REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO TRUJILLO
‘‘MARIO BRICEÑO IRAGORRY’’
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN CONSTRUCCIÓN CIVIL

Prof.: Ing. Efrén Araujo

Sección 02
Trayecto 3 – Trimestre 8
Carlos Hidalgo V-23.776.283
Isai Gandica V-26.482.953
Luis Montilla V-26.757.497
Paola Valero V-26.877.193
Veruzka Rondón V-26.877.598

Valera, Noviembre 2018

 ÍNDICE

Página
Introducción………………………………………………………………………. 3
Desarrollo …………………………………………………………………………. 4
Curvas espirales de transición……………………………………………………. 4
Necesidad de las curvas de transición……………..……….….……………….. 5
Ventajas de las curvas de transición…………………………………..…………. 5
Geometría de las curvas de transición……………………………………….... 7
Tipos de curvas de transición…………………………………………………… 9
La clotoide o espiral de Euler……………………………………….…………… 9
Ley de la curvatura de la espiral de Euler………………………………………. 10
Elementos de la curva espiral – circular - espiral………...…………………….. 13
Ecuaciones de la clotoide…………………………….…………………………… 15
Longitud mínima de la espiral (Le)………………………………………………. 22
Abscisado de la curva espiral – circular – espiral………………………………. 27
Localización de la curva espiral – circular – espiral …………………………… 27
Ejemplos de cálculo de la curva espiral – circular – espiral………………….. 29
Peralte……………..………………………………………………………………. 36
Dinámica de un vehículo en una curva………………………………………….. 37
Valores del coeficiente de fricción lateral…….…………………………………. 39
Peralte máximo…………………………………………………………………..…. 40
Radios mínimos absolutos…………………………….………………………...… 40
Desarrollo del peralte…………………………………………………………….. 43
Convención del peralte……………………………………………………………. 43
Longitud de transición del peralte……………………………………………….. 44
Rampa de peraltes………………………………………………………………… 46
Transición del bombeo……………………………………………………………. 48
Cálculo del peralte………………………………………………………………….. 48
Ejercicio resuelto de peralte………………………………………………………. 50
Bombeo…………………………………………………………………………… 56
Bibliografía………………………………………………………………………… 58

2
 Introducción
Las curvas de transición son elementos geométricos donde la variación
de la curvatura es lineal a lo largo de su desarrollo, por lo que evitan las
discontinuidades de curvatura. La curva de transición que se emplea es la
clotoide. La curva de transición es un arco de clotoide que va desde el radio
infinito (unión a una recta) hasta el radio del arco circular siguiente. Las curvas de
transición tienen por finalidad evitar las discontinuidades en la curvatura del trazo,
por lo que en su diseño deberán ofrecer las mismas condiciones de seguridad,
comodidad y estética que el resto de los elementos del trazado.

La clotoide es una espiral, es decir, una curva cuya curvatura varía

proporcionalmente con la longitud de su desarrollo, siendo cero al comienzo de la
misma. En razón de esta característica, posee la propiedad de que un móvil que la
recorre a velocidad constante experimenta una variación uniforme de la
aceleración centrífuga. La parte de la clotoide que se emplea en un trazado de
camino no es sino un segmento de la espiral, cuya forma, por consiguiente, no es
apreciable.

Dentro de dichos lineamientos, se define a los peraltes como la mayor

elevación de la parte exterior de una curva en relación con la interior. El peralte
consiste en elevar en las curvas, el borde exterior de las vías una cantidad, para
que permita que una componente del vehículo se oponga a la fuerza centrífuga
(Fc) evitando de esta manera que el vehículo desvíe radialmente su trayectoria
hacia fuera.

Así mismo, en tramos en tangente o en curvas en contraperalte, las

calzadas deben tener una inclinación transversal mínima denominada bombeo,
con la finalidad de evacuar las aguas superficiales. El bombeo depende del tipo de
superficie de rodadura y de los niveles de precipitación de la zona. En este
sentido, en el presente trabajo de investigación se describen las curvas de
transición, clotoide, peralte y bombeo detalladamente para una mejor comprensión
del tema en estudio.

3
 Desarrollo

Curvas espirales de transición

El alineamiento horizontal con curvas circulares simples está compuesto por

tramos rectos enlazados por arcos circulares. Un tramo recto, o en tangente,
presenta un radio de curvatura infinito mientras que un arco circular presenta una
radio de curvatura constante lo que significa que en el PC y PT de una curva
circular se presenta un cambio brusco y puntual de curvatura, ocasionando a su
vez un cambio inmediato en la fuerza centrífuga. Lo anterior obliga a los
conductores a desarrollar una trayectoria errónea durante un tramo de vía,
principalmente a la entrada y salida de las curvas, mientras se asimila el cambio
en dicha fuerza centrífuga.

Por la razón expuesta anteriormente, y otras que se trataran más adelante,

se ha hecho necesario implementar una curva de transición que permita un
cambio gradual de curvatura entre una recta y una curva circular mejorando de
manera ostensible la comodidad, seguridad y estética en una vía. En la siguiente
figura, se puede observar el diagrama de curvatura de una curva circular simple.
Nótese la discontinuidad en la curvatura en el PC y en el PT de la curva.

Curvatura curva circular simple

4
Necesidad de las curvas de transición

En un trazado donde solo se emplean rectas y arcos de círculo, la curvatura

pasa bruscamente desde cero en la tangente hasta un valor finito y constante en
la curva.

Esta discontinuidad de curvatura en el punto de unión de los alineamientos

rectos con las curvas circulares no puede aceptarse en un trazado racional, pues
además de ser incómoda para el conductor puede ser causa de accidentes debido
a la fuerza centrífuga.

Es conveniente introducir un elemento intermedio, de radio variable, en la

unión de los tramos rectos y las curvas circulares, de tal modo que se produzca
una trayectoria adecuada a los cambios del equilibrio dinámico del vehículo,
cuando este pasa de un recorrido rectilíneo a uno circular, o viceversa.

Entre las funciones que debe cumplir este elemento de enlace, se destacan
los siguientes:

• Proporcionar un crecimiento gradual de la aceleración centrífuga, que evite

las molestias que significaría para los pasajeros su aparición brusca.
• Permitir al conductor entrar o salir de la curva circular, ejerciendo una
acción gradual sobre el volante del vehículo.
• Posibilitar un desarrollo gradual del peralte, aumentando la inclinación
transversal de la calzada a medida que disminuye el radio, hasta llegar
exactamente al valor necesario del peralte en el punto de comienzo de la
curva circular.
• Generar un trazado estéticamente satisfactorio y que oriente visualmente al
conductor.

