Manual Lab 2 Fis Parte 1
Manual Lab 2 Fis Parte 1
Manual Lab 2 Fis Parte 1
1 Introducci
on Te
orica
En cursos basicos de Fsica, se describe el movimiento de los objetos como si estos
fueran puntuales, es decir, se desprecia la forma de dichos objetos y se supone que estos
tienen su masa concentrada en un solo punto llamado centro de masa (CM). Este modelo es suciente para describir y entender los movimientos de traslacion de los cuerpos
a partir de la famossima segunda ley de Newton:
F = ma.
(1)
Esta ecuacion nos permite describir la posicion del CM del cuerpo en movimiento,
como funcion del tiempo r(t), a partir de las fuerzas que provocan cambios en la velocidad del objeto.
A pesar de la utilidad de la formula 1, esta solo nos cuenta una parte de la historia
del movimiento del objeto de interes. Los ingenieros saben de sobra que los objetos,
ademas de trasladarse, giran. Estos movimientos de rotacion alrededor de alg
un eje determinado son claves para el funcionamiento de maquinarias diversas que realizan alg
un
tipo de trabajo y de ah su importancia. En esta practica resaltaremos la importacia
del movimiento de rotacion de los cuerpos e introduciremos las cantidades fsicas que se
involucran en la descripcion de un modelo mas realista del movimiento de los objetos
que ya no se consideran puntuales. Debemos notar que para distingir la rotacion de un
objeto alrededor de alg
un eje que pase por su CM, este debe tener una forma especca
(no necesariamente simetrica ni regular), ya que no es posible notar, a simple vista, que
un objeto puntual esta girando.
Es importante mencionar, antes de entrar en la descripcion formal del movimiento
de rotacion, que la rotacion de los objetos tiene aplicaciones partcularmente divertidas
en actividades como jugar con el boomerang, el billar, el futbol, el beisbol y la danza,
entre otras, donde la rotacion de los objetos da origen a efectos especiales. Asimismo,
la rotacion de los objetos es muy u
til en diversos mecanismos que, hoy por hoy, nos
ahorran demasiado trabajo.
2 Momento de inercia.
Comenzaremos por el caso mas sencillo de un movimiento de rotacion, que corresponde a una partcula puntual describiendo una trayectoria circular. A pesar de que hemos
mencionado que ya no nos ocuparemos mas de objetos puntuales, sino de objetos con
forma bien determinada, este ejemplo nos servira para introducir y justicar la utilidad
Universidad Autonoma Metropolitana
3
del concepto fundamental de momento de inercia y posteriormente lo generalizaremos
para cuerpos no puntuales. El momento de inercia I asociado a una partcula puntual
de masa m que describe una trayectoria circular de radio r alrededor del eje Z (ver
Figura 1) es:
I = mr2 ,
(2)
(3)
(4)
4
Debido a que Ec es una cantidad escalar, podemos sustituir v 2 por el cuadrado de
la magnitud de v que en este caso es v = r, as
1
(5)
Ec = mr2 2 .
2
Es en este paso que se ve la necesidad de introducir el concepto de momento de
inercia I = mr2 ya que esto nos permite que la ecuacion 4 conserve la misma forma
matematica excepto cambiando las variables m I y v as
1
Ec = I 2 .
2
(6)
I=
n
mi ri2 ,
(7)
i=1
I=
r2 dm
(8)
sustituyendo en la u
ltima ecuacion dm = dV y suponiendo que es constante el
momento de inercia se convierte en una integral de volumen dada por
(9)
I = r2 dV
que depende tanto de la geometra del objeto como del eje alrededor del cual rota ya
que r es la distancia de cada diferencial de volumen dV al eje de rotacion. Entonces, si
el eje de rotacion cambia, cambia el valor de momento de inercia I.
Es sumamente importante notar que el valor del momento de inercia I, como una
cantidad escalar, es extremadamente sensible a la variacion de cualquier parametro
involucrado tal como el eje de rotacion del cuerpo r; la densidad no homogenea del
objeto = cte, as como la forma del mismo. Lo anterior permite sospechar que este
concepto debe ser denido por un ente matematico mas complejo que un simple escalar.
Es cierto que el momento de inercia queda mejor denido generalmente por una
cantidad tensorial [1]. Sin embargo para los efectos de esta practica la denicion de la
ecuacion 7 es suciente y funcional.
Universidad Autonoma Metropolitana
(10)
donde r es el vector de posicion que va del origen del sistema de referencia, al punto de
aplicacion de la fuerza F como se muestra en la Figura 4.
