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Piaget (1950) Intr A La Epistemología Genética. Vol 1. El Pensamiento Matemático
Piaget (1950) Intr A La Epistemología Genética. Vol 1. El Pensamiento Matemático
Piaget (1950) Intr A La Epistemología Genética. Vol 1. El Pensamiento Matemático
DE PSICOLOGIA
EVOLUTIVA
Volumen 5
H. E. JONES y otros
EL DESARROLLO DEL NIO
PEQUEO
SERIE 1 GESELL
CH.
A.
GESELL
EMBRIOLOGIA
BHLER,
Volumen 6
A. T. JElISILll
y J. E. ANDERSON
LAS EMOCIONES DEL NIO
PEQUEO
J.
1
y C. AMATRuDA
DE LA CONDUCTA
B.
11
Volumen
F. L. ILe
EL NIO DE 1 A 5 AOS
A. GESELL y
M.
GESELL
y F. L.
lLG
Volumen
EL NIO DE 5 A 10 AOS
V
A. GESELL
PSICOLOGIA EVOLUTIVA
DE 1 A 16 AOS
EL
TRAUMA
DEL
NACIMIENTO
Volumen 9
B. INHELDER y J. PIACET
DE LA LOGICA DEL NIO
A LA LOGICA DEL ADOLESCENTE
Volumen
J.
10
PlAGET
1. El pensamiento matemtico
INTRODUCCION
A LA
EPISTEMOLOGIA
GENETICA
1. El pensamiento matemtico
SERIE 2
E.
OTTO RANK
N
A. GESELL, F. L. ILG y L. B. AMES
EL ADOLESCENTE
DE 10 A 16
AOS
Volumen
ROSENBERG
LA AUTOIMAGEN
DEL ADOLESCENTE
Y LA SOCIEDAD
m
A.
WATSON,
Volumen
2
J;
HURLOCK
11
PlAGET"
INTRODUCCION
A LA
EPISTEMOLOGIA
GENETICA
2. El pensamiento fsico
PSICOLOGIA DE LA
ADOLESCENCIA
Volumen 3
H. WERNER
PSICOLOGIA COMPARADA DEL
DESARROLLO MENTAL
Volumen 4
C. W. VALENTINE
ANORMALIDADES EN EL NIO
NORMAL
Volumen
J.
Prlogo de
Emilia F erreiro y Rolando Carda
12
PlAGET
INTRODUCCION
A LA
EPISTEMOLOGIA
GENETICA
2. El pensamiento biolgico, psicolgico
y sociolgico
SERIE
VOLUMEN
del.origiii(P1ffGflt.r- ."
Ttul~
1,
- - ------'''~~'~~~~~iTlti:ijjuCTlrJNA
GSNS1'IQUE
l.
La pense mathmatique
INDICE
Publicado por
PRESSES UNIVERSIT AIRES DE FRANCE
PRESENTACIN
Garca
Versin castellana de
MARIA TERESA CEV ASCO
VICTOR FISCaMAN
PREFACIO
DE
LA EDICIN
CASTELLANA,
......................................................
9
25
:...........................
,
INTRODUCCIN.
OBJETO
... .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
27
27
31
36
41
48
52
57
PRIMERA PARTE
EL PENSAMIENTO
MATEMATICO'
CAPTULO
IMPRESO
EN LA ARGENTINA
PAIDOS, S.A.l.C.F.
. '. CAPTULO
2:
67
68
75
81
91
95
98
105 '
109
114
118
123
127
138
140
NDICE
163
172
183
189'
200
204
215
220
231
242
griega
2. La toma de conciencia histrica de las operaciones. B. La matemtica
moderna
3. El razonamiento matemtico.
A. De Poincar :a Goblot
4. El razonamiento matemtico.
B. La interpretacin de Emile Meyerson
5. La interpretacin logstica del razonamiento matemtico
6. Las tesis de ]. Cavaills y de A. Lautman
7. Conclusiones:
La naturaleza de los entes y de las operaciones matemticas
,
,
".........................
242
CAPTULO
249
255
261
271
288
295
CASTELLANA
EL
10
JEAN PIAGET
implcitas -o que se enuncian sin justificacin- en las teora~ del cono~imiento que estn en boga. Lo que ms sorprende en tales circunstancias
es la superficialidad con la cual se manejan, en este terreno, aun aquellos
epistemlogos que en cualquier otra disciplina exigen l~,aplicacifolde .~n
riguroso mtodo cientfico para fundamentar cada asercion, Esta slt~a.clOn
tiene dos races muy evidentes que e! propio Piaget ha puesto de manifiesto
en numerosas ocasiones. La primera de ellas -muy justificable- es el
estado de inmadurez que ha caracterizado a la psicologa experimental como
disciplina cientfica, tanto por la unilateralidad de sus mtod.os ~~mo por
la esterilidad de sus resultados. La segunda -mucho menos justificable-ereside en lo que podramos llamar "la ingenua aceptacin de.la introspeccin
corno mtodo" (o, aun, corno el mtodo), lo cual permite a cada. uno
convencerse de que sus "reflexiones" sobre la naturaleza de los mecarusmcs
psicolgicos que actan ~n los procesos cognosc~tivosno son ~usce~tiblesde
verificacin experimental, ni tampoco lo requieren. La psicologa, como
lo seala Piaget, tiene un triste privilegio: es la ciencia en la que todos se
creen con competencia para hablar.
En los casos en que se reconoce que la psicologa juega un rol importante en el anlisis d los problemas epistemolgicos, su lugar suele reducirse al de un dominio,muy restringido cuya definicin y justificacin queda,
tambin en e! campo de la reflexin o especulacin filosfica. Un ejemplo
caracteristico lo encontrarnos en Bertrand Russell. En su ltima obra d.e
carcter filosfico 1 reitera las dos cuestiones bsicas con respecto al conocimiento humano: "Qu es lo que conocemos?" y "Cm_oes que.lo ~onocemos?" Asigna a la ciencia -o, mejor dicho, a las diversas ciencias-ela responsabilidad de responder a la primera pregunt~ .. Con respe~to a ~a
segunda Russell va a conceder a la psicologa el mento de ser la mas
, de las ciencias", basndose fundamentalmente en que " to da 1a
importante
materia prima de nuestro conocimiento consiste en ev~nt~s mentales. en
la vida de personas separadas. En esta regin, por consiguiente, la PSICOloga es suprema" (pg. 166). Curiosamente, Russell declara "suprema" a
la psicologa, pero no se pregunta si su afirmacin precedente acerca de
"la materia prima de nuestro conocimiento" es aceptable 'para ella.
En la misma obra Russell establece una distincin entre "creencias"
(recordemos que para Russell "conocimiento" es "una subclase de creencias
verdaderas") y declara que aquellas creencias ~ue no pu~den sustentar~e
en ninguna otra razn son las que tienen mayor importancia para la teora
de! conocimiento, puesto que ellas constituyen "el mnimo indispensable de
premisas para nu'estro conocimiento de cuestiones de ~echo". A tales creencias las llama "datos" y las define as: "Aquellas cuestiones de hecho acerca
de las cuales, independientemente de ta inferencia, tenernos.derecho a sentirnos muy cercanamente en lo cie~to" (pg. 171,.la bastardilla es ~uestra) .
Nuevamente aqu tenemos que afirmar que, curiosamente, despues de ha1 Human knouiletlge, its scope ~nd limits. Nueva York, Simon an~ Schuster,
1948, pgs. 52-53. [Hay versin castellana: El conocimiento humano. Madrid, Taurus.
1966.]
PENSAMIENTO
MATEMTICO
11
EL
12
JEAN
PIAGET
PENSAMIENTO
MATEMTICO
13
14
JEAN PIAGET
3 "Les rnthodes de l'pistrnologie" en J. Piaget (comp.): Logique et connaissance scientiiique. Pars Gallimard Enciclopdie de la Plade, 1967, pgs. 105106. [Hay versin casteIIan~: Naturaleia:JI mtodos dela epistemologa, Buenos Aires,
Proteo. 1970.J
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
15
II
No es ste el lugar de hacer una presentacin resumida de la teora
epistemolgica elaborada por Piaget. Sin embargo creernos que podra ser
. til sealar ciertos conceptos claves que permiten ubicarla y diferenciarla
netamente dentro del campo de las teoras epistemolgicas contemporneas.
1) La concepcin bsica ms original de esta teora epistemolgica
consiste en afirmar que la accin es constitutiva de todo conocimiento. El
c~.?ciII1iento es dependie~;_'ae-la=
la accin es productora de
conocimiento. Esta primaca de la accin se sustentar genticamente a
partir del anlisis deIas conductas ms elementales del recin nacido. El
suj~!o Ilo_.S()Foc~_rnspropiedades de las cosas qlle aquellas que S11 accin
le permite conocer. El ITlUn-cf.
del lactante no se comp~ndra de objetos
tales como nosotros podramos describirlos, sino que se compondra de cosas
chupa bIes, agarrables, mirables, escuchables, etc. "Cosas" que todava no
son objetos del mundo fsico, sino impresiones sensoriales complejas, imposibl~.s.d~..ser atrii:J_tlidascon precisin al_mundo externo alffiuiiaolnterno:
Paulatinamente se ir produciendo un dobl~ movimiento de integracin
del sujeto y del objeto: en la medida.en.queal
sujeto coordine_sus acciones
comenzar a dar unidad al objeto con el que interacta (por ej., en la
medida en que la coordinacin de los esquemas le permita llevar al campo
visual lo que la mano agarra, las cualidades de mirable v agarrable sern
atribuidas al mismo objeto). La cornplejizacin del objeto es entonces
correlativa con la complejizacin y organizacin del sujeto; solamente la
<:~o~diI1~sin..d~Jos .esquemasrlr. accin permitir Qr unidad.a .Ios objetos,
a travs de la unidad de la accin.'
'
a:ccion.=y=
16
JEAN
tudes
G Biologie
EL
PIAGET
PENSAMIENTO
MATEMTICO
17
P.U.F.,
EL PENSAMIENTO
18
MATEMTICO
19
JEAN PIAGET
aunque "se modifica a medida que tiene lugar esa conquista, pero provevendo los ndices de una creciente aproximacin". ~
.
Vale la pena recordar la ancdota acerca de! dilogo que mantiene
Piaget con Kedrov y Rubinstein en la Academia de Ciencias de la U.R.S.S.,
para comprender la distancia que separa a Piaget de una posicin idealista."
Kedrov le pregunta: "Cree usted que el objeto existe antes del conocimiento?" l:'iaget responde: "En tanto psiclogo no lo s, porque slo
conozco e! objeto actuando sobre l, y no puedo afirmar nada acerca de
l antes de esta accin". Rubinstein reformula la pregunta: "Para nosotros
el objeto es una parte del mundo. Cree usted que el mundo existe antes
del conocimiento?" Piaget responde entonces: "Ese es otro problema. Para
actuar sobre el objeto me es necesario un organismo y este organismo
tambin forma parte del mundo. Creo entonces, evidentemente, que el
mundo existe antes del conocimiento, pero nosotros no lo recortarnos en
objetos particulares, sino en el curso de nuestras acciones y por interacciones
entre el organismo y el medio".
4) Una de las ideas centrales de la epistemologa gentica es la siguiente: tanto la naturaleza como la calidez de los conocimientos dgpenden
de su modo de formacin. Se objetar que se confunden aqu dos problemas
bien diferentes: el de la validez (problema normativo) con el proceso de
formacin de conocimientos (problema emprico). Sin embargo no es as,
y merece citarse por su claridad un prrafo del "Prefacio a la segunda
edicin" en francs de esta misma Introduccin, redactado por Piaget en
1972:
"Esa objecin supone, en efecto, la existencia de tres elementos o de
tres personajes diferentes en el anlisis de todo acto de conocimiento:
1) el sujeto de este conocimiento, que razona a su manera segn su nivel,
su grado de informacin, etc.; 2) el historiador, el socilogo o el psiclogo,
que estudia el proceso que condujo al sujeto a su estado de conocimiento
actual, y 3) el epistemlogo, que evala este conocimiento de los sujetos a la
luz de normas que este tercer personaje se encarga de proveer en nombre
de una filosofa determinada. Pero lo que no se llega a hacer comprender
a ciertos filsofos adversarios de la epistemologa gentica es que el actor
rr? 2 (el psiclogo, etc.) no intenta en absoluto jugar el rol del actor n? 3
(el normativista), sino solamente devolver su valor al actor n? 1 (el sujeto
de conocimiento). Esto conduce evidentemente a la consecuencia molesta
de hacer intil al actor n? 3, pero en beneficio del sujeto mismo y no del
actor n? 2 que se limita a describir cmo ese sujeto activo y responsable
lleg por sus propios medios a resolver sus propios problemas".
"En efecto, cuando se nos dice que el proceso formativo no es explicativo ni podra constituir una fuente suficiente de evaluacin normativa,
se olvidan delib~radamente tres hechos esenciales. Se olvida en primer
s "Les courants de l'pistmologie scientifique contemporaine" en J. Piaget
(comp.): Logique et connaissance scientiiique (op. cit.). pg. 1260. [De esta parte
de la obra no hay traduccin.]
,
n Sagesse et illusions de la philosophie . Pars, r-.u.s., 1965, pgs. 274-275. [Hay
versin castellana: Sabidura e ilusiones de la filosofa. Barcelona, Pennsula, 1970.J
20
JEAN
EL
PIAGET
y contenido).
PENSAMIENTO
MATEMTICO
21
III
Piaget publica esta Introduction
a ['pistmologie gntique en 1950,
y cinco aos ms tarde lograr hacer realidad un proyecto largamente acariciado: la creacin del Centro Internacional de Epistemologa Gentica. La
concepcin epistemolgica de Piaget exige el trabajo en comn de cientficos provenientes de distintas disciplinas: lgicos, matemticos, historiadores de la ciencia, bilogos, especialistas en ciberntica, psiclogos, fsicos
(para no citar sino las especialidades que han estado efectivamente representadas en lbs aos de funcionamiento del Centro). Los nicos ausentes
22
JEAN PIAGET
son los filsofos especulativos (aquellos definidos por el lgico Grize, con
razn y agudeza, de la siguiente rnanera: "Un filsofo es aquel que habla
con autoridad de aquellos que tienen la reputacin de ser filsofos"). Acerca
de. su concepcin sobre los filsofos y la filosofa Piaget se explaya largamente en un libro singular; Sabidura e ilusiones de la filosofa, al que
remitimos al lector. Se trata de un libro aparte en la obra piagetiana en
razn de su estilo: contrariamente a lo que ocurre en el resto de sus obras,
Piaget se explaya aqu libremente, mezclando confesiones autobiogrficas y
ancdotas en un texto polmico donde los dardos y el humor alternan con
el anlisis riguroso.
Los resultados de los trabajos del Centro Internacional de Epistemologa Gentica (que mantiene desde su creacin la tradicin de un
Simposium anual en el 'que se presentan v discuten los resultados de cada
ao de labor) comenzaron a publicarse en' 1957 en una coleccin intitulada
"Estudios de Epistemologa Gentica" (editada por Presses Universitaires
de France), coleccin que ya cuenta con treinta volmenes publicados.
N!nguno de ellos est firmado exclusivamente por Piaget, que ha querido
l1S1 marcar claramente el carcter interdisciplinario de la obra del Centro.
L~s seis ltimos volmenes estn dedicados a problemas centrales de la
epistemologa de la fsica, que constituyen un complemento indispensable
al tomo Ir de esta Introduccin, en tanto que los primeros volmenes de la
coleccin estn dedicados fundamentalmente a problemas vinculados con
la epistemologa del conocimiento lgico-matemtico (abordados en el
tomo 1 de esta Introduccin).
Aqu es til hacer la siguiente observacin; cuando Piaget .escribe
el tomo 1 de esta Introduccin, tiene ya suficientes datos experimentales
sobre la gnesis de las estructuras lgicas elementales que le permiten dar
e~sustento emprico gentico a la posicin adoptada (para entonces ya han
SIdorealizados sus descubrimientos fundamentales acerca de la construccin
progresiva de las nociones elementales de conservacin: invariancia numrica, sustancia, longitudes, permanencia del objeto, etc.). Para la misma
poca, el sustento emprico gentico relativo al tomo XI (El pensamiento
f~sico) se reduca a la gnesis de nociones de tiempo, movimiento y velocidad, a las nociones de conservacin de peso y volumen y a datos obtenidos
en sus primeras investigaciones sobre la causalidad fsica con una tcnica
. puramente verbal, posteriormente descartada. Los ltimos aos de trabajo
del Centro Internacional de Epistemologa Gentica permiten aportar la
masa de datos experimentales relativos a la gnesispsicolgica que faltaban
e~tonces, y contribuyen a reelaborar la nocin de causalidad y las explicacienes causales. Finalmente, el tomo III es producto de una reflexin
sistemtica sobre la biologa, la psicologa y la sociologa. Esta reflexin
est guiada por el mtodo histrico-crtico pero no es completada por ningu~o.de los otros dos mtodos. En particular, tanto en el. momento de
escribir su Introduccin como en el presente, no hay datos experimentales
que permitan sustentar una epistemologa de la biologa o -de las ciencias
humanas. El lugar de este tercer tomo (exceptuadas las conclusiones generales con las que culmina la obra) es, pues, muy particular puesto que an
23
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
no hay una epistemologa gentica de las ciencias humanas. Por otra parte,
Piaget mismo ha reelaborado el contenido de este tercer volumen en dos
obras recientes; Biologie et conuaissance 11 y una coleccin de tres ensayos
publicados bajo el ttulo Epistmologie des sciences de l' homme. [Epistemologa de las ciencias del hombre].u De estas dos obras, la primera es
sin duda la ms importante; all Piaget retoma el proyecto original de sus
aos de adolescencia (construir una epistemologa biolgica) desde la perspectiva que le dan ms de cuarenta aos de dedicacin al tema, y descubre
en la biologa de vanguardia, y muy particularmente en las ideas de
Waddington, el punto de unin necesario con su concepcin epistemolgica.
Es precisamente ese ensayo, excepcionalmente rico en ideas nuevas, de una
originalidad indiscutible, el que se cierra con este prrafo: "La obra que
se acaba de leer tiene todo tipo de defectos, de los cuales uno predomina;
nada de lo que all se dice est probado, y todo lo que se sugiere no son
sino interpretaciones que se apoyan sobre los hechos, pero que van ms
all de ellos sin cesar. Sin embargo hemos escrito este ensayo porque el
tipo de colaboracin entre bilogos, psiclogos y episternlogos que tales
pruebas supondran, es prcticamente inexistente y es altamente deseable.
Una epistemologa cientfica slo es posible por un trabajo interdisciplinario
y esta cooperacin es an demasido escasa para responder a los problemas
que se plantean".
Es en ese sentido que, a pesar de 10 que podra hacer suponer el tercer
tomo de esta Introduccin, es preciso sealar que la epistemologa gentica
de las ciencias humanas y de la biologa no est elaborada. Este tercer
volumen (conjuntamente con las obras posteriores que lo continan) cons!ituye un marco general, una primera aproximacin al problema y una
incitacin al trabajo interdisciplinario que permitira crear las condiciones
de produccin de esa epistemologa. La obra de Piaget no se cierra sobre
s misma, sino que abre nuevos campos para la investigacin epistemolgica.
EMILIA FERREIRO
ROLANDO GARcA
11
Op. cit. Vase adems otra obra posterior: Adaptation vitale et psychologie
PREFACIO
problemas de variacin y adaptacin), hacia las cuestiones lgicas J' epistemolgicas nos hizo soar con la posibilidad de construir una epistemologa
biolgica fundada exclusivamente en la idea del desarrollo. En aquella
poca se impona recurrir a la psicologa concreta y, ante todo, a esa
embriologa de la razn que es el estudio de la mleligencia en el nio. Nos
iniciamos entonces con algunas investigaciones previas acerca de la lgica
del nio> a las cuales tenamos pensado consagrar a lo sumo unos cinco
aos. Estos trabajos preliminares nos ocuparon durante treinta aiios y an
no estn terminados ...
Si bien tuvimos cuidado en no establecer Reneralizaciones demasiado
rpidas, en cuanto a la constitucin de esta ejJisternologa gentica cuyos
lineamientos intentamos fijar hoy, jams perdimos de vista tal objetivo.
Nos esforzamos, especialmente, en 'conservar un contacto suficiente con
la propia historia d las ciencias. Corno afirmaba' P. [anet , los cursos
existen para que aparezcan en ellos aquellas cosas de las que an no estamos
seguros: el liberalismo intelectual de la facultad de Ciencias Generales de
Ginebra )' de E. Claparede que, en aquel entonces, enseaba psicologa
experimental, nos permiti ocupar durante ms de diez aos una ctedra
de historia del pensamiento cientfico. La presente obra es el resultado de
una comparacin, a la que nos consagramos constantemente, entre la psicognesis de las operaciones intelectuales y su desenvolvimiento histrico.
Agradecemos ante todo a nuestros colegas de la facultad. Muchos
problemas nos hubiera planteado mantener este proyecto sin las conversaciones continuas con representantes de las ciencias exactas que comprendan
el punto de vista del psiclogo. Pensamos en particular en Ch.-Eug. Guye
y luego en R. Wavre, J. Weigl y E. Stuckelbet g, E. Guynot, L. Fraud,
A. Ammann, y tambin en M. Chauannes, asistente de matemtica.
Falta an decir algo ms en cuanto a la composicin de esta obra.
Siempre nos encontramos atrapados entre dos escollos. Como escribamos
para los epistemlogos, no podamos dar por supuesto que hubieran ledo
detalladamente nuestras investigaciones acerca de la psicologa de 'la inteli-
26
JEAN PIAGET
J.P.
1 Colin,
1949.
INTRODUCCION
OBJETO y METODOS DE LA EPISTEMOLOGIA
GENETICA
28
JEAN
PIAGET
EL
trata sin embargo de dos enfoques muy diferentes. No hay frontera absoluta
entre ellas, porque una se refiere a la totalidad v la otra a los aspectos
particulares de lo real. Por lo tanto, nunca puede decidirse a priori si
un problema es de naturaleza cientfica o filosfica. En la prctica, y
a posteriori, se comprueba que respecto de algunos puntos es posible lograr
cierto acuerdo (por ejemplo, el clcuio de la probabilidad de un fenmeno,
las leyes de la herencia o la estructura de una percepcin), mientras que
respecto de otros puntos este acuerdo resulta difcil (por ejemplo, la libertad
humana). Se dir, pues, que los primeros presentan un carcter cientfico
y los segundos son de orden filosfico, pero con ello simplemente se quiere
decir que se ha conseguido aislar los primeros problemas de tal modo que
su solucin no cuestione al conjunto, mientras que los segundos son solidarios de una sucesin indefinida de cuestiones previas que necesitan una
toma de posicin en cuanto a la totalidad de lo real. Se trata de una
situacin de hecho y sucede a menudo que un problema considerado
tradicionalmente como filosfico se convierte en cientfico gracias a una
nueva delimitacin. As sucedi con *a ayor parte de los problemas psicolgicos: hoy pueden estudiarse las leye de la percepcin y el desarrollo de
la inteligencia, sin tener la obligaci de tomar partido alguno en cuanto
a la naturaleza del "alma" ..
Sin embargo, si bien no hay frontera fija alguna entre las cuestiones
filosficas y las cientficas, se las aborda de manera esencialmente distinta.
En el segundo caso, hay que esforzarse en abstraer del conjunto otros problemas; en cambio, en e! primer caso, hay que relacionar todo con todo,
sin que se sienta el deseo -ni siquiera el derecho- de practicar este tipo de
cortes. Casi podra decirse, sin malicia alguna, que el filsofo es un terico
que est obligado a ocuparse y a hablar de todo al mismo tiempo; en
ca~bio, el hombre de ciencia se restringe a seriar las cuestiones y se da as
el tiempo necesario para encontrar un mtodo particular para cada una ,
de ellas.
y aqu reside el nudo del problema. Cuando una disciplina como la
psicologa experimental se separa de la filosofa para erigirse como ciencia
autnoma, esta decisin tomada por sus representantes no equivale al otorgamiento, en un momento dado, de una licencia de seriedad o valor
superior. Simplemente consiste en renunciar a ciertas discusiones que crean
divisiones y en comprometerse, por convencin o gentleman's agreement
a hablar nicamente de las cuestiones que pueden abordarse mediante el
empleo exclusivo de ciertos mtodos comunes o comunicables. Por lo tanto,
()
en la constitucin de una ciencia hay un necesario renunciamiento, una
determinacin de no mezclar ms, en la exposicin tan objetiva como
posible de los resultados que se alcanzan o las explicaciones que se persiguen,
aquellas preocupaciones, que quiz sean muy importantes para uno, pero
que se aceptan dejar fuera de las fronteras trazadas. Y se obtiene as un
acuerdo, incluso en el campo de la psicologa experimental, por ejemplo,
donde un problema de percepcin habr de tener iguales soluciones en
Mosc, Lovaina o Chicago, independientemente de las filosofas muy diferentes de los investigadores que aplican mtodos anlogos de laboratorio.
PENSAMIENTO
MATEMTICO
29
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
30
31
.lEAN PIAGET
particulares. Incluso respecto de los grandes tipos de conocimientos cientficos especializados, sera muy quimrico hoy pretender obtener una opinin
nica acerca de qu es, por ejemplo, el conocimiento matemtico o incluso
fsico, o biolgico, considerados cada uno en bloque.
.
En cambio, cuando se analiza un descubrimiento circunscripto cuya
historia puede delinearse, o una idea distinta cuyo desarrollo puede reconstituirse, es posible que se logre una 'suficiente convergencia de los diversos
puntos de vista en cuanto a la discusin de problemas que se plantean del
siguiente modo: cmo ha operado el pensamiento cientfico presente en
les casos analizados (y considerados con una delimitacin determinada)
el trnsito de un estado de menor conocimiento a un estado de conocimiento
que se estima superior?
En otras palabras, si bien la naturaleza del conocimiento cientfico en
general es un problema an filosfico porque necesariamente se relaciona
con todos los problemas globales, resulta posible sin duda situarse in medias
r~s y delimitar una serie de problemas concretos y particulares que se enuneran en forma plural: cmo se incrementan los conocimientos? En este
caso, la teora de los mecanismos comunes a estos diversos incrementos,
estudiados inductivamente como hechos empricos que se suman con otros
hechos, constituir una disciplina que se esforzar estableciendo diferenciaciones sucesivas, en convertirse en cientfica.
Ahora bien, si tal es el objeto de la epistemologa. gentica, resulta
fcil compr~bar lo adelantada que se encuentra esta investigacin, gracias
~ una cantidad considerable de trabajos especializados, pero al mismo
tiempo se comprobar lo frecuente que es, en la discusin de las cuestiones
as formuladas, retornar, por una suerte de deslizamiento involuntario,
a las tesis demasiado generales de la epistemologa clsica. Se han de evitar
dos, peligros: las monografas histricas y psicolgicas sin vnculo suficiente
entre s, y el retorno a la filosofa del conocimiento; estos peligros slo
podrn evitarse mediante la utilizacin de un mtodo estricto.
2. EL MTODO GENTICO EN EPISTEMOLOGA. Determinar cmo se incrementan los conocimientos implica que se adopte como mtodo el considerar todo conocimiento bajo el ngulo de su desarrollo en el tiempo, es
decir, como un proceso continuo cuyo comienzo o cuya finalizacin no
puede alcanzarse nunca. En otras palabras, todo conocimiento debe enfocarse siempre, metodolgicamente como siendo relativo a un estado anterior
de menor conocimiento, y como susceptible de constitutirse a su vez en el
estado anterior respecto de un conocimiento ms profundo. Incluso una
verdad llamada eterna, como 2
2 = 4, puede interpretarse como una etapa. gentica porque, por una parte, se trata de un conocimiento que no todo
sujeto pensante posee y conviene, en consecuencia, estudiar su formacin
. a. ~artir d~ conocimientos menores y, por otra parte, aun cuando sea defimtrva (e Independientemente de su propiedad de conocimiento "real" o
~e "sintaxis lgica", de convencin, etc.), este conocimiento es susceptible de progresos ulteriores, que se insertan en sistemas operatorios cada
vez ms ricos y mejor formalizados: se intercala as un desarrollo extrema-
JEAN
32
PIAGET
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
funcin de sus relaciones con los rganos vecinos. Pero estos mtodos,
fundados en el examen de las estructuras ya completas, estn lejos de ser
suficientes para colmar las necesidades de la comparacin sistemtica,
porque hay filiaciones que escapan completamente al anlisis por una
carencia demasiado grande de continuidad visible. En este caso, se impone
necesariamente un segundo mtodo: se trata del mtodo "embriolgico"
que consiste en extender la comparacin a los estadios ms elementales del
desarrollo cntogentico. As, algunos crustceos cirrpodos fijos, como los
anafites y los balanos fueron durante mucho tiempo considerados como
moluscos, con lo cual toda determinacin
de las homologias resultaba
errnea: bast descubrir que pasan en estado larval por la forma "nauplio",
semejante a un pequeo crustceo libre, para relacionarlos con su verdadera
filiacin y restablecer las filiacionesv homologas naturales. Slo el examen
del desarrcllo embrionario permite, por otra parte, determinar el origen
mesodrmico o endodrmico de un rgano. Se pudieron determinar poco
;' poco ciertos parentescos poco visibles, como los que unen varios pequeos
huesos del odo de los mamferos con el arco hioideo de los pecE's,gracias
al examen del desarrollo,
Ahora bien, para comparar entre s diversas estructuras mentales, como
sera el caso de las de los mltiples conceptos empleados en el pensamiento
cientfico, es necesario pensar en mtodos anlogos, por ms eminente que
sea la dignidad de las estructuras intelectuales en oposicin a las formas
anatmicas de los crustceos y los moluscos: en efecto, en ambos casos se
trata de organizaciones vivas y en evolucin.
S seguimos, por una parte, el desarrollo de las ideas que se han
empleado en una ciencia a le largo de su historia, resulta fcil establecer
algunas filiaciones por continuidad directa, o por la determinacin del
sistema de "conexiones" presentes. Puede reconstituirse as fcilmente la
historia del concepto: de nmero a partir de los enteros positivos y despus
de los nmeros fraccionarios, los nmeros negativos hasta las generalizaciones siempre ms profundas resultantes de las operaciones iniciales. Ser
relativamente fcil, adems, comparar entre s las diversas formas de medicin -del
espacio, el tiempo, las mltiples cantidades fsicas, ete.-y volver a encontrar en sus desenvolvimientos histricos respectivos algunas
ccnexiones relativamente estables, como el establecimiento de relaciones
entre objetos o movimientos pcstulados como invariantes y esquemas numricos o emparentados con el nmero. Estas mltiples comparaciones,
ampliadas en diversas escalas, caracterizan un primer mtodo propio de la
epistemologa gentica bien conocido en forma algo amplia y que requerira
quizs an cierta sistematizacin: se trata- del mtodo "histrico-crtico"
empleado con el xito por todos conocido por toda una plyade de historiadores del pensamiento cientfico y famosos epistemlogos.
Sin embargo, el mtodo histrico-crtico no basta para todo. Limitado
al campo de la historia de las ciencias, se refiere a las nociones construidas v
empleadas por un pensamiento ya constituido: el de los cientficos cons'derados desde la perspectiva de su filiacin social. Las formas de pensa-
34
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
36
JEAN PIAGET
3 LA.EPISTEMOLOGA
PSICOLGICA.
DEENRIQUES. Ya existen intentos
semej~ntes a ste cuyo programa acaba~:nos-de -f~l:mular y que permit~n,
en consecuencia formarse va alguna idea acerca de los xitos y tambin
acerca de las dificultades de este tipo de empresa. Exitos y dificultades
son reales, pero de todas la~ dificultades queremos analizar de entrada una:
el mtodo, manipuleado de determinado modo, parece desembocar f~talmente si no en consecuencias empiristas, s, al menos, en cierto realismo
de la experiencia o en un positivismo cerrado sobre s mismo. Ahora bien,
el ejemplo de una teora elaborada por un matemtico de gran fa~a
-F. Enriques- muestra que estas limitaciones son el resultado exclusivo
de una psicologa demasiado estrecha y, sin duda alguna, influida por una
previa epistemologa.
Como escriba F. Enriques en 1914: "Vemos desarrollarse una teora
del conocimiento cientfico que tiende a constituirse sobre una base slida,
como parte de la ciencia misma." (Conceptos,3 pg. 3), y, en efecto, el
objetivo esencial que se propone alcanzar este autor es construir una epistemologa inferior a las ciencias como taJes y que no tome proposicin ni
medio de investigacin algunos fuera de las ciencias particulares. Este
mtodo lo gua, en consecuencia, a partir de la gnesis psicolgica:
"pareciera que cada vez ms se elimina lo arbitrario .en la construccin
cientfica de la gnesis de los conceptos cientficos, considerados no en su
posibilidad lgica, sino en su desarrollo real" (ibd., pg. 4). Ahora bi:?,
el estudio de este desarrollo real permite dejar de lado "una concepcion
hov anticuada, segn la cual el cientfico se limitara a registrar pasivamente
los' datos de la experiencia" (pg. 4). Por el contrario, "me consagr
esencialmente a reconocer la funcin propia del espritu creador de la
ciencia" (pg. 3). Por lo tanto, Enriques ha abordado la experiencia, por
una parte, pero tambin la actividad del sujeto: "El impulso de la e~periencia combinado con la naturaleza del espritu humano, parece exphcar
en sus rasgos generales el desenvolvimiento de la ciencia" (pg. 4); "el
anlisis que he emprendido me persuade de que en todas partes se encuentra
presente un desarrollo psicolgico cuyas razones ntimas se relacionan con
la estructura misma del espritu humano" (pg. 4).
Vemos 'que el programa de F. Enriques es idntico al que nos inspi~a
aqu. Sin embargo, este programa, que el clebre matemtico crey cumphr
a comienzos de este siglo mediante las conscientes aplicaciones que proporcion en todos los dominios esenciales -de la lgica y el anlisis a la
geometra la mecnica la termodinmica, la ptica, el electromagnetismo
~ incluso la biologa- debe ser retomado h~y en su casi totalidad. Estamos
entonces ante el fracaso de la epistemologa gentica? Muy por el contrario; se trata de! signo de un esfuerzo propiamente cientfico, puesto que
las conclusiones que se obtuvieron han de revisarse constantemente, y han
de beneficiarse al mismo tiempo con las investigaciones precedentes y puesto
a F. Enriques: Les concepts [ondamentaux de' la science. Trad. Rougier. Pars,
Flammarion.
EL PENSAMIENTO
MATE~TlCO
'17
'38
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
JEAN PIAGET
encuentra integrado, simbolizan cadenas de acontecimientos, son ms verdaderas que nuestras percepciones directas, .. " (pg. 413).
~LJ2.':l1!~0de partida de un<l.epistemologia. g~ntic:(l adaptada <I.}()~~
conocimientos psicolgicos actuales ya no ser entonces la sensacin, ~n,L
li-"ii5straccin esquematizante a partir de las cualidades sensibles) sino
TIc" consistir en considerar la accin en su totalidad, siendo los ndices
sensoriales nicamente uno de-sur aspeci:os: a pari:ir-d-e__la.~a~ci~I1__E!.()cede
el pensa.mientoen su mecanismo esencial -clsistema de las operaciones
lgicas y' matemtlc'as- y, porlo illtc),~eanlisis de las acciones elementales y su interiorizacin o mentalizacin progresivas habr de revelarnos
el secreto de la gnesis de estos conceptos.
Veamos otro ejemplo: en el terreno del espacio, Enriquesse enfrenta,
a propsito de la coordinaci entre -las sensaaQetyfos ~movimientos
condicionados por las condiciones antomo-fisiolgicas, con "la pretensin
de algunos filsofos neokantianos que ven el reflejo de estas condiciones
estructurales, ., en algunos aspectosapriori
de la intuicin espacial, de
modo tal que coneren~~a la geometra sus "postulados desde el momento
en que los conceptos fundamentales han sido proporcionados por las sensaciones" (pg. 44). Sin embargo, por ms simplistas que parezcan hoy las
explicaciones atacadas -de W. 'Yundtyde
E. {}. Heymans-, no por ello
es menos cierto que la ideaeEnrlques
oe conside-I:ariiis . sensaciones generales de carcter tctil-muscular como la fuente de los conceptos topolgicos, las sensaciones visuales como la fuente de las nociones proyectivas
y las sensaciones tctiles como la fuente de las nociones euclidianas, requiere
ella tambin un complemento en el sentido de las condiciones mismas de
la coordinacin: por ejemplo, cmopuede surgir la idea fundamental del
0E9~.nnicamente d~la sensaciri.si no existiera la posibilidad de coordinar
nuestros movimientos, aunquems .no fuera. percibiendo sucesivamente los,
~l~m~nt()s de una suces6 lineal ri.- un mIsmo ~I1.tid?'Por otra parte,
una sucesin de percepciones no eqivale-'en absoluto a la percepcin
de una sucesin, ya que sta supone un acto propiamente dicho. Nuevamente aqui, la sensacin es el ndice de una asimilacin mental (lel objeto
<" un esquema de accin _y, en consecuencia, conviene remontarse a esta
asimilacin y a este esquematismo de la accin si quiere captarse el mecanismo psicogentico sin deformarlo por un realismo impuesto, por as decir,
de antemano.
Vemos en qu sentido una psicologa ms funcional que la de Enriques
puede conducir a una epistemologa cuyos resultados no estn implicados
en el mtoclo gentico mismo. En particular en el campo de la abstraccin
y la lgica en general es dondeSepioduce
e~trelaposian
pSlcoTogica d;;"1os'problemas epistemolgicos a comienzos de este siglo y
actualmente. En la primera parte de su gran obra, Los problemas ((t..La,.
ciencia] la lgica, Enriques muestra en qu sentido "1i"r6gica puede consiaerarse 'como Toimando parte de la psicologa" (pg. 159): "las defini-
esta-dWe~e-;;cia-
./
.'
39
ciones y deducciones, que forman el desarrollo de toda teora deben concebirse, segn nu~stro punto de vista, corno operaciones psicolgicas; designaremos estas ltimas en su conjunto con la expresin proceso lgico. Se
plantea entonces el problema de explicar psicolgicamente el proceso
lgico" (p~g. 177). No podra enunciarse de mejor forma la cuestin que
pensamos SIgue ocupando el centro de la epistemologa gentica actual. Sin
c.mbargo, por qu no la resolvi Enriques? Porque su solucin, al mismo
tiempo que se acerca constantemente a ideas descubiertas posteriormente
sigue estando en realidad alejada todava de una gnesis real.