Ventajas de las curvas de transición

Además de brindar una mayor comodidad y seguridad para los usuarios de

una vía, las curvas de transición presentan otras ventajas de gran importancia
como son:

5
 • Permite un cambio de curvatura gradual y cómodo entre un elemento con
un radio de curvatura infinito (recta) y un elemento con radio de curvatura
constante (arco circular). Cuando se emplean solo líneas y arcos este
cambio se realiza de una manera puntual ocasionando incomodidad e
inseguridad en los conductores.
• Permiten ajustar el trazado de la vía a la trayectoria recorrida por los
vehículos en las curvas, evitando que estos invadan el carril contrario.
Brinda una mejor apariencia a la carretera.
• Permiten desarrollar la transición del peralte de forma que el valor de este
en cualquier punto corresponda al requerido por la curvatura en dicho
punto. Cuando se tienen alineamientos sólo con líneas y arcos circulares se
tiene que en el punto de tangencia entre estos dos elementos se debe
pasar de un peralte de cero a un peralte requerido para la curva de acuerdo
al valor del radio y fuerza centrífuga. Lo anterior obliga a que este cambio
de peralte, que debe ser gradual, se desarrolle ya sea en la recta, en el
arco circular o en ambos elementos. Cualquiera que sea la solución genera
problemas tanto de incomodidad como de inseguridad.

Si la transición del peralte se realiza en su totalidad en la recta entonces se

está generando cierto grado de incomodidad ya que no se requiere peralte en una
recta.

Si se desarrolla la transición en la curva circular entonces se está

generando inseguridad ya que tanto a la entrada como a la salida de la curva se
está suministrando un valor de peralte inferior al requerido. Además esta solución
no es posible en muchas ocasiones debido a que la longitud de la curva circular es
relativamente corta.

Por último, si se combinan las dos soluciones anteriores se está generando,

aunque en menor proporción, cierto grado de incomodidad e inseguridad.

• Incrementa la visibilidad.
• Permite reemplazar largas tangentes por curvas cómodas y seguras sin
alargar mucho la longitud de la vía y sin afectar la visibilidad.

6
 • Facilita el cambio en el ancho de calzada en curvas donde, de acuerdo a su
radio principalmente, se requiere un ancho adicional. Este ancho adicional
se denomina sobreancho.
• Se evita la necesidad de entretangencias.

Ya que las curvas con espirales no requieren entretangencias, la tendencia

mundial en diseño de vías es la de obtener alineamientos suaves con curvas
espiralizadas y sin tramos rectos. En la siguiente figura se tiene el diagrama de
curvatura de una curva con espirales de transición la inicio y al final de esta.

Curvatura curva circular con espirales

Geometría de las curvas de transición

De las consideraciones señaladas anteriormente surge la necesidad de

emplear un alineamiento de transición entre los alineamientos rectos y curvos de
una carretera, a través del cual la curvatura pase gradualmente desde cero hasta

7
el valor finito de la curva circular, a la vez que la inclinación transversal de la
calzada pase también paulatinamente desde el bombeo al peralte.

En las carreteras modernas, la transición es un elemento de tanta

importancia como el círculo y la recta. Su uso se hace obligatorio para evitar o
aminorar las deformaciones ópticas de los bordes de la vía, a la vez que la
necesidad de adaptar el trazado a la configuración del terreno y al comportamiento
usual de la mayoría de los conductores induce a su empleo.

El uso de estos elementos permite que un vehículo circulando a la

velocidad específica correspondiente a la curva circular, se mantenga en el centro
de su pista. Esto no ocurre, por lo general, al enlazar directamente una recta con
una curva circular, ya que en tales casos el conductor adopta instintivamente una
trayectoria de curvatura variable que lo aparta del centro de su pista e incluso lo
puede hacer invadir la adyacente, con el peligro que ello implica.

La curva que se elija para efectuar la transición, esta debe satisfacer los
requerimientos exigidos por la dinámica del movimiento, la maniobrabilidad del
vehículo y el confort del conductor y la geometría del trazado.

La curva de transición que mejor se adapta a tales funciones es la clotoide;

esta curva pertenece a la familia de las espirales y su curvatura, nula en el punto
inicial, crece linealmente con su desarrollo. La ecuación paramétrica de la clotoide
está dada por la expresión A² = R * L, donde R= radio de la curva en un punto
determinado de la misma. L = Desarrollo de la curva desde el origen hasta el
punto de radio R y A es el Parámetro de la clotoide.

Esta curva tiene la particularidad de que un vehículo que la recorre a

velocidad constante, soporta una variación constante de la aceleración centrifuga
respecto del tiempo recorrido. Por lo tanto, esa variación de la aceleración puede
ser limitada seleccionando adecuadamente el parámetro o el desarrollo de la
curva.

8
Tipos de curvas de transición

Las curvas de transición inicialmente se aplicaron en el trazado de líneas

férreas a finales del siglo XIX mientras que para las carreteras su uso se inicia en
la década de los treinta en el siglo pasado. A lo largo de todos estos años se han
planteado diferentes tipos de curvas de transición dentro de las cuales tenemos:

• La parábola cúbica
• La espiral cúbica
• Curva de transición de Klein
• Curva de transición senoide de Bloss
• Curva de transición de Schram (parábola de cuarto grado)
• Curva de transición de Lange (ecuación de quinto grado)
• Curva de transición de óvalos de Cassini o curva elástica (radioide a las
abscisas)
• La lemniscata de Bernoulli (radioide a las cuerdas)
• Clotoide o espiral de Euler (radioide a los arcos)
• Curva de transición de séptimo grado
• Espiral de Searles
• Espiral logarítmica

Dentro de todas las anteriores las más utilizadas son la espiral de Euler, la
lemniscata de Bernoulli y la curva elástica. Siendo la primera la más conveniente y
empleada en ferrocarriles y carreteras.

La clotoide o espiral de Euler

Es también conocida como espiral de Cornu y espiral de Arquímedes y se

trata de una curva plana que se desarrolla a partir de un punto dando vueltas,
alejándose de él cada vez más y disminuyendo su radio. Para el diseño
geométrico de vías se utiliza solo su parte inicial.

9
Ley de curvatura de la espiral de Euler

Cuando un vehículo transita sobre una curva de radio Rc a una velocidad

constante V, experimenta una aceleración centrífuga o radial cuya magnitud se
calcula como:

Clotoide o espiral de Euler

Este valor sería el cambio inmediato que se tiene en el momento de pasar
de una recta a una curva circular y viceversa, es decir en el PT y en el PC. Si entre
el tramo recto y el tramo circular se ubica una curva de transición, de longitud Le,
se produce una variación por unidad de longitud a lo largo de esta dada por:

Ahora, la aceleración centrífuga en un punto cualquiera de la transición, a

una distancia L del punto inicial es igual a:

10
 Reemplazando la ac en este punto donde el radio es R se tiene que:

Luego,

Rc.Le = R.L

Llamando A2 el producto de las constantes Le y Rc:

A2 = R.L

Donde:

Esta última ecuación es llamada Ley de Curvatura de la Espiral de Euler e

indica que el radio de curvatura R es inversamente proporcional a la distancia L
recorrida a lo largo de la curva desde su origen. De otra manera, en un punto
cualquiera de la curva el producto del radio R y la distancia L es constante e igual
a A2.

La constante A se denomina parámetro de la espiral y permite hallar el radio

de la curva en un punto cualquiera de esta con la expresión:

R = A2/L

Por ejemplo en una curva espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la

longitud final L = Le = 40, el valor de A2 es 3600 se tienen los siguientes valores
de R a lo largo de la curva:

11
 Valores de r a lo largo de la espiral

En la siguiente figura se tiene la clotoide de la tabla anterior donde se

puede observar además la evoluta de la espiral que corresponde al lugar
geométrico de los centros de los radios de curvatura.

