Analisis de Sistemas Dinamicos 1 PDF
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2012
ANÁLISIS DE SISTEMAS DINAMICOS
Ingeniero:
[1]
OBJETIVO:
CAPITULO 1. GENERALIDADES
1. Introducción.
2. Clasificación de los sistemas.
3. Características de los sistemas dinámicos
4. Señales de entrada típicas para los análisis de los sistemas dinámicos.
5. Matriz de comportamiento o respuesta de los sistemas dinámicos
1. Introducción
2. Tipos de modelos matemáticos.
3. Modelamiento de sistemas mecánicos.
4. Modelamiento de sistemas electro-mecánicos.
5. Analogías electro-mecánicas.
6. Analogías electro-hidráulicas.
7. Analogías electro-Neumáticos.
8. Algebra de diagramas de bloque.
9. Técnica del Circuito equivalente.
1. Introducción
2. Técnicas de análisis de estabilidad.
4.1. Dominio del tiempo.
4.2. Dominio de la frecuencia.
3. Técnicas de análisis de exactitud.
4. Análisis de respuesta Transitoria Dinámica.
4.1. Sistemas de primer orden.
4.2. Sistemas de segundo orden.
1. Introducción
2. Definición de las variables de estado.
3. Técnicas obtención de la representación de estado.
4. Análisis de:
[2]
i. Estabilidad.
ii. Controlabilidad.
iii. Observabilidad.
5. Solución de la ecuación de estado.
6. Ejemplos.
ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.
BIBLIOGRAFIA
[3]
CAPITULO 1. GENERALIDADES
1.1. Introducción. A continuación algunas definiciones fundamentales para dar explicación al tema.
Sistema: Se define como conjunto o interconexión de elementos o componentes que interactúan para
cumplir una función establecida. Existen sistemas abstractos como los presentes en la economía, por ende
la definición de sistema no se limita exclusivamente al sentido físico. En este libro únicamente se hará
referencia a los sistemas físicos, los cuales se caracterizan por ser objetos “tangibles”.
Proceso: Secuencia de pasos, operaciones o actividades realizadas o ejecutadas para cumplir un objetivo
previamente determinado, se caracteriza por ser “no tangible”.
Control: Medir el valor de una variable, la cual llamaremos como variable controlada; la cual en la
mayoría de los casos es la variable de salida al mismo tiempo que se corrige la variable manipulada
limitando la diferencia entre el valor deseado y el valor medido. Mediante las técnicas de control se
garantiza el buen funcionamiento del sistema.
1.2.1.1. Sistema Lineal: La salida es proporcional a la entrada, de la misma forma cumple con las
propiedades de homogeneidad y superposición.
[4]
1.2.4. De acuerdo a su operación.
1.2.4.1. Sistemas de Lazo Abierto. Son sistemas en los que la energía fluye en una o varias trayectorias sin
retorno a ningún punto anterior en el sistema. Es decir que carecen de retroalimentación. También se
puede definir como un sistema en el cual la salida no se mide ni se compara con la entrada.
1.2.4.2. Sistemas de Lazo Cerrado. Para estos sistemas se define una señal de error actuante, la cual
consiste en la diferencia entre la señal de entrada y una derivación de la señal de salida con el objetivo de
reducir este error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.
1.2.6.1. Determinístico: Se conocen o se pueden determinar todas las variables. Por ende se puede
predecir su comportamiento con exactitud.
1.2.6.2. No Determinístico. También conocido como estocástico, en el cual las variables tienen un
comportamiento aleatorio, y por ende se rigen por los principios de la probabilidad de tal manera que no
se puede predecir con certeza su comportamiento.
1.2.7.1. Sistema Manual: El operario interviene como mínimo en una de las acciones o actividades.
1. 2.8.2. Sistema de Seguimiento: Cuando la variable cambia en forma continua con el tiempo.
1.3.1. Estabilidad: La capacidad o característica que tiene un sistema para retornar a su estado de equilibrio, estado
estable, estado estacionario o régimen permanente después de que ha ocurrido un cambio en la respuesta del
sistema. Generalmente ocurre debido a una perturbación producida en la entrada o la salida del sistema.
1.3.2. Exactitud, Precisión o Error: El error en un sistema está determinado por la tolerancia permitida o el
porcentaje de error en la respuesta del sistema. Este depende de cada sistema y no de la variable a analizar.
