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Gómez Chacon Maestre
Gómez Chacon Maestre
Gómez Chacon Maestre
RESUMEN
En este trabajo consideramos brevemente alguno de los aspec-
tos del proceso de hacer Matemáticas, que conocemos como matematización. Ma-
tematizar es un ejercicio de generar nexos con la realidad y de desarrollar conceptos
básicos de las matemáticas o de la lengua matemática formal. Por eso, una de las
actividades didácticas fundamentales del profesor es identificar contextos, que se
desvelen ante el que aprende como susceptibles de ser matematizados. Se ofrece
al profesor una ejemplificación de un módulo para ser trabajado con estudiantes de
Secundaria. En este módulo se considera la articulación entre tecnología y mode-
lización, prestando atención a la génesis instrumental de los usos informáticos en
matemáticas, en este caso GeoGebra e Internet.
ABSTRACT
In this article we address some aspects of the process of wor-
king with Mathematics; otherwise known as mathematization. To mathematize is an
exercise in generating connections with reality and developing basic mathematical
concepts or the formal mathematical language. This is why one of the fundamental
didactic activities of the teacher is to identify the contexts to be discovered by the
learner as susceptible to be mathematized. We offer here a module that can be used
by a teacher with students at the level of Secondary Education. In this module we
consider the articulation between technology and modeling emphasizing the instru-
mental genesis of the uses of computers in mathematics, in this case GeoGebra and
Internet.
Key words: Modeling, Instructional Materials for Secondary Education, uses of Geo-
Gebra, Realistic Mathematics, uses mathematical computer.
RESUMO
Neste trabalho consideramos brevemente alguns dos aspectos
de fazer Matemáticas, que conhecemos como matematização. Matematizar é um
exercício de criar conexões com a realidade e de desenvolver conceitos básicos das
matemáticas ou da língua formal da matemática. Nesta perspectiva, uma das ati-
vidades fundamentais do professor é identificar contextos que se revelem para os
sujeitos que aprendem como susceptíveis de serem matematixados. È oferecido ao
professor um exemplo de um módulo a ser trabalhado pelos estudantes do ensino
Introducción
La relación de la matemática con la realidad es una cuestión que ha inte-
resado desde siempre a los matemáticos y a los profesores de matemáticas, unas
veces se establece esta relación desde la historia, otras para motivar a los alumnos
(y responder a la famosa cuestión “para qué sirven las matemáticas”) o para situar
la construcción de conceptos matemáticos y su significado en experiencias concre-
tas y en conexión con otras disciplinas. Las búsquedas de estas interacciones entre
matemática y lo real no son independientes. Por ejemplo, para expresar el sentido de
un concepto apoyándonos en la realidad se necesita encontrar problemas concretos
que lo representen suficientemente, pero no basta con esto, también es necesario
acceder a los conceptos generales y descontextualizados para tratar los problemas,
Vol.17 Nº 1 Marzo 2008 // EXPERIENCIAS DE AULA Y PROPUESTAS DIDÁCTICAS
Matemáticas y Modelización.
108 p. par // pp. 107-121 Ejemplificación para la enseñanza obligatoria
Principios del Enfoque Realista de la Educación
Matemática
Los promotores más conocidos de la Matemática Realista (Realistic Mathe-
matics Education (RME)) son Freudenthal y un grupo de profesores e investigadores
holandeses del Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht1.
Este enfoque trata de conectar la realidad y la actividad humana. En él se
acentúa la idea de la matemática como una actividad humana. La educación mate-
mática organizada como proceso de reinvención dirigido (guided reinvention), me-
diante el cual los estudiantes pueden experimentar un proceso similar al proceso por
el cual las Matemáticas se inventaron y crearon. El significado que se adscribe a la
invención es el de pasos en los procesos de aprendizaje mientras que el significado
de dirigido (guiado) se refiere al ámbito instruccional en el proceso de aprendizaje.