'
En efecto, en qu consisten para l las operaciones psicolgicas que
forman la .l~gica? "Las asociaciones y disociaciones psicolgicas que caen
e~ .el dominio de la conciencia clara y la voluntad forman las operaciones
l~gz~as fundamentales y permiten crear nuevos objetos del pensamiento
dlStI~tos d~ lo~ dados" (pg. 178). Sin duda, pero antes de conseguir
aSOCIary disociar clara y voluntariamente, se trata justamente de construir
este poder: ahora bien, Enriques parece creer que una vez dados los objetos
gracias a ~a se~sacin, la~ "asociaciones" y "di~ociaciones" psicolgicas
aparecen 5111 mas y permiten ordenarlos en senes, reunirlos en clases,
construir correspondencias, invertir el orden, etc. (pg. 178). Pero para
e~lo seala una condicin: que estos objetos satisfagan "en ciertas condiciones de invariabilidad que luego veremos expresadas por los principios
lgicos" (pg. 179). En efecto, "en su conjunto los principios confieren a
I~s objetos del pensamiento una realidad psicolgica independiente del
t~e;npo y forman as las premisas de una lgica simblica cuyo fin consistiria en representar como un conjunto de relaciones actuales el proceso
gentico de l~s operaciones lgicas" (pg. 188). Sin embargo, "para que
la representacin sea adecuada, ser necesario que los axiomas que expresan
las leyes de las asociaciones lgicas encuentren su equivalente en la realidad"
(pg. 211). Ahora bien, "bajo la condicin de invariabilidad expresada
por los principios lgicos, los conjuntos de objetos satisfacen las propiedades enunciadas por los axiomas" (pg. 212) ; la lgica constituira as.
adems del sistema de las asociaciones y disociaciones psicolgicas, lo que
~onseth l~a~ar ms tarde una "fsica de cualquier objeto". Asimismo,
la suposicin fundamental de la aritmtica, antes de recurrir a una
realidad fsica, puede apoyarse en una realidad psicolgica, es decir, en el
hecho de que algunos actos del pensamiento pueden repetirse indefinidamente subordinndose a determinaciones generales, de modo tal que se
construyan series que satisfagan las condiciones (expresadas por los axiomas
de Peano para la numeracin) '" por el principio de induccin materr;:ica entendido como una propiedad fundamental de las series psicolgicamente construidas" (pg. 196).
. ,P~ra terminar, sealemos que Enriques tambin percibi el problema
blOlo~ICOque presenta la existencia de la lgica y la matemtica correspondlen::l.o ~l empirismo a las teoras "epigenticas" (lamarckis~o, etc.)
y el aprionsmo al preformismo. Enriques se orienta l mismo hacia el
_epigenetismo y explica las asociaciones y disociaciones psicolgicas funda-
40
JEAN
EL
PIAGET
PENSAMIENTO
41
MATEMTICO
de recurrir a la psicologa es, sin duda alguna, la de la gnesis ele las operaciones, incluidas su estabilizacin lgica, fuente y no efecto de los principios
formales. Pero esta gnesis, que es a la vez funcin de la actividad del
sujeto y de la experiencia, presenta problemas de diversa complejidad
que si se tratara de simples asociaciones de ideas, precisamente porque la
reversibilidad operatoria no puede abstraerse sin ms de los datos sensibles
e experimentales, pecas veces revertibles i renucrsables y siempre irreversibles hablando con propiedad (segn el vocabulario utilizado por P.
Duhem) . El resultado de las investigaciones psicolgicas sigue en este
sentido enteramente "abierto" y puede culminar --segn que predominen
los hechos de maduracin endgena, de adquisicin en funcin del medio
o de construccin regulada por leyes de equilibriotanto en soluciones
apricristas como en soluciones empiristas, o en un relativismo que torne
indisociable la parte del sujeto y la del objeto en la elaboracin de los
conocimientos.
Aun ms, el problema psicolgico as planteado por el desarrollo
operatorio del pensamiento descansa. en definitiva, en un conjunto de
cuestiones biolgicas sin duda ms complejas que las que F. Enriques tuvo
el mrito de entrever el alcance que les corresponda. En efecto, no hay
eluda de que si no es exclusivamente por abstraccin a partir de los datos
exteriores cmo aumenta el conocimiento, y en particular en el campo de las
operaciones lgicas y matemticas, entonces es necesario prever la existencia
de una abstraccin a partir de las coordinaciones internas: ello no significa
necesariamente que las operaciones estn preformadas por una forma innata,
sino que puede interpretarse en el sentido de una abstraccin progresiva
de elementos tomados en parte de un funcionamiento hereditario y reagrupados gracias a nuevas composiciones constructivas. Sea cual fuere la
posible diversidad de estas soluciones, el problema psicogentico del conocimiento penetra. entonces hasta los mecanismos de la adaptacin biolgica:
ahcra bien, se sabe hasta qu punto esta cuestin permanece tambin
"abierta" y actualmente todas las interpretaciones entre el preforrnismo,
el mutacionismo, la emergencia, el neolamarckismo, etc., tienen su representacin. En resumen, ya se formule el problema del conocimiento en
trminos biolgicos de relaciones entre el organismo y el medio, () bien
en trminos psicolgicos de relaciones entre la actividad operatoria del
sujete. y la experiencia, tene~.lOS menos soluciones en 1949 que en 1906 y
ello muestra cun peco preju gan los mtodos genticos acerca de sus propios resultados.
4.
LAS
DIVERSAS
INTERPRETACIONES
EPISTEMOLGICAS
EL
ANr~LlSIS
GENTICO.
42
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
Realismo
Apriorismo
Fenomenologa
Soluciones
eenticas
Empirismo
Pragmatismo y
convencionalismo
Relativismo
43
EL
JEAN
En primer lugar, no hay nada que excluya una solucin tal como la
del platonismo e el realismo de los universales: incluso puede decirse, sin
caer en paradoja alguna, que, nicamente en funcin de un desarrollo una
idea puede presentarse como subsistiendo en s misma, independientemente
de este desarrollo. Cuando un matemtico afirma -como lo hace Hermite- la existencia, exterior a s mismo, de seres abstractos como las funciones (. los nmeros, es fcil responder que esta creencia en la autonoma
de estos seres no implica adicin alguna de propiedad, salvo a ttulo
subjetivo y que ellos conservaran todas sus propiedades matemticas si
se interpretara su existencia de otra manera. Sin embargo si, al estudiar el
problema del descubrimiento o la invencin," se consigue demostrar que
despus de una serie de aproximaciones que testimonian la actividad creadore, del sujeto, ste descubre, por una intuicin directa e independiente
de las construcciones anteriores, una realidad sin historia, resulta claro que
la creencia en las ideas "subsistentes" encontrar entonces una singular
confirmacin. Pero, vemos ele entrada que esta verificacin deber ser a
le vez psicolgica e histrica: psicolgica, demostrando la existencia de una
intuicin racional que consiga contemplar sin construir; e histrica, verificande el xito creciente de esta contemplacin, y no su debilitamiento a
partir de un estadio determinado de creencia comn. Ahora bien, volveremos a. encontrar precisamente estos dos problemas, uno a propsito de
las relaciones entre 'la "intuicin racional" y la inteligencia operatoria y,
el otro, a propsito de los trabajos de P, Boutroux acerca de la historia
de las actitudes intelectuales sucesivas de los matemticos (actitudes de las
cuales veremos la relacin que mantienen con la conciencia de las operaciones) .
En cuanto al apriorismo, es evidente que si fuera verdadero, el estudio
gentico descubrira su buen fundamento sin salir del desarrollo como tal,
En efecto, se reconocera un marco a priori sin dificultad alguna por el
he~ho de que no se construira en relacin con la experiencia, sino que
se:Impondra en funcin de una maduracin interna progresiva. Adems,
a esta maduracin psiccbiolgica revelada por el anlisis del comportamiento correspondera, desde el punto de vista mental una toma de conciencia brusca o gradual, que procedera por reflexin del pensamiento
sobre su propio mecanismo.
,~n cambio,. pareciel:a .que la fenomenologa opone a la epistemologa
gene~lca una sene de objeciones ms radicales, ya que si bien el apriorismo
kantiano ignora la construccin psicolgica,admite en cambio una construcci.npr~via a toda experiencia (y acabamos de ver que esta construccin rnamtestana claramente su existencia durante el desarrollo). Ahora bien, la
~eno~~nolog~ cuestiona esta construccin a priori y la reemplaza por una
mtuicin racional .de las es~ncia~, sin dualismo alguno entre el sujeto que
contempla y el objeto exterior, SIDO con una indiferenciacin radical entre
ambcs .trminos fundidos en la misma toma de posesin inmediata. Por lo
tanto, Importa mostrar ms detalladamente, en cuanto a este tercer grupo
4
PENSAMIENTO
MATEM.<.TICO
4.1
PIAGET
Vase R. Wavre : L'imagin ation du rel. Neuchtel. Coll. trc el penser, 1948,
46
JEAN
PIAGET
problema que hunde sus races en las fuentes de la accin v las relaciones
elementales entre la conciencia y el organismo. Por lo tanto, colocar el
estudio de los hechos normativos en el terreno del desarrollo de las operaciones, no equivale a excluir de antemano la solucin fenomenolgica; y
el anlisis de las relaciones entre la conciencia y el organismo no conducir
precisamente al reconocimiento de que, disociada de sus concomitantes
fisiolgicos, la conciencia constituya, tarde o temprano, sistemas de implicaciones cuya necesidad se distinga esencialmente de las relaciones de
causalidad propias de la explicacin de los hechos materiales.
Sin embargo, hay ms en la fenomenologa y en los "existencialismos"
que de ella provienen que esta simple afirmacin normativista. Est la
idea de un conocimiento a la vez .apriorista e intuitivista (en oposicin a
la construccin kantiana) de estructuras puras destinadas a caracterizar los
diversos tipos de seres posibles. El cbjeto propio de la epistemologa fenomenolgica es, segn Husserl, captar "adnde quierellegar el pensamiento",
es decir cules son sus "intenciones" independientemente de sus realizaciones. En este segundo punto es cuando los datos genticos parecen ser
ms irreductibles a la realidad existencial, cuya "reduccin" fenomenolgica se adjudica el aprehender los caracteres por intermedio nicamente
de la intuicin reflexiva. Pero, aqui nuevamente, importa introducir las
distinciones de diversos puntos de vista. En tanto filosofa sistemtica y
cerrada, que pretende alcanzar el conocimiento en s mismo, la fenomenologa permanece por supuesto fuera de los marcos de la epistemologa
gentica que consiste, ante todo, en un mtodo de investigacin. Pero el
estudio psicogentico e histrico del modo en que se incrementan los conocimientos no excluye en absoluto la culminacin eventual en una solucin
fenomenolgica. Sucede as que lo esencial de muchos procesos genticos
consiste en una orientacin dirigida hacia ciertos estados de equilibrio:
por lo tanto, no se excluye previamente que la "intencin" de Husserl pueda
encontrar alguna confirmacin en el estudio de estas direcciones genticas,
aunque estas dos clases de conceptos no presenten en su punto de partida
relacin semejante alguna. Este punto de unin podra, en este sentido,
ser el siguiente. Husserl concibe las "estructuras" como sistemas de puras
posibilidades, anteriores a toda realizacin y descubiertas por la concencia
gracias a "actos" o intuiciones vividas durante la reflexin. Pero, por ms
metafsica -que esta concepcin sea, no est desprovista de toda relacin
con los problemas que encuentra el anlisis gentico respecto del desarrollo
ni, en particular, con los que encuentra el anlisis histrico respecto de las
relaciones entre la matemtica y la fsica. Husserl so, en efecto, despus
de Descartes, en una m athesis uniuersalis que se referira a todas las posibles
"estructuras" y no slo a la matemtica. Ahora bien, el problema de las
relaciones entre lo posible y lo real, no se reduce solamente, desde el punto
de vista gentico, a la cuestin de las relaciones entre la deduccin y la
experiencia, cuestin que domina ya por s sola gran parte de la historia
del pensamiento cientfico. Se encuentra en todas partes donde se plantea
un problema de equilibrio, implicando este equilibrio la consideracin del
conjunto de las posibles transformaciones (romo los "trabajos virtuales"
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
47
48
JEAN PIAGET
del desarrollo. Ahora bien, esta posicin del problema, por ms quimrica
que pu.eda .parecer, no por ello deja de corresponder al aspecto cotidiano
de, la cI,el:cla contempornea: nunca el contenido de los conceptos ha sido
mas mvil que actualmente y, sin embargo, nunca se ha renunciado a
encontrar un fundamento lgico y deductivo de estos mismos conceptos.
El problema d~ la unin entre el desarrollo mental y la norma permanente,
o entre la exigencia de revisin continua y la necesidad --artificial o
realmente fun:ladade apoyarse en alguna estabilidad normativa se
encuentra pues en el centro del mtodo especfico de la epistemologa
gentica,
5. DESARROLLO
MENTALy PERMANENCIA
NORMATIVA.
Las relaciones
ent:e el ~echo psicolgico del desarrollo y la norma lgica intemporal
estan dominadas por d~s problemas que las teoras no genticas y genticas,
pre~;dente,mente n:enclOnadas, resuelven en sentidos opuestos: el de la
aCClOily el pensamiento y el de lo real y lo posible.
'!'_odas las teoras no genticas (y, por otra parte, situaci6n curiosa,
tambin al.gunas teoras genticas como las formas clsicas del empirismo,
etc) conciben el pensamiento como siendo anterior a la accin v a la
accin co~o una aplicacin del pe~sa,miento. De ah que, la mayor parte
de las teorias metaf~slcas del conocimiento, presenten una concepcin puramente contemplativa de las normas, apoyadas en una verdad divina
t:-ascendental o inmediatamente intuitiva, Esta interpretacin contempla~
tiva ,d~ la norma se,encuentra, po.r otra parte, en muchas corrientes epistemo~oglcas.q~e, .sustItuyendo las diversas formas de realismo por un nominahsm~ smtactico, ;ha prestan cuidado suficiente al carcter activo del
lenguaj~, que c0I_lsistee~ establecer correspondencias entre las operaciones
d: ~osdiversos sujetos antes de poder enunciar verdades incondicionalmente
vah,~as, Desde el punto d,e vista del anlisis gentico, por el contrario, la
a.c::on precede al, pe,nsarl1lento y el pensamiento consiste en una compo_SICI?nsle~pr~ ~a,s rica y coherente de las .operaciones que prolongan las
acciones interiorizndolas, Desde "este punto de vista, las normas de verdad
expre~aI_lpues, en primer lugar, la eficacia de las acciones, individuales
y soclahzad~s, para luego ,traducir la de las operaciones y slo por ltimo
la coherencIa, del pensamiento formal. Sin prejuzgar acerca del carcter.
-co~templatlvo u optratorio-s- de las normas que han alcanzado sus formas
superiores de equilibrio, ~l mtodo gentico escapa aS, desde el comienzo,
a qu: se le reproche. el Ignorar lo normativo, puesto que desde la accin
efectiva a las operaciones ms formalizadas, sigue paso a paso la constitucion de normas constantemente renovadas,
Sin embargo, la relacin entre accin y pensamiento slo representa
uno, ~e los aspectos ~~ un confli~to mucho ms profundo que opone lo
gentico a lo no gentico y que interesa ms directamente para las relaclone~ del desarrollo temporal y la lgica intemporal. En efecto, el carcter
~~cJaI d~ l~s teoras no genticas consiste s!n duda en explicar lo real
e" ~o~oclm}ento o l~ operacion real~s"- mediante un posible que le sera
anterior. ASI, el realismo de los universales es solidario, en Aristteles,
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MATEMTICO
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EL
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PENSAMIENTO
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MATEMTICO
JEAN PIAGET
Ahora bien, esta interdependencia entre 10 real y lo posible, caracterstica de cada estado de equilibrio, basta para explicar la unin entre
el desarrollo mental y la permanencia lgica y normativa. En efecto,
resulta claro que si las acciones reales estn unidas entre s por mi deter.rninismo causal y temporal, las transformaciones simplemente posibles, o las
operaciones virtuales, son intemporales y no corresponden entonces al orden
de la implicacin lgica. Reunir A con A' en la forma A
A'
B o
disociar A de B en la forma B- A = A' son dos acciones que pueden
ejecutarse realmente a condicin de que sean sucesivas; pero componer
A - A = 0, es reunir en un solo todo virtual estas operaciones sucesivas
y, en consecuencia, penetrar en lo intemporal. La reversibilidad, que transforma las acciones en operaciones, presenta as el carcter especfico de la
inteligencia e ignorado por la accin real, de remontar el curso del tiempo
y liberarse de l para alcanzar la 'implicacin lgica pura. Resulta entonces
que, cuanto ms extiende la accin real el crculo de las operaciones posibles
ms densa es la red de relaciones virtuales obtenidas -es decir las relaciones
lgicas- que ella va formando para insertarse all cada vez ms profundamente.
Tanto el estudio de las relaciones entre la accin y el pensamiento
como el estudio de las conexiones entre lo real y lo posible conducen pues
a concluir que resulta vano oponer a priori lo gentico y lo lgico (en
tanto normativo). Todo proceso gentico culmina en un equilibrio que
se encuentra con lo normativo, por el hecho' de que la reversibilidad
creciente de las acciones temporales corresponde a las operaciones directas
e inversas que caracterizan los vnculos lgicos fundamentales (afirmacin o
negacin, etc.). Al fin de cuenta, ya sea que 10 lgico funde 10 gentico porque lo posible precede a lo real o que lo gentico se realiza en lo lgico
porque el equilibrio de las acciones reales constituye una organizacin de
las operaciones virtuales, el anlisis gentico se encuentra, en ambos casos
y tarde o temprano, con lo intemporal lgico y normativo, sin prejuzgar
acerca de su posicin efectiva en la constitucin y el conocimiento. En
+ =
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JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
una forma de equilibrio, es decir, por un cierto modo de composicin
del conjunto.
No obstante, se trata siempre en este caso de un lmite parcial y, en
consecuencia, provisorio, o relativo al corte momentneo de un sector
especial de conocimiento. Sin duda, la evolucin que as alcanza el anlisis
gentico, en el seno de este sector, pone de manifiesto una transformacin
de los instrumentos intelectuales del sujeto y, correlativamente ron esta
construccin de nuevos instrumentos, una transformacin de la misma
experiencia, es decir, de la realidad tal como aparec.e en el sujeto, PfTO
resulta claro que estas transformaciones solidarias del pensamiento y lo
real aparente (es decir, relativo a un nivel determinado de este pensamiento), por ms interesantes que sean en cuanto al mecanismo del
incremento de los conocimientos, no pueden dar lugar a una frmula que
pueda generalizarse sin ms, porque la frmula que tendr que expresarlas
ser a su vez relativa al sistema de referencias adoptado por el observador,
es decir, por el psiclogo o el historiador que estudia estas transformaciones
desde afuera apoyndose en sus propios conocimientos,
Aqu nos encontramos con el nudo del problema del pasaje entre los
lmites parciales que corresponden a los procesos evolutivos particulares de
los conocimientos respectivos y el lmite general que constituira la determinacin del conocimiento en su totalidad con la eleccin de una o varias
de las hiptesis globales clasificadas en el punto 4. En efecto, el gentico o
el historiador estudia una serie de estadios A, B, C." X, y establece su
ley de evolucin y lmite eventual. Pero, para hacerlo, tiene que elegir un
sistema de referencias que estar constituido por lo real tal como se da
en el estado de los conocimientos cientficcs considerados en el momento
de su anlisis, y por los instrumentos racionales tal como se dan en el
estado de elaboracin de la lgica y la matemtica en este mismo momento de la historia, "Ahora bien, tambin este sistema de referencia es
cambiante ...
Entonces el psiclogo puede estudiar la formacin de algunos conceptos y extraer, a partir de este estudio, leyes de construccin qe nos
informen acerca del mecanismo del incremento de este tipo de conocimientos, Pero la psicologa misma es un conocimiento en evolucin y para
establecer las leyes de formacin de los conocimientos. particulares se apoya
sobre un sistema de referencia constituido por el conjunto de las otras
ciencias, de la matemtica a la biologa. Por ello, si bien consigue st'guir
ciertos procesos epistemolgicos restringidos hasta sus lmites respectivos, no
puede alcanzar sin ms ese lmite general que constituira al conocimiento
en su conjunto, puesto que ella forma parte de este ltimo y no oc.upa un
puesto de observacin externo. Menos an podra pretender a ello en la
medida en que admite, por razn de mtodo, la evolucin posible de todos
los conocimientos y, por lo tanto, la movilidad indefinida del sistema de
referencia en el que se sustenta.
Cmo superar las fronteras que as le impone el anlisis gentico por
los sistemas de referencias que necesariamente requiere y cmo alcanzar
leyes de construccin no especiales a ciertos sectores delimitados '! que
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MATEMTICO
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Primera parte
EL PENSAMIENTO MATEMATICO
La posibilidad de una ciencia matemtica a la vez rigurosamente deductiva y que se adapte exactamente a la experiencia ha constituido desde
siempre el problema central de la epistemologa. La cuestin es ms perturbadora an desde el punto de vista gentico.
En efecto, por una parte la matemtica concuerda con la realidad
fsica de modo muy detallado. Nunca sucede que el fsico '-por mltiples
y diversas que sean las estructuras o las relaciones que descubre en el
mundo material- encuentre una estructura que no pueda expresarse con
precisin en el lenguaje matemtico, como si existiera una suerte de
armona preestablecida entre todos los aspectos del universo fsico y los
marcos abstractos de la geometra y el 'anlisis, Sin embargo, hay algo ms
an: sucede que este acuerdo se realiza no slo en el momento del descubrimiento de una ley fsica, o a posteriori, sino que los esquemas matemticos anticipan, con aos de distancia, el contenido experimental que
luego se insertar en ellos. Las formas geomtricas y analticas pueden
elaborarse sin preocupacin alguna por la realidad. Sin embargo, en la
medida en que son deductivamente coherentes, se tiene la seguridad, no
slo de que la experiencia jams podr cuestionarlas, sino adems -y ste
es el punto paradjico-s- que la experiencia las llenar en parte, tarde o
temprano, y se adaptar perfectamente a ellas. El ejemplo ms hermoso
de esta insercin de lo real en los marcos preparados por la deduccin
matemtica es sin duda el de la geometra riemaniana. Estarnos ante una
construccin libre y audaz, llevada a cabo al margen de la geometra
clsica, e incluso contradiciendo ese famoso postulado de Euclides que,
por carecer de demostracin, se ha considerado como impuesto por la
observacin directa. As son estas libres creaciones del espritu matemtico,
no preocupadas en absoluto por lo real. Ahora bien, ms de medio siglo
despus ,de este desafo a la realidad fsica, sucede que la fsica misma
llega a considerar a la geometra riemaniana corno ms apta para explicar
los fenmenos de gravedad que la geometra euclidiana; la teora de la
relatividad emplea sin ms el marco as preparado y la experiencia otorga
la razn a este trazo genial. Otro ejemplo, relacionado con el mismo
perodo de renovacin de la fsica: en 1900, Ricci y Lvi-Civita, deseosos
de encontrar la forma de las ecuaciones diferenciales independientemente de
64
JEAN
PIAGET
+ = +
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
65
66
JEAN PIAGET
1:;
"1-+
C",-
JEAN PIAGET
68
EL PENSAMIENTOMATEMTICO
"ielo'"TIl~irect''e
(p~g:
1917.
2 E,Rignano: Lapsychologie du raisonnement. Pars, Alean, y Scientia XlII-XX,
1913-19i. [Hay versl6n castellana: psico[ogia d~l razonamiento. Madrid, EspasaCalpe, 1960.]
3 flL_ Chaslin: Essai sur le mcanisme psychologique des oprations de l~frq.thmatique pureo Pars, 1926.
-
69
t~?~~;{~i~X~'~
Desde este punto de vista, se impone una primera distincin. Epistemolgicamente, ~Jgunas experiencias mentales (O consisten simplemente
eILimaginar una realidad exterior al sujeto, como cuando Galileo intentaba representarse el incremento de velocidad anteriormente a toda experimentacin efectiva." Qtr..i!S_ exp~riencia~ mentales (Tl.) equivalen, por el
contrario, a imaginar no. simplemente "las variaciones de los hechos"
-como
dice Machsing,JllS ac:Ci()l1eL(:ieL__uj~Jo
que hace variar los
hechos, lo cual no es en absoluto lo mismo. En efecto, en el caso de la
accin del sujeto poco importa que la transformacin se produzca materialmente o "en pensamiento": siempre se trata de una actividad de las
cosa~ mismas, se trata de una variacin exterior, aunque se la conciba
Interiormente, Q\!e..Ia,~llng.J 1= 2 se. realice a travs de. ar cienes
~~_~erl~~,. o ..".~i!!1.~Qli~_aTJ;l~I1t~.
S~Il l~ i;t~rV'~I1~i6I1~d~~'~bJet?s-fi~i~~~;-~
Il2.~2.<:> totalmente. "aJ:stract<.t, ~1 hesh() ..(!~&nc:iles que el sujeto .xe:tII{: dos,
_~l!I:!.l9:tI:~(!~,
es decir que acta: aun cuando esta accin sea exterior se halla
determinada por un mecanismo interno propio de la actividad del sujeto.
Por lo tanto no es ms que un juego de palabras confundir las "variaci~nes
de !os hechos" exteriores representados interiormente y la imaginacin de
posibles acciones que, ya en su forma exterior, manifiestan la actividad
interna del sujeto. Ahora bien, ~l\111J;h
__
s.BigJ:l_g~g.p-s,a.:n.sin cesar ...de unQ
~S-~.stossentidos al ()tr:~J y ello les permite concluir sin ms desde la
existencia psicolgica de las experiencias mentales al empirismo epistemolgico.
Interviene luego una "~egllJ;l~:la
(E~tiIlc:i!1,desde uIl_IJllnto de vista sobre
todo _li?ic::{)JgiSc~_.
pero que tiene su importancia episte~-~6gica: S~ podra
4
Vase Koyr: tudes galilennes. Hermann, 1939, (por ejemplo, pg. 242).
70
JEAN PIAGET
fas'"rrnagl;~-~~tra~s"
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
71
En estos primeros ejemplos hay toda una gama de experiencias, efectivas o "enpensami~nt9", cuya variedad confirma de entrada la complejidad
dCp{oolema ele -la -experimentacin mental y la necesidad de las distinciones que acabamos de introducir. En primer lugar, cuando para obtener
dos colecciones equivalentes, el sujeto imaginados series<}uese corresponden,
~S~rn~Il.!'?. (cada trmino coloc:ad~-f;ente l~trmino correspondiente),
no podemos decir que. el razonamiento simplemente imita._lQ_Ie~L.puesto
queTIrexperiencia mental consiste en "imagrnar-~lavarIacin de los hechos"
(tlpo 1)? Respondamos, en primer lugar, que si as fuera ya tendramos
una prueba de que la imitacin de los hechos exteriores no basta para
producir el nmero, puesto que la configuracin perceptual de las dos
hileras que se corresponden pticamente no produce una equivalencia permanente entre los dos conjuntos ni tampoco una conservacin de cada
conjunto cuando se modifica la figura intuitiva. En este sentido, el caso
de los nios que creen en un retorno posible a la configuracin inicial es
particularmente significativo: Imaginan mentalmente ese retorno sin de~~c:ir de l la equivalencia de la111a-espadada y la fila ms compacta. Por
lo tanto, en el establecimiento de correspondencia hay algo ms que la
imaginacin o la percepcin directa de esta correspondencia totalmente
construida: .haX.una sucesin de acciones inherentes al sujeto. AS, podemos ,
comprobar que estas experiencias del nio pertenecen a la segunda de las
categoras distinguidas al comienzo (tipo II) : su experiencia, real o mental,
\ S?'!lsisteen leer el resultado _de las acciones del sujeto, y no directamente
la variacin de los hechos.
Interviene entonces la segunda distincin: estas acciones, materiales
o imaginadas, no provocan an una composicin deductiva exacta, puesto
que no culminan en la conservacin de los conjuntos manipuleados. Por
lo tanto, el nio necesita efectivamente de la experiencia para asegurarse la
posibilidad de un r~torno a la configuracin inicial, o para comprender
el pasaje de una configuracin a otra. Permanece as en el primero de los
dos tipos distinguidos en la segunda categora de experiencias mentales
(II A) . Cmo pasar desde ah al segundo tipo (II B)? y en qu
consiste el tipo de experiencias a las que se entrega? Examinemos en
primer lugar los hechos: a un nivel superior al precedente, es decir, alrededor
de los 7 aos, el nio sabr imaginar, sin necesidad de experiencia real
alguna, que toda modificacin espacial o perceptual de una de lag dos
filas de fichas dejar invariante la equivalencia 6 = 6; esta equivalencia se
fundar entonces en una correspondencia biunvoca que, a partir de
e~tonces, se concebir independientemente de la correspondencia. ptica;
adems, considerar como evidente y sustentada en una necesidad racional
la conservacin de cada conjunto a lo largo de los posibles desplazamientos
de sus elementos. Incluso har de esta equivalencia constante y de esta
conservacin una suerte de verdad a priori, pero este a priori -como todos
aquellos que hemos de seguir encontrandoaparece al trmino y no al
punto de partida del proceso gentico, y caracteriza por lo tanto la fase
de su equilibrio final y en absoluto de formacin. ' Debemos entonces
admitir simplemente que, habiendo aprendido a travs de una sucesin de
72
JEAN
PIAGET
experiencias, la posibilidad de volver a encontrar siempre la misma ~orr~spondencia, el sujeto se limita a, imagina!' mentalmente estas expenenCl~s
hasta considerar su resultado como necesario? Estos hechos nos harn
remontar, desd,!'LJaexperiencia mental de Mach y Rignano, .~le_mpirismo
de Hume y a su asimilacin de la necesidad nicamente con los productos
del hbito?
El desarrollo de la accin caracterizado por la sucesin de las dos fases
(JI A y 1I B) que acabamos 'de recordar, es ms complejo que un siml?le
pasaje de experiencias materiales y vacilantes a una experiencia interiorizada
en. la imazinacin.
Si la idea de experiencia mental conserva
todo
_..,.___
_
-.0-
su valor para las fases iniciales II A, es decir, cuando el sujeto se limita a
representarse de modo intuitivo algunas acciones posibles, se convierte en
simplista e ineficaz cuando expresa la capacidad de ejecutar mentalII_lente
un conjunto definido de operaciones (Il B) : en este ltimo caso, en efecto,
la experiencia mental proviene de estas operaciones, o se apoya en. ella~,
pero no las explica. Una diferencia mucho ms importante que la rmaginacin de las posibles acciones opone, en efecto, la fase 2.:',,~:_~.
__
a,,,()s,
~ la
fase de 6-7 aos en las precedentes experiencias: las acciones especificas
de la p-imera fase (II A) estn an insuficientemente coordinadas ~ntre s,
y el sujeto, por carecer de esta coordinacin completa, se ve ~bhgado a
apoyarse constantemente en la imaginacin de su resultado, o incluso en
" la percepcin. En particular, estas acciones no son an reversibles en abso.. . luto, y cuando el sujeto admite un retorno a la configur~cil1 inicial~ slo
se"trata de un posible !:~!2!ll0emprico al punto de partida y to~ava no
de una operacin inversconcebida como necesaria. Por el contrario, en la
segunda fase (II B), se considera que cada accin puede invertirse, y esta
reversibilidad es la que' produce el sentimiento de la necesidad de la
conservacin de los conjuntos v sus equivalencias. Ahora bien, sera absurdo
ver enla reversibilidad un producto de la imaginacin, la percepcin, y ms
an del hbito: una imagen sucede a otra, o una percepcin a otra, ~egn
un flujo irreversible, an muy visible precisamente en el curso de la pnmera
de' nuestras dos fases, e invertir un hbito consiste en adquirir un nuevo
hbito. En efecto, aun percibiendo o imaginando las configuraciones sucesivas en un orden invertido o en su retorno, el nio no deduce de ah en
absoluto, durante esta primera fase II A, la reversibilidad de las relaci?nes,
porque precisamente carece del establecimiento de relaciones reversibles,
es decir de inversin de las acciones como tales. Por lo tanto, en la coordinacin misma de las acciones, es decir, en su composiCin progresiva, debe
bliscar~.iUI'Ilsito de la accin emprica a la operacin reversible y no en
la simple interiorizacin de la primera en forma de "experiencia mental".
Si ste es el caso, percibimos entonces en qu consiste la experiencia
propia de la primera fase (Il A) y que precede a la coordinacin operatoria.
Como volveremos a ver en todas las situaciones en que un concepto matemtico se halla preparado por un sistema de acciones, se trata mucho ms
d~ ~xperiencias ,qtie ,el sujeto realiza sobre s,~s prqpi()s ::I,G.tQs
que de experimentacin sobre los objetos como tales. Cuando establece la correspondencia de las fichas azules con las rojas, estos cuerpos fsicos no desempean,
EL
PENSAMIENTO
73
MATEMTICO
Ta-acc16n
-que
de-modo
75
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTOMATEMTICO
74
~~Y!i.b..r.1q,
2~"Cuando se pasa luego de la accin sensoriomotriz a la .~cci.n interio~izada constituida por la representacin intuitiva, el eqUlhbno. e~ltre
. asimilacin y acomodacin tiende a estabilizarse por el efecto de los siguientes factores.' Por el juego de las significaciones evocadas mentalmente, la
asimilacin deja de ser inmediata y supera la accin del momento y se
extiende a mayores distancias espacio-temporal::, es dec.i~ q~,e se ~rol?~ga
'i' tr~vs de los juicios. Por ms compleja que sea la filiacin pSI~ol~glca
d;;'la asimilacin representativa respecto de la de la acci6n, 1,~.;ontmU1~~d,
~pitemolgica resulta as-evidente. En cuanto a la acomo~aclon, tambin
se interioriza pero en forma de significantes imaginados: la imagen mental,
smbolo del 'objeto, es la resultante de una especie de ~mitacin interior
7
que, ~gI_()Ja imitacin ..misma, prolonga la aC0!1l0,d_3:CI~:
:Esta doble
interiorizacin hace pues posible un equilibrio ms extenso y mas duradero
entre la asimilacin y la acomodacin, pero imperfecto an, puesto que
estas dos tendencias siguen orientndose en direcciones div~rgent.es: ,~I1ll;
de...(:gnservacin y la otra de cambio. No p.or ello el pe~s~ml~nto intuitivo
y las experiencias mentales elementales dejan de constl.tUlr sl~tem~s cada
vez mejor articulados de acciones realizadas en pensamiento, imaginando,
por una parte, la realidad percibida (acomodacin imitativa) y asimilndola, por la otra, a sus esquemas interiorizados, Sin embargo, ,Miich y
Rignano, slo insistieron sobre el elemento de acomodacin a lo real -;}~
"u'aCexplica su emjJirismo:- sin ver que necesariamente esa acomodacin
acompafiad;;_asimilacin a los esquemas de accin, es decir,
a una actividad por parte del sujeto (por ms que an no sea de carcter
operatorio) .
.
vIene
a-e_~;;;_
,-"'-',
La operacin es
tambin -y siempre lo sr- una accin, ya sea efectiva como en (1),
o mental como en (2). Sin embargo, presenta dos clases de novedades, por
otra parte solidarias respecto de las acciones precedentes. En primer lugar, es
reversible; en cambio, la accin inicial es irreversible. Toda la psicologa del
niO'iuestra cun lenta es ,esta conquista de la reversibilidad, hasta el mo7 Vase nuestra obra acerca de La formation du symbole chez l'enjant, Delachaux et Nestl, 1945. [Hay versin castellana: ha [ormacittiiel }!mQglo.,en_eLnii,o.
Mxico, Fondo de Cultura, 1962.)
/;.. ->-',
{,4 )~:Porltimo, al trmino de "la organizacin de 1~f:! operaciones C011cretas.se hacen posibles las operaciones abstractas o formales, cuyo carct~r
consiste en descansar sobre puras asunciories y ya no sobre realidades manpuleables: en efecto, estas nuevas operaciones se realizan sobre I?:~.IJo~i:
ciones que describen las operaciones concretas y ya no sobre los objetos d.e
estas operaciones. Se constituye as finalmente una lgica de las propOSIciones, susceptible de aplicarse a varios sistemas operatorios a la vez. Res~l:a
claro que, psicolgicamente, cada proposicin constituye adems una accin
que puede coordinarse y que es reversible, pero puramente s~b.li~a. e
hipottica. De este modo, se completa la continuidad d~d,~,la_!l~~~()Il!Il~<:~~~
~Ls.is..t~ma cre-Ias"PEoi?()siSiQI1~}~liiI.>()!~!k<?=dagaivas:
.
.
Volvamos al nmero. entero y observaremos que es ilusorio querer
explicarlo mediante experiencias, incluso mentales, interpretadas empricamente. Sin duda alguna es la expresin de acciones, pero estas acciones
son, desde el comienzo, asimilacin de! objeto al sujeto tanto como acomodacin del sujeto al objeto. Entonces no se podrn explicar las operaciones
finales -que
constituyen el nmerosi no se recurre a esta actividad
asimiladora; incluso ser necesario, para restituir a las operaciones numricas la propiedad de composicin reversible, seguir etapa por etapa el
equilibrio progresivo que se establece entre la asimilacin y la acomodacin
cada vez mejor diferenciadas. La experiencia que interviene durante los
primeros estadios de este desarrollo no habla pues, cuando se la interpreta
desde el punto de vista psicolgico, en favor del empirismo, sino en favor
de una actividad operatoria (lo cual no es en absoluto lo mismo) ; ~~~!...a.
llctividad operatoria se anuncia desde las formas activas e intuitivas ms
primitivas del nmero y slo se realiza plenamente en los sisterna~ de
operaciones, en primer lugar, concretas y luego formales y susceptibles
de' ser axiomatizadas.
.
76
JEAN
PIAGET
EL PENSAMIENTO
en
umd,ades
+- +
8
D
MATEMTICO
77
f!;!!!i!l.~<:..lasop~~~ciones
de. encaje y. clases.(aspecto cardinal) y la. seriacin
(aspecto ordinal). Examinaremos este aspecto en el punto 6. P;;r"lo tanto,
porque careca de un anlisis gentico de las operaciones espontneas,
Helmholtz se limit a insistir sobre el aspecto ordinal, a travs de una
reconstitucin psicolgica artificial.
,,-~~~~.. .. . .. ..'
En cuanto al convencionalismo de Helmholtz -como se lo ha llamado
a menudo- es la'Tesultante de' hi Illsi;:"'a~~;.
Para colmar el abismo
que separa la sucesin cualitativa de los estados de conciencia, con o sin
memoria, de la sucesin de los nmeros enteros, era necesario en efecto
intercalar un conjunto de operaciones: corno Helmholtz no investig genticamente las que se desarrollan en el nio cuando construye el concepto
de nmero, reemplaz estas operaciones espontneas por un conjunto de
operaciones convencionales de los signos de la numeracin.
