Taller Preparcial Examen Final

Universidad de la Sabana
Facultad de Ingenierı́a
Área de Matemáticas
Probabilidad y Estadı́stica I

Estadı́stica Descriptiva y Probabilidad

1. El Higher Education Research Institute cuenta con estadı́sticas sobre las áreas que son más elegidas
por los estudiantes de nuevo ingreso. Las cinco más elegidas son arte y humanidades (A), administración
de negocios (B), ingenierı́a (E), polı́tica (P) y ciencias sociales (S).1 Otras áreas (O), entre las que
se encuentran biologı́a, fı́sica, ciencias de la computación y educación se agruparon todas en una sola
categorı́a. Las siguientes fueron las áreas elegidas por 64 estudiantes de recién ingreso:

S P P O B E O E P O O B O O O A
O E E B S O B O A O E O E O B P
B A S O E A B O S S O O E B O B
A E B E A A P O O E O B B O P B

a) Identifique muestra y población.

b) Identifique la variable medida sobre la muestra e indique si es de tipo cuantitativo o cualitativo.
c) Realice la distribución de frecuencias y elabore un diagrama de barras para frecuencias relativas y
otro para frecuencias acumuladas.
d) ¿Qué porcentaje de los estudiantes nuevos elige una de las cinco áreas más elegidas?
e) ¿Cuál es el área más elegida por los estudiantes de nuevo ingreso?

Utilice el software EXCEL, para elaborar una distribución (tabla) de frecuencias para datos agrupados
el punto 2 y 3.

2. Un artı́culo publicado en Technometrics presenta los datos siguientes sobre el octanaje de varias
mezclas de gasolina

88.5 87.7 83.4 86.7 87.5 91.5 88.6 100.3 96.5 93.3
94.7 91.1 91.0 94.2 87.8 89.9 88.3 87.6 84.3 86.7
84.3 86.7 88.2 90.8 88.3 98.8 94.2 92.7 93.2 91.0
90.1 93.4 88.5 90.1 89.2 88.3 85.3 87.9 88.6 90.9
89.0 96.1 93.3 91.8 92.3 90.4 90.1 93.0 88.7 89.9
89.8 89.6 87.4 88.4 88.9 91.2 89.3 94.4 92.7 91.8
91.6 90.4 91.1 92.6 89.8 90.6 91.1 90.4 89.3 89.7
90.3 91.6 90.5 93.7 92.7 92.2 92.2 91.2 91.0 92.2
90.0 90.7

a) Realice un diagrama de tallos y hojas para los datos.

1 The New York Times Almanac, 2006.

1
 b) ¿Qué conclusiones puede obtener sobre los datos?

c) Describa la forma de la distribución, ¿es simétrica?

d) Calcule Media, Moda y Mediana

e) Calcule Cuartiles Q1 , Q2 y Q3 .

f) Calcule varianza y desviación estándar.

g) Elabore un diagrama de cajas y bigotes

3. Los estudiantes de derecho de la Universidad de la Sabana se clasifican como estudiantes de primer

año, segundo año, penúltimo año o de último año, y también de acuerdo con su género (hombre o mujer).
Calcule el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de la universidad.

4. Cuatro parejas compran 8 lugares en la misma fila para el concierto. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden sentar

a) Sin restricciones?

b) si cada pareja se sienta junta?

c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de las mujeres?

5. Suponga que se descubre que, en un grupo de 500 estudiantes universitarios, 210 fuman, 258 consumen
bebidas alcohólicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas, 83 comen entre
comidas y consumen bebidas alcohólicas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen esos tres hábitos.
Si se selecciona al azar a un miembro de este grupo, calcule la probabilidad de que el estudiante

a) fume pero no consuma bebidas alcohólicas

b) coma entre comidas y consuma bebidas alcohólicas pero no fume

c) no fume ni coma entre comidas

6. Un pedido de 20 computadores portátiles similares para la una tienda electrónica contiene 3 que están
defectuosos. Si una la universidad de la Sabana compra al azar 2 de estas computadoras. Calcule la
probabilidad de

a) no adquirir ninguna computadora defectuosa

b) adquirir una computadora defectuosa

c) Que las dos computadoras estén defectuosas.

7. En un juego de tómbola de diez balotas, se le dice a un apostador que ya se han vendido 9 balotas de
estas 10 y que como es lógico le queda una sola por vender para empezar el juego. El valor de la apuesta
de la balota es de $1 y si gana su premio serı́a de $100. El jugador decide apostar. Ahora suponga
que previamente se le dice al jugador que las otras 9 balotas las compro la misma persona, es decir el
jugarı́a contra alguien que compro 9 de las 10 balotas del juego. ¿Aun ası́ usted apostarı́a? Justifique su
respuesta.

