo estos resultados, se tiene:
2 + 8 + 2 = + 4)2 42 2)
2 + 8 + 2 = + 4)2 16 2)
2 + 8 + 2 = + 4)2 14
Efectuando la diferencia de cuadrados para + 4)2 14, obtenemos:
2 + 8 + 2 =
+ 4) + 14
+ 4) 14
2 + 8 + 2 = + 4 + 14 + 4 14
La factorizacin de 2 + 8 + 2, muestra los factores + 4) + 14 y
+ 4) 14, el producto
de estas dos expresiones generan el polinomio original. Para comprobar el resultado, se sugiere
efectuar la multiplicacin.
Efecta y aprende
Brindar al estudiantado un conjunto de polinomios e invitarlo a ilustrar la expresin algebraica
mediante figuras geomtricas; luego, que aplique el proceso de recortar y pegar; despus, que
analice y determine el valor que complementa el cuadrado y efectuar la factorizacin.
2 + 6 + 3
2 + 5 + 1
2 + 4 + 10
Factoriza el siguiente polinomio.
108
2 13 + 9
2 + 2 =
+ ) + 2
+ ) 2
2 + 2 = + + 2 + 2
13
= 2 = 2
4 + 4 4 = 2 + 2 2 + 4 2 2
2 + 2 2 4 2 2
4 + 4 4 = 2 + 2 2 + 2) 2 + 2 2 2)
110
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
23. Acevedo de M., Myriam y Folk de L. (1997), Redescubriendo el lgebra: De la solucin de
ecuaciones al lgebra abstracta. Universidad Nacional de Colombia-Colciencias.
24. Boyer, Carl (1996), Historia de la Matemtica. Alianza Editorial. Madrid.
25. Canon L. Baldosas Algebraicas. Biblioteca Nacional de manipuladores virtuales. Disponible en
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_189_g_1_t_2.html?open=activities.
Accesado
el
12/09/2011.
26. Historia de la historia (2007). La muerte de Arqumedes, web page , tomado de:
http://historiasdelahistoria.lacoctelera.net/post/2006/12/07/la-muerte-arquimedes.
Accesado el 12/10/2011.
27. J.J. OConnor y E.F. Robertson (1996) Marie-Sophie Germain, Biografa. Facultad de Matemtica
y Estadstica, Universidad de St. Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Germain.html. Accesado el 05/10/2011.
28. Miguel A. (2004). Historia na Educaao Matemtica: Proposttas e Desafios. Belo Horizonte,
Autntica.
29. Mujeres matemticas (2006) Sophie Germain La mujer, innovadora en la ciencia. Blog de IES
Luna de la SierraAdamuz, web page, tomado de:
http://matematicas.lunadelasierra.org/mujeres/exposicion/sophie-germain/ . Accesado el
07/10/2011.
30. Muoz A. (2010), Teorema de Germain, Matemtica en tus manos, web page, tomado de:
http://matematicaentusmanos.blogspot.com/2010/08/teorema-de-germain_21.html. Accesado
el 10/19/2011.
31. Varios autores (2009), lgebra de nmeros reales y complejos. Curso de posgrado para
profesores especialidad en matemtica, 27 de noviembre de 2009, Ministerio de Educacin.
32. Vorobiov, N. 1984. Criterios de Divisibilidad. Lecciones populares de matemtica. Editorial Mir,
Mosc.
112
Leccin 7
8 grado
00000000000
Unidad 3
Objetivos
Presaberes
Razones y Proporcionalidad.
40. Anaximandro de Mileto. Naci aproximadamente en el 610 a. C. y muri en el 545 a. C. Teofrasto describe a Anaximandro como
discpulo y compaero de Tales, siendo unos catorce aos ms joven que l. Se ocup, al igual que Tales, de cuestiones prcticas
relacionadas con la ciencia y se le atribuye la elaboracin de un mapa del mar Negro, probablemente para uso de los navegantes
milesios que viajaban por l.
41. Proclo de Bizancio. Naci en Bizancio, en el 410. Luego de estudiar en Alejandra con el filsofo griego Olimpiodoro, se estableci
en Atenas. All fue discpulo de Plutarco y Siriano, miembros de la Academia, escuela de la que l mismo sera luego director y que
por entonces estaba muy influenciada por el paganismo y la magia. Muri en Atenas en el 485.
114
Ciertamente, Thales fue una figura de enorme prestigio, siendo el nico filsofo antes de Scrates.
Fue uno de los Siete Sabios de Plutarco, quien al escribir sobre estos Siete Sabios dice: Tales fue al
parecer el nico de estos cuya sabidura, en especulacin, va ms all de los lmites de utilidad
prctica, el resto adquiri la reputacin de sabidura en la poltica.
Este comentario de Plutarco no debe ser visto como diciendo que Thales no funcion como un
poltico. l persuadi a los estados separados de Jonia a formar una federacin con la capital en
Teos. Disuadi a sus compatriotas de la aceptacin de una alianza con Creso y, como resultado,
salv a la ciudad.
Hay varios relatos de cmo Thales midi la altura de las pirmides. Digenes Laercio42, escribiendo
en el siglo II d. C., cita a Jernimo, un alumno de Aristteles: Jernimo dice que Tales hasta tuvo
xito en medir las pirmides mediante la observacin de la longitud de su sombra en el momento
en que nuestra sombra es igual a nuestra propia altura.29
Esto no parece contener algn conocimiento geomtrico til, es simplemente una observacin
emprica de que en el instante en que la longitud de la sombra de un objeto coincide con su altura,
lo mismo ser verdad para todos los dems objetos. Una declaracin similar la hace Plinio: Tales
descubri cmo obtener la altura de las pirmides y otros objetos similares, es decir, midiendo la
sombra del objeto en el momento en que un cuerpo y su sombra son iguales en longitud.
Sin embargo Plutarco cuenta la historia de una forma que, si se precisa, significativamente que
Tales se estaba acercando a la idea de los tringulos semejantes: sin problemas o la ayuda de
cualquier instrumento l se limita a ubicar un palo en el extremo de la sombra proyectada por la
pirmide y de hacer dos tringulos cuyos lados son la sombra y la altura del objeto, mostr que la
sombra que tiene la pirmide y el palo estn en la misma proporcin, en consecuencia la altura de la
pirmide y del palo, tendrn tambin las mismas proporciones.
Por supuesto, Thales pudo haber utilizado estos mtodos geomtricos para resolver problemas
prcticos, simplemente observando las propiedades. Esto est en consonancia con la opinin de
Russell, quien escribe sobre las contribuciones de Thales a las matemticas: se dice que Tales viaj
por Egipto, y quien de all trajo a los griegos la ciencia de la geometra. Lo que los egipcios saban de
la geometra era principalmente reglas de oro, y no hay razn para creer que Tales lleg con
pruebas deductivas, los que se encargaron de demostrar las conjeturas geomtricas fueron los
griegos.
En la actualidad, en el estudio de la matemtica se reconoce la utilizacin de un famoso teorema
que hace referencia a Thales, por lo que ha sido llamado teorema de Thales, este teorema establece
la proporcin de segmentos trazados mediante la interseccin de rectas paralelas en dos rectas
transversales. El teorema de Thales es utilizado para deducir longitudes de lados proporcionales
mediante el uso de razones entre segmentos.
A continuacin, se detallan los dominios conceptuales necesarios para aplicar tan importante
herramienta en la resolucin de problemas y en la determinacin de tringulos semejantes.
42. Digenes Laercio. Fue un importante historiador griego de filosofa clsica que, se cree, naci en el siglo III d. C., durante el reinado
de Alejandro Severo.
115
Ejemplo: Los trazos estn en la razn 3: 4 porque la unidad de longitud cabe tres veces
en y 4 veces en .
Razn urea. Si al dividir el trazo se cumple que la razn entre el trazo entero y el segmento mayor
es igual a la razn entre el segmento mayor y el menor, entonces diremos que se encuentra en
razn aurea o divina.
El valor numrico de la razn urea es el nmero irracional conocido como nmero ureo o nmero
de oro. Su valor corresponde a.
5+1
=
1.618034
2
Dos segmentos rectilneos o dos trazos son proporcionales a otros dos, cuando la razn que existe
entre los dos primeros, es igual a la razn entre los dos ltimos.
La igualdad de estas dos razones, forma una proporcin entre trazos.
43. La expresin razn entre dos trazos es empleada para abreviar el lenguaje, debe entenderse que se trata de la razn entre los
nmeros que expresan las longitudes de dichos trazos medidos con la misma unidad de medida.
116
Puesto que,
=2 y
proporcionales con c y d.
En general los segmentos a, b, c, d, e etc., son proporcionales a los segmentos a, b, c, d, e si se
tiene: = = = =
Del mismo modo se dice que los segmentos a, b, c, son proporcionales a los nmeros 3, 4, 5., si
resulta:
=3=5
A partir de la proporcin anterior, puedes proponer tres nmeros tales que al ser sustituidos en ,
y , comprueben que la proporcin es verdadera. Supongamos que la razn es 2, en este caso los
nmeros 6, 8 y 10 cumplen con la condicin de que al ser sustituidos en , y respectivamente,
garantizan la certeza de la expresin.
En toda proposicin el segundo y tercer trmino, se llaman medios; el primero y el cuarto, se llaman
extremos. En la Figura 6, son los trminos medios, son los trminos extremos.
En la proporcin de la Figura 6, los cuatro trminos , , son las longitudes de distintos trazos
proporcionales, cada uno de los trminos de la proporcin, es una cuarta proporcional
geomtrica44.
Dadas las longitudes de tres trazos:31
= 4 ; = 2 ; = 1 cm, se puede formar la proporcin:
44. En una proporcin de la forma = cada uno de ellos se denomina cuarta proporcional geomtrica con respecto a los otros tres.
117
En esta ltima proporcin el trazo b figura como consecuente de la primera razn y se repite en el
antecedente de la segunda razn (trminos medios iguales). Esto se puede expresar diciendo que el
trazo b es una media proporcional geomtrica entre los dos trazos y . Cada uno de estos dos
ltimos trazos recibe el nombre de tercera proporcional geomtrica.
Algunas propiedades de las proporciones
1. En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En la proporcin = ; resulta: = .
Recprocamente la igualdad de dos productos se puede transformar en proporcin, de este
modo = , se expresa como proporcin de la forma siguiente.