[5]
1.3.3. Respuesta del Sistema:
La respuesta del sistema siempre se analiza en el dominio del tiempo. Para analizar la respuesta es necesario:
La respuesta se puede analizar en el dominio del tiempo, de la frecuencia o del espacio de estado y se divide en:
Tiempo de Respuesta: Tiempo que tarda la respuesta Dinámica en llegar a su estado estable. Este corresponde a un
factor de mérito y es indicador del tiempo que tarda el sistema en estabilizarse o alcanzar su régimen permanente y
su valor depende del porcentaje de error permitido a la respuesta del sistema.
Tr
Canal de Exactitud. Depende del error del sistema, por lo general es de 1%, 2%, 5%.
[6]
1.4. TIPOS DE ENTRADA PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS.
En la figura se aprecia un tipo de representación de sistemas, el cual corresponde a un diagrama de bloque, el cual
consiste en una caja negra con una entrada y una salida. Es una representación externa del sistema que sirve en
primer lugar para ilustrar la dirección en la que la energía fluye.
El diagrama de bloque está definido por su función de transferencia F(s) que es la relación entre la salida y la
entrada.
( )
( )
( )
El flujo de energía es unidireccional.
[7]
El escalón es la derivada de la entrada velocidad.
( )
( )
( )
[8]
CEROS: z es un cero de un sistema si F(z) 0 Los ceros se determinan hallando las raíces del numerador
A(s)=0 , es decir, igualándolo a 0. Sirven para hallar la respuesta dinámica. Determinan la velocidad del sistema;
entre más ceros tenga el sistema, más lenta es su respuesta.
POLOS: p es un polo de un sistema si F(p) Las raíces del denominador B(s)=0 son los polos del sistema.
Determinan la estabilidad, exactitud y forma de respuesta del sistema.
Ejemplo:
Ceros: S= -2
Existe una representación alternativa, la cual se conoce como Representación de Estado o Representación Moderna
la cual comenzó su estudio en 1960, esta es una representación de tipo vectorial- matricial y su importancia radica
en que es una representación interna de los sistemas.
Son válidas para cualquier tipo de sistemas permitiendo incluir condiciones iniciales no nulas.
[9]
CAPITULO 2. MODELAMIENTO O MODELAJE DE
SISTEMAS DINAMICOS
Para analizar cualquier sistema es necesario un modelo matemático. Se define como Modelo Matemático la
representación matemática que describe el comportamiento de un sistema dinámico o estático.
La representación matemática se obtiene a partir de las leyes que rigen el comportamiento del sistema.
En ingeniería se presentan infinidad de casos de sistemas en los que se hace necesario establecer modelos
matemáticos mediante el uso de ecuaciones diferenciales, las que generalmente involucran las derivadas e
integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente. Encontramos un ejemplo muy
claro en el circuito RLC (Resistencia, Inductancia y Capacitancia) en serie cuya ecuación diferencial es:
( )
( ) ∫ ( ) ( )
No sobra recordar que esta ecuación corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden y por ende nos
referimos a este como un Sistema de Segundo Orden donde R es la resistencia, L la inductancia y C la capacidad.
i(t) y e(t) corresponden por su parte a la corriente de malla y al voltaje aplicado respectivamente y corresponde a su
vez a la señal forzante o variable independiente. Por su parte la corriente es la señal dependiente cuyos valores son
desconocidos y para su determinación es necesario resolver la ecuación diferencial.
[10]
Por lo general, la ecuación diferencial de un sistema de orden n se escribe como:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
La función de transferencia es una forma muy clásica de hacer modelado de sistemas lineales y es una
representación de la relación entrada vs salida entre variables. La función de transferencia se puede definir de
muchas maneras, sin embargo la más importante se da cuando el sistema es alimentado con una señal de tipo
impulsiva o entrada de posición y a la respuesta del sistema se le conoce como respuesta al impulso.
La función de transferencia se determina como la relación entre las transformadas de Laplace de la variable de
salida y de entrada del sistema tomando todas las condiciones iniciales como iguales a cero. Por tratarse de una
representación externa del sistema por lo tanto no contiene ninguna información conexa con la estructura interna
del sistema y a su comportamiento.
y t y t N t
F S
r t CI 0 Rt Bt
La función de transferencia para un sistema cuya función de entrada u(t) y salida y(t) está definida por:
( )
( )
( )
En este punto es importante destacar que el orden del denominador n debe ser mayor o igual al orden del
numerador m para que el sistema sea físicamente realizable.