Clotoide y evoluta con a = 60

12
Elementos de la curva espiral – circular – espiral

En las figuras que se muestran a continuación, se presentan todos los

elementos que conforman la curva compuesta por una espiral de entrada, un arco
circular central y una espiral de salida. Luego se define cada uno de los elementos
indicados en las figuras.

Geometría curva espiral – circular – espiral

Xc, Yc, Ce

13
TE = Punto de empalme entre la recta y la espiral

EC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular

CE = Punto de emplame entre el arco circular y la espiral

ET = Punto de emplame entre la espiral y la recta

Δ = Deflexión de la curva.

Rc = Radio curva circular

Le = Longitud curva espiral

θe = Delta o deflexión curva espiral

Xc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CE

Yc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CE

P = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangente

K = Abscisa Media. Distancia entre el TE y el punto donde se produce el disloque

Te = Tangente de la curva. Distancia TE – PI y PI - ET

Ee = Externa

Tl = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y PIe

Tc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CE

Ce = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ET

Φ = Angulo de la cuerda larga de la espiral

Δc = Deflexión de la curva circular

G = Grado de curvatura circular

Lc = Longitud curva circular

Cc = Cuerda larga circular

14
 Otros elementos curva espiral
Ecuaciones de la clotoide

Para calcular los elementos de una curva Espiral – Circular – Espiral se

deben conocer inicialmente tres valores:

• El delta de la curva (Δ) que se puede leer en el terreno, en el plano o en el

computador de acuerdo al procedimiento utilizado.
• El radio de la curva circular (Rc) que se define a partir de los mismos
parámetros y criterios que el de la curva circular simple.
• La longitud espiral (Le).

De la figura mostrada a continuación, se puede obtener que:

dl = R.dθ

Pero:

R = A2/L

15
Por lo que:

Obtención de ecuaciones de espiral

Integrando:

, Con θ en radianes

Remplazando el valor de A2 por Rc.Le se tiene que:

Ahora para un valor de l = Le se tiene que θ =θe por lo tanto:

, Con θe en radianes

16
 Para obtener el valor en grados sexagesimales de debe multiplicar por 180
y dividir por π:

, Con θe en grados

Ahora en el triángulo diferencial de la figura anterior se puede observar que,

por tener los lados ortogonales entre sí, el ángulo formado por dl y dx es θ, por lo
tanto:

dx = dl.Cosθ

dy = dl.Senθ

Para hallar las coordenadas cartesianas (x,y) del punto p se debe integrar:

Utilizando las series de McClaurin del seno y el coseno donde:

Reemplazando estos dos valores y el de la ecuación se tiene:

17
 Por último, integrando y reemplazando de nuevo el valor de ,
se obtiene:

Los valores de θ están en radianes y son suficientes los tres primeros

términos de la serie para el cálculo de los valores de x y y en un punto cualquiera
de la espiral a una distancia l del origen.

Normalmente la longitud de la espiral inicial o de entrada es igual a la

longitud de la espiral final o de salida teniéndose una curva simétrica. Inicialmente
trataremos este tipo de curva, por lo tanto para hallar las coordenadas cartesianas
del EC y del CE se reemplaza l por Le y θ por θe quedando:

Si se observa la figura de “Otros elementos curva espiral” se puede notar

que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separándola un
distancia Yc en el punto donde estas empalman (EC y CE) y una distancia p,
llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto
donde supuestamente estaría ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras
palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es
paralela a la tangente de la curva.

18
 El punto p está ubicado a una distancia K desde el TE en la dirección de la
tangente. El valor de K se conoce como abscisa media ya que su valor es
aproximadamente igual a la mitad de Le. Podría decirse entonces, que el disloque
es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral
reemplaza parte de la curva circular.

Entonces, de la figura anteriormente mencionada, se tiene que:

Despejando P obtenemos:

En el mismo triángulo,

Por lo tanto:

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la

necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa
que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con
curvas de transición por lo que se podría prescindir de estas. Un valor alto indica
que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se
deben usar las espirales de transición.

De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al

aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes
no requiere de espirales de transición. Aunque se han manejado valores límites
para disloque, inicialmente fue de 0.30 m y luego de 0.09 m, por debajo de los
cuales se recomienda no usar transiciones, los diseños actuales contemplan el

19
uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del
disloque.

De la figura “Geometría curva espiral – circular – espiral” se tiene que:

De la misma figura;

Regresando a la figura de “Otros elementos curva espiral”:

De la figura de “Xc, Yc, Ce”, podemos obtener Ce:

Ahora obtengamos los elementos de la curva circular. De la figura

“Geometría curva espiral – circular – espiral” es claro que:

Los valores de los demás elementos se calculan como en la curva circular

simple, esto es:

20
 o

El valor del ángulo de deflexión para un punto cualquiera P de la curva

espiral desde el TE o el ET está dado por:

Pero para evitar el cálculo de los valores de X y Y para cada estación de la

curva espiral se ha probado que:

Donde J es una corrección muy pequeña, que se puede despreciar, y

equivalente a:

Con θ en grados y J en segundos.

De igual forma la deflexión φ para el EC o CE es:

Se ha demostrado además que las deflexiones para las diferentes

estaciones de la espiral se pueden calcular de una manera más rápida e igual de
precisa con la expresión:

21
Donde:

φp = Deflexión de un punto P cualquiera desde el TE o desde el ET en grados

φ = Deflexión para el EC o CE en grados

l2 = Distancia del punto P desde el TE o el ET

Le = Longitud de la curva espiral

Longitud mínima de la espiral (Le)

Aunque la longitud de la curva espiral se asume, esta debe tener una

longitud tal, que satisfaga ciertos parámetros y criterios, principalmente de tipo
dinámico, estético y geométrico. De todas formas es bueno considerar cuales de
estos criterios son lo más relevantes para el ingeniero de diseño en el momento de
definir la longitud mínima y simplificar los cálculos.

En la práctica no se acostumbra calcular la longitud para cada curva, sino

que de acuerdo a los criterios que se analizarán se asume un valor mínimo para el
proyecto o también se acostumbra elaborar una tabla con valores que varían de
acuerdo al radio de la curva.

Longitud mínima según transición del peralte

Podría decirse que es de los criterios más importantes ya que en la

transición del peralte, cuando pasa de un tramo recto a un tramo curvo, se debe
garantizar una cierta comodidad y seguridad. En un tramo recto la inclinación
transversal de la calzada corresponde al bombeo cuyo valor es del orden del -
2.0%, mientras que en un tramo curvo la inclinación transversal corresponde al
peralte requerido de acuerdo al radio de curvatura y la velocidad de diseño con
valores que pueden alcanzar hasta el 10.0%. Se requiere entonces para este
cambio una longitud, calculada con la siguiente expresión:

22
Donde:

Lt = Longitud de transición del peralte (m)

e = valor del peralte (%)

a = distancia del eje al borde de calzada (m)

I = Inclinación longitudinal de la rampa de peraltes (%)

La inclinación longitudinal de rampa de peraltes está dada en función de la

velocidad, a mayor velocidad menor inclinación, por lo tanto mayor longitud de
transición.