= los factores de uno de los productos son trminos medios y los del segundo producto,
trminos extremos.
a) Alternar
los medios:
En la proporcin = , resulta:
+ +
=
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas se cortan por tres o ms paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son,
respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
45. El consecuente y antecedente hacen referencia al numerador y denominador (respectivamente) de una fraccin. Para ; a es
consecuente y b es antecedente.
118
lado, se tiene:
+1=
+1
y en el segundo miembro
119
Algunas aplicaciones
Los tringulos en posicin de Thales hacen referencia a la figura que se utiliz para ilustrar el
teorema de Thales (figura 7), la diferencia reside en que las rectas se han interceptado, y estas
rectas son cortadas por rectas paralelas formando tringulos.
El teorema de Thales permite dividir un segmento en partes iguales. En la Figura 10 se ha dividido
un segmento AB en 5 partes iguales. Cmo?
Trazar el segmento AB, con longitud arbitraria, luego trazar
una semirrecta a partir de A. Sobre ella, marcar con ayuda
de regla o comps cinco segmentos iguales. Unir la ltima
marca con B y trazar paralelas, una por cada marca de la
semirrecta.
Figura 10. Divisin segmentos en partes iguales.
120
=
=
En consecuencia, se enuncia a continuacin el corolario de los criterios de semejanza de tringulos.
1. Dos tringulos son semejantes si y solo si tienen dos lados proporcionales. Si los tringulos
tienen dos pares de ngulos iguales, tambin son semejantes, pero a este caso especial de
semejanza se le denomina congruencia. (LLL)
2. Dos tringulos son semejantes si y solo si tienen un ngulo igual y los lados adyacentes
proporcionales. (ALA)
3. dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales. (AA)
CONGRUENCIA DE TRINGULOS
La congruencia de tringulos es un caso especial de semejanza, donde la medida de los lados de un
tringulo ABC coinciden con la medida de los lados de otro tringulo ABC, si los lados son
iguales, entonces sus ngulos tambin lo sern. Para determinar la congruencia entre dos tringulos
no es necesario determinar la medida de todos los lados y todos los ngulos, es suficiente con
identificar ciertas caractersticas que se agrupan en criterios de congruencia que se enuncian a
continuacin:
Postulados de congruencia de tringulos
Dos tringulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ngulos
adyacentes a ese lado. (ALA)
Dos tringulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ngulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales. (LAL)
Dos tringulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. (LLL)
121
Dos tringulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ngulo opuesto al mayor de ellos
respectivamente iguales.
Recordar que dos tringulos congruentes son semejantes, pero dos tringulos semejantes solo
sern congruentes si los lados son iguales. El criterio AAA (ngulo-ngulo-ngulo) no se aplica en la
congruencia de tringulos, debido a que si dos tringulos tienen sus lados iguales, sus ngulos sern
proporcionales, pero no precisamente iguales.
DESARROLLO DE LA LECCIN
Las siguientes actividades pretenden motivar al estudiantado a aplicar el teorema de Thales y
proporciones entre segmentos, para indicar el valor numrico de una cuarta proporcin; adems, se
busca que cada estudiante utilice todos estos conocimientos en la resolucin de problemas
relacionados con ecologa, astronoma, arqueologa y el descubrimiento de fractales. Se le
recomienda trabajar con sus estudiantes las proporciones y el teorema de Thales, antes de realizar
las actividades que se describen a continuacin.
Actividad 1. Teorema de Thales.
Objetivo
Proponer situaciones de aprendizaje donde el estudiante aplique los procesos relacionados con el
teorema de Thales.
Materiales
Hoja de ejercicios.
Regletas de papel.
Regla graduada.
Lpiz o marcador.
Indicaciones
Brindar al estudiantado una hoja de ejercicios que contenga las situaciones que se plantean en esta
actividad. Invitar a que propongan estrategias y algoritmos para abordar los ejercicios, y que
utilicen los conocimientos previos relacionados con el teorema de Thales. Luego, resolver los
ejercicios con ayuda de sus estudiantes y compartir la informacin que se obtiene.
1. Usa el teorema de Thales para calcular el valor de x.
Realizar las siguientes preguntas para orientar el proceso:
identifica los tringulos que se muestran en la figura 12. Los
tringulos estn definidos por los vrtices ABC y ADE. Son
semejantes? Qu criterio de semejanza cumplen para ser
llamados semejantes?
122
Puesto que ABC y ADE son semejantes, se definen para ambos tringulos las siguientes
proposiciones (partiendo de ABC a ADE).
=
=
Puesto que = 5; = 3.4; = 3.9 y = , se tiene que determinar el valor para la
cuarta proporcional , para = .
=
Sustituyendo los segmentos con la longitud que estos tienen, se obtiene:
5
3.9
=
3.4
Puesto que 3.4 3.9 son medios, adems 5 son extremos, se efecta la multiplicacin de medios
con medios y extremos con extremos.
5 = 3.9)(3.4)
5 = 13.26
Puesto que 13.26 = 5(2.625), al sustituir este resultado en la expresin anterior se tiene:
5 = 5(2.625)
En consecuencia el valor de la variable x es 2.625.
De forma anloga, resolver el siguiente ejercicio:
Los dos tringulos de la figura 12, estn en posicin de tales. Calcula el valor de x.
123
Tales defini la altura de las pirmides y utiliz proporciones para estimar la longitud de estas,
puedes proponer situaciones en las que puedes aplicar las proporciones. Srvase de ejemplo la
siguiente situacin.
Ejemplo: Cul es la altura de una torre cuya sombra mide 50 metros si en el mismo instante un
rbol de dos metros de altura proyecta una sombra de 2.5 metros?
Elaborar un bosquejo o ilustracin que represente la informacin contenida en el ejemplo.
Figura 14. Medicin de la altura de la torre de San Vicente, foto tomada por Gustavo Steinau.
Analizar la ilustracin de la Figura 14, observar los tringulos y comprobar que estos son
semejantes.
Lo primero que se identifica es que los tringulos no estn en posicin de Thales, por lo que es
necesario identificar caractersticas en ambos tringulos, de tal modo que se aplique un criterio de
semejanza.
1. La altura de la torre y el rbol, estn definidas por segmentos perpendiculares a la base. Puesto
que ambos forman el mismo ngulo (90) con respecto a la base, se tiene en consecuencia que
ambos segmentos son paralelos.
2. Si se traza una recta imaginaria desde el extremo superior de la torre hasta el extremo de la
sombra, y de la misma forma, se traza otra recta imaginaria desde el extremo superior del rbol
y el extremo de la sombra de este, se tiene que ambas rectas forman con respecto a la base el
mismo ngulo. Cmo comprobar esto?
En una hora definida, el ngulo en que los rayos del sol hacen contacto con los objetos es igual
para todos estos.
Segn (1) y (2), los dos tringulos tienen la medida de un ngulo en comn y los lados opuestos a
este ngulo son paralelos. Esto implica que los lados paralelos son proporcionales, y eso ocurre si y
solo si dos tringulos estn en posicin de Thales; en consecuencia, los dos tringulos son
semejantes y sus lados son proporcionales.
A partir de esta primicia es posible relacionar la longitud de los lados mediante la proporcin
siguiente.
50
=
2.5 2
124
En consecuencia = 40, interpretando este resultado para resolver el problema, se puede decir
que: la altura de la torre es de 40 metros.
Es impresionante reconocer que Thales aplic un mtodo similar para estimar la altura de las
pirmides de Egipto. Existen relatos histricos que mencionan que Thales se ubic a cierta distancia
de la pirmide y esper a que la sombra que proyectaba una de la pirmides cubriese por completo
la sombra que l proyectaba.
Conociendo la longitud de su sombra y su propia altura, adems, midiendo la longitud de la sombra
que proyecta la pirmide, fue capaz de encontrar un valor numrico a partir de las proporciones.
Otros relatos mencionan que Thales esper a que la longitud de la sombra que l proyectaba fuese
igual a su altura, a partir de esto dedujo que lo mismo suceda con cualquier objeto. Por lo que no
fue necesario medir la altura de la pirmide, sino que nicamente midi la longitud de la sombra
que la pirmide proyectaba.
Las pirmides de Egipto constituyen un patrimonio mundial, lleno de mucha cultura y de amplios
conocimientos matemticos que encierran en su construccin. En Amrica Latina tambin existen
antiguas edificaciones en forma de pirmide, a partir de las cuales es posible formular situaciones
de aprendizaje. Tal es el caso de la pirmide truncada de Ihuatzio, lugar de los coyotes, zona
arqueolgica de Michoacn, Mxico.
Pirmide truncada
Una pirmide ha perdido la parte superior, como se muestra en la Figura 15. Por lo tanto, slo se
han hecho las mediciones que aparecen. Calcula cul era la altura de la pirmide antes de perder la
parte superior.
125
Para conocer la altura de la pirmide, primero se debe determinar la longitud de la altura de una de
sus caras laterales. Segn la ilustracin, se identifica que la altura total de la cara lateral est dada
por la expresin 63 + ; para determinar el valor de x se utiliza la siguiente proporcin:
=
Para = 62.5; = 12.5; = 63 + ; = , la expresin anterior se reescribe de la forma
siguiente:
62.5 63 +
=
12.5
126
= = .
Hay dos clases de fractales: matemticos y naturales. Los fractales encontrados en la naturaleza
tienen una caracterstica adicional: son formados por procesos aleatorios. Como ejemplo se pueden
nombrar: los rayos, los deltas de los ros, los sistemas de races y las lneas costeras.
Para el estudio de figuras semejantes y congruentes, se utilizar un fractal de figuras geomtricas
llamado el tringulo de Sierpinski. Este tringulo se puede construir a partir de cualquier tringulo,
fue introducido en 1919 por el matemtico polaco Waclaw Sierpinski.
127
Existen diversos procesos para crear el tringulo de Sierpinski. Uno de ellos consiste en dibujar y
colorear y la otra forma consiste en hacer dobleces en pginas de papel.
Prctica 1. El tringulo de Sierpinski (trazos y colores).
Para dibujar el tringulo de Sierpinski mediante trazos y colores, se efectan los pasos que se
muestran en la figura 16. Dibuje un tringulo equiltero cuyo lado mida 8 centmetros (Figura 17
A), marcar en cada uno de los lados los puntos medios y unir cada uno de estos entre s, la lnea
interna medir 4 centmetros, coloree todos los tringulos que tengan vrtices que apunten hacia
abajo para diferenciar su orientacin (figura 16 B y C).