Al fin de cuentas, las dificultades de la teorade Helmholtz son el
resultado del punto de partida que ha efegido, es' deCir, ci-e s~'"hiptesis
segn la cual el nmero puede extraerse de la experiencia interior. Ahora
bien, este error es tanto ms significativo en la medida que ha quedado
asociado con un nombre clebre y que la ilusin de un parentesco gentico
directo entre el nmero y el tiempo fue compartida por cierta cantidad
de otros grandes pensadores, empezando
Kant y terminando por
Brouwer.
La hiptesis, sugerida por el hecho de que el tiempo, asi .COIIl()
el
nm~ro, constituye un~ serie lineal, sedujo sin dud;:! -est()S'
autores porque
aTlldamentr el nmero sobre el tiempo se crea otorgarle as una base,
ms slida, puesto que la ~grc:l1rHerior parece ser objet~ de una
iiuiin mucho ms dirccta'Tque el eon?cimiento del espac:iQ:o de un
orden de sucesin simplemente espaclif:' Ahora bien, por una parte, no
hay nada que pruebe q1:!.~.}.a".iI1~lli~!.llA~
la clllI"a.c:iqILintt':fI1
se'!.._ms
primitiva que la, del tiempofsico, ya que el beb observa muy probablernetel3. anterioridad delos Illedios sobre los fines (por ejemplo, tirar de
una frazaaapara alcanzar el ()bjeto colocado encima de ella) mucho antes
que la sucesin de sus estados de conciencia, p~e"stoque car~.c:~QeIJl::~.E:ri<.!:.
c!~,,~y'c:ac:ill.
Por otra parte, la memoria es tmTcrH:f1nas'unareco'struccin
ctv-;"y~eiiparte operatoria, que un registro automtico y en particular
automticamente ordenado: para ordenar nuestros recuerdos nosotros mismos ~sta~os ()bligados a col()ca~este orden. La intuicin de la duracin>,
no co~dilce"pes a una concepcin distit del orden temporal salvo en .
la medida en que superpongan a esta intuicin operacion'~de"~!'i.~iQ.I!
propiamente dichas (vol. II, cap. 1, punto 3). La.SOnst;~ccin deIasucesin temporal slo.culmina; aun' en el nio, despus de la construccin de
ls ope~ac:ioI1e
Jll!IIlI'ic:, o en todo caso al mismo tiempo, pero nunca
antes.'?
En resumen, al querer extraer de la experiencia interior el nmero
10 Vase, para la demostracin, nuestra obra acerca de Le dv!lopp_en:_e,nt<!~,
la notion de temps chez
Pars, PUF, 1946.
EL
78
ordinal, o incluso simplemente la idea de sucesin ordenada, nos .enfrentamos exactamente con la misma dificultad que cuando queremos extraerlos
de la experiencia externa: _la operacir de la seriaci.sr., c:u<t}.~~,~~~_.
y
a Iortiori la de la numeracin ordinal no estn dadas en la expeE~~!l<:!~,
nt-'iiiterna ni externa. Estas operaciones se suman a la experiencia, as.
corno una accin se aplica a objetos, sean stos objetos del recuerdo o de
la conciencia actual, pero si bien estructuran la experiencia directa no
por ello derivan de ella as sin ms.
.
dnde proviene entonces una operacin c()~o aquella que eQ~slste
sn .~.erillrobjetos materiales
acoIlte;_iillieniQuecordados, si no es de cierto
tipo (f !:~E~~i~~c:~,a,
iIl:~~~~a? Sin' embargo, precisamente aqu l~ psi.cologa
de. la c(3'fjaiicta:;-'dTa accin, ha renovado la de la conciencia. J;::a
operacin deriva de ltacc;in, pero la, accin es una realidadm~s profun,d::
~j~~ la experi~I1cia interior qu'e~es"susceptib~e de' generar, 'y~ q~e es:a
experiencia' siempre es una toma de conciencia ms o ~enos made~ua~a
de la accin como tal. Por lo tanto, no hay que recurnr a la experiencia
in terior -a ningn estadio de su desarrollo-e- sino a es~ desarrollo, miSmO,
de las acciones y, en particular, al pasaje gradual de la accin mentalizada
;-fas opera~~;;es.
'
Ahora bien, para retomar el ejemplo de rreIIl].~olt~, es perfectamente
Iezitimo asemejar ra constr'cc6'oe"nli-sucesin ordenada (una vez reconocido el carcter operatorio de esta construccin en oposicin a los caracteres vividos o simplemente representados), con las conductas con las cuales
ordenamos nuestros ,~e<:l,le,l~dg~
(una vez reconocido tambin el carcter
activo de l~' memoria que se asemeja a la reconstitucin del pasado por
parte del historiador, o a lo que P. Janet hallamacl(),_l<l: .',~~,~Il:_c!~c1<l,,gel
relato").
Sin embargo'-pra~extrl(~i;' una operacin de carcter relativamenf' superior (la seriacin operatoria slo aparece en el nio alrededor
de los 7 aos) a partir de una conducta algo inferior (la memoria de
evocacin se inicia sin duda con el lenguaje), es necesario recurrir a una
abstraccin sui gener!, que es precisamente la abstraccin a partir de las
a~-nes, -opuesta a la abstraccin a partir de los objetos, segn la distincin
que anuncibamos al comienzo de este punto 3. AS, la construccin de una
sucesin ordenada es una operacin que puede abstraer sus componentes,
no slo de la memoria, sino tambin del orden de los movimientos en una
sucesin de gestos, etc.; en resumen, de todo orden que intervenga en
conductas inferiores. Pero se trata de una abstraccin cuyo me<:a:n,_is.~g_
eronecesariopreci~ar.
'~-:::-'La eqi.iivodii6ri ,de las _~P~~S~Ei?E,~~P()E_L~,,~}(p~Ei~n~i<l_~E.!~,~~~~
consiste
en creer que se puede' abstraer un caracter tomado de una mtuicin o una
percepcin interna (por ejemplo, una intuicin de duracin o una sensacin
cinestsica ) para insertarla directamente en una conducta. superior, ~,:L
como una operacin, a la manera como se abstrae de la experiencia
;ae'ror un' cualidad cualquiera, por ejemplo la blancura de diferentes
objetos, para construir una clase general: la de los objetos blancos. Ahora
bien, en realidad s~,c:tTatade 995. formas de abs!raccinI11_uy 9if~r~I1t('cS,Y
es
importante insistir~-e'-ello desd el comienzo de esta obra, porque este
I:l:
,
\1)
PENSAMIENTO
MATEMTICO
79
JEAN PIAGET
~'C
'"
problema ha de encontrarse nuevamente en todos los problemas epistemolgicos particulares (los del espacio, el tiempo, la fuerza, etc.), y este
desconocimiento parece ser el culpable del hecho de que se hayan falseado
cierta cantidad de teoras fundadas en consideraciones psicogenticas como
r:>_?!~ejel11plo la de F. Enriqu~~ (Introduccin, punto 3).
,,
Recordemos las principales etapas distinguidas en el punto 1 y que
conducen de la accin a la operacin: accin sensoriomotriz, pensamiento
intuitivo operaciones concretas y operaciones formales. En el caso de la
construccin de una sucesin ordenada, pueden designarse en cada uno
de estos estadios conductas que preparan o culminan esta construccin.
En el nivel sensoriomotor ya existen as ciertos esquemas de sucesin prctica
(por ejemplo, ejecutar un movimiento antes que otro y siempre en el mismo
orden). En el plano de la intuicin imaginada se encuentran otros (por
ejemplo, el orden de ciertos recuerdos), en el plano de las operaciones
concretas tambin (por ejemplo, ordenar objetos por sus alturas o pesos).
Por ltimo, existen esquemas de sucesin formales (por ejemplo, ordenar
una sucesin de elementos abstractos).
Cada uno de estos estadios se
caracteriza adems, como hemos visto en el punto 1, por un equilibrio
superior al del precedente, por una mayor reversibilidad y por composiciones cada vez ms generales. Resulta pues evidente que cada tipo de
esquema torna del tipo anterior algunos elementos, as generalizados, por
ejemplo y precisamente cierta forma de sucesin. J~:S!~
prstamo constituye
la. abstraccin a partir de la accin, y vemos que es real si se tiene cuidado
e-"seguiilo de manera progresiva y no saltando directamente desde las
conductas elementales a los niveles superiores. En qu difiere ~n,tgI1ce'S_
esta abstraccin de la abstraccin de las cualidadeside los objetos que
lierviene en la construccin de un concepto a partir de la experiencia
~~}Cterna?
80
JEAN
EL PENSAMIENTO
PIAGET
-presente
en una conducta sensoriomotriz- no necesariamente es el
o~~ot~de una toma de conciencia por parte del sujeto al nivel considerado:
abs!~erl<l:
~c!esu_c:ont~xto de accin la transfonnax:, en consecuencia, en
una ~c::~Si~Il !epr~sentada, y ya no simplemente vivida, 10 cual supone
la co~struccin de un nuevo esquema que pertenece a Un nivel superior
(al nivel del pensamiento intuitivo si se trata, por ejemplo, de una reconstruccin mnsica de esta sucesin). Una nueva abstraccin.la transformar
~n operacin propiamente dicha, si se trata de una sucesin que puede.
invertirse o reproducirse a voluntad (y no solamente en ciertos contextos
representativos de conjunto), etc. Asimismola abstraccin de una sucesin
~~nstruida por operaciones concretS'-' una sucesi6n foirn~rsupone un;:;:
reconstruccin de esta sucesin bajo la forma de proposiciones. Por ello
esta sucesin de abstracciones (con pasaje de 10sensorimotor a lo intuitivo:
y desde all a las operaciones concretas ms formales) se escalona entre
los l. y 12 aos, o sea durante toda la duracin del desarrollo mental.
~n resumen, la abstraccin a partir de la accin necesariamente es
constructiva flQI9.11t!.
esreflexionante. No conduce a una' generalizacin
simple como l-abstraCirl de las cualidades fsicas cuando est destinada
~nicamente a la construccin de una clase general o una relacin generalizada (de una ley comprobada): es constructiva en tanto se relaciona
c??.la elaboracin de una nueva accin de tipo superior a aquella a partir
de la cual se ha abstrado el carcter considerado. Por lo tanto es, en su
esencia, fiir.fJ.lJ:&~([r;itJ__7l_:> y cuhnina en una generalizacin que es una' nueva
composicin, preoperatoria y operatoria, puesto que se trata de un nuevo
esque~a elabor~do por medio de los elementos tomados a los esquemas
anteriores por ,s:!lf~E~I}<L<l:SiDJ
y de un esquema ms mvil y ms reversible,
en consecuencia,''ms equllbrado.11
. A t~a:,s de estas observaciones, vemos en qu sentido U_!l<t.~:l(plicacil1
?~lSQ.g~netlcano puede reducirse a un simple recurso a la experiencia
mterior. ,J>0~._119_
h<l~~~,
percibidg, el papel de las operaciones. reales que
conducen a la seriacin, y desde ah a la construccin efectiva del nmero,
!:!ellI!~?I!~c,
tuvo que remediar las lagunas de su empirismo interno recurn.ena? . a operaciones hipotticas, interesantes desde el punto de vista
axiomtico p_~E~~e~!r:<l:<l:s
,a la, explicacin g~nti(;, puesto que la reconstitucin verdadera del nmero supondra que las operaciones a las que se
recurre fuesen las del sujeto actuante. Ahora bien, ellas existen y bastan
para mostrar que ~j:!? ~?~~tr:~)'~
.a_c_ti,,<tlIleIlt,e
1~~_<:'()Ecepto~
y que ellos
no aparecen totalmente dados en su conciencia. La experiencia interior
slo sera la fuente real de los conocimientos si se formulara la hiptesis
de c~n.c~ptos.preformados, dados de modo innato y de los cuales el sujeto
adquirira directamente conciencia en un momento determinado de su
desarrollo. Ahora bien, acabamos de comprobar que cuando el sujeto
11 ~or supuesto, estas abstracciones pueden existir tambin en el dominio fsico
p,;ro referidas a las transformaciones de los objetos y no nicamente a sus cualidades:
Solo.que se trata entonces de generalizacionespor. composicin matemtica es decir
pre~,samente por asimilacin a las generalizaciones operatorias provenientes de la~
accrones mentales del sujeto.
MATEMTICO
81
!!~;~f;::S~_gg:~,J~d~Eg~,r:Q~~
3.
s;:;:::""'c',/""_
." ....
_~,_,.~_-="''''''-"._.,.....".._.
--rizaciones necesanas.
CUALIDAD
OPERA61()NES
y CANTIDAD.
ELEMENTALES.
A~e~s:
82
JEAN
EL
PIAGET
(~ntre
PEN SAMIENTO
MATEMTICO
83
una
\
_/
:t91m_
-'~na
' __,o
-".,-'Por
ejemplo, si A es menos rojo que B; si B es menos rojo que e y si e es
menoz roja que D, entonces hay ms diferencia entre ~~
que entre A y e; o
entre A y e que entre A y B; en consecuencia, la clase ABeD tiene ms extensin
que la clase ABe, y sta ms extensin que la clase AB.
84
JEAN
EL PENSAMIENTO
PIAGET
"B es ms liviano que C". De estas dos relaciones a y a', puede extraerse
la relacin b (= A. es ms liviano que C) reuniendo a y a' bajo la forma
serial a
a' = b (as corno puede proseguirse la serie por medio de la
relacin b'
"C es ms liviano que D", de donde b
b' = e, y la relacin e significa entonces "A es ms liviano que D", etc.). Pero entonces
simplemente sabemos que existe una mayor diferencia de peso entre A y C
que entre A y B, o que entre B y e, o sea b > a y b > a'. En cambio,
no se puede determinar si existe una 'mayor diferencia entre A y B que
entre B y e: no se sabe, por lo tanto, nada acerca de las relaciones entre
las relaciones parciales a y a' y slo se conoce la relacin entre una relacin
parciale o a' y la relacin total b (o e, etc.) en la cual est encajada. lB
.n. 'Supongamos ahora que se introduzca una nueva relacin cuantitativa entre las partes complementarias de un mismo todo, entre las clases
A y A' paraI.cEiSe B, o entre las relaciones a y a' para la relacin b, ,.~sta
especificacin de las relaciones de extensin entre las partes marca el
pasaje de la cantidad intensiva a la cantidad extensiva, es decir, de la
lgica de las clases y las relaciones cil"ilitatl~';.;<a:Jl-;;~temtica PE~pi<lmente dicha. Esta cantidad extensiva puede presetarse bajo 'dos aspectos,
uno mtrico y el otro n.9,mtri<.:o. Hay que comprender bien la presencia
de estas' dos posibilidades ya que ellas corresponden precisamente a la
distincin que establece la matemtica entre lo que llaman el dominio
numrico o "mtrico" y el dominio "cualitativo"; la geometra llamada
"cualitativa" es de carcter "extensivo" y no simplemente "intensivo", pero
sigue siendo extraa a la mtrica, es decir, a la introduccin del nmero,
Tomemos por ejemplo una sucesin de. intervalos encajados g_uecon~ \
vergen hacia un punto limiie'; "'caCla un()'
estos' i.rit~~~alos'~;"
e~t;:mc~s
iS"~pequeoque'-eCprecedente. En el lenguaje de la teora de los conjuntos, se dir que un intervalo contiene "casi todos" los elementos de
un conjunto cuando los comprende "todos excepto-.n'c()n:It.ln:t~
levemente
~t;;E.r:.~~~l_1!~2g:'
(o tambin "~82~,,~)(<:t:P!9~~Yl_1<l
c:!'\pMl9.<nitit:')':La.
.st.l~e;i6;:;
de los intervalos convergentes constituye pues una sucesin de relaciones
"casi todos". Ahora bien, vemos inmediatamente que la relacin "casi
todos", que no necesita la intervencin de la enumeracin, puede sin
embarg reducirse a la simple cantidad intnsiva: si A contiene "casi todos"
los elementos de B, sabemos entonces, no slo que A < B, sino adems
que A > A' (si B = A
A'). Incluso en el lenguaje corriente, si decimos
por ejemplo que "casi todos los mamferos (A) son terrestres (B)", intr2:
ducimos ...ms que ..una relacin lgica y ..rec\lrriIilos a una cuantificacin
y'~,ia!t:m~~LciT'r~,~~gica-pura-;'elimit;a d~'~i'cii~
..~~tr~
'jlf~~~~2~"','
'pero no tiene"nada que hacer con esa relacin intermedia, la cual constituye en realidad una fraccin, -,pero de carcter indeterminado (incluida
entre > 1/2 y < 1/1)- y, por lo tanto, extensiva.
I'
85
MATEMTICO
de
"'!o_dis;';:y
18 Ahora bien, corno la relacin "A es ms liviano que B" puede a su vez
subdividirse, con la introduccin de nuevos trminos entre A y B, en relaciones de
orden inferior que presentan los mismos caracteres de composicin,tiene un carcter
intensivo: lo "ms" que interviene en la relacin "ms liviano" es pues una cantidad
intensiva en ausencia de nuevas especificaciones.
86
JEAN
EL
PIAGET
ifilI;}1d:~t~~faf~p;~~l:
fr~~i~r~~!f~~;(;i~fr~~cl~n~to~~~~~l~~ra,y
nes, etc., se construyen segn mtodos puramente grficos .in expresin
mtrica alguna) corresponden a la cantidad extensiva, aunque no mtrica,
y.a que las partes de un mismo todo se comparan siempre entre s y no
simplemente en relacin con este todo, como sucede en la lgica. Por
ejemplo, la disminucin de la distancia que separa dos lneas que se pierden
en el infinito, es regular y no se presenta de cualquier modo: si designamos
con los smbolos A, E, e, etc., las paralelas que marcan la distancia
creciente entre las lneas que se pierden en el infinito partir del punto
en que se renen en el horizonte, no slo tenemos una seriacin intensiva
A < E < e < D ... etc., sino tambin una relacin entre las diferencias ~
mismas: A' C=B-A),B'
(=e-B),e'
(=D-e),etc.,
de tal modo
que las relaciones entre A', B', C', etc._, y A, B!, C, etc., se mantienen
ccnst.antes. Esta invariancia -implicada en la construccin grfica ing~:
I2~Eilent~!:r:I(!ntede t.~~.~_~tris<1,:--aparece, por ejemplo, en cierta edad
en e! ~dibujo con perspectiva de los nios y testimonia ya, de por s, la
aparicin de cierta cuantificacin extensiva."
III.: Por ltimo, hablaremos de cantidad numrica o mtrica cuando
PENSAMIENTO
87
MATEMTICO
'~;;~~~~~~~~5ieW~i~"ej~:~~rn~t[~~e~:ff~e~~:-~~~~~~~~~~f;~~
a A' luego de una operacin de correspondencia biunv()ca de sustitucin
de congruencia, etc., entonces a -partir de est~ n{e~:a-~~r~;cin,
que' escTl:
bmos"p~r'-simplificar A = A', puede extraerse la igualdad B. 2 A, lo
cual equivale a componer el todo B con la suma' de unidades
A.
La cantidad numrica o mtrica def;;t-coc:eJ;it:s'e'~nt()cs'c()m()-~-c'a~~'
IL~r!i~~!~r
de la~~afu~~_~.
extensiva ; sin embargo estas dos subespecies son
las que se oponen entre s en la matemtica con el nombre de cualitativo
y mtrico.
, Aclarado esto, podemos pues admitir que la cualidad siempre es insepara~le de la cantidad y recprocamente: en lgica, las cualidades se
relacionan entre s por relaciones de cantidad intensiva; en cambio, en
~a.::~.~t~~a.,..todas
mtncas.
., .' ..' estas relaciones son extensivas,
.. ..,._.. ya sea~~m:etiicaso -no'
de-raen
c.
',,'
....,
._.
--
...
+
+
20
JEAN PIAGET
+ =
(":+ +
+
+ + =
=-
+ = +
O;
v;..
89
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
88
+ =
+ =
.
Se comprueba de este modo que un "agrupamiento" constituye el conJunto de relaciones "intensivas" de parte a todo (por encajes contiguos
de las partes complementarias en totalidades sucesivas de diversos rdenes) :
!!
+ =
(jsyun~
23 Una red es un sistema semiordenado tal que dos de sus elementos cualesquiera tengan ~iiilJmite superiory un lmite inferior unvocamente determinados. El
lmite superior es el '!l_enorIl1ayoril:ll.t.l:,
por ejemplo la clase comn ms pequea que
incluye a las clases analizadas. El lmite inferior es el mayor rninorante, por ejemplo
la parte comn a las dos clases' en cuestin.
... ..
'-'- --- .......,
24 Vase nuestro Trait de logique, punto 39.
25 lbid., punto JO, nm. 1.
90
EL PENSAMIENTOMATEMTICO
JEAN PIAGET
si se
>
91
esta invariancia del todo constituye, en este caso como en muchos otros
semejantes, e! ndice psicolgico de la realizacin acabada de un __
grupamiento operatorio
a+partir de acciones inicialmente irreversibles y no
componibles entre s.2i
...._._..
(4) LA REDUCCIN
DEL NMEROCARDINAL
A LAS CLASESLGICASy DEL_
NMER;'-'()RDINAL
A_.Ll\.S RELACIONESASIMTRICAS.
- L~~distincio~~s' ir;tro=
ducidas en el punto precedente facilitarn el examen gentico de los clebres
intentos de F'r~ge, y luego de Russell y Whitehead, para reducir el nmero
a las operaciones simplemente lgicas. Estos intentos fueron ya aprobados
por casi todos los lgicos y por muchos matemticos, porque la reduccin
de! nmero a la lgica se presenta, en primer instancia, corno la solucin
ms natural, una vez que se ha reconocido la inoperancia de las explicaciones empiristas del nmero. Sin embargo, esta reduccin provoc la
desconfianza de algunos clebres matemticos, entre los que debernos men...
cionar en primer lugar a Epillcar, y epistemlogos, encabezados _por_L.
Brunschvicg. Por lo tanto, e! problema consiste ahora en determinar si
los procesos formadores del. nmero son o no los mismos que aquellos
de los cuales derivan las clases v las relaciones. En este sentido fue necesario distinguir los diferentes tipos de totalidades operatorias examinados
en e! punto 3, ya que slo e! examen de su desenvolvimiento gentico
permite decidir por la experiencia el problema planteado por los lgicos
y que acabarnos de mencionar.
Es cierto ql:le la verdad Jgi<:
(;_r:5.l~--,'$i91!l..!ico
y no experimental y que, por lo tanto, puede concebirse una filiacin deductiva entre
el nmero y la lgica, aun cuando la experi"Cia aes1nta}a tiliacin
rea,!: Pero si las operaClonesl'eales--~ig:ieran 'siendo re'{ractaria~' a-'-e;t~
reduccin, entonces sera interesante traducir en un esquema lgico estas
operaciones una vez .que han alcanzado e! estado de equilibrio y _s_'?EiI"QI!~
~~!<!.J\l!:g()_~on_..~Le~gll~!!!:~.9:('!_~RussellAhora bien, la experiencia que
hemos realizado 28 nos ha conducido a reconocer un paralelismo entre las
cuestiones ___g~!lti~as y las cuestiones !.gi_f_asms qu= conflicto entre
ambos mtodos. Por ello nos gustara exponer aqu brevemente este doble
aspecto del problema.
Todos conocen la teora de Russell: dos clases, consideradas en su
extensin, generan una misma "clill;~:'d{dases" si puede establecerse una
correspondencia biunvoca entre 'Is 'lridi~'ld~; que las componen, y esta
clase de clases constituye precisamente un nmero cardinal; el nmero 1
es la clase de las clases singulares, el ;}{rmero"fT"-clase-(le los duos, el
nmero 3 la de -Ios trio s, etc. etc. Ahora bien, la correspondencia
biunvoca ~!_()s~_.s\lstenta en la iderl~i~<lcl_L~gi~~:"x corresponde biunvocamente a y" significa que si x corresponde tambin a y', entonces y' es
'"_~
,
in. 'Para las relaciones er;tre los conceptos de c~r;se~~!iilJ y la ~g,!:1"J?aciD~
vease -Paget e Inhelder, Le developpernent de~ (Juantltes chez l'e!liqnt. Delachaux
et Niesrl, 194-1, cap. -my-piageCy'Siin.'kli; l-;-;;~~ii:-~;;:p:-'~'[.,
.. ,.2S/Vase nuestro Trait..!.". .101J,~3!_~,Coln. cap. n-rv.
EL
92
JEAN
.2LJ.. ~,J.,...
PENSAMIENTO
MATEMTICO
93
PIAGET
que
.''"
'lo"
a"un
grlip;;;;~"
94
EL PENSAMIENTO MATEM..\TICO
JEAN PIAGET
+ A'
(A'
+ A')
SI
B2
(A
= A2 . + A' 2
2+
A')
la multiplicacin
{AIA2
AlA' 2
l A'lA2+A'lA'2
El X B~
1.J
=B1B2
el
29
rliiones'
96
JEAN
PIAGET
EL PENSAMIENTO
decir,
pg. 37.
97
MATEMTICO
~e~
98
,lEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
99
vista, se puede expresar este fenmeno tanto diciendo que las clases lgicas
'i las relaciones asimtricas son las resultantes de una disociacin de las
operaciones implicadas en el nmero como presentando a este nmero
corno una sntesis de las clases y las relaciones lgicas reunidas en una
sola totalidad operatoria. En la medida en que hay reduccin, ella es
recproca, en virtud de un mecanismo gentico del cual volveremos a
encontrar muchos otros ejemplos.
A partir de las acciones ms elementales ejercidas sobre la realidad,
cJ!l_~PE:E.C.ECPc:,!2I~.
distingue una pluralidad indeterminada de elementos vinculados por semejanzas y diferencias. Dicho de otro modo, desde el punto de
partida, H_llalidady cantidad se hallan indisolublemente unidas, y la cantidad simplemente expresa las reacciones de extensin entre los trminos
calificados por sus semejanzas o diferencias. A travs de la combinacin
de estas acciones iniciales de reunin y separacin, las operaciones intelectuales construirn simultneamente las clases agrupando los objetos por
sus semejanzas ms o menos generales o especiales, las relaciones asimtricas
agrupando los rrsmos objetos por sus diferencias ordenadas, y !~nmeros
as-rupando los objetos en tanto son a la vez equivalentes y distintos. Sin
embargo, hay que comprender bien que al comlezocree~ta ;':-~:~lu6n,no
puede haber an clases en sentido estricto, relaciones asimtricas transi..
tivas o nmeros: losagrupamientos lgicos y los grupos numricos aparecen,
por el contrario, como una forma del equilbrio final de un proceso
continuo caracterizado por sus coordinaciones y su reversibilidad progresivas. En el punto de partida slo estn dadas las relaciones PECr:ceptuales
relacionadas con la actividad I~~;Otrii,es deCir, relacion~s q~e no se con;:
ponen entre s, ni desde el' punto~de vista lgico ni desde el punto de
vista aritmtico, porque son intransitivas, irreversibles, no asociativas, e
incluso estn desprovistas de esa identidad elemental que es la nica que
podra garantizar Sil, inyarianci", en el seno de las composiciones posibles.v'
En cuanto a su erle'si6-;:;'~~~ decir, a Jos conjuntos formados por los
elementos calificados, en oposicin a las cualidades mismas- esas relaciones
slo se distinguen en el i~terior del campo perceptual momentneo, pE'ro
ni siquiera constituyen de entrada "objetos" en. el sentido de elementos
que se conservaran fuera de este c~p~:" Aun ms, la relacin fundamental que define la cantidad intensiva propia de las coordinaciones
-a saber, que la parte es menor que el todo- ni siquiera es permanente
en el plano perc~R!uaI. Por ejemplo, en el estudio de las ilusiones de peso,
se puede presentar al-sujeto una barra de metal A que se coloca luego y
enseguida sobre una caja vaca de madera A' de iguales dimensiones:
el todo B, formado por la reunin de A
A' parece ser entonces ms
liviano que la parte A aislada (as sucede incluso con el adulto y con
profesores de psicologa que sin embargo conocen la teora de esta ilusin) .
La primera etapa de la construccin que, a partir de este flujo irreve-r-
de l'i nl elli-
100
JEAN
PIAGET
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
101
de pensamiento son siempre ms numerosos y porque las distancias espaciotemporales que los separa del sujeto aumentan proporcionalmente. El
resultado de esta irreversibilidad es el fenmeno muy general que caracteriza
al pensamiento prelgico de 2 a 7 aos: la,no conservacin de los conjuntos
resultante de las dificultades de la reunin y la separacin mentales de
los objetos en forma reversible. EJiJlLJ1_0
COI1s!,:!:y_Q.I1
-que ya hemos
mencionado en el punto 5- constituye as el equivalente (con un desajuste
de la accin al pensamiento y, en consecuencia, del establecimiento .de
las relaciones prcticas al de las relaciones mentales), de la no conservacin de los 'objetos en el plano de la accin inicial. Slo cuando las
reuniones y separaciones se hayan extendido a todos los objetos del pensamiento, a ttulo de formas ms generales de la asimilacin y la acomodacin mentales, el equilibrio alcanzado por estas dos funciones asegurar
la. reversibilidad: [as 0p~I"ac:iorf:~
reye!:~!lJleconstituyen as el estado de
equilibrio mvil hacia el cual tienden todas las coordinaciones del pensamiento, en la medida en que stas superan la simple intuicin imaginada
y se organizan en articulaciones siempre ms giles. El pensamiento
intuitivo, que marca los comienzos de la representacin, no es sino la
evocacin por la palabra y la imagen de las diversas acciones reales, pero
en una forma an casi material y, en consecuencia, irreversible. J:..~_QP_~Ia,~
si<!l1~s,_
por el contrario, s()u las mismas acciones pero coordinadas entre'
si por el pensamiento, desenvueltas en los dos sentidos y combinadas en
todas las compOsiaOnes posibles, porque se las ha generalizado a todos
les objetos y ya no simplemente, como sucede en la intuicin imaginada,
a .~9:!l~l1ossobre los que se ejerce la accin material.
-----_ Una vez recordado esto, comprendemos cmo las reunione~~racj_(ll!.esII1~nta.l~s.de
los.<?~j_~~~a medida que ac~e~.erl~L~~<@~_cl~_o_per<lcienes reversibles y susceptibles de-coIllponerse entre s, generarn de modo
rob~i
[ ~oli;.:;~~~~l~~~~:~~~~~ie~tev~:s:o~;~ei~sl~;u{TI~i~~~e~~~~mf;f~~-~~
sus relaciones cuantitativas 34:
.
. 1; En primer lugar, se pueden reunir los objetos por sus semejanzas
o separarlos por la ausencia de estas mismas semejanzas, de donde surge
entonces la ~orrnacin de las clases encajtdas A, R, C, etc.; por semejanzas
cada vez--ms -ge"rierales;
_:-X';C=1f = B', etc.; por
ausencia de semejanzas especiales. Este constituye el principio del "agrupamiento" adTIivoclel encaje de las clases que hemos tomado como ejemplo
en el punto 3. Llevando la clasificacin a sus ltimos extremos, se tendr
una clase singular A, cuyo nico individuo posee el carcter (A) y una
clase singular A', cuyo nico individuo no posee el carcter (A), pero
posee con A el carcter comn (B): de donde la clase B = A
A'.
Si el individuo de la clase singular B' carece de este carcter (B), pero
los B y B' tienen en comn el carcter (C), se tendr la clase e = B B'
'o-'clases' -]r.:....A
+
+
2,
mientos".
34 Para lo que sigue, vase nuestro Trait de logique, punto 26; y nuestra
obra: L.~genese du nombre chez l'enjant, Detcha~x et Ni~stl, 1940. Vase nota 5.
102
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
JEAN PIAGET
(o e A
A' .B'. y as seguido. Desde este punto de vista totalmente
cualitativo, ~L.f~L_so!1:_Plles ,equixalentes_ (es decir, recprocamente sustiS,;i~l~:entre s en B; A, A' Y .d' son equivalentes o sustituibl~s n e~tc.
SlI1_ .embargo, A no es el equivalente de A' en A, ni en A'; Y B' no es
equivalente o sustituible a A, ni a A' en B, etc. Por lo tanto, estas
~SLuivalen~ias.cll':llitativas, o semejanzas cada vez ms generales, sen las
que constituyen en efecto e! principio de la reunin, y la ausencia de
cuali?ades comunes de diversos rdenes cada vez ms especiales que
constituye el principio de la separacin de las clases.
Lo propio del nivel intuitivo preoperatorio es que e! nio slo puede
realizar algunas de estas reuniones, y adems sin reversibilidad alguna
(vase final del punto 3); en cambio, las operaciones concretas marcan
la generalizacin de estos encajes simples.
29 Tomemos ahora un conjunto de elementos A, A', B' etc. (que
no distinguiremos por el momento de sus clases singulares) que tienen
una misma cualidad, pero en diversos grados de intensidad creciente
(cada vez ms pesados, o grandes, etc.). Entonces podemos seriados en
funcin de estas diferencias. Obtenemos entonces una primera diferencia
a entre O y A, una diferencia a' entre A y A', una diferencia b' entre
A' y B', etc. De donde la agrupacin (aditiva) de la seriacin de las
relaciones asimtricas: a
a' = b; b -+- b' = e, etc., cuva operacin inversa
es la adicin de una relacin conversa,
a),
cual equivale a la
sustraccin - a.
Esta agrupacin, que se traduce en operaciones concretas a travs de
la conducta elemental de la construccin de una hilera de elementos
ordenados, slo es accesible despus -de la aparicin del' encaje de las
clases: los nios pequeos no logran ordenar magnitudes crecientes si no
lo hacen por pares o por pequeas series empricas, sin composicin transitiva ni reversible.
Pero cuando se alcanza este agrupamiento (alrededor de los 6-7 aos
como el caso del encaje de las clases) se comprueba que, si bien es anloga
a la precedente, sin embargo no es idntica a ella desde el punto de vista
ele las operaciones en juego. En efecto, si se serian A v A' en el orden
A-;. A', se lo hace en tanto son diferentes uno de! odo; en cambio, se
los rene en una misma clase A
A'
B, en tanto son semejantes. La
aclicin a
a' = b no es conmutativa; en cambio, la adicin A' A'
B
puede hacerse tambin en el orden A'
A = B.35 En resumen, como
el agrupamiento de las clases se funda en la semejanza de los elementos no
implica orden alguno en cuanto a la clasificacin de las clases singulares
A, A', B', etc., en cada una de las totalidades B, e, D, etc., sino solamente
en cuanto al encaje de las clases de extensin creciente A, B, e, D, etc.
El ~grupamiento de las relaciones asimtricas se basa en la dif~rencia progresiva de los elementos e implica, por el contrario, un orden necesario
una vez que se ha elegido la cualidad que servir como principio de
seriacin (peso, etc.).
+ (-
+ =
+
1;
+ =
~~:~JiJ~~t~f;~:;~::~~~~~tftti~;,
'~~'~;
I
i
+ + =
104
JEAN
PIAGET
EL
primer elemento, sea cual fuere el orden elegido, siendo este primer
elemento aquel que no tiene precedente y luego un segundo elemento que
es el sucesor del primero, etc. j .
El grupo aditivo de los nmeros enteros es pues el producto de una
fusin operatoria entre los agrupamientos cualitativos de las clases y las
relaciones asimtricas, pero por abstraccin de las cualidades diferenciales
sobre las que se' basan estos agrupamientos. El nmero es as complementario respecto de las clases y las relaciones asimtricas, como las clases y las
relaciones asimtricas lo son entre s: en efecto, o bien se tienen en cuenta
las cualidades diferenciales y slo se puede clasificar en funcin de las
equivalencias cualitativas cada vez ms generales o seriar segn las diferencias cualitativas; o bien se hace abstraccin de las cualidades diferenciales y slo se puede clasificar y seriar a la vez, ya que si no se las ordena
en serie no hay elementos distintos, y si no se las clasifica no se las puede
reunir como equivalentes. Ahora bien, clasificar y seriar al mismo tiempo
es, ni ms ni menos, enumerar.
En realidad, sucede as en todos los niveles de la gnesis real de los
nmeros. En la medida en que las correspondencias cualitativas intuitivas
se transforman en correspondencias biunvocas "cualesquiera" (vase el
punto 4) surge el nmero; ahora bien, esta transformacin supone a la vez
el encaje de las colecciones de extensin creciente, es decir, el agrupamiento
aditivo de las clases y la seriacin de los elementos, esto es, el agrupamiento aditivo de las relaciones asimtricas.
Por otra parte, esta construccin explica, en el hecho mismo, por qu
los conceptos ordinales y cardinales del nmero son necesariamente soli- ,.
darios en lo finito, como lo ha mostrado de manera decisiva L. Brunschvicg,
Porque, genticamente, si el nmero est formado a la vez por clases y
relaciones asimtricas, cada uno de estos dos componentes slo puede
engendrar la forma correspondiente del nmero (cardinal para la clase y
ordinal para la seriacin) apoyndose en el otro. Volveremos, por otra
parte, a encontrar un poco ms adelante este problema (en el punto 7).
Para concluir, el nmero no se reduce a los seres lgicos, considerados como "agrupamientos" que pueden aislarse, puesto que les es complementario y expresa su fusin operatoria en una sola totalidad no realizable
en el plano cualitativo. Los seres lgicos no se reducen tampoco al
nmero, puesto que son la resultante de la disociacin de sus componentes
cardinal (encaje) y ordinal (seriacin), con recurso a las cualidades
diferenciales. Sin embargo, las clases, las relaciones asimtricas y los n~~eros forman, los tres, un sistema operatorio coherente, a la vez nico por
sus mecanismos y diferenciado por las tres posibilidades de coordinacin
de las semejanzas, las diferencias o ambas al mismo tiempo. El proceso de
ccnstruccin as descripto representa pues una tercera solucin, a la vez
distinta de la reduccin de Russell y de la irreductibilidad postulada por el,
intuicionismo del nmero entero. Esta tercera solucin presenta el inters~l
de ser simultneamente una reduccin del nmero a las operaciones lgicas ~.
abordadas como totalidades complementarias (puesto que el nmero est
exclusivamente compuesto de clases y relaciones asimtricas simplemente
PENSAMIENTO
MATEMTICO
105
-+
-+
106
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EL PENSAMIENTO MATEl\I..\TJCO
JEAN PIAGET
+.