Longitud mínima según variación de la aceleración centrífuga

Realmente este aspecto, que tiene que ver principalmente con la

comodidad, va muy ligado al de la transición del peralte. Aunque el valor de la
inclinación de rampa de peralte (l) ha considerado la comodidad para el alabeo
que se experimenta en el ascenso y descenso de los bordes de calzada con
respecto al eje de esta en la transición del peralte, existen algunas fórmulas que
permiten calcular la longitud mínima que garantice un buen confort.

Se tiene una fórmula general deducida a partir de la ecuación de equilibrio

de un vehículo en movimiento en una curva:

Donde:

V = Velocidad (Km/h)

Rc = Radio de la curva (m)

e = Peralte (decimales)

C = Variación de la aceleración radial por unidad de tiempo (m/s3)

El parámetro C es una constante empírica que se asume de acuerdo al

grado de comodidad que se desee obtener y se ha demostrado

23
experimentalmente que varía entre 0.3 y 0.9 recomendándose un valor promedio
de 0.6 m/s3.

Existe la fórmula de Smirnoff la que aconseja un valor para C de 0.41 6

m/s3, por lo que se tiene:

La fórmula de shortt no tiene en cuenta el peralte por lo que se convierte en:

Por último se tiene la fórmula de Barnett que es la misma de Shortt pero

con un valor de C de 0.6 m/s3:

Longitud mínima de acuerdo a la estética

Se recomienda que por estética el valor de la deflexión de la espiral θe sea

mínimo de 3.15 grados.

Despejando Le y reemplazando θe por 3.15 de la expresión:

Se tiene que:

Le = 0.11Rc o

24
 Debe tenerse en cuenta además que la longitud de la espiral no difiera
demasiado de la circular. Desde el punto de vista estético no es aconsejable
emplear longitudes muy largas de espiral con longitudes muy cortas de curva
circular o viceversa.

Longitud mínima según la AASHTO

Según esta institución norteamericana la longitud mínima de espiral no

debe ser inferior a la distancia recorrida durante dos segundos a la velocidad de
diseño. Quiere decir esto que:

Por lo que:

Con Vd en Km/h y Le en metros.

Según Velocidad de Diseño

Independientemente de los criterios anteriores, se recomienda un valor

mínimo absoluto para la longitud de la espiral a partir de la velocidad de diseño.
Estos valores son:

Longitud mínima absoluta de espiral

25
Normas Venezolanas

Longitud de transición para ancho de rotación de 1 canal

Rc Le
50 55
60 60
70 60
80 65
90 70
100 70
120 75
140 80
150 80
160 85
180 85
200 90
440 90
450 85
520 85
540 80
600 80
700 70
750 70
800 65
850 60
900 60
950 55
1000 55
1100 50
1200 45
1300 40
1400 35
1500 30

26
Abscisado de la curva espiral – circular – espiral

El valor de los puntos de la curva circular con espirales transición a la

entrada y salida se puede obtener de la Figura “Geometría curva espiral – circular
– espiral”:

TE = PI – Te

EC = TE + Le

CE = CE + Lc

ET = CE + Le

Lo que quiere decir que además de conocer el valor del delta de la curva, el
radio y la longitud de la espiral es necesario conocer la abscisa del PI, para
calcular tanto los elementos como las deflexiones de la curva.

Localización de la curva espiral – circular – espiral

Aunque existen diferentes formas de localizar una curva con espirales de

transición, la manera tradicional y más apropiada de hacerlo es por medio de
cuerdas y deflexiones.

Existe otro método que es el de las coordenadas cartesianas, es decir

valores de X y Y, pero esto implica un mayor número de cálculos y un
procedimiento más laborioso en el terreno ya que se deben ubicar inicialmente
puntos a lo largo de la tangente, que serían los valores de X, y luego
perpendiculares a estos puntos, correspondientes a los valores de Y. De todas
maneras en los ejemplos que se presentan a continuación se calcularán los
correspondientes valores de X y Y para las diferentes estaciones redondas de la
espiral.

Un tercer método es el de las coordenadas absolutas o radiación desde un

punto cualquiera. Esta metodología es apropiada cuando el terreno presenta una
configuración topográfica tal que no permita localizar la curva por cuerdas y
deflexiones y se debe ubicar un punto que permita un dominio visual para toda la
curva. También es recomendable en proyectos de rectificación donde se hace

27
necesario localizar el nuevo diseño desde puntos que no interrumpan el tránsito
vehicular y además no pongan en peligro la integridad física de los trazadores. Se
requiere para este procedimiento del uso de una estación total y de una
calculadora programable o un computador que permita realizar los cálculos de una
forma ágil y precisa.

A continuación se presenta la metodología para localizar la curva por el

método de cuerdas y deflexiones:

• Estando ubicado en el PI se mide el valor de la tangente, Te, en dirección

de los dos alineamientos que definen dicho PI. Se obtiene así la ubicación
del TE y el ET.
• Se traslada el equipo hacia el TE y con “ceros” en el PI se localizan todas
las estaciones redondas de la primera espiral hasta llegar al EC. Esta
localización se realiza con cuerdas y deflexiones, estas últimas calculadas
previamente.
• Se mide sobre la tangente (línea TE – PI) el valor de la tangente larga Tl
determinando así la ubicación del PIe. Luego se chequea el valor de la
tangente corta Tc con el fin de verificar que la primera espiral ha sido bien
localizada. La tangente corta es la distancia entre el PIe y el EC.
• Se ubica ahora el equipo en el EC y con el telescopio invertido y línea en el
Pie se transita 180 grados determinando así la línea de referencia para
medir las deflexiones de la curva circular llegando así hasta el CE.
• Finalmente se ubica el equipo en el ET y con línea en el PI se localiza la
segunda espiral en sentido contrario al abscisado, es decir desde el ET al
CE, obteniendo el error de cierre en este último.

El procedimiento anterior también puede realizarse de forma inversa, es

decir, iniciando en el ET y localizando hasta el CE, luego la curva circular desde el
CE hasta el EC y por último desde el TE cerrando en el EC.

28
Ejemplos de cálculo de curva espiral – circular – espiral

Inicialmente es bueno considerar que este tipo de curvas requiere del uso
de una calculadora programable con el fin de agilizar tanto sus cálculos como su
localización en el terreno. Primero que todo, debido a la gran cantidad de
elementos que conforman una curva con espirales de transición incluyendo sus
deflexiones, se requiere de un buen lapso de tiempo si se realiza con una
calculadora convencional. Pero además se debe tener la seguridad de los valores
obtenidos en el momento de localizar la curva, ya que si esta no cierra en el
terreno, se puede tener la certeza de que el error ha sido durante la localización,
porque de lo contrario la pérdida de tiempo sería considerable ya que si además
de localizarla de nuevo se debe volver a calcular.

Ejemplo 1. Cálculo de curva espiral – circular – espiral

Datos:

Curva No 1 Derecha

Δ = 57º11’36”

R = 80.00

C = 10.00

Abscisa PI = K0+231.54

Velocidad de diseño = 50.0 Km/h

Ancho de calzada = 7.30 m

Obtener:

Le adecuada

Todos los demás elementos

Deflexiones de toda la curva

29
Cálculos:

• Longitud espiral (Le):

De acuerdo a la transición del peralte la longitud mínima está dada por:

Del Manual del I.N.V. se tiene que para un radio de 80.0 m:

e = 8.0%
I = 0.77%
a = 3.65

Según la variación de la aceleración centrifuga, empleando la fórmula de Barnett

se tiene que:

De acuerdo al criterio estético se tiene que:

Según la AASHTO:

Se puede observar, comparando los resultados, los valores tan diferentes:

37.9, 55.8, 8.9 y 27.9. Esto indica que para definir la longitud mínima de la espiral
juega un papel importante otros aspectos como podrían ser la disponibilidad de
espacio, el tipo de vía y principalmente la experiencia del diseñador. Como

30
conclusión, considero que el criterio más importante es el de la transición del
peralte ya que implícitamente considera la comodidad y seguridad y el valor
obtenido está por encima del calculado según el aspecto estético y de la longitud
mínima absoluta.