Los tringulos que an no se han coloreado tendrn que ser divididos tal como se indica la Figura
17 A a la Figura 17 C, las nuevas lneas internas miden un centmetro. Coloree los tringulos que
tienen el vrtice hacia abajo (Figura 17 D). Repita el proceso nuevamente y deduzca la media del
lado de uno de los tringulos formados (Figura 17 E).
128
Discusin grupal
A partir de las dos figuras resultantes de la prctica 1 y la prctica 2, se formulan las siguientes
preguntas:
1. Qu figuras se obtienen?
129
b) Un observador, cuya altura hasta los ojos es de 1.67 metros, observa, erguido, en un espejo
la parte ms alta de un objeto vertical. Calcula la altura de este, sabiendo que el espejo se
encuentra situado a 10 m de la base del edificio y a 3 m del observador.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Cano O. (2004) Geometra Segunda Parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
2. Cano O. (2004)Geometra Primera parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
3. Gasket, DElia L. 2001) Sierpinski Triangle. Cuttin Holes in a Triangle, Application. Descargar
en:
http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/SierpinskiTriangle.htm,
Accesado
el
21/10/2011.
4. J. J. OConnor y E. F. Robertson (1996) Tales de Mileto, Biografa. Facultad de Matemtica y
Estadistica, Universidad de St. Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Thales.html. Accesado el 19/10/2011.
5. Lambertson L. (2001), Fractales en el aula. Exploratorium Teacher Institute, San Francisco,
EUA. Fundacin CIENTEC 2001. Tomado de:
http://www.cientec.or.cr/matematica/fractales.html. Accesado el 20/10/2011.
6. Lambertson L. (2001), Patrones fractales geomtricos. Exploratorium Teacher Institute, San
Francisco, EE. UU. Fundacin CIENTEC 2001. Tomado de:
http://www.cientec.or.cr/matematica/actividad2.html. Accesado el 20/10/2011.
7. Mandelbrot B. (1983) Sierpinski Pyramid, pginas 142 y 143, Sierpinski Carpet, Menger Sponge
pginas 144 y 145. W. H. Freeman and Company.
8. Pietgen, H., Jurgens H. y Saupe D. (1991), Fractals for the classroom: Strategic activities.
volumen one. New York: Springer-Verlag.
9. Pogorlov A.V. (1974). Geometra elemental, Editorial Mir, Mosc, traducido del ruso por Carlos
Vea, Catedrtico de Matemticas superiores.
10. Stanley H.E., Taylor E.F., y Trunfio P.A. (1994). Fractal in science: an introductory course. Pilot
edition. New York: Springer-Verlag.
11. Universidad Catlica de Chile (2009) Geometra N 7, Centro de alumnos de Ingeniera,
Preuniversitario de Ingeniera.
130
Leccin 8
8 grado
Unidad 3
Objetivos
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
25 = 25
Lenguaje algebraico.
Presaberes
Comprensin de conceptos
geomtricos (punto, recta, plano,
ngulo, segmento).
131
46. Fercides de Syros. Fue un pensador griego de la isla de Syros, del siglo VI a. C. Fercides autor del Pentemychos o Heptamychos,
una de las primeras obras en prosa, atestiguado en la literatura griega, que se form un puente importante entre mtico y presocrtico pensamiento.
132
Alrededor del ao 535 a. C. Pitgoras fue a Egipto. Esto sucedi unos aos despus de que el tirano
Polcrates tom el control de la ciudad de Samos. Existe cierta evidencia que sugiere que Pitgoras y
Polcrates fueron amigables en un primer momento y se dice que Pitgoras fue a Egipto con una
carta de presentacin escrita por Polcrates. De hecho Polcrates tena una alianza con Egipto y por
lo tanto, haba fuertes lazos entre Samos y Egipto en este momento.
Los relatos de la estancia de Pitgoras en Egipto sugieren que visit muchos de los templos y tom
parte en muchos debates con los sacerdotes. Segn Porfirio, a Pitgoras no se le permiti el ingreso
a todos los templos, excepto al de Diospolis donde fue aceptado en el sacerdocio tras completar los
ritos necesarios para su admisin.
Pitgoras impuso en su estilo de vida muchas de las costumbres que encontr en Egipto. Por
ejemplo, el secreto de los sacerdotes egipcios, su negativa a comer alubias, su negacin a vestir
incluso ropas hechas de pieles de animales, y su lucha por la pureza. Porfirio establece que la
geometra de Pitgoras proviene de los egipcios, pero es probable que l ya conociera la geometra,
ciertamente tras las enseanzas de Thales y Anaximandro.
En el 525 a. C. Cambises II, rey de Persia, invadi Egipto. Polcrates abandon su alianza con Egipto
y envi 40 barcos para unirse a la flota persa contra los egipcios. Despus de que Cambises haba
ganado la batalla de Pelusio en el Delta del Nilo y capturado a Helipolis y Menfis, la resistencia
egipcia se desplom.
Pitgoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Jmblico47 escribe que Pitgoras: ... fue
transportado por los seguidores de Cambises II como prisionero de guerra. Mientras estaba all con
mucho gusto asociado con la Magoiy fue instruido en sus ritos sagrados y aprendi sobre un
mstico culto muy de los dioses. Tambin lleg a la cima de la perfeccin en aritmtica y msica y
las ciencias matemticas enseadas por otros de los babilonios32
Alrededor de 520 a. C. Pitgoras dej Babilonia y regres a Samos. Polcrates haba sido asesinado
alrededor de 522 a. C. y Cambises muri en el verano de 522 a. C., ya sea por suicidio o como
consecuencia de un accidente. Las muertes de estos gobernantes pueden haber sido un factor en el
regreso de Pitgoras a Samos, pero en ninguna parte se explica cmo Pitgoras obtuvo su libertad.
Daro de Persia haba tomado el control de Samos tras la muerte de Polcrates y gobern la isla
antes del regreso de Pitgoras. Esto entra en conflicto con los relatos de Porfirio y de Digenes
Laercio que afirman que Polcrates todava estaba en el control de Samos cuando Pitgoras regres
all.
Pitgoras hizo un viaje a Creta poco despus de su regreso a Samos para estudiar el sistema de
leyes de all. De regreso a Samos fund la Escuela pitagrica que fue llamada el semicrculo.
Jmblico escribe de la Escuela pitagrica en el siglo III d. C.: ... form una escuela en la ciudad de
Samos, el 'semicrculo' de Pitgoras, cuyo nombre es aun reconocido, en la escuela pitagrica los
samios celebraban reuniones polticas.
47. Jmblico de Calcis se estima que naci en la segunda mitad del siglo III (243, 245 o 250) y falleci el ao 325. Fue un filsofo griego
neoplatnico, tambin considerado neopitagrico, de cuya vida poco se conoce, salvo que naci en Calcis, en Celesiria, y fue
discpulo de Porfirio.
133
Lo hacen porque creen que hay que discutir cuestiones acerca de la bondad, la justicia y la
conveniencia en este lugar que fue fundado por el hombre que hizo de todos estos temas su
negocio. Fuera de la ciudad hizo una cueva que era el lugar privado de su enseanza filosfica
propia, pasando la mayor parte de la noche y el da all haciendo la investigacin sobre los usos de
la matemtica...
Pitgoras fund una escuela filosfica y religiosa en Crotn (ahora Crotona) que tuvo muchos
seguidores. Pitgoras fue la cabeza de la sociedad con un crculo interno de seguidores conocidos
como mathematikoi. Los Mathematikoi vivan permanentemente con la sociedad, no tenan
posesiones personales y eran vegetarianos. Ellos fueron instruidos por el mismo Pitgoras y eran
obedientes ante estrictas reglas.
Tanto a hombres como a mujeres se les permiti ser miembros de la sociedad, de hecho varias
mujeres pitagricas48 se convirtieron ms tarde en filsofas famosas. El crculo exterior de la
sociedad era conocido como el akousmatics y vivan en sus propias casas, y solo iban a la sociedad
durante el da. Se les permiti tener sus propias posesiones y no era requisito ser vegetariano.33
Es difcil distinguir entre el trabajo de Pitgoras y el de sus seguidores. Ciertamente su escuela hizo
destacadas contribuciones matemticas, y es posible estar bastante seguros de algunas
contribuciones matemticas hechas por Pitgoras.
El inters de Pitgoras estaba orientado en los principios de las matemticas, el concepto de
nmero, el concepto de un tringulo u otra figura matemtica y la idea abstracta de una prueba. En
relacin a esto, Brumbaugh escribe: Es difcil para nosotros hoy da, familiarizados con la
abstraccin matemtica pura y con el acto mental de la generalizacin, apreciar la originalidad de
esta contribucin pitagrica.
De hecho hoy hemos llegado a ser tan matemticamente sofisticados que incluso reconocemos a 2
como una cantidad abstracta. Hay un notable paso de 2 barcos + 2 barcos = 4 barcos, al resultado
abstracto 2 + 2 = 4, que no slo se aplica a los buques, sino a los corrales, la gente, casas, etc., hay
un paso ms para ver que la nocin abstracta de 2 es en s misma una cosa, en algn sentido tan real
como un barco o una casa.
Pitgoras crea que todas las relaciones podan ser reducidas a relaciones numricas, tal como
escribe Aristteles: Los pitagricos... habiendo sido educados en el estudio de las matemticas,
tenan el pensamiento de que las cosas son nmeros... y que todo el cosmos es una escala y un
nmero.
Esta generalizacin se deriva de las observaciones de Pitgoras en la msica, las matemticas y la
astronoma. Pitgoras advirti que las cuerdas vibrantes producen tonos armoniosos, cuando las
razones de las longitudes de las cuerdas son nmeros enteros, y que estas relaciones se podran
extender a otros instrumentos. De hecho, Pitgoras hizo notables contribuciones a la teora
matemtica de la msica. l era un buen msico, tocando la lira, y us la msica como un medio
para ayudar a los enfermos.
48. Ver informacin complementaria en: http://www.uv.mx/cienciahombre/revistae/vol23num2/articulos/teano/
134
Pitgoras estudi propiedades de los nmeros, que seran familiares a los matemticos de hoy,
como los nmeros pares e impares, nmeros triangulares, nmeros perfectos, etc.
En la actualidad, recordamos particularmente a Pitgoras debido a su famoso teorema geomtrico,
ahora conocido como el teorema de Pitgoras, que fue utilizado por los babilonios mil aos antes de
que fuera demostrado por los griegos.
