Manual de Termodinámica FIMEE PDF
Manual de Termodinámica FIMEE PDF
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INTRODUCCIÓN
La termodinámica se puede definir como la ciencia de la energía. Aunque cualquiera puede
sentir lo que es la energía, es difícil dar una definición precisa de ésta. Sin embargo, la
energía puede verse como la habilidad para causar cambios. La palabra Termodinámica
proviene de las palabras griegas Therme (calor) y Dynamis (potencia), que describe la
capacidad de cambiar calor a potencia.
Aunque los principios de la Termodinámica han existido desde la creación del universo, no
surgió como una ciencia hasta la construcción del primer motor de vapor atmosférico
desarrollado en Inglaterra por Thomas Savery en 1697 y Thomas Newcomen en 1712. Sin
embargo, varios aspectos de lo que se conoce ahora como Termodinámica han sido objeto
de interés desde que el estudio formal de la Termodinámica empezó en el siglo XIX (años
1850s) a partir de los trabajos desarrollados por William Rankine, Rudolph Clausius y Lord
Kelvin. El término termodinámica se utilizó por primera vez en la publicación del Lord
Kelvin en 1849 y el primer libro de texto fue escrito por William Rankine en 1859.
El estudio de sistemas, a través de los cuales fluye materia, permite comprender como éstos
se relacionan con su entorno, lográndose una completa compresión de un sistema. Además
de la Termodinámica es necesario el conocimiento de otras ciencias de la ingeniería, tales
como: la Mecánica de Fluidos y la Transferencia de Calor y Masa.
Pistón
Gas
Frontera
Frontera
Gases de aire
combustión
Electricidad
Agua entrada
Agua salida
combustible
Sistema Abierto (volumen de control): un sistema abierto se define como una región
en el espacio donde hay entradas y salidas de masa, así como interacción de energía entre el
sistema y sus alrededores, ejemplos de sistemas abiertos son: turbina de vapor, bombas,
calentadores, etc., figura 1.4.
Propiedad Extensiva: una propiedad se conoce como extensiva si su valor para un sistema
es la suma de los valores correspondientes a las partes en que se subdivida, es decir, que
dependen del tamaño del sistema, por ejemplo, la masa y el volumen son propiedades
extensivas.
Estado y equilibrio
En un punto donde el sistema no sufre cambios y sus propiedades pueden medirse o
calcularse se identifica el estado del sistema. Para la Termodinámica se define el estado de
equilibrio, que implica un balance, esto es, no existen fuerzas de acción en el sistema. Para
el equilibrio termodinámico es necesario tener equilibrio térmico (no existen gradientes de
temperatura en el sistema), equilibrio mecánico (sin cambios de presión en cualquier punto
del sistema), cuando se involucran más de una fase, también debe existir equilibrio de fase
(cada fase alcance un estado de equilibrio y no cambia) y finalmente un equilibrio químico
(no ocurren reacciones químicas).
Postulado de estado
Este postulado permite definir el estado de un sistema y se define como:
El estado de un sistema se define completamente por dos propiedades intensivas
independientes.
Un sistema compresible simple es aquel donde los efectos de las fuerzas eléctricas,
magnéticas, gravitacionales, de movimiento y de tensión superficial son despreciables.
Ciclo
El ciclo se identifica como aquel donde el sistema regresa a su estado inicial, esto es, el
estado inicial y final son idénticos.
Densidad (ρ): la densidad se define como la masa local por unidad de volumen, es una
propiedad intensiva y puede variar de un punto a otro dentro de un sistema. Así, la masa
asociada con un volumen particular, V, se determina por:
m =
V
∫ ρ dV (1.1)
Peso específico (γ): para una sustancia se define como el peso por unidad de volumen. La
relación entre peso específico de un cuerpo y su densidad se obtiene de la segunda ley de
Newton, si ambos lados de la ecuación se divide entre el volumen de la sustancia, esto es:
F ma γ
= = ρa = a (1.3)
V V g
donde: γ = ρg.
Presión: la presión absoluta de un punto se define como la relación que existe entre la
fuerza de compresión que ejerce un fluido sobre un área normal a dicha fuerza,
matemáticamente se expresa como:
F
P= (1.4)
Anormal
La presión puede variar de un punto a otro dentro de un fluido en reposo, ejemplos de ello
son la variación de la presión atmosférica con la elevación y la variación de la presión con
la profundidad en los océanos.