+,
108
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
JEAN PIAGET
I~-q-;-;';-
37
109
de adicionar unidades homogneas, etc. En consecuencia, estas implicaciones entre operaciones constituyen el correlato de lo que, genticamente,
es la abstraccin sui generis a partir de las acciones u operaciones anteriores, descripta en el punto 2, y de este modo se apoyan en la generalizacin
por composicin operatoria y no por simple encaje de las proposiciones
particulares en aquellas que ellas implican. Por esto, los anlisis axiom~ticos
y genticos son en realidad complementarios y no divergentes. En efecto,
una axiomtica no se refiere directamente a las operaciones mismas, sino
a proposiciones que expresan sus resultados. Por lo tanto, el axiomtico
slo se enfrenta con las implicaciones entre estas proposiciones y no con las
conexiones previas entre las operaciones, conexiones de las que slo conserva
un mnimo indispensable para cada construccin particular, Por el 'contrario, el gentico se interesa en estas implicaciones entre operaciones y,
en este sentido, los dos tipos de investigaciones so:p complementarias: una
se refiere a los vnculos previos o implcitos, sin duda inagotables, y la otra
a su explicitacin formal, sin duda siempre parcial. ~ue entre est~s dos
actitudes --operativa y formalistahay una posible convergencia, lo
testimonia constantemente la historia; pero ella muestra tambin, y en
igual grado, que hay una divergencia aparente como hemos de examinar
ahora mediante ejemplos con los nmeros derivados de.los enteros positivos
y empezando por el nmero negativo.
8. EL NMERO NEGATIVO Y EL CERO. La comparacin de la historia
de los nmeros negativos y la de los enteros positivos resulta singularmente
instructiva, Desde el punto de vista operatorio, nada parece ms simple
gue aadir o quitar, en el pensamiento, un primer conjunto a un segundo,
aunque ste sea momentnea o definitivamente el ms pequeo de los dos;
el carcter reversible de las operaciones de adicin y sustraccin parece
implicar sin ms la necesidad de completar la sucesin directa de los
nmeros enteros positivos por la sucesin inversa de los enteros negativos,
siendo stos la resultante de la sustraccin 112 - nI si
:> 1l2. La significacin de estas operaciones resulta incluso tan general que no aparece
como especfica del nmero y se encuentra yapresente en las reuniones y
separaciones de las clases cualitativas. Cuando el lenguaje corriente dice
"Todos los mamferos salvo (excepto, fuera de, etc.) los cetceos tienen
patas", expresa la operacin ~. (= los mamferos) - A (= los cetceos)
= A' (= los mamferos que no son cetceos). La clase de los cetceos
quedar entonces afectada por un signo de sustraccin (- A) en la
transcripcin algebraica de esta frase. Si se construye ahora la clase de los
vertebrados sin patas, se dir inversamente "Todos los mamferos estn
excluidos de ella, salvo los cetceos", lo cual se escribir - (B - A)
- A' o tambin
A - B = - A', es decir, que la inversin de los signos
de la ecuacin lgica B - A = A' culminar en el concepto de una clase
negativa -1\:. resultante de la exclusin (sustraccin) de un todo - B
mayor que la 'parte conservada
A. En cuanto a las operaciones numricas espontneas, comprendimos todos desde siempre, desde su aplicacin
a los intercambios econmicos, o a los caminos recorridos, que al com-
nI
EL
110
JEAN
PENSAMIENTO
MATEMTICO
111
PIAGET
y donde D'Alembert
+ ,
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JEAN
PIAGET
EL
mientos se orienten en sentido directo o inverso. Y aun antes de la comprensin de estos conceptos, el nio consigue invertir un orden lineal ABC
en una sucesin CBA, lo cual corresponde nuevamente a las operaciones
y -.
..
Sin embargo, la mejor prueba del carcter espontneo de la construccin que se encuentra en la fuente de los nmeros negativos y del hecho
de que. esta construccin se relaciQg~J;9HJ;;c_e-ccin,.'w--pposicin a la
!J)J:!It;;~g~:!. es la i!l.!.eI.Y_~Il<::!Il
Il~;(!.sIiadc,:l ..';regla de Jos.signos" (-) por
(-) da C+), en el momento en que se equilibran las operaciones con-'
cretas .(7 a 8 aos), y luego en la lgica corriente de las proposiciones,
es decir, en ambos casos, mucho antes que la formule el lgebra de los
n~meros negativos. En cuanto a las operaciones concretas, basta por
ejemplo presentar a los nios tres elementos ABC fijos sobre una varilla
rgida para que, una vez que han comprendido que una rotacin de 180
grado~ de esta varilla (detrs de una pantalla) invierte el orden en CBA,
l?s sujetos r:uedan -alrededor de los 7 a 8 aos- prever que dos rotaciones sucesivas de 180 grados habrn de reestablecer el orden directo
ABC. La inversin del orden es la operacin negativa; el nio comprende
entonces por s mismo que dos inversiones conducen nuevamente al orden
positiv0;d:: esto es lo que propiamente representa la operacin (-) X (-)
(+ ~ Ahora bien, en el plano de la lgica de las proposiciones, esta
regla vuelve a encontrarse en su forma prenumrica en el clculo de la
doble negacin (regla de Morgan) : "es falso que sea falso
es verdadero",
o ?ien "lo contrario de lo contrario,t"'son, por ejemplo, relaciones que tod~
sujeto normal comprende a partir del nivel de las operaciones formales. _.-
Ahora bien, estos hechos no slo prueban con toda evidencia el carcter
activo y no perceptual del nmero negativo, sino que adems verifican
incluso la hiptesis de carcter tambin operatorio del nmero positivo. En
efecto, sera inadmisible atribuir a la percepcin de colecciones de objetos
el origen de los nmeros positivos, es decir, considerarlos corno "abstrados"
a partir de estos objetos, puesto que la ausencia de esta percepcin no
constituye un impedimento para la formacin de los nmeros negativos. Sin
duda, esta percepcin de las colecciones numeradas desempea un papel
en cuanto a la facilidad intuitiva de la accin y, en consecuencia, en
cuanto a la toma de conciencia del nmero positivo y, en este sentido,
podernos estar de acuerdo con d' Alembert, pero las facilidades intuitivas
no se confunden con las coordinaciones de la accin y la torna de conciencia
no es la construccin puesto que a veces invierte su orden gentico. El
descubrimiento histrico tardo del nmero negativo respecto de la utilizac~on ta~ primitiva, no slo del nmero positivo, sino adems de las operacienes mversas que constituyen. en la accin, el equivalente anticipado de
los nmeros negativos, no confirma pues en absoluto el empirismo o el
"sensualismo": conduce simplemente a disociar, desde el punto de vista
PUF,
de
mouuement
:v de
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(i)EL
Como el
nmero negativo, el nmero fraccionario presenta el problema de las relaciones entre la accin operatoria y la representacin perceptual y, en
consecuencia, entre las dos clases de abstracciones, a partir de la accin o
2. partir del objeto mismo. Si bien ha aparecido ms tarde que el nmero
entero positivo, el nmero fraccionario tambin vio favorecida su formacin
por consideraciones perceptuales fundadas, en este caso, en el fraccionamiento de los objetos continuos y los conjuntos discontinuos. En efecto, la
importancia de la reparticin fue decisiva para su descubrimiento y la
preponderancia atribuida a menudo a la particin de los objetos continuos
-por ejemplo un campo o una torta-e- ha conducido a algunos autores a
atribuir al nmero fraccionario un origen ms espacial que puramente
aritmtico, y (lo cual no es en absoluto lo mismo) ms perceptual que
operatorio. Se trata pues de examinar cmo la consideracin de la relacin
entre las partes en el interior de un mismo todo ha impuesto el concepto
de nmero fraccionario: es en virtud de coordinaciones operacionales anlogas a las que acabamos de ver obrar en la construccin del nmero entero
positivo o negativo? o bien la intervencin de la percepcin y la representacin intuitiva aparece, en este caso, como siendo necesaria en un sentido
que implica la abstraccin a partir del objeto?
En un interesante fragmento de sus Etapas, L. Brunschvicg se opone
al esfuerzo realizado por Riquier para justificar la independencia de los
fundamentos aritmticos del nmero fraccionario respecto de las consideraciones fsico-aritmticas: "Para nosotros, la .aritmtica de los nmeros
enteros ya es una disciplina fsico-aritmtica, y ello le otorga su valor de
ciencia. A partir de entonces, si queremos conservar este valor, debemos
mantener en el dominio de las fracciones el mismo orden de conexin que
en el dominio de los nmeros enteros, y concebir que a las transformaciones
mentales efectuadas sobre las expresiones fraccionarias corresponden las
transformaciones efectuadas sobre las cosas".40 . Resulta claro que si se
entiende por "fsico-aritmticas" las operaciones susceptibles de "efectuar
transformaciones sobre las cosas", nos adherimos a la doble tesis de
Brunschvicg acerca de la continuidad entre el nmero entero y el nmero
fraccionario y el carcter operatorio de este tipo de nmeros. Pero no
hay porque deducir a partir de ah que los nmeros fraccionarios se
abstraen de los objetos fsicos -puesto que consisten en acciones y operaciones ejercidas sobre estos objetos y, por lo tanto, se los extrae del mecanismo de la accin- ni tampoco que la experiencia fsica es semejante a
la operacin matemtica. Por ms insensibles que sean las transiciones
entre las dos cIases de conocimientos, la experiencia fsica se inicia cuando
-adems de las operaciones extradas de la coordinacin general de
las acciones- interviene una abstraccin a partir del objeto mismo:
el conocimiento fsico supone, en efecto, un conjunto de acciones especiales, que ya no se limitan a reunir o separar, en hacer corresponder
por asociaciones o en dividir, etc., es decir, en utilizar los aspectos ms
40
1
de que el numero fraccionario es la resultante de preocupaciones espacia es
ms que numricas.
El argumento ms frecuentemente empleado, en favor del origen
espacial de las fracciones, es que la unidad numrica es. i~~ivisible y que
slo las unidades mtricas son divisibles en tanto la medicin se ap~~caal
continuo espacial y al de los objetos fsicos. Ahora bien, esta cuestlo~ .de
la divisibilidad de la unidad plantea precisamente un problema genetlco
interesante en cuanto a las relaciones de la medicin espa~ial y del n~mero
y que domina en consecuencia, la problemtica del origen del numero
fraccionario. En efecto, como volveremos a verlo en el captulo 2, sucede
que la medicin presenta un modo de formacin estrictamente compar,able
al del nmero, y ese paralelismo constituye P?f otra p~rte de por SI un
argumento de peso en favor de la ir:t.erpretaclOn def?ndl.~a en el pun:o 6.
Todos estarn de acuerdo en admitir qu~ la constltucJOn de ~a.,umdad
mtrica es la resultante de una sntesis operatoria entre la partlCJ~n y el
desplazamiento: medir un todo mediante una de s~s partes Co~slste en
desplazar sucesivamente sobre las otras la parte elegida como unidad, de
tal modo que se asegure una sucesi~ ~e igualacion.es p(lr ,congruenCIa, y
se reduzca as el todo medido a un mltiplo de la umdad reiterada. Ahora
bien, se percibe de inmediato que la particin repr~s~~ta, en el terreno de
las cantidades continuas, el equivalente de la adicin de !os elemen.tos
en el dominio de las clases encajadas, y que el desplaz(.\mle~ltoSUC~slV,O
equivale por su parte a la seriacin en el dominio de las, relaclO~es ~sl~etricas. En efecto, as como pueden reunirse, de modo contiguo y dlcotomlco,
objetos discontinuos en clases y estas clases elementales en clases de. or~en
superior, etc., segn la estructura de los "agrupamientos" cuah.t~tJvos
(o "intensivos") descriptos en los puntos 3 y 6, as se pu:den adlCl~~~r
entre s los elementos finitos de un continuo obtenidos por Simple part~clon
(por ejemplo los segmentos de una recta), y constituir pares contiguos
que se encajan cualitativamente segn la misma estructura (A
A'
B;
B
B'
C, etc.). Ya sean encajes de clases elementales en clases de
+ =
+ =
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EL PENSAMIENTO MATEMTICO
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EL PENSAMIENTO
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mente sin objeto alguno, puesto que no existe c:uadrado nej5ativo, o pu~s~o
que ei nmero negativo no es un objeto excluido o sustrado del dominio
de experiencia considerada. La experiencia mental, a la que recurren los
empiristas como prueba de la sumisin del espritu a lo re~,l, es en ~fecto
aqu lo mismo que hemos visto en el caso de la construCC!D~,del, numero
entero: la reproduccin mental de una accin o una operacion, mdep~~diente de los caracteres del objeto al que se refiere, y no la reproduccin
de una realidad independiente del acto, puesto que precisamente el ~me:o
imaginario comenz slo por constituir el esquema de ~~a operacl~n sin
objeto. Por cierto, este esquema constituye la prol~ngaclOn,' e~ ,lo VIrtual,
de operaciones que en su origen son reales, pero como una accin, r~al en
su punto de partida, como lo es la. extr~ccin de ~a r~~z (caso pa~tlcular
de la divisin) puede prolongarse sin objeto de aplicacin alguno, SI desde
este mismo comienzo la operacin slo consiste en algo yuxtapuesto al
objeto v no extrado o abstrado de los objetos? y si entonces el esquema
op~rato~io fuera un esquema de asimilacin (siendo sta por definicin ,u_na
adjuncin al objeto) y no una simple acomodacin? Cuando la fisica
aplica a otra escala (mayor, o ms pequea), los conceptos resultantes de
una abstraccin de las cualidades observadas en nuestra escala, esta extrapolacin ilegtima conduce a toda clase de dificultades (tiempo absoluto
que puede aplicarse a grandes velocidades, concepto de .corpsculos permanentes no aplicable a la escala micro fsica, etc.): pre_Clsam~~tese trata
entonces de abstracciones a partir del objeto que no pueden utilizarse fuera
de su contexto de observacin. Si la extraccin de la raz cuadrada es la
resultante de una abstraccin del mismo tipo que la de una cualidad fsica
extrada de la experiencia, su empleo se convierte simplemente en un
absurdo cuando se va ms all de los limites de lo real. Como generalizacin de una accin que aade sus efectos al objeto y que, en consecuencia puede dejarlo "de lado, el smbolo \/-: es, en cambio, totalmente
inteligible, as como lo es el smbolo -1- 1. Por ms "imaginario" que sea
el nmero = V:r, que efectivamente no proporciona soluc~n real "dguna
en tanto raz de una ecuacin, significa que '! = - 1. "Sin duda, no. ,es
contradictorio hacer que esta proposicin se apoye en una convencion
arbitraria. Sin embargo, quedara an por explicar, como seala profundamente L. Brunschvicg, cmo la cantidad - 1, resultant~ del producto
de los dos smbolos (i X ), pudo identifi.carse con la cantidad :-: 1 que,
para nosotros, es el resultado natural y verdadero d~ una oper~~JO~ como
1 - 2, sin que esta identificacin haya comprometido _el equilibrio ~ la
homogeneidad del sistema de la ciencia" (Et~pas, .pg. ::143). ,Ahora bien,
Weierstrass V Dedekind mostraron que la existencia de los numeros complejos es n~cesaria para que el lgebra alcance toda su exten~i<?n~ e~
cambio Gauss los introdujo en la teora de los nmeros. Se constituyo asi
un lg~bra de los nmeros complejos, de fo:rna (a
~) que co?ser:a
las leyes de conmutatividad y completa necesanamente al algebra ordinaria.
Sucede algo sorprendente: esta operacin sin objeto en su, punto de
partida, el nmero imaginario, no slo se incorpor de modo mas estrecho
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al sistema de las operaciones aritmticas y algebraicas referidas a los conjuntos de objetos, sino tambin adquiri una significacin geomtrica que
interviene en el interior de las operaciones que conforman al objeto mismo
puesto que la estructura del objeto es, en primer lugar, espacial. Ms
all de la geometra, intervino incluso, a travs del clculo de vectores y
cuaterniones en la construccin de los "operadores", cuyo empleo se
generaliz luego y se revel como fundamental para la fsica moderna.
Por lo tanto, puede decirse que lo "imaginario" se ha reunido con le real,
como si un sistema de operaciones realizadas sin objeto alguno hubiera
constituido un esquema operatorio susceptible de aplicarse ulteriormente
a las particularidades de los objetos ignoradas por las operaciones reales.
iniciales.
El principio de la geometra analtica consiste, todos lo hemos aprendido en la escuela, en expresar mediante nmeros positivos las distancias
trasladadas a lo largo de una recta fija en uno de los dos sentidos de
orientacin, y en expresar mediante nmeros negativos las distancias traeladadas en sentido contraro. Lo esencial de la representacin geomtrica
del carcter positivo o negativo de los nmeros consiste pues en que traduce
el nmero en forma de direcciones; y los nmeros, independientemente de
sus signos, representan longitudes. Ahora bien, a fines del siglo XVII Wallis
ya haba propuesto que se representasen las races imposibles o "fingidas"
--como se deca en aquel entonces-, de una ecuacin cuadrtica pasando
fuera de la recta sobre la que se hubieran trasladado los valores de estas
races si ellas hubieran sido reales. Resulta entonces que, para dos ejes
rectangulares, las cantidades se suceden durante una rotacin en el sentido
positivo (opuesto al de las agujas de un reloj) en la serie;
1;
- 1; - y-=T "En esta serie -dice P. G. Tait 41 (un alumno de
Hamilton) - cada uno de los trminos es deducido a partir del precedente
al multiplicar este ltimo por el factor y-=1. Tenemos as el derecho de
concluir que
es un operador, cuya aplicacin opera de manera anloga
a. la de una manivela que hara girar un ngulo de 90 grados en el sentido
positivo; todo segmento de recta pasa entonces por el origen y debe moverse
en el plano x y" (pg. 2). Se comprueba con sorpresa que la operacin
sin objeto, especfica del smbolo de las races imaginarias, una vez representada en trminos de cantidades situadas "fuera" de una recta darla..
se puede asimilar a la accin de una manivela que hara girar esta recta.
Desde el punto de vista gentico, la operacin inicial, vaca de todo contenido, casi podra compararse con esos esbozosembrionarios que culminan
antes de trmino en la formacin de un rgano, que slo entrar en funcionamiento mucho ms tarde, a lo largo de la vida de un ser organizado.
Hay algo ms. Despus de los trabajos de Moivre, Argand, 'Warren
y Servois, Hamilton consigui generalizar el uso geomtrico de la expre-
+ v-::T;
v1=1
41 .P. G. Tait: Trait lrnentait e des quaiertiions, Trad. Plarr. Pars, GauthierVillars, 1882.
sin> y'=1. Mientras sus predecesores eligen una direccin particular del
espacio para representar las cantidades reales y llaman imaginarias a las
direcciones orientadas fuera de la primera, Hamilton consigue tornar imaginarias "todas las direcciones sin excepcin alguna" (Tait, loe. cit., pg. 7),
lo cual equivale a volver geomtricamente homogneas estas direcciones y
permite constituir un mtodo de clculo independiente de los ejes de las
coordenadas. Se trata del clculo de los cuaterniones, que equivale a
multiplicar dos birradiales lo relaciones entre dos vectores que tienen un
origen comn), y que se aplica as sobre un conjunto de cuatro trminos,
uno real y tres imaginarios (Q
Qo
Ql i1
Q2 i2 Qa a). Un
vector es un smbolo que representa una recta de cierta longitud y cierta
direccin (lo cual implica entonces tres nmeros), uno de los dos vectores
paralelos puede considerarse como mltiplo del otro por un factor numrico
(la relacin entre sus longitudes con signo + - segn que tengan o no
el mismo sentido); si no son paralelos, el multiplicador necesario para
cperar el cambio de uno a otro depende entonces de cuatro nmeros. Este
clculo de los cuaterniones, seguido por el clculo de la extensin de
Grassmann, presenta, como este ltimo, el carcter sorprendente de liberarse
de la regla de conmutatividad propia de la multiplicacin ordinaria (puesto
que la adicin esfrica no es conmutativa, tampoco puede serlo la multiplicacin de los birradiales}. Constituyen as una nueva lgebra ms complicada que la de los nmeros complejos:
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+...
+...
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+..'.
+.
Este problema volvi a aparecer con el anlisis de las funciones indefinidamente crecientes, es decir, en el terreno de lo infinitamente grande.
En estas investigaciones acerca de la "teora general" de las funciones, que
se oponen a la reduccin del anlisis en el esquema del nmero entero,
Dubois-Reymond intent descubrir las condiciones comunes de convergencia
y divergencia de diversas operaciones infinitas. Al estudiar las diferentes
velocidades de crecimiento, termina en un "clculo infinitario" que define
series de tipos crecientes u rdenes progresivas de infinito. Sin embargo,
nuevamente aqu surge el problema operatorio: la escala de las funciones
alcanza uno o varios infinitos actuales, que trascenderan las operaciones
mismas que permiten alcanzarlas, o slo se aplica a las operaciones como
tales?
Precisamente, procediendo de la operacin a sus resultados, G. Cantor
fund un clculo de! "transfinito" sobre la consideracin de las relaciones
de correspondencia entre conjuntos. As, el conjunto de los nmeros enteros
corresponde de modo biunvoco al de sus cuadrados, o al conjunto de los
nmeros pares, etc. El conjunto de todos estos conjuntos ser pues la
clase de los conjuntos enumerables. Ahora bien, esta clase no corresponde
al conjunto de los nmeros reales (racionales e irracionales) que es pues
una potencia superior, o potencia de lo continuo. Admitido esto, la
sucesin de los nmeros enteros es infinita, es decir que es imposible
asignarle un fin, y absurdo buscar, en e! interior mismo de este conjunto,
un nmero infinito actual que constituira el ltimo de la serie. En
cambio, se puede asignar a esta sucesin un lmite que por definicin ser
exterior a la serie y a partir ele la cual comenzar una nueva sucesin:
este primer "ordinal infinito" l ser pues el primer nmero que seguir
a la serie de los nmeros enteros sin pertenecerle. Gracias a la repeticin
misma de este procedimiento, se obtendrn entonces los transfinitos l
1;
(U
(U
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surgida de una simple reunin lgica de las subclases que tienen la propiedad comn de ser numerables.
Por 10 tanto, no se trata de un nmero
engendrado por una ley de formacin anloga a la que permite constituir,
pOl ejemplo, la sucesion de los nmeros enteros. En efecto, la correspondencia biunvoca que relaciona cada elemento individual de las subclases
componentes con un elemento determinado
ele una de las otras subclases
(por ejemplo, cada entero a su cuadrado, etc.) es una correspondencia
"reflexiva". es decir que permite igualar el todo a la parte (por ejemplo,
el conjunto de los nmeros enteros al conjunto de sus cuadrados, los cuales
slo constituyen una parte del primer conjunto) ; ahora bien, esta correspondencia no culmina en una equivalencia aditiva entre el todo y la parte,
sine en una equivalencia
multiplicativa,
comparable
a la de las clases
multiplicadas entre s con el esquema lgico de un cuadro de doble entrada:
POi'
4
16
'1
36
49
8
64
9
81
10 ...
100...
127
de todas estas series, s decir, el carcter de la clase total ele todas estas
subclases. Tanto la equivalencia entre la parte y el todo como esa relacin
misma de parte y todo son pues de carcter multiplicativo (en el sentido
de la multiplicacin lgica) y, en consecuencia, son comparables a las
correspondencias y particiones que intervienen en el esquema multiplicativo
de los .cuadros lgicos de doble entrada (por ejemplo, las clases formadas
respectivamente por las piezas del esqueleto de los mamferos corresponden
trmino a trmino con las clases formadas respectivamente por las piezas
del esqueleto de los rumiantes, etc., siendo esta correspondencia lgica a
su vez "reflexiva" porque es multiplicativa) ..~ En cuanto a los ordinales
transfinitos, slo son "tipos de orden", es decir, sistemas multiplicativos de
relaciones asimtricas, as como los cardinales transfinitos son clases: de ah
que a un mismo cardinal transfinito corresponda una infinidad de ordinales,
ya que pueden ordenarse de infinitas maneras los elementos de una misma
clase infinita.
En resumen, los nmeros transfinitos de Cantor disocian entre s las
dos estruc~uras fundamentales de la clase lgica y la relacin asimtrica,
que se fusionan en un solo todo en la construccin de los nmeros enteros
finitos. Por ello, si la serie de los ordinales finitos corresponde biunvoca"
mente a la de los cardinales finitos, siendo todo nmero entero necesariamente cardinal y ordinal a la vez en el terreno de lo finito, esta correspondencia termina en el dominio de lo transfinito. Ahora bien, como esta
disociacin transfinita, entre los dos aspectos ordinal y cardinal del nmero
entero, culmina en un retorno a los esquemas operatorios separados de la
relacin asimtrica y la clase lgica, constituye la mejor confirmacin
de la interpretacin operatoria defendida en el punto 6 respecto de la
gnesis del nmero entero finito. En efecto, basta que se pase de la ley
de formacin de los nmeros finitos que constituye la serie ilimitada 1 " . n;
a la consideracin transfinita de su conjunto total, para que la clase asi
construida a travs de "todos" estos nmeros se disocie ipso Iacto de las
relaciones asimtricas que han servido a su construccin sucesiva: la
iteracin de la unidad
1 es pues, entonces, el producto combinado del
e.ncaje de las clases y la seriacin de las relaciones' asimtricas puesto que,
n se' separa uno de estos dos componentes de! otro, los cardinales ya no se
iteran ms y dejan de corresponder biunvocamente a los ordinales.
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los objetos: la relacin establecida entre los objetos' puede haber sido
agregada por la accin, aun cuando sta se inaugure con una etapa de
tanteo experimental. En otros trminos, un sujeto que acta de modo
emprico puede utilizar los objetos como simples soportes, u ocasiones,
para la accin, pero en realidad experimentar consigo mismo, es decir,
con la coordinacin de sus propias acciones ms que con los objetos sobre
los que ellas se apoyan.
Ahora bien, cul es el papel de los objetos A, B, c ... J, cuando el
sujeto, despus de haber enumerado A, B ... J = 10, descubre que en
otro orden, como J, 1, H, G ... A, la sucesin sigue siendo igual a lO?
En primer lugar, es evidente que este papel es muy diferente si se trata de
seriar diez colores o diez pesos, ya que, en este caso, las cualidades mismas
de los objetos son las que intervienen en la seriacin. En cambio, en la
simple enumeracin, el objeto es absolutamente cualquiera, porque sus
cualidades particulares no entran en juego ya que slo entra en cuestin
el orden mismo de la enumeracin. Es cierto que cuando se trata de
slidos discretos, la enumeracin resulta ms fcil, pero tambin pueden
concebirse diez elementos recurtados en un slido continuo, o incluso en
un lquido o un gas: en este caso la localizacin es ms difcil y la experiencia slo culminar mucho ms tardamente, pero la accin de enumerar
seguir siendo posible, al menos en el interior de algunos campos perceptuales momentneos. En resumen, en este tipo de experiencia, el objeto
slo desempea el papel de soporte de la accin. Propiamente hablando
slo es un indicador: podra realizarse la experiencia con nmeros, es decir,
con puros signos o smbolos de objetes; sin embargo se realiza con objetos
reales, pero que para el sujeto slo tienen el valor de ndices perceptuales
de sus propias acciones de contar y no son elementos del nmero.
Aunque experimental en su fuente intuitiva, el nmero se aade a
los objetos y en absoluto es extrado a partir de ellos. Se encuentra en su
totalidad en el esquema de asimilacin operatoria. No por ello deja
de ser menos real la acomodacin, pero no es especfica respecto de las
cualidades distintivas de los objetos considerados: equivale simplemente
-para toda coleccin de objetos discretos y objetos cualesquiera separados
artificialmente (en acto o en pensamiento) -- a que la accin emprica
y la operacin reversible desembocarn en combinaciones adecuadas a
los objetos. As, en el ejemplo analizado, diez objetos contados en cierto
orden seguirn siendo diez en un orden diferente, ya que los objetos en
tanto tales no' invalidan la coordinacin de las acciones. Por lo tanto,
hay equilibrio permanente entre la asimilacin de los objetos al esquema
operatorio y la acomodacin de este esquema a objetos cualesquiera, pero
no hay nada, en la estructura definitiva del esquema considerado, que
haya sido "abstrado" del objeto; en efecto, para poder abstraer el nmero
de las colecciones de objetos sera necesario poder clasificarlos y ordenarlos,
que son acciones del sujeto ejercidas sobre estas colecciones: ahora bien,
el esquema. del nmero se reduce precisamente a estas solas acciones de
clasificar y ordenar, simplemente agrupadas de manera diferente.
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.l.
.....
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actividad mental, se observa una especie de enumeracin intuitiva y perceptual que anuncia ya las coordinaciones ulteriores entre la clasificacin
y la seriacin y que ya es el resultado de coordinaciones elementales entre
simples esquemas clasificatorios y de ordenacin de carcter motor. As,
Otto Kohler pudo demostrar la discriminacin de conjuntos de 2 a 6
cbjetos en los pjaros y tambin pudo entrenar algunas gallinas para
que picotearan el segundo grano de una fila de diez elementos. Estos
nmeros intuitivos o figura les son los que estn presentes en el nio
pequeo anteriormente a la construccin de la sucesin operatoria de los
enteros. En consecuencia y nuevamente aqui, resulta fcil explicar el
pasaje de las coordinaciones elementales no racionales a las formas necesarias finales, por un proceso de progresivo equilibrio, que localiza la
necesidad al final del proceso sin que sea necesario recurrir a una preformacin estructural: la articulacin progresiva de las configuraciones activas
e intuitivas y la reversibilidad que de ella resulta son suficientes, al fin de
cuentas, para esta explicacin sin la intervencin de algn a priori.
En cuanto a la fecundidad creciente del concepto de nmero, comparado con la pobreza de sus fuentes, el carcter sorprendente de esta
evolucin radica en que, al proceder de las acciones de reunir y ordenar
simultneamente que el sujeto .ejerce directamente sobre los objetos, el
nmero se orienta a la vez en dos direcciones divergentes y complementarias:
por una parte, se aleja cada vez ms de la accin .experimental del sujeto
para comprometerse en composiciones operatorias sin relacin alguna con
esta accin inmediata (lo infinito, lo imaginario, etc.); pero, por otra
parte, slo se aleja de la apariencia emprica de los objetos para mejor
alcanzar, al fin de cuentas, el mecanismo de sus transformaciones ntimas
(por ejemplo, la aplicacin del infinito al clculo de las variaciones continuas
o del imaginario al clculo de los vectores) .
Ahora bien, esta doble evolucin, por una parte por interiorizacin
de las acciones del sujeto y por la otra por penetracin dentro de las
modificaciones posibles del objeto, no se produjo de modo regular, ni en
uno de estos dos aspectos ni en el otro. En lo que se refiere a la
interiorizacin de las operaciones, nicamente a travs de una deduccin
simple y rectilnea se realizaron los progresos en la construccin y la teora
de los nmeros: frecuentemente a travs de descubrimientos fortuitos y
oscilantes, como si hubiera un sistema de leyes objetivas que poco a poco
se impusiera al espritu, pero descubiertas desde adentro y no como realidades externas. Muchos misterios escapan an, por otra parte, a esta investigacin a la vez oscilante y constructiva, como por ejemplo la ley de
sucesin de los primeros nmeros. En cuanto a la adaptacin del nmero
al objeto, hemos visto hasta qu punto se asemeja poco a una sumisin
gradual del espritu a la experiencia fsica, sino que, por el contrario, se
trata constantemente del encuentro a posteriori entre esquemas preparados
previamente durante mucho tiempo y las situaciones que permiten su
imprevista utilizacin. Por lo tanto, si la construccin del nmero marca
una doble liberacin, respecto de la accin directa del sujeto y respecto
de las estructuras inmediatas de los objetos, y un doble desarrollo en la
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LA CONSTRUCCION OPERATORIA
DEL ESPACIO
Durante estos ltimos aos cuanto ms profundo fue el anlisis matemitico de las relaciones entre :1 nmero y el espacio, ms se hizo evidente
el paralelismo existente entre estas dos clases d~ realidades. Esta convergencia resulta tanto ms sorprendente en la medida en que duran~e mucho
tiempo estuvo de .modo considerar el nmero como representatI~o de la
matemtica pura, porque es exclusivamente intelectual, y el espacio como
el primer dominio correspondiente' a la matemtica aplicad~, porque es de
carcter sensible o perceptual. Esta oposicin ha desaparecido totalmente,
pero los motivos de su eliminacin son particularmente instructivos para la
epistemologa gentica.
Con los trabajos de Weierstrass, G. Cantor y Dedekind, ya se haba
puesto de manifiesto una posible traduccin entre el continuo geomtrico
y lo que se ha llamado el continuo analtico o conjunto de los nmeros
reales (racionales e irracionales). La "potencia del continuo" es, en el
lenguaje de la teora de los conjuntos, la caracterstica numrica equivalente a las propiedades del continuo espacial. Por ejemplo, Cantor determina por una misma construccin de series convergentes los puntos de
acumulacin que componen el continuo geomtrico (se concibe cada uno
de estos puntos como el lmite de una serie de intervalos encajados ~ y los
nmeros irracionales que llenan los blancos presentes entre los numeras
racionales.
Por otra parte, los progresos de la topologa se orientaron e~ muchos
puntos hacia el encuentro con el nmero. As, el estudio t~polgIco de. los
poliedros culmina en una topologa combinatoria y. algebraIca que cas~ ya
no difiere de un lgebra pura; algunos grupos discretos y conmut.atIvos
-desarrollados recientemente por Pontrjaginrealizan una sntesis tan
estrecha entre lo topolgico y lo algebraico que sus elementos pueden
analizarse como materia de clculo algebraico o como puntos vinculados
por un principio de vecindad. Por su parte, la teora de los espa~ios
abstractos permite hablar en lenguaje espacial de conjuntos cualesq~Iera
a condicin de determinar una ley de vecindad, pero ella puede alejarse
mucho de las concepciones ordinarias vinculadas con este vocablo: por
PENSAMIENTO
MATEMTICO
139
140
JEAN
EL
PIAGET
CLASIFICACIN
DE
LAS
INTERPRETACIONES
EPISTEMOLGICAS
DEL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
141
142
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JEAN PIAG'ET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
144
JEAN
EL
PIAGET
PENSAMIENTO
MATEMTICO
14.1
modo analtico (y sin construccin sinttica inherente al sujeto), la posibilidad de la experiencia y se hallan en una situacin comparable a la de los
conceptos lgicos en tanto conocimiento inmediato de los universales 3, etc.
Las concepciones caracterizadas por la primaca del sujeto consistirn, por el
contrario, en admitir una construccin axiomtica (por lo tanto, depurada
de toda intuicin) que se bastar a s misma y no corresponder a lo real
(intuitivo o experimental) salvo como marco necesario, comn al espritu
y a las cosas. As, D. Hilbert, en un interesante artculo acerca de las
relaciones entre la lgica y la realidad, considera que los axiomas de orden
y congruencia se aplican a lo real (por ejemplo, a las leyes de la herencia
o biologa), no porque se los extraiga de las cosas, sino porque provienen
de lo que l llama una especie de "armona preestablecida", es decir, una
p~eformacin sinttica a priori que condiciona a la vez al espritu que
piensa y a lo real pensado por l.4 Por ltimo, e! punto de vista de la
indisociacin entre el espritu y las cosas est representado por las interpretaciones fenomenolgicas que ven en la construccin geomtrica la expresin de intuiciones racionales de diversos rdenes, escalonadas entre la
intuicin vulgar y lo que M. Winther ha llamado tan acertadamente e!
conocimiento "transintuitivo".
En cuanto a las interpretaciones genticas, se encuentran tres posibilidades: la primaca del objeto, la primaca de! sujeto y la interaccin entre
ambos. El primero de estos tres puntos de vista est representado por
aquellos autores que explican }a construccin de las axiomticas por una
abst.racci.nprogresiva a partir'de los datos sensibles y la experiencia fsica.
Enriques ,maugur esta va en' el campo de la filosofa geomtrica y Gonseth
desarrollo una teora del esquematismo que examinaremos ms adelante
(en el punto 11); segn l, el "esquema" qUf~caracteriza e! armazn de las
axiomticas es simultneamente la expresin de las conductas de! sujeto
y la visin s~mplificada o "sumaria" de los caracteres del objeto, pero con
una tendencia a la 'acentuacin de este segundo aspecto. La primaca del
sujeto se afirma, por el contrario, en las teoras convencionalistas -la ms
decisiva es la de H. Poincar- y que vuelven a encontrarse en parte
en algunas de las concepciones de la epistemologa nominalista del crculo
de Viena, cuya concepcin de convencin adquiere entonces la forma del.
"lenguaje" lgico o "tautolgico". Por ltimo, la interaccin entre el sujeto
y el objeto c~nstituye la idea central '.de las interpretaciones operatorias
de la deduccin espacial o geomtrica, interpretaciones que vuelven a
encontrarse en parte en Enriques y, en particular, en Gonseth (a pesar
del acento que ambos ponen en el objeto ms que en la accin) y que
hemos de desarrollar en la segunda parte de este captulo.
Ahora; lo importante, ya que hemos clasificado estos diversos puntos
=:
3 B. ~ussell: An ~ssay,
foun~ations Di geometry, Cambridge, 1897, y
Sur le~ axromes de ~a geometne , Rev. Met. Mor., 1899, pg. 687: "Lo que puede
descubrirse por medio de una operacin debe existir' independientemente de esta
operacin: Amrica exista antes de Cristbal Coln"
,
4 D. Hilbert: "La connaissance de la nature et a
. Trad. M. Ml!er.
Enseignement math., t. xxx, pgs. 22-23, en particular,
27.30.
"
146
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
147
an en estadios sucesivos de desarrollo del mismo sujeto) reacciones perceptuales que ponen de manifiesto organizaciones espaciales muy diferentes,
el apriorismo saldra debilitado de esta prueba. E incluso si se formulara
entonces la hiptesis de una maduracin endgena de las estructuras
a priori, podra seguirse pensando en la disociacin de los factores internos
y externos, as como en la de la maduracin y la prctica, puesto que ella
corresponde a una de las tareas actuales de la psicologa gentica.
Por lo tanto y con todo derecho, Johannes Mller, Helmholtz, Hering,
Kundt, Panum, Wundt y muchos otros, llevaron la cuestin del empirismo
y el apriorismo al terreno de la psicofisiologa, y algunas variedades del
"innatismo" fueron consideradas como traducciones fisiolgicas o psicolgicas de la tesis kantiana que afirma la existencia de una "forma" de
sensibilidad trascendental. En efecto, Kant no ha negado nunca que el
espacio genere una toma de conciencia solamente cuando se produce
la experiencia: simplemente airm6 que esta experiencia no explica al
espacio, sino que provoca una actualizacin de formas virtuales anteriores
a ella (el razonamiento es susceptible de repetirse en el plano del sensorium
ancestral). Ciertos tipos de teora innatistas afirman lo mismo pero, como
hemos visto en el punto 1, no todas ellas son idnticas entre s desde este
punto de vista, puesto que atribuir a la retina -con Joh. Mller y
Hering- un poder innato para percibir las distancias y las dimensiones
puede ser tomado en un sentido kantiano o, por el contrario, puede remitirse
a la hiptesis de una facultad, hereditaria, que permite leer de modo
inmediato (sin prctica ni experiencia algunas) los datos del mundo fsico
exterior. El gran adversario de las teoras innatistas, Helmholtz, dice en
efecto "que ellas atribuyen la localizacin de las .impresiones en el campo
visual a una disposicin innata, ya sea porque el alma tiene un conocimiento directo de las dimensiones de la retina, o bien porque la excitacin
de fibras nerviosas determinadas da lugar a ciertas. representaciones de
espacio a travs de un mecanismo preestablecido'L'' Helmholtz considera
como "una extensin de la opinin de Kant" la teora de Joh. Mller,
de quien cita este sorprendente texto: "no puede existir sensacin alguna
fuera de la idea de espacio y tiempo. Pero en cuanto a aquello que llena
el espacio, slo nos sentirnos a nosotros mismos en el espacio, cuando
hablamos de sensacin o sentido; el juicio nos permite distinguir, en el
espacio objetivamente lleno, solamente las partes de nosotros mismos que
estn en estado de afeccin, sensacin acompaada de la conciencia de
causa externa de la excitacin. En cada campo visual, la retina ve su
propia extensin en el estado de afeccin", etc." Sin embargo, para 'otros
fisilogos -y, en 'particular, en Hering, cuando sustituye la tesis global
de su predecesor por un anlisis detailado de las regulaciones fisiolgicas
presentes en est?s mecanismos "innatos"la percepcin del espacio se
5 H. Helmholtz: Optique Physiologique. Trad. Javal y Klein, Pars, 'Masson,
1867, pg. 1010.