2
8. La siguiente generación de cápsulas inalámbricas miniaturizadas, con locomoción activa, requerirá dos
motores eléctricos en miniatura para maniobrar cada capsula. Suponga que se fabricaron 10 motores, pero
que, a pesar de las pruebas realizadas en los motores individuales, 2 no funcionaran satisfactoriamente
cuando se coloquen en una capsula. Para fabricar una capsula nueva, se seleccionaran 2 motores al azar.

9. En una mano de póquer que consta de 5 cartas encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jotas.

Probabilidad Total y Bayes

10. En un experimento de preferencia de color, ocho juguetes se ponen en un recipiente. Los juguetes son
idénticos excepto por el color, dos son rojos y seis son verdes. Se pide a un niño que escoja dos juguetes
al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño escoja los dos juguetes verdes?

11. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad
de que suene esta sı́ se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no
ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que se haya activado la alarma ¿Cuál es la
probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

12. Se observan que hombres y mujeres reacciona de modo diferente a un conjunto determinado de
circunstancias; se sabe que el 70% de la mujeres reaccionan positivamente a estas circunstancias mientras
que de este mismo modo reaccionan 40% de los hombres. En un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5
hombres, se sometieron a estas circunstacias y a los sujetos se les pidio que describieran sus reacciones en
un cuestionario escrito. Una respuesta escogida al azar de la 20 fue negativa. ¿Cuál es la probabilidad
de que haya sido de un hombre?.

13. Un director de personal tiene dos listas de solicitudes para trabajo. la lista 1 contiene los nombres de
5 mujeres y 2 hombres, mientras que la ista 2 contiene los nombre de 2 mujeres y 6 hombres. Un nombre
es seleccionado al azar de la lista 1 y se agrega a la lista 2. A continuación se selecciona al azar un nombre
de la lista 2 aumentada. dado que el nombre seleccionado es de un hombre. ¿Cuál es la probabilidad de
que un nombre de mujer se halla seleccionado originalmente de la lista 1?

14. En un experimento para estudiar la relación que existe entre hábito de fumar y la hipertensión arterial
se reúnen los siguientes datos para 180 individuos:

No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos

H 21 36 30
SH 48 26 19

donde las letras H y SH de la tabla representa Hipertensión y Sin Hipertensión, respectivamente.

Si se selecciona uno de estos individuos al azar, calcula la probabilidad de que la persona

a) Sufra hipertensión, dado que es una fumadora empedernida.

b) No fume, dado que no padece hipertensión.

15. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad especı́fica es
0.7. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una

3
demanda legal es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el
paciente lo demande?

16. Una empresa de consultorı́a presenta una oferta para un gran proyecto de investigación. El director
de la firma piensa inicialmente que tiene 50% de posibilidades de obtener el proyecto. Sin embargo, mas
tarde, el organismo al que se le hizo la oferta pide más información sobre la oferta. Por experiencia se
sabe que en 75% de las ofertas aceptadas y en 40% de las ofertas no aceptadas,este organismo solicita más
información. Calcule la probabilidad de que la oferta sea aceptada dado que se solicitó más información.

17. En cierta región del paı́s se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor
de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta
que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y la probabilidad de que diagnostique de forma
incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto mayor de 40 años se le diagnostique cáncer?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la
enfermedad?

18. Las probabilidades de los eventos A1 , A2 y A3 son P (A1 ) = 0.20, P (A2 ) = 0.50 y P (A3 ) = 0.30.
Las probabilidades condicionales del evento B dados los eventos A1 , A2 y A3 son P (B|A1 ) = 0.50,
P (B|A2 ) = 0.40 y P (B|A3 ) = 0.30.

a) Calcule P (B ∩ A1 ), P (B ∩ A2 ) y P (B ∩ A3 ).

b) Calcule P (A1 |B), P (A2 |B) y P (A3 |B).

19. Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de
mujeres es cuatro veces superior al de hombres, Calcule la probabilidad de encontrar

a) Con una persona sin gafas.

b) Con una mujer con gafas.

c) Con una hombre dado que tiene gafas.

Variables Aleatoria y Distribuciones de Probabilidad

20. Un embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura.
Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar. Si X que representa el número de
automóviles con manchas de pintura que compró la agencia, entonces describa la función de probabilidad
correspondiente.

21. Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de
probabilidad de la variable aleatoria discreta X:

a) f (x) = c(x2 + 4) para x = 0, 1, 2, 3

4
 2 3



b) f (x) = c x 3−x para 0, 1, 2

2 3



Nota: Recuerde que en x y 3−x se utiliza la definición de combinatoria.

22. Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x = 1 y x = 3, tiene una función
de densidad dada por f (x) = 1/2.

a) Muestre que f (x) ası́ definida, es una distrubución de probabilidad continua.

b) Calcule P (2 < X < 2.5)

c) Calcule P (X ≤ 1.6)
d) Calcule la función acumulativa F (x)

23. La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las ganancias proyectadas de
MRA Company (x ganancias en miles de dólares) durante el primer año de operación (los valores negativos
indican pérdida).

x f (x)
-110 0.10
0 0.20
50 0.30
100 0.25
150 0.10
200

a) ¿Cuál es el valor adecuado para f (200)? ¿Qué interpretación le da a este valor?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo menos $100 000?

24. Un productor de cereales está consciente de que el peso del producto varı́a ligeramente entre una y
otra caja. De hecho, cuenta con suficientes datos históricos para determinar la función de densidad que
describe la estructura de probabilidad para el peso (en onzas). Si X es el peso, en onzas, de la variable
aleatoria, la función de densidad se describe como
(
2
, 23.75 ≤ x ≤ 26.25
f (x) = 5
0, en otro caso

a) Muestre que f (x) ası́ definida, es una distrubución de probabilidad continua.

b) Determine la probabilidad de que el peso sea menor que 24 onzas

c) La empresa dice que un peso mayor que 26 onzas es un caso extraordinariamente raro. ¿Cuál será
la probabilidad de que en verdad ocurra este caso extraordinariamente raro?

5
25. Las mediciones en los sistemas cientı́ficos siempre están sujetas a variación, algunas veces más que
otras. Hay muchas estructuras para los errores de medición y los estadı́sticos pasan mucho tiempo
modelándolos. Suponga que el error de medición X de cierta cantidad fı́sica es determinado por la
siguiente función de densidad:
(
k(3 − x2 ), −1 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0, en otro caso

a) Determine el valor de la constante k, que hace a f (x) una función de densidad valida
b) Determine la probabilidad de que un error aleatorio en la medición sea menor que 1/2

Esperanza Matemática

26. Si la utilidad para un distribuidor de un automóvil nuevo, en unidades de $ 5000, se puede ver como
una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de densidad
(
2(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0, en otro caso

Calcule la utilidad promedio por automóvil.

27. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad

x -3 6 9
f (x) 1/6 1/2 1/3

Calcule E[g(X)], donde g(X) = (2X + 1)2

28. Considere la información del problema 24, que tiene que ver con el peso en onzas que contiene una
caja de cereal (
2
, 23.75 ≤ x ≤ 26.25
f (x) = 5
0, en otro caso

a) Calcule el valor esperado o peso medio en onzas

b) Calcile el vaor de la desviación estándar

29. La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10

metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por

x 0 1 2 3 4
f (x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

a) Gráfique la función de probabilidad

6
 b) Calcule el número esperado de imperfecciones E[X]

30. Los datos siguientes son el número de recámaras en casas rentadas y en casas propias en ciudades
centrales de Estados Unidos (www.census.gov, 31 de marzo de 2003).

Número de casas (en miles)

Recámaras Rentadas Propias
0 547 23
1 5012 541
2 6100 3832
3 2644 8690
4 557 3783

a) Defina la v.a X : Número de recámaras en casas rentadas. Elabore una distribución de probabilidad
para esta variable.
b) Calcule el valor esperado para la v.a X
c) Defina la v.a Y : Número de recámaras en casas propias . Elabore una distribución de probabilidad
para esta variable.
b) Calcule el valor esperado para la v.a Y

31. La demanda de un producto de una empresa varı́a enormemente de mes a mes. La distribución de
probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años, muestra
la demanda mensual de la empresa.

Demanda Unitaria Probabilidad

300 0.20
400 0.30
500 0.35
600 0.15

a) Si la empresa basa las órdenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál será
la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto?
b) Suponga que cada unidad demandada genera $70 de ganancia y que cada unidad ordenada cuesta
$50. ¿Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si coloca una orden con base en su respuesta
al inciso (a) y la demanda real de este artı́culo es de 300 unidades?

