PCPI-II Cuaderno Mates y Ciencias - Ud01_01 Cuaderno Divers.

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EL SER HUMANO, UN ORGANISMO PLURICELULAR

Índice
1 Números reales y proporcionalidad
pág. 2

2 Sucesiones y ecuaciones
pág. 14

3 Las fuerzas y los movimientos. Funciones

pág. 30

4 Materia, átomos, elementos y compuestos. Cambios

químicos
pág. 48

5 Estadística y probabilidad
pág. 58

6 Cuerpos geométricos y transformaciones geométricas

pág. 72

7 Electricidad
pág. 92

1
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1 yNúmeros realesl
proporcionalidad
LOS NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
El conjunto de los números naturales N = {0,1, 2, 3,…}
Operaciones:
Suma y resta: Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el signo que tienen.
Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del mayor en valor absoluto.
Multiplicación y división: Para multiplicar (dividir) números enteros, multiplicamos (dividimos) los
números y el signo se establece utilizando la regla de signos.

13 + 14 – (– 6 + 5) = 13 + 4 – (–1) = 13 + 4 + 1 = 18

1 Calcula:
a) + (9 – 13) – (– 7 + 6) = +( −4) − ( −1) = −4 + 1 = −3

b) 2 − ( −5 + 6 ) − 4  (2 + 4 ) = 2 − (1) − 4 (6) = 2 − 1 − 24 = −23

2 Completa las siguientes operaciones:

a) 72 : 6 ⋅ 12 − 7 − 45 + 3 ⋅ 12 : 9 = 12 ⋅ 5 – 81 : 9 = 60 – 9 = 51
( ) ( )
) ( ) ⎣ ⎦ ( )
b) 65 : 19 − 6 + 3 ⋅ ⎡⎣19 − 36 : 3 + 2 ⎤⎦ = 65 : 13 + 3 ⋅ ⎡19 − 12 + 2 ⎤ = 5 + 3 ⋅ 5 = 5 + 15 = 20
(
3 Opera:
a) (–2) – (–5) = +3 e) (+2) – (–3) = +5

b) (–1) – (–4) = +3 f) (–5) – (–2) = –3

c) (+6) – (+2) = +4 g) (+2) – (–8) = +10

d) (–1) – (+2) = –3 h) (–2) – (+10) = –12

4 Realiza las siguientes operaciones:

a) 8 : 2 − 7 ⋅ ⎡⎣2 − ( 4 + 6 : 2)⎤⎦ − 5 ⋅ (−3) = 4 − 7 ⋅ ⎡⎣2 − 7⎤⎦ − 45 = 4 + 35 − 45 = − 6

2

b) 16 : 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ ⎡⎣5 − ( 3 + 2 ) ⋅ 11⎤⎦ = 12 − 5 ⋅ (−50 ) = 262

2

c) 8 : ( 4 − 12) − 3(−2 − 1) − 5(9 − 10 )12 = 8 : (− 8) + 9 − 5 = −1+ 9 − 5 = 3

2
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5 Realiza las siguientes sumas:

a) (–2) + (–3) = –5 e) (+4) + (–6) = –2

b) (+3) + (+3) = +6 f) (–2) + (–2) = –4

c) (–4) + (+1) = –3 g) (–3) + (+5) = +2

d) (+5) + (–4) = +1 h) (+1) + (–5) = –4

6 Opera:

a) (–2) – (–5) = +3 e) (+2) – (–3) = +5

b) (–1) – (–4) = +3 f) (–5) – (–2) = –3

c) (+6) – (+2) = +4 g) (+2) – (–8) = +10

d) (–1) – (+2) = –3 h) (–2) – (+10) = –12

7 Resuelve como en el ejemplo:

a) 3 + 1 – 1 – 2 = +4 – 3 = +1 d) +2 – 5 + 3 – 1 = –1

b) –7 + 3 – 1 + 2 = –8 + 5 = –3 e) –4 + 3 – 6 + 1 – 2 = –8

c) +8 – 2 – 5 + 2 = +3 f) 8 – 2 – 4 + 5 – 2 = +5

8 Opera:

a) 5 – 6 + 2 – 8 + 4 – 1 = –4 d) +10 – 8 + 4 – 7 – 1 + 6 = +4

b) + 9 – 3 – 2 + 7 + 8 – 10 = 9 e) –4 + 3 – 7 + 5 – 3 + 2 – 6 = –10

c) +3 – 6 + 5 – 2 + 4 – 5 = –1 f) +8 – 5 + 2 – 1 + 5 – 3 = + 6

9 Opera:

a) (–15) · (–2) : (–3) = –10

b) (–40) : (+4) · (+2) = –20

c) (+45) : (–9) · (–2) = 10

d) (–2) · (+2) · (–6) : (–3) = –8

e) (+3) · (–20) : (+60) · (–6) = +6

f) (+4) · (–5) : (+2) : (–5) = +2

g) (–44) : (–2) : (–11) · (+2) · (–2) = 8

h) (+5) · (–5) · (+10) : (–2) · (–3) = –75

i) (+25) : (–5) · (–3) · (–4) = –60

3
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OPERACIONES
CON NÚMEROS RACIONALES
Suma y resta: Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o
restan los numeradores y se conserva el mismo denominador.
Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador, las reducimos a denominador
común y después sumamos o restamos los numeradores.
Multiplicación: El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de
los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
División: Para dividir una fracción entre otra fracción multiplicamos la primera fracción por la inver-
sa de la segunda fracción.
Potenciación: La potencia de una fracción se obtiene elevando denominador y numerador a dicha
potencia.

10 Calcula las siguientes operaciones:

1 7 2 35 37
a) 1 + 7 = + = + =
5 2 5 2 10 10 10

4 1 8 1 7 1
b) 4 – 1 = − = − = =
7 14 7 14 14 14 14 2

3 5 7 9 20 42 31
c) 3 – 5 + 7 = − + = − + =
4 3 2 4 3 2 12 12 12 12

31 15 11 124 30 11 143
d) 31 – 15 + 11 = + − = + − =
7 14 28 7 14 28 28 28 28 28

11 Calcula:

a) 3 + 5 – 3 =
(3 · 8) + 5 – (3 · 2) 29 – 6 23
= =
2 16 8 16 16 16

b) 5 + 5 + 5 =
(5 · 2) + (5 · 4) + (5 · 3) = 45 : 3 = 15
6 3 4 12 12 4

c) – 2 + 3 – 1 = –
(2 · 4) + (3 · 5) – 20 28 + 15 13
=– =–
5 4 12 12 20

12 Calcula y simplifica el resultado.

⎛ 3⎞ 1 2 5 3 28 3 4 −3 + 8 5 1
⎜− ⎟ ⋅ + : =− + =− + = = =
⎝ 5 ⎠ 2 7 14 10 35 10 5 10 10 2

4
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13 Calcula los productos:

2 6 = 2 · 6 12 4 8 3 = 96 = 24
a) · = = e) 4 · ·
3 5 3 · 5 15 3 5 4 20 5

5 5 · 8 40 20 3 7 = – 21 = – 3
b) ·8= = = f) – ·
14 14 14 7 7 5 35 5

c)
7
2
·
10
4
=
7 · 10 70 35
2· 4
=
8
=
4
g)
9
2
· – ( )
4
5
=–
36
10
=–
18
5

1 2 1· 2 2 7 14
d) · = = f) – 2 · =– = –7
3 5 3 · 5 15 2 2

14 Calcula los cocientes:

1· 5 5 3 4 3 5 15
a) 1 : 3 = = e) – : =– · =–
4 5 4 · 3 12 7 5 7 4 28

2· 4 8 3 4 28
b) 2 : 3 = = f) 7 : =7 · =
5 4 3 · 5 15 4 3 3

5 · 7 35 8 1 5
c) 5 : 6 = = g) 5 : 3 = · =
2 7 6 · 2 12 8 8 3 24

2·5 10 5 5 11 13 143
d) 2 : – 2 = = = =– h) 11 : – 6 = · =
3 5 –2 · 3 –6 –3 3 4 13 4 6 24

15 Halla el valor de las siguientes expresiones:

3 5 15
a) 3 · 5 = · =
4 7 4 7 28

3 6 3 5 15 5
b) – : = − · = – = −
4 5 4 6 24 8

16 Calcula:

1 ⎛ 1 1⎞ 1 5− 4 1 1 1 159
a) 4 − ⋅⎜ − ⎟= 4 − ⋅ = 4− ⋅ = 4− =
2 ⎝4 5⎠ 2 20 2 20 40 40