Cuando la presión atmosférica local es mayor que la presión del sistema, se utiliza el
término de presión de vacío.
El manómetro y el tubo de Bourdon son dos de los dispositivos usados frecuentemente para
medir presiones.
P − P atm = ρ gL (1.7)
P atm
Gas a L
presión P Líquido
manométrico
Para medir la presión atmosférica se utiliza un barómetro que puede ser un tubo invertido
que contiene mercurio, como se muestra en la figura 1.13.
Además de los termómetros de bulbo hay una gran infinidad de instrumentos empleados
para la medición de la temperatura, como los sensores conocidos como termopares los
cuales trabajan bajo el principio de que cuando dos metales distintos se ponen en contacto
aparece una fuerza electromotriz.
Al igual que todas las propiedades la temperatura tiene unidades, que dependen de la escala
de temperatura a la que se referencia la temperatura.
T ( o
C )= T (K )− 273 . 15 (1.8)
( )
T o F = T (R ) − 459 . 67 (1.9)
T (R )= 1 . 8 T (K ) (1.10)
T ( F ) = 1 . 8 T ( C ) + 32
o o
(1.11)
Como las magnitudes físicas están relacionadas por definiciones y leyes, un número
relativamente pequeño de ellas basta para explicar y medir todas las demás. Estas pueden
llamarse magnitudes fundamentales. Las otras pueden medirse en términos de la
magnitudes fundamentales y se llaman unidades derivadas. Por ejemplo, si la longitud y el
tiempo se consideran fundamentales, la velocidad y el área serán derivadas. Las unidades
del resto de las magnitudes físicas se deducen entonces a partir de las unidades básicas.
(a) Enunciado del problema: entender el problema y los objetivos antes de proceder a
buscar una solución.
(b) Dibujar esquema: mostrar el sistema físico con la información relevante del
problema, esto es, si existen interacciones de energía y masa con los alrededores.
Además de identificar el tipo de proceso (ciclo) que sufre el sistema.
(c) Suposiciones y aproximaciones: establecer alguna suposición y/o aproximación para
simplificar el problema. Esta suposición y/o aproximación debe estar justificada,
evitando que existe una desviación significativa con respecto a la realidad, por
ejemplo, tomar el valor de 1 atm. para la presión atmosférica, independientemente
del lugar geográfico.
1.8 Tarea
1. Determinar la masa y el peso del aire contenido en un salón que mide 6 x 6 x 8 m, al
considerar la densidad del aire de 1.16 kg/m3.
2. A 45º de latitud, la aceleración de la gravedad es función de la elevación sobre el
nivel del mar y se define como g = a – bz, donde a = 9.807 m/s2 y b = 3.32x10-6 s-2.
Determinar la elevación sobre el nivel del mar donde un objeto pierde un 1% de su
peso.
3. En un sistema la temperatura cae en 27 ºF, determinar la caída en R, K y ºC.
4. Un medidor de vacío conectado a un tanque marca una lectura de 30 kPa, en un
lugar donde un barómetro marca una lectura de 755 mm Hg. Determinar la presión
absoluta en el tanque, en kPa, Considerando que la densidad del mercurio es ρHg =
13 590 kg/m3.
5. El barómetro de un montañista da una lectura de 930 mbars al inicio de una
montaña y una lectura de 780 mbars en la cima. Despreciando la variación de la
gravedad con la altura, determine la distancia vertical que recorre el montañista al
considerar una densidad de 1.20 kg/m para el aire.
6. Un gas está contenido en un dispositivo vertical cilindro-pistón sin fricción. El
pistón tiene una masa de 4 kg y un área transversal de 35 cm2. Arriba del pistón se
tiene un resorte comprimido que ejerce una fuerza de 60 N sobre el pistón. Si la
presión atmosférica es de 95 kPa, determinar la presión dentro del pistón.
7. La parte media baja de un contenedor cilíndrico vertical contiene agua (ρ = 1000
kg/m3) y la parte media superior aceite cuya densidad específica es de 0.85.
Determinar la diferencia de presión entre el fondo y la parte superior del contenedor
en kPa.