6 Trad. de J. Mller : Zur oergleichetideti Pliysiologie des Gesichtssinns, pg. 54.
148
JEAN
PIAGET
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
149
"sensacin". Estos dos problemas, por otra parte, son solidarios entre s.
Respecto del .primer punto, hay que distinguir adems dos cuestiones:
la de la gnesis biolgica de las formas hereditarias y la de las relaciones
entre las estructuras innatas eventuales y el conocimiento actual del sujeto
individual (conocimiento tal como se manifiesta en el transcurso de la
psicognesis) . La discusin de esta segunda cuestin nos conduce al
problema del papel epistemolgico de la sensacin.
Recurrir a la herencia presenta pues dos clases de cuestiones muy
diferentes. Ahora bien, desde el punto de vista epistemolgico y en cuanto
a la formacin de las estructuras hereditarias atribuir a ciertas estructuras
la cualidad de transmitirse hereditariamente no significa prcticamente
nada: simplemente se desplaza el problema y todos los problemas vuelven
a encontrarse entonces en el terreno de lo biolgico. Si la retina tiene el
poder innato --como quera Joh. MIler- de percibir las distancias por
una esp.ecied: toma de conciencia directa de las imgenes que se imprimen
en ellas.!" y SI toda impresin retiniana implica -como agregaba Heringuna sensacin de altura, anchura e incluso profundidad (por una combi- .
nacin de puntos correspondientes de una retina a otra, que proporcionan
de a dos la misma localizacin y son llamados "idnticos"), para decidir la
significacin epistemolgica de estas facultades innatas, se trata entonces
de averiguar cmo se ha formado la retina en el transcurso de la serie
animal que culmina en el hombre. Si por azar la solucin lamarckiana que
pro~one una lenta. adquisicin de los rganos en funcin del hbito y las
presiones del medio fuera verdadera, la conjuncin de la hiptesis de la
herencia de lo adquirido con el innatismo espacial desembocara en definitiva en una justificacin del empirismo epistemolgico, aun cuando el
espacio; innato en el hombre, se impusiera a priori. en el sujeto. Pero
cuando el innatismo se apoya en una preformacin biolgica o en una
mutacin, sustentada. en explicaciones puramente endgenas, de las variaciones hereditarias, el recurso al innatismo implica la negacin de las
interpretaciones empiristas en el sentido epistemolgico. Lo que acabamos
de afirmar
para la retina se aplica naturalmente a cualquier otro rzano
b
que mtervenga en la construccin del espacio,. por ejemplo, los msculos
del ojo -cuyos movimientos intervienen, segn Lotze, Helmholtz y \Vundt,
en la estimacin de las distancias (y que, segn Lotze, estn controlados
por reflejos que' se relacionan hereditariamente con los signos locales)
o los rganos de equilibrio mencionados luego por Cyon, etc.
En resumen, si se vincula la .gnesis del espacio con la estructura
innata de un rgano, sea cual fuere, o del organismo en su totalidad, el
problema epistemolgico, en vez de situarse en trminos de relaciones entre
la actividad del sujeto y los objetos dados en la experiencia, debe situarse
entonces en el terreno de las relaciones entre la actividad orgnica o morfogentica y el medio ambiente. Ahora bien, como veremos ms detallada10 "I. Hering y A. Kundt llegaron a admitir que el alma vea directamente
las distancias de dos puntos retinianos, no en funcin del arco retiniano, sino en
funcin de la cuerda." Helmholtz: loco cit., pg. 1011.
150
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
151
EL
152
JEAN
cap.
XIII.
PENSAMIENTO
MATEMTICO
153
PIAGET
La reprsent aon
de l'espace
chez
l'enfant,
Desembocamos as en el segundo gran problema epistemolgico planteado por el conflicto histrico entre el empirismo y el innatismo: el de
la significacin de la "sensacin". Cuando hoy vuelven a leerse los famosos
debates de Helmholtz, Hering, etc., no puede dejar de sorprender el pape!
que atribuyen a las sensaciones elementales, ya se trate de sensaciones
visuales consideradas como puramente retinianas, o de su combinacin con
sensaciones cinestsicas variadas. Si para los partidarios del innatismo, las
sensaciones que tienen una estructura hereditaria controlan toda la constitucin del espacio, para los "empiristas", el espacio sensoriomotor parece
contener -l tambin- en su interior (una vez construido con ayuda
de la experiencia) todo el espacio conceptual ulterior, considerado como
una simple "abstraccin" a partir del espacio sensible. En otros trminos,
incluso aquellos autores que, como Lotze, Helmholtz y Wundt, reaccionan
contra la primaca atribuida de modo ilegtimo a la sensacin visual y
conceden un lugar a la actividad en la construccin de! espacio, limitan
esta actividad a un dominio an extremadamente restringido (e! de los
movimientos oculares para e! espacio visual, etc.), como si las acciones y
los desplazamientos del cuerpo en su totalidad no debieran considerarse en
su totalidad, segn ms adelante sostendr H. Poincar.
El innatismo puro tiene que ver, en Hering, con lo que podra.llamarse
una teora de la sensacin-copia; las sensaciones que afectan a la retina
tendran el poder, por su organizacin innata, de traducir directamente las
diversas clases de extensiones externas (las sensaciones correspondientes a
las dos retinas se confundiran entonces en una sola). La retina poseera
una facultad que innatamente dara lugar a una toma de conciencia
directa de su propia extensin; este innatismo se duplica as en una
especie de realismo de la sensacin, que no se distingue elelrealismo caracterstico de! sensualismo sino pOl:eJ agregado de una concepcin de armona
preestablecida entre la facultad hereditaria de perc.ibir el espacio y la
realidad percibida.
He!mholtz tuvo e! mrito de oponer a este realismo de la sensacincOJlia,una concepcin de las sensaciones-signos ("signos cuya interpretacin
corresponde a nuestra inteligencia"). S, pero signos de qu y signos
utilizados para qu? Quien dice signo, dice que se asimila la cosa significada a un esquema de accin cualquiera: de 'qu actividad se trata
entonces en el caso de los "signos locales" o, de modo general, de las
sensaciones espaciales consideradas como signos?
En un texto extremadamente sugerente, J. J. Ampre otorga a su
padre, el gran fsico A. M. Ampre, la siguiente opinin:
"Por parte representativa de URa sensacin (opuesta a Ia parte afee,
tiva ), no hay que comprender la representacin de un objeto externo, ni
siquiera la de sus cualidades; ya que la sensacin, hablando estrictamente,
no representa nada; nace en nosotros en ocasin de una causa que nos
es externa; pero esta causa -que es cierta disposicin de las molculas
materiales- no puede asemejarse a una impresin recibida por nuestra
alma, as como tampoco una campana se asemeja a un sonido. La filosofa
15.1
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
moderna rechaz con razn estas pretendidas imgenes de las cosas que
se desprenderan de ellas para impresionar nuestros sentidos y aportar a
nuestra alma esas semejanzas con los objetos que Lucrecio llamaba simulacres o membranas. Nuestras sensaciones no representan pues las
causas de nuestras sensaciones como imgenes de estas causas; las representan como signos de su accin".
"Confundir e! signo y la cosa significada es uno de los errores ms
frecuentes del hombre que no reflexiona. Como deca mi padre: El campesino no puede concebir que el nombre, que es un .signo, no sea inherente
a la cosa significada, y que el hierro no se llame necesariamente -hierro.
AS, transformamos nuestras sensaciones en signos de la presencia de los
seres que las producen, y 'a menudo no las distinguimos de estos seres." 12
esta sntesis constituiran los "signos locales complejos" en los que cree este
autor. Ebbinghaus, innatista en cuanto a las dimensiones de la altura y
el ancho, recurre a construcciones anlogas para la profundidad, etctera.
Sin embargo, por ms exacta que sea la idea de una conexin necesaria
entre los datos retinianos y los movimientos del ojo, deben sealarse dos
reservas fundamentales ante una explicacin de la gnesis del espacio que
se apoye esencialmente en estos mecanismos parciales, y estas reservas son
las que conducen a una mayor precisin del problema epistemolgico que
esta gnesis plantea.
154
Sin embargo, para Ampre como para Maine de Biran, toda actividad
susceptible de utilizar estos signos se reduce a un esfuerzo voluntario del
"yo", con -el doble realismo del sujeto sentido como causa inmediata y
de! objeto como resistente. De donde surgen los conceptos de una "transferencia" de la "causalidad interior" sobre las cosas y una. "transferencia
anloga" de la "yuxtaposicin continua" de nuestras sensaciones visuales o
tctiles sobre los cuerpos, que generan as el "espacio 'real" en analoga con
la "extensin fenomnica't.P Pensamos que la actividad que se encuentra
en la fuente de la construccin del espacio es mucho ms profunda:
consiste en movimientos cuyas coordinaciones, inconscientes y automticas,
en primer lugar y luego intencionales, se apoyan seguramente en los "signos"
constituidos por los datos sensibles, pero de modo tal que incorpore los
objetos significados en una red siempre ms compleja que permite seguirlos
y volver a encontrarlos.
Ahora bien, en este punto se pone de manifiesto la insuficiencia de
las primeras teoras "empiristas" --por ms exactos' que sean los hechos
en los cuales se fundabanen el dominio demasiado restringido de la
motricidad que ellas han abordado. Segn Lotze, la impresin sobre un
punto dado de la retina provoca un movimiento reflejo de direccin determinada, destinado a centrar la imagen en 'la zona central de visin clara:
estos movimientos elementales, asociados a los diversos puntos de la retina,
conduciran a que se les atribuyera una funcin de "signo local", de donde
la construccin de una intuicin general del espacio. Asimismo -segn
Helmholtz-, los "sentimientos de inervacin" vinculados con el funcionamiento de los nervios oculares permitiran establecer las posiciones de los
objetos respecto del cuerpo, por los desplazamientos que estas inervaciones
imprimen a las imgenes.t+ Segn Wundt, lo hemos visto, habra' "fusin"
-anterior a la conciencia- entre las sensaciones retinianas y las vinculadas
con la rotacin del ojo, y las percepciones elementales provenientes de
12. Philosophie des deux Ampre
publicado por ]. Barthlerny Saint-Hilare,
Pars, Didier, 1866, 2 ed., pg. 34.
'
!3
pg. 82.
14 Optique Physiol.. pg. 1005.
iu,
:1 .
156
JEA l'
1'lAGET
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
1.'i7
158
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
JEAN PIAGET
159
Arch. de Psychol.,
160
JEAN
PIAGET
objeto, lo cual muestra suficientemente el papel de la accin en estas construcciones.'? En cuanto a la organizacin general del campo perceptual,
existe una gran diferencia entre el nio y el adulto respecto del sistema
de las coordenadas: es sin duda exacto que toda percepcin supone
elementos de referencia, pero estos elementos no estn organizados en
nbsoluto de entrada segn los ejes generales, y se asiste a una generalizacin
gradual -hasta alrededor de los 9-10 aos-e- en este dominio como en otros
sectores de la actividad perceptual.!" En cuanto a las "buenas formas",
el carcter progresivo de su "abstraccin" -en e! animal y en e! beb-,
as como la muy lenta evolucin de su reconocimiento en el interior de
figuras entremezcladas o incompletas.l" muestra claramente que tambin
en este caso se est ante un desarrollo.
Si pasamos ahora de la descripcin de los hechos, as rectificada, a
su interpretacin, I'J0s-encontramos eh presencia. de un problema que va
mucho ms all de las cuestiones precedentes y que se rene, pero sin
abandonar el terreno preciso de la percepcin espacial, con el de la epistemologa de la percepcin en general.
Para la teora de la forma, cuyos anlisis propiamente psicolgicos se
han prolongado muy rpidamente en una concepcin epistemolgica de
conjunto, las leyesde organizacin de la percepcin traducen una geometra
que' es simultneamente la del mundo fsico, al menos en algunos de sus
aspectos, y la del organismo mismo: las "gestalten" expresaran, en efecto,
las leyes de equilibrio que rigen tanto para todos los sistemas de composicin no aditiva (es decir, tales que las partes dependen de la estructura
del todo), come para los campos elctromagnticos, o los "campos" de corrientes nerviosas/o etc. Existiran "formas fsicas" ~l tanto como "formas"
fisiolgicas y psicolgicas,y el secreto de la objetividad de nuestra geometra
perceptual se encontrar en la conformidad general de estas "formas"; sus
deformaciones traduciran entonces los caracteres efectivos del espacio real,
en aquellos dominios donde la naturaleza de los campos de fuerza produce
la existencia de composiciones no aditivas, en oposicin a las relaciones
simples dadas entre objetos yuxtapuestos.
Esta solucin tendra pues un carcter esencialmente fenomenolgico,
y se supone que las formas de equilibrio en juego son independientes de
toda ccnstruccin y rigen a la vez a los objetos y al sujeto, sea cual fuere
su nivel de evolucin. Sin embargo, esta interpretacin presenta dos clases
de objeciones, unas desde el punto de vista que llamamos (vol. 1, lntrod.
17 Piaget: La psyehologie de l'intelligenee. Coll. A. Colin, pgs. 130-140.
Vase nota 44 del cap. 1.
lH H. Wursten: "L'volution des comparaisons de longueurs de l'enfant a
l'adulte", Arch, Psyehol., XXXII. 1947, pgs. 1-144.
lf. P. A. Osterrieth: "Le test de copie d'une figure complexe". Areh. Psychol.,
xxx. 194.5,pgs. 205-353.
20 Por ejemplo, los campos polisinpticos, vase Segal: Journ. de Psych .,
t. XXXVI, 1939. pgs. 21-35.
at W. Koehler : Die physisehen Gestalten. Erlangen, 1920.
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
161
162
.lEANPTAGET
Entonces, la realidad propia del todo se relaciona con un sistema d.e compensaciones probables, taies que ninguno de los compon_entes parciales se
presentara del mismo modo independiente~~~:1te d~l. sistema total. Por
el contrario en una totalidad por composicion aditiva, como el grupo
geomtrico, 'los elementos son igualmente solidarios del todo, pero ya no
estn deformados por l como lo estn en el caso de la mezcla.' ,
La confusin entre las dos clases de criterios permite a la teora de la
Forma explicar simultneamente, y en nombre de los mismos rrincipios,
las "buenas formas" de la geometra -que son de hecho productos de la
composicin aditivay las deformaciones de las ilusiones perceptuales
-que son las resultantes, como las "formas fsicas" con las cuales se las
compara, de composiciones no aditivas-, pero (como hemos de ver en el
punto 4) por la intervencin del azar. Por el hecho de que ~n t?dos
los casos (es decir sea la composicin aditiva o no) hay solidaridad
entre las partes y el todo, la teora de la Forma ~onclu;yequ~ esta s?~ida.
ridad implica ipso facto la posibilidad de def?rmaClO~es.:de ah su f~Clhda,d
para pasar del espacio perceptual al espacio geometnco, o a la mv~rsa.
En realidad, el problema subsiste en su totalidad y lo volveremos a exammar
en el punto 4.
,
En cuanto a las estructuras fsicas tal como se las conoce actualmente,
el hech~ g~neral' es ,la soli~aridad de '~~sele~ento.s y la~ totalidade~,.:pe~?
esta solidaridad no determina de por SI la existencia de Gestalten Iisicas "
puesto que se aplica tanto a las composiciones aditivas como, a . las no
aditivas. Los sistemas aditivos estn representados por la mecamca; ~n
cambio los sistemas n aditivos implican un factor de mezcla, por lo
tanto de irreversibilidad y deformacin, manifestado por "tran~fo,rm,aciones
no compensadas", como se dice en el lenguaje de la t~~modlllamlca. El
"gran corte que debe introducirse en el 'seno del mundo fISICOd~be buscarse
tambin entre los fenmenos reversibles y los procesos irreversibles, y estos
ltimos -que corresponden a las "Gestalten fsic~~"de Kohl;r- no necesariamente constituyen un hecho primero como qUlSlerala teoria de la Fo:ma,
sino que plantean el problema de las relaciones e~:re el azar y ~~causalidad
mecnica.P Ahora bien, sea cual fuere la solucin que se elija para este
ltimo problema, no se ve de qu modo las composiciones ~o aditivas
podran explicar la gnesis de las "buenas formas" de la g~ometna: cuando
una forma simple y regular termina por resultar de un Juego de mezclas
fortuitas es en virtud de U.1 juego de compensaciones entre las deformaciones q~e imita, pero no engendra el orden geomtrico.
Sin embargo, suceda lo que suceda con esta discusin (que volveremos
a encontrar en el punto 4 a propsito de la percepcin en general), el
gran problema epistemolgico que plantea la interpre~acin propia ~e la
teora de la Forma es saber si las "formas fsicas" existen en la realidad
objetiva independientemente del pensamiento del fsico. En este sentido,
es necesario distinguir dos cuestiones que nuevamente corresponden a las
23 Dedicaremos un captulo especial a este problema, a propsito de la epistemologa fsica (vase vol. n, cap. m).
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
163
compOSICIonesaditivas y no aditivas. En el caso de las totalidades. ~esultan tes de una mezcla, por qu no puede calcularse el todo por adiciones
de las partes?: porque el azar existe objetivamente o bien porque se trata de
una ignorancia de parte nuestra en .cuant? a los detalles de las causa~: Pero,
en uno y otro caso, slo se concibe, sin duda alguna, en relaclOn. ~o~
nuestras operaciones de composicin combinatoria. Por lo tanto, es dificil
admitir que en primer lugar hay que rectificar las estructuras fsi~as no
aditivas para extraer luego de ellas la explicacin de nuestro espn tu, en
vez de explicar simultneamente estas formas fsicas y las de nuestra
estructura mental. Por el momento nos interesa saber si es legtimo
rectificar las formas geomtricas como formas generales de equilibrio, de
las cosas para extraer de ellas la explicacin de las "Gestalten" cor~espondientes a nuestras percepciones. Ahora bien, aqu el crculo es eVId~nt~mente un crculo vicioso. En efecto, qu queremos decir cuando atn~Ulmos a la naturaleza la posesin de rectas, crculos y otra~ formas georn_tn~~s
particulares? Con toda seguridad ellas no existen en el estado de realizacin
completa, puesto que tanto las emisiones de energas como. las estr~cturas
de la materia son discontinuas: la horizontal que caracteriza el mvel del
agua tranquila no se asemeja para nada a una recta cuando se la examina
con el microscopio, etc. Las rectas o las elipses, etc., estarn entonces
constituidas por lneas de fuerzas o bien por las trayectorias de los corpsculos desprovistos de estructura geomtrica simple? Pero preCiSaI?ente,
cuanto ms avanza el anlisis microfsico del espacio ms se comphca la
geometra de los elementos de la realidad: esta geometra no es po: ejemplo
arquimedea, es decir que las formas mtricas elementales no estan representadas en ella. En resumen, las formas geomtricas "simples" que descubrimos en la naturaleza; como el plano, o la esfera producida por una
burbuja de jabn, los diversos poliedros constituidos por los cristales, etc.,
siempre son relativas a cierta escala de observacin y traducen la geome~ra
del observador as como las propiedades de la materia observada. SI la
explicacin de las formas perceptuales por la hiptesis de las "formas fsicas"
plantea ya dificultades considerables desde el punto de vista de una episte'mologa gentica "restringida", desde el punto de vista de la epistemologa
gentica "generalizada" se encierra en un verdadero crculo vicioso.
4. EL ESPACIOPERCEPTUAL.C. LA "ACTIVIDAD
PERCEPTUAL"y 'LA
EPISTEMOLOGA
GENTICA
DELAPERCEPCIN.
Las investigaciones que hemos
podido realizar acerca del desarrollo de las percepciones en el nio nos han
conducido a oponer a la interpretacin "guestaltista" otro sistema de
conceptos explicativos, cuya significacin epistemolgica queremos aclarar
ahora en lo referente, por una parte, .al espacio perceptual y, por la otra,
al valor de conocimiento de la percepcin en general.
Toda percepcin es un sistema de relaciones, y no 'hay elemento que
se perciba en estado aislado: ste es el hecho fundamental sobre el que
insisti la teora de la Forma y que podemos retener como punto de partida
de lo que sigue, independientemente de las interpretaciones rechazadas en
el punto precedente.
164
JEAN
PIAGET
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
165
los puntos fijados en cada una de las dos lneas se encuentran en posiciones
relativas equivalentes: medio, etctera).
Este sorteo al azar obedece entonces a las leyes de la probabilidad
cuyos principios son, a grandes rasgos, los siguientes. Por una parte, toda
fijacin 25 implica la sobreestimacin de la zona fijada y la depreciacin
de los elementos perifricos: as cuando se compara un patrn fijo con
magnitudes variables, basta que se mire mas o mejor el patrn para que
se lo sobreestime.v" Por otra parte, resulta claro que estas dilataciones y
contracciones respectivas de las zonas centrales y perifricas alternan sin
cesar entre s, puesto que lo que es central puede hacerse perifrico y
recprocamente a medida que se realizan los desplazamientos de la mirada:
la descentracin, es decir, el establecimiento de -relaciones entre las centraciones diferentes y sucesivas es pues un factor de correccin y regulacin,
segn una ley general que volveremcs .a encontrar en otras formas y en
much_osotros dominios diferentes del 'de la percepcin. Se sigue entonces
que SI las lneas comparadas A y B son iguales, la centracin sobreestima
alternativamente una y luego otra, y si no hay causa alguna que determine
una mirada preferencial sobre una de las dos lneas (por ejemplo, una
elegida como patrn), las deformaciones alternativas se compensarn por
descentracin. Si, por el contrario, las lneas son desiguales, A < B, y
bastante diferentes entre si, los puntos fijados con mayor probabilidad sern
los correspondientes a la parte de B que superen a A, y entonces se producir un refuerzo de la diferencia A < B.27 Si, por el contrario, la
diferencia entre A y B es mnima, entonces en la relacin objetiva A < B
(que es inferior al coeficiente de dilatacin de la lnea A cuando la mirada
se concentra, de donde las visiones sucesivas contradictorias A > B y
A < B), los puntos diferenciales se fijan con tanto menos probabilidad
cuanto menor es esta diferencia, de donde la igualdad ilusoria (A = B,
-resultante del equilibrio entre las sucesivas visiones A > B y A < B) que
caracteriza lo que se ha llamado el umbral diferencial. Ahora bien, como
estas probabilidades son funcin de la relacin entre las magnitudes consideradas, el umbral diferencial presenta una extensin que es proporcional
a estas magnitudes: esta proporcionalidad constante se expresa por la
llamada ley de Weber-Fechner, que constituye entonces un caso particular
de la ley de las centraciones relativas e implica, como esta ltima, una
explicacin probabilstica basada en el clculo de las combinaciones entre
los posibles puntos (o los segmentos) de centraciones.s''
Aclarado este punto, es claro que si, por principio, las relaciones perc:ptuales se deforman en virtud de su propiedad estadstica, y no se adecuan
rigurosamente con los datos objetivos que traducen, no podran componerse
25
26
27
cienes relativas".
28 Vase J. Piaget: "Essai d'interprtation probabiliste de la loi de Weber et
de celle des centrations relatives", Arch, de Psychol., xxx, 1944, pgs. 95-138.
EL
166
PENSAMIENTO
MATEMTICO
167
. JEAN PIAGET
entre s en funcin de leyes lgicas: su composicin resultar de combinacienes probables yno operatorias. Examinemos, en primer lugar, en qu
ccnsiste esta composicin y luego intentaremos despejar la propiedad de la
actividad combinatoria de orden perceptual que asegure su realizacin.
Si para caracterizar la estructura de las operaciones de la lgica
cualitativa nos referimos a los "agrupamientos" descriptos en el punto 3 del
captulo 1, comprobamos, en efecto, que ninguno de los criterios de!
agrupamiento se aplica a las composiciones de las relaciones perceptuales,
lo cual equivale precisamente a afirmar lo que siempre ha sostenido la
teora de la. Forma: que las composiciones perceptuales no son transitivas,
es decir que la composicin de dos de ellas no determina unvocamente
una tercera: si por ejemplo A y B y luego B y C se confunden en virtud
de la ley de Weber, puede tenerse la sucesin A
B; B = C y A < C.
" L~_E~litc:i<?Ilt:~_p~~c~p_~1~,~1~~I19_S.ll
r~y~r~il~s,puesto que sus mismas deformaciones implican constantemente "transformaciones no compensadas" 20:
as una sucesin de elementos graduados no produce las mismas estimaciones perceptuales si se los compara en orden ascendente o descendente.
\ !:a_~_
relaciones perceptuales tampoco son asociatiy~~ puesto que la perccp_cin final de una sucesin de percepciones_sucesivas depende del camino
recorrido. IgIl9ra,n toda identidad general puesto que no puede volver a
encontrarse del mismo modo una percepcin inicial: por ejemplo, la
temperatura de una pieza parece ms elevada, o menos elevada, si se
entra en ella despus de haber salido un instante al fro, etc. Por ltimo,
la percepcin ignora toda distincin clara entre !ll:.taut9loga,rJll reiteracin, puesto que la repeticin de una misma percepcin la deforma, pero
no con relaciones numricas simples.
De modo general, se ve as que el conocimiento perceptual, incluso
limitado a su dominio especfico -el del contacto directo con el ohjetoes no slo deforman te, sino adems fundamentalmente irracional en sus
composiciones ms elementales. En estas condiciones resulta claro que la
percepcin de las "buenas formas" geomtricas -m crculo, un cuadrado, etc.- no constituye un hecho primero, sino un caso particular en
e! cual los mecanismos perceptuales culminan en relaciones adecuadas al
objeto por las relaciones objetivas privilegiadas que se encuentran en juego
en estas figuras: la igualdad de los rayos del crculo, la de los lados del
cuadrado o la de los ngulos rectos, etc., presentan una ocasin para la
aparicin de descentraciones o compensaciones completas ; en cambio en
la percepcin de un rectngulo o una elipse, se puede subestimar el ancho
respecto del largo, etctera.
Sin embargo, queda an el problema de comprender cmo a pesar de
sus deformaciones y del ilogicismo de sus composiciones la percepcin
consigue aprehender formas bien estructuradas. Ahora bien, en lo que
concierne a este punto, e! anlisis gentico pone de manifiesto una clara
dualidad que escapa a la observacin cuando slo se experimenta con
adultos. Cuando se comparan las percepciones especficas con las diferentes
29
168
JEAN
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EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
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EL
ESPACIO
ACERCA
PROPIEDAD
SENSORIOMOTOR.
DEL" CARCTER
CONVENCIONAL
"A
LAS
PRIORI"
DEL ESPACIO
INTERPRETACIONES
DEL
CONCEPTO
EUCLIDIANO
DE
DE
H.
GRUPO
POINY LA
DE TRES DIMENSIONES.
PENSAMIENTO
M'ATEMTICO
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MATEMTICO
179
JEAN PIAGET
puedan traducirse unos en otros puesto que las relaciones no euclidianas pueden expresarse mediante figuras euclidianas y recprocamente. Sin
embargo, nuevamente aqu, la experiencia, por una parte, y nuestros
rganos, por la otra, tienen sus sugerencias que hacer: los desplazamientos
de los slidos naturales se componen del mismo modo que las sustituciones
del grupo euclidiano y nuestras acciones ms simples presentan la misma
estructura. Elegimos entonces el modelo ms cmodo y aplicamos a lo
. real e! esquema euclidiano, pero nada nos impedira emplear otro lenguaje.
Vemos pues cmo desde la elaboracin del espacio sensoriomotor interviene -segn Poincar- la serie de las elecciones y las situaciones favorables que luego invoca como necesarios para justificar su convencionalismo, cuando, en otra parte, la organizacin sensoriomotriz de! grupo. de
los desplazamientos testimonia la intervencin, ya a partir de este nivel
elemental, de las ideas preformadas "preexistentes" a la vez en' nuestros
rganos y nuestro espritu. La epistemologa geomtrica de Poincar plantea
tres problemas: el innatismo de la idea de grupo, la naturaleza de las
convenciones prcticas, y las relaciones entre la actividad, -hereditaria o
individual- del sujeto y la experiencia fsica.
Respecto del primer punto, los resultados del anlisis psicogentico
proporcionan una respuesta detallada. Al estudiar el espacio sensoriomotor
durante todo e! perodo que se extiende desde el nacimiento hasta la
aparicin de la representacin (lenguaje e intuicin imaginada), hemos
podido confirmar el papel esencial que Poincar atribuye a la estructura
de grupo 34: es perfectamente exacto. que los desplazamientos del sujeto
(no solamente los "desplazamientos del cuerpo en bloque" sino tambin
los movimientos de manipulacin, como las rotaciones o las sucesivas traslaciones imprimidas al objeto, etc.) terminan por adquirir una estructura
de grupo. Por ejemplo, se puede observar que cerca de la mitad del
segundo ao de vida, el nio se desplazar de una pieza a otra de su
departamento y de un punto al otro de su jardn coordinando sus sucesivos
movimientos a travs de un sistema de composiciones reversibles, o volver
a encontrar un objeto oculto componiendo, con la misma estructura, los
desplazamientos anteriores de este objeto. Se percibe entonces que la
nocin de "grupo" no es en absoluto un modo de descripcin artificial
que el matemtico emplear para analizar desde afuera la conducta del
sujeto, sino que expresa realmente la forma de equilibrio alcanzada por sus'
desplazamientos, o por sus acciones sobre el objeto, una vez culminadas
las coordinaciones sensoriomotrices. As, la composicin de dos desplazamientos en uno solo expresa la capacidad misma de la coordinacin, la
operacin inversa expresa la conducta fundamental de la posibilidad del
retorno, la asociatividad traduce esa otra conducta esencial que es la capa34 Vase La construction du rel chez l'eniant, Delachaux et Niestl, cap. rr,
[Hay versin castellana: La construccin de lo real en el nio. Buenos Aires, Proteo,
1966.]
cidad de recorrido (dtour L y la operacin idntica traduce la. ~(~nSeTvacin desde el punto de partida en el transcurso de la composlcl<?nde
ida y vuelta. En resumen, el grupo expresa la pr?pie.~ad misma de l~s
composiciones reversibles y asociativas que alcanza el sujeto una vez terrmnada la coordinacin de sus desplazamientos.
Pero si bien Poincar consigui despejar muy profu~da~ente la estr~ctura ms importante que se halla en la base de la constitucin del espa~lO,
tanto desde el punto de vista gentico real corno desde el punto ?e, vista
matemtico abstracto, nos parece que se equivoc cuando localiz e~ta
estructura de grupo en el punto de partida de las conductas sensoriomotrices; en realidad, slo constituye su punto de llegada y I~ .forma ?e
equilibrio final. Por supuesto no se puede exigir a un. ~ate_matl~o ~e~IaI
que encuentre el tiempo necesario ,para somete~ s~s,hiptesis ?sl:ol~g!cas
al control experimental.; es as que Poincar se limit a reco.nst1t~nrlgicamente si as puede decirse (o introspectvamente, lo cual equivale a lo
1, en vez v..e
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I
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mismo) ,
nn desarro 11'
....
o conjetura ...
... Ir ~.............
u
~~n~o,supuso la evidencia de la existc:ncia de una distincin elementa!
entre los cambios de posicin y los cambios de estado y luego c:mstr~ro
su teora a partir de este dato hipottico. Ahora bien, las acciones .del nmo
(y, en particular, del beb) son siempre ms ricas .y ms impreVIstas ~~e
las reconstituciones genticas abstractas. Por lo tanto suc~de que el m~o
no distingue de entrada los cambios de posicin y est~do,. Sl~?que ne~eslta
unos cuantos meses, y casi un ao, para lograr esta dISOCIaClOn.Es aSI por
una razn fundamental desde el punto de vista geomtrico y desde el punto
de vista fsico: su universo inicial no est formado por objetos perman.entes
y todo desplazamiento se le presenta en primer lugar com~ un cambio de
estado. En efecto es claro que el grupo de los desplazamientos es correlativo a la idea d~ objeto: no slo porque el grupo euclidi~no se traduce
fsicamente en el movimiento de los slidos invariables, SIllO porque el
objeto permanente --':'es decir, susceptible de volver a encont~a~s.e- es 10
nico que puede garantizar el buen fundamento de la re~ersl~ll1idad. La
construccin del grupo de los desplazamientos es limes,solidaria ?e l.a del
objeto mismo, y sin objetos slo pue~e ha~er coo~dlllaclOnesegocentncas y
deforman tes, es decir, sistemas de acciones irreversibles.
p~;-i-;;
180
JEAN
PIAGET
tesis acerca de una "intuicin del nmero puro", porque los datos genticos
nos muestran la existencia de una construccin activa de las -clases las
relacio_nesy los nmeros, tambin nos resulta difcil admitir la preform~cin
de la Idea de grupo. "Esta idea preexiste, o ms bien lo que preexiste en
el espritu, es la potencia de formar esta idea. La experiencia slo constituye
para nosotros una ocasin para ejercer esta potencia", afirma Poincar.i"
Si slo se trata de la potencia de formar la idea, calificarla de preexistente
es decir demasiado, ya que entonces slo podra corresponderle una necesidad. terminal y no inicial (as como hemos sealado ms atrs). Si en
cambio se trata de oponer "preexistente" a emprico o experimental, qu
entendemos con ello? O bien se considera que la idea de grupo es .a priori,
lo ?ua~ contradice el solo hecho de su desarrollo gentico, y este desarrollo
esta aun muy .l~jos de haber terminado alrededor de los 1-2 aos, ya que,
una vez adquiridas las composiciones reversibles en el plano de la accin
prctica, ser necesario reconstruirlas en el plano de las operaciones concretas (7-8 aos) y formales (11-12 aos); la reversibilidad es entonces el
producto de una lenta evolucin, de la cual slo constituye el equilibrio
final. O bien se entiende que la estructura de grupo no se obtiene a partir
de la experiencia por una simple abstraccin a partir del objeto, sino
que se la descubre en el transcurso de las experiencias, es decir de las
acciones ejercidas sobre el objeto, pero por abstraccin constructiva 'a partir
de las coordinaciones de la accin.
Ahora bien, el anlisis gentico nos parece sugerir en efecto esta ltima
solucin, en completo paralelismo con lo que hemos visto a propsito de
las clases, las relaciones y los nmeros. Es necesario comprender que en
el terreno de las conductas sensoriomotrices -y Poincar percibi con
mucha profundidad que implican una organizacin espacial que anunciaba,
~ travs del papel de los I?ovimientos, al espacio operatorio y propiamente
mtelectual-:-,. el esquematismo del grupo se presenta en forma an singula~ente limitada, y que no va ms all del nivel de lo. que son, en esta
rmsma etap~, los esque~as puramente prcticos que ocupan el lugar de las
clases, relaciones y cantidades numricas. Poincar percibe la cantidad e
incluso "el nmero." en "las series de sensaciones musculares" provenientes
de la repeticin de un movimiento, en otros trminos en la reiteracin de
las acciones. Desde el punto de vista psicolgico tiene razn, pero resulta
claro que esta cuantificacin motriz es del mismo orden que, por ejemplo, la c~nducta, ..que ya puede adquirir por entrenamiento una gallina y
q~e consiste .en picotear nicamente los granos pares, o impares, de una
hilera de vemte elementos separados entre s: el "nmero" se vincula
entonces con cierto. ritmo motor, Ahora bien, est nmero' sensoriornotor
no contiene necesariamente, en el estado preformado la serie ilimitada de
los nmeros enteros (aqu Poincar exagera algo cuando habla de infinito
a proI?sito de las se~saciones musculares), as como tampoco los esquemas
sensonomotores contienen de antemano la lgica de las clases o la de las
85
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
181
182
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO
Todo ello nos conduce 'al problema de la "convencin", ya que Poincar hace intervenir, desde la construccin del grupo prctico de los desplazamientos, los elementos facilitadores que permiten disociar los cambios de
posicin de los cambios de estado y, en consecuencia, atribuir a los objetos
en movimiento el esquema del desplazamiento de los "slidos invariables",
cuando en realidad, los mviles siempre varan en parte. Qu es entonces
esta "convencin"? Se confunde precisamente con el proceso de asimilacin de lo real a los esquemas de la accin. Actuar sobre e! objeto es
atribuirle nuevos caracteres. Sin embargo, Poincar agrega que la eleccin
de las convenciones siempre est dictada por la "comodidad". Ahora bien,
es claro que una convencin slo resulta cmoda en la medida en que
facilita el cumplimiento exitoso de la accin. Se puede traducir entonces
la idea de convencin cmoda por este otro concepto: la accin eficaz.
El desplazamiento de los slidos invariables es, por ejemplo, un esquema
al que asimilamos los movimientos reales, esquema extrado de la coordinacin de las acciones ejercidas sobre estos slidos y no directamente de ellos
mismos; este esquema se aplica a los objetos y los enriquece con nuevos
caracteres; entre ellos el ms notable es la reversibilidad: si se quiere se
puede calificar este aporte del sujeto al objeto como una convencin cmoda,
pero en primer lugar es la manifestacin de una accin exitosa. En su
punto de partida, la "convencin" se reduce en resumen a la abstraccin
a partir de la accin.
Sin embargo, el trmino convencin adquiere nuevas significaciones
cuando se aplica a las tres dimensiones del espacio prctico y, en particular,
a su carcter euclidiano; carcter que Poincar tiende a transformar en
una simple fMIDa de lenguaje, equivalente de derecho a los "lenguajes"
no euclidianos, pero ms "cmodo" que ellos.