⎡⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎤ 1 ⎡
b) ⎢⎜ 3 − ⎟ : ⎜ + 1⎟⎥ ⋅ = ⎢13 : 9⎥ ⋅ 1 = 26 ⋅ 1 = 26 = 13
⎤
⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎥⎦ 2 ⎣ 5 2⎦ 2 45 2 90 45

5
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para que un número esté expresado correctamente en notación científi-
ca debe ser de la forma:
a, bcd... ⋅ 10n , donde n es un número entero
Operaciones:
Para sumar y restar números expresados en notación científica necesi-
tamos que todos estén expresados con el mismo orden de magnitud.
Para multiplicar y dividir números expresados en notación científica sim-
plemente tenemos que operar las potencias de 10 por un lado y el resto
de la expresión por otro.

Para expresar cantidades en notación científica desplazamos la coma

decimal hasta que solo nos quede una cifra entera, y el número de luga-
res que hayamos desplazado la coma lo indicamos en la potencia de diez,
positiva si la desplazamos a la izquierda y negativa si es a la derecha.
7 −6
• 17.000.000 = 1´ 7 ⋅ 10 • 0 0000061 = 6´1 ⋅ 10

17 Expresa las siguientes cantidades en notación científica:

a) La velocidad de la luz 300.000 km/s = 3 · 105 km/s
12
b) Siete billones y medio. 7´5 ⋅ 10
−6
c) Cuatro millonésimas. 4 ⋅ 10
−4
d) Veinticinco diezmilésimas. 2´5 ⋅ 10

18 Calcula las siguientes sumas y restas con notación científica.

−4
a) 0´15 ⋅ 10 + 4´ 28 ⋅ 10 = 1´5 ⋅ 10
−3 −4
+ 4´28 ⋅ 10−4 = 5´78 ⋅ 10−4
3 3 3
b) 1´ 5427 ⋅ 10 − 1´ 328 ⋅ 10 = 1´5427 ⋅ 10 − 0´1328 ⋅ 10 = 1´4099 ⋅ 10
3 2

11
c) 5 ⋅ 10 + 8 ⋅ 10 − 9 ⋅ 10 = 5 ⋅ 10
11 11 12
+ 8 ⋅ 1011 − 90 ⋅ 1011 = 77 ⋅ 1011 = 7´7 ⋅ 1012
4 4 4
d) 5 ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 = 5 ⋅ 10 + 0´04 ⋅ 10 = 5´04 ⋅ 10
4 2

19 Realiza las siguientes operaciones:

2 3
a) 2 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 2´4 ⋅ 10
–5 –4 3

( ) (
b) 5 ⋅ 10 : 2 ⋅ 10 = 2´5 ⋅ 10
4 –2
)6

c) ⎣ ( )
⎡ 5 ⋅ 105 + 5 ⋅ 104 : 5 ⋅ 103 ⎤ ⋅ 3 ⋅ 10−2
⎦ =

(5´5 ⋅ 10 5
)
: 5 ⋅ 103 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = 11
´ ⋅ 102 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = 3´3 ⋅ 10 −1

( ) : (8 ⋅ 10 ) ( ) ( )
2
d) 2 ⋅ 10
−3 −3
− 4 ⋅ 10−3 = 4 ⋅ 10−6 : 4 ⋅ 10−3 = 1⋅ 10−3

6
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PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales si las dos aumentan
o disminuyen simultáneamente de manera proporcional.

Nº billetes de autobús 1 2 3 5 10
Precio 1’1 2’2 3’3 5’5 11

Si me cambian 15 por 21 dólares ($), ¿cuántos dólares me darán por 50 ?

Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo:

Reducción a la unidad Regla de tres

me dan
Por 1 me dan: 21 : 15 = 1’4 $ Por 5 € ⎯ ⎯⎯⎯ → 21 $ 50 ⋅ 21
me darán
x= = 70 $
Por 50 me darán: 50 · 1’4 = 70 $ Por 50 € ⎯ ⎯⎯⎯ → x$ 15

20 Completa la tabla con la cantidad necesaria de cada ingrediente para preparar una tarta según
para cuántas personas:

Nº de personas 6 3 12 24 30

Pasta para tarta 1/4 kg 1/8 kg 1/2 kg 1 kg 1 y 1/4 kg

Limones 2 1 4 8 10
Yemas de huevo 4 2 8 16 20
Azúcar 120 g 60 g 240 g 480 g 600 g
Leche condensada (cuch.) 6 3 12 24 30
Mantequilla 120 g 60 g 240 g 480 g 600 g
Almendras en polvo 60 g 30 g 120 g 240 g 300 g

21 Si mi vecina ha pagado 2’50 por 2 kg de plátanos y 5’40 por 3 kg de melocotones, ¿cuán-

to pagaré por 1 kg de plátanos y 2 kg de melocotones?

2’50 : 2 = 1’25
5’40 : 3 = 1’8 ; 1’8 · 2 = 3’6
1’25 + 3’6 = 4’85
22 Un despertador que funciona con pilas gasta 2 pilas en 4.800 h. ¿Cuántas horas funcionará con
un paquete de 8 pilas?

2 pilas → 4.800 h
8 pilas → x x = 19.200 h
O también, 1 pila dura 2.400 h → 8 pilas durarán 2.400 · 8 = 19.200 h

7
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PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una
de ellas, la otra disminuye de manera proporcional.

Sardinas por lata 5 10 20 25 50 100

Latas 20 10 5 4 25 1

Cuantas más sardinas haya en cada lata menor será el número de latas
necesario.

Dos grifos llenan una piscina en 3 h. ¿Cuánto tardarían en llenarla 4 grifos

idénticos a los anteriores?

Se puede resolver de dos maneras diferentes, y el resultado es el mismo:

Reducción a la unidad Regla de tres

1 grifo tarda: 3 · 2 = 6 h 2 grifos tardan

⎯ ⎯⎯⎯ → 3h x = 2⋅3
4 grifos tardarán 6 : 4 = 1’5 h 4 grifos tardarán
⎯ ⎯⎯⎯ → xh 4

23 Indica si las siguientes magnitudes son o no inversamente proporcionales:

a) La velocidad de un corredor y el tiempo en el que recorre 20 km → Sí

b) El número de trabajadores en una obra y el tiempo que tardan en acabarla → Sí

c) La velocidad de un corredor y los kilómetros recorridos en 27 min → No

d) El número de hojas del cuaderno y el número de ejercicios del cuaderno → No

24 Un ordenador que trabaja a 1’5 GHz ejecuta un programa en 6 centésimas de segundo.

¿Cuánto tardará en ejecutarlo un programa que trabaja a 1’8 GHz?

1’5 Ghz → 6 centésimas

1’8 Ghz → x x = 5 centésimas

25 Tres amigos quieren hacer un viaje en barco de vela. Hacen todos los preparativos y compran
comida para 12 días. En el último momento se apunta otro amigo. ¿Cuántos días les durarán
las provisiones?

3 personas → 12 días
4 personas → x x = 9 días

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PORCENTAJES
El porcentaje o tanto por ciento es una fracción de denominador 100.
En ocasiones se puede simplificar.
20 1 67
20% = = 67% =
100 5 100
Los porcentajes también pueden expresarse en forma de número deci-
mal. Para calcularlos hay que multiplicar la cantidad total por el número
decimal asociado al porcentaje.

20 1.600 70 8.400
• 20% de 80 = ⋅ 80 = = 16 • 70% de 120 = ⋅ 120 = = 84
100 100 100 100
• 15% de 300 = 0,15 · 300 = 45

26 Calcula los siguientes porcentajes, indicando primero la fracción que los representa:

25 1
a) 25% de 200 = = de 200 = 50 e) 5% de 100 = 5
100 4

75 3 50 1
b) 75% de 200 = = de 200 = 150 f) 50% de 8 = = de 8 = 4
100 4 100 2
20 1 12 3
c) 20% de 300 = = de 300 = 60 g) 12% de 50 = = de 50 = 6
100 5 100 25

30 3 10 1
d) 30% de 120 = = de 120 = 36 h) 10% de 70 = = de 70 = 7
100 10 100 10

27 En un incendio se ha quemado la cuarta parte de un pinar de 1.740 ha. ¿Cuál ha sido la super-
ficie arrasada? ¿A qué porcentaje corresponde?