Universidad Autonoma Metropolitana
Figura 4: Denici
on de torque
(11)
(12)
(13)
con
= d
la aceleracion angular del cuerpo alrededor del eje de rotacion. Esta u
ltima
dt
expresion se puede interpretar como sigue: La torca (el giro) provocada por una fuerza
F sobre un objeto rgido provoca un cambio proporcional en la velocidad angular del
mismo, cuyo factor de proporcionalidad es el momento de inercia I.
Actividad 1
Torca y momento de inercia
Torca y momento de inercia
1. Objetivo General
El alumno estudiara experimentalmente el movimiento de rotacion de cuerpos
rgidos a partir de la Segunda Ley de Newton para movimiento de rotacion.
2. Objetivos Particulares
1. Establecer el concepto de momento de inercia I y justicar la necesidad del mismo,
para describir el movimiento de rotacion de un cuerpo rgido.
2. Medir experimentalmente el momento de inercia I de un disco respecto de un eje
perpendicular, que pasa a traves de su centro.
3. Medir experimentalmente el momento de inercia I de un disco respecto a uno de
sus diametros.
3. Introducci
on Te
orica
Seg
un la seccion de teora relacionada con el momento de inercia (seccion 4) podemos
medir experimentalmente el momento de inercia IA de un cuerpo arbitrario respecto de
un eje que pasa por el punto A a partir de la segunda Ley de Newton para movimiento
de rotacion.
A = I A
(1.1)
donde
d2
= 2
dt
A = r F
y
8
(1.2)
Caso 1
En la Figura (1.2) se muestra un disco horizontal que gira respecto al eje perpendicular
que pasa por su centro.
dm
dv
(1.3)
y usando coordenadas cilndricas,
(1.4)
Caso 2
En la Figura (1.1) se muestra un disco vertical que gira respecto a uno de sus diametros.
En este caso
1
Id = M R 2 ,
(1.5)
4
donde Id el momento de inercia respecto de uno de sus diametros.
Las Eq. (1.4) y (1.5) son las expresiones teoricas de los momentos de inercia del
disco con los cuales compararemos el valor experimental obtenido.
10
(1.6)
(1.7)
Figura 1.3: Vista superior del disco horizontal (adaptacion de montaje PASCO).
11
En este montaje la fuerza F la ejerce un hilo tensado por un peso mg que provoca
una aceleracion de magnitud a = r. La Figura 1.4 muestra una vista superior del disco
de la Figura 1.3. Se observa la distancia entre el eje de rotacion y el punto de aplicacion
de la tension T . Esta u
ltima act
ua a traves del hilo, produciendo la torca en todo el
sistema.
CM = rT
(1.8)
(1.9)
de modo que
=
rg
m
ICM
(1.10)
2. Movimiento de Traslaci
on del bloque de masa m.
El diagrama de cuerpo libre del bloque de masa m, usado en el montaje experimental,
se muestra en la Figura 1.5 e indica que:
T mg = ma
(1.11)
dondela aceleracion a del bloque, esta relacionada con la aceleracion angular del
carrete de hilo por la ecuacion
a = r,
(1.12)
Universidad Autonoma Metropolitana
12
(1.13)
Sustituyendo esta u
ltima en (1.1) llegamos a:
rm(g r) = ICM .
(1.14)
reordenando terminos puedes establecer una relacion lineal entre m y con pendiente
A y ordenada al origen B dadas por:
r2 + ICM
rg
B=0
A=
(1.15)
5. Cuestionario te
orico
1. En que unidades se mide el momento de inercia I.
2. Lista las variables fsicas que determinan el valor del momento de inercia I de un
objeto arbitrario.
Universidad Autonoma Metropolitana
13
6. Material
a) Plataforma giratoria, PASCO ME-8951 b) Polea con soporte.
c) Disco
d) Smart-Timer, PASCO ME-8930
e) Fotocelda PASCO ME-9498A f) Flexometro
g) Balanza
h) Juego de pesas.
i) Vernier
j) Hilo can
amo
k)Nivel de burbuja.
7. Desarrollo Experimental
ACTIVIDAD 1: Disco en posici
on horizontal:
1. Monta el sistema experimental como se muestra en la Figura 1.3 cuidando de
nivelar la plataforma PASCO con la ayuda de los tornillos de la base, la regleta y
el dado. El Smart-Timer debe estar en modo de medicion de aceleracion angular
.
2. Coloca el disco en forma horizontal sobre la plataforma.
3. Coloca una pesa de masa m al extremo del hilo que pasa por la polea (se sugiere
una masa de aproximada 150 g conrmada con la balanza) y mide la aceleracion
angular provocada. Anota los datos en la Tabla 1.1.