La longitud espiral se redondea normalmente a un valor múltiplo de 5 y

mayor del valor calculado por lo tanto para el ejemplo se considera una longitud
espiral de 40 metros.

• Demás elementos:

Parámetro de la clotoide:

Deflexión de la espiral:

Coordenadas Xc y Yc:

Coordenadas del PC:

31
Nótese que el valor de K es aproximadamente igual a la mitad de Le.

Tangente de la curva:

Externa de la curva:

Ubicación del PIe:

Por lo general el valor de la tangente corta, Tc, es levemente superior a la mitad

de la tangente larga, Tl.

Cuerda larga espiral:

Deflexión de la cuerda larga de la espiral:

O también,

32
Elementos de la curva circular:

• Abscisado de la curva:

TE = PI – Te = 231.54 - 64.02 = K0+167.52

EC = TE + Le = 167.52 + 40 = K0+207.52

EC = CE + Lc = 207.52 + 39.83 = K0+247.35

ET = CE + Le = 247.35 + 40 = K0+287.35

• Deflexiones:

El cálculo de las deflexiones se realizará por dos métodos diferentes uno más
rápido que otro, pero como se podrá observar, igual de preciso.

Recordemos que las deflexiones para las estaciones de la curva espiral se pueden
calcular con:

A continuación se presenta el cuadro de deflexiones para toda la curva incluyendo

la curva circular:

33
 Coordenadas y deflexiones

Se debe tener en cuenta que las deflexiones de la curva circular, es decir entre el
EC y el CE se calculan de igual forma que en la curva circular simple.

Se puede apreciar en la tabla que la deflexión calculada con los valores de X y Y

difiere en algunos segundos de la calculada en la cuarta columna. Esta diferencia
es insignificante en el campo en el momento de ubicar las estaciones por lo que la

fórmula se puede considerar como la más apropiada para el cálculo

34
de las deflexiones de la espiral. De todas formas si se dispone de una calculadora
programable es indiferente usar alguna de las dos.

Ejemplo 2. Cálculo de elementos y deflexiones de una curva espiral –

circular – espiral

Datos:

Curva No 2 Izquierda

Δ = 27º28’14”

R = 80.00

C =10.00

Abscisa PI = K0+682.18

Velocidad de diseño = 50.0 Km/h

Ancho de calzada = 7.30 m

Obtener:

Le adecuada

Todos los demás elementos

Deflexiones de toda la curva

Cálculos:

Longitud espiral (Le):

Como el valor del radio es el mismo del ejemplo anterior entonces no cambia los
valores de Le y θe, por lo tanto:

Le = 40.0

Se puede observar aquí, antes de continuar con el cálculo de los demás

elementos, que la suma de las dos deflexiones de la curva espiral es mayor que la
deflexión total de la curva, es decir que:
35
2x14º19’26” = 28º38’52” y

28º38’52” > 27º28’14”

Quiere decir que si se calcula la deflexión de la curva circular, esta sería negativa
al igual que la longitud:

Δc = Δ − 2θe = 27°28'14"−2x14°19'26"= −1°10'38"

Se tiene entonces que geométricamente no es posible combinar los valores de los

tres elementos: deflexión, radio y longitud espiral.

Este problema puede tener tres soluciones:

• Aumentar el valor del radio ya que esto disminuye el valor de θe

aumentando por lo tanto la deflexión circular. Esta solución no siempre es la
apropiada ya que se incrementa el valor de la tangente y de la externa,
obteniéndose una curva que posiblemente no se adapte a las condiciones
físicas y de espacio disponible.
• Disminuir el valor de Le, ya que esto disminuye también el valor de θe y
aumenta la deflexión circular. Esta solución puede ocasionar que se trabaje
con una longitud espiral por debajo de la mínima requerida, por lo tanto
puede ser no apropiada.
• Emplear una curva sin tramo circular, es decir, solo con las dos curvas
espirales. Esta curva, espiral – espiral, es un caso particular de la curva
espiral – circular – espiral donde la longitud circular es cero. Su forma de
calcularla difiere un poco de la curva espiral – circular – espiral y es muy
usada para valores de deflexión pequeños, regularmente por debajo de 30º.

Peralte

Se le denomina peralte a la inclinación transversal de la carretera en los

tramos de curva, destinada a contrarrestar la fuerza centrífuga del vehículo.

Consiste en elevar en las curvas, el borde exterior de las vías una cantidad,
para que permita que una componente del vehículo se oponga a la fuerza
centrífuga (Fc) evitando de esta manera que el vehículo desvíe radialmente su
trayectoria hacia fuera.

36
 Si se considera de una manera simplificada, las fuerzas que actúan sobre
un vehículo que se desplaza en una trayectoria curva horizontal, se observa que la
única fuerza que se opone al desplazamiento lateral del vehículo es la fuerza de
rozamiento que se desarrolla entre el neumático y el pavimento. La fuerza de
rozamiento no es suficiente para impedir el desplazamiento transversal. Por ello
para evitar que los vehículos de salgan de su trayectoria es necesario que los
componentes normales a la calzada sean siempre del mismo sentido y se suman
contribuyendo a la estabilidad del vehículo, en tanto que las componentes
paralelas a la calzada son de sentido opuesto y su relación puede hacer variar los
efectos que se sienten en el vehículo.

Dinámica de un vehículo en una curva

Cuando un vehículo se desplaza sobre una curva de radio R, en metros, a

una velocidad uniforme V, en metros por segundo, experimenta una fuerza
centrífuga en dirección del centro de la curva, equivalente a Fc = m.a (Ver la
siguiente figura).

Dinámica de un vehículo en una curva

Si recordamos que la aceleración centrífuga está dada por:

y P = mg,
Entonces:

37
 Donde:
P = peso
g = aceleración de la gravedad
R = radio de la curva (m)
V = velocidad (m / seg)
Esta fuerza centrífuga se contrarresta por una o las dos de las siguientes
fuerzas:

• Por la fricción que se presenta entre las llantas y la superficie de rodadura

de la vía.
• Elevando el borde exterior con respecto al interior, elevación que se llama
peralte. El peralte inclina el vehículo y su peso puede ser descompuesto en
una componente normal al piso y otra paralela a este. Esta última es la
segunda fuerza que contrarresta la fuerza centrífuga.

Considerando el vehículo de la figura anterior, la ecuación de equilibrio en la

dirección paralela al plano inclinado es la siguiente:

ff + P.Senα = Fc.Cosα (1)

La fuerza de fricción, ff, es igual a la suma de las componentes normales de P

y Fc por un coeficiente de fricción entre llantas y pavimento. Su valor está
determinado por numerosos factores, como el estado de las superficies en
contacto, velocidad del vehículo, presión de inflado, etc. De acuerdo a esto
tenemos que:

ff = f ( P.Cosα + Fc.Senα) (2)

Donde f = coeficiente de fricción.