Adems del teorema de Pitgoras, existen otros teoremas que son atribuidos a Pitgoras o ms
generalmente a los pitagricos.
1. La suma de los ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos.
2. El teorema de Pitgoras para un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados.
3. Construir figuras de un rea dada y el lgebra geomtrica. Por ejemplo resolviendo ecuaciones
como ) = 2 por medios geomtricos.
4. El descubrimiento de los nmeros irracionales. este es un resultado obtenido por el pitagrico
Hipasus, por lo que parece improbable que haya sido debido a Pitgoras, puesto que tal
irracionalidad iba en contra de la filosofa de Pitgoras, quien defenda que todo puede
expresarse como nmeros, y por nmero quera decir el cociente de dos nmeros enteros.
5. Los cinco slidos regulares. Se cree que el mismo Pitgoras saba construir los primeros tres;
pero es poco probable que l hubiera sabido construir los otros dos.
6. En astronoma, Pitgoras ense que la Tierra era una esfera en el centro del Universo.
Tambin reconoci que la rbita de la Luna estaba inclinada hacia el ecuador de la Tierra.
TEOREMA DE PITGORAS
El teorema de Pitgoras se aplica nicamente a tringulos rectngulos. Los tringulos rectngulos
son aquellos que tienen un ngulo cuya medida es 90, a este ngulo tambin se le denomina ngulo
recto. Todo tringulo rectngulo tiene dos ngulos agudos que sumados resultan 90, esto verifica
el teorema de ngulos internos de tringulos: la suma de los ngulos internos de todo tringulo
resulta dos ngulos rectos 180). Adems, el tringulo rectngulo posee tres lados, el lado de
mayor longitud se le llama hipotenusa y los lados restantes se denominan catetos.
El tringulo est conformado por tres vrtices (A,
B y C), tres lados (a, b y c) y tres ngulos (, ),
puesto que = 90, el tringulo es llamado
rectngulo. Los ngulos y son agudos (menores que
90) y la suma de ambos es 90 ( + = 90).
Con respecto a los lados a, b y c, se tiene que c es de
mayor longitud, y se cumplen las siguientes relaciones:
> >
Figura 2. Elementos de un tringulo rectngulo.
135
En el tringulo de la Figura 1, los lados a y b son menores que c, adems para a y b se cumple una y
solo una de las siguientes relaciones:
> ; < ; =
Para > < ; se deduce que el tringulo que se estudia es escaleno, porque sus tres lados
son distintos. En caso contrario, si = , se tienen dos lados iguales y uno desigual, por lo que el
tringulo es issceles.
Para el tringulo rectngulo de la figura 1 se tiene la identidad:
2 = 2 + 2
Esta identidad es conocida con el nombre de teorema de Pitgoras. Este teorema establece una
clara relacin entre la longitud de la hipotenusa y los catetos en un tringulo rectngulo cualquiera.
El teorema se enuncia de la forma siguiente:
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo, corresponde a la suma de
los cuadrados de los catetos
2 = 2 + 2
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un
tringulo rectngulo, corresponde a la suma de los
cuadrados de los catetos.
El enunciado que dieron los antiguos griegos al teorema
de Pitgoras es el siguiente: el rea del cuadrado
construido sobre la hipotenusa, de un tringulo
rectngulo es igual a la suma de las reas de los
cuadrados construidos sobre los catetos (figura 3).
El teorema de Pitgoras posee muchas demostraciones que se desarrollan mediante material ldico
de dobleces y recortes, expresiones algebraicas o mediante figuras geomtricas. En las actividades
de esta leccin se muestran diversas demostraciones del teorema de Pitgoras, una de ellas consiste
en utilizar el teorema de Euclides, y demostrar a partir de este la relacin entre la hipotenusa y los
catetos de un tringulo rectngulo. Tambin se realizan actividades donde el estudiantado
demuestra el teorema con ayuda de papiroflexia.
136
Figura 4. Catetos opuestos y adyacentes de un tringulo rectngulo en relacin a sus ngulos agudos.
Tangente de : tan =
Las tres razones trigonomtricas restantes se definen a partir del recproco de las tres razones
trigonomtricas iniciales. De este modo, para , la razn es , pero, el recproco de esta razn
137
= 1. A la razn
cosecante.
: csc =
Secante de : sec =
Cotangente de : cot =
Las razones trigonomtricas son aplicables para cualquier tringulo rectngulo, la medida del
ngulo agudo no determina la razn. Considerando que el valor de se encuentra en el intervalo
0, 90 49, para cualquier valor de , la razn seno de , seguir siendo el cociente del cateto opuesto
sobre la hipotenusa. Esto se cumple para las cinco razones trigonomtricas restantes.34
El conocimiento de razones trigonomtricas en consonancia con la comprensin del teorema de
Pitgoras, Thales y Euclides, constituye una herramienta importante en el proceso de resolucin de
tringulos rectngulos. La resolucin de tringulos rectngulos consiste en determinar la medida de
los ngulos internos de un tringulo y la longitud de los tres lados a partir de algunos valores
conocidos.
DESARROLLO DE LA LECCIN
Las siguientes actividades buscan que el estudiantado comprenda el teorema de Pitgoras a partir
de demostraciones geomtricas, luego se realizan otras demostraciones a partir del teorema de
Euclides; y despus, se comentan algunas conclusiones que surgen a raz de la aplicacin del
teorema de Pitgoras en la resolucin de problemas.
Actividad 1. Demostracin por papiroflexia.
Objetivo
Proponer situaciones de aprendizaje donde el estudiante demuestre el teorema de Pitgoras a
partir de prcticas con papiroflexia.
Materiales
Pginas de papel.
Tijeras.
Lpiz o marcador.
Regla graduada.
Pegamento.
49. El intervalo 0, 90 indica que para cualquiera de los dos ngulos internos no rectos de un tringulo ABC, la medida de estos estar
definida entre 0 y 90 sin incluir los extremos.
138
Indicaciones
Organizar al grupo de estudiantes en equipos de trabajo. Brindar a cada equipo un tringulo
rectngulo, hojas de papel y tijeras. Invitar a los grupos a que peguen el tringulo en una hoja de
papel; adems, tienen que medir la longitud de los lados y dibujar en cada lado del tringulo un
cuadrado.
Con las pginas de papel bond, desarrollar el proceso que se describe a continuacin:
Medir la longitud del cateto mayor (cateto a) y elaborar cuatro cuadrados con la medida del cateto
a en cada uno de sus lados. (Figura 6 A). Tomar uno de los cuadrados (ABCD) y marcar en el lado
AB el punto medio M, a partir del punto medio M se mide hacia la derecha e izquierda de este una
longitud equivalente a la mitad de la medida del cateto menor del tringulo rectngulo, marcar en
ambos extremos los puntos 1 y 2 (figura 6 B).
Con ayuda de la regla y un lpiz, a partir de 1 y 2 trazar dos segmentos paralelos a CB que corten
a AB en dos puntos que se llamarn 1 y 2 (Figura 6 C). Doblar el cuadrado haciendo un trazo
entre los extremos 1 2 de la figura, formando el segmento 1 2 (Figura 6 D y E). Doblar el
segmento 1 2 haciendo coincidir los puntos 1 2 (Figura 6 F). Doblar el papel de tal forma
que quede la figura 6 G.
139
Realizar el proceso anterior con los tres cuadrados restantes. Invitar al estudiantado a que rellene
con estas cuatro figuras el cuadrado que se forma en el cateto a del rectngulo. Despus, recortar un
cuadrado de longitud b. Mencionar que, segn el teorema de Pitgoras, la suma de las superficies de
los cuadrados formados en el cateto a y cateto b, debe ser igual a la superficie del cuadrado formado
en el cateto c.
Para demostrar la conjetura anterior, se pide al estudiantado que con ayuda de las piezas, que
juntas conforman el cuadrado de lado a en conjunto con el cuadrado del cateto b, forme un
cuadrado cuyo lado coincida con el valor de c.
Permitir al estudiantado que forme el cuadrado con las figuras y utilice todo su ingenio y
creatividad en el proceso. Se recomienda brindar orientaciones y repetir el teorema de Pitgoras si
es necesario, con el propsito de recordar a los estudiantes que con las piezas del cuadrado de lado
a y el cuadrado de lado b, se formar el cuadrado de lado c.
Despus de cumplir con las condiciones, la figura resultante demuestra que, en efecto, la adicin de
la superficie de los cuadrados de los catetos corresponde a la superficie del cuadrado formado por
la hipotenusa. Ver figura 7.
En las siguientes lneas se discute una demostracin del teorema de Pitgoras ms sofisticada en la
que se necesita realizar un trabajo preliminar con el teorema de Euclides, por lo que se sugiere
analizar detenidamente el teorema de Euclides para que posteriormente se aplique en la
demostracin del teorema de Pitgoras.
Actividad 2. Teorema de Euclides.
Objetivo
Analizar el teorema de Euclides con respecto al cateto de un tringulo rectngulo.
Materiales
Cuaderno de trabajo.
Hojas de papel.
Marcador, lpiz o lapicero.
140
Indicaciones
Explicar la demostracin de este teorema de forma sistemtica, respetando la nomenclatura
geomtrica y explicando al estudiantado, de forma clara y sencilla, lo que se hace en cada paso de la
demostracin.
Teorema de Euclides: En un tringulo rectngulo, el cuadrado construido sobre un cateto es
equivalente al rectngulo formado por la hipotenusa entera y la proyeccin del mismo cateto sobre
ella.
Para efectuar la demostracin, se recomienda elaborar un dibujo o bosquejo de la informacin
recibida.
En la Figura 8 se ilustra el teorema que se va a
demostrar. El segmento es la proyeccin de
sobre , el segmento es perpendicular a
, por lo que es la altura del tringulo .
En el vrtice B, se traza un segmento paralelo a la
altura con extremo en I, la medida de este
segmento corresponde a la longitud de la
hipotenusa .
De forma anloga, el segmento que es altura,
se prolonga a partir de D en un segmento
perpendicular a de longitud correspondiente
a la hipotenusa , el extremo superior de este
segmento es H.
Unir los extremos I y H para formar el rectngulo
DHIB.
141
Demostracin
Trazar los segmentos auxiliares y , observar que se forman los tringulos y , de los
que es posible deducir que: el segmento es igual a , adems es igual a por construccin.
Adems, el ngulo est conformado por la suma de los ngulos y , del mismo
modo, el ngulo est conformado por y . Puesto que es comn en ambos, y
los ngulos y son rectos, se deduce que = .