4. Repite el paso 3 para diez masas distintas m y completa la Tabla 1.1.
14
PRECAUCIONES
1. La base giratoria debe de colocarse y calibrarse en un extremo de la mesa que
permita que la masa caiga sin ser obstruda.
2. Una vez calibrada la base, esta no debe volver a moverse ya que se descalibrara,
introduciendo errores sistematicos en el experimento.
3. Debe comprobar la masa m de cada pesa con la balanza.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mi [kg]
i [rad/s2 ]
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mi [kg]
i [rad/s2 ]
15
9. C
alculos y Gr
acas
Realiza los calculos que se te indican a continuacion, en el espacio correspondiente, y
completa las Tablas en la seccion de resultados.
CALCULOS
Este espacio es para que realices los calculos y gracas indicadas en la seccion
anterior.
16
17
RESULTADOS
Tabla 1.3: .
Pendiente A
Ordenada B
Eq de la recta
Disco vertical
Disco horizontal
Tabla 1.4: .
I Teorico
I Experimental
Error % I
Disco vertical
Disco horizontal
OBSERVACIONES
Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a
mejorar la realizacion del experimento y a la reproduccion de los resultados.
18
Actividad 2
Movimiento de cuerpos rodantes:
Plano Inclinado
1. Objetivo General
El alumno analizara experimentalmente el movimiento de un cuerpo que rueda
por un plano inclinado.
2. Objetivos Particulares
1. Determinara experimentalmente la aceleracion angular , y la traslacional a, de
un cuerpo rodante cilndrico o esferico, que rueda a lo largo de un plano inclinado.
2. Determinara la fuerza de friccion estatica fs y el coeciente de friccion estatico
s que intervienen en este sistema.
3. Determinara el porcentaje de error al medir la aceleracion a a partir de los valores
teorico y experimental.
4. Determinara la maxima velocidad desarrollada por el objeto al nal del plano.
3. Introducci
on Te
orica
Para que un cuerpo ruede sin deslizar sobre una supercie, la velocidad instantanea
del punto de contacto con la supercie debe ser cero. De manera que la velocidad de
traslacion del centro de masa vCM esta relacionada con la velocidad angular a traves
de la relacion:
vCM = R
(2.1)
19
20
(2.2)
(2.3)
(2.4)
= ICM = Rfs
(2.5)
y para la rotacion
donde ICM es el momento de inercia del cuerpo rodante respecto a un eje perpendicular
al plano X Y , que pasa por su centro de masa y su aceleracion angular. Usando
las ecuaciones (2.1) a (2.4) se puede mostrar que:
Universidad Autonoma Metropolitana
aCM =
21
M g sin
.
CM
M + IR
2
(2.6a)
Sustituyendo esta u
ltima expresion en (2.4) en complemento con (2.3) se pueden obtener
las expresiones para fs y s respectivamente.
fs =
ICM M g sen
CM
R2 M + IR
2
s =
ICM
tg
2
CM
R
M + IR
2
(2.6b)
Casos Particulares:
i) Si el cuerpo que rueda es una esfera, el momento de inercia respecto a un eje que
pase por su CM es Iesf = 25 M R2 y aCM = 57 g sin .
ii) Para un cilndro, el momento de inercia respecto a un eje que pase por su CM y
perpendicular a sus bases es Icil = 12 M R2 y aCM = 23 g sin
Conservaci
on de la Energa
Es interesante notar que la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano es estatica y no dinamica, por lo que no se disipa energa. Por lo tanto, se cumple el principio
de conservacion de la energa mecanica, es decir, la suma de la energa potencial gravitatoria Ep y la energa cinetica Ec permanece constante:
Ep + Ec = cte,
(2.7)
esto es
1
1
2
M gh = M vCM
+ ICM 2 .
(2.8)
2
2
Donde h es la altura maxima desde donde cae el objeto. Usando (2.8) y (2.1) es posible
obtener v 2 .
2
vCM
=
2M gh
CM
M + IR
2
(2.9)
22
5. Cuestionario te
orico
1. Describe los dos tipos de movimiento que realiza el cuerpo al rodar por el plano
inclinado.
2. Que tipo de movimiento describe el CM del objeto a lo largo del plano inclinado?
Escribe la ecuacion que relaciona la posicion como funcion del tiempo.
3. Identica la fuerza que produce el rodamiento y calcula la torca producida. A
que ecuacion de la seccion de teora corresponde?
