Matriz Portico 2 Aguas
Matriz Portico 2 Aguas
Matriz Portico 2 Aguas
IPE 450
IPE 450 3
2 4
HEB 180
HEB 180
6.25 m
5m
1 5
25 m
Tabla 3.
Perfiles del pórtico ejemplo.
• Peso propio
Cubierta 10 kg/m2
139.995 kg/m
Con una carácter conservador, y para manejar cargas aplicadas directamente sobre
los nudos, se suponen aplicadas en los nudos 2 y 4 unas cargas puntuales de 515 kg, que
representan el peso de cada soporte (103 · 5 kg).
• Viento
m
HIPOTESIS A H1 H H2
6 6.25 14
α1 0 -13 -13.09 -16
α 5.71 -5.58 -5.616 -6.86
α2 10 0 0 0
n -13 -13.094 -16
m
HIPOTESIS B H1 H H2
6 6.25 14
α1 0 -51 -51.38 -63
α 5.71 -43.58 -43.898 -53.86
α2 10 -38 -38.28125 -47
n -51 -51.375 -63
Como se muestra en la figura 26, es necesario interpolar entre los valores que
aparecen en la Norma.
Tabla 4.
Carga de viento sobre cubiertas.
Desarrollo del método de los desplazamientos 47
m (kg/m2) n (kg/m2)
El signo (−) indica que las cargas son de succión. Estos valores, al tener en cuenta
la separación de 5 m entre pórticos, se transforman en:
Tabla 5.
Carga uniforme de viento sobre cubierta.
m (kg/m) n (kg/m)
De igual modo, la Norma nos proporciona los valores de presión y succión del
viento a barlovento y sotavento de la edificación. También será necesario realizar la
interpolación que se muestra en la figura 27.
H1 H H2
3 5.00 6
q 60 64.667 67
Al igual que se ha operado con las cargas de viento que actúan sobre la cubierta, al
tener en cuenta la separación de 5 m entre pórticos, estos valores se transforman en:
Tabla 6.
Carga lateral de viento.
q (kg/m)
Barlovento 215.555
Sotavento 107.780
• Nieve
48 Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
Para poblaciones que se encuentran entre 601 y 800 m de altitud sobre el nivel del
mar, la sobrecarga de nieve en proyección horizontal según la NBE AE-88 es de 80 kg/m2,
valor que se puede reducir multiplicando por el coseno del ángulo que forma la cubierta al
tener una inclinación inferior a 60º.
Teniendo en cuenta que las cargas de viento sobre cubierta son cargas de succión
(esto sucede siempre que la pendiente sea inferior al 17.64% en la zona eólica X y para la
altura de cumbrera del pórtico ejemplo), la combinación de acciones más desfavorable
corresponde a la situación de peso propio más nieve, que será la hipótesis de carga que se
desarrolla a continuación, y que se representa en la figura 28, ya con las cargas en
unidades de kg y cm.
5.38 kg/cm
515 kg 515 kg
3
2 4
6.25 m
5m
1 5
25 m
a) Estado de carga 1
Desarrollo del método de los desplazamientos 49
5.38 kg/cm
3
2 4
6.25 m
5m
1 5
25 m
• Barra 2-3
cos α
q cos α
YL
α
qy
e
32
N XL
e e
N
23
qx
3 M
32
e ey
2 M
23 32
T
e
23
T
Figura 30: Descomposición de cargas.