Varianza Matemática

32. Calcule la desviación estándar para los ejercicios (25) y (26).

33. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad

x -2 3 5
f (x) 0.3 0.2 0.5

7
Calcule la desviación estándar de X.

34. La utilidad que obtiene un distribuidor, en unidades de $ 5000, al vender un automóvil nuevo es una
variable aleatoria X que tiene la función de densidad que se presenta en el ejercicio 9. Calcule la varianza
de X.

35. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad

x -3 6 9
f (x) 1/6 1/2 1/3

Calcule la desviación estándar σ[g(X)], donde g(X) = (2X + 1)

36. En una tarea de laboratorio, si el equipo está funcionando, la función de densidad del resultado
observado X es (
2(1 − x), 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0, en otro caso
Calcule la varianza y la desviación estándar de X.

Distribuciones de Probabilidad Discretas Conocidas (Binomial,

Poisson, Binomial Negativa e Hipergeométrica)

37. El director de control de calidad de una fábrica está realizando su inspección mensual de las trans-
misiones automáticas en la planta. En este procedimiento, 10 transmisiones se sacan del grupo de com-
ponentes y se verifica si no tienen defectos de fabricación. En general, el 98% de las transmisiones no
presentan ningún defecto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra seleccionada contenga más de 2 transmisores con defec-
tos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones seleccionadas tenga algún defecto de
fabricación?

38. Se supone que el número de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz
sigue una distribución de Poisson con media λ = 7.

a) Calcule la probabilidad de que lleguen más de 10 clientes en un periodo de dos horas.

b) ¿Cuál es el número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas?

39. De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente 30% de todas
las fallas de operación en las tuberı́as de plantas quı́micas son ocasionadas por errores del operador.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberı́as al menos 10 se deban a
un error del operador?

8
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador?

40. Un destacado médico afirma que el 70% de las personas con cáncer de pulmón son fumadores
empedernidos. Si su aseveración es correcta,

a) calcule la probabilidad de que de 10 de estos pacientes, que ingresaron recientemente a un hospital,

menos de la mitad sean fumadores empedernidos
b) calcule la probabilidad de que de 20 de estos pacientes, que ingresaron recientemente a un hospital,
menos de la mitad sean fumadores empedernidos

41. Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75% de los vehı́culos que pasan por el peaje de los
Andes son de Bogotá. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4 de los siguientes 9 vehı́culos sean de
otro estado?.

42. Se sabe que 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad.
Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que

a) ninguno contraiga la enfermedad;

b) menos de 2 contraigan la enfermedad
c) más de 3 contraigan la enfermedad

43. Para evitar la detección en la aduana, un viajero coloca 6 comprimidos con narcóticos en una
botella que contiene 9 pı́ldoras de vitamina que aparentemente son similares. Si el ofi cial de la aduana
selecciona 3 de las tabletas al azar para su análisis, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado
por posesión ilegal de narcóticos?

44. De los 150 empleados la Universidad de la sabana, sólo 30 son mujeres. Suponga que se eligen al
azar 10 de los empleados para que proporcionen asesorı́a gratuita sobre declaraciones de impuestos a los
empleados de esta ciudad; calcule la probabilidad de que se seleccionen al menos 3 mujeres.

45. Un estudio de un inventario determina que, en promedio, el número de veces al dı́a que se solicita
un artı́culo especı́fico en un almacén es 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en un dı́a determinado este
artı́culo se pida más de 5 veces?

46. En cierto cruce ocurren, en promedio, 3 accidentes de tránsito al mes. ¿Cuál es la probabilidad de
que en cualquier determinado mes en este cruce

a) ocurran exactamente 5 accidentes?

b) ocurran menos de 3 accidentes?
c) ocurran al menos 2 accidentes?

47. Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo
especı́fico. En raras ocasiones la falla puede causar una catástrofe al manejarlo a alta velocidad. La
distribución del número de automóviles por año que experimentará la catástrofe es una variable aleatoria
de Poisson con λ = 5

9
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 automóviles por año de ese modelo especı́fico sufran
una catástrofe?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de un automóvil por año experimente una catástrofe?

48. Se supone que el número de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz
es en promedio 7

a) Calcule la probabilidad de que lleguen más de 10 clientes en un periodo de dos horas.

b) ¿Cuál es el número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas?

49. Una empresa de electrónica afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto proceso es de
5%. Un comprador sigue el procedimiento estándar de inspeccionar 15 unidades elegidas al azar de un
lote grande. En una ocasión especı́fica el comprador encuentra 5 unidades defectuosas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra, si es correcta la afirmación de que el 5% de los productos
son defectuosos?

b) ¿Cómo reaccionarı́a usted si fuera el comprador?