4. Escribe la condicion para que un cuerpo ruede sin resbalar y explcala.
5. Deduce cada una de las ecuaciones (2.6a) y (2.6b) paso a paso.
6. Deduce la ecuacion (2.9) paso a paso.
6. Material
a)
c)
d)
e)
f)
h)
i)
k)
m)
7. Desarrollo Experimental
1. Mide las dimensiones del objeto rodante y completa la Tabla (2.1).
2. Sosten el riel en uno de sus extremos con un soporte y una pinza. Selecciona un
angulo de inclinacion < 5 utilizando el transportador. Nivela el riel a su ancho
con la ayuda del nivel de burbuja.
3. Coloca una cinta de masking tape a lo largo de la plataforma y usando el exometro, pinta sobre la plataforma una marca cada 10 cm a partir de una posicion
inicial x0 = 0, desde donde caera el objeto.
Universidad Autonoma Metropolitana
23
24
OBSERVACION
Esta actividad puede realizarse sustituyendo las dos fotocompuertas por
un sensor de movimiento en el extremo superior del plano inclinado,
conectado a la interfase PASCO-750 y el programa de automatizacion
DATA STUDIO. Es necesario calibrar el sensor antes de usarlo.
PRECAUCIONES
1. Cuida que siempre sueltes el cuerpo rodante desde la misma posicion.
2. Suelta el cuerpo rodante, sin imprimirle una velocidad inicial.
3. Cuida que el cuerpo rodante interrumpa el haz de luz de ambas fotoceldas para
que comience a medir o, en su caso, que sea detectado todo el tiempo por el sensor
de movimiento.
25
X [m]
t1 [s]
t2 [s]
t3 [s]
t [s]
t2 [s2 ]
9. C
alculos y Gr
acas
A continuacion, realiza los calculos que se te indican, en el espacio correspondiente y
completa las tablas en la seccion de resultados.
1. Con los datos de la Tabla 2.2, graca x vs. t utilizando Origin o Excel. No olvides
poner las variables en cada uno de los ejes as como las unidades!.
2. Linealiza la graca anterior, gracando x vs. t2 . Haz el ajuste correspondiente
utilizando Origin o Excel. Asigna a los ejes las variables y unidades respectivas.
3. Identica los parametros de la recta ajustada y asgnales un signicado fsico.
Anota tus resultados en la Tabla 2.3, no olvides poner las unidades en el sistema
internacional. Escribe la ecuacion de la recta en la seccion de resultados de la
Tabla 2.3 y obten el valor experimental de aCM .
4. Calcula la aceleracion teorica del CM con la Ecuacion (2.6a).
5. Si utilizaste el sensor de movimiento, de tu graca velocidad vs tiempo, determina
la velocidad del cuerpo rodante al nal del riel y comparala con el valor teorico
de la Ec. (2.9) y completa la Tabla 2.5.
26
CALCULOS
Este espacio es para que realices los calculos y gracas indicadas en la seccion
anterior.
27
RESULTADOS
Pendiente
Ordenada al origen
Ecuacion de la recta
Tabla 2.4: .
aCM Experimental
aCM Teorica
Error % aCM
ESFERA
CILINDRO
Tabla 2.5: .
vCM Experimental
vCM Teorica
Error % vCM
ESFERA
CILINDRO
OBSERVACIONES
Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a
mejorar la realizacion del experimento y a la reproduccion de los resultados.
28
Captulo II
Pendulo Fsico: teora general
29
30
1 Introducci
on te
orica
Un pendulo fsico esta constituido por un cuerpo rgido de masa M y forma arbitraria, que oscila libremente alrededor del eje Z (perpendicular al plano de rotacion)
que pasa por el punto A, (ZA ). Este se ubica a una distancia dACM del centro de masa
(CM) del objeto, como se muestra en la Fig 2.1.
Figura 2.1: Se indican los parametros fsicos de un pendulo fsico, (CM ) Centro de Masa, (A) punto
de suspension, (W ) peso, ()
angulo respecto a la vertical, distancia del punto A al CM (dACM ).
(2.1)
2
donde la aceleracion angular es = ddt2 = e IA es el momento de inercia respecto al
eje ZA . Esta ecuacion puede reescribirse en terminos de los parametros del sistema, es
decir la masa del pendulo (M ) y la aceleracion de la gravedad del sitio donde se realiza
el experimento (g), quedando as:
A = dACM M g sen = IA .
(2.2)
Debido a que el movimiento oscilatorio del pendulo, alrededor del eje de rotacion ZA se
debe a la torca (A ) producida por la componente tangencial del peso ( = M g sen ).
Universidad Autonoma Metropolitana
31
Reordenando la Ec. (2.2) se obtiene la ecuacion de movimiento general para un
pendulo fsico arbitrario
d
Mg
+ ACM
sen = 0.