En todo polinomio se puede obtener ‗n‘ raíces, que se conocen como los ceros del sistema, estos afectan al sistema
a través de la velocidad y en ningún momento interfiere con la exactitud ni con la respuesta del sistema como será
analizado más adelante.
[11]
B(S) o Denominador de función de transferencia del sistema, se conoce como polinomio característico. Este nos
ayuda a determinar la estabilidad, exactitud y respuesta.
Es una representación interna de los sistemas por tanto es más fácil controlarlo, la representación de estado es
válida para cualquier tipo de sistema, se basa en una representación estado vectorial-matricial en el dominio del
tiempo, entrega ecuaciones diferenciales de primer orden, permite condiciones iníciales diferentes de 0 y se ha
dado su popularidad porque permite el uso de herramientas computacionales.
Elementos Pasivos: Convierten, disipan o almacenan energía. (Entre los pasivos tenemos masa, fricción,
elasticidad).
[12]
OBTENCION DEL DIAGRAMA ESQUEMATICO DEL SISTEMA A MODELAR.
Ejemplo:
Se tiene la figura 2.1ª y 2.1b. Aunque su posición es distinta la forma de modelarlas es igual.
A partir del diagrama físico real del sistema a analizar se obtiene un diagrama mecánico que lo representa y
finalmente un diagrama de fuerzas: Esta es una metodología diferente a la clásica en la cual se definen las fuerzas
según su orientación respecto al eje de referencia. En este caso se eligen las fuerzas en el sentido análogo a las
corrientes en circuitos eléctricos, en el sentido de que la fuerza fluye del punto de mayor potencial al de menor
potencial como ocurre con las corrientes eléctricas.
En primer lugar se debe elegir si las fuerzas que actúan sobre la masa son positivas entrando a la masa o saliendo
de la misma.
En el ejemplo de la figura de arriba, se toman las fuerzas que entran a la masa como positivas. Las ecuaciones así
planteadas son:
[13]
( )
( ) ( ) ( ) ( ̇) ̈
( ) ̇ ̈
( ) ̇ ̈
La fuerza de entrada también se toma como entrando desde el nodo cero por eso el término (0-1) que la acompaña.
Se definen los grados de libertad y las respectivas ecuaciones (el número de ecuaciones es igual a la
cantidad de grados de libertad).
ms 2
cs k y s F s
1 1
y s m m
F s ms 2
cs k cs k
s2
m m m m m
2.2.3. Por último se representa nuestra ecuación que representa el sistema en un Diagrama de Bloque. Tal como lo
muestra la Figura 2.1.e
[14]
DIAGRAMA DE BLOQUE:
Es una representación gráfica de una función de transferencia, siendo una función de transferencia una
representación matemática del sistema consistente en una función racional de dos polinomios. La función de
transferencia relaciona únicamente las transformadas de Laplace de la salida con las de la entrada con condiciones
iniciales iguales a cero.
1. Permite obtener la función de transferencia global a través de manipulaciones gráficas, sin necesidad de
manipulaciones matemáticas.
2. Permite simular el sistema con software (Uno de estos software es Simulink; una aplicación de Matlab.)
Bifurcación: Existe cuando una entrada y una salida van conectada a diferente bloque.
[15]
Punto Suma: es la suma algebraica de varias entradas y única salida.
2.3.1. Palanca
[16]
2.3.2. Tren De Engranajes:
Elemento lineal.
N= Relación de engranajes.
La velocidad tangencial en el punto de contacto es la misma para los dos engranes.
[17]
2.3.3. TRANSFORMADOR
El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente
mediante el movimiento rotatorio. La principal característica del motor de corriente continua es la posibilidad de
regular la velocidad desde vacío a plena carga.
[18]
Para modelar los motores de corriente continua existen 2 métodos:
[19]
(2); Donde ‗Se denomina constante de velocidad‘.
1.
2. ; donde eb se denomina Fuerza Contra electro-Motriz.
3.
Dominio de ‗S‘
1.
2.
3. ; Donde ‗Se denomina constante de Torque‘.
[20]
2.3.8. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Campo
Permite obtnener un solo movimiento (como su nombre lo inidca en este caso lineal), presenta un solo
devanado que al aplicarle una exitacion genera un campo y un movimiento lineal. Presenta un momento de
inercia , una resistencia y entrega una velocidad lineal.
