COLEGIO SAN FRANCISCO JAVIER DE LA VERAPAZ

PROFESOR RONALD CHN: Teora de conjuntos parte 1 (Primero Bsico 2016)

TEORA DE CONJUNTOS: Conceptos bsicos

Qu es un conjunto? Es una coleccin de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en
comn. Por objeto entenderemos no slo cosas fsicas, como pelotas, computadores, etc., sino tambin abstractos, como
son nmeros, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplo 1. Los nmeros 1, 3, 7 y 10.
Ejemplo 2. Las personas que habitan la Tierra.
Ejemplos 3. Los estudiantes del Colegio San Francisco Javier de la Verapaz.
NOTACIN
Es usual denotar los conjuntos por letras maysculas
A, B, X, Y, .
Los elementos de los conjuntos se representan por letras minsculas
a, b, x, y, .
REPRESENTACIN DE LOS CONJUNTOS
Un conjunto se puede escribir en cualquiera de las formas siguientes:
1) Forma tabular, enumerativa o extensiva: Escribimos dentro de llaves un listado de los elementos que lo
forman, separndose por medio de comas.
2) Forma descriptiva o comprensiva: Escribimos una variable para representar a los elementos del conjunto,
luego, la proposicin abierta que describe la propiedad comn que los identifica.
3) Forma grfica: Dibujamos una figura cerrada como un crculo, un cuadrado, un tringulo u otra y colocamos
adentro de ella los elementos del conjunto. (Estas figuras se llaman diagramas de Venn).
Ejemplo. Representar en conjunto las letras que forman las vocales.
Forma tabular:

A= { a , e , i, o , u }

Forma descriptiva:
Forma grfica:

A= { x / x es una vocal }
a, e,
i, o, u

CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL

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Se llama conjunto universo o referencial a aquel que contiene a todos los elementos que estamos estudiando. Se nombra
con la letra U. El conjunto universal lo representamos grficamente con la figura de un rectngulo. Adentro de este
rectngulo dibujamos las figuras que representan a los conjuntos que tienen a aquel como su referencia.
Ejemplo 1. En geometra plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.
Ejemplo 2. En los estudios sobre poblacin humana el conjunto universal es el de todas las personas del mundo.

DIAGRMAS DE VENN-EULER
Para lgica y teora de conjuntos son muy usados los Diagramas de Venn - Euler, estos sirven para representar diferentes
conjuntos y su relacin entre s, se manejan crculos para representar cada conjunto, y un rectngulo para representar el
universo (Conjunto ms grande que contiene a los pequeos). Pero tambin, usamos figuras geomtricas como
rectngulos, tringulos y elipses) para representar conjuntos, los cuales llamaremos diagramas de Venn. Su
funcionamiento se puede reducir en lo siguiente:
Ejemplo 1. Si un circulo est dentro de otro significa que el pequeo es parte del grande, es decir, todos los
elementos del pequeo pertenecen al conjunto grande pero no a la inversa. Del grande al chico se utiliza la
palabra ALGUNO y del chico al grande la palabra TODOS. Por ejemplo:

El conjunto anterior denota ledo del chico al grande: "Todos los gatos son felinos"
Y del grande al chico: "Algunos felinos son Gatos"
Hay que saber leer un diagrama, aunque nos lo presenten incoherente, por ejemplo, si la instruccin es: "Qu
representa el siguiente diagrama?

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La respuesta correcta sera "Todos los Perros son Dlmatas" o "Algunos Dlmatas son Perros" que, aunque
sabemos que eso no es cierto, es lo que representa el diagrama.
Ejemplo 2. Dos conjuntos interceptados representan que existen elementos que son parte de aquellos conjuntos
que se cruzan. Ejemplo:

Y representa que la parte marcada son la gente que estudia y trabaja al mismo tiempo.
Ejemplo 3. Cuando algn elemento del universo no pertenece a ningn conjunto se anota en el espacio que
queda entre los conjuntos y el universo, y si un conjunto no tiene elementos se dice que es un conjunto vaco.

Ejemplo 4: Sea el siguiente diagrama de Venn - Euler una representacin de las materias que reprobaron los
alumnos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K.

Podemos concluir:
- A, B, C, F reprobaron Matemticas.
- A y B slo reprobaron Matemticas.
- C, D, E, F, G reprobaron Fsica.
- D y E slo reprobaron Fsica.
- F, G, H, I reprobaron Qumica.
- H e I slo reprobaron Qumica
- C reprob Matemticas y Fsica.
- G reprob Qumica y Fsica.
- Nadie reprob Matemticas y Qumica, por lo que se dice que este es vaco.
- F reprob las tres materias.