(2.3)
IA
o 1 radi
an): sen 0, y la
En la aproximacion de angulos peque
nos ( 10
Ec. (2.3) se reduce a la expresion:
d
Mg
+ ACM
= 0.
IA
(2.4)
dACM M g
,
IA
(2.5)
(2.6)
Esta u
ltima es conocida como ecuacion de movimiento armonico simple (MAS), y una
de sus soluciones es de la forma:
(t) = 0 sen(t).
(2.7)
podemos sustituir (2.5) en (2.8) y reordenando obtenemos una expresion para T dada
por:
IA
T = 2
(2.9)
dACM M g
Elevando al cuadrado la ecuacion (2.9) se obtiene:
T2 =
4 2 IA
.
M g dACM
(2.10)
Esta expresion puede desarrollarse para que quede en terminos del momento de
inercia ICM de un eje paralelo al eje z y que pasa por el centro de masa del pendulo
fsico, usando el teorema de ejes los paralelos:
IA = ICM + M d2ACM
(2.11)
donde ICM es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje Z que pasa por el
centro de masa (CM) del pendulo fsico.
Universidad Autonoma Metropolitana
32
Sustituyendo (2.11) en (2.10) y reordenando la ecuacion, se tiene:
T 2 dACM =
4 2 ICM
4 2 2
.
+
d
Mg
g ACM
(2.12)
y = T 2 dACM ,
4 2 ICM
B=
,
Mg
(2.13)
Actividad 3
P
endulo Fsico: barra suspendida en
un punto
1. Objetivo General
Medir experimentalmente el momento de inercia ICM de un pendulo fsico de
barra, con respecto a su centro de masa (CM ).
2. Objetivos Particulares
1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un pendulo fsico de barra.
2. Comprobar experimentalmente el teorema de los ejes paralelos.
3. Determinar experimentalmente ICM y g a partir del periodo T y la distancia dACM .
4. Comparar los valores experimentales obtenidos al medir ICM y g con los teoricos
esperados y determinar el error porcentual.
3. Introducci
on Te
orica
33
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
34
Una vez revisada la teora general del pendulo fsico (ver captulo II), retomamos la
expresion matematica que relaciona el periodo T con los parametros fsicos del sistema
Ec. 2.12:
T 2 dACM =
4 2 2
4 2 ICM
+
d
Mg
g ACM
Figura 3.1: Pendulo fsico de barra: A, punto de suspension, CM, centro de masa, w peso, dACM
distancia entre A y CM , L longitud de la barra.
Se puede mostrar que el momento de inercia ICM de una barra que gira respecto al
eje Z que pasa por el CM es.
1
ICM = M L2
(3.1)
12
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
35
5. Cuestionario te
orico
1. Explique el signicado fsico de momento de Inercia I.
2. En que unidades se mide el momento de inercia I?
3. Escriba la segunda Ley de Newton para el movimiento de rotacion y explque el
signicado fsico de la misma. Cuales son las variables fsicas involucradas?
4. Deduzca ICM para una barra solida que gira alrededor del eje Z (perpendicular
al palno de rotacion) localizado en el CM .
5. Cual es la fuerza responsable de que el pendulo de barra oscile y porque? Explica.
6. Explica cuales son los parametros del sistema que permiten modicar el periodo
de oscilacion T del pendulo de barra.
6. Material
a) Mariposa
d) Eje de rotacion
g) Flexometro
7. Desarrollo Experimental
El montaje para esta acitividad se muestra en la Figura 3.2
1. Registra las dimensiones de la barra y anotalas en la Tabla 3.1 de la siguiente
seccion.
2. Localiza sobre la barra a lo largo de su longitud su centro de masa (CM) y marcalo
con masking tape.
3. Haz el montaje que se muestra en la Figura 3.2, poniendo el smart timer en modo
de pendulum.
4. Suspende la barra en el oricio mas cercano a uno de sus extremos y hazla oscilar
con un angulo maximo jo < 10 .
5. Mide el periodo de oscilacion T de la barra con el Smart Timer, tres veces y obten
el promedio.
6. Registra en la Tabla 3.2 la distancia dACM y el promedio obtenido para T .
Universidad Autonoma Metropolitana
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
36
Figura 3.2: Montaje experimental para medir el periodo de oscilacion T , del pendulo de barra.
PRECAUCIONES
1. Toma en cuenta solo los oricios a lo largo de la barra que se encuentran de un
lado del CM .
2. Elige, como puntos de suspension, oricios en forma alternada, uno si y uno no,
iniciando con el mas alejado al CM .
3. Si mides T con cronometro, registra el tiempo de 5 oscilaciones completas seguidas
y divide entre 5 para obtener el promedio de T .