[21]
Transformacion del Circuito.
[22]
2.3.10.Generador o Dinamo:
Este disposiotivo se utliza como sensor de velocidad y es un Motor de Corriente continua donde el devanado
de campo se reemplaza por un iman permanentre, con resistencia e inductancia de armadura despreciable. Se
utiliza como:
Amplificador Diferencial:
1.) 2 entradas y unica salida, la salida es igual a la Σ algebraica de las entradas, tiene una entrada poitiva y una
negativa y una salida afectada por una ganancia.
Funciona como un comparador , en control se utiliza comno detector de error, las ganacias son unitarias y la
salida es la diferencia del error.
[23]
2.) Como Inversor
[24]
2.3.12.Potenciometro:
Lineales
Angulares
[25]
2.4. MODELAMIENTO DE SISTEMAS ELE TROMECÁNICOS, HIDRAULICOS Y NEUMÁTICOS
SISTEMA MECANICO:
RELACION DE VELOCIDADES:
[26]
En la Valvula entra un desplazamiento; pero sale una fuerza
2.5.ANALOGIAS ELECTRO-MECANICAS.
Las analogias nos permiten analizar y diseñar sistemas sin necesidad de implementar circuitos reales y nos permite
obtener el modelo matematico de sistemas a partir de modelos de circuitos analogos electronicos.
Se demuestra que 2 sistemas son analogos porque los modelos matematicos son identicos(mismo orden, mismo
número de términos, etc.)
ANALOGÍA DIRECTA
[27]
Para m2
Para m1
Circuito Electrico:
[28]
Para Nodo 1 tenemos:
Ordenando y remplazando:
Para 2 tenemos:
1/R1
1/R2
1/L1
De manera general se puede obtener la siguiente tabla que relaciona las diferentes analogias electo-mecanicas.
ANALOGÍA DUAL
[29]
F (T) ε
V (w) I
Del circuito 1:
Nodo 1
Nodo 2:
Realizando la transformación:
(1)
(2)
[30]
Del circuito 2:
Malla 1:
(3)
Malla 2:
(4)
Comparando (1) con (3) y (2) con (4) y teniendo en cuenta el analisis de analogía directa se obtiene la siguiente
tabla:
Los sistemas hidraulicos incluyen fluidos en un sistema cerrado o abierto y se pueden parametrizar con
Inductancia, resistencia y capacitancias.
[31]
Capacitancia: Todo elelemento en capacidad de almancear energia y se define como la cantidad de energia
alamacenada con respecto a la variacion de potencial.
Inertancia: Se define como la oposicion al cambio de flujo y no se presenta hasta que no haya contacto entre los
elementos
[32]
Parametrizacion del Sistema:
[33]
Ejemplo:
1)
[34]
2.7.ANALOGIAS ELECTRO-NEUMÁTICAS
Ecuaciones:
Nodo
[35]
Nodo
H P
Q Q
Rh Rp
Ch CP
Lh Lp
Pasos:
[36]
5. Obtencion del modelo del circuito electrico y utilizando las tablas se pasa al modelo mecanico
equivalente.
Ejemplo:
Notese que hemos facilitado el diargrama haciendo uso de las Impedancias Z(s).
[37]
2.9.ALGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUE
El algebra de diagrama de bloques nos permite obtener funciones de transferncia sin manipulaicones matematicas
Si no a partir de funciones graficas.
El cambio realizado en la gráfica es la descomposicion del punto suma, el proceso inverso se llama fusión del
punto suma.
[38]
4. Adelanto o desplazamiento a la derecha de un Punto suma.
[39]
7.Atraso o Desplzamiento a la izquierda de una Bifurcación.
[40]
1° Reduccion de bloques en Casacda.
2° Adelantamiento de Bifurcacion.
y ( s) B1 ( s)G 3 ( s)
[41]
4° Reduccion de Bloques Retroalimentados.
Los diagramas de flujo o reogramas nos permiuet obetneer funciones de Transferencia mediante la aplicación de
una foprmula conocida como Formula de Mason. No hay ni manipulaciones ni operaciones algebracias.
2.10.1.Rama: Una rama nos representa la Transmitancia o funcion de Transferencia y se representa por
2.10.2.NODO:
Representa la convergencia de varias ramas y tiene como caractersitica uan sola salida.
La salida es igual a la suma de las entradas (En un diagrama de bloque es equivalente a un punto suma).