50. Nueve por ciento de los estudiantes tienen un balance en su tarjeta de crédito mayor a $7000 (Reader’s
Digest, julio de 2002). Suponga que selecciona aleatoriamente 10 estudiantes para entrevistarlos respecto
del uso de su tarjeta de crédito

a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los estudiantes tengan un balance en su tarjeta de crédito
superior a $7000?

b) ¿De que ninguno tenga un balance en su tarjeta de crédito superior a $7000?

c) ¿De que por lo menos tres tengan un balance en su tarjeta de crédito superior a $7000?

51. En Estados Unidos, cada año, más de 50 millones de huéspedes se alojan en un Bread and break-
fast (B&B). El sitio Web dedicado a los alojamientos tipo Bread and Breakfast en Estados Unidos
(www.bestinns.net), que tiene un promedio aproximado de siete visitantes por minuto, permite a muchos
B&B obtener huéspedes (Time, septiembre de 2001).

a) Calcule la probabilidad de que no haya ningún visitante al sitio Web en un lapso de un minuto.

b) De que haya dos o más visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto.

c) De que haya uno o más visitantes al sitio Web en un lapso de 30 segundos.

d) De que haya cinco o más visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto.

52. El National Safety Council de Estados Unidos estima que los accidentes fuera del trabajo tienen para
las empresas un costo de casi $200 mil millones anuales en pérdida de productividad. Con base en estos
datos, las empresas que tienen 50 empleados esperan tener por lo menos tres accidentes fuera del trabajo
por año. Para estas empresas con 50 empleados, conteste las preguntas siguientes.

10
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a menos de 3 accidentes fuera del trabajo en un año?
b) ¿Cuál es el número esperado de accidentes fuera del trabajo en un lapso de seis meses?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente fuera del trabajo en los próximos seis
meses?

53. En una encuesta realizada por Gallup Organization, se les preguntó a los interrogados, “Cuál es
el deporte que prefieres ver”. Futbol y básquetbol ocuparon el primero y segundo lugar de preferencia
(www.gallup.com, 3 de enero de 2004). Si en un grupo de 10 individuos, siete prefieren futbol y tres
prefieren básquetbol. Se toma una muestra aleatoria de tres de estas personas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos prefieren el futbol?

b) ¿De que la mayorı́a (ya sean dos o tres) prefiere el futbol?

54. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro es de 0.3. Calcule
la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esa ciudad sea la quinta que tiene un
perro.

55. Los registros de una compañı́a constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus
pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañı́a en un año dado sea el
segundo en requerir reparaciones en un año?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compañı́a en un año dado sea el
tercero en requerir reparaciones en un año?

56. Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0.40, ¿Cuál
es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla?

Distribución Normal, t–student, Chi–Cuadrado y Aplicaciones

57. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros
por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente, con una desviación estándar igual a 15
mililitros,

a) ¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes
1000 bebidas?
d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos el 25% más bajo en el llenado de las bebidas?

58. Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que está

11
 a) A la izquierda de z = −1.39.
b) Entre z = −2.16 y z = −0.65.
c) A la derecha de z = −0.89
d) Entre z = −0.48 y z = 1.74

59. Calcule el valor de zα si el área bajo una curva normal estándar:

a) A la derecha de z es 0.3622.
b) A la izquierda de z es 0.1131.
c) Entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838.
d) Entre −z y z, con z > 0, es 0.9800.

60. Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que

a) P (Z > k) = 0.2946
b) P (Z < k) = 0.0427
c) P (−0.93 < Z < k) = 0.7235

61. Sea X una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 18 y una desviación estándar
de 2.5, calcule

a) P (X < 15)
b) El valor de k tal que P (X < k) = 0.2236
c) El valor de k tal que P (X > k)=0.1814

62. Un investigador informa que unos ratones a los que primero se les restringe drásticamente sus dietas
y después se les enriquecen con vitaminas y proteı́nas vivirán un promedio de 40 meses. Si suponemos
que la vida de tales ratones se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 6.3 meses, calcule
la probabilidad de que un ratón determinado viva

a) Más de 32 meses
b) Entre 37 y 49 meses.

63. Si X ∼ N (10, σ 2 ), determine el valor de la varianza si P (X < 9) = 0.025.

64. Si un conjunto de observaciones se distribuye de manera normal, ¿qué porcentaje de éstas difi eren
de la media en

a) más de 1.3σ?