1 25
1.740 : 4 = 435 Ha = = 25%
4 100

28 De las 15 preguntas de un examen, Juan no sabe responder al 20%, así que resuelve el resto.
¿Cuántas preguntas responde?

20% de 15 = 3; responde 12 preguntas

29 En una clase de 25 alumnos, 21 han aprobado la asignatura de Matemáticas. ¿Qué porcenta-

je representan los aprobados respecto del total?

21
= 0’84; 0’84 · 100 = 84%
25
9
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AUMENTOS Y DESCUENTOS PORCENTUALES

Descuentos porcentuales
Una bicicleta que cuesta 260 tiene un 5% de descuento. ¿Cuál es su precio final?

Podemos resolverlo de dos formas:

Calculamos el 5% de 260 y se lo restamos Si el descuento es de 5%, habrá que
al total: pagar 100 – 5 = 95% de 260 :
5 95
260 ⋅ = 13 € 260 ⋅ = 247 €
100 100
260 – 13 = 247 €
Aumentos porcentuales
El precio de un ordenador sin el 16% de IVA es de 700 . ¿Cuánto cuesta en realidad?

Podemos resolverlo de dos formas:

Calculamos el 16% de 700 y se lo añadimos Si el aumento es de 16%, habrá que
al total: pagar 116% de 700 :
16 116
⋅ 700 = 112 € ⋅ 700 = 812 €
100 100
700 + 112 = 812 €

30 El aumento de las emisiones de CO2 en la Unión Europea entre 2000 y 2004 ha sido del 2%.
Si en el año 2000 se emitieron 3.692 millones de toneladas, ¿cuáles fueron las emisiones de
CO2 en el 2004?

2% de 3.692 = 73’84
3.692 + 73’84 = 3.765’84 millones de toneladas
o también 102% de 3.692 = 3.765’84 millones de toneladas

31 En 2006, una familia media española gastó 3.300 en alimentación. ¿Cuánto ha pagado en
2007 por los mismos productos si la cesta de la compra subió un 10%?

110
3.300 ⋅ = 3.630
100

32 Un tonel lleno de vino pesa 65 kg. Si el peso del recipiente representa un 4% del peso total,
calcula el peso del vino.

65
100 − 4 = 96 → 96 · = 62’4 kg
100

10
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PORCENTAJE Y REGLA DE TRES

En un edificio viven 30 familias, de las cuales 12 tiene un perro. ¿Qué por-

centaje de familias tienen perro?
tienen perro
30 familias ⎯ ⎯⎯⎯⎯ → 12
tendrán perro
100 familias ⎯ ⎯⎯⎯⎯ → x
100 ⋅ 12
x= = 40% de las familias tienen perro
30
En el edificio solo 6 familias tienen un perro. Si el porcentaje de fami-
lias con perro en este edificio es del 8%, ¿cuántos habitantes tiene el
edificio?
De 100 familias ⎯tienen
⎯⎯⎯ perro
⎯→ 8
tienen perro
De x familias ⎯ ⎯⎯⎯⎯ → 6
6 ⋅ 100
x= = 75 familias hay en el edificio
8

33 Para hacer 80 l de zumo de naranja industrial se mezcla el extracto de naranja con 60 l de

agua. ¿Qué porcentaje de agua hay en dicha bebida? En 2 l de bebida, ¿cuántos litros hay
de agua?

80 → 60 x = 75%
100 → x 75% de 2 = 1’5

34 De una caja de 50 disquetes, el 2% ha salido defectuoso. ¿Cuántos disquetes han salido

defectuosos?

100 → 2
50 → x x=1

35 De los 28 alumnos de una clase de 1º de ESO, 21 han aprobado la asignatura de Matemáticas.

¿Qué porcentaje ha suspendido?

28 → 21 x = 75 aprobados de cada 100.

100 → x Ha suspendido el 25%.

36 Si durante la noche duermes 9 h, ¿qué porcentaje de horas en el día has pasado durmien-
do? Y si ves la televisión durante 3 h, ¿qué porcentaje del día estás sentado delante del
televisor?