[42]
2.10.3.TRAYECTORIA:
Es un camino abierto entre una entrada y una salida y NO toca un nodo mas de una vez.
La Transmitancia o funcion de Transferencia es igual al producto de las transmitancias de las ramas individuales
que forman la trayectoria.
Ciclo: Un ciclo es una Trayectoria cerrada que No toca un nodo mas de una vez, su transmitacna es igual al
producto de las transmitacioasn que lo conforman.
n= N° de ciclos.
2.10.4.FORMULA DE MASON:
Donde
[43]
Cofactor, cada trayectoria tiene un cofactor y se obtiene eliminando el determinante de la ganacia
de los ciclos que tocan la Trayectoria.
Las Trayectorias de Color, en este caso indican los ciclos del diagrama.
H1
1
G1 Lf
Rf
s
Lf
[44]
Ciclos:
Formula de Mason:
Coefactores:
[45]
CAPITULO III. COMPORTAMIENTO DE LOS
SISTEMAS DINAMICOS.
Haciendo un recuento de los términos vistos en la introducción, el estudio del comportamiento de los sistemas
dinámicos se refiere a los estudios de la estabilidad, exactitud precisión o error y la respuesta del sistema. En
primer lugar la estabilidad se definió como la capacidad propia de un sistema para alcanzar el estado de equilibrio
o también llamado estado estable o régimen permanente una vez que ha ocurrido un cambio en el sistema.
Generalmente ocurre cuando ha habido una perturbación en el sistema.
En este capítulo también se hace un estudio de la exactitud, precisión o error, donde el error en un sistema está
determinado por la tolerancia que se permite en la respuesta del sistema y cuya característica es la discrepancia
entre la señal de entrada y la respuesta del sistema en estado estacionario.
Estabilidad es la capacidad que tienen los sistemas para retornar a su estado de equilibrio después de haber
ocurrido un cambio.
Se analiza el polinomio característico (B(s)) que es el que proporciona le información de estabilidad del sistema.
[46]
ANALISIS DE ESTABILIDAD A PARTIR DE LA UBICACIÓN DE POLOS
Es posible afirmar que si hay polos en el semiplano izquierdo, el sistema es globalmente estable.
Ejemplo:
Existe software que lo realiza y se basa en el criterio de Routh-Hotwiz ó ‗RH‘ de los sistemas. Nos permite
analizar la estabilidad sin la necesidad de obtener los polos, sin o aplicando el criterio de las condiciones
necesarias y suficientes. El procedimiento es el siguiente:
Tomamos el polinomio característico y lo igualamos a cero(Es importante igualar a 0; como si fuéramos hallar sus
raíces.)
BS a n s n a n 1 s n 1 a n 2 s n 2 a n 3 s n 3 ...... a1 s a 0 0
Este criterio consiste en un método algebraico que provee información de la estabilidad absoluta de un sistema
lineal e invariante en el tiempo cuya ecuación característica tiene todos sus coeficientes de valor constante. Este
criterio sirve como prueba para establecer si cualquiera de las raíces de la ecuación característica se encuentra o no
en el semiplano derecho del diagrama de polos y ceros. El número de raíces que están en el eje jω y en el
semiplano derecho también se indican.
[47]
2) Verificar que las condiciones suficientes se cumplan:
1. Que no existan cambios de signo en el primero columna en el arreglo de Routh-Hotwiz ; si por algún
motivo hay cambio de signo el sistema se considera inestable.
2. El N° de cambios de signo es igual al N° de raíces o polos del sistema.
ARREGLO DE DE ROUTH-HOTWIZ:
El arreglo de Routh-Hurwitz:
Es un arreglo triangular.
Las filas se identifican en orden decreciente, a partir de las potencias de ‗S‘.
Cada dos filas se reduce en un elemento.
Toda una fila se puede multiplicar por una constante con fin de simplificar las operaciones.
El cálculo de los elementos del arreglo se basa en el cálculo de determinantes 2° orden.
Si el polinomio es par, la primera fila tiene un elemento más que la Segunda.