4. Si registras T con fotocelda y Smart Timer mide el periodo 3 veces y promedia.
5. Asegurate de que la oscilacion sea en el plano X Y .
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
37
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
dACM [mts]
Ti [segs]
d2ACM [m2 ]
9. C
alculos y Gr
acas
1. A continuacion, realiza los calculos que se te indican en el espacio correspondiente
y completa la Tabla 3.3 de la seccion de resultados.
2. Usando los datos registrados en la Tabla 3.1 y la ec. (2.12) determina el valor
teorico del ICM de la barra.
3. Con los datos de la Tabla 3.2, graca el periodo de T como funcion de la distancia
dACM y determina si el comportamiento es lineal.
4. Haz el cambio de variable adecuado para linealizar la ecuacion 2.12 que relaciona
T y dACM y completa las columnas 3 y 4 de la Tabla 3.2.
5. De la ecuacion linealizada, realiza el ajuste correspondiente para obtener la pendiente A y ordenada al origen B de la recta resultante, anota tu resultado en la
Tabla 3.3.
Universidad Autonoma Metropolitana
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
38
6. A partir del ajuste anterior determina los valores experimentales del valor local
de la aceleracion de la gravedad g e ICM para la barra.
7. Compara los valores experimentales obtenidos en el punto anterior con los teoricos
reportados en la literatura y obten el porcentaje de error cometido.
8. Realiza un dibujo cualitativo de las gracas obtenidas en el punto 3 y 5.
CALCULOS
Este espacio es para que realices los calculos y gracas indicadas en la seccion anterior.
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
39
RESULTADOS
Pendiente A
Ordenada al Origen B
(ICM )exp
(ICM )teo
gexp
gteo
% de error
Ecuacion de
la Recta ajustada
OBSERVACIONES
Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a
mejorar la realizacion del experimento y a la reproduccion de los resultados.
ACTIVIDAD 3. PENDULO
FISICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO
40
Actividad 4
P
endulo Fsico: barra con disco
1. Objetivo General
Medir experimentalmente el momento de inercia ICM de un pendulo fsico de barra
con disco respecto aun eje perpendicular a su plano de rotacion que pasa por su
centro de masa CM .
2. Objetivos Particulares
1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un pendulo fsico formado por una
barra unida a disco.
2. Comprobar experimentalmente el teorema de los ejes paralelos.
3. Determinar experimentalmente ICM y g a partir del periodo T y la distancia dACM .
4. Comparar los valores experimentales obtenidos al medir ICM y g a partir del
pendulo barra-disco con los teoricos esperados y determinar el error porcentual.
3. Introducci
on Te
orica
Considere una barra cilndrica de longitud L y masa m, unida a un disco de masa M y
radio R, como se muestra en la Figura 4.1. La barra, tiene una serie de perforaciones alineadas y equidistantes, de aproximadamente tres milmetros de diametro, distribuidas
a lo largo de su longitud L.
Dichas perforaciones permitiran cambiar el punto de suspension A del sistema barradisco.
41
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
42
Una vez revisada la teora general del pendulo fsico (ver captulo II), retomamos la
expresion matematica Ec. 2.12: que relaciona T con los parametros del sistema (barradisco):
4 2 2
4 2 ICM
T 2 dACM =
+
d
,
(4.1)
MT g
g ACM
donde MT = M + m y CM , el centro de masa del sistema barra-disco.
Por lo que es necesario tener una expresion teorica para ICM del sistema barra-disco
alrededor del eje z que pasa por el centro de masa del sistema.
Figura 4.1: Diagrama del pendulo barra-disco bajo el efecto de la fuerza de gravedad.
L
m
2
+ (L + R)M
MT
(4.2)
Usando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia IA del sistema barradisco con respecto al punto de suspension en A es:
IA = ICM + d2ACM (M + m)
(4.3)
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
43
(4.4)
Se puede mostrar que los momentos de inercia independientes ICM b e ICM d , de la barra
y el disco respecto al eje z que pasa por sus respectivos centros de masa son:
1
mL2
12
(4.5)
1
ICM d = M R2 .
2
(4.6)
ICM b =
b
d
e ICM
resAs, usando el teorema de ejes paralelos, los momentos independientes ICM
pecto al eje z que pasa por el centro de masa (CM ), del sistema completo barra-disco
quedan:
2
L
b
ICM = ICM b + m rCM
(4.7)
2
d
= ICM d + M (L rCM + R)2
ICM
(4.8)
1
Mm
1
= mL2 + M R2 +
12
2
(M + m)
L
+R
2
2
(4.9)
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
44
5. Cuestionario te
orico
1. Explica el signicado fsico de momento de Inercia IA .
2. Cuales son las unidades del momento de inercia?
3. Escribe la segunda Ley de Newton para el movimiento de rotacion y explica el
signicado fsico de la misma y de las variables fsicas involucradas.