Se considera que la actividad matemática se inicia en procesos de matematización
de lo real y encuentra expresiones en reglas, en estructuras, que se convierten a
su vez en materia base para momentos de abstracción superiores generando esa
jerarquía que se distancia de ese sentido común originario hasta llegar a convertir-
se en la realidad más alejada de él. Por ejemplo, por una parte se puede utilizar la
historia de las Matemáticas como fuente de inspiración para el diseño del curso,
con el objeto de diferenciar los momentos en que los modelos matemáticos aplica-
dos al conocimiento y transformación de la naturaleza, han respondido al sentido
1
Puede verse el report vistando el sitio web de Freudenthal Institute, realizado por Bastiaan J. Braams en
2001: http://www.math.nyu.edu/mfdd/braams/links/fi-visit.html.
temáticos.
3. Usar análisis matemáticos para obtener resultados matemáticos.
4. Interpretar y evaluar los resultados matemáticos y ver cómo afectan al mundo
real.
A los estudiantes de Secundaria, una vez que han hecho la experiencia, se
les puede explicar el cuadro de la Figura 1 y desarrollar un debate con ellos sobre
qué implican los procesos de modelización para que se apropien del proceso. En
algunos casos, la dificultad que se detecta con estos alumnos es que tienden a re-
sistirse a la simplificación; exclamaciones como: “pero qué hay que hacer ahora…”
son muy comunes. Es importante mantener la discusión, es decir ayudar a la re-
invención guiada. Normalmente, los procesos de modelización son una sombra de
la realidad. No obstante, para alentar el trabajo de los estudiantes conviene hacer
alguna introducción histórica de modelos que han ayudado al avance de la historia y
de los fenómenos científicos: predicciones de desastres, viajes espaciales, etc.
Matemáticas y Modelización.
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Figura 1.- Proceso de Modelización Matemática
Interpretación
Traslación Análisis
Conclusiones Conclusiones
Predicciones Matemáticas
Interpretación
Lenguaje Algoritmos
matemático
Resolución
Descripción
Matemáticas y Modelización.
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Matemáticas e investigación policial
Presentación
Este modulo pretende ser una ejemplificación de modelización desde el en-
foque de matemática realista2. Buscamos un ejemplo de aplicación de las Matemá-
ticas en un contexto que aparentemente parezca alejado de éstas, como es en este
caso la investigación policial. Vamos a hablar de la aplicación de algunos conceptos
matemáticos muy concretos en la investigación de la policía científica, un campo
profesional que últimamente parece resultar muy atractivo para nuestros jóvenes,
debido en gran parte a su constante utilización como temática en series televisivas.
Creemos que esta aplicación puede transmitir muy bien el poder las Matemáticas,
uno de los fines importantes del enfoque realista de la enseñanza de las Matemá-
ticas.
2
Este módulo pertenece a un conjunto de materiales desarrollados en el Proyecto ESCEMMat (Escenarios
Multimedia en formación de futuros profesores de matemáticas de secundaria). Proyecto de Innovación
y Mejora de la Calidad Docente, subvencionado por el Vicerrectorado de Innovación y Espacio Europeo de
Educación Superior, Universidad Complutense de Madrid, 2007. El módulo está desarrollado en formato web
y contiene distintos applets. La dirección es http://www.mat.ucm.es/~imgomezc/Geogebra_inv_policial/
principal.html Para los lectores interesados pueden encontrar más módulos de este tipo en Gómez-Chacón
(2006).
Actividades y modelización
Describimos a continuación las actividades que se desarrollan en el módulo,
explicitando la modelización matemática y la instrumentalización realizada con el
programa GeoGebra (como sistema de geometría dinámica (DGS)).
Matemáticas y Modelización.
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Estudio de restos óseos
caso no se muestran las rectas, sin embargo se demuestra cómo se han usado para
convertir unos datos ambiguos en una característica más fácil de observar, si la
función de un dato es mayor o menor que cero. Esta actividad se podría completar
calculando para qué valores de las medidas tomadas la función nos va a dar el cero,
y cómo ese valor nos representará el corte en el cual se pasa de suponer que es un
fémur masculino a suponer que es uno femenino.