Líquido comprimido: las condiciones para este estado es una presión arriba de la presión de
saturación y una temperatura menor a la temperatura de saturación. También se identifica
como un líquido subenfriado.
Líquido saturado: este estado se alcanza cuando la presión y temperatura son las de
saturación y se inicia la evaporación del líquido.
En la figura 2.3 se muestran los diagramas T-v y p-v de una sustancia pura donde se
observan las distintas fases de la sustancia, destacando la mezcla líquido + vapor.
m vapor
x= (2.1)
m liquido + m vapor
Para las propiedades de saturación se aplica una ecuación que comprende ambas fases, esto
es,
y = y f + xy fg (2.2)
donde yfg = yg-yf y representa la diferencia entre la fase de gaseosa y líquida.
pV = mRT (2.3)
donde R es la constante del gas.
Temp. u h
[K] [kJ/kg] [kJ/kg]
300 214.3 300.4
350 250.3 350.8
400 286.4 401.3
450 322.8 452
500 359.6 503.2
550 397 554.8
600 434.8 607.1
650 473.3 659.9
700 512.4 713.3
750 552.1 767.4
800 592.4 822
850 633.3 877.3
900 674.7 933
950 716.6 989.3
1000 759 1046
1050 801.9 1103
1100 845.3 1161
1150 889 1219
1200 933.1 1278
1250 977.6 1336
1300 1022 1396
1350 1068 1455
1400 1113 1515
vreal
Z= (2.5)
videal
Debido a que los gases reales tienen diferentes comportamientos a distintas temperaturas y
presiones, se establece una normalización de la presión y temperatura en función de la
presión y temperatura crítica, esto es,
P T
PR = TR = (2.6)
Pcrítica Tcrítica
donde el factor Z es el mismo para todos los gases a la misma presión y temperatura
reducida, PR y TR. En la gráfica de la figura 2.27 se presenta la carta generalizada para el
factor Z.
vreal
vR = (2.7)
RTC
PC
2.5 Tarea
1. Determinar la fase o fases del sistema que contiene agua y muestre los diagramas p-
v y T-v, de acuerdo a las siguientes condiciones:
s 2
W = ∫
s1
F ds (3.1)
Pistón
Gas
1 2
Para entender cuándo el trabajo lo realiza el sistema, se parte del esquema mostrado en la
figura 3.1, que consiste en un gas contenido en un dispositivo cilindro-pistón, cuando el gas
se expande aumenta su volumen. Durante el proceso la presión del gas ejerce una fuerza
normal. Si p es la presión que actúa sobre el pistón, la fuerza que ejerce el gas sobre el
pistón es el producto de pA, donde A es el área de la superficie del pistón. El trabajo hecho
por el sistema cuando el pistón se desplaza una distancia ds es:
s2
W = ∫
s1
pA ds (3.2)
De esta forma el trabajo realizado por el sistema a sus alrededores es función del cambio de
volumen (sólo para el caso de un sistema cerrado), además si el trabajo lo entrega el
sistema a sus alrededores, se considera con signo positivo, y si el trabajo es de los
alrededores hacia el sistema (como cuando se utiliza una fuerza para comprimir un gas) se
considera signo negativo.
Cabe destacar que aparte del trabajo mecánico hay otra gran diversidad de trabajo, como
son:
Por otra parte, el trabajo mecánico se puede asociar a diferentes aplicaciones, como son;
Trabajo en flecha: este trabajo es la energía transmitida a través de la rotación de una flecha
donde se aplica un torque, T, figura 3.2.
Trabajo en resorte: este trabajo se desarrolla cuando se aplica una fuerza para cambiar la
longitud de un resorte, ya sea alargando o comprimiendo. Donde la constante del resorte, k,
es un parámetro importante.
Trabajo de tensión superficial: este trabajo esta asociado con el estiramiento de una
película de líquido, donde la fuerza aplicada es por unidad de longitud conocida como
tensión superficial.
Trabajo para elevar o acelerar un cuerpo: en el primer caso, el trabajo está asociado a la
energía potencial y en el segundo caso a la energía cinética.
(a)
(b)
Figura 3.5 Trabajo para; (a) elevar un cuerpo, (b) acelerar un cuerpo.