4. Sige paso a paso los calculos de la seccion de teora para obtener, la Eq. 4.9
asociada al momento de inercia ICM del sistema barra-disco que gira alrededor
del eje z (perpendicular al plano de rotacion) localizado en el CM .
5. Cual es la fuerza responsable de que el sistema barra-disco oscile? Explica.
6. Explica cuales son los parametros del sistema que permiten modicar el periodo
de oscilacion T del pendulo barra-disco?
6. Material
a) Eje de rotacion b) Soporte universal
c) Barra con perforaciones y disco
d) Transportador e) Mariposa y pinza
f) Flexometro
g) Balanza
h) Smart-Timer PASCO ME-8930 i) Fotocompuerta PASCO ME-9498A
7. Desarrollo Experimental
El montaje para esta acitividad se muestra en la Figura 4.2.
1. Mide las dimensiones de la barra y el disco y anotalas en la Tabla 4.1 de la seccion
registro de datos.
2. Determina la posicion del centro de masa de la barra CM b y anotala en la Tabla 4.1.
3. Determina la posicion del centro de masa del disco CM d y anotala en la Tabla 4.1.
4. Atornilla el disco a la barra, tomando precaucion de que los oricios esten alineados con la cara plana del disco.
5. Determina la posicion del centro de masa CM del sistema barra-disco y anotalo
en la Tabla 4.1.
6. Coloca el eje de rotacion en el soporte y fjalo con la mariposa.
Universidad Autonoma Metropolitana
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
45
Figura 4.2: Montaje experimental para medir el periodo de oscilacion T del pendulo barra-disco.
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
46
PRECAUCIONES
1. Elige, como puntos de suspension, oricios sobre la barra en forma alternada, uno
si y uno no, iniciando con el mas alejado del disco.
2. Si mides T con cronometro, registra el tiempo de 5 oscilaciones seguidas y divide
entre 5.
3. Si registras T con fotocelda y Smart-timer mide el periodo 3 veces y promedia.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ti [s]
dACM [m]
d2ACM [m2 ]
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
47
9. C
alculos y Gr
acas
A continuacion, en el espacio correspondiente, realiza los calculos que se te indican y
completa las tablas en la seccion de resultados.
1. Con los datos de la Tabla 4.2, graca el periodo T como funcion de la distancia
dACM .
2. Determina si el comportamiento es lineal y completa las columnas 3 y 4 de la
Tabla 4.2.
3. No olvides poner las variables en cada uno de los ejes as como las unidades en el
sistema internacional.
4. Linealiza la graca del punto 1. mediante el cambio de variable adecuado. Haz el
ajuste correspondiente. Etiqueta los ejes con las variables y unidades respectivas
en el sistema internacional.
5. Obten los parametros de la recta haciendo el ajuste correspondiente y asignales
un signicado fsico. Anota tus resultados en la Tabla 4.3. Escribe la ecuacion de
la recta en la Tabla 4.3.
6. Obten el valor experimental de ICM y g anotalo en la Tabla 4.3. Compara con el
valor teorico a partir de la Eq. (4.9) y determina el porcentaje de error.
CALCULOS
Este espacio es para que realices los calculos y gracas indicadas en la seccion
anterior.
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
48
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
49
RESULTADOS
Tabla 4.3: An
alisis de resultados
Pendiente A
Ordenada al Origen B
(ICM )exp
(ICM )teo
gexp
gteo
% de error
Ecuacion de
la Recta
OBSERVACIONES
Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a
mejorar la realizacion del experimento y a la reproduccion de los resultados.
ACTIVIDAD 4. PENDULO
FISICO: BARRA CON DISCO
50
Actividad 5
P
endulo Fsico: Tri
angulo
rect
angulo
1. Objetivo General
Medir experimentalmente el momento de inercia ICM de un pendulo fsico en forma
de triangulo rectangulo, que rota alrededor de un eje perpendicular as mismo y
que pasa por su centro de masa (CM ).
2. Objetivos Particulares
1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un pendulo fsico en forma de
triangulo rectangulo.
2. Comprobar experimentalmente el teorema de los ejes paralelos.
3. Determinar experimentalmente ICM y g a partir del periodo T y la distancia dACM
medidos en el laboratorio.
4. Comparar los valores experimentales para ICM y g a partir del pendulo de triangulo
con los teoricos esperados y determinar el error porcentual.