Reemplazando ff en (1) y Fc en (1) y (2) tenemos:

f ( P.Cosα + P. Senα. V2/gR) + P.Senα = P. Cosα. V2/gR (3)

Ahora dividiendo (3) por P y Cosα se obtiene:

f (1 + Tanα .V2/gR) + Tanα = V2/gR

38
 Pero Tanα es igual a la inclinación de la calzada, o sea el peralte de la curva, el
cual se denota por e

f (1 + e .V2/gR) + e = V2/Gr

f + e = V2/gR – f. e. V2/gR

f + e = V2/gR (1 – f.e.)

Debido a que los valores de f están comprendidos entre 0.09 y 0.18 y los de e
oscilan entre 0.02 y 0.08 (peralte máximo), entonces su producto se puede
despreciarse ante la magnitud de P, entonces:

e = V2/gR – f

Si reemplazamos a g por su valor real y expresando la velocidad en kilómetros

por hora se obtiene que:

Que es la fórmula simplificada para el cálculo del peralte en función del radio
de la curva, en metros y la velocidad en kilómetros por hora y el coeficiente de
fricción lateral.

Valores del coeficiente de fricción lateral

A partir de innumerables pruebas realizadas por diferentes organizaciones

se han obtenido valores aplicados al diseño del peralte como función de la
velocidad. Los valores del coeficiente de fricción, que se presentan en la siguiente
tabla, disminuyen al aumentar la velocidad.

Coeficientes de fricción lateral

Tomado del Manual de Diseño Geométrico de Vías del I.N.V.

39
Peralte máximo

El peralte es la inclinación transversal, en relación con la horizontal, que se

da a la calzada hacia el interior de la curva, para contrarrestar el efecto de la
fuerza centrífuga de un vehículo que transita por un alineamiento horizontal en
curva. Dicha acción está contrarrestada también por el rozamiento entre ruedas y
pavimento.

En Colombia el I.N.V. ha determinado un peralte máximo para vías rurales

del 0.08 (8.0%), el cual permite manejar aceptables velocidades específicas y no
incomodar a vehículos que viajan a velocidades menores. La AASHTO
recomienda un peralte máximo del 12.0% para vías rurales. Para vías urbanas,
teniendo en cuenta las menores velocidades que normalmente se desarrollan en
estas y las dificultades que se presentan al tratar de poner peraltes altos con los
paramentos de las edificaciones adyacentes, con las vías existentes que se
cruzan con la que se está diseñando o con las que sirven de acceso a las
proximidades aledañas la ASSHTO propone que puede bajarse el máximo hasta
el 4 o 6% en los casos en que se presentan tales dificultades, de lo contrario debe
utilizarse el peralte requerido.

Radios mínimos absolutos

Una vez definidos el peralte máximo, el coeficiente de fricción máximo y la

velocidad específica, podemos determinar el radio mínimo con la expresión:

Donde:

Rmin = Radio mínimo absoluto

Ve = Velocidad especifica (Km/h)

emax = peralte máximo asociado a Ve, en tanto por uno

fmax = coeficiente de fricción lateral máximo, asociado a Ve.

40
 La siguiente tabla presenta los radios mínimos absolutos para las
velocidades específicas indicadas y el valor recomendado de peralte. Para radios
mayores al mínimo se debe utilizar valores de peralte inferiores al máximo de
modo que la circulación sea cómoda y segura tanto para los vehículos rápidos
como para los lentos. Los valores de radio se han obtenido a partir de la ecuación
del radio mínimo. Para cada Ve entre 30 y 150 Km/h se ha recomendado un valor
de peralte máximo y con los valores del factor de fricción lateral de la tabla de
Coeficientes de fricción lateral se han calculado los valores del radio mínimo.

Radios mínimos absolutos

Tomado del Manual de Diseño Geométrico de Vías del I.N.V.

La figura que se muestra a continuación “Relación peralte – radio y
velocidad – radio” permite obtener el peralte y el radio para una curva que se
desea diseñar para una velocidad específica determinada. El uso del ábaco
establece una relación única entre los elementos de diseño: radio, peralte y
velocidad, con la cual se obtendrá diseños cómodos y seguros. Igualmente
permite establecer el peralte y la velocidad específica para una curva que se
desea diseñar con un radio dado.

41
 Para curvas con radio comprendido entre 30 metros y 170 metros,
correspondientes a una velocidad específica entre 30 y 70 Km/h respectivamente,
el peralte deberá ser del 8%. Para valores mayores del radio, el peralte se obtiene
de acuerdo con la ecuación de equilibrio que relaciona el radio, el peralte, la
fricción transversal y la velocidad específica. Las curvas con radio comprendido
entre 4000 y 7000 metros, tendrán el 2% de peralte y una velocidad específica de
150 km/h.

Existen curvas de radio amplio mayores a 7000 metros las cuales no

requieren peralte, es decir la sección transversal corresponde al bombeo normal
con inclinación transversal del 2%.

Relación peralte – radio y velocidad – radio

Tomado del Manual de Diseño Geométrico de Vías del I.N.V.

42
Desarrollo del peralte

Cuando se presenta en el alineamiento horizontal una curva es necesario

modificar la inclinación transversal desde el bombeo hasta el peralte requerido
para la curva y luego después de la curva desde el peralte hasta el bombeo
nuevamente. Esta modificación en la inclinación transversal, que se debe realizar
a lo largo de una longitud apropiada, se denomina transición del peralte y se
puede desarrollar de tres maneras:

• Girando el pavimento de la calzada alrededor de su línea central o eje: Es

el más empleado ya que permite un desarrollo más armónico, provoca
menor distorsión de los bordes de la corona y no altera el diseño de la
rasante. Es además el más fácil de calcular.
• Girando el pavimento alrededor de su borde interior: Se emplea para
mejorar la visibilidad de la curva o para evitar dificultades en el drenaje
superficial de la carretera, en secciones en corte. Origina cambios en la
rasante de la vía.
• Girando el pavimento alrededor de su borde exterior: Se usa cuando se
quiere destacar la apariencia del trazado. Es el menos utilizado y el que
genera mayores cambios en la rasante.

Convención del peralte

La convención que puede resultar más simple es la de llamar positivo el

peralte que levanta el borde con respecto al eje y negativo al que lo baja. Los
signos quedan entonces como lo muestra la siguiente figura. Es importante tener
en cuenta que en una curva el peralte eleva el borde externo y desciende el eje
interno. El borde externo es el opuesto al centro de la curva mientras que el borde
interno está ubicado hacia el centro de la curva.

Convención del peralte

43
Longitud de transición del peralte

Para llevar a cabo el cambio de la sección transversal de una vía en

tangente, cuya inclinación se denomina bombeo, a la sección transversal con el
peralte requerido en una curva, se necesita establecer o diseñar una transición
entre estas dos.