Para el desarrollo de la integral, es necesario conocer una relación p-V que algunas veces es
difícil de obtener, como es el caso de un motor de combustión interna. Sin embargo, se
pueden considerar procesos en cuasi-equilibrio que permiten obtener el valor del trabajo
definido por la integral. Entonces una relación de presión y volumen se puede obtener de
una gráfica p-V, esto es,
En el caso de una caldera, el agua que circula por dentro de los tubos aumenta su energía
interna debido a la transferencia de calor que ceden los gases producto de la combustión,
figura 3.9.
(1
T −T )
•
Q
{ = h{ A
{ s f (3.5)
Calor por unidad de tiempo coeficiente de transferencia Área perpendicular
4243
de calor al calor Variación de Temperatura
La convección puede ser natural (cuando fluye por diferencia de densidad) o forzada
(cuando hay mecanismos como ventiladores que fuerzan la circulación del fluido), figura
3.13.
2. Un objeto cuya masa es 2 kg se acelera desde una velocidad de 200 m/s hasta una
velocidad final de 500 m/s, de acuerdo a la acción de una fuerza. Determine el
trabajo hecho por la fuerza resultante, en kJ, si no existen otras interacciones de
trabajo con el objeto.
5. Una superficie plana está cubierta por un aislante que tiene una conductividad
térmica de 0.08 W/m-K. La temperatura en la interfaz entre la superficie y el
aislante es de 300 ºC. La parte externa del aislante está expuesta al aire que se
encuentra a 30 ºC, donde el coeficiente de transferencia de calor por convección es
de 10 W/m2-K. Ignorando la transferencia de calor por radiación, determine el
espesor mínimo del aislante para que la superficie de éste no rebase los 60ºC.
esta relación se establece como un balance de energía y se aplica a cualquier sistema bajo
cualquier proceso.
Para el sistema, la energía es una propiedad que no cambia al menos que el estado del
sistema cambie. En un sistema compresible simple, la energía total depende,
principalmente, de la energía interna, cinética y potencial, esto es,
Considerando que las interacciones de energía están relacionadas con el trabajo y calor que
se da a través de la frontera de un sistema, el balance de energía se puede establecer como:
Para un sistema que recibe calor y entrega trabajo, el balance se reduce a la forma:
Q & out = ⎛⎜ dU ⎞⎟
& in - W (4.6)
⎝ dt ⎠ sistema
A partir de la descripción realizada por Newton, sobre objetos bajo la influencia de las
fuerzas aplicadas sobre ellos, proporcionan la base de la Mecánica Clásica y llevan hacia un
concepto de la energía. Dentro de un sistema existen tres principales formas de
transformación de energía,
• energía cinética,
• energía potencial
• energía interna.
1
=
2
EC1
{ m
{ V
{1 (4.7)
Energía Cinética
2 Masa del Cuerpo Velocidad Instantánea
Lo más importante para un ingeniero no es tanto conocer la energía en un instante, sino los
cambios de la misma. Considerando la figura 2.1, en donde el balón es el cuerpo o sistema
sobre el cual realizaremos el análisis, en el primer instante (antes de que el jugador le pegue
al balón) la velocidad del balón es cero (la energía cinética del balón es cero), cuando el
jugador le pega al balón (cede energía) un cambio en la velocidad del balón, es decir, existe
un cambio en la energía cinética definido como:
∆ EC =
1
2
(
m V 2 − V1
2 2
) (4.8)
Estado 1 Estado 2
Figura 4.1 Cambio en Energía Cinética en un Cuerpo.
La energía potencial se asocia con la fuerza de la gravedad y, por tanto, es una propiedad
de un sistema que contiene al cuerpo y a la Tierra, conjuntamente. Sin embargo, el cálculo
de la fuerza de la gravedad; como el producto de la masa por la gravedad (mg), permite
determinar la energía potencial gravitatoria, conociendo sólo la masa del cuerpo y su
elevación respecto a un nivel de referencia, que normalmente puede ser la superficie
terrestre. La energía potencial también se identifica como una propiedad extensiva del
cuerpo, definida matemáticamente como:
EP1
{ = m
{ g
{ z1
{ (4.9)
Energía Potencial Masa del cuerpo Constante Gravitaion al Elevación
Por otra parte, el cambio en la energía potencial depende exclusivamente del cambio en la
altura del cuerpo, para cambios pequeños de altura la gravedad se considera constante. En
la Figura 2.2 se muestra el caso en el que una fuerza externa impulsa a la pelota desde una
altura Z1 hasta una altura Z2. El cambio de energía potencial es equivalente a la energía
cedida por la fuerza externa y está definido como:
∆ EP = mg (z 2 − z1 ) (4.10)
Z2
Z1
z
Superficie terrestre
El cambio de energía interna de un sistema está definido sólo por las condiciones de los
estados termodinámicos inicial y final, como consecuencia sí un sistema realiza un proceso
volviendo al final del estado inicial, es decir un ciclo, el aumento de Energía Interna del
sistema es nulo.