3. Introducci
on Te
orica
Considere un triangulo rectangulo de catetos l1 y l2 , y masa M , como se muestra en
la Figura 1. El triangulo tiene una serie de perforaciones de aproximadamente 3 mm
de diametro, distribuidas a lo largo de su supercie. Dichas perforaciones permitiran
cambiar el punto de suspension A del triangulo.
51
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
52
Una vez revisada la teora general del pendulo fsico (ver captulo II), retomamos la
expresion matematica que relaciona T con los parametros del triangulo Ec. (2.12):
T 2 dACM =
4 2 2
4 2 ICM
+
d
Mg
g ACM
Por lo anterior es necesario tener una expresion teorica para ICM del triangulo respecto al eje z que pasa por su centro de masa CM .
El momento de inercia IA del triangulo con respecto al eje z que pasa por el punto
de suspension A, puede expresarse como:
IA = IAx + IAy ,
(5.1)
donde IAx es el momento de inercia considerando que el triangulo rota alrededor del
eje x que pasa por A; mientras que IAy es el momento de inercia considerando que el
triangulo rota alrededor del eje y que pasa por A. Para simplicar los calculos siguientes consideramos que el punto A es el vertice del triangulo asociado al angulo recto del
mismo en donde ubicaremos el origen as A = (0, 0).
C
alculo de IAx :
Suponiendo que el triangulo rota alrededor del eje x, el momento de inercia con
respecto a este eje, seg
un la denicion es:
IAx = y 2 dm.
(5.2)
Donde y es la distancia perpendicular al eje de rotacion x y dm es una peque
na cantidad
de masa ( diferencial de masa). Ya que el triangulo es una placa de espesor constante,
podemos denir una cantidad llamada densidad supercial de masa como:
=
dm
,
dS
(5.3)
(5.4)
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
53
1 2
IAx = M l2
6
(5.6)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
54
1
2
2
M (l1 + l2 ).
18
(5.12)
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
55
5. Cuestionario te
orico
1. Explica el concepto de momento de Inercia.
2. A partir de la denicion matematica para IA comprueba la Eq. (5.1).
3. Basandote en la Figuras 5.1 y 5.2 eval
ua IAx e IAy y obten las expresiones analticas
5.6 y 5.8.
4. Investiga las coordenadas del CM de un triangulo rectangulo de catetos l1 y l2
respectivamente.
5. A partir del teorema de ejes paralelos obten, paso a paso, la expresion 5.12.
6. Cual es la fuerza responsable de que el pendulo oscile y por que? Explica.
7. Explica cuales son los parametros del sistema que permiten modicar el periodo
de oscilacion T del pendulo en forma de triangulo rectangulo.
8. Cuales son las aproximaciones en este modelo?.
6. Material
a) Triangulo con perforaciones
b) Soporte
c) Eje de rotacion
d) Pinzas
e) Balanza
f) Flexometro
g) Fotocompuerta pasco ME-9498A h)Smart Timer PASCO ME-8930
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
56
7. Desarrollo Experimental
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
57
7. Cambia el punto de suspension de la barra y repite los pasos del 4 al 6 para diez
diferentes puntos de suspension A.
PRECAUCIONES
1. Elige como puntos de suspension los oricios mas alejados del CM .
2. Cuida que la oscilacion sea en el plano del triangulo.
Ti [s]
dACM [m]
d2ACM [m2 ]
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
58
9. C
alculos y Gr
acas
1. Con los datos de la Tabla 5.1 graca periodo T como funcion de la distancia dACM
y determina si el comportamiento es lineal.
2. Has el cambio de variable adecuado para linealizar la ecuacion que relaciona T
con dACM y completa las columnas 3 y 4 de la Tabla 5.1.
3. De la ecuacion linealizada, realiza el ajuste correspondiente y obten la pendiente
A y ordenada al origen B de la recta con sus respectivas unidades.
4. Determina los valores experimentales de g e ICM para el triangulo a partir del
ajuste anterior.
5. Compara los valores experimentales obtenidos en el punto anterior con los teoricos
correspondientes y obten el porcentaje de error.
CALCULOS
Este espacio es para que realices los calculos y gracas indicadas en la seccion anterior.
ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
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ACTIVIDAD 5. PENDULO
FISICO: TRIANGULO
RECTANGULO
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RESULTADOS
Pendiente A
Ordenada al Origen B
(ICM )exp
(ICM )teo
gexp
gteo
% de error
Ecuacion de
la Recta
OBSERVACIONES
Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a
mejorar la realizacion del experimento y a la reproduccion de los resultados.