"
En lo que se refiere a las tres dimensiones, es muy difcil, a pesar de la
gran sutileza de Poincar, negar el papel preponderante de la experiencia
externa. Si pudiramos transformar un guante izquierdo en un guante
derecho, o sacar un objeto de una caja sin levantar su tapa y enhebrar
un anillo cerrado en una varilla sin pasar la extremidad de sta por la
apertura interior del anillo, la experiencia nos impondra entonces la cuarta
dimensin. En la prctica, el nio aprende que un objeto que est dentro
de una caja no puede salir por s solo de ella y que un anill no puede pasar
a travs de una varilla rgida (hemos visto cmo un beb intentaba enfilar
un anillo en una varilla aplicndolo simplemente contra ella o nios de
4-6 aos que pensaban que, -de tres objetos atravesados en el orden ABC
por un alambre, el objeto B poda ocupar la cabecera, o sea BAC o ACB,
por una simple rotacin del alambre) .37 Por lo tanto, parece evidente que,
desde el punto de vista psicolgico, la experiencia impone las tres dimensiones, pero no genera sin ms el grupo de los desplazamientos. En qu
consiste esta coaccin de la experiencia? Slo se trata de una limitacin;
la coordinacin de las acciones es la que genera las dimensiones, y esta
coordinacin puede conducir a 1, 2,.. n dimensiones. La experiencia
37
PUF,
cap.
l.
183
MATEMTICO
nos detiene en tres y en este terreno su poder se .red_ucea este papel li~itativo. La eventual influencia de los rganos"hez:e~1tanospertenece taIl1blen al
mismo orden.
La cuestin del carcter euclidiano de nuestro espacio prctico y del
grupo de los desplazamientos fsicos es algo diferente, ya q~; inte.n:iene
aqu una colaboracin ms estrecha de la .expenen~la y la aCCIOno
.VIVI,U:()S
"en un medio macrocspico cuya escala es intermedia a la escala ~lcr9flSlca
y la escala astronmica, y n~estras accion~: habituale~ se realizan sobre
cbjetos que tienen poca velocidad en relacin con la tierra. tomad~ c?m~
punto de referencia inmvil. Si e~stiera u,-: "observ~dor mtra-ato.m.lc~
-como lo ha supuesto L. de Broghe- o bien organismos con actividad
interestelar, sus acciones tendran velocidades semejantes a la de ~a luz.
Podemos admitir que las coordinaciones comunes a todas estas diversas
acciones bastan para generar una mtrica general. Sin embargo, est.a
_1'"
~
,
1...
. .
'-t .
iclidianas rv no ,p"nl"h_
mtrica
se distmguira,
segun
05 casos, en rnetrrcas '-'U~"'.L"""~ u. ~ v .
,a
.L.L.
..........'->u-
6. EL PUNTO DE VISTA DE D. HILBERT y EL PROBLEMA DE LA "INTUICI6N" GEOMTRICA. Ya hemos mencionado de qu modo -tomando ~omo
gua el sentido comn mismo- la mayor parte de los autores .opusleron
durante mucho tiempo a las operaciones lgico-aritm~i~as,concebld~s ~omo
la expresin ms autntica de la actividad del espmtu, el conOCimIento
perceptual e intuitivo del espacio, considerado como vinculado a la experiencia o la "sensibilidad". Sin embargo, la reflexin acerca de las geometras no euclidianas, en primer lugar, y, luego, la doble conquista, que
representan la geometrizacin de la gravitacin resultan~e de la te?na de
.la relatividad y el descubrimiento del mtodo axiomtico, condujeron a
J84
JEAN
una escisin del espacio en dos realidades distintas: el espacio fsico, indisociable de los "campos" energticos y que constituye la expresin de su
contextura, y el espacio intelectual, sistema de coordinaciones lgicas que
puede compararse con cualquier otro sistema -abstracto, por ejemplo el
sistema de los seres numricos o analticos. Sin embargo, surgen entonces
tres problemas: cmo vincular el espacio fsico y el espacio axiomtico?
qu relaciones hay que establecer entre este espacio intelectual y el espacio
perceptual o sensoriomotor? y por ltimo qu relaciones hay que determinar entre el espacio y las operaciones lgico-aritmticas?
A su manera H. Poincar respondi a estas tres preguntas: el espacio
deductivo o axiomtico, as como las construcciones formales numricas o
analticas, es una libre construccin "convencional" que se apoya, en su
punto de partida, en la actividad prctica y sensoriomotriz para liberarse
luego de ella; su concrdancia con el espacio fsico es la resultante de un
ajuste progresivo entre las. intuiciones de nuestro espritu y los datos de la
experiencia. Vuelve a establecerse as la unidad entre los espacios intelectual
y sensible, as corno la unidad entre ellos y el espacio fsico. Adems, el
paralelismo entre las construcciones geomtricas y las construcciones numricas est asegurado puesto que el nmero tambin deriva de actividades
elementales para desplegarse tambin en elaboraciones convencionales.
Ahora bien, sucede que uno de los matemticos que ms profundamente fundaron -la geometra axiomtica -David Hilbert- tom tambin
posicin ante estos problemas pero de un modo sensiblemente diferente.P"
Por una curiosa inversin de los puntos de vista -respecto de los autores
que oponan el espacio, dato intuitivo, al nmero y la lgica-r-, Hilbert
concibe la geometra axiomtica como una pura construccin lgica y que
es adems a priori, pero para arrojar a la geometra no axiomtica en el
terreno de la fsica. En otros trminos, la disociacin que Poincar intentaba
evitar es totalmente conservada por D. Hilbert.
La interaccin entre el espritu y lo real es, en primer lugar, reemplazada por una "armona preestablecida". As, lo real parece obedecer a
las mismas leyes que la construccin axiomtica. Aun en el terreno de la
biologa -en los estudios de Mendel- "los nmeros encontrados de modo
experimental verifican los axiomas euclidianos de la congruencia y los
axiomas relativos al concepto geomtrico situado entre, la ley de la
herencia parece ser as una aplicacin de los axiomas de la congruencia
lineal, es decir, de los teoremas elementales acerca del transporte de los
segrnentos't.t" Asimismo, para Hilbert los problemas de lo finito y lo infinito
se plantean en trminos anlogos para el universo y ,para el pensamiento.
La teora de la relatividad muestra la adecuacin entre la geometra riemaniana: y la experiencia, etctera.
De dnde proviene entonces' esta "armona preestablecida"? Porque
"fuera de la experiencia y la deduccin, existe una tercera - fuente de
D. Hilbert: "La connaissance de la nature et la Iogique". Trad. Miiller,'
Enseignement math., t. xxx, 1931.
39 lbd., pg. 24.
38
EL
PIAGET
PENSAMIENTO
MATEMTICO
185
43
Ibid.,
Ibid.,
Ibid.,
bid"
pgs.
pg.
pg.
pg.
28-29.
29.
30.
27.
186
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
187
188
JEAN
EL
PIAGET
son las que engendran el espacio "intuitivo" (en el sentido de los matemticos), -del mismo modo que las operaciones de clasificacin engendran
las clasificaciones lgicas y que la operacin
1 genera la sucesin de los
nmeros enteros.
PENSAMIENTO
189
MATEMTICO
7. LA
INTUICIN
IMAGINADA
Y LAS
OPERACIONES
ESPACIALES
CONCRE-
Para comprender qu es la verdad geomtnca, incluso en su forma puramente axiomtica, no basta entonces con
pasar directamente del espacio perceptual o de la "intuicin" a las cons-
T~S
D~ CARCTER
"INTENSIVO".
de l' espace,
n. Les
trois aspects
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
190
JEAN PIAGET
la
.
~n. primer lugar, qu es una imagen mental?
Es una imitacin
I~ter~onzada que sirve omo simple significante simblico de las acciones
eJercl~as sobre los objetos o de estos objetos en tanto metas de las acciones.
Una Im.agen auditiva, como una palabra o una meloda odas interiormente,
no es SIllO una imitacin interiorizada (es el caso del "lenguaje interior"
en general) o un esbozo de imitacin, an no exteriorizado, de la palabra
o el canto. Un.a imagen visual tiene una propiedad semejante: imaginar
una form~ consiste en poder reproducirla, no slo porque esta reproduccin
~; apoyara en la. evocacin imaginada, sino porque esta evocacin de por
SI ya es un comienzo de reproduccin motriz, 46 Ahora bien, la imitacin
es, e~ sus races, la prolongacin de la acomodacin de los esquemas
sensonornotores; se percibe entonces cmo pueden concebirse las imgenes
V'ease P'iaget : La [ormation
. du symbole chez l'eniant, Delachaux et Niestl,
v ease nota 7 del cap. 1. vol. I.
46
191
PUF,
EL
192
JEAN
193
Hay un buen ejemplo que muestra a. la vez la filiacin de las operaciones espaciales, respecto de las acciones intuitivas, y el carcter cualitativamente nuevo del agrupamiento de estas operaciones: el desarrollo
espontneo de las conductas que anuncian la medicin. Cuando solicitamos
a los nios de diferentes edades qe const'uyan una torre que sea tan alta
como un modelo que se encuentra, a cierta distancia' y colocado a un nivel
diferente, comprobamos que los ms chicos se contentan con comparaciones
perceptuales, mediante la vista o con la ayuda de palitos, para relacionar
los extremos superiores (sin tener en cuenta el desajuste de las bases) ;
luego, despus de haber intentado aproximar materialmente los objetos que
tienen. que comparar, utilizan movimientos imitativos para transportar la
altura (gestos de los'brazos, puntos de referencias en' elpropio cuerpo, etc.).
Despus, piensan en construir una tercera torre, que sirva como medio
trmino mvil y, por ltimo (nicamente alrededor de los 7 aos), consiguen utilizar las tones o reglas como medidas comunes. Ahora bien, esta
ltima conducta transforma las acciones precedentes en operaciones, 'por
el hecho mismo de que se hacen susceptibles de composiciones transitivas,
asociativas y reversibles, del tipo A =-.-= B; B
C por lo tanto A = C.
Vemos de qu .modo este agrupamiento operatorio se distingue cualitativamente de las simples comparaciones perceptuales e intuitivas, al mismo
-tiempo que constituye la forma de equilibrio mvil lograda al trmino de
la articulacin .de las intuiciones anteriores.?"
cap.
caps. VI-XIV.
MATEMTICO
PENSAMIENTO
PIAGET
11.
spont an e de l'enfant.
194
JEAN PIAGET
E.L PENSAMIENTO
MATEMTICO
19.1
196
JEAN
EL
PIAGET
+ =
+ =
:1
Piaget e Inhelder: La reprs ent ation de l'espace ch.ez l'enjani, Pars, PUF,
.
52 Vase Piaget e Inhelder, loco cit., cap v.
.
,
53 Vase Piaget: Les notions de mouuemeni et de tniesse chez 1eniant, Pars,
1946. caps. -t-n. y Piaget e Inhelder, lo. ci!" cap, m.
PUF.
MATEMTICO
]97
51
1947.
PENSAMIENTO
cap.
54
IV.
Piaget e Inhelder:
PUF,
55 Citado por Brunschvicg (tapes, 2" ed., pg. 504) precisamente como
operacin extrada de la prctica cotidiana.
198
JEAN PIAGET
EL PENSAMiENTO MATEMTICO
199
Pars.
56 Vase Piaget
PUF, 1948.
'
EL
200
PENSAMIENTO
201
MATEMTICO
JEAN PIAGET
operaciones concretas
infralgicas -cuya descripcin precede y que otorgan su forma definida a
aquella que los matemticos llaman la "intuicin" del espacio- son pues
totalmente comparables con las operaciones lgicas concretas, que se refieren
a las clases y las relaciones; la nica diferencia es que se refieren a las
transformaciones del objeto y no a las reuniones o seriaciones de o~jetos
discretos; la adicin de las clases adquiere entonces, por este hecho mismo,
la forma de la particin y la adicin de las partes, y la adicin de las
relaciones asimtricas la forma de operaciones de emplazamiento y desplazamiepto. Ahora bien, ya vimos (vol. 1, cap. 1, punto 6) de qu modo el
nmero entero era el resultado de la fusin operatoria de los "agrupamientos" de clases y las relaciones asimtricas en un solo "grupo" que
presenta, en lo finito, un carcter la vez cardinal y ordinal, Por lo.tanto,
si la correspondencia entre los dos sistemas lgico e infralgico es exacta,
puede esperarse que la medicin (que equivale en el dominio espacial a
lo que. es el nmero en el terreno de los conjuntos discontinuos) tambin
sea el resultado de una fusin entre las operaciones de particin y las de
desplazamiento. Tambin cabe pensar que la cuantificacin "exten~iva"
sea el resultado de una generalizacin ---que se extiende a las relacienes
entre las partes de un mismo todo- de las relaciones establecidas por las
operaciones "intensivas" entre las partes y el todo. como tal.
CIO POR CUANTIFICACIN EXTENSIVA Y MTRICA. Las
1. En primer lugar, qu es, desde el punto de vista gentico, la medicin de una longitud? Tomemos como punto de partida uno de los
axiomas mtricos ms intuitivamente evidente y que desde Eudoxio ha
57 Piaget e Inhelder: La reprsentation de ['enfant chez i'enfant; Piaget,
Inhelder y Szeminska: La gomtrie spontane chez l'enjani, y Piaget: Les notions
de mouvement 'et de uitesse chez ['cnfant: Pars, PUF.
+ A"
202
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
I
1:
203
59
caps,
Xl
Pl:F,
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JEAN PIAGET
a partir de su punto
y A\ (=B1-Al);
EL PENSAMIENTO MATEMTICO.
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JEAN
EL .PENSAMIENTO
PIAGET
9ue
mteriorrzacin.
MATEMTICO
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(p. q)
fundamentales (p v q) y
constituyen la operacin directa e inversa
del sistema (ley ele dualidad). Adems, para comprender qu es la implicacin, basta observar que dos proposiciones que se implican mutuamente
son equivalentes: si A implica a B y B implica a A, A y B son equivalentes.
Si, por lo tanto, A implica a B sin que la recproca sea verdadera, A slo
es parcialmente equivalente a B: al afirmar B, se afirma entonces A u
otra cosa. Llamemos A' a esta otra proposicin que B puede implicar:
se sigue que B implica a A o A' 'f recprocamente .[B E (A v A')], es decir
que B es equivalente a "A o A'''. Por ejemplo, la proposicin "x es una
elipse" implica "x es una seccin cnica", pero la proposicin "x es una
seccin cnica" implica "x es una elipse o .una seccin cnica diferente
de la elipse". La implicacin entre proposiciones supone pues una clasificacin previa correspondiente a su contenido intraproposicional. Sucede as
con las incompatibilidades, etc., y .la misma contradiccin: "x es a la
vez A y A'" es contradictoria porque A y N distribuyen a B en dos
subclases complementarias.vA partir de estas observaciones resulta que las proposiciones se encajan
unas en las otras como lo hacen las clases lgicas, es decir, por sucesivas
divisiones dicotmicas. Un sistema de proposiciones puede disponerse en forma de "agrupamiento": A implica una sucesin de proposiciones encajadas
B, e, D,
etc. y es incompatible con las proposiciones complementarias
A', B', e',
etc., respectivamente encajadas tambin en B, e, D, ... Un
sistema de proposiciones constituye pues un conjunto operatorio 6H cuya
operacin fundamental es la implicacin p =:J q siempre reductible a la
forma: p v p' = q.
.
Se comprende as de qu modo la lgica de las proposlclOnes que
caracteriza al pensamiento formal es una lgica operatoria, pero de segundo
grado: las proposici:ones a las que se refiere no .son sino operaciones,
isomorfas a las operaciones concretas, pero generalizadas y expresadas por
un conjunto de signos en vez de efectuarse en la accin' v el sistema de
las proposiciones es a su vez un conjunto operatorio, puesto que estas
proposiciones estn, en tanto proposiciones, vinculadas por operaciones
interproposicionales, es decir, por operaciones semejantes a las que permiten
la construccin de los agrupamientos de clases o relaciones.
Sin embargo, cmo puede el mecanismo de las operaciones formales
-que prolonga, del modo ms continuo, el de las operaciones concretas y
que en consecuencia se ha asociado durante tanto tiempo con proposiciones
de contenido "intuitivo" evidente- culminar al final de cuentas en esa
inversin de sentido que marca la axiomtica contempornea? La lgica
que emplea la axiomtica moderna no difiere fundamentalmente, no
digamos de la lgica clsica (lgica de los tericos). sino de la lgica formal
espontnea y viva, por lo tanto de esa lgica de las operaciones formales
que la logstica ha explicitado con el nombre de clculo de las proposiciones
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EL
F:
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MATEM ....TICO
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EL
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]\1ATEMTICO
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operaciones
EL
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+ Be
,.=
AC, independien-
DESCUBRIMIENTOS
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EL
PENSA:r.:rIENTO
MATEMTICO
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Por otra parte, este crculo operatorio termina por abarcar toda la
georr;etra. El. grupo fundamental de la topologa (grupo de las homeomorfi as), contlene,. en efecto, como subgrupo, el grupo fundamental de la
geon;e~na proyectlva. (con conservacin de la' recta y las relaciones no
armomca~), que contiene a su vez como subgrupo el de las afinidades (con
conservacin
d.e !~s paralelas); y este ltimo contiene como subgrupo el
~rupo de. las similitudes (con conservacin de los ngulos) y, por ltimo,
este con~Iene como subgrupo el de los desplazamientos (con conservacin
de: l~s.dlstanci~s). Sin embargo, este grupo fundamenta] de la geometra
euchdIa~~ se VIncula -como acabamos de recordarcon las geometras
no euclidianas y, desde este conjunto, podemos remontarnos al grupo de la
"mtri~a general" que se vincula de modo directo con el de la topologa.
El c~nJunto de los grupos operatorios constitutivos del espacio forma as
un. cIr~~lo tal que se puede pasar de uno de los sistemas al otro, ya por
adjuncin o supresin de uno de los invariantes caractersticos de los
subgrupos.
'
. Por lo tanto, existe una interdependencia completa entre todas las
posibles transformaciones del espacio y esta interdependencia es la que
manifiesta fuera del crculo las implicaciones entre operaciones previas a
toda c0r;tstruccin axiomtica. Ahora bien, este crculo constituye -lo
hemos VIStO- la forma ms evolucionada de las sucesivas coordinaciones
alcanzadas por el anlisis gentico, del cual es solidaria la axiomtica, pero
desde adentro y por intermedio de los conceptos operatorios iniciales.
~1. LA .EPISTEMOLOGA
GEOMTRICA
DE F. GONSETH. La exposicin
a?t.enor .equ}~ale a atribuir la formacin del espacio y de las operaciones
logIc~-antmetlcas a la coordinacin progresiva de las acciones ejercidas por
~l sUJeto.sobr~ los objetos. En vez de proceder por construccin de conjuntos dISC?ntmu?s de objetos, fundados en los esquema, lgicos de sernejanzas y diferencias (o en los esquemas numricos que unen en un solo
todo la clase y la relacin asimtrica), las operaciones espaciales encuentran. su punto de partida en la continuidad de las vecindades y las diferencias d~ orden (y luego de la medicin que rene la particin y el
emplazamienroj , pero se rene, tarde o temprano, con las operaciones
formales generales que se aplican simultneamente a la discontinuidad
numrica o lgica y al continuo espacial. De este modo, lo formal que se
encuentra en la ?ase de las construcciones axiomticas se desprende de
<" _poco de las ~CCI?~eSy operaciones del sujeto y disocia el espacio geomtrico de.l espacio lSICOo experimental superando la "intuicin" con la que
se relaciona a travs de todos los intermediarios.
.
. Puede ~bservarse el parentesco existente entre algunas de estas conclusienes y vanas de las perspectivas desarrolladas desde hace ms de veinte
aos por ~'. ?onseth. Antes de concluir, nos parece entonces indispensable
tom~r posicin respecto de -la filosofa geomtrica y la epistemologa en su
totalidad de e~te matemtico, y sealar simultneamente las convergencias
y puntos de bifurcacin posibles. Esta discusin no slo nos resultar til
para preparar la conclusin de este captulo sino gue nos introducir al
EL
PENSAMIENTOMATEMTICO
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PUF,
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JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
consistir entonces en partir del anlisis del saber intuitivo, es decir --si lo
cemprendemos bien- de jos conocimientos elementales ni demasiado ni
demasiado poeo "instantneos" y buscar cmo se desprende a partir de
ah la abstraccin cientfica.
Conviene distinguir desde el comienzo dos aspectos de la epistemologa
de Gonseth, aspectos cuyo inters respectivo es, por otra parte, muy diferente: una investigacin de los fundamentos de la matemtica y el pensamiento cientfico, y-.un anlisis del mecanismo del pensamiento espontneo
o precien tfico, es decir, de las fuentes intuitivas. Estas fuentes son caracterizadas del siguiente modo: "queremos llamar a todo ese conjunto de
conocimientos fundamentales e imperfectos, todas esas perspectivas adecuadas, pero slo de modo aproximado, todas esas ideas inacabadas sobre las
que se ejerce nuestra actividad mental los elementos del conocimiento
intutitivo" (M. R., pg. 15). Sin embargo, la importancia de la epistemologa geomtrica de Gonseth justifica Una discusin de sus ideas acerca
de! desarrollo mental, ya que en este dominio todas las sugerencias de un
matemtico, sea cual fuere su grado de conocimiento psicolgico, resultan
hey preciosas, tanto ms cuanto la filosofa matemtica ha dado la espalda
2. lo concreto, bajo la doble influencia del realismo- platnico y el nominalismo lgico.
En su primera obra,67 totalmente consagrada al anlisis del pensamient~ matemtico y fisicomatemtico (y que sin duda alguna constituye
lo mejor que ha escrito), Gonseth ya haba formulado su tesis central.
Por una parte, la matemtica procede de la experiencia: la demostracin
de un teorema, corno aquel segn el cual se puede, por un punto, trazar
una y slo una perpendicular a una recta, es "una simple descripcin apenas
idealizada de una experiencia fsicamente realizable" (F. M., pg. 4). Ese
carcter experimental de la geometra elemental en su conjunto "se hace
totalmente evidente con la reflexin" (pg. 4). Aun ms "no hay dominio
de la matemtica, por mnimo que sea, donde la axiomtica pueda bastarse
a s misma" (pg. 13). Pero inversamente, la experiencia nunca puede
interpretarse, y en el terreno de la matemtica menos an que en cualquier
otro dominio, sin la referencia a un "esquema". "Por lo tanto, es imposible
probar experimentalmente que el espacio es.euclidiano" (pg. 103), ya que
"no se experimenta nunca sin alguna idea preconcebida, as como nuestro
cuerpo slo puede moverse en funcin de las normas intuitivas inscriptas
en nuestros centros nerviosos" (pg. 104); estas normas consisten en parte
en el grupo experimental de los desplazamientos descripto por H. Poincar.
En resumen, "hay, en la base de toda experimentacin, una trama abstracta
sobre la que se construye una imagen semejante al mundo", pero "hay, en
teda construccin abstracta, un residuo intuitivo imposible de eliminar"
(F. M .. pg. 105).
As "la distincin entre lo abstracto v la experiencia slo es una diferencia de tendencias y no de esencia" ('F. M., pg. 107), yat~ue "nuestra
61
Les fondements
mos con F. M.
224:
JEAN
PIAGET
EL PENSAMIENTO
MATEMTICO
225
los objetos entre s: no expresan "la necesidad abstracta de una lgica dada
y formada de antemano, sino las necesidades tales como las presenta el
mundo de los objetos fsicos, y tales corno se presentan en la idea general
de ley natural" (pg. 170). Sin embargo, adems de las "formas matemticas del objeto, el nmero y el espacio" (pg. 175), las formas intuitivas
relativas a las cualidades del objeto conducen a una lgica del objeto
cualitativo: la lgica de las clases de Aristteles, que se "ha presentado
corno una teora abstracta del ser y las esencias cuando en realidad se
trataba de un esbozo esquemtico de una teora de este tipo" (pg. 190).
En suma, la existencia matemtica plantea "el siguiente dilema: o bien
la justificacin de las ideas primeras y sus relaciones es proporcionada por su
gnesis y su evolucin; o bien la matemtica est condenada a fundar
su autonoma sobre lo abstracto", pero "si se descarta sistemticamente el
problema de la adecuacin ... en el momento en que ella se plantea naturalmente, es decir, en el curso de la introduccin de las ideas fundamentales,
las dificultades descartadas --pero no resueltas- vuelven a aparecer bajo
otra forma: la cuestin de las relaciones exteriores que se ha dejado sin
respuesta deja simplemente lugar a una cuestin de poltica interna"
(pg. 361).
Hemos insistido en conceder un lugar extenso a la exposicin de esta
epistemologa matemtica, porque e! punto de vista gentico al que recurre
Gonseth para explicar la adecuacin de! espacio y e! nmero a la realidad
fsica converge en principio con el que aqu defendernos. Por lo tanto;'
tiene cierta importancia intentar determinar si la teora de la esquematizacin propuesta basta ,para cumplir con el programa trazado, en,particular,
en lo que se refiere a la formacin del espacio.
En este sentido, conviene abordar separadamente las reflexiones que
se refieren al fundamento de la matemtica en general y las perspectivas de
Gonseth acerca del' proceso gentico mismo. En e! primer terreno, no
podemos dejar de estar de acuerdo con' el modo, a la vez sutil y vigoroso,
cen el que retorn y desarroll las tesis de Poincar y Brunschvicg acerca
de la naturaleza psicolgica de las ideas cientficas iniciales en oposicin, a
la vez, con el realismo platnico o el formalismo lgico y con el empirismo,
Las ideas esenciales segn las cuales la abstracciny lo concreto siempre son
interdependientes, corno lo son el esquematismo y lo real correspondiente,
no pudiendo aislarse ninguno de estos dos trminos en ningn nivel de
desarrollo, y segn las cuales la axiomtica ms depurada no es nunca
sino el resultado de un proceso reflexivo que prolonga el esquematismo
mental mismo, ha renovado de modo sorprendente la gran tradicin psicogentica respecto de la eterna cuestin acerca del fundamento de la
matemtica.
Con ello sealamos hasta qu punto concordamos totalmente con
Gonseth 'en cuanto a su posicin del problema y al pensamiento esencialmente gentico, crtico y antimetafsico que anima su epistemologa. Sin
embargo, puede considerarse que el problema del origen "intuitivo" queda
resuelto por la concepcin particular de la esquematizacin y las "formas
226.
JEAN
PIAGET
intuitiv.as" d~fendidas por este matemtico? Este punto delicado nos nroduce Cler~a mcomodidad ya que, despus de todo, no es la culpa d~ F.
Gonseth SI en. 1926, y 1936.:::-fecha de la aparicin de sus dos principales
cbras- .. la psicologa del nmo, a la que recurre tan a menudo, no poda
propcrconane
que de ella esperaba en cuanto al desarrollo del espacio,
~l tIempo, el numero y, en particular, las operaciones lgicas. Resulta as
Interesan,te obs,ervar las fI,uctuaciones de su pensamiento en cuanto al aporte
de la psicologa a l~ epistemologa. En 1926 (F. M" pg. 105) observa,
r~specto de las }'elaClOnesentre lo intuitivo y lo abstracto que "estas cuesnones, cuyas raIces se hunden por una parte en la psicologa son extrema?a~en~e complej.as", En 1936, decepcionado sin duda por la falta de
mdIcacIOnes,~reCIsas de la psicologa experimental, formula los desilusio~a~os, pr~posItos ~e_nciona~os ms atrs (M, R., pg, 29), como si las
~veStlga~lOneS geneticas ev~t~sen las "grandes ~~nstrucciones mentales",
n cambio, .eIl 1944, tranquilizado por la obtencin de algunos resultados
otorga ,al pSIclogo el, si?,uiente codificado que resulta de mucho valor po;
prov~llIr ~e un especialista en axiomtica: "Cierta concordancia de tendencias, ~Ie~to paralelismo de perspectivas entre el gentico y el filsofc
del C,O~?CIIl,llento
se convierte as -situacin quizs imprevista- en una
condIc~o_nsine qua .non de la legitimidad de la sistemtica de, este ltimo:
la ,genetIca se convierte entonces en el juez de la autenticidad de la filosofla",69
:0
:l':
119 :.
Gonseth: "Psychologi- et lo,gistiqlle (a propos de l'ouvrage rcent de
Jl'94Plag~t,classes, relations et nombres)' , Archives 'de Psycholo vie Ginebra t xxx
, 4, pag, 199.
e- '
,.,
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
227
228
JEAN PIAGET .
EL PENSAMIENTO. MATEMTICO
229
Ahora bien, si en el esquema se distinguen estos dos polos ,.--deasimilacin y acomodacin, uno fuente de coordinaciones y el otro de. aplicacin
a los datos de la experiencia-i-, nos encontramos, no solamente ante , un
nico tipo de abstraccin sino ante dos clases muy distintas de abstracci~nes,
'i pensamos que ellas sen las que preci~~mente distinguen todo aquello. que
opone el "esquema" (en el. sentido de la imagen-trama de una realidad
perceptible) .al "esquema" como expresin de la actividad del sujeto.
Tenernos, en primer lugar, la abstraccin a partir de! objeto que consiste
en extraer, a partir de l, caracteres ms o ~n~nos general~s (el color, ~t~.)
que proporcionan la materia de ese conOCimiento sumario y esquemtico
Tesuftante de la, acomodacin ms o. menos profunda de los esquemas de
asi~ilacin. Sin embargo hay, en segundo Jugar, una abstraccin a partir
de la actividad del sujeto: este segundo tipo de abstraccin consiste ~n la
disociacin entre. aspectos. particulares de la accin considerada y ciertos
mecanismos. de coordinacin generales (por ejemplo, reunir dos acciones
en: una sola, invertir las acciones, etc.) y la construccin de nuevos esquemas
a travs de los elementos asi extrados (es decir diferenciados) de las
acciones como tales.
'
.
. Vernos de entrada la importancia que adquiere esta distincin respecto
de la construccin del espacio, ya que las dificultades propias de la epistemologa de' Gonseth son sin duda alguna el resultado. de su const~J1te
trnsito de un sentido al otro, cuando se trata en reahdad de explicar
los "esquemas" lgicos, numricos ti especficamente espaciales. Cuando
Gonseth nos dice por ejemplo que la lgica elemental es, entre otras cosas,
una "fsica del objeto cualquiera", no se .debe acaso precisar antes que
la coordinacin de las acciones es la que posibilita la constitucin de esta
~fsica dicho de otro modo, que constituye ms bien una "accin sobre el
objeto cualquiera"? Ahora bien, la diferencia es apreciable ya que, si bien
se construye el concepto de objeto -como sostiene Gonseth- y no est
. dado de entrada en su totalidad, es claro que las coordinaciones entre las
acciones que intervienen en esta construccin constituyen' para la lgica un
punto de partida anterior a las combinaciones de las relaciones entre
los objetos, es decir, a los resultados de esta construccin misma. El objeto
es Un "abstrado esquematizado" antes de ser "esquematizante", y se hace
necesario recurrir en primer lugar a la coordinacin de las acciones que han
esquematizado lo real en objetos (lo cual vuelve a llevarnos a las dificultades sealadas ms atrs respecto de la gnesis de las "formas intuitivas").
Hay algo ms. Gonseth establece esa asimilacin paradojal del nmero intuitivo a una "cualidad fsica" --como el color, el peso o la transo
parenciaporque no puede distinguir la abstraccin del objeto y la
abstraccin de
accin. Cabe pensar que esta sorprendente opinin es el
ndice de que el sistema de Gonseth, proveniente de una idea del "esquema"
semejante al "esquema" de accin pero sin sealar suficientemente el
aspecto activo. y operatorio de todo esquema (en todos los niveles de la evolucin), se ha deslizado en direccin del esquema concebido como ima?en
simplificada o como trama de la realidad exterior. Ahora bien, si la PSICOloga puede prestar un mnimo servicio a los matemticos, es cuando les
la
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c:.
EL PENSAMIENTO
JEAN PIAGET
MATEMTICO
12.
CONCLUSIN:
LA
INTERPRETACIN DE
Al nivel perceptual, no hay espacio nico, as como tampoco las coleeciones discontinuas, percibidas corno pluralidades ms o menos ricas, cons- .
tituyen clases lgicas o nmeros. Al nivel sensoriomotor, los desplazamientos
unidos a las percepciones permiten ciertas coordinaciones que se organizan
en un espacio prximo, con conservacin prctica del objeto pero sin
232
JEAN PIACET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
233
las operaciones de seriacin lgica' y la medicin, sntesis de las dos prece'dentes, se construye pa~alelam~nt: a~ nmero _mismo,sntesis de as agrupaciones de clases y relaciones, asimetncas.
Ahora bien, presenta un gran inters comprobar que este estrecho
parentesco gentico concuerda totalmente con el paralelismo de los conceptos matemtico~. El. nmero entero, por un lado; y el continuo espacial,
por .el .otro, constituyen los dos polos del pensamiento matemtico, polos
entre los cuales una serie de intercambios crecientes tejen una seri inextricable de simetras y reciprocidades. El nmero proporcion al espacio el
detalle de su mtrica, pero el espacio le ha pagado con el nmero irracional
desti~ado a c?nstruir numricamente un continuo que corresponda al
continuo espacial. El clculo infinitesimal se inspir en las transformaciones
espaciales poco despus de que la geometra analtica' hubiera recibido del
lgebra el medio de transformar las curvas en ecuaciones. El dominio
del n~.mero prest a la topologa el uso de la teora de los conjuntos, y la
top(:)~ga respondi con una promesa de topologizacin de la teora de las
funciones, En cuanto.~ los fundamentos de la matemtica, hay una escuela
-de Kronecker a Brouwer y a Weyl- cuyo ideal se concentra en la aritmetizacin de la matemtica; en cambio,' otros autores consideran el continuo
espaciat como fuente de todos los progresos. En resumen, el continuo y
el n~mero ente~o aparecen como dos realidades independientes, pero cuyas
relaciones culminan en una ntima interaccin.
Por lo tanto, desde el punto de vist~ de la embriologa d los conocimientos y desde el punto de vista de su estado de culminacin provisoria
en el perodo de la historia d las ciencias que hoy vivimos, nos hallamos
ante un dato fundamental que se constituye como testimonio de la unidad
d~l penS~iento mate~tico en su doble conquista del obj.eto y las coleeCI?n~Sposibles de objetos, y de. la propiedad esencialmente operatoria y
.asimiladora del espacio y el nmero. El paralelismo entre estas dos clases
de esquemas operatorios es' tal que puede facilitar 'la discusin final que
debemos ahora abordar en cuanto a la situacin del espacio en las interacciones entre el sujeto y los objetos, en otros trminos. en las interacciones
entre la construccin activa o deductiva y la experiencia, .'
Respecto de este punto, podemos partir de las conclusiones de L.
Brunschvicg presentadas en su clebre anlisis acerca de las "races de la
v~:dad geomtrica't.U Hst~ aqu nos hemos referido muy poco a la posi- .
CIO~ que ha tomado este filsofo cuya penetracin gentica e histricocrtica slo se iguala con su penetracin matemtica. Sin embargo, fue as
porque nos sentamos demasiado cerca de sus tesis como para examinarlas
des~e afuera: el papel fundamental que nuestro maestro- Brunschvicg
atribuye, en la gnesis del espacio, a las operaciones concretas .:.....comola
prc~ica del dibujo, que genera la concepcin de contorno del objeto y
las figuras en general, el enfoque que determina la lnea recta, las rotaciones y traslaciones, etc.- desempea un papel importante en la invest71
XXII.
234
JEAN
PIAGET
gacin sistemtica que hemos intentado llevar a cabo respecto del desarrollo
de las representaciones espaciales en el nio, y sus opiniones acerca de
este punto han mostrado ser muy concordantes con los resultados de la
experiencia. "Es claro que no hay otra percepcin efectiva del espacio
que la de los cuerpos que lo llenan;', sostiene en primer lugar Brunschvicg
(pg. 498), de donde, surge el papel decisivo de la accin: "Nuestra accin
tiende una red de objetividad bajo los estados de conciencia" (pg. 499).
La accin constituye as una "red de sensaciones" respecto del movimiento,
"y es!a red, precisamente porque es el objetivo logrado, en. oposicin a los
medios que pone en funcionamiento y a los movimientos 'voluntarios que
se han realizado, es el objeto" (pg. 500). En qu consisten entonces
estas acciones, formadoras del espacio? En primer lugar, se trata del dibujo
que fija "la indeformabilidad del contorno" (pg. 501): "por ms paradjico que este enunciado pueda parecer no es a travs de la contemplacin
del objeto que se ha podido plantear como, regla de verdad la inmutabilidad del contorno, sino a travs de la accin ejercida para reconstituir artificialmente su aspecto" (pg. 502). Luego, se trata del enfoque que genera
el alineamiento rectilneo (pgs. 503-4). y en particular se trata del desplazamiento -si como deca Montesquieu, antes de que se trazasen los crculos
los radios fueran iguales, es simplemente porque "la igualdad de los radios,
inherentes al movimiento de rotacin de la recta generadora, es constitutiva
del crculo" (pg. 505). Asimismo las paralelas se generan por la traslacin
de una varilla recta en el eje de su longitud (pg. 506), etc. "Vemos ahora
a travs de qu gradaciones el espritu posibilita la constitucin de la
experiencia aritmtico-geomtrica que ha convertido a la ciencia de la medicin espacial en la base de una ciencia universal" (pg. 507).
Sin embargo, en qu consiste esta "experiencia"? "La sugestin de
la experiencia es necesaria para la constitucin del espacio; pero la experiencia no es suficiente para aportarnos de por s un espacio constituido".
Ya que "lo que vemos est en el espacio; pero no vemos el espacio. El
lugar de toda intuicin no es en absoluto objeto de una intuicin.
El espacio encuentra su raz en la experiencia; y su culminacin en la
razn" (pg. 514). El espacio es entonces el "producto de la colaboracin
entre el espritu y las cosas" (pg. 520), pero se trata de una colaboracin
en la que "no hay que concebir a los colaboradores fuera de la obra de la
colaboracin" (pg. 521).
Sin embargo, estas frmulas, a las que no podemos dejar de adherir
en su totalidad, son consideradas finalmente por L. Rrunschvicg en el
sentido de una asimilacin completa de la experiencia geomtrica a la
experiencia fsica. Nos parece que se trata de concentrar la discusin
en este punto y preguntarnos si el papel de la accin v la experiencia
necesariamente genera esa consecuencia realista de aquello 'que se ha denominado frecuentemente el idealismo brunschvicgiano.
En el captulo 1 tuvimos que admitir que las estructuras lgicas y
numricas no se abstraan del objeto del mismo modo que las relaciones
fsicas. sino que eran el resultado de la coordinacin de las acciones del
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PENSAMIENTO
MATEMTICO
EL PENSAMIENTO
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JEAN
MATEMTICO
237
PIAGET
y abstraen de este modo sus elementos de los, objetos sobre los que estas
acciones se aplican (entendido que estos objetos siempre se conocen nicamente a travs de su asimilacin con acciones particulares), y no de las
coordinaciones de estas mismas acciones, como la lgica y la aritmtica.