∑ Q - ∑ W = ∆E sistema =0 (4.11)
Si la interacción de trabajo se da sobre una frontera móvil, figura 4.5, donde el trabajo de
frontera móvil se expresa de acuerdo a la ecuación (3.3):
v2
Wb = ∫ p dV
v1
Q = ∆H sistema (4.14)
Aplicando la ecuación del balance de energía a un sistema donde existe una sustancia
simple compresible, es necesario conocer las propiedades de dicha sustancia en función de
las propiedades termodinámicas, esto es,
•
m dE VC
dt
•
•
m m
•
WVC
•
m
Figura 4.6 Sistema abierto intercambiando masa y energía a través de sus fronteras.
pV = mRT (4.40)
donde R es la constante del gas.
Para determinar la energía interna y la entalpía en un gas ideal se aplican las siguientes
ecuaciones,
du = c v dT dh = c p dT (4.41)
donde se consideran calores específicos constantes. Si existe una variación de los calores
específicos, con respecto a la temperatura, se aplican los valores de la tabla presentada en el
capítulo 2 (tabla 2.5).
Los calores específicos se relacionan con la variable k y la constante del gas, esto es,
cp R Rk
k= cv = cp = cp − cv = R (4.42)
cv k −1 k −1
Q = ∆H sistema (4.14)
Aplicando la ecuación del balance de energía a un sistema donde existe una sustancia
simple compresible, es necesario conocer las propiedades de dicha sustancia en función de
las propiedades termodinámicas, esto es,
•
m dE VC
dt
•
•
m m
•
WVC
•
m
Figura 4.6 Sistema abierto intercambiando masa y energía a través de sus fronteras.
m e - m s = ∆m VC (4.16)
⎛ dm ⎞
&s =⎜
& e -m
m ⎟ (4.17)
⎝ dt ⎠ VC
⎛ dm ⎞
∑ m& - ∑ m&
e s =⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ VC
(4.18)
Cuando ninguna de las propiedades del sistema varía con el tiempo, se dice que se
encuentran en estado estacionario, lo cual es válido para idealizar muchos sistemas
empleados en ingeniería, para un sistema abierto en estado estacionario el término del lado
derecho de la ecuación (4.18) es igual a cero, entonces la ecuación se reduce a la ecuación
de continuidad:
∑ m& e = ∑m
&s (4.19)
Cuando el flujo de materia o flujo másico que entra o sale a un sistema es unidimensional
(sólo se da en una dirección) y además las propiedades son uniformes, el flujo másico se
define como:
m& = ρvA (4.20)
Wf = p V (4.21)
Por otra parte, considerando un sistema compresible simple donde la energía está
relacionada con la energía interna, cinética y potencial, se define que:
v
E = U + KE + PE = m(u + + gz) (4.22)
2
De acuerdo al balance de energía aplicado a un volumen de control, donde existen flujos de
masa que generan flujos de energía a través de sus fronteras, se define la siguiente
expresión:
dE vc • • • ⎛ v2 ⎞ • ⎛ v2 ⎞
= Q vc − W + ∑ m⎜⎜ u + + gz ⎟⎟ − ∑ m⎜⎜ u + + gz ⎟⎟ (4.23)
dt entra ⎝ 2 ⎠ sale ⎝ 2 ⎠
•
donde el trabajo total, W , representa la suma del trabajo de flujo y otros tipos de trabajo,
entonces,
• • • •
W = W vc + m s (p s v s ) − m e (p e v e ) (4.24)
•
W vc representa todas las interacciones de trabajo a través de la frontera del volumen de
control.