24 → 9 24 → 3
100 → x x = 37’5% 100 → x x = 12’5%

11
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INTERÉS BANCARIO

Una entidad bancaria ofrece un 7% de interés anual por un depósito a 2 años. ¿Cuál será la ganan-
cia si se ingresan 12.000 ? ¿Cuál será el capital final?

• I = interés = ? Sustituimos cada variable por su valor:

• C = capital inicial = 12.000 C ⋅ t ⋅ r 12.000 ⋅ 2 ⋅ 7
I= = = 1.680 €
• t = tiempo = 2 años 100 100
• r = rédito = 7% C = 12.000 + 1.680 = 13.680 €

37 ¿Qué beneficio producen 6.000 en 2 años al 4%?

C · t · r 6.000 · 2 · 4
I= = = 480
100 100

38 Una persona hace un préstamo de 3.000 y a los 5 años le devuelven su dinero más 525
en concepto de intereses. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de interés?

3.000 · 5 · r 525 · 100

525 = ⇒r = = 3’5
100 3.000 · 5

39 ¿Cuánto tiempo habrá que colocar un capital de 2.000 al 2’5% de su interés para obtener
un beneficio igual al 10% del capital?

10
· 2.000 = 200
100
2.000 · t · 2’5 200 · 100
200 = ⇒t = =4
100 2.000 · 2’5

40 ¿Qué capital colocado al 6% de interés produce un beneficio de 300 en 5 años?

C ·5·6 300 · 100

300 = ⇒C = = 1.000
100 5·6

41 Se coloca un capital de 5.000 en una entidad bancaria. ¿Cuál es el capital total retirado al cabo
de 4 años si el interés es del 6’5% y las comisiones cobradas son un 0’1% de los beneficios?

5.000 · 4 · 6’5 0’1

I= = 1.300 € 0’1% de 1.300 = ’ €
⋅ 1.300 = 13
100 100
1.300 – 1'3 = 1298,7 €

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PCPI-II Cuaderno Mates y Ciencias - Ud01_01 Cuaderno Divers. II 18/03/11 10:38 Página 13

RADICALES

Para sumar y restar radicales seguimos los siguientes pasos:

1) Descomponemos en factores los radicandos.
2) Extraemos los factores que sea posible.
3) Sumamos o restamos solo los radicales que tengan el mismo índice
y el mismo radicando.

• 3
81⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z = 3
34 ⋅ x 10 ⋅ y 4 ⋅ z = 3x 3 y 3
3xyz

42 Extrae fuera de la raíz los términos que puedas:

3
a)
3
16a 4b 21 = 24 a 4b21 = 2ab 7 3 2a

b) 24 x 8 y 11 = 23 ⋅ 3x 8y 11 = 2x 4y 5 2 ⋅ 3y = 2x 4y 5 6y

10 2
c) 320 25 x = 3 2 2x

43 Realiza las siguientes sumas y restas:

a) 2 5 − 20 + 2 45

2 5 − 22 ⋅ 5 + 2 32 ⋅ 5 = 2 5 − 2 5 + 2 ⋅ 3 5 = 6 5

b) 3 2 + 4 8 + 50

3 2 + 4 23 + 2 ⋅ 52 = 3 2 + 8 2 + 5 2 = 16 2

c) 5 + 45 − 80 + 180

5 + 32 ⋅ 5 − 2 4 ⋅ 5 + 62 ⋅ 5 = 5+3 5 − 4 5+6 5 = 6 5

d) 18 + 50 − 98 + 3 8
32 ⋅ 2 + 52 ⋅ 2 − 72 ⋅ 2 + 3 23 = 3 2 + 5 2 − 7 2 + 6 2 = 7 2

44 Realiza las siguientes operaciones con radicales:

a) 50 + 18 − 32 =

2 ⋅ 52 + 2 ⋅ 32 − 25 = 5 2 + 3 2 − 4 2 = 4 2

b) 3 16 − 3 54 + 3 56 =

3 3
24 − 2 ⋅ 33 + 3 7 ⋅ 23 = 23 2 − 33 2 + 23 7 = − 3
2 + 23 7

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