Matemáticas y Modelización.
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Pero estos modelos reales tienen limitaciones: ¿qué ocurre si una persona
tiene 90 años? ¿Acaso la altura de su corona dental es negativa? Obviamente por
aquí se puede llegar a cómo las Matemáticas hacen abstracciones de problemas
concretos, y lógicamente las Matemáticas como abstracción abarcan un campo mu-
cho mayor que el de los casos reales, en los que las variables tienen unas acotacio-
nes naturales y lógicas.
La Ley de Benford
Este ejemplo está buscado para ilustrar la capacidad que tienen algunas pro-
piedades matemáticas de colarse en ejemplos muy dispares dentro de la realidad, y
lo inesperado de algunas de estas propiedades.
Además la ley de Benford es un ejemplo más de unas matemáticas que se
están aplicando a pesar de ser meras conjeturas, y puede servir perfectamente para
explicar el proceso por el cual los matemáticos deciden que todo lo que se aplica
debe ser demostrado previamente para poder tener plena confianza en los resulta-
dos.
Además es una excusa perfecta para enseñar a utilizar herramientas básicas
estadísticas que nos proporciona el software más común.
Pero como en el caso anterior se pueden encontrar limitaciones al modelo:
¿Se puede aplicar la ley de Benford a los números de las matriculas de los coches?
Matemáticas y Modelización.
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Guía para la implementación en el aula
El profesor que desee aplicar este módulo en aula comenzará por definir la
palabra modelización y ofrecerá algunos ejemplos de utilización: el movimiento de
los planetas, meteorología, control del tráfico.
Indica que se trabajará las matemáticas aplicadas a la investigación policial.
Se comunica que en el módulo se van a descubrir cómo se usan matemáticas para
estudiar restos óseos, cómo se aplica el concepto de la “Ley de Benford” para descu-
brir fraudes fiscales y también resolveremos una búsqueda de un sospechoso huido
convirtiéndolo en un problema matemático.
La modalidad de trabajo en el aula será de actividades de 2 horas, repartidas
a lo largo del trimestre y se pueden trabajar en colaboración con disciplinas relativas
a Ciencias Naturales o Conocimiento del Medio e Informática. Se podría plantear el
siguiente itinerario:
1. Observación de actividades que se desarrollan en investigación policial.
2. Bosquejos por escrito de los alumnos sobre problemas policiales en los que se
trabaja matemáticas.
3. Contraste de las propuestas con los problemas que se plantean en el módu-
lo.
4. Trabajo sobre las actividades.
Consideraciones finales
Desde nuestro punto de vista una propuesta que integre la matemática con
lo real lleva inherente no sólo una posición respecto a la matemática sino una po-
sición antropológica y ética. Se anhela no sólo introducir a los estudiantes en el
conocimiento matemático, sino a contribuir a su formación como personas y como
ciudadanos.
Además, un aprendizaje efectivo y una enseñanza efectiva hacen un comple-
to uso de las capacidades naturales e investigadoras que poseen todos los alumnos.
Como profesores una pregunta que nos podemos hacer es si estoy haciendo un uso
completo de las capacidades de los estudiantes, o si estoy intentando hacer todo
el trabajo por ellos. Si me encuentro en lo último se puede esperar un bajo interés,
compromiso y gusto con y para las matemáticas. Si hacemos lo primero podremos
conseguir incrementar el interés, el compromiso y el placer con y para las matemá-
ticas.
La ejemplificación de proyecto presentada estaría integrada en un alto ni-
vel de competencia: razonamiento, argumentación, intuición y generalización para
resolver problemas originales, trabajando aspectos de modelización horizontal y
Referencias
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drecht: Kluwer AcademicPublishers.
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Matemáticas y Modelización.
120 p. par // pp. 107-121 Ejemplificación para la enseñanza obligatoria
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Niss, M.; Blum, W.; Huntley, I. (1991). Teaching of mathematical modelling and appli-
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