Si el polinomio es impar, la primera fila y la segunda fila tiene igual N° de elementos.
a n a1 an a3
a n 1 a 0 a n 1 a 2
bs b1 s
a n 1 a n 1
an a5 a n a n2
a n 1 a 4 a n 1 a n 3
b2 s bm s
a n 1 a n 1
[48]
EJEMPLOS:
( )
Desarrollo:
1) Condiciones Necesarias
Existan todas las potencias de ‗S‘
Todos los signos del polinomio o ecuación característica sean iguales, recordemos que el
polinomio característico es el denominador de la función, En este caso
Bs S 3 6 S 2 11S 6
1. Cuando existe un”0” en la primera columna, en una fila; el cero se reemplaza por un N° Є.
Seguimos calculando los demás coeficientes; en función de Є, evaluamos los coeficientes con (0+ y0-); si hay
cambio de signo el sistema nos indica que es ‗Inestable‘ y el N° de cambios de signo, es igual al N° de polos en el
SPI.
Ejemplo:
S 1.5
F s
S 2 S 25S 2 4 S 3
4 3
1) Condiciones Necesarias
Arreglo:
S4 1 2 3
[49]
S2 3
S1
S0 3
En este caso debemos evaluar (2) valores; cuando y cuando ; para determinar el N° de cambios
de signo y así determinar la estabilidad del sistema.
Evaluando para
S4 1 2 3
S2 + 3
S1 -
S0 3
Tenemos: 2 cambios de signo, por tanto hay 2 raíces en el SPD y como el sistema era de orden 4(S4; tal como se
muestra en el polinomio característico, podemos decir que hay 2 polos en el SPD).
Evaluando para
S4 1 2 3
S2 + 3
S1 -
S0 3
2°Caso. Cuando toda una fila tiene elementos nulos, el sistema NO es estable.
Procedimiento:
Formar un polinomio auxiliar; con la potencias de la fila que precede a la fila nula. Ejemplo: Si tomamos la de
S2; derivamos el polinomio auxiliar con respecto a este.
[50]
Luego reemplazamos la fila nula con los coeficientes de la derivada del polinomio y seguimos calculando los
coeficientes.
S 2 6s
F s
S 3 5S 2 2 S 10
S3 1 2 3
Entonces tomamos la fila que precede a la fila nula; en este caso S2 1 2 y formamos un nuevo polinomio
auxiliar ; lo derivamos y tenemos: . Nuestra nueva fila para S1 es S1 2.
Obtenemos los polos del sistema, que en este caso serán:
Son sistemas ajustables porque su comportamiento se puede ajustar con parámetros conocidos como ganancia.
[51]
Debemos analizar todos los posibles valores de K.
5K S 3
S 7S S 3 5S
2
S3 1 21
1) Condiciones Necesarias
S3 1 21
S2 2 3K Se ha dividido por 5
[52]
S1
S0 +
S3 1 21
S1
S0 3K
S3 1 21
S1
S0 0
[53]
3.4.2. Por formula de error.
3.4.3. Por Tipo de Sistema.
Con
Para aplicar este procedimiento debemos repasar el Teorema del valor inicial y Teorema valor final.
[54]
Ejemplo: Analizar el comportamiento en función de K
Se realiza a partir de la ganancia de lazo directo y el tipo de sistema se determina a partir de los factores de ‗S‘ en
el denominador de la ganancia de lazo directo, es decir los polos en el origen de dicha ganancia.
[55]
ERROR DE POSICIÓN U ORDEN “0” ESSP
[56]
SISTEMA TIPO II m=2 essp =0 ‗Nulo‘
Sistema Tipo
[57]
Sistema Tipo 2 m=2 essV = Nulo
[58]
3.5. ANALISIS DE RESPUESTA
[59]
Verificación:
Grafico:
[60]
Respuesta Temporal:
[61]
3.4.3. ANALISIS DE RESPUESTA A ENTRADA VELOCIDAD, RAMPA u ORDEN UNO.
Respuesta Temporal:
[62]
3.5.4. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS INVARIABLES EN EL TIEMPO L I T
1. Conociendo la respuesta de una entrada escalón se puede determinar la respuesta a cualquier entrada o
analizando la relación de la respuesta a la entrada pedida con la entrada escalón; es decir se puede
determinar la derivada y/o integral de la entrada, derivando y/o integrando a la entrada dada.
[63]
3.5.5. ANALISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.
Respuesta Senoidal.
Plano S
Forma de la Respuesta.
[64]
SISTEMA SUBAMORTIGUADO
=0
Graficando su Respuesta:
[65]
Factores de Merito Para la respuesta Dinámica o Transitoria.
Tiempo de Crecimiento = Es el tiempo que tarda la respuesta del Sistema en alanzar por primera vez su
valor final.