qx ⋅ L 0.533⋅ 1256.234
Ne23 = = = 334.786 kg
2 2
q ⋅L 5.327⋅ 1256.234
e
T23 = y = = 3345.979 kg
2 2
qy ⋅L2 5.327⋅ 1256.2342
M23 =
e
= = 700555.485kg ⋅ cm
12 12
qx ⋅L 0.533⋅ 1256.234
Ne32 = = = 334.786 kg
2 2
q ⋅L 5.327⋅ 1256.234
e
T32 = y = = 3345.979 kg
2 2
qy ⋅L2 5.327⋅ 1256.2342
M32 = −
e
= = −700555.485kg ⋅ cm
12 12
334.786 334.786
{R }e
23 L = 3345.979 y {R32 }L = 3345.979
e
700555.485 − 700555.485
L L
• Barra 3-4
qx ⋅L − 0.533⋅ 1256.234
e
N34 = = = −334.786 kg
2 2
q ⋅L 5.327⋅ 1256.234
T34e
= y = = 3345.979 kg
2 2
qy ⋅L2 5.327⋅ 1256.2342
M34 =
e
= = 700555.485 kg ⋅ cm
12 12
qx ⋅ L − 0.533⋅ 1256.234
e
N43 = = = −334.786 kg
2 2
q ⋅L 5.327⋅ 1256.234
e
T43 = y = = 3345.979kg
2 2
Desarrollo del método de los desplazamientos 51
qy ⋅ L2 5.327⋅ 1256.2342
e
M43 =− =− = −700555.485kg ⋅ cm
12 12
− 334.786 − 334.786
{R }
e
34 L = 3345.979 y {R43 }L = 3345.979
e
700555.485 − 700555.485
L L
52 Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
b) Estado de carga 2
F23
ex
0.99503719 − 0.099503719 0 334.786 0
{R }e
23 G
ey
= F23 = 0.099503719 0.99503719 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697
Me 1 700555.485 700555.485G
23 G 0 0
F32
ex
0.99503719 − 0.099503719 0 334.786 0
ey
{R }e
32 G = F32 = 0.099503719 0.99503719 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697
Me 1 − 700555.485 − 700555.485G
32 G 0 0
F34
ex
0.99503719 0.099503719 0 − 334.786 0
ey
{R }
e
34 G = F34 = − 0.099503719 0.99503719 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697
Me 1 700555.485 700555.485G
34 G 0 0
F43
ex
0.99503719 0.099503719 0 − 334.786 0
ey
{R }e
43 G = F43 = − 0.099503719 0.99503719 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697
Me 1 − 700555.485 − 700555.485G
43 G 0 0
− 515 515
{P2d }L = 0 y {P4d }L = 0
0 0
L L
0 − 1 0 − 515 0
{P2d }G = 1 0 0 ⋅ 0 = − 515
0 0 1 0 0
G
Desarrollo del método de los desplazamientos 53
0 1 0 515 0
{P4d }G = − 1 0 0 ⋅ 0 = − 515
0 0 1 0 0
G
En este estado de carga, las cargas que actúan sobre los nudos libres {Pa}G son la
suma de las cargas directamente aplicadas en los nudos {Pad}G y de las acciones de
empotramiento {Ae}G, es decir:
0 0 0
{P2}G = − 515 − 3362.697 = − 3877.697
0 700555.485 − 700555.485
G
0 0 0 0
{P3}G = 0 − 3362.697 − 3362.697 = − 6725.394
0 − 700555.485 700555.485
0 G
0 0 0
{P4 }G = − 515 − 3362.697 = − 3877.697
0 − 700555.485 700555.485
G
0 δ x 2
− 3877.697 δ
y2
− 700555.485 θ2
0 δ x 3
− 6725.394 = [K] ⋅ δ y3
0 θ
3
0 δ x4
− δ
3877.697 y4
700555.485 G θ4 G
54 Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
δ x2 − 0.8217cm
δ − 0.0132cm
y2
θ2 − 0.0041rad