Pero como las acciones particulares ~diferenciadas en funcin de la acomodacin de los objetos variados- y la coordinacin general de las acciones
-que se acomoda 'de modo.permanente a los objetos cualesquiera-e- sie~pre
estn unidas y son de hecho indisociables, 'resulta claro que las operanones
lgico-aritmticas se vinculan muy estrechamente con las operaciones fsicas,
sin que se confundan entre s.
Qu sucede entonces con las estructuras, espaciales o geomt,ricas?
Corresponden. -como la lgica y el nmero- a las coordinaciones de las
acciones, o -como los conocimientos fsicos-e- a sus contenidos particulares?
En este punto dos hechos. resultan decisivos: por una parte, el estrecho
paralelismo gentico entre el desarrollo del espacio y el del nmero, en
particular entre las operaciones constitutivas del primero y las operaciones
lgico-aritmticas; pqr otra parte, la continuidad histrica de una geometra deductiva indefinidamente fecunda en oposicin a la constante sumisin
de la deduccin fsica al control de la experiencia.
Desde el punto de vista gentico, la naturaleza de las acciones y luego
la de las operaciones formadoras del espacio' muestra ya de modo hart.o
claro que provienen, como las operaciones lgico-aritmticas, de las coordinaciones generales de la accin en oposicin a las acciones particulares. La
nica diferencia entre las relaciones topolgicas elementales de envolv.
miento o de orden y clases lgicas o los nmeros es que, en estos ltimos
casos, los elementos se relacionan independientemente de sus vecindades y,
en consecuencia, de manera discontinua: mientras que, en el primer caso,
los elementos se vinculan en un objeto total gracias a sus vecindades,
ordenadas en relaciones continuas. Ahora bien, la vecindad y la continuidad
sen caracteres generales de la accin y tambin lo son del encaje fundado
'en las semejanzas o la seriacin de las diferencias y ambas caracterizan a'
la asimilacin ms elemental: la accin procede, en efecto, tanto de manera
'progresiva y de modo continuo como rene en totalidades o relaciona
entre s los elementos de las situaciones discontinuas sobre las' que acta.
Slo lenta y muy progresivamente estos caracteres de vecindad y no vecindad, es decir, los aspectos espaciales y lgico-aritmticos de la accin se
diferencian entre s: de hecho, solamente partir del, nivel de las operaciones concretas reversibles (.-S aos); en' cambio, todas las intuiciones
imaginadas preoperatorias se refieren a configuraciones en parte espaciales,
aun cuando se trate de colecciones 'prelgicas o prenumricas : (vol. 1,
cap. 1, punto 12). Por otra parte, la fuente psicolgica de las "horneomorfas" topolgicas debe buscarse en la correspondencia cualitativa que
permite discernir semejanzas formales independientemente de la constancia
de las dimensiones y las formas; ahora bien, estas correspondencias estn
en estrecha relacin con las asimilaciones formadoras de las clases lgicas.
En cuanto a la coordinacin de los puntos de vista -fuente de la
geometra proyectiva-> y la de los movimientos -fuente de la mtrica
238
JEAN PIAGET
ellos. La razn es que los objetos actan unos sobre los otros de prximo
en prximo y, por lo tanto, en funcin de la vecindad, mientras que las
semejanzas y diferencias no se influyen a distancia (contrariamente a lo
que admite la causalidad mgica) para constituir clases, etc., independientemente del contacto espacial. Por lo tanto, junto al espacio matemtico
-rEsultante de las coordinaciones del sujeto- interviene un espacio fsico
o espacio de la experiencia aplicada a los objetos diferenciados por sus
caracteres propios. En otros trminos, entre varias formas resultantes de
la actividad del sujeto, unas pueden convenir mejor que otras a ese sistema
de objetos especficos, determinados por sus propiedades fsicas, es decir,
por las acciones particulares que a ellos se aplican (en oposicin a las
coordinaciones generales de la accin) .72
Sin embargo, del hecho de que exista un espacio fsico distinto del
~spaci? matemtico y no exista lgica o nmeros fsicos,porque la vecindad
l~terV!e~e en el seno-.de- las relaciones causales y porque las semejanzas,
diferencias o equivalencias no actan a distancia, no se deduce en absoluto
que el espacio fsico corresponda trmino a trmino al espacio matemtico.
En efecto, por una parte, el espacio .fisico es ms pobre que el espacio
construido por el sujeto. Por otra parte y, en particular (esta segunda
razn domina, sin duda alguna, la primera); toda propiedad del espacio
real es solidaria de las otras cualidades fsicas. As, la medicin de una
distancia fsica consiste en el desplazamiento de un metro en la realidad y
no en el pensamiento, y este desplazamiento depende entonces de la masa
de.los objetos, del campo de gravitacin, etc.: constituye por ello un movimiento real que presupone el tiempo v la velocidad. El espacio fsico no es
una propiedad de los objetos que pu~da sin ms disociarse de su contexto:
no es un continente, separado y homogneo, sino que es {mico en su contenido heterogneo. No obstante, por el hecho de que todas las operaciones
q~e caracterizan la actividad del sujeto determinan posibles transformacienes del objeto, las propiedades del espacio fsico pueden traducirse en
espac~o I~atem~tico. Sin embargo, la recproca no es verdadera y este
esp~clo sigue SIendo ms rico que aqul, ya que toda transformacin
lgicamente posible no es fsicamente realizable.
. Sucede as (como lo hemos visto en el punto 7) que la idea de dimensin al?arece genticam~nte en funcin de las acciones de envolvimiento; y
~ada.SIstema de envolvimiento puede generar la liberacin de un elemento
mterior en una nueva dimensin, segn que este elemento atraviese un
punto, una lnea, un plano, etc., para convertirse en exterior. Ahora bien,
12. experiencia fsica es la que nos ensea que, en el mundo real de las
acciones que estn a nuestra escala, el espacio slo tiene tres dimensiones:
en efecto, no se puede sacar un objeto de una caja cerrada ni transformar
un' guante izquierdo en un guante derecho, etc. (lo que' nos demuestra
hasta qu punto el espacio fsico es ms pobre que el matemtico). Sin
,
72 ~or ejemplo, si la reunin de dos microobjetos con otros dos lleg;ra a dar
3 o 5 microobjetos, se corregira ms bien la concepcin'de objeto que la relacin
2 2 = 4; en cambio, si la suma de los tres ngulos de un tringulo no diera dos
rectos se adaptara un espacio no euclidiano a esta comprobacin fsica.
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
239
embargo, estas tres dimensiones son una propiedad fsica de los' objetos
sobre los que se 'ejercen nuestras acciones particulares y no una propiedad
de la coordinacin general de las acciones. Es posible que intervenga
adems aqu un factor de herencia puesto que ni siquiera podemos int~ir
(en' oposicin a percibir o concebir) un espacio de cuatro dim~nsiones.
Pero, si se trata entonces de un fenmeno hereditario "especial", es decir,
de una propiedad cromosmica de los linajes humanos (o de los mamferos superiores, etc.) en oposicin a la herencia general (herencia citoplasmtica) de los seres vivos: nuevamente se tratara de acciones particulares
r~specto de las coordinaciones comunes a todos los organismos. Asimismo,
S1el espacio fsico es euclidiano en la escala de nuestras acciones ordinarias, lo es porque, para nuestros instrumentos habituales de medicin, los
ngulos de un tringulo son iguales a dos rectos. Sin embargo, la medicin
de los ngulos en otra escala, corno las famosas mediciones del ds2. en fsica
de la relatividad, puede culminar en la determinacin de otras formas
espacio-fsicas, E~ particular, si en vez de vivir a nuestras bajas velocidades
debiramos actuar cotidianamente sobre un mundo de altas velocidades, las
curvaturas del contenido espacio-temporal al que deberan acomod~rse
nuestras acciones seran sin duda alguna sensibles a nuestros rganos.
Desde el punto de vista de las relaciones entre la actividad del sujeto
y lo real y a partir de esta distincin entre el espacio fsico y el espacio
matemtico resulta que. adems de las relaciones espaciales descubiertas
gracias' a las coordinaciones de la accin, muchos conocimientos geomtricos
pueden ser sugeridos por la experiencia fsica, es decir, por una abstraccin
relativa al objeto y a las acciones particulares que sobre l se ejercen, y
no solamente en relacin con las coordinaciones generales de las acciones del
sujeto. Sin embargo, lo sorprendente radica en que la experiencia acta
por sugestin ms que por coaccin; en otros trminos, que la acomodacin
a los datos externos es ms cmoda que en el caso de una ley fsica
cualquiera puesto que podemos reconstruir por nuestra propia cuenta, lo
que esta experiencia nos propone. En un clebre pasaje, Poincar escribi:
"El nico objeto natural del pensamiento matemtico es el nmero entero.
El mundo externo nos ha impuesto lo continuo, que sin duda alguna es
el resultado de una invencin nuestra, pero forzada por el mundo externo"
(Val. Se., pg. 149). Por otra parte, creernos que lo continuo hunde en
parte sus races en la coordinacin de las acciones, ya. que si el grupo
de los desplazamientos emana de la actividad del sujeto -como admite
Poincar- no se lo puede concebir en el plano sensoriomotor sin la intervencin de la continuidad (por otra parte, la teora de la Gestalt 110S ha
enseado el carcter elemental que presenta el continuo en las "formas"
perceptuales y motrices). Sin embargo, si bien la irmula de Poincar
es demasiado restrictiva para el continuo, es vlida, en muchos otros casos:
existen muchas invenciones geomtricas que la experiencia nos ha forzado
a realizar, aunque tambin podramos haberlas producido a partir de los
esquemas relativos a la coordinacin de nuestras acciones. Simplemente
es necesario decir, en estos casos, que los descubrimientos realizados sobre
el espacio fsico han precedido a las invenciones del espacio matemtico,
240
JEAN
PIAGET
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
241
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
EL CONOCIMIENTO- i'vlATEMATICO
y LA REALIDAD
244
EL PENSAMIENTO Mt\TEMTICO
JEAN PIAGET
'H5
246
JEAN
PIAGET
misma de las figuras. Para decirlo de otra manera, desde el punto de vista
de la estructura formal, es evidente que la lgica de los matemticos griegos
es la de las proposiciones e implicaciones puramente deductivas,'; al igual
que la de los gemetras del siglo XVII (e independientemente del hecho de
que el contenido de las premisas o de los axiomas sigue siendo intuitivo,
por oposicin a la axiomatizacin contempornea). Pero todo sucede como
si, en su descubrimiento del razonamiento formal, los antiguos no hubiesen
tomado conciencia en absoluto de su carcter constructivo u operatorio,
para decirlo de otra manera, como si no hubiesen en absoluto establecido
la misma lnea de demarcacin entre el objeto y la a~tividad del sujeto
que la establecida por los fundadores de la geometra analtica o del clculo
infinitesimal, al carecer de una reflexin sobre esta actividad como tal.
Su pensamiento formal no habra alcanzado en absoluto el desarrollo
ilimitado que se hubiese podido esperar, a causa de este defecto de toma de
conciencia y, en consecuencia, debido a los lnutes impuestos por el realismo
originado en ello.
, '
Para toda la epistemologa tienen gran importancia los problemas de
la torna de conciencia del mecanismo de la construccin intelectual, y el
problema psicolgico de la delimitacin establecida por el pensamiento
espontneo entre la actividad del sujeto y su 'objeto. Si el realismo est
t~nto ms arraigado en el sentido comn que el idealismo, ello se debe,
sm duda, a mecanismos psquicos elementales cuya dilucidacin debemos
intentar. A este respecto, la experiencia histrica de los griegos constituye
un hecho crucial que se debe analizar, utilizando para ello el mayor nmero
de referencias posibles.
Ahora bien, el estudio del' desarrollo mental demuestra con toda la
claridad necesaria, no slo que la delimitacin comnmente admitida entre
el sujeto y el objeto es esencialmente variable de un nivel al otro sino
tambin que ella depende de un fenmeno constante o constantemente
renovado': la dificultad para tomar conciencia de los mecanismos internos
de la actividad intelectual, en particular cuando sta se presenta bajo formas
adquiridas recientemente.
No es necesario recordar que, a nivel perceptual y sensoriomotor, la
con~tr~ccin del objeto prctico, t~n lenta y trabajosa, supone una fase
preliminar en el transcurso de la que no existe ninguna delimitacin entre
el sujeto y. los objetos; por lo tanto, ningn objeto permanente, y, como
co~secuencla ,de ello, ningn sujeto consciente de s mismo en tanto que
sujeto: el universo, entonces, es "adualstico", corno lo seal con justeza
J. M. Baldwin, es decir que todo lo que se siente y percibe es puesto en
un solo y mismo plano, sin distincin entre un mundo, exterior y un mundo
6 Se debe sealar, sin embargo, cun a menudo. en los dilogos de Platn se
tiene la impresin de que los interlocutores' tienen un conocimiento, por as decirlo,
fresco y reciente del razonamiento formal; ello se observa, por ejemplo, a partir del
,hecho de 'que S~rates se esmera tanto en explicarles que un hermano es siempre un
hermano de alguien, o que la inteligencia no ve 'ninguna contradiccin en el hecho
de que el nmero 6 sea a la vez mayor que 4 y menor que 8.
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
247
PUF,
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
248
249
JEAN PIAGET
Lo inconmensurable 'es considerado inicialmente como ilegtimo por depender de la operacin que lo ha engendrado, despus de lo cual se convierte en legtimo cuando se lo separa de ella. Por ser inherente a la
accin del sujeto, el movimiento no pertenece al mundo de las relaciones
matemticas; las relaciones proyectivas son tambin ajenas a los entes
geomtricos, por depender de los puntos de vista que se tiene sobre el
objeto y no del objeto como tal. En resumen, en la medida en que se
perciben algunos aspectos operatorios de ia construccin intelectual, todo
lo que se "experimenta como operatorio se lo disocia del objeto y se lo
desvaloriza; por otra parte, en la medida en que esta toma de conciencia
es incompleta; el resultado de las operaciones es disociado del sujeto y
proyectado en un objeto al que se considera como subsistente en s mismo.
Este dualismo inherente a una toma de conciencia insuficiente del
carcter operatorio propio del pensamiento formal explica, entonces, tanto
el realismo esttico de la matemtica griega en su apogeo como las causas
de su declinacin final.
2.
B. LA
250
EL PENSAMIENTO
JEAN PIAGET
MATEMTICO
251
XI,
pg. 39.
252
JEAN PIAGET
cienes finitas en infinitas formuladas en el siglo XVII? Este es el interesante problema que plantea P. Boutroux y cuya solucin quisiramos
discutir brevemente.
,
Al ideal que' llarria "sintetista",' segn el que la matemtica sera as
la expresin de una construccin operatoria de .naturaleza "algebraicolgica", P. Boutroux vincula, sucesivamente, el desarrollo de los nmeros
complejos, como resultante de la combinacin formal de las operaciones
algebraicas, el descubrimiento de los grupos de sustitucin, el de las geometrias no euclidianas y, por ltimo, el movimiento logstico. Pero no considera que la culminacin histrica de estas diversas corrientes constituye un
desarrollo, sino, ms bien, una declinacin: "Para proporcionar a las teoras
matemticas una estructura slida, hemos decidido proporcionarle la forma
de sistemas lgicos; sin embargo, al comprobar que estos sistemas. son
artificiales y, por otra parte, que pueden ser diversificados hasta el infinito,
comprendemos que no constituyen ni toda la matemtica ni lo principal
de esta ciencia. Detrs de la forma lgica hay otra cosa. El pensamiento
matemtico no se limita a deducir y a construir" (pg. 170).
'
Lo que caracterizara al tercer gran perodo de la historia de la matemtica sera, segn P. Boutroux, el descubrimiento de esta otra cosa; este
per~d? se caracterizara por un "ideal" cuyos signos anunciadores pueden
'percibirse desde los comienzos del siglo XIX y cuyas manifestaciones tpicas
son. actuales. Ahora bien, la calidad "transoperatoria", si as se puede
decu:, que P. Boutroux parece acordarle a este tercer' ideal nos parece
precisamente, y por el contrario, la manifestacin ms decisiva de la
realidad de las operaciones:
.
El desarrollo de la teora de las funciones, nos dice P. Boutroux, ha
alcanzado una complejidad que desafa al anlisis algebraico (p. ej., cuando
interviene una infinidad de series convergentes) y que slo permite la
construccin "si as puede decirse, en potencia" (pg. 175). Comparada
con' la de las pocas anteriores, la matemtica de nuestro tiempo ha perdido
su bella simplicidad para comprometerse en lo imprevisto de los rodeos
y de los cambios de fronteras. Abel ya demostr la imposibilidad de
exp~e~ar las races de la ecuacin del 5~ grado en funcin algebraica de los
coel~lentes, en l? que se origin la teora de las ecuaciones formulada por
. Galo~s y el pr~plO Abel, que "se diriga en una nueva direccin y asuma
una importancia mayor que nunca", (pg. 186). De la misma forma, en el
c~mp~ . de las ecuaciones diferenciales los mtodos se multiplican y se
diversifican eh la forma menos previsible: "En un sector de la matemtica
muy alejado de las ecuaciones diferenciales se' buscar un nuevo instrumen~o de clculo: 1<1funcin automorja, [uchsiana o kleiniana", cuya existencia fue demostrada por Poincar en 1881, etc., etc. (pgs. 188-189). En
esto se originaba la idea que tena Galois sobre el trabajo de los analistas:
"no deducen: combinan, comparan; Cuando llegan a la verdad, lo hacen
por algo que los sorprendi por casualidad" (pg. 191). La verdad, entonces, es que el analista moderno tiene ms' dificultades para escoger que
para construir (pg. 192). La realidad matemtica resiste a sus esfuerzos
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
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JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
10
25:')
JEAN PIAGET
256
EL PENSAMIENTO
"
1. La solucin de H. Poincar. Desde 1894, Poincar contrapona en
los siguientes trminos la estructura del razonamiento matemtico. a la
de los razonamientos no matemticos. Estos ltimos son de dos tipos:
el silogismoyque es riguroso pero estril, ya que en sus'conclusiones descubre
slo lo que estaba incluido en sus premisas, y la induccin experimental,
que es fecunda, ya que logra descubrir nuevas conclusiones, pero no rigurosa, por ser incompleta. El razonamiento matemtico, por el contrario,
es al mismo tiempo riguroso y fecundo: las COnclusionesque obtiene son
siempre nuevas y ms ricas que las premisas y, sin embargo, son seguras
y no simplemente probables. Ello se debe a que procede por recurrencia,
de acuerdo con el principio. de induccin completa creado por Maurolico:
si una propiedad es verdadera de n =0 (o n = 1) y si se determina que
su verdad para n determina su verdad para n
1, entonces es cierta en
relacin con todos los nmeros enteros. Russell y Goblot objetaron a ello
que el razonamiento por recurrencia se basa a su vez en conceptos ms
simples. Segn Russell, deriva, en forma directa, de la definicin de los'
nmeros inductivos o enteros: la herencia que asegura la transferencia de
las propiedades de un nmero al otro traduce, de esta manera, la generalizacin de estos nmeros. Goblot, por otra parte, sostiene que el razonamiento por recurrencia supone una demostracin previa. (la de la transferencia de la verdad de la propiedad en el caso de n a su verdad para
11
1)\ Y que esta demostracin es una construccin. Poincar, sin embargo,
considera que esta intervencin de la construccin es evidente; la consideraba incluso como necesaria, aunque no como suficiente, porque adems,
luego, se deben conectar las construcciones sucesivas mediante una construccin, es decir, precisamente, mediante razonamiento por recurrencia.
Como lo dicen con justeza baval y Guilbaud, l "considera a la recurrencia
como una especie de razonamiento sobre el razonamiento, o de razonamiento en segundo grado" 13 (lo que queda incluido dentro de la frmula
que dbamos en el cap. 2, punto 9 sobre el pensamiento formal: un
Pars,
2:Yi
sistema de operaciones que se efectan sobre operaciones). El razonamiento por recurrencia es entonces una construccin operatoria ligada a
la construccin de los nmeros y reflejada luego bajo la forma de operaciones formales que permiten condensar estas construcciones en un nico
todo, sin verse obligado a rehacerlas sucesivamente para cada nuevo caso.
La fecundidad del razonamiento matemtico, en ltimo anlisis, dependera, entonces, de la intuicin del nmero puro, en tanto irreductible al
silogismo, y su rigor provendra del hecho de que las operaciones constructivas, iniciales o formalizadas, no se concatenan mediante una serie finita de
silogismos, sino mediante una infinidad de silogismos (lo que, sealan
Daval y Guilbaud, dirigindose a Goblot, no es lo mismo), es decir, nuevamente, mediante la intuicin de 'un poder de repeticin. que supera al
silogismo reducindose a la del nmero puro.
El valor. de la solucin de Poincar depende, entonces, del valor de
la hiptesis del nmero puro. Ahora bien, esta hiptesis plantea dos problemas, que corresponden, precisamente, a las dos preguntas que el problema del razonamiento matemtico recubre: el de la irreductibilidad del
nmero a la lgica y el de la naturaleza del acto mediante el que aprehendemos el nmero puro, es decir, un nmero cualquiera como producto
de la iteracin ilimitada cuyo poder posee nuestro espritu.
Ya hemos tomado posicin respecto del primer punto (vol. l, cap. I,
6): sin ser reductible a ninguno de los elementos lgicos particulares,
el nmero constituye sin embargo la sntesis, es decir que est mucho ms
prximo a ellos de lo que lo admita Poincar. Tambin es cierto qlit,
se puede considerar a las clases y las relaciones asimtricas como resultantes
de una disociacin del nmero en sus componentes, y al nmero entero
como una sntesis de las clases v de las relaciones asimtricas; en ambos
casos, sin embargo, no existe 'una intuicin del nmero radicalmente
distinta de la de las' clases o de las relaciones. Para comprender por qu
el razonamiento matemtico es ms fecundo que el silogismo, se deben
comparar entonces las clases de los nmeros o de los entes matemticos
con las de las clases y de las relaciones lgicas: ahora bien, la cuantificacin
extensiva y numrica explica por s sola esta diferencia de fecundidad en
relacin con la cuantificacin intensiva de los segundos (en relacin ron
estos tres tipos de cuantificaciones, vol. 1. cap. 1, 3): el nmero de
combinaciones es mucho mayor cuando en una serie de encajes se puede
comparar a las partes tanto entre s romo con las totalidades sucesivas
que si se consideran slo las relaciones de parte a todo. La estructura
numrica invocada por la recurrencia no tiene otro sentido. Pero el principio tambin es vlido para el razonamiento geomtrico de carcter
extensivo y por ello su fecundidad es similar.
En cuanto a la intuicin del nmero puro, como poder de representarse que "una unidad siempre se puede agregar a una coleccin de
unidades't.!" no caben dudas de que el problema que plantea es el del
esquema operatorio, Dada la operacin inicial
1, elemento del grupo
12
13
MATEMTICO
PUF,
H
JEAN
PIAGET
aditivo de los nmeros enteros, decir que tenemos la intuicin del nmero
puro equivale a afirmar que la serie de las operaciones agrupadas constituye un esquema anticipatorio y que, para aprehender su sucesin posible,
no como un todo esttico, sino como un dinamismo hecho de operaciones
virtuales, no es necesario precisar el detalle de las operaciones sucesivas.
En este sentido, la hiptesis de una intuicin del nmero puro se reduce
a la otra suposicin fundamental de Poincar que sostiene que el concepto
de grupo est presente a priori en el espritu y que, de esa manera, constituye una intuicin racional (de los desplazamientos en el caso del espacio
y de la adicin de la unidad en el del nmero): ello explica el paralelismo
entre el razonamiento geomtrico y el razonamiento analtico, sin que,
para razonar en forma rigurosa y fecunda sobre las figuras sea necesario
evocar la infinidad de los nmeros. Pero por qu hablar. de intuicin o
de a priori? Por una parte, hay construccin gentica tanto del grupo de
los nmeros como del de los desplazamientos y, por la otra, a este acto
de la inteligencia, en su ncleo operatorio ms esencial, se lo califica
entonces como intuitivo, por oposicin al desarrollo detallado 'de las operaciones particulares. En relacin con este punto, entonces, nos encontramos
en el ncleo del problema de la naturaleza de los objetos matemticos,
y llamar intuicin a esta toma de posesin de su objetividad intrnseca tiene
ms el efecto de ocultar la dificultad que de revelarnos el secreto.
2. La solucin de G. Goblot. La interpretacin del razonamiento
matemtico elaborada por Poincar tiene dos tipos de contradictores: los
logsticos y E. Goblot. En el punto 5 realizaremos un atento examen del
anlisis de los primeros, ms profundo que el de los segundos. Aqul, en
efecto, termina por sacrificar en forma deliberada la fecundidad en aras
del rigor, hasta un punto tal que en la actualidad parece pasado de moda
y que a algunos, incluso, les parece desprovisto de significacin plantear
aun el problema de la productividad del razonamiento. Pero incluso si
se postula que el problema ya no se plantea en lo que se refiere a la estructura formal de la deduccin, resurge tan pronto como se intenta determinar
~as relaciones entre esta estructura y la realidad. Por otra parte, si se
Intenta expresar una estructura como sta en trminos de operaciones,
incluso puramente proposicionales, ello basta como para que se imponga
nuevamente la diferencia entre las inferencias matemticas especficas y
la deduccin bivalente en general. Por ello debemos sealar, tambin. I~
solucin de Goblot, cuyas lagunas son instructivas en lo que se refiere
f'. las exigencias de una solucin operatoria completa: si los logsticos de
la escuela de Viena, en efecto, eliminaron la fecundidad en aras del rigor,
el esfuerzo de Goblot se realiz esencialmente en relacin con la explicacin
de la fecundidad; cabe preguntarse si, por su parte, no dej entonces
excesivamente de lado el rigor.
Deducir equivale a construir, vuelve a descubrir E. Goblot (sealando,
incluso, que este descubrimiento tiene lugar una maana de febrero de
1906, tan decisiva le parece esta iluminacin). Pero construir es: 1Q efectuar
operaciones concretas, como construcciones grficas, etc.; que, segn GobJot.
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
259
constituyen el aspecto esencial del razonamiento' 29 combinar proposiciones, en tanto que ellas traducen estas operaci~nes concretas. Cmo
e:,plicar, entonces, que la construccin sea rigurosa y no simplemente aproximada, como ocurre en el caso de las ciencias experimentales? Ello se
~e?e al hech~ de que esta construccin est regulada gracias a las propoSICIOnesantenormente aceptadas, mientras que, en la induccin, las proposiciones anteriores dejan un margen ms o menos grande de indeterminacin, que exige recurrir al control emprico. Las reglas de la construccin
no son las de la lgica, sin lo cual se debera considerar que las conclusiones
estn comprendidas de antemano en las proposiciones anteriores: las reglas
se reducen a estas proposiciones, en su contenido, y en tanto que este
contenido impone algunas condiciones restrictivas a construcciones por otra
parte nuevas.
Dos autores de talento, Daval y Guilbaud, demostraron recientemente 15 que el concepto de construccin forjado por Goblot est an
insuficientemente elaborado, y que, una vez que se lo analiza, no agrega
nada nuevo a la solucin ele Poincar, que su continuador comprende' mal.
En la teora de Poincar, en efecto. tambin interviene una construccin
operatoria inicial, fuente de razonamiento de partida, luego una especie
de razonamiento en segundo grado que generaliza esta construccin al
reflejarla. En Poincar este razonamiento en segundo grado est constituido
por el mecanismo de la recurrencia, mientras que la originalidad de la
concepcin de Goblot es la de que intenta extraer de las operaciones
primarias la explicacin del rigor que caracteriza a la deduccin: el razonamiento deductivo equivaldra, simplemente, a someter estas operaciones
a un conjunto de reglas constituidas por las "proposiciones anteriormente
admitidas". Es suficiente esta determinacin?
No le reprocharemos a Goblot el haber llamado indiferentemente
"construccin" a las operaciones concretas, efectuadas material o mentalmente, y a las proposiciones que traducen estas acciones. Como ya lo hemos
visto en el cap. 2, ambos constituyen dos niveles sucesivos del pensamiento
matemtico igualmente esenciales.l? y existe una lgica ele las operaciones
concretas al igual que una lgica proposicional. Al afirmar que la fecundidad del razonamiento matemtico depende ele la construccin de las
relaciones iniciales y no de la estructuracin de las proposiciones que
las expresan, Goblot, incluso, y en cierto sentido, coincide con algunas tesis
logsticas recientes; stas sostienen que la aritmtica y el razonamiento por
recurrencia son irreductibles al clculo ele las proposiciones v, desde este
punto de vista, recurren a un mecanismo extralgico de inf~rencia. De
. este modo, tanto la induccin completa de Poincar como las "construcciones" concretas de Goblot dependeran de la lgica de las clases, de las
15 R. Daval y G. T. Guilbaud: Le raisonnement mathmatique. Pa~s, PUF,
1945, cap. m.
16 "En matemtica, y slo en matemtica, se puede decir que la reflexin del
pensamiento sobre s mismo es una operacin matemtica" dicen a este respecto
Daval y Guilbaud (pg. 73), asercin que aceptaremos con 'la condicin de que se
le agregue la logstica.
260
JEAl\'
PIAGET
EL
+ +
PENSAMIENTO
MATEMTICO
261
4.
EL RAZONAMIENTO
MEYERSON.
262
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
terreno del pensamiento comn y real del "curso del pensamiento", lo que
requiere, inmediatamente, la verificacin gentica.
Por qu el razonamiento matemtico es al mismo tiempo riguroso y
fecundo? se pregunta, a su vez, E. Meyerson. Se puede considerar a la
matemtica como apriorstica, lo que explicara su rigor, pero el pensamiento racional bajo su forma pura y lgica .no crea nada, ya que se
reduce a la identidad: por s solo es "aquiescente". Tambin se puede
considerar que la matemtica se origina en la experiencia, lo que explicara, entonces, su fecundidad, pero contradira su rigor. De esta manera
"parece imponerse la conclusin de que en este caso no se puede invocar
ni el a priori ni el a posteriori, sino que, ms bien, debe tratarse de algo
intermedio entre ambos o, quiz, de una mezcla bastante difcil de separar
entre uno y otro" (C.P}T pg. 328).
En efecto, "el nmero es un concepto abstrado de lo real" (C. P.,
pg. 322) y la igualdad matemtica que opera en las ecuaciones no es
una pura identidad, sino una identificacin, es decir, una identidad slo
parcial (pgs. 333-335). La operacin numrica 7 5 = 12 es una sntesis, como lo entenda Kant, ya que "se ha creado algo nuevo" (pg. 335) :
se debe decir "siete y cinco hacen doce" y la expresin "hacen" designa
en realidad "un verdadero acto realizado" (pg. 336). De la misma manera, "el signo algebraico es el smbolo de una operacin, de un acto"
(pg. 338). Goblot tiene entonces razn contra Poincar en considerar,
que la operacin es el aspecto esencial del razonamiento (pgs. 339-341)
y si Bradley pudo hablar de operaciones del espritu, "la concepcin de
M. Goblot, en su vigoroso realismo, parece mucho ms satisfactoria"
(pg. 341): la misma recurre, en efecto, a acciones reales, pero imaginadas,
como los "Gedanken experimente" de Wundt y de Kroman (pgs. 343-344)
gracias a la memoria de las experiencias reales anteriores (pgs. 346-347).
Pese a que ste es el papel de lo real en la construccin del nmero
(y a fortiori es, al menos, similar en la construccin del espacio: pg. 308),
la experiencia no es lo nico que importa, muy por el contrario. En la
operacin, por activa que Meyersori la considere, "el espritu slo opera
mediante conceptos abstractos, conceptos que l crea; pero a esta operacin
slo la puede observar en lo real, tomarla de lo real, De todas formas,
la operacin lgica es la traduccin en el pensamiento de una operacin,
de un acto real, que tiene como puntos de partida, como substratos, no a
objetos reales, sino a conceptos, ideas" (C. P., pg. 349). Esta es la clave
del enigma, por paradjica que sea esta oscilacin entre lo real y el
espritu: 19 el espritu crea as conceptos abstractos "aunque, por supuesto,
mediante materiales tomados desde afuera, proporcionados por la sensacin"
(pg. 370); 29 "el intelecto posee esta curiosa aptitud (que condiciona, al
mismo tiempo, una propensin casi irresistible) a proyectar fuera de s
2, los entes creados por s mismo, .. y cambiar as en cosa reales las cosas
designaremos el Cheminemeni
de la
263
264
EL PENSAMIENTO
JEAN PIGET
l\I1.-\TEM:rXCO
26,,,)
266
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
267
son finitos y aqullos superan a este finito con todo el poder de las diversas
especies de infinitos.
Por otra parte, E. Meyerson apreci perfectamente el problema y el
. juego sutil de los conceptos "hipostasiados" en lo real, despus de haber
sido extrados de aqul; slo puede tener la significacin de explicar este
enriquecimiento de la realidad al que llega finalmente la as llamada
"abstraccin" a partir del objeto. Slo que, como, segn este autor, la
estructuracin y las relaciones nuevas que el espritu aporta a 10 real se
reducen, en definitiva, a la identidad pura y simple, mezclada con los
datos extrados del objeto, es evidente que, desde el punto de vista de
la fecundidad, este aporte es nulo y que es vlido slo desde. el punto
de vista del rigor.
'
Lo que acabamos de ver, por el contrario, lleva a admitir que en
matemtica (yen lgica, pero en un grado notablemente inferior) las
operaciones son simultneamente fuentes de novedades y de rigor, sin" que
ste ltimo se reduzca la identidad simple. Para decirlo de otra manera,
el aporte del espritu a lo real de~borda los marcos de la identificacin.
Las estructuras esenciales de! pensamiento lgico aritmtico estn constituidas por las clases, las relaciones asimtricas y los nmeros. Una clase
se caracteriza por la semejanza entre los individuos que la integran y, en
consecuencia, por sus cualidades comunes: en este aspecto acta la identificacin, fuente de la equivalencia cualitativa, etc. Lo mismo ocurre en el
caso de las relaciones simtricas, que expresan la copertenencia a una misma
clase. Pero las relaciones asimtricas, por el contrario, expresan la diferencia
ordenada entre los objetos y se las puede seriar slo gracias a estas diferencias (de tamao, de posicin, etc.). Se puede decir, acaso, que la diferencia es an un "gnero", es decir, que el espritu identifica lo comn
entre las diversas diferencias y extrae de ello el concepto de diferencia?
Sin duda que s y de este modo la diferencia se convierte en un concepto
como otros y permite definir una clase como otra: la clase de las diferencias
consideradas como elementos equivalentes entre s (como copertenecientes
a una misma clase). Pero eso no es todo: en las relaciones asimtricas y
en .las operaciones de seriacin cualitativa, la diferencia juega el mismo
papel formal que la semejanza en las clases, o las relaciones simtricas, y
en sus encajes. Los "agrupamientos" aditivos y multiplicativos de relaciones
asimtricas son, incluso, exactamente isomorfos a los "agrupamientos"
correspondientes de clases, la nica pequea diferencia es la de que en ellos
la adicin no es conmutativa debido, precisamente, a que rene diferencias
ordenadas y no semejanzas. Se puede decir, entonces, que la semejanza
expresa la actividad identificatoria del espritu, mientras que las diferencias
provienen de lo real, como resultara de la anttesis de Meyerson? Sin
embargo, para la actividad del espritu es tan importante diferenciar como
identificar, y estas dos actividades slo adquieren significacin apoyadas
una en la otra. Es evidente que ambas suponen un real a la vez unificable
y diversificable, pero una y otra son inherentes al sujeto, se ejercen paralelamente y determinan dos tipos de estructuras formales que se corresponden
trmino a trmino.
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JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO Mi\TEM."'flCO
269
EL
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PENSAMIENTO
271
MATEMTICO
JEAN PIAGET
que Meyerson, junto con todos los autores de los que nos vimos llevados
a separarnos, considera que el espritu est compuesto por sensaciones o
percepciones por un lado y por una inteligencia acabada por el otro; entre
ambos, y como mximo, una memoria y recuerdos-imgenes: de esta
manera, simplemente, se olvida la accin y la motricidad, cuyo papel
epistemolgico en la formacin del espacio, sin embargo, advirti H. Poincar. A menos que nos equivoquemos, en la obra de E. Meyerson la
motricidad est prcticamente ausente (con la excepcin de algunas observaciones en relacin con E. Bergson), mientras que examina los aspectos
ms diversos del pensamiento (incluyendo una discusin sobre la metafsica) . Ahora bien, lejos de suponer la adopcin de un pragmatismo
utilitario, del "empirismo radical" de James o del bergsonismo, la intervencin de la accin conduce a un desplazamiento de los problemas, que
se observa tambin en un plano inei ior y por ello ms fcil de analizar.
La accin es una forma de la inteligencia entre otras, y una forma que
prepara el pensamiento; en efecto, entre la perepcin y la inteligencia
reflexiva se sitan la inteligencia sensoriomotriz, la inteligencia intuitiva o
interiorizacin representativa de la accin y todo el sistema de las operaciones vinculadas con la inteligencia operatoria concreta.
Ahora bien, la situacin se simplifica en forma notable si nos ubicamos
en el terreno de la accin y, en especial, en el de la inteligencia sensoriomotriz, fuera de la cual el mecanismo de las percepciones es incomprensible. Se observa entonces que el esquema de Meyerson relativo a los
abstractos proyectados en lo real y sobre los que opera la inteligencia
corresponde a un proceso esencial (como todos los esquemas meyersonianos) ,
pero que permiten obviar la oscilacin demasiado compleja, imaginada por
el filsofo, entre lo real y el espritu.
En realidad:
19 toda accin conduce a esquematizaciones, es decir
que los movimientos y las percepciones coordinadas por ella constituyen
"esquemas sensoriornotores" susceptibles de aplicarse a nuevas situaciones;
estos esquemas son el equivalente activo de los conceptos o de los "gneros",
pero se trata de conceptos prcticos y no reflexivos; 29 sin abandonar el
terreno de la accin que se ejerce sobre el objeto, y sin necesitar entonces
localizarse en el pensamiento para ser luego proyectados en lo real, estos
esquemas estructuran los datos asimilndolos a la accin del sujeto; de
esta manera imprimen una cierta forma al objeto, lo incorporan a las
actividades propias y lo' enriquecen as con una serie de relaciones nuevas;
39 al coordinar los esquemas entre s, la accin constituye, por otra parte,
el equivalente de lo que luego estar representado por las operaciones ;
stas derivan entonces de la accin y si, como lo dice Meyerson, se ejercen
sobre gneros hipostasiados en .el objeto, y no sobre el objeto mismo, ello
se debe a que el objeto, desde un comienzo, est estructurado y completado
por la accin de la que las operaciones proceden. Meyerson 'tiene entonces
razn al considerar que el ejercicio de lo real es ms amplio de lo que lo
real comporta por s solo, pero la interaccin del sujeto y del objeto se
explica por un proceso continuo que se ejerce desde la accin ms simple
hasta la 'operacin ms formal: no es necesario entonces recurrir a \.\TI
.......v.:l.t'.L
272
JEAN
EL
PIAGET
la
philosophie
mathm
atique,
Trad. Moreau.