Tiempo Pico : Tiempo que tarda la repuesta del sistema en alcanzar su máximo sobre impulsó, es decir
que tanto puede aumentar en caso de los resortes antes de que el sistema se destruya.
[66]
SISTEMA SOBREAMORTIGUADO :
[67]
Ahora hallamos valor Inicial y valor Final. Con
Transformada Inversa:
Para , . .
Si la magnitud de los polos más cercanos al eje imaginario es mínimo 6 veces menor a la longitud de los polos
más lejanos; decimos que los primeros son polos dominantes. Si esta condición NO se cumple No existen polos
dominantes.
[68]
En caso de existir polos dominantes la respuesta del sistema se puede aproximar al comportamiento determinado
por los polos dominantes.
Ejemplo:
Ejemplo:
[69]
1) Condiciones Necesarias
S3 1 30
S2 11 60K
Rango Valido
Análisis de Exactitud.
[70]
Análisis de Respuesta:
Para K=0.1 (recordemos que podemos tomar cualquier valor siempre cuando se encunetre en el rango
Este último es polo Dominante ya que 6*0.22=1.32; que es menor de 4.21 y 6.57.
Función aproximada:
Para K=2.5
[71]
Comportamiento Equivalente a Sistema 2°orden Subamortiguado
[72]
CAPITULO 4. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS
EN EL ESPACIO ESTADO.
4.1 INTRODUCCION
En el primer capítulo se hizo una mención de las variables de estado, esta es una técnica moderna de análisis, la
cual permite analizar cualquier tipo de sistema, sin importar si es lineal o no o si es análogo o digital, si es
monovariante o multivariante al igual que si sus condiciones iniciales son diferentes de cero. Adquirió relevancia
con el desarrollo de los computadores, ya que es un método que se facilita con la aplicación del ordenador y
métodos matriciales. También podemos afirmar que esta es una representación interna de los sistemas que permite
conocer el sistema detalladamente y por ende permite hacer un mejor control asi como un diseño optimo del
sistema de control.
4.2. DEFINICIONES:
VARIABLES DE ESTADO:
Se define como variable de estado el mínimo conjunto de variables necesarias para describir el comportamiento de
un sistema y se denota por la letra n que determina el número de variables de estado.
Donde el número de variables de estado es igual al orden del sistema; es decir el orden del Polinomio
característico.
La representación de estado se basa en una representación vectorial matricial cuya ventaja más relevante es el
aprovechamiento de que todas las ecuaciones diferenciales que originan esta representación son de primer orden y
tienen dos tipo de respuesta, que son la normal o estándar y la compacta o forma vectorial matricial. La forma
compacta o vectorial matricial es la que se emplea en este capítulo.
[73]
( )
̇( ) ( ) ( )
A Es una matriz cuadrada de nxn elementos y se conoce como la matriz del sistema y contiene los parámetros del
sistema.
ECUACION DE SALIDA
( ) ( ) ( )
̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]
[74]
( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]
NOTA: Cuando [ ] se dice que el sistema se encuentra desacoplado entre la entrada y la salida o lo que es
equivalente que el sistema es singular.
Las dos técnicas principales para este fin son las que emplean el circuito eléctrico, y las que parten de la función
de transferencia global del sistema.
En este texto utilizaremos la técnica que toma como punto de partida la función de transferencia del sistema, ya
que esta es la forma más sencilla. Los pasos para llegar a la representación son los siguientes:
En esta función de transferencia la condición de realizabilidad es m>n; es decir que el grado del denominador es
mayor que el grado den numerador. Y se dese llevar esta función de transferencia a la forma
( )
( )
( )
Para lograrlo se debe factorizar la mayor potencia de S y dividir por la mayor potencia negativa de S.
[75]
2. El coeficiente del término independiente en el denominador debe ser unitario.
( )
( )
( )
4. Definir las variables de estado. nEn este paso a la salida de cada rama integradora; aquellas que tienen
una transconductancia de valor ; se define una variable de estado ,m esto quiere decir que el número
de variables de estado es igual a m y no importa el orden en que se tomen. Luego no existe unicidad en
las variables de estado, por conveniencia se definirán de la salida hacia la entrada.
5. Obtención de la forma canónica. En la entrada de cada rama se obtiene una ecuación de estado y para
cada salida se obtiene una ecuación de salida.