dE vc • • • ⎛ v2 ⎞ • ⎛ v2 ⎞
= Q vc − Wvc + ∑ m⎜⎜ h + + gz ⎟⎟ − ∑ m⎜⎜ h + + gz ⎟⎟ (4.25)
dt entra ⎝ 2 ⎠ sale ⎝ 2 ⎠
• • • ⎛ v2 ⎞ • ⎛ v2 ⎞
Q vc − Wvc = ∑ m⎜⎜ h + + gz ⎟⎟ − ∑ m⎜⎜ h + + gz ⎟⎟ (4.26)
sale ⎝ 2 ⎠ entra ⎝ 2 ⎠
Para este volumen de control, la ecuación del balance de energía se expresa como:
⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞
⎜⎜ h + ⎟⎟ = ⎜⎜ h + ⎟⎟ (4.27)
⎝ 2 ⎠ entrada ⎝ 2 ⎠ salida
Lo cual significa que no existen interacciones de trabajo y calor sobre la frontera, el flujo
másico de entrada y salida es el mismo y la energía potencial es despreciable.
(a) (b)
Figura 4.8 Esquema de un: (a) compresor y (b) turbina.
Para estos equipos la ecuación del balance de energía, ecuación (2.31), se puede reducir o
simplificar de acuerdo a suposiciones y aproximaciones, por ejemplo, para el esquema del
compresor se tiene:
• • • ⎡⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ ⎤
Q vc − Wvc = m ⎢⎜⎜ h + ⎟⎟ − ⎜⎜ h + ⎟⎟ ⎥ (4.28)
⎣⎢⎝ 2 ⎠ salida ⎝ 2 ⎠ entrada ⎦⎥
para este caso se desprecia el cambio de energía potencial y el calor por unidad de masa
que sale del volumen de control se multiplica por el flujo másico para determinar la
transferencia de calor en (kW).
Para la turbina, la ecuación se representa por:
• • ⎛ v2 ⎞ • ⎛ v2 ⎞
Wvc = ∑ m ⎜
⎜ h + + gz ⎟
⎟ − ∑ m ⎜
⎜ h + + gz ⎟⎟ (4.29)
entrada ⎝ 2 ⎠ salida ⎝ 2 ⎠
En el proceso de mezclado se aplican las siguientes expresiones para los balances de masa
y energía:
∑ m& e = ∑m
&s (4.31)
donde las interacciones de trabajo y calor están ausentes y se desprecian los cambios de
energía cinética y potencial.
Intercambiador de calor: en este dispositivo, los fluidos intercambian calor sin mezlarse.
Flujo en tuberías o ductos: el estudio de los fluidos que se transportan por tubería o ductos
resulta importante en algunos casos.
Como se puede observar en los esquemas anteriores, hay diferentes casos para aplicar las
ecuaciones del balance de masa y energía. Generalmente en el caso de la masa, se aplica la
ecuación de continuidad:
&e =m
m &s (4.35)
y para el balance de energía se aplica:
donde los subíndices 1 y 2, representan el estado inicial y final, respectivamente, dentro del
volumen de control.
Para estos casos, las ecuaciones del balance de masa y energía se representan como:
m e − m s = (m 2 − m1 ) VC (4.38)
pV = mRT (4.40)
donde R es la constante del gas.
Para determinar la energía interna y la entalpía en un gas ideal se aplican las siguientes
ecuaciones,
du = c v dT dh = c p dT (4.41)
donde se consideran calores específicos constantes. Si existe una variación de los calores
específicos, con respecto a la temperatura, se aplican los valores de la tabla presentada en el
capítulo 2 (tabla 2.5).
Los calores específicos se relacionan con la variable k y la constante del gas, esto es,
cp R Rk
k= cv = cp = cp − cv = R (4.42)
cv k −1 k −1
Por otra parte, cuando no es posible regresar los procesos a su estado original, se establece
un proceso irreversible, definido como:
La lista de irreversibilidades no es exhaustiva, pero si permite intuir que todos los procesos
reales son irreversibles, las irreversibilidades se dividen en: irreversibilidades internas que
serán aquellas que ocurran dentro del sistema y las irreversibilidades externas que son la
que ocurren en los alrededores, a menudo en el entorno inmediato.
donde la eficiencia máxima se obtiene para la máquina que opera con procesos totalmente
reversibles (máquina ideal). De acuerdo a esta definición de eficiencia, se establecen los
siguientes teoremas de Carnot, ver figura 5.4.