12
 b) menos de 0.52σ?

65. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $15 015 (Business-Week,
20 de marzo de 2006). Suponga que la desviación estándar es de $3 540 y que los montos de las deudas
están distribuidos normalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a
$18 000?
b) ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de menos de $10 000?
c) ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia esté entre $12 000 y $18 000?
d) ¿De que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea mayor a $14 000?

66. El precio promedio de las acciones que pertenecen a S&P500 es de $30 y la desviación estándares
$8.20 (BusinessWeek, Special Annual Issue, primavera de 2003). Suponga que los precios de las acciones
están distribuidos normalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa sea por lo menos de $40?
b) ¿De que el precio de las acciones de una empresa no sea mayor a $20?
c) ¿De cuánto deben ser los precios de las acciones de una empresa para que esté entre las 10% mejores?

67. Encuentre el valor de χ2ν que acumule la probabilidad indicada:

a) P (X ≤ xα,11 ) = 0.98
b) P (X ≤ xα,40 ) = 0.70
c) P (X ≤ xα,28 ) = 0.025

68. Determine el valor crı́tico t que capturará el área deseada de la curva t- Student en cada caso:

a) Área central=0.95, ν = 35

b) Área central=0.95, ν = 15

c) Área central=0.975, ν = 20

d) Área central=0.90, ν = 20

69. Para una distribución chi cuadrada calcule χ2α , tal que

a) P (X 2 > χ2α ) = 0.99 cuando ν = 4

b) P (X 2 > χ2α ) = 0.99 cuando ν = 20
c) P (37.652 < X 2 < χ2α ) = 0.045 cuando ν = 25

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70. Para una distribución chi cuadrada calcule

a) χ20.025 cuando ν = 10
b) χ20.05 cuando ν = 7

c) χ20.01 cuando ν = 25

71. Para una distribución t–student calcule

a) t0.025 cuando ν = 10

b) t0.05 cuando ν = 7

c) t0.01 cuando ν = 15

72. La desviación estándar de la tensión de ruptura de cierto material es de 25lb. ¿Cuál debe ser la tensión
de ruptura promedio del proceso si, con base en una muestra aleatoria de tamaño 50, la probabilidad de
que la media muestral tenga un valor mayor de 250lb es de 0.95?

73. El costo medio anual de un seguro para automóvil es de $939 (CNBC, 23 de febrero de 2006). Suponga
que la desviación estándar es σ = $245. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple
de pólizas de seguros de automóvil la media muestral no difiera más de $25 de la media poblacional si el
tamaño de la muestra es 30, 50, 100 y 400?

74. BusinessWeek realizó una encuesta entre los estudiantes que terminaban sus estudios en los 30
programas de una maestrı́a (BusinessWeek, 22 de septiembre de 2003). De acuerdo con esta encuesta el
salario medio anual de una mujer y de un hombre 10 años después de terminar sus estudios es $117 000
y $168 000, respectivamente. Suponga que la desviación estándar entre los salarios de las mujeres es $25
000 y entre los salarios de los hombres es $40 000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 hombres la media muestral
no difiera más de $10 000 de la media poblacional de $168 000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 mujeres la media muestral
no difiera más de $10 000 de la media poblacional de $117 000?

c) ¿En cuál de los dos casos, inciso a o inciso b, hay más probabilidad de obtener una media muestral
que no difiera en más de $10 000 de la media poblacional? ¿Por qué?

75. En el norte de Kentucky (The Cincinnati Enquirer, 21 de enero de 2006) el precio promedio de
la gasolina sin plomo era $2.34. Use este precio como media poblacional y suponga que la desviación
estándar poblacional es $0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 30 gasolineras no difiera en más
de $0.30 de la media poblacional?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio en una muestra de 100 gasolineras no difiera en
más de $0.30 de la media poblacional?

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76. Las estaturas de 1000 estudiantes se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media
de 174.5 centı́metros y una desviación estándar de 6.9 centı́metros. Si se extraen 200 muestras aleatorias
de tamaño 25 de esta población y las medias se registran al décimo de centı́metro más cercano, determine

a) la media y la desviación estándar de la distribución muestral de X̄.

b) el número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centı́metros.

c) el número de medias muestrales que caen por debajo de 172.0 centı́metros

77. La vida media de una máquina para elaborar pan es de 7 años, con una desviación estándar de 1 año.
Suponga que la vida de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución normal y calcule

a) la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre
6.4 y 7.2 años;

b) el valor de x a la derecha del cual caerı́a 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de
tamaño 9.

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