Es un espacio N dimensionado, es decir, está representado por n ejes, cada uno identificado por una variable de
estado y el estado del sistema se visualiza por una Trayectoria.
[76]
Obtención de la Representación de Estado:
--Circuito real.
Se definen como variables de estado las magnitudes almacenadas en forma de energía por los diferentes elementos
o componentes del sistema.
2. Ecuaciones diferenciales:
Se define la respuesta y sus derivadas hasta la derivada n -e sima, como una variable de estado.
De la definición de sus variables de estado, se obtiene n-1, variables de estado. La n-e sima ecuación de estado; se
obtiene a partir de la ecuación original, despejando la derivada de orden más alto con coeficiente unitario y
reemplazando las respectivas variables de estado.
[77]
4.2.4. OBTENCION DE LA REPRESENTACION DE ESTADO A PARTIR DE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA.
En el nodo de entrada de cada rama con función de Transferencia , se obtiene una ecuación de estado.
Características:
Estabilidad.
Controlabilidad.
Observabilidad.
4.4.2. CONTROLABILIDAD:
La controlabilidad es la característica del espacio de estado que nos permite conociendo la entrada y el estado de
un sistema en un tiempo t=0, determinar o predecir el estado del sistema en un tiempo
5.4.3. OBSERVABILIDAD:
Es la característica que nos permite conociendo el estado y la entrada del sistema en un tiempo
establecer el estado del sistema en .
Análisis de Controlabilidad:
[78]
1. A partir de la matriz de controlabilidad.
Se dice que un Sistema es controlable, si la matriz de controlabilidad es de rango igual=n, donde n representa el
N° de variables de estado.
OBSERVABILIDAD:
Se dice que el sistema es observable si la matriz de observabilidad es mínimo rango de n , es decir si existe n
filas linealmente independientes.
Ejemplo:
Obsérvese que la última fila de la Matriz corresponde a los coeficientes del denominador cambiando los signos.
Analisis de estabilidad:
[79]
.
Análisis de Controlabilidad.
;
A que La Matriz de Contrabilidad es de
rango iguala ‗n‘.
ANALISIS DE OBSERVABILIDAD:
[80]
ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.
Introducción a SIMULINK. Para conocer las posibilidades básicas de Simulink se muestra
Siguiente tutorial pasando por todos los puntos.
1. Simulink es un programa de simulación tanto continua como discreta que se encuentra en el entorno MATLAB.
Por tanto para acceder a él basta con invocarlo desde la ventana de comandos de MATLAB, por supuesto
asegurándose antes de encontrarse en el directorio de trabajo.
2. Una vez hecho esto aparece la ventana de SIMULINK que tiene el siguiente aspecto:
[81]
3. Lo primero que se debe hacer es abrirse una ventana de trabajo que puede ser nueva o existir previamente.
Para el caso de que se desee crear un nuevo trabajo se procede como se indica en la figura.
5. Lo primero que podemos necesitar es una fuente de señal, luego seleccionamos las fuentes (Sources) en la
ventana de SIMULINK.
6. Con esto aparecerán otra ventana con todas las fuentes de señal disponibles .En este ejemplo se selecciona con
el ratón el generador de señales genérico y se arrastra hasta situarlo sobre la ventana de trabajo.
[82]
7. Para poder ver la señal recurriremos a un sumidero de señal (Sinks) que seleccionaremos en la ventana de
SIMULINK.
8. Igual que antes aparecerá una ventana con todos los sumideros disponibles, de la que seleccionaremos el visor
(Scope) y lo arrastraremos con el ratón hasta la ventana de trabajo.
[83]
9. Ya únicamente falta unir la fuente con el sumidero, lo que se hace pulsando con el ratón sobre la pequeña flecha
de salida del bloque inicial y arrastrando hasta la fecha de llegada del bloque destino.
10. Para realizar la simulación es necesario definir unos parámetros mínimos como son el intervalo de tiempo
y el error admisible.
[84]
11. Además existen otros parámetros como el método de integración a utilizar y los pasos de integración.
Parámetros que se pueden definir cómodamente en la ventana correspondiente.
12. Para ejecutar la simulación desplegar Simulation y Start. Ver el resultado de la simulación en el scope.
[85]
BIBLIOGRAFIA:
1. Dinámica de Sistemas. Katsuhiko Ogata. Pretince hall.
2. Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Pretince hall.
3. Dinámica y sistemas de control.
[86]