Wnet Q in − Q out Q Q
η= = = 1 − out = 1 − L (5.3)
Q in Q in Q in QH
QL
COPR = (5.5)
Wnet, in.
Refrigerador:
Bomba de calor:
QH 1
COPBC = = (5.8)
QH - QL Q
1− L
QH
Q H TH
= (5.10)
Q L TL
TL
η Carnot = 1 − (5.11)
TH
para el refrigerador:
1
(COPBC ) Carnot = (5.13)
T
1− L
TH
1
(COPBC ) Carnot = (3.13)
T
1− L
TH
δQ
∫ T ≤0 (3.14)
δWC = δQ R − dE C (3.15)
donde δWC = δWREV + δWSYS y dEC es el cambio total de energía del sistema combinado.
Para la máquina cíclica reversible, se establece que:
δQ R δQ
= (3.16)
TR T
δQ
δWC = TR − dE C (3.17)
T
aplicando la integral cíclica, se obtiene:
δQ
WC = TR ∫ (3.18)
T
donde WC representa el trabajo total del sistema combinado. Sin embargo, de acuerdo al
enunciado de Kelvin-Planck, el sistema no puede interactuar con un solo depósito de calor
y generar trabajo. Por lo tanto, teniendo que TR es una cantidad positiva y WC es cero, se
establece que:
δQ
∫ T ≤0 (3.19)
3.6 Entropía
δQ
Teniendo que la cantidad representa una cantidad termodinámica, Clausius en 1865
T
definió una propiedad identificada como Entropía, donde:
⎛ δQ ⎞
dS = ⎜ ⎟ (3.20)
⎝ T ⎠ rev.
2
⎛ δQ ⎞
∆S = ∫ ⎜ ⎟ (3.21)
1 ⎝ T ⎠ rev.
Esta ecuación requiere una relación entre Q y T. En un caso especial se puede tener un
proceso reversible a temperatura constante, entonces:
⎛Q⎞
∆S = ⎜⎜ ⎟⎟ (3.22)
⎝ T0 ⎠ Rev.
2 1
δQ δQ ⎛ δQ ⎞
∫ T = ∫1 T + ∫2 ⎜⎝ T ⎟⎠ Int.Rev. ≤ 0 (3.23)
2
δQ
S 2 − S1 ≥ ∫ (3.25)
1
T
finalmente:
δQ
dS ≥ (3.26)
T
2
δQ
S2 − S1 = ∫ + SGen. (3.27)
1
T
donde SGen. es siempre positiva o cero y depende del proceso. Para una transferencia de
entropía cero, el cambio de entropía del sistema es igual a la generación de entropía. Para
un sistema aislado, se establece que:
s = s f + xs fg (3.31)
∆s = s 2 − s1 = 0 (3.32)
2
Q Int.Rev. = ∫ T ds (3.33)
1
El otro diagrama importante es el de entalpía-entropía, figura 3.14, que es muy útil para el
análisis de equipos y dispositivos de flujo permanente. Por ejemplo, para una turbina
adiabática el cambio de entalpía representa el trabajo desarrollado y el cambio de entropía
representa la irreversibilidad del proceso de expansión. Este diagrama también se conoce
como el Diagrama de Mollier, figura 3.15, desarrollado por el científico alemán R. Mollier
(1863-1935).
3000 25 kPa
T=cte.
0.68 kPa
h [kJ/kg]
2500
0.9
2000 0.8
1500 0.6
1000 0.4
Punto Crítico
500
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
s [kJ/kg-K]
Figura 3.15 Diagrama de Mollier.