En notacin geomtrica, se tienen los siguientes resultados:
Para y se tiene:
1. =
2. =
3. =
Segn las proposiciones (1), (2) y (3) que se identifican en los tringulos, se describe que tienen
dos lados iguales y el ngulo comprendido entre ellos tambin es igual. Segn criterio LAL de
congruencia de tringulos, se concluye que:
En relacin al tringulo , la base es y la altura est dada por , puesto que = , se
deduce la siguiente situacin:
La superficie de CBEF est dada por el producto de dos de sus lados, pero la superficie de ABE se
obtiene multiplicando la base del tringulo ( ) por la altura de este ( ) y el producto se divide
en dos.
=
) )
2
) )
2
Si corresponde a , se tiene:
142
) )
2
) )
2
143
144
Problema 1. Se cae un poste de 14.5 metros de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 metros
de l. Cul es la altura a la que le golpea?
145
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
12. Cano O. Geometra Segunda Parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
13. Cano O. Geometra Primera parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
14. De la Pea Hernndez, J. (2000) Matemticas y Papiroflexia. Asociacin Espaola de
Papiroflexia. Madrid.
15. Garrido, B (2002), Papiro-demostracin del teorema de Pitgoras, artculo matemtico.
16. Hall, J. (1995) Teaching Origami to develop visual spatial perception en Second International
Conference on Origami Education and Therapy. Origami EE.UU., New York.
17. J. J. OConnor y E. F. Robertson (1996) Pitgoras de Samos, Biografa. Facultad de Matemtica y
Estadstica, Universidad de St. Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html. Accesado el 19/10/2011.
18. Kirk, G. Raven, J. y Schofield M. (2003). Los filsofos presocrticos. Cambridge University
Press. http://books.google.com/books?id=kFpd86J8PLsC&pg . p. 51.
19. OConnor, J. J. y Robertson E. F. (1999), Pitgoras de Samos, Biografa, Facultad de Matemticas
y Estadistica, Universidad de St Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html.
20. Pogorlov A.V. (1974) Geometra elemental. Editorial Mir, Mosc, traducido del ruso por Carlos
Vea, Catedrtico de Matemticas superiores.
21. Schibli, S., Hermann, Pherekydes de Syros, p. 104, Oxford University. Prensa 2001.
22. Schibli, S., Hermann, Pherekydes de Syros, p. 108, Oxford University. Prensa 2001.
23. Universidad Catlica de Chile (2009) Geometra N 7, Centro de alumnos de Ingeniera,
Preuniversitario de Ingeniera.
146
Leccin 9
8 grado
Unidad 5
Objetivos
Presaberes
VOCABULARIO MATEMTICO
Polgono
50. Se denomina cuadratura del crculo al problema matemtico, irresoluble de geometra, consistente en hallar con slo regla y
comps un cuadrado que posea un rea que sea igual a la de un crculo dado.
148
149
sobreponen coinciden en toda su superficie, se dice que son congruentes y el rea o valor numrico
de la superficie es igual.
A partir del prrafo anterior surgen muchas interrogantes, algunas son: todas las figuras que
tienen igual rea tienen superficies congruentes?, el permetro de las figuras determina su
superficie? Figuras de igual superficie poseen superficies congruentes o reas iguales?
Para solventar estas y otras preguntas que pudieren surgir en el tratamiento de la temtica, se
recomienda utilizar relatos histricos que motiven al estudiantado a indagar an ms con respecto
a la temtica. Se busca que el aprendizaje de los mtodos para determinar superficies, se convierta
en una necesidad para solucionar problemas interesantes, donde la solucin que se obtenga sea
determinante y significativa para la comprensin de futuros problemas. Tal es el caso que se relata
en la historia de la fundacin de Cartago y de los relatos histricos y lricos de la princesa Elisa de
Tiro.
Sin ms prembulo, se muestra a continuacin el desarrollo de la leccin para la cual, se necesita
que se aborde el conjunto de actividades que se proponen, y envolver el aprendizaje de la temtica
a una finalidad que consiste en solucionar el problema que se propone en las siguientes lneas.
DESARROLLO DE LA LECCIN
Las siguientes actividades buscan que el estudiantado comprenda y aplique conocimientos
geomtricos relacionados con las superficies de figuras planas en la resolucin de problemas;
adems, se proponen estrategias y teoremas, que fundamentan los procesos que hoy en da
aplicamos para determinar superficies de figuras planas.
Actividad 1 Relato histrico (fundacin de Cartago).
Objetivo
Motivar al grupo de estudiantes y docentes para que apliquen conocimientos geomtricos, en la
resolucin de problemas que se extrae a partir de la lectura de un relato histrico.
Materiales
Pginas de papel.
Historia de Elisa de Tiro y la fundacin de Cartago.
Indicaciones
Brindar al estudiantado la historia de la fundacin de Cartago, para que el grupo lea y se introduzca
en la historia. Posteriormente realizar preguntas en relacin a la historia y que propongan mtodos
de solucin para resolver el problema que se plantea al final de la historia.
150
La huida de Elisa de Tiro hacia nuevas tierras, en compaa de su grupo de seguidores, permite
identificar que la fundacin de Cartago no es ms que una consecuencia de las luchas internas de la
aristocracia tiria; es significativo que Justino mencione en su relato a un grupo de senadores que se
encontraban preparados a embarcar con Elisa la noche de la huida.
151
En su viaje, Elisa tuvo que huir a Chipre y luego a la costa de frica (ver figura 3), fue ah donde
intent comprar una porcin de tierra para poder asentarse con su grupo de sirvientes. Para tal
cometido, tuvo que dirigirse al rey que dominaba la regin. El rey Jarbas de Nmida, dueo de las
tierras de la regin, se puso evasivo con la idea de vender parte de sus tierras a un extranjero.
Por ese motivo, estableci la condicin de que entregara a los recin llegados aquel trozo de tierra
que pudieran rodear utilizando la piel de un buey, esto con la intencin de entregar la mnima porcin
de tierra a los visitantes.
El error que cometi Jarbas, fue no considerar la inteligencia y astucia de Elisa, quien con ayuda de
una sirviente orden a su gente que cortaran la piel de buey en tiras muy finas y que las unieran, para
formar con ellas la cuerda ms larga posible. A continuacin, se situaron en la playa; tomaron la lnea
costera como lmite y con la cuerda rodearon la porcin de tierra ms grande posible. La superficie
que se rode fue suficiente para fundar la ciudad que fue conocida como Cartago.
Este relato encierra en su esencia un problema matemtico de gran relevancia, el cual consiste en
determinar la figura geomtrica de mayor superficie con la condicin de que su permetro sea
constante. Qu figura geomtrica formaron para cubrir la mayor superficie que se pudo?
A partir de esta informacin se enuncia con formalidad el siguiente problema.
Si la longitud de la tira de carne se simboliza mediante la letra L, proponer las posibles figuras
geomtricas que pudo formar Elisa con la intencin de cubrir la mayor superficie posible. Determinar
mediante expresiones algebraicas el rea de cada una de las figuras y utilizar el software educativo
GeoGebra para identificar la figura que encierra mayor superficie.
Discutir con el estudiantado la resolucin del problema y proponer conceptos y procesos necesarios
para resolver el problema. Luego, proponer el estudio de las siguientes temticas para reforzar
conocimientos y resolver el problema.
152
1.
2.
3.
4.
153
b) La superficie del cuadrado y del rectngulo sern equivalentes si y solo si el rectngulo EFGH
cumple con las caractersticas que define el teorema de Euclides (ver leccin 8).
Para el cuadrado ABCD, la superficie de esta figura se deduce multiplicando la longitud de dos de sus
lados; puesto que sus cuatro lados son iguales, esta operacin se simplifica, de modo que, el rea del
cuadrado corresponde a la longitud de uno de sus lados al cuadrado.
= ) )
= ) )
= )2
Si en lugar de , se utiliza la longitud de este segmento el cual se simboliza con la letra donde
puede tomar cualquier valor entre los nmeros reales positivos, se tiene:
= 2 Frmula 1
De este modo, tenemos la frmula 1 que ser de gran utilidad en la resolucin del problema. Pero
antes de utilizar este conocimiento, se recomienda deducir la frmula para determinar el rea del
rectngulo.
En el caso del rectngulo, los lados adyacentes son distintos y los lados opuestos son iguales, de forma
similar al cuadrado, el rea de este se encuentra multiplicando la longitud del segmento de la base por
la altura. Para la base y altura , se tiene:
= )()
Si sustituimos a por b y a por h, se tiene:
=
Frmula 2
Las frmulas 1 y 2 que se tienen hasta este momento, sern de vital importancia en la resolucin del
problema, ahora bien. Recordando las condiciones del problema, se identifica en este la existencia de
un segmento de longitud L, con este segmento se forma un cuadrado y un rectngulo. Iniciaremos con
el anlisis del cuadrado (ver figura 5).
El cuadrado de la figura est formado por los lados , , , , pero segn el problema, el
segmento pertenece a la zona costera, y la cuerda se ubica desde el punto A hasta el punto B
pasando por D y C, en consecuencia, la adicin de los segmentos , y resulta L cunto mide
cada lado?
Segn la Figura 5, = , dado que est
integrado por los segmentos , y se
tiene que:
+ + =
Si los lados de un cuadrado son todos iguales,
entonces la suma de tres de sus lados, resulta:
Figura 5. Superficie del cuadrado.
3 =
De la expresin anterior se deduce que, si es L, entonces, al dividir este segmento en tres partes
iguales se tiene:
=
3
3
154
Por lo que:
=
Ahora que se conoce la longitud de uno de sus lados, la superficie del cuadrado ABCD se encuentra
sustituyendo el valor de en la frmula 1.
2
=
3
Aplicando propiedades de los exponentes, se obtiene:
=
2
9
Solucin 1
A continuacin se realiza un proceso similar para deducir la superficie del rectngulo EFGH: puesto
que, con el segmento de longitud L, pueden formarse infinitos rectngulos con longitudes b y h, con b
y h variables, es necesario deducir las proporciones del rectngulo que contenga mayor rea. Para
ello, se recomienda utilizar valores numricos que ejemplifiquen la situacin y posteriormente
generalizar estos conceptos para la resolucin del problema.
Elaborar una ilustracin semejante a la que se muestra en la Figura 6, donde se ejemplifique un
rectngulo en el que los segmentos , estn contenidos en un segmento de longitud L.