Se llama longitud de transición, o simplemente transición, a la distancia en

que se efectúa el cambio de la sección normal en tangente a la sección con
peralte pleno en la curva. Dicha transición está compuesta por dos distancias. Ver
la siguiente figura:

Métodos para desarrollar el peralte

• La primera distancia es la transición del bombeo, o sea la distancia
requerida para eliminar el peralte adverso, correspondiente al bombeo de
sentido contrario al del peralte de la curva. A lo largo de esta transición la
pendiente del carril y la de la berma de la parte exterior de la curva pasa de
la pendiente del bombeo, usualmente 2.0%, a una pendiente de 0.0%. Esta
longitud la llamaremos N. Se conoce también como longitud de
aplanamiento.
• La segunda distancia es la transición del peralte propiamente dicha, que es
la distancia en la cual adquiere el peralte total requerido por la curva.

44
 Inicialmente se eleva de forma constante el borde exterior de la vía a partir
de la sección con peralte 0.0% hasta el punto donde adquiere la pendiente
del bombeo pero con valor positivo, mientras que el borde interno
permanece fijo. A partir de este punto comienza a bajar el borde interior
mientras que el exterior continúa subiendo, ambos a la misma rata y
formando un solo plano, hasta el punto donde dicho plano adquiere la
pendiente correspondiente al peralte necesario para la curva.

Transición del peralte

En la figura anterior “Transición del peralte” se presenta la sección
transversal de la vía para cada uno de los puntos definidos en el esquema anterior
y considerando si es una curva izquierda o derecha.

Sección trasversal en transición del peralte

45
 Se puede observar además, que la distancia B - C y F – G son iguales y
equivalentes a N, ya que el cambio absoluto de peralte también es igual al
bombeo.

Al efectuar la transición, los bordes de la vía adquieren una pendiente

diferente a la del eje, pendiente que debe permanecer constante a lo largo de toda
la transición, tanto en la del bombeo como en la del peralte.

Rampa de peraltes

Se define la rampa de peraltes, como la diferencia relativa que existe entre

la inclinación del eje longitudinal de la calzada y la inclinación de los bordes de la
misma.

En la figura de “Transición del peralte” el ángulo α está definido por la línea

del eje de vía y la línea que describe el borde externo de la misma. A lo largo de la
longitud de transición (Lt) el borde externo asciende desde un peralte cero hasta el
peralte (e) requerido para la curva. Por lo tanto la distancia vertical entre el eje de
la vía y ambos bordes es igual a la distancia horizontal, en este caso la mitad de la
calzada, multiplicado por la pendiente, en este caso el peralte.

Donde:

I = Inclinación longitudinal de la rampa de peraltes (%)

e = Peralte de la curva (%)

a = Distancia del eje al borde de la calzada (m)

Lt = Longitud de transición (m)

La inclinación longitudinal máxima para la rampa de peraltes está

determinada por la velocidad específica, mientras que la mínima está definida para
cualquier velocidad como la décima parte de la distancia entre el eje y el borde de
la calzada.

46
 Se entiende que a mayor velocidad, los bordes de calzada deben de
desplazarse verticalmente con respecto al eje a una rata menor de modo que se
genere una mayor comodidad para los usuarios. A continuación se tiene la tabla
de Inclinaciones máximas de acuerdo a la velocidad específica donde se observa
que a mayor velocidad menor debe ser la inclinación relativa.

Inclinación máxima en rampa de peraltes

Ahora, de acuerdo al radio de curvatura se define la velocidad específica a

partir de la cual se obtiene, de la tabla anterior, el valor de la máxima inclinación
relativa de la rampa de peralte. De la ecuación anterior, se tiene que:

Ecuación con la cual se calcula la mínima longitud de transición del peralte

de una curva de modo que satisfaga la máxima inclinación relativa de la rampa de
peralte.

47
Transición del bombeo

En la figura de “Transición del peralte” se presentan dos triángulos

semejantes con la siguiente relación:

Por lo tanto:

Donde:

N = Transición requerida para el bombeo (m)

e = Peralte de la curva (%)

b = Valor del bombeo (%)

Lt = Longitud de transición (m)

Cálculo del peralte

Para calcular el valor del peralte en un punto cualquiera p de la rampa de

peralte se plantea una relación de triángulos semejantes a partir de la siguiente
figura:

Peralte en un punto cualquiera p

48
 De la relación de triángulos semejantes se tiene que:

Por lo tanto,

Donde:

ep = Peralte en un punto p dentro de la rampa de peraltes.

Dp = Distancia desde el punto p al punto B para la primera rampa y al punto G

para la segunda rampa.

Lt = Longitud de transición.

e = Peralte máximo para la curva.

Con esta ecuación, aplicada independientemente sea el tipo de curva o

método utilizado, se puede calcular el valor del peralte en un punto cualquiera
desde la abscisa A hasta la abscisa D y desde la abscisa E hasta la abscisa H.

Como se puede observar el valor de e y el valor de Lt son constantes para

cualquier punto y su relación (e/Lt) se denomina Factor de Peralte (Fp), por lo
tanto se tiene que:

49
 Finalmente se puede realizar el siguiente análisis:

• Entre el sector A – C el peralte para el borde interno permanece constante

e igual al bombeo.
• En el mismo tramo, el borde externo varía desde –b hasta +b de forma
lineal pasando por la abscisa B donde su valor es cero.
• Entre el tramo C – D el peralte varía de forma lineal entre b y e para el
borde externo y entre -b y –e para el borde interno. Para una abscisa
cualquiera el valor es igual para ambos bordes pero con signo contrario.
• En el sector D – E el peralte es constante e igual al peralte máximo
recomendado para la curva.
• Entre las abscisas E y H el peralte varía de manera inversa al tramo A – D,
generando un diagrama simétrico con respecto a la parte central de la
curva.

Cuando se construye una vía, la conformación de la banca y de la

estructura del pavimento se realiza con los valores de cotas tanto del eje como de
los bordes de la banca y del pavimento. Por esta razón se deben de obtener las
diferencias de altura entre el eje de la vía y sus bordes para una misma abscisa.
Estas diferencias de abscisa se calculan con la distancia, que corresponde a la
mitad de la calzada, y el valor correspondiente del peralte. Este valor se suma o
resta a la altura del eje obteniendo así el valor de la altura de los dos bordes.

Ejercicio resuelto de peralte

A continuación se presenta un ejemplo de cálculo del peralte de una curva.

Es bueno considerar que todos los diagramas de peralte presentados en este
trabajo suponen el eje de la vía horizontal, lo que frecuentemente no ocurre. Esta
suposición facilita el entendimiento de dichos diagramas pero en la práctica,
aunque también se dibujen así, es bueno considerar que el eje longitudinal no es
horizontal.

Ejemplo. Se tienen los siguientes datos de una curva circular simple

derecha en una vía con calzada de 7.30 metros:

- Radio = 120
50
- Abscisa PC = 417.81

- Abscisa PT = 465.32

- Bombeo = 2.0%

Se requiere calcular la tabla de peralte para la curva desarrollando la

transición toda por fuera de la curva.

Inicialmente se determina el peralte requerido para una curva con radio de

120 metros y la velocidad específica correspondiente a este radio. Para ello
empleamos la Figura correspondiente a la gráfica Relación Peralte – Radio y
Velocidad – Radio.