δ x3 0.0000 cm
δ y3 = − 8.6845cm
θ 0.0000rad
3
δ x4 0.8217 cm
δ
y4 − 0.0132cm
θ 4 G 0.0041rad G
• Barra 1-2
Calculamos en primer lugar las matrices de conversión [Cij], que vienen definidas
por [Cij ] = [Kij ] ⋅ [R] :
T
550200 0 0 0 1 0 0 550200 0
[C11 ]L = 0 3884.83 971208 ⋅ − 1 0 0 = − 3884.83 0 971208
0 971208 323736000 0 0 1 − 971208 323736000
0
− 550200 0 0 0 1 0 0 − 550200 0
[C12 ]L = 0 − 3884.83 971208 ⋅ − 1 0 0 = 3884.83 0 971208
− 971208 161868000 0 0 1 971208 161868000
0 0
Desarrollo del método de los desplazamientos 55
− 550200 0 0 0 1 0 0 − 550200 0
[C21 ]L = 0 − 3884.83 − 971208 ⋅ − 1 0 0 = 3884.83 0 − 971208
971208 161868000 0 0 1 − 971208 161868000
0 0
550200 0 0 0 1 0 0 550200 0
[C22 ]L = 0 3884.83 − 971208 ⋅ − 1 0 0 = − 3884.83 0 − 971208
0 − 971208 323736000 0 0 1 971208 323736000
0
N12 7240
{S12}L = T12 = − 7168
M
12 L − 1460594
N21 − 7240
{S21}L = T21 = 7168
M
21 L − 2123201
• Barra 2-3
0.99503719 0.099503719 0
[R]T
= − 0.099503719 0.99503719 0
1
0 0
N23 7801
{S23}L = T23 = 5978
M 2123201
23 L
N32 − 7132
{S32}L = T32 = 713
M 1183936
32 L
Desarrollo del método de los desplazamientos 57
• Barra 3-4
0.99503719 − 0.099503719 0
[R]
T
= 0.099503719 0.99503719 0
1
0 0
N34 7132
{S34}L = T34 = 713
M − 1183936
34 L
N43 − 7801
{S43}L = T43 = 5978
M
43 L − 2123201
• Barra 4-5
550200 0 0 0 − 1 0 0 − 550200 0
[C44 ]L = 0 3884.83 971208 ⋅ 1 0 0 = 3884.83 0 971208
0 971208 323736000 0 0 1 971208 323736000
0
− 550200 0 0 0 − 1 0 0 550200 0
[C45 ]L = 0 − 3884.83 971208 ⋅ 1 0 0 = − 3884.83 0 971208
− 971208 161868000 0 0 1 − 971208 161868000
0 0
− 550200 0 0 0 − 1 0 0 550200 0
[C54 ]L = 0 − 3884.83 − 971208 ⋅ 1 0 0 = − 3884.83 0 − 971208
971208 161868000 0 0 1 971208 161868000
0 0
550200 0 0 0 − 1 0 0 − 550200 0
[C55 ]L = 0 3884.83 − 971208 ⋅ 1 0 0 = 3884.83 0 − 971208
0 − 971208 323736000 0 0 1 − 971208 323736000
0
N45 7240
{S45}L = T45 = 7168
M 223201
45 L
Desarrollo del método de los desplazamientos 59
N54 − 7240
{S54}L = T54 = − 7168
M 1460594
54 L
Numéricamente,
− 3884.83 0 − 971208 0 0 0 0 0 0
0 − 550200 0 0 0 0 0 0 0
971208 0 161868000 0 0 0 0 0 0
[K I ] =
0 0 0 0 0 0 − 3885 0 − 971208
0 0 0 0 0 0 0 − 550200 0
161868000
0 0 0 0 0 0 971208 0
Por tanto,
− 0.8217
− 0.0132
Rx1 − 3884.83 0 − 971208 0 0 0 0 0 0
R − 0.0041
− 550200
y1
0 0 0 0 0 0 0 0
0
M1
⋅ − 8.6845
971208 0 161868000 0 0 0 0 0 0
=
Rx5 0 0 0 0 0 0 − 3885 0 − 971208
Ry5 0 0 0 0 0 0 0 − 550200 0 0
0.8217
M5 0 0 0 0 0 0 971208 0 161868000
− 0.0132
0.0041
Rx1 7167.59 kg
R 7239.94 kg
y1
M1 - 1460594.18 kg ⋅ cm
=
Rx5 - 7167.59 kg
Ry5 7239.94 kg
M5 1460594.18 kg ⋅ cm