En el rectngulo EFGH, los lados y son
iguales, adems EF=L, en consecuencia:
+ + =
2 + =
Adems, la superficie de EFGH, se define
multiplicando la base por la altura .
Para deducir las dimensiones el rectngulo de mayor superficie, supondremos que el segmento
mide 20 unidades. A partir de esto, se trabaja con las variables b y h que corresponden a los
segmentos EF y GF respectivamente. Se inicia con h = 1. A partir de este primer resultado, se deduce
la longitud de b y posteriormente de calcula el rea del rectngulo formado. Proseguir para = 2 y as
sucesivamente hasta = 19. Observar los resultados y seleccionar aquel que indique la mayor
superficie.
Tabla 1. Dimensiones del rectngulo
Altura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Base
20-2=18
rea
(1)(18)=18
Permetro
2(1)+2(18)=38
20-4=16
(2)(16)=32
2(2)+2(16)=36
20-6=14
(3)(14)=42
2(3)+2(14)=34
20-8=12
(4)(12)=48
2(4)+2(12)=32
20-10=10
(5)(10)=50
2(5)+2(10)=30
20-12=8
(6)(8)=48
2(6)+2(8)=28
20-14=6
(7)(6)=42
2(7)+2(6)=26
20-16=4
(8)(4)=32
2(8)+2(4)=24
20-18=2
(9)(2)=18
2(9)+2(2)=22
20-20=0
(10)(0)=0
2(10)+2(0)=20
155
A partir de esta informacin, se deduce que las dimensiones del rectngulo estn en proporcin 1:2,
es decir, el segmento es dos veces el segmento , esto garantiza que el rectngulo con estas
proporciones posee mayor superficie que cualquier otro rectngulo formado con la misma longitud L.
, se tiene:
4 = 4
En consecuencia =
,
4
2
8
Solucin 2
156
Existe un teorema que habla al respecto, y detalla que dos tringulos de igual base y altura son
equivalentes.
Teorema: Dos tringulos de igual base y altura son equivalentes.
Para efectuar la demostracin del teorema se necesita ilustrar mediante la Figura 9, la relacin entre
los tringulos y los paralelogramos.
Hiptesis: y son bases de los tringulos ABC y DEF respectivamente. Por construccin
= de forma anloga = .
Tesis: = .
Demostracin
Para los tringulos ABC y DEF se completan los paralelogramos ABCB y DEFE, por construccin
se sabe que es paralelo a y que es diagonal de ABCB; en consecuencia, la superficie de
ABC es la mitad de ABCB, del mismo modo, para DEFE, es paralelo a y es diagonal de
DEFE; en consecuencia, la superficie de DEF es la mitad de DEFE.
1
=
2
1
=
2
El paralelogramo ABCB tiene superficie equivalente al paralelogramo DEFE, en consecuencia se tiene
que:
=
157
Con el resultado del teorema anterior, se deduce que, los elementos que definen la superficie de un
tringulo son la base y la altura, y puesto que, al ser definidos a partir de la diagonal de un
paralelogramo, es necesario dividir entre dos el producto de la base y la altura. Por lo que:
=
Frmula 3
Ahora bien, para resolver el problema se necesita de un tringulo que cumpla con la condicin de
tener la mayor superficie, para ello se complementar la siguiente tabla en trminos de base y altura.
Para facilitar el proceso se utilizarn tringulos issceles en los que la suma de sus tres lados resulte
una longitud P, con P=15.
La base del tringulo ser variable, iniciando para b = 1, y aumentando progresivamente. La altura del
tringulo se define mediante el teorema de Pitgoras para un tringulo rectngulo cuya hipotenusa
coincide con la longitud de uno de los lados iguales del tringulo issceles y la base del tringulo
rectngulo ser la mitad de la base del tringulo issceles. (Ver figura 10).
En el tringulo ABC de la figura 10, la suma de
las longitudes de los lados y resulta una
longitud constante L. a partir del tringulo ABC
se deduce el tringulo rectngulo CBC con el
1
segmento = 2 .
Segn el teorema de Pitgoras, la longitud de la
altura CC se define por:
)2 = )2 )2
=
)2 )2
Base de ABC
Longitud de BC
(hipotenusa)
Longitud de CB
(cateto)
Longitud de CC
(altura)
15 1
=7
2
1
= 0.5
2
= 72 0.52
= 6.9821
15 2
= 6.5
2
2
=1
2
= 6.52 12
= 6.4226
15 3)
=6
2
3
= 1.5
2
= 62 1.52
= 5.8095
15 4
= 5.5
2
4
=2
2
= 5.52 22
= 5.1235
15 5
=5
2
5
= 2.5
2
= 52 2.52
= 4.330
15 6
= 4.5
2
6
=3
2
= 4.52 32
= 3.3541
158
rea
1) 6.9821)
2
= 3.491
2) 6.4226)
=
2
= 6.4226
=
3) 5.8095)
2
= 8.7142
4) 5.1235)
=
2
= 10.247
5) 4.330)
=
2
= 10.825
6) 3.541)
=
2
= 10.0623
=
En la Tabla 2, se identifica que el tringulo de mayor superficie se encuentra cuando la base y uno de
los lados es cinco, puesto que el permetro de la figura es 5, se concluye que el lado restante es 5, se
observa que el tringulo tiene sus tres lados iguales, esta caracterstica corresponde al tringulo
equiltero.
Tringulo equiltero: es el que posee sus tres lados iguales y cada uno de sus ngulos internos es de
60. La altura de un tringulo rectngulo se expresa en funcin de sus lados mediante la expresin
3
2
3
,
2
El tringulo IJK es equiltero, los lados , y son iguales, la suma de los segmentos y
corresponde a la longitud L, de la que se habla en el problema. Puesto que y son iguales, se tiene
que:
+ =
+ =
2 =
Si = 2
, entonces:
2
2
2
) = ) )2
2 = 2
)2 )2
Por lo tanto = 2.
La longitud de cada uno de los lados del tringulo IJK es 2, la longitud de la altura se determina
mediante
3
2
3
2
3
3
= 2 =
2
4
Ahora bien, la base y la altura del tringulo IJK estn dadas por 2 y
3
4
respectivamente. Aplicando la
frmula 3 se tiene:
=
2
2
3
4
2
3
8
2
2 3
16
159
Frmula 4
Segn el problema que se explica en la actividad 1 y cuya solucin se definir pronto, se hace uso de
una semicircunferencia cuyo permetro o longitud corresponde a L, adems, el rea de la
circunferencia se define en funcin a la longitud de su radio, por ello, en este momento se propone
un proceso que brinde un valor r en trminos de L a partir de la longitud de la semicircunferencia
(Ver Figura 11).
=
2
El semipermetro de la figura 11 corresponde a la longitud L del problema, sustituyendo esta
expresin, se tiene:
=
Si =
160
= , en
=
2
2
2
=
2
2
2 2
2
2
Ahora que se tienen los cuatro resultados correspondientes a las cuatro figuras planas consideradas
para la solucin del problema, es necesario identificar cul de estas expresiones brinda la mayor
superficie para un valor L constante en cada una de ellas.
Actividad 5. Solucin del problema.
Objetivo
Utilizar las expresiones resultantes para determinar cul de ellas indica mayor rea y, en
consecuencia, identificar la figura geomtrica que cubre mayor superficie.
Indicaciones
Con ayuda de una tabla, ubicar en la primera columna los valores que toma la variable L y en las
columnas consecuentes, se posicionar cada una de las expresiones que se han deducido en el
transcurso de la leccin, con ayuda de esta tabla, identificar la figura geomtrica que cubre mayor
superficie para una longitud L constante.
Tabla 3. Comparacin de la superficie que cubre cada una de las figuras planas
Longitud L
Cuadrado =
10
100
1000
12
= 0. 1
9
2
10
=
= 11. 1
9
1002
=
= 1,111. 1
9
10002
=
= 111,111. 1
9
Rectngulo =
12
= 0.125
8
2
10
=
= 12.5
8
1002
=
= 1,250
8
=
10002
= 125,000
8
Tringulo =
Semicrculo
12 3
= 0.1082
16
12
= 0.159154
2
102 3
= 10.8253
16
102
= 15.915494
2
1002 3
= 1,082.53
16
1002
= 1,591.549431
2
10002 3
= 108,253.17
16
10002
= 159,154.9431
2
Solucin: La princesa Elisa de Tiro, tuvo que utilizar un semicrculo para cubrir la mayor porcin de
tierra posible.
161
Resuelve e investiga
Con una cuerda de 40 cm, formar los polgonos que se muestran en la figura, determine la superficie
de cada uno de estos en trminos de una longitud L, deducir una frmula que entregue como
resultado el rea del hexgono a partir de los tringulos que la integran.
162
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
1. Acevedo, D. (2010), La matemtica en la Historia, Blog Educativo, Conoce Matemtica, tomado
de: http://conocematematica.blogspot.com/p/la-matematica-en-la-historia.html, Accesado el
19/10/2011.
2. Alvar, J. y Wagner, Carlos (-) Consideraciones histricas sobre la fundacin de Cartago, Artculo.
3. Cano O. Geometra Segunda Parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
4. Cano O. Geometra Primera parte. Correspondiente al Quinto ao de humanidades.
5. Gonzlez, R. (1988), Dido y Eneas en la poesa espaola del siglo de oro, Universidad de CastillaLa Mancha.
6. J. J. OConnor y E. F. Robertson (1996) Antifn del Sofista, Biografa. Facultad de Matemtica y
Estadstica, Universidad de St. Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Antiphon.html. Accesado el 22/10/2011.
7. Kirk, G. Raven, J. y Schofield M. (2003). Los filsofos presocrticos. Cambridge University
Press. http://books.google.com/books?id=kFpd86J8PLsC&pg . p. 51,
8. Pogorlov A.V. (1974) Geometra elemental. Editorial Mir, Mosc, traducido del ruso por Carlos
Vea, Catedrtico de Matemticas superiores.
9. Schibli, S., Hermann, Pherekydes de Syros, p. 104, Oxford University. Prensa 2001.
10. Schibli, S., Hermann, Pherekydes de Syros, p. 108, Oxford University. Prensa 2001.
11. Universidad Catlica de Chile (2009) Geometra N 7, Centro de alumnos de Ingeniera,
Preuniversitario de Ingeniera.
163
00000000000
Leccin 10
8 grado
Unidad 9
Objetivos
Presaberes
Lenguaje Algebraico.