Entrando con un valor de 120 m en las abscisas se sube verticalmente

hasta cortar la curva Velocidad – Radio y luego sobre la margen derecha se
obtiene la velocidad específica cuyo valor es de 60 Km/h. Si continuamos sobre la
misma línea vertical hasta llegar al cruce con la curva Peralte – Radio se tiene que
el peralte requerido es el máximo, o sea 8.0%. Se puede verificar en la gráfica que
para radios menores de 170 metros el valor del peralte es 8.0%.

Seguidamente, con el valor de la velocidad específica de 60 Km/h, y

empleando la tabla de “Inclinación máxima en rampa de peraltes” se halla la
pendiente máxima relativa de rampa cuyo valor es de 0.64%.

Despejando el valor de Lt de la ecuación se tiene que:

Se puede tomar como valor 45 metros y calculamos entonces el valor de N con la

siguiente ecuación:

Se procede ahora a calcular los puntos del diagrama de peralte:

A = PC – Lt – N = 417.81 – 45 – 11.25 = 361.56

51
 B = A + N = 361.56 + 11.25 = 372.81

C = B + N = 372.81 + 11.25 = 384.06

D = PC = 417.81

E = PT = 465.32

F = PT + Lt – N = 465.32 + 45 – 11.25 = 499.07

8.11.1.1.1.1 G = PT + Lt = 465.32 + 45 = 510.32

H = G + N = 510.32 + 11.25 = 521.57

Se tiene entonces que para estos puntos el valor del peralte es el siguiente:

Se calcula ahora el factor de peralte:

Fp = e / Lt = 8.0 / 45.0 = 0.178.

Significa entonces que por cada metro el peralte varía .178% y por cada 10 metros
varia 1.78%.

Para hallar el peralte en la abscisa 370 se calcula la distancia hasta el punto B:

D370 = 370 - 372.81 = -2.81

Entonces el peralte para el carril izquierdo es:

e370 = -2.81x 8.0 / 45 = -0.50%

Para el carril derecho continua siendo –2.0%

De igual forma se calcula el peralte para la abscisa 380. En este caso se hará con
el factor de peralte:

52
 D380 = 380 – 372.81 = 7.19

e380 = 7.19 x 0.178 = 1.28%

El peralte para el carril derecho continua siendo –2.0%.

Ya para la abscisa 390 el peralte izquierdo y derecho tienen el mismo valor pero
de signo contrario:

D390= 390 – 372.81 = 17.19

e390 = 17.19 x 0.178 = 3.06% peralte izquierdo

= -3.06% peralte derecho

De esta misma forma se continúa calculando el peralte hasta el punto D

correspondiente al PC 417.81.

Se puede observar que si al peralte de la abscisa 370 le sumamos el valor de

1.78, correspondiente al cambio de peralte cada 10 metros, obtenemos el peralte
de la abscisa 380:

e380 = -0.50% + 1.78% = 1.28%

Para la abscisa 390 obtenemos también el peralte sumando 1.78 al peralte de la

abscisa 380:

e390 = 1.28% + 1.78% = 3.06%

Podemos entonces calcular el peralte de las abscisas 400 y 410 de la misma

forma y obtenemos para estas:

e400 = 3.06% + 1.78% = 4.84%

e410 = 4.84% + 1.78% = 6.62%

Las abscisas 420, 430, 440, 450 y 460 se encuentran dentro de la curva circular y
por lo tanto el valor de sus peraltes es de 8.0% para la izquierda y –8.0% para la
derecha.

El peralte correspondiente a la rampa de salida se calcula de forma análoga, pero

tomando la distancia a partir de la abscisa 510.32 (punto G), por lo tanto el peralte
para la abscisa 470 es:
53
 D470 = 510.32 – 470 = 40.32

e470 = 40.32 x 8.0 / 45 = 7.17%

También se pueden calcular con el factor de peralte, como se hará en la abscisa

480:

D480 = 510.32 – 480 = 30.32

e480 = 30.32 x 0.178 = 5.40%

O restando, en este caso, el factor para cada 10 metros como en las abscisas 490,
500, 510 y 520:

e490 = 5.40% - 1.78% = 3.62%

e500 = 3.62% - 1.78% = 1.84%

e510 = 1.84% - 1.78% = 0.06%

e520 = 0.06% - 1.78% = -1.72%

Los peraltes calculados corresponden al carril izquierdo, mientras que para

el carril derecho su valor es igual pero de signo contrario solo hasta donde el
peralte sea mayor del 2.0%, o sea la 470, 480 y 490. El peralte derecho para las
abscisas 500, 510 y 520 es de –2.0%.

Para calcular la diferencia de altura de los bordes de la calzada con

respecto al eje de esta se multiplica el peralte correspondiente por 3.65 y se divide
por 100. Por ejemplo, para la abscisa 370 con peralte derecho igual a –2.0% e
izquierdo de –0.50% se tiene que:

dh370 = -2.00 * 3.65 /100 = -0.073 Borde derecho

= -0.50 * 3.65 /100 = -0.018 Borde izquierdo

Para la abscisa 390 donde los peraltes tienen el mismo valor pero diferente signo
se tiene:

dh390 = -3.06 * 3.65 /100 = -0.112 Borde derecho

= +3.06 * 3.65 /100 = +0.112 Borde izquierdo

54
Para las abscisas ubicadas dentro de la curva circular se tiene que dh es igual a:

= -8.00 * 3.65 /100 = -0.292 Borde derecho

= +8.00 * 3.65 /100 = 0.292 Borde izquierdo
Puede haber algunas pequeñas diferencias de acuerdo como se realice el
cálculo, por ejemplo en las abscisas 400 y 410 que fueron calculadas con el factor
de peralte, el cual se aproximó a 3 cifras decimales, mientras que en la tabla que
se presenta al final se calcularon con todas las cifras decimales del factor de
peralte.

A continuación se tiene la tabla completa del cálculo de peralte de toda la

curva:

55
Bombeo

Se le denomina bombeo a la pendiente transversal en las entretangencias

horizontales de la vía, que tiene por objeto facilitar el escurrimiento superficial del
agua. Esta pendiente, va generalmente del eje hacia los bordes. En tramos en
tangente o en curvas en contraperalte, las calzadas deben tener una inclinación
transversal mínima denominada bombeo, con la finalidad de evacuar las aguas
superficiales. El bombeo depende del tipo de superficie de rodadura y de los
niveles de precipitación de la zona.

La siguiente tabla especifica los valores de bombeo de la calzada. En los casos

dónde indica rangos, el proyectista definirá el bombeo, teniendo en cuenta el tipo
de superficies de rodadura y la precipitación pluvial.

Valores del bombeo de la calzada

El bombeo puede darse de varias maneras, dependiendo del tipo de

carretera y la conveniencia de evacuar adecuadamente las aguas, entre las que
se indican:

La denominada de dos aguas, cuya inclinación parte del centro de la calzada

hacia los bordes.

El bombeo de una sola agua, con uno de los bordes de la calzada por encima del
otro. Esta solución es una manera de resolver las pendientes transversales
mínimas, especialmente en tramos en tangente de poco desarrollo entre curvas
del mismo sentido.

Los casos antes descritos se presentan en la siguiente figura:

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Casos de bombeo

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 Bibliografía
Glosario manual de Diseño Geométrico de Carreteras. Disponible en:
https://www.invias.gov.co/index.php/servicios-al-ciudadano/glosario/130-
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