PENSAMIENTO
MATEMTICO
27:)
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EL PENSAMIENTO
MATEMTTCO
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JEAN PIAGET
MATEM.-\T1CO
'27i
nos limitamos a verlo o a sentirlo: vemos o tocamos slo una parte cid
objeto, la que acta como ndice del todo que se refiere as a un esquema
de conjunto construido y no dado. El "enunciado" lgico ms simple, la
proposicin ms "atmica", tal como "esto. .. rojo", etc., enuncia de este
modo una serie de acciones virtuales y no un dato perceptual. Adems,
la intuicin logstica a menudo sorprendente de Wittgensteines mucho ms
profunda que su psicologa: cuando este autor caracteriza los "enunciados" ms primitivos mediante negaciones ("no rojo", "no verde", etc.)
admite ya con ello la existencia de la construccin operatoria subyacente
a los as llamados "hechos" que estos enunciados significaran.
'Si nos referimos ahora a "enunciados" ms complejos (pese a que
caracterizan siempre "proposiciones elementales" de argumento individual,
tales como "este rbol es verde"), entra en juego una conceptualizacin
y una simbolizacin cuyo carcter psicolgicamente operatorio y no simplemente "dado" es mucho ms fcil de percibir. Comencemos por examinar el predicado: "verde" (o "blanco", etc.). En la poca en que
B. Russell era platnico, escribi que "el acto de pensamiento de 'un hombre
es necesariamente diferente del acto de pensamiento de otro hombre; el acto
de pensamiento de un hombre en un momento dado es necesariamente
diferente de) acto de pensamiento del mismo hombre en otro momento. En
consecuencia, si la blancura fuese as el pensamiento considerado como
opuesto a su sujeto, dos hombres diferentes no podran pensarla y el mismo
hombre no podra pensarla dos veces. El carcter comn de varios pensamientos diferentes de blancura es su objeto, y este objeto es diferente de
todas ellas. Los universales, de esta manera, no son pensamientos, pese a
que, cuando se los conoce, sean los objetos de los pensamientos't.F
Es
evidente que estas objeciones de Russell son irrefutables en lo que se refiere
a la blancura perceptual, que, al mismo tiempo, es incomunicable y carece
de toda conservacin o reversibilidad mentales. Pero tambin rigen en
contra de la permanencia de la blancura fsica, ya que las mismas ondas
luminosas nunca se reproducen dos veces en las mismas circunstancias.
"Pensar" la blancura o el verdor, etc., es, entonces, construir un concepto:
si se lo pretende estable y susceptible de articularse en "enunciados"
lgicos, debemos recurrir entonces al platonismo, a la inteligencia divina, etc., si no, si no se es metafsico, reconocer al pensamiento el poder
de conservar sus ideas mediante operaciones reversibles e intercambiarlas
por co-operacin social, ('5 decir, nuevamente, mediante operaciones ITVe!sibles, pero con correspondencias interindividuales, Slo en este raso ("
enunciado "este rbol es verde" tendr alguna significacin logstica.
En lo que se refiere !tI tema o argumento de la proposicin, es evidente
que si se le atribuye a un objeto la cualidad de ser un "rbol", se lo
incorpora tambin a un esquema operacional fuera del cual el enunciado
pierde toda significacin. Designemos como f (a) la proposicin "este
rbol (a) es verde (f)". Ahora bien, ms an que la estabilidad del
predicado (f), la designacin del argumento (a) supone una construccin,
22
Les problmes de la philosophie, op, cit., pgs. 106-107. Vase nota 20.
278
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280
.lEAN
PIAGET
epistemolgica de la tautologa general, caracterstica de las "sintaxis" lgicomatemticas, supone, en efecto, como mnimo, la reduccin posible de
Jodos los procedimientos de inferencia o de razonamiento al esquema puramente lgico del clculo proposicional. Supone como mnimo la posibilidad
de reconstruir la matemtica como sistema formal nico. Ahora bien, los
trabajos del tercer perodo, en particular de Hilbert y de Goedel, cuyas
repercusiones examinaremos a continuacin, cuestionan precisamente esta
unicidad.
Hf , El tercer perodo de la logstica seala una renovacin tanto
desde el punto de vista de la reduccin de la matemtica a la lgica como
e~ lo que se refiere a sus naturalezas tautolgicas o no. Los trabajos de
Hilbert sobre la axiomatizacin de la aritmtica la preanunciaron y una
cnSIS propiamente dicha se produjo en 1929 con los descubrimientos de
Goedel; ella oblig a los antiguos miembros del crculo de Viena a atenuar
su posicin hasta convertir la lgica en una sintaxis de todas las sintaxis
(como lo sostiene en la actualidad Carnap), por oposicin a la lengua
elemental en cuyo nombre se esperaba, en un primer momento, suprimir
los problemas y "cerrar" las axiomticas.
Despus de demostrar la no contradiccin de la geometra, apoyndose
en la de la aritmtica, Hilbert intent demostrar desde 1904 la no contradiccin de la aritmtica. Las resistencias que encontr sin embargo lo
Il~varon a modificar la posicin inicial de Russell de;arrollada p~r' los
VIenesesen dos puntos: (1) En primer lugar; renunci rpidamente a una
reduccin pura y simple de la matemtica a la lgica; por el eontrario,
pasando de la lgica a la aritmtica y de sta al anlisis, introdujo, en
cada caso, nuevas variables y nuevos axiomas. Para formalizar la aritrn~ica, utiliza por. ejemplo el clculo de las proposiciones, los axiomas de la
Ig~aldad, 10s.axIOmasde recurrencia para la adicin y la multiplicacin y un
axioma prximo al "axioma de eleccin". Ya no se produce entonces una
reduccin de lo superior a lo inferior, por ejemplo del nmero a la clase
o d~l raz?namiento por recurrencia a encadenamientos puramente lgicos
de inclusiones o de relaciones asimtricas: se produce por el contrario,
una subordinacin de la matemtica simple a la "metamatemtica" o sea
a ~~a disciplina que reconstruye en forma simultnea la lgica y la' matem~tIca y cuyo ~bJeto es el de demostrar la no contradiccin y el cumplmiento ?e.los ~xlOmasde la matemtica formalizada. (2) En segundo lugar,
y a fortiori, ~I~bert renuncia a toda interpretacin tautolgica de la lgica y
de la matemtica y se encuentra a pesar suvo en cierta forma enfrentado
nuevamente con el problema de la fecundid~d. En efecto, los ~res criteri.os
que asigna a toda axiomtica acabada son la independencia de los axiomas
su no contradiccin y la saturacin, es decir, la posibilidad de demostrar
todas las consecuencias que se pueden extraer de ellos. Ahora bien se
~(;mprob que la independencia de l~s axiomas era tan grande ~ue,
incluso en el terreno de la aritmtica pura, no lozr demostrar ni la no
cont~adiccin n.i la saturacin. Es suficiente sealar que, en el terreno
propiamente axiomtico, no se podra ya hablar legtimamente de la natu-
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
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282
EL PENSAMIENTO
.lEAN PTAGET
Ahora bien, estos desarrollos de la metamatemtica hilbertiana presentan muchas enseanzas lgicas y epistemolgicas. El hecho de que no
se pueda demostrar la no contradiccin de la aritmtica aplicando el
criterio clsico (p. = O) sin apoyarse en un orden de verdades superior
a la aritmtica (y que en consecuencia la supone) prueba sin duda la
insuficiente coherencia de la matemtica 0, si no, la insuficiencia de los
procedimientos con que cuenta actualmente la formalizacin logstica.
Ahora bien, llama mucho la atencin que, pese a que en la actualidad es
imposible reducirla a un sistema formal nico nadie cuestiona la coherencia
interna de la matemtica. Se debe proceder a perfeccionar la lgica, ya
que no se puede demostrar la no contradiccin de los sistemas operatorios
caractersticos de la aritmtica mediante sistemas operatorios que caracterizan slo la lgica clsica.
Este reajuste de la lgica ya se ha iniciado y se lo puede considerar
de tres maneras que, por otra parte, quiz confluyan en algn momento.
En primer lugar, se ha intentado considerar a 18 lgica clsica, que es
bivalente, como un simple caso particular de lgicas ms generales de tres
valores (por admisin de un tercero no excluido), de cuatro valores o
incluso de una infinidad de valores: el esfuerzo de extensin se realiza
Entonces sobre el principio del tercero excluido hasta convertirlo en un
principio del n? excluido, con la idea ms o menos explcita de llegar as
2 una. lgica del infinito ms adaptada a la matemtica que la de los
conjuntos finitos. En segundo lugar, se pueden perfeccionar las metateoras
hasta construir sistemas formales que imitan con precisin cada vez mayor
las teoras matemticas, procedimiento que, al fin de cuentas, tiende a
convertir la matemtica en su propia lgica. Por ltimo se podra -pero
al parecer no se ha intentado esta tercera solucin- ampliar el principio
de la no contradiccin: por qu la expresin p . = 0, que se basa en la
simple complementariedad de p y de en el universo del discurso, no basta
para asegurar la no contradiccin de la aritmtica? Se deber acaso a que
un sistema de encajes susceptibles de permitir una induccin completa y
que se basan en los grupos y el cuerpo de los nmeros reales no puede
ser encerrado en un sistema de encajes simplemente intensivos es decir
definidos por puras complementaridades? Estas tres soluciones' equivale~
as .a sUI;leraren tres modos diferentes el marco de la lgica bivalente, dada
su insuficiencia para absorber la matemtica o, incluso, cuando las estructuras lgicas y matemticas estn simplemente intrincadas unas con otras,
para proporcionar el criterio de la no contradiccin del mixto as constituido.
MATEMTICO
283
es
284
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EL PENSAMIENTO MATEMkrrco
z;
(l)p.p=o
(3)
P'=z.p
=z
(2)
P vp
(4)
p=;:,.p
286
JEAN PIAGET
EL PENSAMIENTO
-_._;--
p .q.
rr--:
-.
'bT:o~ el contrario, si la no contradiccin en general se reduce a la reverSI 11 a en general, cada conjunto de grupos integra su no contradiccin
y com~ort~ ,su. criterio especfico de contradiccin, en relacin con la
O?~raCIOnidntica ,d~l sistema. Tambin desde este punto de vista, la
lgica de la matematlca se reduce a las estructuras matemticas. ,
.
'bIIV.fAhora bien, a partir de las consideraciones que preceden es
pOSITe ormular una in terpre taci
, dI'
acion
e razonamiento matemtico que
c~nclle .su fecundidad y su rigor, y que lo distinga tambin del razonamiento SImplemente lgico,
lgico va
es f
do, puesto que dos operaciones
.
, . El razonamiento
l'
,ecun
1ogIcas
cua esquiera que s
'
.
id
e componen entre SI dan una nueva operacin
no conten a en los compone t
S
.
ella af'
,n es. ea por ejemplo la conjuncin (p. q) :
u dIrI~a, slmplement~, la ;erdad de algunas combinaciones de valores
q -=- a. rniten e~ forma SImultanea p verdadero y q verdadero (por ejemplo
P- - x es mamlfero
y q -- .\' es ver te bra d)o. S'1, por otra parte, afirmamos
..
(p.
q),
admitirnos la conjuncin posible de q con no p (
.
1 .
.
'.
por eJemp o SI
;\ es paJaro es a la vez no mamfero y vertebrado sea
q) Ah
b'
la reunin de (P)
-.
,.
L'
ora len,
,
. q y d:_ P . q bajo la forma [(p. q) v (p . q) J contiene
~:su~~e (p. q) y qu~ (f: q) considerados por separado: esta reuruon
me~te d:a'lae~e:J:~to, ~lgIlllC~que q puede ser afirmado independientede - -.
,o
e.la falsedad de p. Agreguemos tambin la verdad
p . q (m mamfero m vertebrado) y neguemos la de p . (mamfero
y no vertebrado): esta reunin [(p
q) v (-p' q) v (-p '-q) JI'
,
de ( . "
....
con .exc USlOn
p . q). ,slgmlca, entonces, que p supone q (sea p ;;:;:,q), es decir, afirma
u~a .rel~clOn esencial entre..!. 2:' q no contenida ni en (p. q) ni en (p. q)
nI; .slqudleraen [(p. q) v (p . q) J. De esta manera la fecundidad de l~
cglca epende de
. .
,
.,
, . sus compOSICIOnes
operatorias que supone toda deducnon, por tautologlca que sea en apariencia.
MATEiYI.~TICO
287
29 Este hecho confluye con el esfuerzo de las lgicas actuales llamadas dialcticas para superar el punto de vista de la identidad o de la no contradiccin simples
en beneficio de las transformaciones con un sistema de conjunto.
288
JEAN
EL PENSAMIENTO
MATEIIL:nco
PIAGET
1438.
289
EL
290
PENSAMIENTO
MATEMTICO
291
JEAN PlAGET
superior, por ejemplo topologa de las transformaciones topolgicas (fundamentales, en forma general, en la teora de los grupos). Tres especies de
momentos dialcticos... la necesidad del surgimiento de un objeto no es
nunca aprehensible, salvo a travs de la comprobacin de un xito; la
existencia en el campo temtico tiene sentido slo como correlato de un
acto efectivo" (pg. 177).
"En cuanto al motor del proceso, parece escapar a toda investigacin.
Este es e! sentido pleno de la experiencia, dilogo entre la actividad
consciente como poder de intentos sometidos a condiciones y estas condiciones mismas" (pg. 178). "El campo temtico, de esta manera, no
est situado fuera del mundo sino que es una transformacin de ste:
el pensamiento efectivo (que exige una conciencia ms completa) de las
cosas es pe.nsamiento de sus objetos (el pensamiento adecuado de una
pluralidad es pensamiento de su nmero). Si queda un elemento de incertidumbre imposible de eliminar ... , su accin no lleva hacia atrs; los gestos
realizados en forma efectiva siguen siendo vlidos (validez definitiva de
los enunciados), sino hacia adelante, para una transformacin de lo que
se plantea (modificacin de los conceptos)" (pg. 179).
.
Se puede observar que esta tesis converge en alto grado con la posicin
gentica. Hay slo un punto en el que podramos invocar los hechos
contra Cavaills, aunque en su favor: si en presencia de su contador el
nio ya es matemtico, ello se debe a que simultneamente construye el
nmero y la lgica entera, puesto que su campo temtico es ya la .transformacin de un mundo. "N o se observa ninguna causa, escriba Frankel
en 1928, que explique por qu las leyes de la aritmtica formal deberan
corresponder exactamente ja las experiencias del nio ante su contador"
(pg. 168). La respuesta a este problema no slo se debe buscar en el
desarrollo de la historia operatoria de los niveles superiores: se la puede
hallar a partir del anlisis de las formas ms simples de la actividad. El
nico mtodo matemtico verdadero es, aS, el propio mtodo gentico.
Ahora bien, por platnico que se considere, A. Lautman no se opone
en absoluto a este genetismo operatorio de Cavaills, a la manera en la
que Russell (en la poca en que crea en los universales) por ejemplo,
difera de Brunschvicg: al reconocimiento del devenir de la conciencia
-concebido nuevamente como una gnesis esencialmente operatoriale agrega, simplemente, el anlisis de las formas de equilibrio; es al no
poder situar estas ltimas en la interpretacin del desarrollo que las basa
en una especie de devenir suprahistrico, en lugar de buscar su explicacin en el mecanismo del proceso gentico, hasta sus races propiamente
infrahistricas.
El desarrollo de la matemtica seala la existencia de una cierta realidad (pg. 7) y Brunschvicg, ms que cualquier otro autor, desarroll la
idea de que esta "objetividad ... se deba la inteligencia en su esfuerzo
por vencer resistencias que le opone la materia sobre la que trabaja"
292
EL PENSAMIENTO M/\TEM!\TlC0
JEAN PIAGET
29~
desde otros campos, pierde 511 limpidez racional" (pg. 29). Esta "solidaridad riel todo yde sus partes" se observa en especial en los conceptos de grupo
y de cuerpo :{2: "al proporcionarnos los axiomas a los que obedecen los
elementos de un grupo o de un cuerpo nos proporcionamos con ello la
totalidad a menudo infinita de los elementos del grupo o del cuerpo".:l:{
Existe en este caso una verdadera "implicacin del todo en la parte"
(pg. 30).
Ahora bien, este papel fundamental de las totalidades operatorias
(as como la distincin entre las "propiedades intrnsecas" de un ente matemtico y las "propiedades inducidas" a partir del sistema ambiente)
renueva el problema de las relaciones entre la lgica y la matemtica y
permite superar, en forma definitiva, el logicismo. "Los lgicos han pretendido siempre (desde el descubrimiento de las paradojas russellianas)
prohibir las definiciones no predicativas, es decir, aquellas en las que las
propiedades de un elemento son solidarias del conjunto al que pertenece.
Los matemticos no han admitido. nunca la legitimidad de esta prohibicin,
mostrando, a justo ttulo, la necesidad de recurrir, en algunos casos y para
definir algunos elementos de un conjunto, a propiedades globales de este
conjunto" (pg. 39). La lgica, "en efecto, es slo una disciplina matemtica entre. otras y se pueden comparar las gnesis que se manifiestan en
ella con las que observamos en otros campos" (pg. 83).
La relacin entre la lgica y la matemtica asume mayor precisin,
en especial, en el proceso que Lautman designa como "el ascenso hacia el
absoluto" (cap. 3) despus de haberlo anunciado mediante la expresin ms
precisa: "el ascenso hacia su cumplimiento" (pg. 14). Por ejemplo, en
el orden de los grupos algebraicos de Galois. se trata del hecho de que la
"imperfeccin" de un elemento de base, en relacin con el cuerpo dado,
se refiere necesariamente a la estructura de conjunto que es la nica. Ahora
bien, slo estos "intentos de organizacin estructural...
confieren a los
entes matemticos un movimiento hacia la realizacin que permite decir
que ellos existen. Esta existencia, sin embargo, no se manifiesta slo en el
hecho de que la estructura de estos entes imita la, estructuras ideales con
las que se las puede comparar; se pueden comprobar algunos casos en que el
cumplimiento de un ente es al mismo tiempo gnesis de otros entes; stas
son relaciones lgicas entre la esencia y la existencia en las que se inscribe
el esquema de creaciones nuevas" (pg. 80). De este modo, "las teoras
matemticas se desarrollan por su propia fuerza, en una intima solidaridad
recproca y sin referencia alguna a las Ideas que su movimiento aproxima"
(pg. 139). En efecto, "los esquemas lgicos que hemos descripto no son
anteriores a su realizacin en el seno de una teora" (pg. 149). "El destino
del problema de las relaciones del todo y de la parte, de la reduccin de las
propiedades extrnsecas en propiedades intrnsecas, del ascenso en la direccin del cumplimiento, la constitucin de nuevos esquemas de gnesis
dependen del progreso de la matemtica; el filsofo no tiene por qu
32
3S
JEAN "PIAGET
EL PENSAMIENTO MATEMTICO
elaborar leyes ni prever una evolucin futura" (pg. 149). "Todo int:~to
lgico que pretendiera dominar a priori los desarrollos de la, ~atematlca
desconoce entonces la naturaleza esencial de la verdad matemtica, ya que
sta se relaciona con la actividad creadora del espritu y participa de su
carcter temporal" (pg. 147).
De esta manera, se puede aceptar slo un a priori: "n?~ referimos a
la posibilidad de investigar acerca de un modo de conexlOn. entre dos
ideas y describir fenomenolgicamente esta intencin, independientemente
del hecho de que la conexin buscada sea o no operable" (p?.l ~9) .
Pero en relacin con este aspecto existe una realidad o una o~JetlvIdad
matemtica que trasciende al tiempo y al movimiento. En esta tesis general
Lautman coincide con P. Boutroux, pero sin embargo se separa de l en el
punto esencial relacionado con el hecho de que "el problema de la reali~ad
matemtica no se plantea ni a nivel de los hechos ni en el de los entes, SIlla
en el de las teoras. En este nivel, la naturaleza de lo real se desdobla"
(pgs. 146-147) en un m~vimi~nto caracterstico ~~ las teoras y en cone~i~nes de ideas que se encarnan en ellas. Pero, repitmoslo, esta encarnacin
no se origina en una preformacin.
En este aspecto el platonismo de Lautman, que en cierto modo ~s
dinmico o dialctico adquiere mayor precisin: "ms all de las condiciones temporales de \a actividad matemtica, pero en el propio seno d.e
esta actividad, aparecen los contornos de una realidad idea~ que es don~lnante en relacin con una materia matemtica que ella anima y que, sin
embargo, sin esta materia, no podra revelar toda la riqueza de su pod~r
formador" (pg. 150). Esta realidad ideal, por su parte, n~ sena sin
embargo la sede de una progresin sin fin: "La metamatemtlca que se
encarna en la generacin de las ideas y de los nmeros no podra proporcionarse a su vez una metamatemtica; la regresin se detiene a partir del
momento en el que el espritu elabora los esquemas de acuerdo con los
cuales se constituye la dialctica" (pg. 153).
294
7.
CONCLUSIONES:
De no ser por esta posicin final, aceptaramos en forma total el n~oplatonismo aparente de Lautman, ya que no slo presenta pocas contradicciones con el genetismo operatorio, sino que tambin, adems es complementario de la idea de construccin temporal. Es evidente, en efecto, que
todo anlisis gentico o histrico-crtico revela una continua dualidad de
planos, sobre la qu~ hemos insistido desde un comienzo (vase introd.,
punto 5), y tanto en relacin con el espacio como con el nme~o.: ~l
desarrollo real o temporal de las operaciones y las formas de equilibrio
hacia las que l tiende; este equilibrio engloba un conjunto c~~a vez s
rico de transformaciones virtuales. Si se respetan las dos condiciones senaladas por el propio Lautman: ni a priori estructural ni exterioridad. del
ideal en relacin con- el desarrollo real, poco importa que esta reahdad
ideal, implicada en todo equilibrio operatorio, sea descripta en el lenguaje
del platonismo.
En especial, es notable observar que la argumentacin de Lautman
traduce, en otro lenguaje; lo que siempre hemos observado en la gnesis,
n:
296
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PIAGET
EL
FENSAMIENTn
MATEMTICO
297
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EL PENSAMIENTO MATEMTICO
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JEAN
l'fAGET
EL
PENSAMIENTO
'MATEMTICO
:ml
EL
PENSAMIENTO
MATEMTICO
303
.lEAN PIAGE1'
o 6 (A)
6 (B)
6 (C), el sujeto, simplemente, descubre que sus acciones
de contar (1, 2, ... 6), o de poner en correspondencia, etc., enriquecen
los objetos con relaciones nuevas, a las que ellos se prestan; tambin, que
stas relaciones pueden ser conservadas e incluso compuestas en forma transitiva, independientemente de los desplazamientos: de este modo, la experiencia conduce al sujeto a disociar la coordinacin de sus acciones de las
propiedades fsicas del objeto, mientras que, al imprimir un rpido movimiento de rotacin a una masa de dimensiones medias, descubrira un efecto
fsico originado en el objeto. como tal. Del mismo modo, al hacer girar,
sucesivamente, en 1800 detrs de una pantalla una varilla de hierro que
atraviesa tres objetos A, B Y C, el nio, antes de deducirlo, descubre que el
orden directo ABC se invierte en CBA, que el orden CBA se invierte a
su vez en ABC, y sobre todo, que si A y C se encuentran, alternativamente,
en primer lugar, nunca sucede)o mismo con B. As, una vez ms la experiencia le ensea al sujeto resultados que a partir d~ los 7-8 aos deduc'ir
bajo la siguiente forma operatoria: la inversin de la operacin inversa
conduce necesariamente a la obtencin de la operacin directa, y, si B est
situado entre A y C, tambin lo est, necesariamente, entre C y A. Sin
embargo, y tambin en este punto, la experiencia se relaciona en menor
grado con lo real que con la coordinacin de las acciones del sujeto, ya
que esta coordinacin agreg algo a los objetos: la composicin reversible;
lo real, en efecto, tal como lo seal Duhem, no es reversible sino tan slo
revertible, y nunca es necesario sino que est determinado slo en grados
diversos. Para enderezar una varilla, se .requiere la intervencin de fuerzas,
experimentar un ligero cambio de temperatura (tal que una parte de la
energa se disip en calor), etc., pero la experiencia no se efectu en relacin con esos aspectos fsicos, parcialmente irreversibles: ella tuvo como'
objeto la coordinacin reversible de las acciones del sujeto, a la que lo real
en sus grandes lneas se prest, con la condicin de no ser demasiado
exigente; esta coordinacin engendr ia necesidad de las relaciones construidas por ella, ya que nada es menos necesario que la cohesin molecular
de slidos que rodean una varilla metlica. Tambin en este punto, entonces,
las operaciones constituyen un esquema de asimilacin acomodado con
bastante. exactitud a lo real, en una cierta escala, pero que no proviene
de l. Y a ello se debe que la accin material sea luego innecesaria para
el mecanismo operatorio que funcionar, con mucha mayor precisin,
. simblicamente y en pensamiento.
.
Sin embargo, todos los epistemlogos que reducen el conocimiento a
los dos polos del pensamiento y de la sensacin, respondern que la accin
es exterior al pensamiento y pertenece ya a la realidad exterior: la accin,
se suele decir, es un dato de la experiencia ajeno al pensamiento reflexivo
y que se conoce slo gracias a las sensaciones internas o musculares, es decir
que reposan, como la pura experiencia fsica, en puras sensaciones. En este
punto, efectivamente, reside el nudo del problema. Si se descuida el papel
esencialmente simblico de las sensaciones, as como la continuidad entre
los movimientos del organismo y las operaciones del pensamiento, es obvio
que la accion se debe situar en la realidad experimental y que la matemtica proviene en parte de esta realidad; por el contrario, si se considera
que la accin sensoriomotriz es el punto de partida del pensamiento y se
distingue el movimiento de su significante simblico constituido por la
sensacin cinestsica, poco importa que conozcamos subjetivamente nuestros movimientos y su coordinacin (del mismo modo que de nada sirve
introspeccionar el mecanismo psicolgico de la inteligencia lgica para
regular su correcto funcionamiento, y el mismo permanece en parte
"inconsciente"): la accin, entonces, es la expresin del sujeto cognoscente
y no de las realidades exteriores al pensamiento, y la operacin matemtica
es un esquema' de asimilacin activa acomodado simplemente a lo real y
no extrado de l.
En resumen, en su origen los esquemas coordinadores de acciones son
suficientes como para engendrar las operaciones lgicas y matemticas, sin
tomar su material del objeto. Sin embargo, son acomodados constantemente a lo real, aunque a travs de una acomodacin activa y no pasiva,
es decir que completan la realidad fsica al proporcionarle un sistema de
relaciones que concuerdan con ella sin ser extrados de la misma. Si ello
es as, se debe a que las operaciones lgico-matemticas actan sobre lo
real sin transformar el estado de los objetos, ya que se limitan a las modificaciones (reales o virtuaies) de posicin o de unin, y son independientes
de las acciones fsicas en juego, simplemente coordinadas mediante tales
operaciones y que no son solidarias de esta coordinacin.
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mero entero, por su parte, ha sido abstrado del mismo modo de las clases
y relaciones reunidas y los tres han sido construidos tambin en forma
similar a partir de elementos sensoriornotores. Sera entonces absurdo considerar que el nmero complejo (a
bi) se encuentra preformado en los
ejercicios reflejos de un recin nacido; sin embargo, un proceso continuo
de abstraccin reflexiva y de construccin operatoria vincula las coordinaciones motrices iniciales con las estructuraciones lgico-matemticas superiores. Por otra parte, lo que en este campo del anlisis y del nmero
parece paradjico se acepta con mucha mayor facilidad en el terreno del
espacio; en ste las generalizaciones no euclidianas y la multiplicacin de las
dimensiones deben ser situadas, sin duda, en la prolongacin de la organizacin sensoriomotriz inicial. No' por ello se debe considerar que los,hiperespacios estn preformados en los movimientos y las percepciones del feto.
En resumen, la construccin inagotablemente fecunda de la matemtica se basa en un doble movimiento de generalizacin operatoria que
crea las nuevas estructuras mediante elementos anteriores, y de reflexin
o de diferenciacin que extrae estos elementos del funcionamiento caracterstico de los niveles inferiores. Rudimentarias y aproximativas en su punto
de partida, las coordinaciones prcticas que se encuentran en el origen del
pensamiento se continan, de este modo, en coordinaciones cada vez mejor
formalizadas y cada vez ms abstractas; en efecto, la abstraccin que las
caracteriza es una abstraccin a partir de las operaciones e incluso de las
acciones anteriores y no a partir del objeto. De todos modos, y como es
natural, las primeras coordinaciones se estructuran siempre a partir de una
accin sobre el objeto y este progreso, tanto reflexivo como generalizador,
no se realiza en virtud de un desarrollo inevitable o de una sucesin de
actos gratuitos. Los actos gratuitos se hacen posibles slo una vez constituida la ciencia. Y tambin, en la historia de la matemtica, se produjeron
una gran cantidad de descubrimientos que se realizaron en funcin de los
problemas concretos planteados al matemtico por la experiencia fsica o
incluso qumica, biolgica y econmica. Es esa conexin tan frecuente entre
las nuevas coordinaciones y la accin experimental la que proporciona
la ilusin de que las estructuras matemticas consisten en modelos simplificados o esquemas de una realidad dada; en ciertos casos, efectivamente,
la teora es edificada con el objetivo preciso de construir tales esquemas.
Sin embargo, el hecho de que una coordinacin intelectual vincule siempre
entre s acciones reales o posibles no quiere decir que la coordinacin haya
sido extrada de la experiencia; lo que hemos dicho (en 1) en relacin
con la gnesis de los entes matemticos elementales tiene vigencia, a fortiori,
en el caso de los esquemas superiores. Cuando el matemtico encara un
problema de fsica y se esfuerza por hallar un instrumento operatorio que
se adapte a las transformaciones de lo real de modo tal que constituya al
parecer una copia de l, acta del mismo modo en que lo hace el
pintor o el msico al tomar su inspiracin de la realidad: sta, como se
suele decir) "le da ideas") pero, por realista que sea, l toma de ella slo
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la realidad material, un proceso esencial, sobre el que insistiremos a procialrnente cerrado y continuo; ello determina la abstraccin reflexiva o
regresiva caracterstica de toda construccin operatoria. Por otra parte,
cerno el equilibrio entre la asimilacin y la acomodacin es la fuente de la
reversibilidad mental, la construccin, bajo su aspecto progresivo, es dirigida
as por esta exigencia de reversibilidad, condicin general de todo equilibrio
y conexin permanente entre el punto de llegada de las construcciones y
su punto de partida comn y que se aleja sin cesar.
En resumen, e! problema del contacto entre la matemtica y lo real es
susceptible as de una solucin que conectara su "objetividad intrnseca"
con la objetividad fsica o extrnseca, pero por intermedio de las coordinaciones psicofisiolgicasinteriores al sujeto. Como lo hemos visto (punto 2
de este captulo) la aceptacin total de este concepto de objetividad intrnseca no se contradice en nada con la interpretacin operatoria de la
matemtica. U-na operacin no es una accin aislada y- arbitraria, que
seale simplemente la actividad combinatoria del sujeto individual, sino
que est siempre conectada con un sistema de conjunto que posee, entonces,
sus propias leyes y su objetividad como sistema. Explicar e! desarrollo de la
matemtica mediante esquemas de accin que se prolongan en sistemas
operatorios equivale, aS, a respetar hasta sus lmites extremos la coherencia
interna de los principios y de los teoremas de todos los sectores de la
matemtica. Al mismo tiempo, sin embargo, consiste en conectar esta objetividad intrnseca con un principio de equilibrio, es decir, de reversibilidad,
que puede vincular la evolucin de las operaciones concretas y abstractas
al desarrollo mental mismo, que se caracteriza, en cada una de sus fases,
por un pasaje de la irreversibilidad a la reversibilidad.
III. Pero, para situar en su verdadera perspectiva esta interpretacin
de las conexiones entre la matemtica y lo real, por intermedio de las
estructuras psicobiolgicas del sujeto mismo, es necesario dejar de lado,
en forma simultnea, tres tipos de realismos posibles, matemtico, fsico
y fisiolgico, quizs incompatibles entre s, pero que, por su accin alternada,
deforman en gran medida toda interpretacin de conjunto. Para concluir,
conviene, entonces, ubicarse. en e! crculo de las ciencias, que, en el transcurso de los prximos volmenes, seguiremos analizando en los terrenos
fsicos y biolgicos.
Qu se pretende decir, en primer lugar, cuando se afirma la concordancia entre la matemtica y la realidad fsica? Con esta afirmacin se
pretende expresar el hecho de que las acciones relacionadas con los cambios
de posicin de los objetos o sobre sus uniones pueden componerse entre s,
sin que sus composiciones sean contradichas por las comprobaciones experimentales; tambin, que las acciones relacionadas con los cambios de estado
de los objetos' pueden, a su vez, ser puestas en correspondencia con las
operaciones de desplazamiento o de unin. Ahora bien, lo importante
reside en e! hecho de que la realizacin de este acuerdo, cuyo carcter de
ms en ms anticipa torio acabamos de recordar, se acompaa siempre
con una transformacin de lo real. En efecto, en el caso' de estas convergencias obtenidas a posteriori tarde o temprano, se produce en relacin con
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o bien esta forma de reversibilidad parecer estar preparada por los procesos
vitales ms generales, o bien, por el contrario, se presentar como una forma
de equilibrio particular entre el organismo y el medio, imposible de alcanzar
en ciertos sectores, aunque realizada por las coordinaciones cognitivas. En
Este ltimo caso, stas no seran menos solidarias de las coordinaciones
orgnicas, que las que representaran un nivel superior de equilibrio. En
ambos casos entonces cabe preguntarse si las estructuras operatorias ms
generales
estn con'dicionadas"por ciertas necesidades funcionales propi~s
de toda organizacin viviente. Los encajes y las seriacioncs, las composiciones o coordinaciones, los rodeos y retornos, etc., aunque estructurados
en forma diferente en los diversos niveles del desarrollo mental, no por ello
expresan en menor grado caracteres comunes a todos los modos de funcionamiento asimilatorio: toda asimilacin supone la conservacin de un ciclo
que se cierra sin cesar sobre s mismo; es probable que de este funcionamiento caracterstico de la vida dependa el secreto de la construccin
indefin'ida de [os esquemas ment~les y finalmente lgico-matemticos,
en
relacin con los que el propio Lautman seal el parentesco con los conceptos de totalidad orgnica.
nC:
Mediante estas observaciones no pretendemos resolver el menor problema positivo, sino mostrar, simplemente, una parte del programa que
se debe cumplir antes de que la epistemologa pueda tomar partido en lo
que se refiere a las relaciones entre el sujeto y el objeto, cuando estas
relaciones son interiores al organismo y no slo dadas en la accin exterior
de cada sujeto. A este respecto, para tratar las relaciones entre el sujeto
y el objeto sera tan indispensable conocer la relaci~n e.ntre un act? de
comprensin inteligente, caracterizada por sus combinaciones reversibles,
los mecanismos nerviosos del cerebro y los procesos fsico-qumicos o incluso
microfsicos que se .desarrollan en la sustancia cerebral, como la relacin
entre el acto de inteligencia y el objeto exterior al organismo sobre el que se
efecta.
Pese a que nuestros conocimientos sobre las relaciones entre las estructuras intelectuales v la vida son an rudimentarios, sobre todo en lo que
concierne a las estructuras lgico-matemticas, existen pese a ello, algunos
hechos, ya analizados, que incitan a la reflexin. De este modo, la psicologa humana realiza un gran esfuerzo para reducir los elementos del espacio.
del nmero o de las clases v de las relaciones a las conductas sensoriomotrices del primer ao o a las 'estructuras perceptuales, etc. Sin embargo, estas
conductas sensoriomotrices, por su parte, estn precedidas por montajes
hereditarios o reflejos cuvas manifestaciones son integradas con rapidez
en el hombre en las construcciones adquiridas, pero que' se desarrollan bajo
una forma ms pura y rica en el instinto animal. Ahora bien, sera necesario elaborar una geometra y un anlisis lgico-aritmtico de las conductas
y de las construcciones instintivas. Desde la cera de un panal, las figuras
mltiples de una tela de araa y las relaciones de orden, hasta los encajes
de esquemas de accin y las cuantificaciones que supone la sucesin de
las conductas reflejas que caracterizan a todos los instintos constructores, se
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-=
nuestras acciones) .
. .
' .
El anlisis que hemos intentado sobre el conOCimiento matemtico, en
esta primera parte de nuestra obra, requiere entonces, co~o complem;~to
indispensable, un estudio de las relaciones entre el pen~amle~to ~atematlco
y el conocimiento fsico (vol. 11~, pero ta~~i~ una lDvestlgaclOn sobre el
alcance epistemolgico del conocimiento biolgico (tercera parte, vol. IlI).'
antes de poder examinar, nuevamente, los problemas especllcos del conocmiento psicosociolgico (cuarta parte, vol. lII).
DE PSICOLOGIA EVOLUTIVA
BIBLIOTECA
(Continw:cin de la pgina 2)
Voiumen 13
RUTH FRIDMAN
LOS COMIENZOS DE LA CONDUCTA
MUSICAL
Volumen 14
Volumen 18
Leox RAPPOPOIIT
LA PERSONALIDAD DESDE
13 A LOS 25 AOS
El adolescente y el jOV<'1l
LOS
HAROLD GEIST
PSICOLOGIA y PSICOPATOLOGIA
DEL ENVEJECIMIENTO
Volumen 15
G. D. WINTER y E. M. Nu~~ (comps.)
ADOLESCENCIA y APRENDIZAJE
Volumen 19
Lzox RAPl'oPol\T
LA PERSONALIDAD DESDE LOS
26 AOS HASTA LA ANCIANIDAD
El adulto y el viejo
Volumen 16
Volumen 20
LEaN RAPPOPORT
LA PERSONALIDAD DESDE O
A LOS 6 M,fOS
El nio pequeo y el preescolar
D. P.
Au~uBEL y
E. V.
SULl.I\AI\
Volumen 17
LEaN RAPPOPORT
LA PERSONALIDAD DESDE
6 A LOS 12 A]\OS
El nio escolar
LOS
Volumen 21
D. P. AUSUIlEL y E. V. SULLIVA:\
EL DESARROLLO DEL NIO:
FUNDAMENTOS y PHOBLE:\lAS. II