Operaciones bsicas con polinomios.
Proceso de resolucin de problemas.
52. En matemticas, un nmero poligonal es un nmero que puede recomponerse en un polgono regular.
53. Anatolio es el nombre que se les da a los que son propios de Anatolia, una pennsula que actualmente es ocupada por la parte
asitica de Turqua.
165
Knorr critica esta interpretacin, sin embargo relata que: ) Pero uno sospecha inmediatamente
que algo est mal: parece extrao que alguien compile un compendio del trabajo de otro hombre y
luego dedicarse a l, mientras que la calificacin "de una manera diferente", en s mismo, vaco de
contenido, debe ser redundante, en vista de los trminos "ms esencial" y "ms breve ...)
Knorr ofrece una traduccin diferente del mismo pasaje (que muestra la dificultad del estudio de
las matemticas griegas para cualquier persona que no es un experto en griego clsico) que tiene
un significado muy diferente: Diofanto trata la aritmtica de Egipto con mayor precisin, pero el
muy erudito Anatolio, habiendo recogido las partes ms esenciales de la doctrina del hombre, la
dirigi de forma sucinta a un Diofanto diferente.
La conclusin de Knorr en cuanto a las fechas de Diofanto es: ...) debemos contemplar la
posibilidad que Diofanto vivi antes del siglo III, posiblemente incluso antes de que Hern lo
hiciera.
La mayora de los detalles que tenemos de la vida de Diofanto (y estos pueden ser totalmente
ficticios) provienen de la Antologa Griega, recopilada por Metrodoro alrededor del ao 500 d. C.
Esta coleccin de acertijos contiene uno acerca de Diofanto que dice: ...) su infancia dur
vida, se cas despus de otro
1
7
1
6
de su
hijo vivi la mitad de la edad de su padre, y el padre muri 4 aos despus del hijo.
As pues, se cas a la edad de 26 aos y tuvo un hijo que muri a la edad de 42 aos, cuatro aos
antes de que Diofanto muriese la edad de 84 aos.
La Aritmtica es una obra que consta de una coleccin de 130 problemas donde se da solucin a
ecuaciones determinadas (poseen nica solucin), y ecuaciones indeterminadas. El mtodo para
resolver ecuaciones indeterminadas es llamado anlisis diofntico54. Slo seis de los 13 libros se
cree que han sobrevivido y se sospecha tambin que los otros deben haberse perdido muy pronto
despus de que fueron escritos. Hay muchas traducciones al rabe, por ejemplo, Abu'l-Wafa, pero
fue el nico material que apareci de estos seis libros. 37
Heath escribe en 1920: Los libros faltantes evidentemente se perdieron en una fecha muy
temprana. Paul Tannery sugiere que los comentarios de Hipatia hacen referencia a los primeros
seis libros, y que no tuvo contacto con los otros siete, que como consecuencia de esto, fueron
olvidados y despus se perdieron.
Sin embargo, un manuscrito rabe en la biblioteca Astan-i Quds (La biblioteca Santuario) en
Meshed, Irn tiene un ttulo diciendo que es una traduccin de Qusta ibn Luqa, quien muri en 912,
del Libro IV a VII de la Aritmtica de Diofanto de Alejandra. F Sezgin hizo este notable
descubrimiento en 1968. Rashed compara los cuatro libros de la traduccin al rabe con los seis
libros griegos y afirma que este texto es una traduccin de los libros perdidos de Diofanto.
Rozenfeld, en la revisin de estos dos artculos no queda completamente convencido: El revisor,
familiarizado con el texto rabe de este manuscrito, no duda de que este manuscrito sea la
54. Una ecuacin diofntica es aquella que tiene solamente coeficientes enteros y cuyas soluciones son tambin nmeros enteros.
166
traduccin del texto griego escrito en Alejandra pero poseen grandes diferencias en relacin a los
libros griegos de la Aritmtica de Diofanto, la diferencia reside en la combinacin de preguntas de
lgebra con preguntas de la teora de la nmeros y otros libros que slo contienen material
algebraico hacen que sea muy probable que este texto no fue escrito por Diofanto, sino por alguno
de sus comentaristas (tal vez de Hipatia?).
Es hora de echar un vistazo a esta obra destacada en el lgebra en las matemticas griegas. El
trabajo considera soluciones de muchos problemas con ecuaciones de primer grado y ecuaciones
de segundo grado (lineales y cuadrticas respectivamente), pero slo considera soluciones
racionales positivas. Las ecuaciones que conducen a soluciones que son negativas o races
cuadradas irracionales, Diofanto las considera intiles.
Para dar un ejemplo concreto, l llama a la ecuacin 4 = 4 + 20 absurda porque conduce a
una respuesta negativa sin sentido. En otras palabras, cmo podra un problema llevarnos a la
solucin de -4 libros? No hay evidencia que sugiera que Diofanto comprendi que las ecuaciones
cuadrticas tienen dos soluciones. Sin embargo, el hecho de que siempre estaba satisfecho con una
solucin racional y no requera un nmero entero, es ms sofisticado de lo que se podra descubrir
en la actualidad.
Diofanto consider tres tipos de ecuaciones de segundo grado 2 + = , 2 = + y
2 + = . La razn por la cual Diofanto comprenda tres casos, mientras que hoy en da
tenemos un solo caso, es que l no tena ninguna nocin del cero y evitaba los coeficientes negativos
considerando los nmeros dados a, b, c , indicando que todo es positivo en los tres casos anteriores.
Hay, sin embargo, muchos otros tipos de problemas considerados por Diofanto. Resolvi problemas
como pares de ecuaciones cuadrticas simultneas.
Conociendo que + = 10 = 9. Diofanto resolvera esto creando una sola ecuacin
cuadrtica en x. Pongamos 2 = por lo tanto, agregando + = 10 y = 2 ,
tenemos = 5 + , luego restando les da = 5 . Ahora bien:
9 = yz = (5 + x) (5 - x) = 25 - x 2, por lo que x 2 = 16, x = 4
Que lleva a y = 9, z = 1.
En el Libro III, Diofanto resuelve problemas de encontrar valores que conformen dos expresiones
lineales simultneamente en cuadrados. Por ejemplo l ensea cmo encontrar x para resolver
10 + 9 5 + 4. Otros problemas buscan valores de x tales que las clases particulares de
polinomios en x hasta el grado 6 sean cuadrados. Por ejemplo l resuelve en el libro VI el problema
de encontrar el valor de x tal que 3 + 3 2 + 3 + 1 sea un cuadrado.
Heath se fija en los resultados de la teora de nmeros de la cual Diofanto estaba claramente
consciente, aun as no est claro si tena una prueba de ello. Por supuesto que estos resultados
167
pueden haber sido demostrados en otros libros escritos por Diofanto o puede haber sentido que
eran obviamente verdaderos gracias a su evidencia experimental. Entre semejantes resultados
tenemos [4]:
... ningn nmero de forma 4n + 3 o 4n - 1 puede ser la suma de dos cuadrados;
... un nmero de la forma 24n + 7 no puede ser la suma de 3 cuadrados.
Tambin parece que Diofanto da la impresin de conocer que cada nmero puede ser escrito como
la suma de cuatro cuadrados. Si realmente conoca este resultado sera verdaderamente
impresionante an para el propio Fermat, quien especific el resultado, fall el proporcionar
pruebas de ello y no se estableci hasta que Lagrange lo demostr usando resultados de Euler.
Aunque Diofanto no us anotaciones algebraicas sofisticadas, s introdujo un simbolismo algebraico
que utilizaba una abreviatura para lo desconocido y para las potencias de lo desconocido. Como
escribe Vogel: El simbolismo que introdujo Diofanto por primera vez y que sin duda lo obtuvo por
s mismo, suministraba una manera corta y fcilmente comprensible de expresar una ecuacin...
Como tambin se utiliza una abreviatura para la palabra igual a, Diofanto dio un paso
fundamental del lgebra verbal hacia el lgebra simblica.
Una cosa quedar clara por los ejemplos que hemos citado y es que Diofanto estaba preocupado con
los problemas particulares ms a menudo que con los mtodos generales. La razn de esto es que a
pesar de que hizo importantes avances en el simbolismo, an le faltaba la notacin necesaria para
expresar mtodos ms generales.
Por ejemplo, l nicamente tena notacin para una incgnita y cuando los problemas involucraban
ms de una simple incgnita, Diofanto se vea limitado a expresar primera incgnita, segunda
incgnita, etc., en palabras. Tampoco tena un smbolo para un nmero general n. En donde
nosotros escribiramos
12 + 6
,
2 3
factor de seis aumentado ms doce, el cual se divide por la diferencia entre el cuadrado del nmero
menos tres.
A pesar de la anotacin mejorada que introdujo Diofanto, el lgebra an tena un largo camino por
delante antes de que los problemas verdaderamente de tipo general pudieran ser escritos y
resueltos sucintamente.
Igualdades, identidades y ecuaciones
Una igualdad se indica mediante el smbolo (=), es una relacin de equivalencia entre dos
expresiones algebraicas, numricas o literales, que se cumple para alguno o todos los valores. Cada
una de las expresiones que se encuentran en ambos extremos de la igualdad se les llama miembros.
Una igualdad est formada por el miembro derecho y miembro izquierdo en relacin a la igualdad
que se encuentra en el centro.
168
Las ecuaciones tambin pueden definirse a partir del estudio de polinomios y expresiones
algebraicas. El estudio de las ecuaciones algebraicas surge a partir del anlisis de polinomios de la
forma P(x), que igualando a cero, se tiene la ecuacin:
) = 0
En esta ecuacin la x representa un nmero desconocido que la satisface, es decir, que sustituyendo
en P(x) el resultado es cero. Cualquier nmero que satisface la ecuacin se llama raz; las races de
una ecuacin P(x)=0 a menudo se denominan races del polinomio p(x). El problema de resolver
una ecuacin reside en encontrar la raz o races. El nmero de races de un polinomio est
determinado por el grado del polinomio, si el grado del polinomio es n se dice que la ecuacin
correspondiente es de grado n. segn el valor de n (grado del polinomio o grado de la ecuacin)
para n = 1, 2, 3, 4, , tenemos las ecuaciones de la forma:
0 + 1
0 + 1 + 2
3
0 + 1 2 + 2 + 3
0 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4
2
=0
=0
=0
=0
En esta leccin se estudiar nicamente las ecuaciones de grado 1, tambin conocidas con el
nombre de ecuaciones lineales, estas ecuaciones tienen una sola raz. Para resolver una ecuacin
lineal de primer grado, se utiliza el proceso de transposicin de trminos que se comprende con
facilidad si relacionamos la ecuacin con una balanza, donde el propsito primordial ser mover
trminos de un miembro a otro, manteniendo la igualdad.