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- K y J no reprobaron ninguna de las tres materias.

Diagramas de Venn
Veremos tres formas de representar diagramas de Venn.

Tenemos 2 regiones en el conjunto Universal.

Ejemplo 5. Supngase

A B

A B . Entonces A y B se describen con uno de los diagramas.

Ejemplo 6. Sean los conjuntos

C={ x /x divide a 24 }
D= { x / x divide a 30 }
D= { x / x divide a 40 }

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CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto nmero de
elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto es proceso de contar puede acabar. Si no,
el conjunto es infinito.
Ejemplo 1. Si M es el conjunto de los das de la semana, entonces M es finito.
Ejemplo 2. Si

N= {2, 4, 6, 8, } , N es infinito.

Ejemplo 3. Si

P= { x / x es un rode laTierra } , P es tambin finito, aunque sea difcil contar los ros del mundo.

IGUALDAD DE CONJUNTOS
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A
pertenece tambin a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece tambin a A. Se denota la igualdad de los
conjuntos A y B por

A=B
Ejemplo 1. Sean

A= {1, 2, 3, 4 } y B={ 3, 1, 4,2 } . Entonces

A=B , es decir { 1,2, 3, 4 }={ 3, 1, 4,2 } pues

cada uno de los elementos 1, 2, 3 y 4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 3, 1, 4 y 2 de B pertenece a A.
Obsrvese, por tanto, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos.
CONJUNTO VACIO
Conviene introducir el concepto de conjunto vaco, es decir, de un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se
suele llamar conjunto nulo. Aqu diremos de un conjunto semejante que es vaco y se le denotar por el smbolo .
Ejemplo 1. Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 aos, A es vaco segn las estadsticas conocidas.
Ejemplo 2. Sea

B={ x / x 2=4, x es impar } . B es entonces un conjunto vaco.

SUBCONJUNTOS
Si todo elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de
B. Ms claro: A es un subconjunto de B si

A B
Ejemplo 1. El conjunto

xA

x B . Se denota esta relacin escribiendo.

implica

Que tambin se puede leer A est contenido en B.

C={ 1,3, 5 } es un subconjunto del

D= {5, 4, 3, 2,1 } , ya que todo nmero 1, 3 y 5 de C

pertenece tambin a D.

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Ejemplo 2. El conjunto

E= { 2, 4,6 } es un subconjunto del

F={ 6,2, 4 } , pues cada nmero 2, 4 y 6 que pertenece

a E pertenece tambin a F. obsrvese en particular que E = F. De la misma manera se puede mostrar que todo conjunto
es subconjunto de s mismo.
Ejemplo 3. Sean
es decir,

G= { x / x es par } , es decir, G= {2, 4, 6, 8, } y

F={ 2, 4, 6,16, } . Entonces

F={ x /x es potencia entera positiva de 2 } ,

F G , o sea que F est contenido en G.

Con la anterior definicin de subconjunto se puede dar de otra manera la definicin de la igualdad de dos conjuntos:
Definicin: Dos conjuntos A y B son iguales,

A=B , si, y solo si

Si A es un subconjunto de B, se puede escribir tambin

A B y B A .

B A

Que se lee B es un superconjunto de A o B contiene a A. Y tambin se escribe, adems,

Si A no es subconjunto de B. Para concluir, se tiene:

Observacin 1. El conjunto vaco se considera subconjunto de todo conjunto.
Observacin 2. Si A no es subconjunto de B, es decir, Si

, entonces hay por lo menos un elemento de A que

no es elemento de B.

CONJUNTO POTENCIA O FAMILIA DE CONJUNTOS

A todos los subconjuntos de un conjunto dado los llamamos conjunto potencia o familia de conjuntos. Para averiguar el
nmero de subconjuntos que tiene un conjunto, nos auxiliamos del Tringulo de Pascal. Abajo tenemos las primeras seis
filas de Pascal. Descubra como se forma y escriba otra fila.

Interpretacin del tringulo de Pascal. La fila correspondiente al nmero de elementos del conjunto nos auxilia con la
informacin siguiente:
a) La suma de todos los nmeros nos da la cantidad de subconjuntos del conjunto.
b) Cada nmero nos da la cantidad de subconjuntos de la misma cardinalidad.