Se obtiene:
TdS = dU + PdV (3.37)
du = c v dT dh = c p dT pv = RT (3.39)
dT dv
ds = c v +R (3.40)
T v
dT dp
ds = c p −R (3.41)
T p
⎛T ⎞ ⎛v ⎞
∆s = c v ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + R ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ (3.42)
⎝ T1 ⎠ ⎝ v1 ⎠
⎛T ⎞ ⎛p ⎞
∆s = c p ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ − R ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ (3.43)
⎝ T1 ⎠ ⎝ p1 ⎠
T
dT
s = ∫ c p (T)
0
(3.44)
0
T
k −1
T2 ⎛ v1 ⎞
=⎜ ⎟ (3.46)
T1 ⎜⎝ v 2 ⎟⎠
k −1
T2 ⎛ p 2 ⎞ k
=⎜ ⎟ (3.47)
T1 ⎜⎝ p1 ⎟⎠
k
p 2 ⎛ v1 ⎞
=⎜ ⎟ (3.48)
p1 ⎜⎝ v 2 ⎟⎠
cp R Rk
k= cv = cp = cp − cv = R (3.49)
cv k −1 k −1
Para el caso donde los calores específicos varían con la temperatura, las relaciones se
expresan como:
⎛ s 02 ⎞
Exp⎜⎜ ⎟⎟
p2 ⎛ s 02 - s10 ⎞ ⎝R⎠
= Exp⎜⎜ ⎟⎟ = (3.50)
p1 ⎝ R ⎠ Exp⎛⎜ s1 ⎞⎟
0
⎜R⎟
⎝ ⎠
⎛ s0 ⎞
donde la cantidad Exp⎜ ⎟ es función solamente de la temperatura. Esta función se
⎜R⎟
⎝ ⎠
relaciona con la presión relativa, Pr, esto es,
⎛ v2 ⎞ vr2
⎜⎜ ⎟⎟ = (3.52)
⎝ v1 ⎠ s vr1
dQ − dW = dU (3.54)
dQ 1
dS = + (dWInt.Rev. − dW ) (3.55)
T T
1
(dWInt.Rev. − dW ) = dS - dQ ≥ 0 (3.57)
T T
Por lo tanto:
dWRev. ≥ dW (3.58)
Donde:
Este balance se aplica a cualquier sistema bajo cualquier proceso, figura 3.16.
Q
S calor = ; T = Cte. (3.62)
T
2
Q Q
S calor = ∫ ≅∑ k ; T ≠ Cte. (3.63)
1
T Tk
Entonces el balance de entropía para cualquier sistema bajo cualquier proceso se establece
como:
(Sin - Sout)calor+masa + SGen. = ∆Ssist. (3.65)
⎛ dS ⎞
(S& in - S& out ) calor + masa + S& Gen. = ⎜ ⎟ (3.66)
⎝ dt ⎠ Sist.
Sistema cerrado
Para este caso no hay transferencia de entropía por la transferencia de masa, entonces el
balance se establece como:
Qk
∑T + S Gen. = ∆SSist. (3.67)
k
&k
Q ⎛ dS ⎞
∑ T + ∑ m& in ⋅ s in −∑ m& out ⋅ s out + S& Gen. = ⎜⎝ dt ⎟⎠ (3.69)
k V.C.
Turbina
h 1 - h 2a
ηT = (3.71)
h 1 - h 2s
Donde los puntos del proceso real (a) y del proceso isoentrópico (s) se muestran en la figura
3.19.
Compresor
Para este equipo, la eficiencia se define como: la relación del trabajo requerido para
incrementar la presión de un gas, a un valor específico, a través de un proceso
isoentrópico y el trabajo real.
Al igual que la turbina, la eficiencia se expresa en función de las entalpías, esto es,
w iso.
ηC = (3.72)
w real
Tobera
Para la tobera, la eficiencia se define como: la relación entre la energía cinética del fluido
a la salida de la tobera para un proceso real y la energía cinética del fluido para un
proceso isoentrópico, teniendo el mismo estado inicial y presión final. En la tobera no se
involucra trabajo, pero la eficiencia se expresa en función de la velocidad a la salida, esto
es,
v 22a
ηN = 2 (3.74)
v 2s
Considerando que no existen cambios de energía potencial y que la velocidad de entrada es
pequeña en comparación de la velocidad a la salida, del balance de energía se obtiene:
v 22a
h 1 = h 2a + (3.75)
2
h 1 - h 2a
ηT = (3.76)
h 1 - h 2s
1 ηt =
WVC
•
=
h1 − h2
Expansión •
⎞ h1 − h2 )s
WVC ⎟
h1 − h2 real ⎠ s =cte
h1 − h2s
Turbina
2 Expansión
2s isoentropica
real
Expansión
1 isoentropica
2 ⎠ s =cte
η bomba = •
=
h2 − h1
2s WVC
h2 −h1
h2s − h1
1
2 Expansión
Tobera
2s isoentropica