Para comprender este proceso, observar el siguiente proceso.
Se desea conocer el valor de x para la ecuacin 7 + 3 = 4 + 8
En este caso el grado de dificultad del proceso es mnimo, puesto que son nicamente sumas y
restas. Para despejar la variable x y encontrar el valor que le corresponde, es necesario agrupar
todos los trminos que tienen la variable x en el miembro izquierdo de la ecuacin, y todos aquellos
trminos independientes se ubicarn en el miembro derecho.
Para ello debemos imaginar que la ecuacin es en realidad una balanza muy bien equilibrada,
tambin debemos suponer que si se quita algo de uno de los miembros, por mnimo que esto sea, la
balanza se desequilibrar, para evitar esto, debemos quitar partes iguales a ambos miembros de la
igualdad, garantizando el equilibrio de esta. Del mismo modo se prosigue para aumentar, duplicar y
fraccionar.
Para transponer 4x, se debe restar 4x en ambos miembros, de este modo, 4x-4x=0
7 + 3 4 = 4 + 8 4
169
7 + 3 4 = 8
Del mismo modo, para transponer 3 del miembro izquierdo al miembro derecho, se resta 3 en
ambos extremos de la igualdad.
7 + 3 4 3 = 8 3
7 4 = 8 3
Reduciendo trminos semejantes, se tiene:
3 = 5
Ahora bien, se observa que la variable x est siendo multiplicada por 3, para despejar x se tiene que
dividir esta en tres partes iguales, cada parte corresponde a x. Del mismo modo, 5 deber dividirse
en tres partes iguales y cada una de estas partes se har corresponder a x.
5
3 = 3
3
Otra forma de comprender este paso, consiste en dividir ambos miembros de la igualdad por el
coeficiente que tiene la variable x.
3 5
=
3
3
5
=
3
5
Por lo tanto x es 3.
Las ecuaciones pueden utilizarse en diversos mbitos, sean estos, cientficos, tecnolgicos, ecologa,
biologa, gentica, qumica, inclusive en la naturaleza, la amplia aplicacin de las ecuaciones lineales
gua a utilizarlas en conjunto con los mtodos y estrategias de despeje de variables para resolver
problemas cuyos enunciados pueden convertirse a expresiones algebraicas pasando de lenguaje
comn a lenguaje algebraico.
En el desarrollo de las actividades de esta leccin se trabaja con procesos que buscan determinar la
raz o solucin de ecuaciones lineales como resultado de la resolucin de problemas.
En matemtica, la resolucin de problemas es una de las actitudes que se desea inculcar en las
nuevas generaciones. Hacer de un problema un tema de aprendizaje de contenidos conceptuales,
procedimentales y actitudinales, no es tarea fcil. En esta leccin se hace referencia al libro Cmo
plantear y resolver problemas de George Polya.
Solucionar un problema es un proceso que enriquece en gran medida las capacidades intelectuales
del estudiantado. Proponer un problema es brindar la oportunidad de utilizar los conocimientos y
habilidades de forma integral para alcanzar un fin.
Existen estrategias que facilitan el anlisis de los problemas, George Polya propone una serie de
pasos que orientan el anlisis y comprensin de situaciones, permitiendo, adems, formular
estrategias para encontrar soluciones coherentes.
170
171
independiente. Por lo general se utiliza la letra x, para variables independientes, donde x puede
tomar cualquier valor definido en el conjunto de nmeros reales, y la variable dependiente
comnmente expresada con la letra y, adquiere valores a raz de la asignacin de x.
Cuando en una ecuacin de la forma y=mx, se asignan diversos valores para la variable x, en
consecuencia se obtendrn diversos valores para la variable y en correspondencia biunvoca entre
elementos x y y. Cada par de valores se denomina par ordenado, cada uno de los pares ordenados
representa un punto sobre el plano cartesiano, de este modo, para toda ecuacin de la forma
y=mx+b se pueden deducir infinitos puntos y al ubicar todos estos puntos sobre el plano
cartesiano se obtiene la grfica de la ecuacin lineal.
Verifica la forma de la grfica de la ecuacin = 3 + 2.
La variable x puede tomar infinitos valores, para facilitar el proceso se propone utilizar la siguiente
tabla.
Tabla 1. Pares ordenados de la ecuacin = +
Variable independiente x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Sustitucin en y=3x+2
= 3 3) + 2 = 7
= 3 2) + 2 = 4
= 3 1) + 2 = 1
= 3 0) + 2 = 2
= 3 1) + 2 = 5
= 3 2) + 2 = 8
= 3 3) + 2 = 11
172
Para graficar una funcin lineal se necesita nicamente de dos puntos, para el anlisis de la grfica
son necesarios dos puntos relevantes, uno de ellos es el punto en que la grfica de la ecuacin
intersecta el eje x, y el otro es el punto en que intersecta el eje y. observar la Figura 3.
173
DESARROLLO DE LA LECCIN
Actividad 1. Ecuaciones lineales y la resolucin de problemas.
Objetivo
Utilizar conocimientos previos en la resolucin de problemas con ecuaciones lineales.
Indicaciones
Invitar a los estudiantes a traducir enunciados de lenguaje comn a lenguaje algebraico, adems,
procurar que estos resuelvan los problemas que se proponen.
El idioma del lgebra es la ecuacin, Newton escribe en su manual de lgebra titulado Aritmtica
universal: Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de cantidades,
basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma algebraico.
El problema que se plantea a continuacin sirve para ejemplificar el cambio de lenguaje natural o
comn a lenguaje algebraico.
Un comerciante tena una determinada suma de dinero. El primer ao se gast 100 libras, aument el
resto con un tercio de este. Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras y aument la suma restante en
un tercio de ella. El tercer ao gast de nuevo 100 libras. Despus de que hubo agregado su tercera
parte el capital lleg al doble del capital inicial.
El paso del lenguaje comn al lenguaje algebraico, a pesar de no ser sencillo, posee muchas
virtudes, puesto que simplifica la informacin contenida en un prrafo expresndolo mediante
nmeros y letras en lenguaje algebraico.
De este modo, para referirse a datos que se desconocen, por ejemplo la frase Un comerciante tena
determinada suma de dinero, la frase se expresa en lenguaje algebraico asignando una letra, si
definimos la letra x, como una determinada suma de dinero, y agregamos la frase el primer ao
gast un tercio de este, el lector comprende de inmediato que se est hablando de la suma de dinero
x. La accin de gastar, implica una reduccin por lo que, a partir de x, se reduce o resta este en 100
unidades. Se tiene la expresin 100.
Si ahora se agrega la frase aument el resto con un tercio de este. Recurdese que el resto fue de
x 100, y que la tercera parte de esto se indica mediante la expresin
100
.
3
De este modo, si se
174
Al ao siguiente volvi a gastar 100 libras. Se utiliza la expresin anterior y a esta se le restan 100
unidades.
4 400
4 400 300
100 =
3
3
4 400 4 700
=
3
3
Si a
4700
3
4700
; la
3
4700
; se
9
tiene:
Despus de que hubo agregado su tercera parte. El capital lleg al doble del inicial.
La tercera parte de
163700
9
163700
9
, simplificando se tiene:
16 3700
16 3700
9
=
3
27
Efectuando la suma de
163700
9
con
163700
27
6414800
27
= 2
175
El capital inicial est representado mediante la letra x. Para determinar el valor de x, es necesario
despejar la variable, por lo que es necesario transponer trminos de un miembro a otro de la
ecuacin manteniendo la igualdad.
En el miembro izquierdo de la ecuacin, se tiene la expresin
6414800
.
27
es necesario quitar el nmero 27 del denominador. Para ello, se multiplica todo el miembro
27
La solucin del problema es 1480. Este resultado tiene que verificarse, por lo que se efectan los
pasos descritos en el problema. Si el valor 1480 es verdadero, al final de todo el proceso se deber
tener el doble, que es 2960. Para ello hacer uso de la siguiente tabla.
Problema en lenguaje comn
Comprobacin
176
1480-100=1380
1380 +
1380
= 1380 + 460 = 1840
3
1840-100=1740
1740 +
1740
= 1740 + 580 = 2320
3
2320-100=2220
2220 +
2220
= 2220 + 740 = 2960
3
2(1480)=2960
Ahora que se ha comprobado la veracidad del resultado, se puede asegurar que la solucin al
problema se relata de la forma siguiente: la cantidad de dinero inicial que tena el comerciante es de
1480.
177
2.5
4.5
6.5
100
1
h 760 , donde P representa el valor de la presin en
10500
milmetros de mercurio (mm Hg) y h la altura sobre el nivel del mar expresada en mm.
1. Cul es la presin atmosfrica aproximada que soporta una avioneta que vuela a 3,500 metros
de altura?
2. Entre qu valores de altura sera razonable utilizar esta frmula?
178
Problema 4. Un automvil se dirige por un camino recto a 90 km/h desde la ciudad A hasta la
ciudad B, distantes entre s 120 km.
a.
b.
c.
d.
e.
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
24. Allard, A. (1985) Le manuscrit desArithmtiques de Diophante dAlexandrie et les lettres
dAndr Dudith dans le Monacensis lat. 10370, Mathemata, Boethius: Texte Abh.
25. Bashmakova, I. (1988) Diophantus of Alexandria. 2nd-3rd centuries A.D., Russian, Mat. V Shkole.
26. J. J. OConnor y E. F. Robertson (1996) Diofanto de Alejandra. Facultad de Matemtica y
Estadstica, Universidad de St. Andrews, Escocia. Tomado de: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Diophantus.html. Accesado el 22/10/2011
27. Heath, T L (1964) Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra
New York.
28. Kirk, G. Raven, J. y Schofield M. (2003). Los filsofos presocrticos. Cambridge University Press.
http://books.google.com/books?id=kFpd86J8PLsC&pg . p. 51.
29. Meserve, B. (1965) Conceptos fundamentales de lgebra. Ediciones de la Universidad de Chile y
Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
30. Perelman, Y. (1978) lgebra Recreativa. Ciencia popular, Editorial Mir, Mosc.
179