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CONJUNTOS DISYUNTOS

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningn elemento de A est en B y si ningn elemento
de B est en A, se dice que A y B son disyuntos.
Ejemplo 1. Sean
o sea que

A= {1, 3, 7,8 } y B={ 2, 4, 7, 9 } ; A y B no son disyuntos entonces, pues 7 est en ambos conjuntos,

7 A y 7B .

Ejemplo 2. Sean A el conjunto de los nmeros positivos y B el de los nmeros negativos. Entonces A y B son disyuntos,
pues ningn nmero es positivo y negativo.

Problemas selectos
Problema 1. Juego de entretenimiento
Observe el diagrama de Venn

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Cul es la suma de los nmeros que aparecen

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

En el cuadrado, ms no en el crculo o en el rectngulo?

En el cuadrado, ms no en el tringulo?
En el tringulo o en el crculo, ms no en el rectngulo?
Comunes al cuadrado, ms no en el cuadrado?
En el rectngulo, ms no en el cuadrado?
Comunes al cuadrado, al rectngulo y al crculo?
En el crculo, ms no en el tringulo o en el rectngulo?
Comunes al rectngulo, al tringulo y al cuadrado?

Problema 2. Escribir las afirmaciones siguientes en notacin de conjuntos:

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

x no pertenece a A.
R es subconjunto de S.
d es elemento de E.
F no es subconjunto de G.
H no incluye a D.

Problema 3. Enunciar con palabras y luego escribir en forma tabular.

(1)

A= { x /x 2=4 }

(2)

B={ x / x2=5 }

(3)

C={ x /x es positivo , x es negativo }

(4)

D= { x / x es una letra de la palabracorrecto }

Problema 4. Cules conjuntos son finitos?

(1) Los meses del ao.
(2)

{ 1,2, 3, , 99,100 }

(3) Las personas que viven en la Tierra.

(4)

{ x /x es par }
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(5)

{ 1,2, 3, }

Problema 5. Cules de estos conjuntos son iguales:

{ r , t , s } , { s , t , r , s } , {t , s , t , r } , { s ,r , s ,t }

Problema 6. Cules de estos conjuntos son iguales?

(1)

{ x /x es una letra en la palabra tocata }

(2) Las letras de la palabra tacto.

(3)

{ x /x es una letra de la palabra cota }

(4) Las letras a, c, o, t.

Problema 7. Cul de estas palabras es distinta de las otras y por qu?:
(1) Vaco
(2) Cero
(3) Nulo
Problema 8. Entre los conjuntos que siguen, Cules son diferentes?
(1)
(2)

{0}

(3)

{}

Problema 9. Cul de estos conjuntos son vacos?

(1)

A= { x / x es una letra anterior a a en el alfabeto }

(2)

B={ x / x 2=9 y 2 x=4 }

(3)

C={ x /x x }

(4)

D= { x / x+ 8=8 }

Problema 10. Dado

A= { x , y , z } , Cuntos subconjuntos hay en A y cules son?

Problema 11. Definir los siguientes conjuntos de las figuras del plano.

Q= { x / x es un cuadrilatero }
R= { x / x es un rectngulo }
H= { x / x es un rombo }
S= { x / x es un cuadrado }
Problema 12. Observe los diagramas de Venn para calificar como verdadera o falsa cada oracin.

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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Todos los elementos de A tambin pertenecen a B.

Es falso que ningn elemento de B pertenece a A.
Los conjuntos E y F tienen algunos elementos comunes.
Si un elemento no pertenece a E tampoco pertenece a F.
Los conjuntos G y H tienen elementos comunes.

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Problema 13.

Una familia integrada por 4 miembros: padre, madre, hija e hijo, proyecta para este ao 2016 realizar

varios viajes, pero, cada viaje con distintos miembros de la familia.

a) Cuntos viajes deber planificar?
b) Escriba en forma de conjunto las distintas formas en que debern viajar.
Problema 14: Cules son los subconjuntos de

{ 1,2, 3 }

Problema 15. Si el conjunto A es el conjunto que contiene los 10 primeros nmeros primos, Cuntos subconjuntos tiene
el conjunto A?

Problema 16. Realiza un diagrama de Venn que represente el siguiente argumento:

a. Algunos criminales son millonarios.
b. Todos los empresarios son millonarios.
Es correcto concluir: Algunos empresarios son criminales
Problema 18. Realiza un diagrama de Venn que represente las siguientes premisas:
a. Todos los desarrolladores son ingenieros.
b. Todos los ingenieros son listos.
Es correcto concluir: Todos los desarrolladores son listos?
Problema 19. Interpreta el siguiente diagrama de lo general a lo particular y de lo particular a lo general.

Problema 20. Interpreta los siguientes diagramas:

Problema 21. Interpreta el siguiente diagrama de lo general a lo particular y de lo particular a lo general.

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